Pētot tēmu skaitlisko, alfabēta izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem, ir nepieciešams pievērst uzmanību koncepcijai vārda vērtība. Šajā rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu par skaitliskā izteiksmes vērtību, un to, ko sauc par burtu izteiksmes un izteiksmju nozīmi ar mainīgajiem lielumiem ar izvēlētajām mainīgo vērtībām. Lai noskaidrotu šīs definīcijas, mēs sniedzam piemērus.

Navigācijas lapa.

Ko sauc par skaitlisku izteiksmes vērtību?

Iepazīstināšana ar skaitliskajām izteiksmēm sākas gandrīz no pirmajām mācībām matemātikas skolā. Gandrīz nekavējoties ievieš "skaitliskās izteiksmes" koncepciju. To atsaucas uz izteicieniem, kas sastāv no skaitļiem, kas saistīti ar aritmētiskās darbības pazīmēm (+, -, ·, :). Pieņemsim atbilstošu definīciju.

Definīcija.

Skaitliskā izteiksmes vērtība - Šis ir skaits, kas tiek iegūts pēc visu avota darbību izpildes skaitliskā izteiksme.

Piemēram, apsveriet ciparu izteiksmi 1 + 2. Pēc veikšanas mēs iegūstam numuru 3, tas ir skaitliskās izteiksmes vērtība 1 + 2.

Bieži frāzi "Nozīme skaitliskā izteiksme" vārds "ciparu" ir pazemināts, un viņi saka vienkārši "vārda vērtību", jo tas joprojām ir skaidrs, jēdziena izteiksme ir apšaubāma.

Tas iepriekš, nosakot vārda vērtību, attiecas uz skaitliskākām izteiksmēm vairāk sarežģīts skatskas tiek pētīti vidusskolā. Šeit jums ir nepieciešams, lai pamanītu, ka jūs varat saskarties skaitliski izteiksmes, kuru vērtības nav iespējamas. Tas ir saistīts ar to, ka dažos izteiksmēs nav iespējams veikt reģistrētās darbības. Piemēram, tāpēc mēs nevaram norādīt izteiksmes vērtību 3: (2-2). Līdzīgas ciparu izteiksmes sauc izteiksmes, kas nenozīmē.

Bieži praksē procenti nav tik daudz skaitliska izteiksme kā tās vērtība. Tas ir, uzdevums ir noteikt šīs izteiksmes vērtību. Tajā pašā laikā viņi parasti saka, ka ir nepieciešams atrast vārda vērtību. Šajā rakstā ir detalizēts process, kā atrast skaitlisko izteiksmju nozīmi. dažādu veidu veidiun piemēru masa ar detalizēti apraksti risinājumi.

Vērtība burtu izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem lielumiem

Papildus skaitliskajiem izteicieniem, pieņemsim pētīt alfabētiskās izteiksmes, tas ir, izteiksmes, kurās viens vai vairāki burti ir klāt kopā ar cipariem. Burti alfabētiskā izteiksmē var izraudzīties dažādus numurus, un, ja burti tiek aizstāti ar šiem skaitļiem, tad burtu izteiksme kļūs ciparu.

Definīcija.

Skaitļi, kas aizstāj burtus alfabētiskā izteiksmē tiek saukti Šo burtu vērtībasun tiek saukts par skaitliskās izteiksmes vērtību burtu izteiksmes vērtība šajās burtu vērtībās.

Tātad, alfabona izteiksmēm, viņi saka ne tikai par nozīmi burtu izteiksmes, bet vērtība burtu izteiksmes datiem (norādīts norādīto uc) vērtības burtu.

Ļaujiet mums sniegt piemēru. Veikt alfabēta izteiksmi 2 · a + b. Ļaujiet burtu A un B vērtībām, piemēram, A \u003d 1 un B \u003d 6. Burtu nomaiņa sākotnējā izteiksmē pēc to vērtībām, mēs iegūstam skaitlisko formas izteiksmi 2 · 1 + 6, tā vērtība ir 8. Tādējādi 8. numurs ir burtu izteiksmes vērtība 2 · A + B pie norādītajām burtiem a \u003d 1 un b \u003d 6. Ja tika dotas citas vēstuļu vērtības, tad mēs iegūsim šo burtu burtu izteiksmes vērtību. Piemēram, pie A \u003d 5 un B \u003d 1, mums ir vērtība 2 · 5 + 1 \u003d 11.

Vidusskolā, mācoties algebru, burti alfabona izteiksmē ļauj dažādas vērtībasŠādas vēstules sauc par mainīgajiem lielumiem un alfabētiskās izpausmes - izteiksmes ar mainīgajiem lielumiem. Attiecībā uz šīm izteicieniem jēdziens izteiksmes vērtība ar mainīgajiem ir ieviests ar izvēlētajām mainīgo vērtībām. Mēs to sapratīsim, kas tas ir.

Definīcija.

Izteiksmes vērtība ar mainīgajiem lielumiem izvēlētajās mainīgo vērtībās To sauc par skaitliskās izteiksmes vērtību, kas iegūta pēc atlasīto mainīgo lielumu aizstāšanas sākotnējā izteiksmē.

Ļaujiet mums izskaidrot izteikto definīciju par piemēru. Apsveriet izteiksmi ar mainīgajiem lielumiem X un Y formas 3 · x · y + y. Lietojiet x \u003d 2 un y \u003d 4, mēs aizstājam šīs mainīgo lielumu vērtības sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam skaitlisku izteiksmi 3 · 2 · 4 + 4. Aprēķiniet šīs izteiksmes vērtību: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Atrastā vērtība 28 ir sākotnējās izteiksmes vērtība ar mainīgajiem 3 · x · y + y ar izvēlētajām mainīgo lielumu vērtībām x \u003d 2 un y \u003d 4.

Ja izvēlaties citas mainīgo vērtības, piemēram, X \u003d 5 un Y \u003d 0, tad šīs izvēlētās mainīgo vērtības atbilstu izteiksmes vērtībai ar mainīgajiem lielumiem, kas vienādi ar 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Jāatzīmē, ka dažreiz vienādas vērtības izteiksmes var iegūt dažādām izvēlētām mainīgajām vērtībām. Piemēram, x \u003d 9 un y \u003d 1, izteiksmes vērtība 3 · x · y + y ir 28 (kopš 3,9 · 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28), un iepriekš mēs esam parādījuši, ka tas pats Vērtība ir izteiksme ar mainīgajiem lielumiem ir x \u003d 2 un y \u003d 4.

Mainīgās vērtības var izvēlēties no atbilstošās tās. reģioni pieļaujamās vērtības. Pretējā gadījumā, aizstājot šo mainīgo vērtību sākotnējo izteiksmi, iegūst skaitlisku izteiksmi, kas nenozīmē. Piemēram, ja izvēlaties X \u003d 0, un aizvietojiet šo vērtību izteiksmei 1 / x, tad ciparu izteiksme 1/0, kas nav jēgas, jo sadalījums uz nulli nav definēts.

Tas joprojām ir tikai jāpiebilst, ka ir izteiksmes ar mainīgajiem lielumiem, kuru vērtības nav atkarīgas no vērtībām, kas iekļauti tajā iekļautās mainīgo. Piemēram, vērtība izteiksmes no mainīgā X formas 2 + xx nav atkarīga no vērtības šo mainīgo, tas ir vienāds ar 2 ar jebkuru izvēlēto vērtību mainīgo X no reģiona tās pieļaujamās vērtības, kas Šajā gadījumā ir daudzi spēkā esošie skaitļi.

Bibliogrāfija.

• Matemātika: Pētījumi. 5 cl. vispārējā izglītība. Iestādes / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Schwartzburg. - 21. ed., Ched. - m.: Mnemozina, 2007. - 280 p.: IL. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: pētījumi. 7 cl. vispārējā izglītība. Iestādes / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovskis. - 17. ed. - M.: Apgaismība, 2008. - 240 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: pētījumi. 8 cl. vispārējā izglītība. Iestādes / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovskis. - 16. ed. - m.: Apgaismība, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Ciparu un algebriskās izteiksmes. Izpaušanas pārveidošana.

Kas ir izteiksme matemātikā? Kāpēc man ir vajadzīgas izpausmju transformācijas?

Jautājums ir, kā viņi saka, interesanti ... Fakts ir tāds, ka šīs koncepcijas ir visas matemātikas pamats. Visa matemātika sastāv no izteiksmēm un to transformācijām. Nav ļoti skaidrs? Es paskaidrošu.

Pieņemsim, ka jums ir ļauns piemērs. Ļoti liels un ļoti sarežģīts. Pieņemsim, ka esat spēcīgs matemātikā un nebaidās no kaut ko! Vai jūs varat uzreiz atbildēt?

Jums būs atrisināt Šis piemērs. Konsekventi soli pa solim, šis piemērs vienkāršot. Saskaņā ar konkrētiem noteikumiem, protams. Tiem. darīt izpaušanas pārveidošana. Cik veiksmīga jūs pavadīsiet šīs transformācijas, tik ļoti tik spēcīga matemātikā. Ja jūs nezināt, kā padarīt pareizās transformācijas, matemātikā jūs nevarat darīt nekas...

Lai izvairītos no šādas neērta nākotnes (vai klāt ...), tas neliedz saprast šo tēmu.)

Lai sāktu, uzziniet kas ir matemātikas izteiksme. Kas skaitliskā izteiksme Un kas ir algebriskā izteiksme.

Kas ir izteiksme matemātikā?

Izteiksme matemātikā - Tas ir ļoti plašs jēdziens. Gandrīz viss, ar kuru mēs nodarbojamies ar matemātiku, ir matemātisko izteiksmju kopums. Jebkuri piemēri, formulas, frakcijas, vienādojumi un tā tālāk - tas viss sastāv no matemātiskās izpausmes.

3 + 2 ir matemātiska izteiksme. c 2 - D 2 - Tas ir arī matemātiska izteiksme. Un veselīga frakcija, un pat viens numurs ir visas matemātiskās izteiksmes. Piemēram, vienādojums tas ir:

5x + 2 \u003d 12

sastāv no diviem matemātiskiem izteicieniem, kas saistīti ar vienlīdzības zīmi. Viena izteiksme - pa kreisi, otrs ir pa labi.

Iebildums vispārējs jēdziens " matemātiskā izteiksme"Tas tiek izmantots, visbiežāk ne mazgāt. Ascend jūs, kas ir parasts frakcija, piemēram ,? un kā atbildēt?!

Pirmā atbilde: "Tas ... mmmm ... Šāda lieta ... Kurā ... vai es varu uzrakstīt labāku šāvienu? Kāda veida? "

Otrā atbildes iespēja: " Parastā frakcija - tas (jautri un priecīgs!) matemātiskā izteiksme kas sastāv no skaitītāja un saucēja! "

Otrā iespēja kaut kādā veidā būs apmierināta, vai ne?)

Šeit šim nolūkam frāze " matemātiskā izteiksme "Ļoti labi. Un pa labi un cieti. Bet praktisks pielietojums nepieciešams saprast labi specifiskas sugas matemātikā .

Īpašas sugas ir vēl viens jautājums. tā citas lietas! Katram matemātisko izteiksmju veidam ir tā paša Noteikumu un pieņemšanas kopums, kas jāizmanto, risinot. Lai strādātu ar frakcijām - viens komplekts. Strādāt ar trigonometriskiem izteicieniem - otro. Strādāt ar logaritmiem - trešo. Utt Kaut kur šie noteikumi sakrīt, kaut kur - tie ir strauji atšķiras. Bet nebaidieties no šiem briesmīgajiem vārdiem. Logaritmi, trigonometrija un citas noslēpumainas lietas mēs izpētīsim attiecīgajās sadaļās.

Šeit mēs apgūsim (vai - atkārtot kādu kā ...) divus galvenos matemātisko izteiksmju veidus. Skaitliskās izteiksmes un algebriskās izteiksmes.

Skaitliskās izteiksmes.

Kas skaitliskā izteiksme? Tas ir ļoti vienkāršs jēdziens. Nosaukums pati norāda, ka tas ir izteiksme ar cipariem. Tas ir, kā tas ir. Matemātiskā izteiksme, kas sastāv no vidū, kronšteiniem un aritmētiskās darbības zīmēm sauc par skaitlisku izteiksmi.

7-3 - skaitliskā izteiksme.

(8 + 3.2) · 5.4 - arī skaitliskā izteiksme.

Un šis monstrs:

arī skaitliskā izteiksme, jā ...

Parastais numurs, frakcija, jebkurš piemērs, aprēķinot bez IC un citām burtiem, ir visi skaitliskie izteikumi.

Galvenā zīme skaitlīgs izteiksmes - tajā nav burtu. Nē. Tikai numuri un matemātiskās ikonas (ja nepieciešams). Viss ir vienkāršs, vai ne?

Un ko var izdarīt ar skaitliskām izteiksmēm? Skaitliskās izteiksmes, kā likums, var apsvērt. Lai to izdarītu, tas notiek, tas notiek, atklājot kronšteinus, mainīt zīmes, lai samazinātu, mainītu līniju noteikumus - I.E. darīt izteikšanās konvertēšana. Bet par to ir nedaudz zemāks.

Šeit mēs risināsim tik smieklīgu gadījumu, kad ar skaitlisku izteiksmi nedariet neko.Nu, nav nekas! Šī patīkamā darbība ir nav ko darīt) - Perfect, kad izteiksme tas nav jēgas.

Kad ciparu izteiksme nav jēga?

Saprotams, ja mēs redzam kādu Abracadabra, piemēram,

tad nedariet neko, un mēs to nedarīsim. Tā kā nav skaidrs, ko darīt par to. Kāda veida muļķības. Ir tas, ka, lai aprēķinātu plusi skaitu ...

Bet ir ārēji labi pienācīgas izteiksmes. Piemēram, tas:

(2 + 3): (16 - 2 · 8)

Tomēr arī šī izteiksme tas nav jēgas! Vienkāršā iemesla dēļ, ka otrajā kronšteinos - ja jūs uzskatāt - izrādās nulle. Un par nulli nav iespējams dalīties! Tas ir aizliegts darboties matemātikā. Tāpēc nav nepieciešams kaut ko darīt ar šo izteiksmi. Ar jebkuru uzdevumu ar šādu izteiksmi, atbilde vienmēr būs viena: "Izteiksme nav jēga!"

Lai sniegtu šādu atbildi, man bija, protams, uzskatīt, ka būtu iekavās. Un dažreiz ir tādi iekavās, ... Nu, nekas nevar tikt darīts šeit.

Aizliegtie darbi matemātikā nav tik daudz. Šajā tēmā - tikai viens. Nodaļa ar nulli. Papildu tēmās tiek apspriestas papildu aizliegumi saknes un logaritmi.

Tātad, ideja par to, kas ir skaitliskā izteiksme - saņemts. Koncepcija skaitliskā izteiksme nav jēga - realizēts. Notiek.

Algebriskās izteiksmes.

Ja burti parādās skaitliskā izteiksmē - šī izteiksme kļūst ... Izteiksme kļūst ... jā! Tas kļūst algebriskā izteiksme. Piemēram:

5a 2; 3x-2y; 3 (Z-2); 3.4m / n; x 2 + 4x-4; (A + b) 2; ...

Vairāk šādu izteicieni burtu izteiksmes. Vai izteiksmes ar mainīgajiem. Tas ir praktiski tas pats. Izteiksme 5a + S., Piemēram, gan alfabēta, algebrisks, un izteiksme ar mainīgajiem lielumiem.

Koncepcija algebriskā izteiksme - platāks par skaitlisko. Tā ietilpst Un visas skaitliskās izteiksmes. Tiem. Skaitliskā izteiksme ir arī algebriskā izteiksme, tikai bez burtiem. Katrs selence - zivis, bet ne katra zivs - SELLINE ...)

Kāpēc burtisks - saprotams. Nu, jo burti ir ... frāze izteiksme ar mainīgajiem lielumiem Arī ne daudz mīklu. Ja jūs saprotat, ka numuri ir paslēpti zem burtiem. Visus numurus var paslēpt zem burtiem ... un 5, un -18, un neatkarīgi no tā. Tas ir, vēstule var būt aizvietot uz dažādi numuri. Tāpēc burti tiek saukti mainīgie.

Izteiksmē + 5., piemēram, w. - mainīgā vērtība. Vai viņi vienkārši saka " mainīgais mainīgais ", bez vārda "vērtība". Atšķirībā no pieciem pieciem, kas ir pastāvīga vērtība. Vai vienkārši - pastāvīgs.

Jēdziens algebriskā izteiksme nozīmē, ka, lai strādātu ar šo izteiksmi, jums ir jāizmanto likumi un noteikumi algebra. Ja aritmētika Strādā ar konkrētiem numuriem, tad algebra - ar visiem numuriem. Vienkāršs piemērs skaidrojumam.

Aritmētikā jūs varat pierakstīt to

Bet, ja mēs rakstām līdzīgu vienlīdzību, izmantojot algebriskos izteiksmes:

a + b \u003d b + a

mēs nekavējoties izlemt viss Jautājumi. Priekš visi numuri insults. Par visu nebeidzamo daudzumu. Jo zem burtiem bet un b. Nozīme viss numuri. Un ne tikai skaitļi, bet pat citas matemātiskas izteiksmes. Tādā veidā darbojas algebra.

Kad algebriskā izteiksme nav jēga?

Par skaitlisko izteiksmi viss ir skaidrs. Nav iespējams dalīties ar nulli. Un ar burtiem, vai jūs varat uzzināt, ko mēs sadalām?!

Piemēram, šeit ir šāda izteiksme ar mainīgajiem lielumiem:

2: (bet - 5)

Vai tas nozīmē? Jā, kas viņu pazīst? bet - jebkurš skaitlis ...

Kāds kāds ... bet ir viena vērtība betkurā šī izteiksme noteikti Tas nav jēgas! Un kāds ir numurs? Jā! Tas ir 5! Ja mainīgais bet Nomainiet (teiksim - "aizvietotājs") 5. numuram, iekavās nulle izrādīsies. Kas nav iespējams dalīties. Tāpēc izrādās, ka mūsu izteiksme tas nav jēgas, ja a \u003d 5.. Bet pie citām vērtībām bet Vai ir nozīme? Citi numuri var aizvietot?

Protams. Tikai šādos gadījumos teikts izteiksme

2: (bet - 5)

ir jēga par visām vērtībām bet, izņemot A \u003d 5 .

Visu skaitļu kopumu var aizstāj noteiktā izteiksmē sauc pieļaujamo vērtību platība Šī izteiksme.

Kā jūs varat redzēt, nekas nav viltīgs. Mēs skatāmies izteiksme ar mainīgajiem lielumiem, jā mēs saprotam: ar kādu vērtību mainīgā ir aizliegta darbība (nodaļa par nulli)?

Un tad mēs noteikti aplūkojam uzdevuma jautājumu. Ko tu jautā?

tas nav jēgas, mūsu aizliegtā vērtība un būs atbilde.

Ja jūs jautājat, ar kāda vērtība mainīga izteiksme ir nozīme (Feel atšķirība!), Atbilde būs visi pārējie numuriizņemot aizliegto.

Kāpēc mums ir nepieciešama izteiksmes nozīme? Viņš ir, nav tā ... Kāda ir atšķirība?! Fakts ir tāds, ka šī koncepcija kļūst ļoti svarīga vidusskolā. Ļoti svarīgi! Tas ir pamats šādām stabilām koncepcijām kā pieļaujamo vērtību apgabalā vai funkcijas noteikšanas funkciju. Bez tam jūs nevarat atrisināt nopietnus vienādojumus vai nevienlīdzību vispār. Kā šis.

Izpaušanas pārveidošana. Identiskas transformācijas.

Mēs iepazījāmies ar ciparu un algebrisko izteiksmēm. Viņi saprata, kāda frāze nozīmē "izteiksme nav jēgas." Tagad mums ir jāizskaidro, ko izpaušanas pārveidošana. Atbilde ir vienkārša, apkaunojumā.) Šī ir kāda darbība ar izteiksmi. Un tas ir tas. Jūs šīs transformācijas no pirmās klases.

Veikt stāvu skaitlisku izteiksmi 3 + 5. Kā to var pārveidot? Jā, ļoti vienkārši! Aprēķināt

Šis aprēķins ir izpausmes transformācija. Jūs varat pierakstīt to pašu izteiksmi citādi:

Šeit mēs neko nedarījām. Vienkārši uzrakstīja izteiksmi citā formā. Tas būs arī izpausmes pārveidošana. Jūs varat rakstīt šādi:

Un tas ir arī - izpausmes transformācija. Šādas transformācijas var radīt, cik daudz vēlaties.

Ikviens darbība virs izteiksmes jebkurš To ierakstīšana citā formā sauc par izteiksmes konvertēšanu. Un visas lietas. Viss ir ļoti vienkāršs. Bet ir viens Ļoti svarīgs noteikums. Tik svarīgi, ka tas var būt drosmīgs galvenais noteikums Visa matemātika. Šā noteikuma pārkāpums neizbēgami noved pie kļūdām. Ir nejauši?)

Pieņemsim, ka mēs pārveidojām savu izteiksmi, kā tas samazinājās, piemēram:

Pārveidošana? Protams. Mēs ierakstījām izteiksmi citā formā, kas šeit ir nepareizi?

Viss ir nepareizi.) Fakts ir tas, ka transformācijas "Kā hit" Matemātika vispār nav ieinteresētas.) Visa matemātika ir balstīta uz transformācijām, kurās tā mainās izskats, bet izteiksmes būtība nemainās. Trīs plus piecus var rakstīt jebkādā veidā, bet tai jābūt astoņiem.

Transformācijas nemainot izteiksmes būtību izsaukts identisks.

Tieši identiskas transformācijas un ļaujiet mums, soli pa solim pārvērst sarežģītu piemēru vienkāršā izteiksmē, turot piemērs būtība. Ja mēs pieļūstam kļūdas ķēdē transformāciju, mēs nav identisku konversiju, tad mēs izlemsim jau citi piemērs. Ar citām atbildēm, kas nav saistītas ar labo pusi.)

Šeit ir galvenais noteikums par jebkuru uzdevumu risināšanu: atbilstība pārveidojumu identitātei.

Piemērs ar ciparu izteiksmi 3 + 5 es cēla skaidrību. Algebriskajos izteiksmēs identiskas transformācijas tiek sniegtas ar formulām un noteikumiem. Saka, ka Algebra ir formula:

a (b + c) \u003d ab + ac

Tāpēc mēs varam jebkurā piemērā izteiksmes vietā a (b + c) Drosmīgi uzrakstiet izteiksmi ab + ac. Un otrādi. tā identiska konversija. Matemātika dod mums izvēlēties šos divus izteiksmes. Un kas no viņiem raksta - no Īpašs piemērs Atkarīgs no

Citu piemēru. Viena no svarīgākajām un nepieciešamajām transformācijām ir daļa no frakcijas galvenais īpašums. Jūs varat redzēt sīkāku informāciju, un šeit jūs vienkārši atceraties noteikumu: ja fraci skaitītājs un saucējs uz vienu un to pašu skaitu vai nevienlīdzīgu nulles izteiksmi, frakcija nemainīsies. Šeit ir piemērs identisku transformāciju par šo īpašumu:

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, šo ķēdi var turpināt bezgalības ...) Ļoti svarīgu īpašumu. Tas ir tas, kas ļauj jums pārvērst visus monstru piemērus baltā un pūkā.)

Formulas, kas nosaka identiskas transformācijas - daudz. Bet vissvarīgākais ir diezgan saprātīga summa. Viena no pamata transformācijām ir sadalīšanās reizinātāji. To izmanto visā matemātikā - no elementārā līdz augstākajam. No viņa un sākt. Nākamajā stundā.)

Ja jums patīk šī vietne ...

Starp citu, man ir vēl viena pāris interesantas vietnes jums.)

To var piekļūt, risinot piemērus un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju pārbaudi. Uzziniet - ar interesi!)

Jūs varat iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.