Բավականին հաճախ հնարավոր է նույնականացնել կարևոր հատկանիշներշարժումը մեխանիկական համակարգառանց համակարգի ինտեգրման դիմելու դիֆերենցիալ հավասարումներշարժումներ. Սա ձեռք է բերվում դինամիկայի ընդհանուր թեորեմների կիրառմամբ։

5.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Արտաքին և ներքին ուժեր.Մեխանիկական համակարգի մի կետի վրա ազդող ցանկացած ուժ անպայմանորեն կամ ակտիվ ուժ է կամ միացման ռեակցիա: Համակարգի կետերի վրա գործող ուժերի ամբողջ շարքը կարելի է տարբեր կերպ բաժանել երկու դասի՝ արտաքին և ներքին ուժեր (ցուցանիշները e և i - լատիներեն externus - արտաքին և internus - ներքին բառերից): Արտաքին ուժերը նրանք են, որոնք գործում են համակարգի կետերի վրա այն կետերից և մարմիններից, որոնք դիտարկվող համակարգի մաս չեն կազմում: Դիտարկվող համակարգի կետերի և մարմինների փոխազդեցության ուժերը կոչվում են ներքին։

Այս բաժանումը կախված է նրանից, թե որ նյութական կետերն ու մարմինները հետազոտողի կողմից ներառված են դիտարկվող մեխանիկական համակարգում։ Եթե ​​մենք ընդլայնենք համակարգի կազմը՝ ներառելով լրացուցիչ կետեր և մարմիններ, ապա որոշ ուժեր, որոնք արտաքին էին նախորդ համակարգի համար, կարող են ներքին դառնալ ընդլայնված համակարգի համար։

Ներքին ուժերի հատկությունները.Քանի որ այդ ուժերը համակարգի մասերի միջև փոխազդեցության ուժեր են, նրանք «երկուսի» մեջ մտնում են ներքին ուժերի ամբողջական համակարգ՝ կազմակերպված գործողություն-ռեակցիայի աքսիոմին համապատասխան: Յուրաքանչյուր այդպիսի «երկուսն» ունի ուժեղ կողմեր

հիմնական վեկտորը և հիմնական կետըկամայական կենտրոնի նկատմամբ հավասար են զրոյի: Քանի որ ներքին ուժերի ամբողջական համակարգը բաղկացած է միայն «երկուսից», ապա

1) ներքին ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը զրո է.

2) ներքին ուժերի համակարգի հիմնական մոմենտը կամայական կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի:

Համակարգի զանգվածը կոչվում է թվաբանական գումարՀամակարգը կազմող բոլոր կետերի և մարմինների tk զանգվածները.

Զանգվածի կենտրոն(իներցիայի կենտրոն) մեխանիկական համակարգի երկրաչափական կետն է C, որի շառավիղի վեկտորը և կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

որտեղ են համակարգը կազմող կետերի շառավղային վեկտորները և կոորդինատները:

Համար ամուր, գտնվում է միատեսակ ծանրության դաշտում, զանգվածի կենտրոնի և ծանրության կենտրոնի դիրքերը համընկնում են, մյուս դեպքերում դրանք տարբեր երկրաչափական կետեր են։

Իներցիալ հղման համակարգի հետ մեկտեղ հաճախ միաժամանակ դիտարկվում է ոչ իներցիոն հղման համակարգը, որը շարժվում է թարգմանաբար: Նրա կոորդինատային առանցքները (König axes) ընտրված են այնպես, որ սկզբնաղբյուր C-ն անընդհատ համընկնի մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի հետ։ Ըստ սահմանման՝ զանգվածի կենտրոնը անշարժ է Կոենիգի առանցքներում և գտնվում է կոորդինատների սկզբնաղբյուրում։

Համակարգի իներցիայի պահըառանցքի համեմատ սկալյար մեծություն է, որը հավասար է համակարգի բոլոր կետերի mk զանգվածների արտադրյալների գումարին առանցքի նկատմամբ դրանց հեռավորությունների քառակուսիներով.

Եթե ​​մեխանիկական համակարգը կոշտ մարմին է, 12-ը գտնելու համար կարող եք օգտագործել բանաձևը

որտեղ է խտությունը, մարմնի զբաղեցրած ծավալը.

ԲԵԼԱՌՈՒՍԻ ՀԱՆՐԱՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ԳՅՈՒՂԱՏՆՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՍՆՆԴԻ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ

Ուսումնական հաստատություն «ԲԵԼԱՌՈՒՍԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ԳՅՈՒՂԱՏՆ

ՏԵԽՆԻԿԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ»

Տեսական մեխանիկայի և մեխանիզմների և մեքենաների տեսության ամբիոն

ՏԵՍԱԿԱՆ ՄԵԽԱՆԻԿԱ

մեթոդական համալիր մասնագիտությունների ուսանողների համար

74 06 Ագրոինժեներություն

2 մասով Մաս 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Կազմեց՝

ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ Յու. Ս.Բիզա, թեկնածու տեխնիկական գիտություններ, դոցենտ Ն. Լ.Ռակովա, ավագ դասախոս. Ա.Տարասևիչ

Գրախոսներ.

«Բելառուսի ազգային տեխնիկական համալսարան» ուսումնական հաստատության տեսական մեխանիկայի բաժին (ղեկ.

Տեսական մեխանիկայի ամբիոն BNTU ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր Ա. Վ. Չիգարև);

Պետական ​​գիտական ​​ինստիտուտի մեքենաշինական միավորված ինստիտուտի թրթռումային պաշտպանության մեխանիկական համակարգերի լաբորատորիայի առաջատար գիտաշխատող

Բելառուսի ԳԱԱ», տեխնիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ Ա.Մ.Գոման

Տեսական մեխանիկա. Բաժին «Դինամիկա»՝ կրթական

T33 մեթոդ. համալիր. 2 մասով / Կազմող՝ Յու Ս. Բիզա, Ն. Լ. Ռակովա, Ի. – Մինսկ: BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8։

Ուսումնամեթոդական համալիրում ներկայացված են «Տեսական մեխանիկա» առարկայի մաս կազմող «Դինամիկա» բաժնի 1-ին մասի ուսումնասիրման նյութեր։ Ներառում է դասախոսությունների դասընթաց, կատարման հիմնական նյութեր գործնական պարապմունքներ, հանձնարարություններ և հանձնարարականների նմուշներ ինքնուրույն աշխատանքի և հսկողության համար կրթական գործունեությունլրիվ և հեռակա ուսանողներ.

UDC 531.3 (07) BBK 22.213ya7

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Տեսական մեխանիկան գիտություն է մեխանիկական շարժման, նյութական մարմինների հավասարակշռության և փոխազդեցության ընդհանուր օրենքների մասին։

Սա հիմնարար ընդհանուր գիտական ​​ֆիզիկամաթեմատիկական առարկաներից է։ Դա ժամանակակից տեխնիկայի տեսական հիմքն է։

Տեսական մեխանիկայի ուսումնասիրությունը, ֆիզիկամաթեմատիկական այլ առարկաների հետ մեկտեղ, օգնում է ընդլայնել գիտական ​​հորիզոնները, զարգացնում է կոնկրետ և վերացական մտածողության կարողությունը և օգնում է բարելավել ապագա մասնագետի ընդհանուր տեխնիկական մշակույթը:

Տեսական մեխանիկան, լինելով բոլոր տեխնիկական առարկաների գիտական ​​հիմքը, նպաստում է հմտությունների զարգացմանը. ռացիոնալ որոշումներԳյուղատնտեսական և հողային ռեկուլտիվացիոն մեքենաների և սարքավորումների շահագործման, վերանորոգման և նախագծման հետ կապված ինժեներական առաջադրանքներ.

Ելնելով քննարկվող խնդիրների բնույթից՝ մեխանիկան բաժանվում է ստատիկի, կինեմատիկայի և դինամիկայի։ Դինամիկան տեսական մեխանիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների շարժումը կիրառական ուժերի ազդեցությամբ։

IN ուսումնական և մեթոդականհամալիրը (UMK) ներկայացնում է նյութեր «Դինամիկա» բաժինն ուսումնասիրելու համար, որը ներառում է դասախոսությունների դասընթաց, հիմնական նյութեր վարելու համար գործնական աշխատանք, առաջադրանքներ և կատարման նմուշներ համար ինքնուրույն աշխատանքև մշտական ​​և հեռակա ուսանողների կրթական գործունեության մոնիտորինգ:

IN «Դինամիկա» բաժինն ուսումնասիրելու արդյունքում ուսանողը պետք է սովորի տեսական հիմքերըդինամիկան և տիրապետել դինամիկայի խնդիրների լուծման հիմնական մեթոդներին.

Իմանալ դինամիկայի խնդիրների լուծման մեթոդներ, ընդհանուր թեորեմներդինամիկա, մեխանիկայի սկզբունքներ;

Կարողանալ որոշել մարմնի շարժման օրենքները՝ կախված դրա վրա ազդող ուժերից. կիրառել մեխանիկայի օրենքներն ու թեորեմները խնդիրները լուծելու համար. որոշել մարմինների շարժումը սահմանափակող կապերի ստատիկ և դինամիկ ռեակցիաները.

«Տեսական մեխանիկա» առարկայի ուսումնական ծրագրով նախատեսված է դասասենյակային ժամերի ընդհանուր քանակը՝ 136, որից 36 ժամ «Դինամիկա» բաժինն ուսումնասիրելու համար:

1. ԿՐԹԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼԻՐԻ ԳԻՏԱՏԵՍԱԿԱՆ ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ.

1.1. Բառարան

Ստատիկան մեխանիկայի մի հատված է, որը սահմանում է ուժերի ընդհանուր դոկտրինան և ուսումնասիրում է կրճատումը բարդ համակարգերհաստատվում են ամենապարզ ձևի ուժերը և հավասարակշռության պայմանները տարբեր համակարգերուժ

Կինեմատիկան տեսական մեխանիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական առարկաների շարժումը՝ անկախ այդ շարժման պատճառներից, այսինքն՝ անկախ այդ օբյեկտների վրա ազդող ուժերից։

Դինամիկան տեսական մեխանիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների (կետերի) շարժումը կիրառական ուժերի ազդեցությամբ։

Նյութական կետ– նյութական մարմին, որի կետերի շարժման տարբերությունն աննշան է։

Մարմնի զանգվածը սկալյար դրական մեծություն է, որը կախված է տվյալ մարմնում պարունակվող նյութի քանակից և որոշում է նրա իներցիայի չափը թարգմանական շարժման ժամանակ։

Հղման համակարգը կոորդինատային համակարգ է, որը կապված է մարմնի հետ, որի նկատմամբ ուսումնասիրվում է մեկ այլ մարմնի շարժումը:

Իներցիոն համակարգ– համակարգ, որում բավարարվում են դինամիկայի առաջին և երկրորդ օրենքները:

Ուժի իմպուլսը որոշ ժամանակի ընթացքում ուժի գործողության վեկտորային միջոց է:

Նյութական կետի թափը – նրա շարժման վեկտորային չափումը, որը հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագության վեկտորի արտադրյալին:

Կինետիկ էներգիա- մեխանիկական շարժման սկալյար չափում:

Ուժի տարրական աշխատանքանվերջ փոքր սկալյար մեծություն է, որը հավասար է ուժի վեկտորի սկալյար արտադրյալին և ուժի կիրառման կետի անսահման փոքր տեղաշարժի վեկտորին։

Կինետիկ էներգիա- մեխանիկական շարժման սկալյար չափում:

Նյութական կետի կինետիկ էներգիան սկալյար էներգիա է

դրական մեծություն, որը հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագության քառակուսու արտադրյալի կեսին:

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիա - թվաբանություն

Այս համակարգի բոլոր նյութական կետերի կինետիկ էներգիաների տիկ գումարը:

Ուժը մարմինների մեխանիկական փոխազդեցության չափանիշ է, որը բնութագրում է դրա ինտենսիվությունը և ուղղությունը:

1.2. Դասախոսության թեմաները և բովանդակությունը

Բաժին 1. Ներածություն դինամիկայի. Հիմնական հասկացություններ

դասական մեխանիկա

Թեմա 1. Նյութական կետի դինամիկան

Նյութական կետի դինամիկայի օրենքներ (Գալիլեոյի - Նյուտոնի օրենքներ): Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Նյութական կետի դինամիկայի երկու հիմնական խնդիր. Դինամիկայի երկրորդ խնդրի լուծում; ինտեգրման հաստատունները և դրանց որոշումը նախնական պայմաններով:

Գրականություն:, էջ 180-196, , էջ 12-26։

Թեմա 2. Նյութի հարաբերական շարժման դինամիկան

Նյութական կետի հարաբերական շարժում. Կետի հարաբերական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ; շարժական և Coriolis իներցիոն ուժեր: Հարաբերականության սկզբունքը դասական մեխանիկայի մեջ. Հարաբերական խաղաղության դեպք.

Գրականություն՝ , էջ 180-196, , էջ 127-155։

Թեմա 3. Զանգվածների երկրաչափություն. Մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոն

Համակարգի զանգված. Համակարգի զանգվածի կենտրոնը և դրա կոորդինատները:

Գրականություն:, էջ 86-93, էջ 264-265

Թեմա 4. Կոշտ մարմնի իներցիայի պահերը

Կոշտ մարմնի իներցիայի պահերը՝ կապված առանցքի և բևեռի: Իներցիայի շառավիղ: Զուգահեռ առանցքների վերաբերյալ իներցիայի պահերի թեորեմ. Որոշ մարմինների իներցիայի առանցքային մոմենտներ.

Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը որպես մարմնի անհամաչափության հատկանիշ։

Գրականություն՝ , էջ 265-271, , էջ 155-173։

Բաժին 2. Ընդհանուր թեորեմներ նյութական կետի դինամիկայի վերաբերյալ

և մեխանիկական համակարգ

Թեմա 5. Համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմ

Համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմ. Համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի հետևանքները.

Գրականություն՝ , էջ 274-277, , էջ 175-192։

Թեմա 6. Նյութական կետի իմպուլս

և մեխանիկական համակարգ

Նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի շարժման մեծությունը: Տարրական իմպուլս և ուժային իմպուլս որոշակի ժամանակահատվածում: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ ձևերով կետի և համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ: Իմպուլսի պահպանման օրենքը.

Գրականություն՝ , էջ 280-284, , էջ 192-207։

Թեմա 7. Նյութական կետի իմպուլս

և մեխանիկական համակարգը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ

Կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ կետի իմպուլսի պահը: Թեորեմ կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին. Մեխանիկական համակարգի կինետիկ մոմենտը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ:

Պտտվող կոշտ մարմնի կինետիկ մոմենտը պտտման առանցքի շուրջ: Համակարգի անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ. Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը.

Գրականություն՝ , էջ 292-298, , էջ 207-258։

Թեմա 8. Ուժերի աշխատանքը և ուժը

Ուժի տարրական աշխատանք, դրա վերլուծական արտահայտությունը. Վերջնական ճանապարհի վրա ուժի կողմից կատարված աշխատանք: Ձգողության աշխատանք, առաձգական ուժ։ Պինդ մարմնում գործող ներքին ուժերի կողմից կատարված աշխատանքի գումարը հավասար է զրոյի։ Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի աշխատանքը: Իշխանություն. Արդյունավետություն.

Գրականություն՝ , էջ 208-213, , էջ 280-290։

Թեմա 9. Նյութական կետի կինետիկ էներգիա

և մեխանիկական համակարգ

Նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիա: Կոշտ մարմնի կինետիկ էներգիայի հաշվարկը նրա շարժման տարբեր դեպքերում: Քենիգի թեորեմը. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ ձևերով կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ: Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ ձևերով.

Գրականություն՝ , էջ 301-310, , էջ 290-344։

Թեմա 10. Պոտենցիալ ուժային դաշտ և ներուժ

Ուժային դաշտի հայեցակարգը. Պոտենցիալ ուժային դաշտ և ուժային ֆունկցիա: Պոտենցիալ ուժային դաշտում կետի վերջնական տեղաշարժի վրա ուժի աշխատանքը: Պոտենցիալ էներգիա.

Գրականություն՝ , էջ 317-320, , էջ 344-347։

Թեմա 11. Կոշտ մարմնի դինամիկա

Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման դիֆերենցիալ հավասարումը. Ֆիզիկական ճոճանակ. Կոշտ մարմնի հարթ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Գրականություն՝ , էջ 323-334, , էջ 157-173։

Բաժին 1. Ներածություն դինամիկայի. Հիմնական հասկացություններ

դասական մեխանիկա

Դինամիկան տեսական մեխանիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների (կետերի) շարժումը կիրառական ուժերի ազդեցությամբ։

նյութական մարմին- մարմին, որն ունի զանգված:

Նյութական կետ– նյութական մարմին, որի կետերի շարժման տարբերությունն աննշան է։ Սա կարող է լինել կամ մարմին, որի չափերը շարժման ընթացքում կարող են անտեսվել, կամ վերջավոր չափերի մարմին, եթե այն շարժվում է թարգմանաբար:

Նյութական կետերը կոչվում են նաև այն մասնիկներ, որոնց մեջ պինդ մարմինը հոգեպես քայքայվում է նրա որոշ դինամիկ բնութագրերը որոշելիս: Նյութական կետերի օրինակներ (նկ. 1). ա – Երկրի շարժումն Արեգակի շուրջ: Երկիրը նյութական կետ է. Պինդ մարմին - մայրիկ

al կետ, քանի որ V B = V A; a B = a A; գ - մարմնի պտույտ առանցքի շուրջ:

Մարմնի մասնիկը նյութական կետ է։

Իներցիան նյութական մարմինների հատկությունն է՝ կիրառվող ուժերի ազդեցությամբ փոխելու իրենց շարժման արագությունը ավելի արագ կամ դանդաղ։

Մարմնի զանգվածը սկալյար դրական մեծություն է, որը կախված է տվյալ մարմնում պարունակվող նյութի քանակից և որոշում է նրա իներցիայի չափը թարգմանական շարժման ժամանակ։ Դասական մեխանիկայի մեջ զանգվածը հաստատուն մեծություն է։

Ուժը մարմինների կամ մարմնի (կետի) և դաշտի (էլեկտրական, մագնիսական և այլն) մեխանիկական փոխազդեցության քանակական միջոց է։

Ուժը վեկտորային մեծություն է, որը բնութագրվում է մեծությամբ, կիրառման կետով և ուղղությամբ (գործողության գիծ) (նկ. 2. A - կիրառման կետ; AB - ուժի գործողության գիծ):

Բրինձ. 2

Դինամիկայի մեջ, հաստատուն ուժերի հետ մեկտեղ, կան նաև փոփոխական ուժեր, որոնք կարող են կախված լինել t ժամանակից, արագությունիցϑ, հեռավորությունից կամ այդ մեծությունների համակցությունից, այսինքն.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

էլեկտրական լոկոմոտիվ; c − F = F (r) – O կենտրոնից վանման ուժ կամ դեպի նրան ձգողություն։

Հղման համակարգը կոորդինատային համակարգ է, որը կապված է մարմնի հետ, որի նկատմամբ ուսումնասիրվում է մեկ այլ մարմնի շարժումը:

Իներցիոն համակարգը համակարգ է, որում բավարարվում են դինամիկայի առաջին և երկրորդ օրենքները։ Սա ֆիքսված կոորդինատային համակարգ է կամ համակարգ, որը շարժվում է միատեսակ և գծային:

Մեխանիկայի մեջ շարժումը մարմնի դիրքի փոփոխությունն է տարածության և ժամանակի մեջ այլ մարմինների նկատմամբ:

Դասական մեխանիկայի մեջ տարածությունը եռաչափ է, որը ենթարկվում է Էվկլիդեսյան երկրաչափությանը:

Ժամանակը սկալյար մեծություն է, որը հավասարապես հոսում է ցանկացած հղման համակարգում:

Միավորների համակարգը չափման միավորների հավաքածու է ֆիզիկական մեծություններ. Բոլոր մեխանիկական մեծությունները չափելու համար բավարար են երեք հիմնական միավորներ՝ երկարության, ժամանակի, զանգվածի կամ ուժի միավորներ:

Սրանցից են բխում մեխանիկական մեծությունների չափման մյուս բոլոր միավորները։ Օգտագործվում են միավորների երկու տեսակի համակարգեր՝ SI միավորների միջազգային համակարգ (կամ ավելի փոքր՝ GHS) և միավորների տեխնիկական համակարգ՝ ICGSS։

Թեմա 1. Նյութական կետի դինամիկան

1.1. Նյութական կետի դինամիկայի օրենքներ (Գալիլեո-Նյուտոնի օրենքներ)

Առաջին օրենքը (իներցիայի օրենք).

Արտաքին ազդեցություններից մեկուսացված նյութական կետը պահպանում է իր հանգստի վիճակը կամ շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ, մինչև կիրառվող ուժերը ստիպեն նրան փոխել այս վիճակը:

Այն շարժումը, որը կատարվում է կետի կողմից ուժերի բացակայության կամ ուժերի հավասարակշռված համակարգի գործողության ներքո, կոչվում է իներցիայով շարժում։

Օրինակ՝ մարմնի շարժումը հարթ երկայնքով (շփման ուժը զրոյական է)

հորիզոնական մակերես (նկ. 4. G – մարմնի քաշ, N – նորմալ հարթ ռեակցիա):

Քանի որ G = − N, ապա G + N = 0:

Երբ ϑ 0 ≠ 0 մարմինը շարժվում է նույն արագությամբ. երբ ϑ 0 = 0 մարմինը գտնվում է հանգստի վիճակում (ϑ 0 սկզբնական արագությունն է):

Երկրորդ օրենքը (դինամիկայի հիմնական օրենքը).

Կետի զանգվածի և այն արագացման արտադրյալը, որը նա ստանում է տվյալ ուժի ազդեցության տակ, մեծությամբ հավասար է այս ուժին, և նրա ուղղությունը համընկնում է արագացման ուղղության հետ։

ա բ

Մաթեմատիկորեն այս օրենքը արտահայտվում է վեկտորային հավասարությամբ

Երբ F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = Const – կետը շարժվում է հավասարաչափ և ուղղագիծ կամ ϑ 0 = 0 – այն գտնվում է հանգստի վիճակում (իներցիայի օրենք): Երկրորդ

օրենքը թույլ է տալիս կապ հաստատել Երկրի մակերևույթին մոտ գտնվող մարմնի m զանգվածի և նրա քաշի միջև G .G = մգ, որտեղ g է.

ձգողության արագացում.

Երրորդ օրենքը (գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենք): Երկու նյութական կետեր միմյանց վրա գործում են մեծությամբ հավասար ուժերով և ուղղված են միացնող ուղիղ գծի երկայնքով

այս կետերը հակառակ ուղղություններով են:

Քանի որ F 1 = − F 2 ուժերը կիրառվում են տարբեր կետերի վրա, ուժերի համակարգը (F 1 , F 2 ) հավասարակշռված չէ, այսինքն (F 1 , F 2 )≈ 0 (նկ. 6):

փոխազդող կետերի զանգվածները հակադարձ համեմատական ​​են դրանց արագացումներին։

Չորրորդ օրենքը (ուժերի գործողության անկախության օրենքը). Մի կետով ստացված արագացումը դրա վրա միաժամանակ գործելու ժամանակ

բայց մի քանի ուժեր, որոնք հավասար են այն արագացումների երկրաչափական գումարին, որոնք կետը կստանար, եթե յուրաքանչյուր ուժ կիրառվեր նրա վրա առանձին։

Բացատրություն (նկ. 7):

t a n

a 1 a kF n

Արդյունք ուժը R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Քանի որ ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = մարդ, ապա

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, այսինքն չորրորդ օրենքը համարժեք է.

k = 1

ուժերի ավելացման կանոնը.

1.2. Նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ

Թող մի քանի ուժեր միաժամանակ գործեն նյութական կետի վրա, որոնց մեջ կան և՛ հաստատուն, և՛ փոփոխական:

Եկեք գրենք դինամիկայի երկրորդ օրենքը ձևով

կետերը, ապա (1.2) պարունակում է r-ի ածանցյալներ և նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումն է վեկտորի տեսքով կամ նյութական կետի դինամիկայի հիմնական հավասարումը։

Վեկտորային հավասարության կանխատեսումներ (1.2). - դեկարտյան կոորդինատների առանցքի վրա (նկ. 8, ա)

Բնական առանցքի վրա (նկ. 8, բ)

mab = m0 = ∑ Fk բ

k = 1

M t oM oa

(1.3) և (1.4) հավասարումները նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ են, համապատասխանաբար, դեկարտյան կոորդինատային առանցքներում և բնական առանցքներում, այսինքն՝ բնական դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք սովորաբար օգտագործվում են կետի կորագիծ շարժման համար, եթե հայտնի է կետը և նրա կորության շառավիղը։

1.3. Նյութական կետի դինամիկայի երկու հիմնական խնդիր և դրանց լուծում

Առաջին (ուղիղ) առաջադրանքը.

Իմանալով շարժման օրենքը և կետի զանգվածը, որոշեք կետի վրա ազդող ուժը:

Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ կետի արագացումը: Այս տեսակի խնդիրներում այն ​​կարող է ուղղակիորեն ճշգրտվել կամ կետի շարժման օրենքը, որին համապատասխան կարելի է որոշել։

1. Այսպիսով, եթե կետի շարժումը նշված է դեկարտյան կոորդինատներով

x = f 1 (t), y = f 2 (t) և z = f 3 (t), ապա որոշվում են արագացման կանխատեսումները.

Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին.Մեխանիկական համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Թեորեմ մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին. Զանգվածի կենտրոնի շարժման պահպանման օրենքը.

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.Նյութական կետի շարժման չափը: Ուժի տարրական ազդակ. Ստիպել իմպուլսը որոշակի ժամանակահատվածի համար և դրա պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքներ. Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով նյութական կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.

Մեխանիկական համակարգի շարժման չափը; դրա արտահայտությունը համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագության միջոցով: Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ. Մեխանիկական իմպուլսի պահպանման օրենքը

(Փոփոխական զանգվածի մարմնի և կետի հայեցակարգը։ Մեշչերսկու հավասարումը։ Ցիոլկովսկու բանաձևը)։

Թեորեմ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին.Նյութական կետի իմպուլսի պահը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ: Թեորեմ նյութական կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին. Կենտրոնական իշխանություն. Նյութական կետի անկյունային իմպուլսի պահպանումը կենտրոնական ուժի դեպքում. (Սեկտորի արագության հայեցակարգը: Տարածքների օրենքը):

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի կամ կինետիկ մոմենտի հիմնական մոմենտը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ: Պտտվող կոշտ մարմնի կինետիկ մոմենտը պտտման առանցքի շուրջ: Մեխանիկական համակարգի կինետիկ մոմենտի փոփոխության թեորեմ. Մեխանիկական համակարգի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը. (Մեխանիկական համակարգի կինետիկ պահի փոփոխության թեորեմը հարաբերական շարժումզանգվածի կենտրոնի համեմատ):

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ.Նյութական կետի կինետիկ էներգիա. Ուժի տարրական աշխատանք; տարրական աշխատանքի վերլուծական արտահայտություն. Իր կիրառման կետի վերջնական տեղաշարժի վրա ուժի կատարած աշխատանքը: Ձգողության, առաձգական ուժի և գրավիտացիոն ուժի աշխատանքը: Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով նյութական կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ:

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիա. Կոշտ մարմնի կինետիկ էներգիան հաշվարկելու բանաձևեր փոխադրական շարժման, ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտման ժամանակ և ընդհանուր դեպքշարժում (մասնավորապես՝ հարթ զուգահեռ շարժումով)։ Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ: Պինդ մարմնում ներքին ուժերի կատարած աշխատանքի գումարը հավասար է զրոյի։ Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի աշխատանքը և ուժը:

Ուժային դաշտի հայեցակարգը. Պոտենցիալ ուժային դաշտ և ուժային ֆունկցիա: Ուժի կանխատեսումների արտահայտություն ուժի ֆունկցիայի միջոցով: Հավասար ներուժի մակերեսներ. Պոտենցիալ ուժային դաշտում կետի վերջնական տեղաշարժի վրա ուժի աշխատանքը: Պոտենցիալ էներգիա. Օրինակներ պոտենցիալ ուժերնոր դաշտեր՝ միասնական գրավիտացիոն դաշտ և գրավիտացիոն դաշտ: Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը.

Կոշտ մարմնի դինամիկա.Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման համար: Ֆիզիկական ճոճանակ. Կոշտ մարմնի հարթ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դ'Ալեմբերի սկզբունքը.Դ'Ալեմբերի սկզբունքը նյութական կետի համար. իներցիոն ուժ. Դ'Ալեմբերի սկզբունքը մեխանիկական համակարգի համար. Կոշտ մարմնի կետերի իներցիայի ուժերը կենտրոն բերելը. իներցիայի ուժերի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը:

(Առանցքակալների դինամիկ ռեակցիաների որոշումը հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման ժամանակ: Այն դեպքը, երբ պտտման առանցքը մարմնի իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքն է):

Հնարավոր շարժումների սկզբունքը և դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը:Մեխանիկական համակարգի վրա դրված միացումներ: Նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի հնարավոր (կամ վիրտուալ) շարժումներ: Համակարգի ազատության աստիճանների թիվը: Իդեալական կապեր. Հնարավոր շարժումների սկզբունքը. Ընդհանուր հավասարումխոսնակներ.

Համակարգի շարժման հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներում (Լագրանժի հավասարումներ).Համակարգի ընդհանրացված կոորդինատներ; ընդհանրացված արագություններ. Տարրական աշխատանքի արտահայտում ընդհանրացված կոորդինատներով. Ընդհանրացված ուժեր և դրանց հաշվարկ; պոտենցիալ ունեցող ուժերի դեպքը։ Համակարգի հավասարակշռության պայմանները ընդհանրացված կոորդինատներում: Համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներով կամ Լագրանժի 2-րդ տեսակի հավասարումներ։ Լագրանժի հավասարումներ պոտենցիալ ուժերի դեպքում; Լագրանժի ֆունկցիա (կինետիկ պոտենցիալ):

Հավասարակշռության կայունության հայեցակարգը: Մեկ աստիճանի ազատության մեխանիկական համակարգի փոքր ազատ թրթռումները համակարգի և դրանց հատկությունների կայուն հավասարակշռության դիրքի մոտ:

Ազդեցության տեսության տարրեր.Ազդեցության երևույթ. Հարվածի ուժ և հարվածի իմպուլս: Նյութական կետի վրա ազդեցության ուժի ազդեցությունը: Թեորեմ հարվածի ժամանակ մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության մասին. Մարմնի ուղիղ կենտրոնական ազդեցություն անշարժ մակերևույթի վրա. առաձգական և ոչ առաձգական ազդեցություններ. Ազդեցության վերականգնման գործակիցը և դրա փորձնական որոշումը: Երկու մարմինների ուղղակի կենտրոնական ազդեցություն. Կարնոյի թեորեմը.

ՀԻՄՆԱԿԱՆՆԵՐ

Հիմնական

Բուտենին Ն.Վ., Լունց Յա-Լ., Մերկին Դ.Ռ.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. T. 1, 2. M., 1985 և նախորդ հրատարակություններ:

Դոբրոնրավով Վ.Վ., Նիկիտին Ն.Ն.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մ., 1983։

Ստարժինսկի Վ.Մ.Տեսական մեխանիկա. Մ., 1980։

Թարգ Ս.Մ.Տեսական մեխանիկայի կարճ դասընթաց. Մ., 1986 և նախորդ հրատարակություններ։

Յաբլոնսկի Ա.Ա., Նիկիֆորովա Վ.Մ.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մաս 1. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Յաբլոնսկի Ա.Ա.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մաս 2. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Մեշչերսկի Ի.Վ.Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու։ Մ., 1986 և նախորդ հրատարակություններ։

Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու/Խմբ. Կ. Ս. Կոլեսնիկովա. Մ., 1983։

Լրացուցիչ

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S.Տեսական մեխանիկա օրինակներում և խնդիրներում. Մաս 1, 2. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L.և ուրիշներ, 1987 թ.

Նովոժիլով Ի.Վ., Զացեպին Մ.Ֆ.Տիպիկ համակարգչային հաշվարկներ տեսական մեխանիկայի մեջ: Մ., 1986 թ.

Առաջադրանքների ժողովածու համար դասընթացտեսական մեխանիկայի մասին / Էդ. Ա.Ա.Յաբլոնսկի. Մ., 1985 և նախորդ հրատարակություններ (պարունակում է խնդիրների լուծման օրինակներ)։

Առողջության ապահովագրության օգտագործումը խնդիրների լուծման համար կապված է որոշակի դժվարությունների հետ։ Հետեւաբար, սովորաբար լրացուցիչ հարաբերություններ են հաստատվում շարժման հատկանիշների եւ ուժերի միջեւ, որոնց համար առավել հարմար է գործնական կիրառություն. Նման հարաբերություններ են դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ.Նրանք, լինելով OMS-ի հետևանքները, հարաբերություններ են հաստատում շարժման որոշ հատուկ ներդրված միջոցների փոփոխման արագության և արտաքին ուժերի բնութագրերի միջև:

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ. Ներկայացնենք նյութական կետի իմպուլսի վեկտորի (Ռ. Դեկարտ) հասկացությունը (նկ. 3.4).

I i = t V Գ (3.9)

Բրինձ. 3.4.

Համակարգի համար մենք ներկայացնում ենք հայեցակարգը համակարգի իմպուլսի հիմնական վեկտորըորպես երկրաչափական գումար.

Q = Y, m "V r

OZMS-ի համաձայն՝ Xu, -^=i) , կամ X

R (E) .

Հաշվի առնելով, որ /w, = const ստանում ենք՝ -Ym,!" = R(E)

կամ վերջնական տեսքով

dO/di = A (E (3.11)

դրանք. Համակարգի իմպուլսի հիմնական վեկտորի ժամանակի նկատմամբ առաջին ածանցյալը հավասար է արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին:

Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին. Համակարգի զանգվածի կենտրոնկոչվում է երկրաչափական կետ, որի դիրքը կախված է Տ,և այլն: զանգվածի բաշխումից /g/, համակարգում և որոշվում է զանգվածի կենտրոնի շառավղային վեկտորի արտահայտությամբ (նկ. 3.5).

Որտեղ գ ս -զանգվածի կենտրոնի շառավիղի վեկտորը:

Բրինձ. 3.5.

Եկեք զանգենք = t համակարգի զանգվածի հետ։Արտահայտությունը բազմապատկելուց հետո

կիրառելով (3.12) հայտարարի վրա և տարբերակելով ստացվածի երկու կողմերը

մենք կունենանք արժեքավոր հավասարություն. գ ս տ ս = ^տ.Ու. = 0, կամ 0 = t s U s.

Այսպիսով, համակարգի իմպուլսի հիմնական վեկտորը հավասար է համակարգի զանգվածի և զանգվածի կենտրոնի արագության արտադրյալին։ Օգտագործելով իմպուլսի փոփոխության թեորեմը (3.11), մենք ստանում ենք.

t s dU s / dі = A (E) ,կամ

Բանաձևը (3.13) արտահայտում է զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմը. Համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է որպես նյութական կետ, որն ունի համակարգի զանգվածը, որի վրա գործում է արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը։

Թեորեմ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին. Ներկայացնենք նյութական կետի անկյունային իմպուլս հասկացությունը որպես նրա շառավիղի վեկտորի և իմպուլսի վեկտորային արտադրյալ.

դեպի օհ = բլ X որ, (3.14)

Որտեղ OI-ին -նյութական կետի իմպուլսի պահը ֆիքսված կետի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ(նկ. 3.6):

Այժմ մենք սահմանում ենք մեխանիկական համակարգի անկյունային իմպուլսը որպես երկրաչափական գումար.

К() = X ko, = ШУ, ? Ո-15>

Տարբերակելով (3.15)՝ մենք ստանում ենք.

Ґ վրկ--- X t i U. + g u X t i

Հաշվի առնելով դա = U G U i X t i u i= 0, և բանաձևը (3.2), մենք ստանում ենք.

сіК а /с1ї - ї 0 .

Հիմնվելով (3.6) երկրորդ արտահայտության վրա, մենք վերջապես կունենանք համակարգի անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի պահի առաջին անգամ ածանցյալը ֆիքսված O կենտրոնի նկատմամբ հավասար է այս համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտին՝ նույն կենտրոնի նկատմամբ:

Հարաբերությունը (3.16) բխեցնելիս ենթադրվում էր, որ ՄԱՍԻՆ- ֆիքսված կետ. Այնուամենայնիվ, կարելի է ցույց տալ, որ մի շարք այլ դեպքերում կապի ձևը (3.16) չի փոխվի, մասնավորապես, եթե հարթ շարժման ժամանակ մոմենտի կետն ընտրվում է զանգվածի կենտրոնում, արագությունների կամ արագացումների ակնթարթային կենտրոնում։ Բացի այդ, եթե կետը ՄԱՍԻՆհամընկնում է շարժվող նյութական կետի հետ, այս կետի համար գրված հավասարությունը (3.16) կվերածվի նույնականության 0 = 0:

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ. Երբ մեխանիկական համակարգը շարժվում է, փոխվում է համակարգի և՛ արտաքին, և՛ ներքին էներգիան: Եթե ​​ներքին ուժերի բնութագրերը՝ հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը, չեն ազդում հիմնական վեկտորի և արագացումների քանակի հիմնական պահի փոփոխության վրա, ապա. ներքին ուժերը կարող են ներառվել համակարգի էներգետիկ վիճակի գործընթացների գնահատման մեջ։Ուստի համակարգի էներգիայի փոփոխությունները դիտարկելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել առանձին կետերի շարժումները, որոնց նկատմամբ կիրառվում են նաև ներքին ուժեր։

Նյութական կետի կինետիկ էներգիան սահմանվում է որպես մեծություն

Տ^տւՑգ. (3.17)

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի նյութական կետերի կինետիկ էներգիաների գումարին.

Նշենք, որ Տ > 0.

Եկեք սահմանենք ուժի հզորությունը որպես ուժի վեկտորի և արագության վեկտորի սկալյար արտադրյալ.

Դիտարկենք նյութական օբյեկտների որոշակի համակարգի շարժումը ֆիքսված կոորդինատային համակարգի նկատմամբ, երբ համակարգը ազատ չէ, ապա այն կարելի է համարել ազատ, եթե մենք հրաժարվենք համակարգի վրա դրված կապերից և փոխարինենք դրանց գործողությունը համապատասխան ռեակցիաներով:

Եկեք համակարգի վրա կիրառվող բոլոր ուժերը բաժանենք արտաքին և ներքին. երկուսն էլ կարող են ներառել անտեսվածների ռեակցիաներ

կապեր. Նշանակենք հիմնական վեկտորը և արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտը Ա կետի նկատմամբ։

1. Թեորեմ իմպուլսի փոփոխության մասին.Եթե ​​համակարգի շարժման ծավալն է, ապա (տես)

այսինքն թեորեմը վավեր է՝ համակարգի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին։

Փոխարինելով վեկտորը նրա արտահայտությամբ, որտեղ է համակարգի զանգվածը, արդյո՞ք զանգվածի կենտրոնի արագությունը, հավասարմանը (4.1) կարելի է տալ այլ ձև.

Այս հավասարությունը նշանակում է, որ համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է նյութական կետի պես, որի զանգվածը հավասար է համակարգի զանգվածին և որի վրա կիրառվում է ուժ, որը երկրաչափորեն հավասար է համակարգի բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին։ Վերջին պնդումը կոչվում է համակարգի զանգվածի կենտրոնի (իներցիայի կենտրոնի) շարժման թեորեմ։

Եթե ​​ապա (4.1)-ից հետևում է, որ իմպուլսի վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն է: Նախագծելով այն կոորդինատային առանցքի վրա՝ մենք ստանում ենք երեք սկալյար առաջին ինտեգրալներ՝ համակարգի կրկնակի գլխարկի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Այս ինտեգրալները կոչվում են իմպուլսային ինտեգրալներ։ Երբ զանգվածի կենտրոնի արագությունը հաստատուն է, այսինքն՝ այն շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ։

Եթե ​​արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան մեկ առանցքի վրա, օրինակ առանցքի վրա, հավասար է զրոյի, ապա ունենք մեկ առաջին ինտեգրալ, կամ եթե հիմնական վեկտորի երկու պրոեկցիան հավասար է զրոյի, ապա կան երկու. իմպուլսի ինտեգրալներ։

2. Թեորեմ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին.Թող A-ն լինի տարածության ինչ-որ կամայական կետ (շարժվող կամ անշարժ), որը շարժման ողջ ընթացքում պարտադիր չէ, որ համընկնի համակարգի որևէ կոնկրետ նյութական կետի հետ։ Ֆիքսված կոորդինատային համակարգում նրա արագությունը նշում ենք A կետի նկատմամբ նյութական համակարգի կինետիկ մոմենտի փոփոխության թեորեմն ունի ձև.

Եթե ​​A կետը ամրագրված է, ապա հավասարությունը (4.3) ստանում է ավելի պարզ ձև.

Այս հավասարությունն արտահայտում է թեորեմը ֆիքսված կետի նկատմամբ համակարգի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին. համակարգի անկյունային իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը, որը հաշվարկվում է որոշ ֆիքսված կետի նկատմամբ, հավասար է բոլոր արտաքին ուժերի հարաբերական հիմնական մոմենտին։ մինչև այս կետը:

Եթե ​​ապա ըստ (4.4)-ի անկյունային իմպուլսի վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն է։ Այն նախագծելով կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք երկակի համակարգի դիֆերենցիալ հավասարումների սկալյար առաջին ինտեգրալները.

Այս ինտեգրալները կոչվում են իմպուլսային ինտեգրալներ կամ տարածքի ինտեգրալներ։

Եթե ​​A կետը համընկնում է համակարգի զանգվածի կենտրոնի հետ, ապա հավասարության աջ կողմում գտնվող առաջին անդամը (4.3) անհետանում է, իսկ անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմը գրելու նույն ձևն ունի (4.4), ինչ որ դեպքում. ֆիքսված կետ Ա. Նշում (տես. էջ 4 § 3), որ դիտարկվող դեպքում համակարգի բացարձակ անկյունային իմպուլսը հավասարության ձախ կողմում (4.4) կարող է փոխարինվել համակարգի հավասար անկյունային իմպուլսով։ զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ իր շարժման մեջ։

Թող լինի հաստատուն առանցք կամ հաստատուն ուղղության առանցք, որն անցնում է համակարգի զանգվածի կենտրոնով, և թող լինի համակարգի կինետիկ մոմենտը այս առանցքի նկատմամբ: (4.4)-ից հետևում է, որ

որտեղ է արտաքին ուժերի պահը առանցքի նկատմամբ: Եթե ​​ամբողջ շարժման ընթացքում ունենանք առաջին ինտեգրալը

S.A. Chaplygin-ի աշխատություններում ստացվել են կինետիկ իմպուլսի փոփոխության թեորեմի մի քանի ընդհանրացումներ, որոնք այնուհետև կիրառվել են գլորվող գնդակների վրա մի շարք խնդիրներ լուծելու համար։ Աշխատանքներում ներկայացված են մեխանիկական մոմենտի փոփոխության թեորեմի հետագա ընդհանրացումները և դրանց կիրառությունները կոշտ մարմինների դինամիկայի խնդիրներում։ Այս աշխատանքների հիմնական արդյունքները կապված են շարժվողի նկատմամբ կինետիկ իմպուլսի փոփոխության թեորեմի հետ, որն անընդհատ անցնում է շարժվող A կետով: Թող լինի միավոր վեկտոր՝ ուղղված այս առանցքի երկայնքով: Սանդղակի չափով բազմապատկելով հավասարության երկու կողմերով (4.3) և տերմինը գումարելով դրա երկու մասերին, մենք ստանում ենք.

Երբ կինեմատիկական պայմանը բավարարված է

(4.5) հավասարումը հետևում է (4.7): Իսկ եթե ամբողջ շարժման ընթացքում (4.8) պայմանը բավարարվում է, ապա գոյություն ունի առաջին ինտեգրալը (4.6):

Եթե ​​համակարգի միացումները իդեալական են և թույլ են տալիս, վիրտուալ տեղաշարժերի շարքում, համակարգի պտույտը որպես կոշտ մարմին առանցքի շուրջ և, ապա առանցքի նկատմամբ ռեակցիաների հիմնական պահը հավասար է զրոյի, ապա արժեքը (4.5) հավասարման աջ կողմը ներկայացնում է բոլոր արտաքին ակտիվ ուժերի հիմնական պահը առանցքի և . Այս պահի զրոյին հավասարությունը և (4.8) հարաբերության վավերականությունը բավարար պայմաններ կլինեն ինտեգրալի (4.6) գոյության համար դիտարկվող դեպքում:

Եթե ​​առանցքի ուղղությունը և հաստատուն է, ապա (4.8) պայմանը կգրվի ձևով

Այս հավասարությունը նշանակում է, որ զանգվածի կենտրոնի արագության և A կետի արագության կանխատեսումները առանցքի և դրան ուղղահայաց հարթության վրա զուգահեռ են։ S.A. Chaplygin-ի աշխատության մեջ (4.9-ի փոխարեն) պակաս, քան ընդհանուր վիճակորտեղ X-ը կամայական հաստատուն արժեք է:

Նկատի ունեցեք, որ պայմանը (4.8) կախված չէ կետի ընտրությունից: Իսկապես, թող P լինի կամայական կետ առանցքի վրա: Հետո

և հետևաբար

Եզրափակելով, մենք նշում ենք Ռեզալի (4.1) և (4.4) հավասարումների երկրաչափական մեկնաբանությունը. վեկտորների ծայրերի բացարձակ արագության վեկտորները և համապատասխանաբար հավասար են հիմնական վեկտորին և բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական մոմենտին A կետի նկատմամբ: .