6.1. ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄՆԵՐ

Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության և բժշկության տարբեր խնդիրներ լուծելիս շատ հաճախ հնարավոր չէ անմիջապես ֆունկցիոնալ հարաբերություններ հաստատել միացնող բանաձևի տեսքով. փոփոխականներ, որոնք նկարագրում են ուսումնասիրվող գործընթացը։ Սովորաբար դուք պետք է օգտագործեք հավասարումներ, որոնք բացի անկախ փոփոխականից և անհայտ ֆունկցիայից պարունակում են նաև դրա ածանցյալներ։

Սահմանում.Անկախ փոփոխականը, անհայտ ֆունկցիան և նրա տարբեր կարգերի ածանցյալները միացնող հավասարումը կոչվում է դիֆերենցիալ.

Անհայտ ֆունկցիա սովորաբար նշվում է y(x)կամ պարզապես y,և դրա ածանցյալները - y", y"և այլն:

Հնարավոր են նաև այլ նշանակումներ, օրինակ՝ եթե y= x (t), ապա x"(t), x""(t)- նրա ածանցյալները, և տ- անկախ փոփոխական:

Սահմանում.Եթե ​​ֆունկցիան կախված է մեկ փոփոխականից, ապա դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է սովորական։ Ընդհանուր տեսք սովորական դիֆերենցիալ հավասարում.

կամ

Գործառույթներ ՖԵվ զկարող է չպարունակել որոշ փաստարկներ, բայց որպեսզի հավասարումները դիֆերենցիալ լինեն, ածանցյալի առկայությունը էական է:

Սահմանում.Դիֆերենցիալ հավասարման կարգըկոչվում է դրանում ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգը։

Օրինակ՝ x 2 y"- y= 0, y» + մեղք x= 0 առաջին կարգի հավասարումներ են, և y"+ 2 y"+ 5 y= x- երկրորդ կարգի հավասարումը.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում է ինտեգրման գործողությունը, որը կապված է կամայական հաստատունի առաջացման հետ։ Եթե ​​ինտեգրման գործողությունը կիրառվում է nանգամ, ապա, ակնհայտորեն, լուծումը կպարունակի nկամայական հաստատուններ.

6.2. ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Ընդհանուր տեսք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումորոշվում է արտահայտությամբ

Հավասարումը չի կարող բացահայտորեն պարունակել xԵվ y,բայց անպայման պարունակում է y»:

Եթե ​​հավասարումը կարելի է գրել այսպես

ապա մենք ստանում ենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը լուծված է ածանցյալի նկատմամբ:

Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման (6.3) (կամ (6.4)) ընդհանուր լուծումը լուծումների բազմությունն է. , Որտեղ ՀԵՏ- կամայական հաստատուն.

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.

Կամայական հաստատուն տալը ՀԵՏտարբեր արժեքներ, կարելի է մասնակի լուծումներ ստանալ։ Ինքնաթիռում xOyընդհանուր լուծումներկայացնում է ինտեգրալ կորերի ընտանիք, որը համապատասխանում է յուրաքանչյուր կոնկրետ լուծմանը:

Եթե ​​դուք կետ եք դնում A (x 0, y 0),որի միջով պետք է անցնի ինտեգրալ կորը, ապա, որպես կանոն, ֆունկցիաների մի շարքից Կարելի է առանձնացնել մեկը՝ մասնավոր լուծում։

Սահմանում.Մասնավոր որոշումդիֆերենցիալ հավասարման լուծումն այն լուծումն է, որը կամայական հաստատուններ չի պարունակում:

Եթե ընդհանուր լուծում է, ապա վիճակից

դուք կարող եք գտնել հաստատուն ՀԵՏ.Վիճակը կոչվում է նախնական վիճակ.

Նախնական պայմանը բավարարող (6.3) կամ (6.4) դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրը. ժամը կանչեց Կոշի խնդիր.Այս խնդիրը միշտ լուծում ունի՞։ Պատասխանը պարունակվում է հետևյալ թեորեմում.

Քոշիի թեորեմ(լուծման գոյության և եզակիության թեորեմա). Թողեք դիֆերենցիալ հավասարումը y"= f(x,y)ֆունկցիան f(x,y)և նրան

մասնակի ածանցյալ որոշված ​​և շարունակական

շրջան Դ,կետ պարունակող Հետո տարածքում Դգոյություն ունի

միակ լուծումըսկզբնական պայմանը բավարարող հավասարում ժամը

Քոշիի թեորեմն ասում է, որ որոշակի պայմաններում գոյություն ունի եզակի ինտեգրալ կոր y= f(x),անցնելով մի կետով Կետեր, որոնց դեպքում թեորեմի պայմանները բավարարված չեն

Cauchies կոչվում են հատուկ.Այս կետերում այն ​​կոտրվում է զ(x, y) կամ.

Կամ մի քանի ինտեգրալ կորեր կամ ոչ մեկը չի անցնում եզակի կետով:

Սահմանում.Եթե ​​լուծումը (6.3), (6.4) գտնվել է ձևով զ(x, y, Գ)= 0, y-ի համեմատ չի թույլատրվում, ապա այն կոչվում է ընդհանուր ինտեգրալդիֆերենցիալ հավասարում.

Քոշիի թեորեմը միայն երաշխավորում է, որ լուծում կա: Քանի որ չկա լուծում գտնելու մեկ մեթոդ, մենք կքննարկենք միայն առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ տեսակներ, որոնք կարող են ինտեգրվել. քառակուսիներ.

Սահմանում.Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է ինտեգրելի քառակուսիների մեջ,եթե դրա լուծումը գտնելը հանգում է գործառույթների ինտեգրմանը:

6.2.1. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով

Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է հավասարում բաժանելի փոփոխականներ,

(6.5) հավասարման աջ կողմը երկու ֆունկցիայի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից։

Օրինակ, հավասարումը բաժանման հետ հավասարություն է

փոփոխականներով
և հավասարումը

չի կարող ներկայացված լինել (6.5) ձևով:

Հաշվի առնելով դա , ձևով վերագրում ենք (6.5):

Այս հավասարումից մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում առանձնացված փոփոխականներով, որում դիֆերենցիալները ֆունկցիաներ են, որոնք կախված են միայն համապատասխան փոփոխականից.

Տերմին առ տերմին ինտեգրելով՝ ունենք

որտեղ C = C 2 - C 1 - կամայական հաստատուն: Արտահայտությունը (6.6) (6.5) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։

Բաժանելով (6.5) հավասարման երկու կողմերը՝ մենք կարող ենք կորցնել այն լուծումները, որոնց համար՝ Իսկապես, եթե ժամը

Դա ակնհայտորեն (6.5) հավասարման լուծումն է:

Օրինակ 1.Գտեք հավասարման լուծումը, որը բավարարում է

պայման: y= 6 ժամը x= 2 (y(2) = 6).

Լուծում.Մենք կփոխարինենք y"ապա . Բազմապատկեք երկու կողմերը

dx,քանի որ հետագա ինտեգրման ժամանակ հնարավոր չէ հեռանալ dxհայտարարում:

այնուհետև երկու մասերը բաժանելով մենք ստանում ենք հավասարումը,

որը կարող է ինտեգրվել: Եկեք ինտեգրենք.

Հետո ; հզորացնելով, մենք ստանում ենք y = C: (x + 1) - ob-

ընդհանուր լուծում.

Օգտագործելով նախնական տվյալները՝ մենք որոշում ենք կամայական հաստատուն՝ դրանք փոխարինելով ընդհանուր լուծման մեջ

Վերջապես մենք ստանում ենք y= 2 (x + 1) որոշակի լուծում է: Դիտարկենք բաժանելի փոփոխականներով հավասարումների լուծման ևս մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2.Գտե՛ք հավասարման լուծումը

Լուծում.Հաշվի առնելով դա , ստանում ենք .

Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ունենք

որտեղ

Օրինակ 3.Գտե՛ք հավասարման լուծումը Լուծում.Մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք այն գործոնների, որոնք կախված են այն փոփոխականից, որը չի համընկնում դիֆերենցիալ նշանի տակ գտնվող փոփոխականի հետ, այսինքն. և ինտեգրվել: Հետո մենք ստանում ենք

և վերջապես

Օրինակ 4.Գտե՛ք հավասարման լուծումը

Լուծում.Իմանալով, թե ինչ ենք ստանալու: Բաժին

lim փոփոխականներ. Հետո

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք

Մեկնաբանություն. 1-ին և 2-րդ օրինակներում պահանջվող ֆունկցիան է yարտահայտված բացահայտ (ընդհանուր լուծում). Օրինակներ 3 և 4 - անուղղակիորեն (ընդհանուր ինտեգրալ): Հետագայում որոշման ձեւը չի հստակեցվի։

Օրինակ 5.Գտե՛ք հավասարման լուծումը Լուծում.

Օրինակ 6.Գտե՛ք հավասարման լուծումը , գոհացուցիչ

վիճակ y(e)= 1.

Լուծում.Հավասարումը գրենք ձևով

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով dxիսկ հետո մենք ստանում ենք

Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը (աջ կողմի ինտեգրալը վերցված է մասերով), մենք ստանում ենք

Բայց ըստ պայմանի y= 1 ժամը x= ե. Հետո

Փոխարինենք գտնված արժեքները ՀԵՏընդհանուր լուծման համար.

Ստացված արտահայտությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծում։

6.2.2. Առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ

Սահմանում.Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է միատարր,եթե այն կարող է ներկայացվել ձևով

Ներկայացնենք միատարր հավասարման լուծման ալգորիթմ.

1. Փոխարենը yեկեք ներկայացնենք նոր գործառույթ Այնուհետև և հետևաբար

2. Գործառույթի առումով u(6.7) հավասարումը ստանում է ձև

այսինքն փոխարինումը նվազում է միատարր հավասարումբաժանելի փոփոխականներով հավասարման։

3. Լուծելով (6.8) հավասարումը, սկզբում գտնում ենք u, իսկ հետո y= ux.

Օրինակ 1.Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Հավասարումը գրենք ձևով

Մենք կատարում ենք փոխարինումը.
Հետո

Մենք կփոխարինենք

Բազմապատկել dx-ով. Բաժանել ըստ xև շարունակ Հետո

Համապատասխան փոփոխականների վրա ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ունենք

կամ, վերադառնալով հին փոփոխականներին, մենք վերջապես ստանում ենք

Օրինակ 2.Լուծե՛ք հավասարումը Լուծում.Թող Հետո

Բաժանենք հավասարման երկու կողմերը x2: Եկեք բացենք փակագծերը և վերադասավորենք տերմինները.

Անցնելով հին փոփոխականներին՝ մենք հասնում ենք վերջնական արդյունքին.

Օրինակ 3.Գտե՛ք հավասարման լուծումը հաշվի առնելով, որ

Լուծում.Ստանդարտ փոխարինման կատարում մենք ստանում ենք

կամ

կամ

Սա նշանակում է, որ կոնկրետ լուծումն ունի ձև Օրինակ 4.Գտե՛ք հավասարման լուծումը

Լուծում.

Օրինակ 5.Գտե՛ք հավասարման լուծումը Լուծում.

Անկախ աշխատանք

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ տարանջատելի փոփոխականներով (1-9).

Գտեք միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում (9-18).

6.2.3. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ կիրառություններ

Ռադիոակտիվ քայքայման խնդիր

Ra-ի (ռադիումի) քայքայման արագությունը ժամանակի յուրաքանչյուր պահին համաչափ է նրա հասանելի զանգվածին։ Գտե՛ք Ra-ի ռադիոակտիվ քայքայման օրենքը, եթե հայտնի է, որ սկզբնական պահին եղել է Ra, իսկ Ra-ի կես կյանքը 1590 տարի է։

Լուծում.Թող որ ակնթարթում զանգվածը Ra լինի x= x(t)գ, և Այնուհետև Ra-ի քայքայման արագությունը հավասար է

Ըստ խնդրի պայմանների

Որտեղ կ

Վերջին հավասարման մեջ փոփոխականներն առանձնացնելով և ինտեգրելով՝ ստանում ենք

որտեղ

Որոշելու համար Գմենք օգտագործում ենք նախնական պայմանը` երբ .

Հետո և, հետևաբար,

Համաչափության գործոն կորոշվում է լրացուցիչ պայման:

մենք ունենք

Այստեղից և պահանջվող բանաձևը

Բակտերիաների վերարտադրության արագության խնդիր

Բակտերիաների վերարտադրության արագությունը համաչափ է նրանց թվին։ Սկզբում կար 100 բակտերիա։ 3 ժամվա ընթացքում նրանց թիվը կրկնապատկվեց։ Գտեք բակտերիաների քանակի կախվածությունը ժամանակից: Քանի՞ անգամ կավելանա բակտերիաների թիվը 9 ժամվա ընթացքում:

Լուծում.Թող x- բակտերիաների քանակը միաժամանակ տ.Այնուհետև, ըստ պայմանի.

Որտեղ կ- համաչափության գործակիցը.

Այստեղից Պայմանից հայտնի է դառնում, որ . Նշանակում է,

Լրացուցիչ պայմանից . Հետո

Գործառույթը, որը դուք փնտրում եք.

Այսպիսով, երբ տ= 9 x= 800, այսինքն՝ 9 ժամվա ընթացքում բակտերիաների թիվն ավելացել է 8 անգամ։

Ֆերմենտի քանակի ավելացման խնդիրը

Գարեջրի խմորիչի կուլտուրայում ակտիվ ֆերմենտի աճի արագությունը համաչափ է դրա սկզբնական քանակին. x.Ֆերմենտի նախնական քանակությունը ամեկ ժամվա ընթացքում կրկնապատկվել է: Գտեք կախվածություն

x(t).

Լուծում.Ըստ պայմանի՝ գործընթացի դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձևը

այստեղից

Բայց . Նշանակում է, Գ= աիսկ հետո

Հայտնի է նաև, որ

Հետևաբար,

6.3. ԵՐԿՐՈՐԴ ՇԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

6.3.1. Հիմնական հասկացություններ

Սահմանում.Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումհարաբերություն է, որը կապում է անկախ փոփոխականը, ցանկալի ֆունկցիան և նրա առաջին և երկրորդ ածանցյալները։

Հատուկ դեպքերում x-ը կարող է բացակայել հավասարումից, ժամըկամ y»: Այնուամենայնիվ, երկրորդ կարգի հավասարումը պետք է անպայման պարունակի y: Ընդհանուր դեպքում երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպ.

կամ, եթե հնարավոր է, երկրորդ ածանցյալի նկատմամբ լուծված ձևով.

Ինչպես առաջին կարգի հավասարման դեպքում, այնպես էլ երկրորդ կարգի հավասարման դեպքում կարող են լինել ընդհանուր և առանձին լուծումներ: Ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Հատուկ լուծում գտնելը

սկզբնական պայմաններում - տրված

թվեր) կոչվում է Կոշի խնդիր.Երկրաչափական առումով սա նշանակում է, որ մենք պետք է գտնենք ինտեգրալ կորը ժամը= y (x),անցնելով տրված կետով և ունենալով շոշափող այս կետում, որը

համընկնում է դրական առանցքի ուղղության հետ Եզնշված անկյունը. ե. (նկ. 6.1): Քոշիի խնդիրը ունի եզակի լուծում, եթե հավասարման աջ կողմը (6.10), անդադար

ընդհատված է և ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ ըհ, հը»սկզբնակետի ինչ-որ հարևանությամբ

հաստատուններ գտնելու համար ներառված մասնավոր լուծման մեջ, համակարգը պետք է լուծվի

Բրինձ. 6.1.Ինտեգրալ կոր

I. Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ

1.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Դիֆերենցիալ հավասարումը հավասարում է, որը կապված է անկախ փոփոխականի հետ x, պահանջվող ֆունկցիան yև դրա ածանցյալները կամ դիֆերենցիալները:

Խորհրդանշականորեն դիֆերենցիալ հավասարումը գրված է հետևյալ կերպ.

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է սովորական, եթե պահանջվող ֆունկցիան կախված է մեկ անկախ փոփոխականից:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումկոչվում է ֆունկցիա, որը այս հավասարումը վերածում է ինքնության:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգըայս հավասարման մեջ ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգն է

Օրինակներ.

1. Դիտարկենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը

Այս հավասարման լուծումը y = 5 ln x ֆունկցիան է: Իրոք, փոխարինող y"հավասարման մեջ մենք ստանում ենք ինքնությունը:

Եվ սա նշանակում է, որ y = 5 ln x– ֆունկցիան այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է:

2. Դիտարկենք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը y" - 5y" +6y = 0. Ֆունկցիան այս հավասարման լուծումն է։

Իսկապես, .

Փոխարինելով այս արտահայտությունները հավասարման մեջ՝ ստանում ենք.

Եվ սա նշանակում է, որ ֆունկցիան այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է։

Դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրումդիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ գտնելու գործընթացն է:

Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումկոչվում է ձևի ֆունկցիա , որը ներառում է այնքան անկախ կամայական հաստատուններ, որքան հավասարման կարգը։

Դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծումկամայական հաստատունների տարբեր թվային արժեքների ընդհանուր լուծումից ստացված լուծում է: Կամայական հաստատունների արժեքները հայտնաբերվում են փաստարկի և ֆունկցիայի որոշակի սկզբնական արժեքներում:

Դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծման գրաֆիկը կոչվում է ինտեգրալ կոր.

Օրինակներ

1. Գտեք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման կոնկրետ լուծում

xdx + ydy = 0, Եթե y= 4 ժամը x = 3.

Լուծում. Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք

Մեկնաբանություն. Ինտեգրման արդյունքում ստացված կամայական C հաստատունը կարող է ներկայացվել հետագա փոխակերպումների համար հարմար ցանկացած ձևով։ Այս դեպքում, հաշվի առնելով շրջանագծի կանոնական հավասարումը, հարմար է C կամայական հաստատունը ներկայացնել .

- դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Նախնական պայմանները բավարարող հավասարման առանձնահատուկ լուծում y = 4 ժամը x = 3-ը գտնվել է ընդհանուրից՝ նախնական պայմանները փոխարինելով ընդհանուր լուծման մեջ՝ 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

C=5-ը փոխարինելով ընդհանուր լուծման մեջ՝ ստանում ենք x 2 +y 2 = 5 2 .

Սա որոշակի լուծում է դիֆերենցիալ հավասարման, որը ստացվում է ընդհանուր լուծումից տվյալ սկզբնական պայմաններում:

2. Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Այս հավասարման լուծումը ձևի ցանկացած ֆունկցիա է, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է: Իրոք, փոխարինելով , հավասարումների մեջ, մենք ստանում ենք.

Հետևաբար, այս դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անսահման թվով լուծումներ, քանի որ C հաստատունի տարբեր արժեքների համար հավասարությունը որոշում է հավասարման տարբեր լուծումներ։

Օրինակ, ուղղակի փոխարինմամբ դուք կարող եք ստուգել, ​​որ գործառույթները հավասարման լուծումներ են։

Խնդիր, որի դեպքում պետք է գտնել հավասարման որոշակի լուծում y" = f(x,y)բավարարում է նախնական պայմանը y (x 0) = y 0, կոչվում է Կոշիի խնդիր։

Հավասարման լուծում y" = f(x,y)նախնական պայմանը բավարարող, y (x 0) = y 0, կոչվում է Քոշիի խնդրի լուծում։

Քոշիի խնդրի լուծումը պարզ երկրաչափական նշանակություն ունի. Իսկապես, ըստ այս սահմանումների, լուծել Քոշիի խնդիրը y" = f(x,y)հաշվի առնելով, որ y (x 0) = y 0, նշանակում է գտնել հավասարման ինտեգրալ կորը y" = f(x,y)որն անցնում է տվյալ կետով M 0 (x 0,y 0).

II. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

2.1. Հիմնական հասկացություններ

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի հավասարումն է F(x,y,y") = 0:

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ներառում է առաջին ածանցյալը և չի ներառում ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ:

Հավասարում y" = f(x,y)կոչվում է ածանցյալի նկատմամբ լուծված առաջին կարգի հավասարում։

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ձևի ֆունկցիա է, որը պարունակում է մեկ կամայական հաստատուն:

Օրինակ.Դիտարկենք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը:

Այս հավասարման լուծումը ֆունկցիան է։

Իսկապես, փոխարինելով այս հավասարումը իր արժեքով, մենք ստանում ենք

այսինքն 3x=3x

Հետևաբար ֆունկցիան C ցանկացած հաստատունի հավասարման ընդհանուր լուծումն է։

Գտեք այս հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանը y(1)=1Նախնական պայմանների փոխարինում x = 1, y = 1հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ մենք ստանում ենք, թե որտեղից C=0.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք որոշակի լուծում ընդհանուրից՝ այս հավասարման մեջ փոխարինելով ստացված արժեքը C=0- մասնավոր լուծում.

2.2. Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով

Բաժանելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի հավասարումն է. y"=f(x)g(y)կամ դիֆերենցիալների միջոցով, որտեղ f(x)Եվ g(y)- նշված գործառույթները:

Նրանց համար y, որի համար , հավասարումը y"=f(x)g(y)համարժեք է հավասարմանը, որում փոփոխականը yառկա է միայն ձախ կողմում, իսկ x փոփոխականը միայն աջ կողմում է: Ասում են՝ «հեղ. y"=f(x)g(yՏարանջատենք փոփոխականները»։

Ձևի հավասարումը կոչվում է տարանջատված փոփոխական հավասարում:

Հավասարման երկու կողմերի ինտեգրում Ըստ x, ստանում ենք G(y) = F(x) + Cհավասարման ընդհանուր լուծումն է, որտեղ G(y)Եվ F(x)– որոշ հակաածանցյալներ, համապատասխանաբար, ֆունկցիաների և f(x), Գկամայական հաստատուն.

Բաժանելի փոփոխականներով առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծման ալգորիթմ

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը y» = xy

Լուծում. Ֆունկցիայի ածանցյալ y"փոխարինել այն

եկեք առանձնացնենք փոփոխականները

Եկեք ինտեգրենք հավասարության երկու կողմերը.

Օրինակ 2

2 տարեկան» = 1- 3x 2, Եթե y 0 = 3ժամը x 0 = 1

Սա տարանջատված փոփոխական հավասարում է: Եկեք պատկերացնենք դա դիֆերենցիալներով։ Դա անելու համար մենք վերագրում ենք այս հավասարումը ձևի մեջ Այստեղից

Ինտեգրելով վերջին հավասարության երկու կողմերը՝ մենք գտնում ենք

Նախնական արժեքների փոխարինում x 0 = 1, y 0 = 3մենք կգտնենք ՀԵՏ 9=1-1+Գ, այսինքն. C = 9:

Հետևաբար, պահանջվող մասնակի ինտեգրալը կլինի կամ

Օրինակ 3

Գրի՛ր կետով անցնող կորի հավասարումը M(2;-3)և ունենալով շոշափում անկյունային գործակիցով

Լուծում. Ըստ պայմանի

Սա բաժանելի փոփոխականներով հավասարում է: Փոփոխականները բաժանելով՝ ստանում ենք.

Ինտեգրելով հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով նախնական պայմանները, x = 2Եվ y = - 3մենք կգտնենք Գ:

Հետևաբար, պահանջվող հավասարումն ունի ձև

2.3. Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի հավասարումն է y" = f(x)y + g(x)

Որտեղ f(x)Եվ g(x)- որոշ նշված գործառույթներ:

Եթե g(x)=0ապա գծային դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է միատարր և ունի ձև. y" = f(x)y

Եթե ​​ապա հավասարումը y" = f(x)y + g(x)կոչվում է տարասեռ:

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում y" = f(x)yտրված է բանաձևով՝ որտեղ ՀԵՏ- կամայական հաստատուն:

Մասնավորապես, եթե C = 0,ապա լուծումը y = 0Եթե ​​գծային միատարր հավասարումը ունի ձև յ» = կիՈրտեղ կորոշ հաստատուն է, ապա դրա ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

Գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում y" = f(x)y + g(x)տրված է բանաձևով ,

դրանք. հավասար է համապատասխան գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծման և այս հավասարման առանձին լուծման գումարին։

Ձևի գծային անհամասեռ հավասարման համար y" = kx + b,

Որտեղ կԵվ բ- որոշ թվեր և որոշակի լուծում կլինեն մշտական ​​գործառույթ: Հետևաբար, ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը y" + 2y +3 = 0

Լուծում. Ներկայացնենք հավասարումը ձևով y" = -2y - 3Որտեղ k = -2, b= -3Ընդհանուր լուծումը տրվում է բանաձևով.

Հետևաբար, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է:

2.4. Բեռնուլիի մեթոդով առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելը y" = f(x)y + g(x)նվազեցնում է երկու դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումն առանձնացված փոփոխականներով՝ օգտագործելով փոխարինումը y=uv, Որտեղ uԵվ v- անհայտ գործառույթներ x. Լուծման այս մեթոդը կոչվում է Բեռնուլիի մեթոդ։

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման լուծման ալգորիթմ

y" = f(x)y + g(x)

1. Մուտքագրեք փոխարինում y=uv.

2. Տարբերակել այս հավասարությունը y" = u"v + uv"

3. Փոխարինող yԵվ y"այս հավասարման մեջ. u"v + uv" =f(x)uv + g(x)կամ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Հավասարման անդամները խմբավորե՛ք այնպես, որ uհանել այն փակագծերից.

5. Փակագծից, այն հավասարեցնելով զրոյի, գտի՛ր ֆունկցիան

Սա բաժանելի հավասարում է.

Բաժանենք փոփոխականները և ստանանք.

Որտեղ . .

6. Փոխարինեք ստացված արժեքը vհավասարման մեջ (քայլ 4-ից).

և գտե՛ք ֆունկցիան Սա հավասարում է բաժանելի փոփոխականներով.

7. Ընդհանուր լուծումը գրի՛ր ձևով. , այսինքն. .

Օրինակ 1

Գտեք հավասարման կոնկրետ լուծում y" = -2y +3 = 0Եթե y =1ժամը x = 0

Լուծում. Եկեք լուծենք այն փոխարինման միջոցով y=uv,.y" = u"v + uv"

Փոխարինող yԵվ y"այս հավասարման մեջ մենք ստանում ենք

Երկրորդ և երրորդ անդամները խմբավորելով հավասարման ձախ կողմում՝ հանում ենք ընդհանուր գործակիցը u փակագծերից դուրս

Փակագծերում տրված արտահայտությունը հավասարեցնում ենք զրոյի և, լուծելով ստացված հավասարումը, գտնում ենք ֆունկցիան. v = v(x)

Մենք ստանում ենք հավասարում առանձնացված փոփոխականներով: Եկեք ինտեգրենք այս հավասարման երկու կողմերը. Գտեք ֆունկցիան v:

Փոխարինենք ստացված արժեքը vհավասարման մեջ մենք ստանում ենք.

Սա տարանջատված փոփոխական հավասարում է: Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը. Գտնենք ֆունկցիան u = u(x,c) Եկեք ընդհանուր լուծում գտնենք. Եկեք գտնենք սկզբնական պայմաններին բավարարող հավասարման որոշակի լուծում y = 1ժամը x = 0:

III. Բարձր կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

3.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որը պարունակում է երկրորդ կարգից ոչ բարձր ածանցյալներ: Ընդհանուր դեպքում երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպ. F(x,y,y,y") = 0

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ձևի ֆունկցիա է, որը ներառում է երկու կամայական հաստատուն. Գ 1Եվ Գ 2.

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում կամայական հաստատունների որոշակի արժեքների ընդհանուր լուծումից ստացված լուծումն է: Գ 1Եվ Գ 2.

3.2. Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներ.

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներովկոչվում է ձևի հավասարում y" + py" +qy = 0, Որտեղ էջԵվ ք- հաստատուն արժեքներ.

Հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1. Դիֆերենցիալ հավասարումը գրի՛ր ձևով. y" + py" +qy = 0.

2. Ստեղծի՛ր նրա բնորոշ հավասարումը` նշելով y"միջոցով r 2, y"միջոցով r, y 1-ում: r 2 + pr + q = 0

Կամ արդեն լուծվել են ածանցյալի նկատմամբ, կամ դրանք կարող են լուծվել ածանցյալի նկատմամբ .

Ինտերվալի վրա տիպի դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծում X, որը տրված է, կարելի է գտնել՝ վերցնելով այս հավասարության երկու կողմերի ինտեգրալը։

Մենք ստանում ենք .

Եթե ​​նայենք անորոշ ինտեգրալի հատկություններին, ապա կգտնենք ցանկալի ընդհանուր լուծումը.

y = F(x) + C,

Որտեղ F(x)- մեկը հակաածանցյալ գործառույթներ f(x)արանքում X, Ա ՀԵՏ- կամայական հաստատուն.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խնդիրների մեծ մասում միջակայքը Xմի նշեք. Սա նշանակում է, որ բոլորի համար պետք է լուծում գտնել։ x, որի համար և ցանկալի ֆունկցիան y, և սկզբնական հավասարումը իմաստ ունի:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել նախնական պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում y (x 0) = y 0, ապա ընդհանուր ինտեգրալը հաշվարկելուց հետո y = F(x) + C, դեռ անհրաժեշտ է որոշել հաստատունի արժեքը C = C 0, օգտագործելով նախնական պայմանը. Այսինքն՝ հաստատուն C = C 0որոշվում է հավասարումից F(x 0) + C = y 0, և դիֆերենցիալ հավասարման ցանկալի մասնակի լուծումը կունենա ձև.

y = F(x) + C 0.

Դիտարկենք օրինակ.

Գտնենք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը և ստուգենք արդյունքի ճիշտությունը։ Եկեք այս հավասարման որոշակի լուծում գտնենք, որը կբավարարի նախնական պայմանը:

Լուծում:

Տրված դիֆերենցիալ հավասարումը ինտեգրելուց հետո ստանում ենք.

.

Վերցնենք այս ինտեգրալը՝ օգտագործելով մասերի ինտեգրման մեթոդը.

Դա., դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Համոզվելու համար, որ արդյունքը ճիշտ է, եկեք ստուգենք: Դա անելու համար մենք գտած լուծումը փոխարինում ենք տրված հավասարման մեջ.

.

Այսինքն, երբ սկզբնական հավասարումը վերածվում է ինքնության.

ուստի ճիշտ է որոշվել դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը։

Մեր գտած լուծումը արգումենտի յուրաքանչյուր իրական արժեքի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է x.

Մնում է հաշվարկել ODE-ի որոշակի լուծում, որը կբավարարի նախնական պայմանը: Այսինքն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել հաստատունի արժեքը ՀԵՏ, որի դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ կլինի.

.

.

Այնուհետև փոխարինելով C = 2 ODE-ի ընդհանուր լուծման մեջ մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանը.

.

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում կարելի է լուծել ածանցյալի համար՝ հավասարման 2 կողմերը բաժանելով f(x). Այս փոխակերպումը համարժեք կլինի, եթե f(x)ոչ մի դեպքում չի դառնում զրոյի xդիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրման միջակայքից X.

Կան հավանական իրավիճակներ, երբ փաստարկի որոշ արժեքների համար x ∈ Xգործառույթները f(x)Եվ g(x)միաժամանակ դառնում է զրո: Համար նմանատիպ արժեքներ xդիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ցանկացած ֆունկցիա է y, որը սահմանված է դրանցում, քանի որ .

Եթե ​​որոշ արգումենտ արժեքների համար x ∈ Xպայմանը բավարարված է, ինչը նշանակում է, որ այս դեպքում ODE-ն լուծումներ չունի։

Մնացած բոլորի համար xընդմիջումից XԴիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը որոշվում է փոխակերպված հավասարումից:

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1.

Եկեք ընդհանուր լուծում գտնենք ODE-ի համար. .

Լուծում.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների հատկություններից պարզ է դառնում, որ բնական լոգարիթմի ֆունկցիան սահմանվում է փաստարկի ոչ բացասական արժեքների համար, հետևաբար՝ արտահայտության սահմանման տիրույթը։ ln(x+3)կա ընդմիջում x > -3 . Սա նշանակում է, որ տրված դիֆերենցիալ հավասարումը իմաստ ունի x > -3 . Այս փաստարկային արժեքների համար արտահայտությունը x+3չի անհետանում, այնպես որ դուք կարող եք լուծել ODE-ն ածանցյալի համար՝ բաժանելով 2 մասերը x + 3.

Մենք ստանում ենք .

Հաջորդը, մենք ինտեգրում ենք ստացված դիֆերենցիալ հավասարումը, որը լուծվում է ածանցյալի նկատմամբ. . Այս ինտեգրալը վերցնելու համար մենք օգտագործում ենք այն դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելու մեթոդը։