Ընդհանուր թեորեմներ մարմինների համակարգի դինամիկայի վերաբերյալ. Թեորեմներ զանգվածի կենտրոնի շարժման, իմպուլսի փոփոխության, հիմնական անկյունային իմպուլսի փոփոխության, կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին։ Դ'Ալեմբերի սկզբունքներն ու հնարավոր շարժումները. Ընդհանուր հավասարումխոսնակներ. Լագրանժի հավասարումներ.

Ընդհանուր թեորեմներ կոշտ մարմնի և մարմինների համակարգի դինամիկայի վերաբերյալ

Դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ- սա թեորեմ է զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին մեխանիկական համակարգ, իմպուլսի փոփոխության թեորեմը, հիմնական անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմը (կինետիկ իմպուլս) և թեորեմը մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության մասին։

Թեորեմ մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին

Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին.
Համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագացման արտադրյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի վեկտորային գումարին.
.

Այստեղ M-ը համակարգի զանգվածն է.
;
a C-ն համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագացումն է.
;
v C - համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագությունը.
;
r C - համակարգի զանգվածի կենտրոնի շառավիղի վեկտորը (կոորդինատները).
;
- համակարգը կազմող կետերի կոորդինատները (համեմատած ֆիքսված կենտրոնի հետ) և զանգվածները:

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ (մոմենտ)

Համակարգի շարժման (իմպուլսի) քանակըհավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածի արտադրյալին նրա զանգվածի կենտրոնի արագությամբ կամ համակարգը կազմող առանձին կետերի կամ մասերի իմպուլսի (իմպուլսների գումարի) գումարին.
.

Դիֆերենցիալ ձևով իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.
Համակարգի շարժման (իմպուլսի) քանակի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի վեկտորային գումարին.
.

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ ինտեգրալ ձևով.
Համակարգի իմպուլսի (իմպուլսի) փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է նույն ժամանակահատվածում արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարին.
.

Իմպուլսի պահպանման օրենք (իմպուլս).
Եթե ​​համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը զրո է, ապա համակարգի իմպուլսի վեկտորը հաստատուն կլինի։ Այսինքն, նրա բոլոր կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կպահպանեն մշտական ​​արժեքներ:

Եթե ​​որևէ առանցքի վրա արտաքին ուժերի կանխատեսումների գումարը զրո է, ապա այս առանցքի վրա համակարգի շարժման քանակի պրոյեկցիան հաստատուն կլինի:

Հիմնական անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ (պահերի թեորեմա)

Համակարգի հիմնական անկյունային իմպուլսը տրված O կենտրոնի նկատմամբ այն մեծությունն է, որը հավասար է այս կենտրոնի նկատմամբ համակարգի բոլոր կետերի անկյունային իմպուլսի վեկտորային գումարին.
.
Այստեղ քառակուսի փակագծերը նշանակում են խաչաձև արտադրյալ:

Կցված համակարգեր

Հետևյալ թեորեմը վերաբերում է այն դեպքին, երբ մեխանիկական համակարգն ունի ֆիքսված կետ կամ առանցք, որը ֆիքսված է իներցիոն հղման շրջանակի նկատմամբ։ Օրինակ՝ գնդաձեւ առանցքակալով ամրացված մարմին։ Կամ ֆիքսված կենտրոնի շուրջ շարժվող մարմինների համակարգ։ Այն կարող է լինել նաև ֆիքսված առանցք, որի շուրջ պտտվում է մարմինը կամ մարմինների համակարգը։ Այս դեպքում պահերը պետք է հասկանալ որպես ֆիքսված առանցքի նկատմամբ իմպուլսի և ուժերի պահեր:

Հիմնական անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ (պահերի թեորեմա)
Համակարգի հիմնական անկյունային իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը որոշ ֆիքսված O կենտրոնի նկատմամբ հավասար է համակարգի բոլոր արտաքին ուժերի մոմենտների գումարին նույն կենտրոնի նկատմամբ։

Հիմնական անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը (անկյունային իմպուլս).
Եթե ​​համակարգի վրա կիրառվող բոլոր արտաքին ուժերի պահերի գումարը տվյալ հաստատուն կենտրոնի O-ի նկատմամբ հավասար է զրոյի, ապա հիմնական կետըայս կենտրոնի նկատմամբ համակարգի շարժման չափը հաստատուն կլինի: Այսինքն, նրա բոլոր կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կպահպանեն մշտական ​​արժեքներ:

Եթե ​​որոշ ֆիքսված առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի մոմենտների գումարը զրո է, ապա այս առանցքի նկատմամբ համակարգի անկյունային իմպուլսը հաստատուն կլինի։

Կամայական համակարգեր

Հետևյալ թեորեմն ունի ունիվերսալ բնույթ. Այն վերաբերում է ինչպես ֆիքսված, այնպես էլ ազատ տեղաշարժվող համակարգերին: Ֆիքսված համակարգերի դեպքում անհրաժեշտ է հաշվի առնել ֆիքսված կետերում միացումների ռեակցիաները։ Նախորդ թեորեմից այն տարբերվում է նրանով, որ ֆիքսված O կետի փոխարեն պետք է վերցնել համակարգի C զանգվածի կենտրոնը։

Զանգվածի կենտրոնի մասին պահերի թեորեմ
Համակարգի հիմնական անկյունային իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը C զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ հավասար է համակարգի բոլոր արտաքին ուժերի մոմենտների գումարին նույն կենտրոնի նկատմամբ։

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը.
Եթե ​​C զանգվածի կենտրոնի նկատմամբ համակարգի վրա կիրառվող բոլոր արտաքին ուժերի մոմենտների գումարը հավասար է զրոյի, ապա այս կենտրոնի նկատմամբ համակարգի իմպուլսի հիմնական մոմենտը հաստատուն կլինի։ Այսինքն, նրա բոլոր կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կպահպանեն մշտական ​​արժեքներ:

Մարմնի իներցիայի պահը

Եթե ​​մարմինը պտտվում է z առանցքի շուրջՀետ անկյունային արագությունω z, ապա նրա անկյունային իմպուլսը (կինետիկ պահը) z առանցքի նկատմամբ որոշվում է բանաձևով.
L z = J z ω z,
որտեղ J z-ը մարմնի իներցիայի պահն է z առանցքի նկատմամբ։

Z առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահըորոշվում է բանաձևով.
,
որտեղ h k-ն m k զանգվածի կետից z առանցքի հեռավորությունն է:
M զանգվածով և R շառավղով բարակ օղակի համար կամ գլան, որի զանգվածը բաշխված է եզրագծի երկայնքով,
J z = M R 2 .
Պինդ համասեռ օղակի կամ գլանների համար,
.

Շտայներ-Հույգենսի թեորեմ.
Թող Cz-ը լինի մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքը, Օզը՝ դրան զուգահեռ առանցքը: Այնուհետև այս առանցքների նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահերը կապված են հարաբերությամբ.
J Oz = J Cz + M a 2 ,
որտեղ M-ը մարմնի քաշն է; a-ն առանցքների միջև եղած հեռավորությունն է:

Ավելին ընդհանուր դեպք :
,
որտեղ է մարմնի իներցիայի տենզորը:
Ահա մի վեկտոր, որը գծված է մարմնի զանգվածի կենտրոնից մինչև m k զանգված ունեցող կետ:

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ

Թող M զանգվածով մարմին կատարի փոխադրական և պտտվող շարժում ω անկյունային արագությամբ z որոշ առանցքի շուրջ:
,
Այնուհետև մարմնի կինետիկ էներգիան որոշվում է բանաձևով.
որտեղ v C-ն մարմնի զանգվածի կենտրոնի շարժման արագությունն է.

J Cz-ը մարմնի իներցիայի պահն է պտտման առանցքին զուգահեռ մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ։ Պտտման առանցքի ուղղությունը կարող է փոխվել ժամանակի ընթացքում: Այս բանաձևը տալիս է կինետիկ էներգիայի ակնթարթային արժեքը։
Դիֆերենցիալ ձևով համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ.
.

Համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ ինտեգրալ ձևով.
Որոշ շարժման ընթացքում համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը հավասար է համակարգի վրա կիրառվող բոլոր արտաքին և ներքին ուժերի այս շարժման վրա կատարված աշխատանքի գումարին.
.

Ուժի կատարած աշխատանքը, հավասար է ուժային վեկտորների սկալյար արտադրյալին և դրա կիրառման կետի անվերջ փոքր տեղաշարժին.
,
այսինքն՝ F և ds վեկտորների բացարձակ արժեքների արտադրյալը նրանց միջև անկյան կոսինուսով։

Ուժի պահով կատարված աշխատանքը, հավասար է ոլորող մոմենտների վեկտորների սկալյար արտադրյալին և պտտման անսահման փոքր անկյունին.
.

դ'Ալեմբերի սկզբունքը

Դ'Ալեմբերի սկզբունքի էությունը դինամիկայի խնդիրները ստատիկի խնդիրների վերածելն է: Դա անելու համար ենթադրվում է (կամ նախապես հայտնի է), որ համակարգի մարմիններն ունեն որոշակի (անկյունային) արագացումներ։ Այնուհետև ներկայացվում են իներցիոն ուժեր և (կամ) իներցիոն ուժերի մոմենտներ, որոնք մեծությամբ հավասար են և հակառակ ուժի ուժերին և մոմենտներին, որոնք, ըստ մեխանիկայի օրենքների, կստեղծեն տվյալ արագացումներ կամ անկյունային արագացումներ։

Դիտարկենք մի օրինակ։ Մարմինը ենթարկվում է փոխակերպման շարժմանը և դրա վրա գործում են արտաքին ուժեր։ Մենք այնուհետև ենթադրում ենք, որ այս ուժերը ստեղծում են համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագացում: Ըստ զանգվածի կենտրոնի շարժման թեորեմի՝ մարմնի զանգվածի կենտրոնը կունենա նույն արագացումը, եթե մարմնի վրա ուժ գործեր։ Հաջորդիվ ներկայացնում ենք իներցիայի ուժը.
.
Դրանից հետո դինամիկայի խնդիրը.
.
;
.

Պտտման շարժման համար շարունակեք նույն կերպ. Թող մարմինը պտտվի z առանցքի շուրջ և նրա վրա ազդեն M e zk ուժի արտաքին մոմենտները:
.
Մենք ենթադրում ենք, որ այս մոմենտները ստեղծում են ε z անկյունային արագացում։
;
.

Այնուհետև ներկայացնում ենք իներցիայի ուժերի պահը M И = - J z ε z:

Դրանից հետո դինամիկայի խնդիրը.

Ստատիկ խնդրի է վերածվում..
Հնարավոր շարժումների սկզբունքը

Ստատիկ խնդիրների լուծման համար օգտագործվում է հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը։ Որոշ խնդիրների դեպքում այն ​​տալիս է ավելի կարճ լուծում, քան հավասարակշռության հավասարումներ կազմելը: Սա հատկապես ճիշտ է միացումներով համակարգերի համար (օրինակ՝ թելերով և բլոկներով միացված մարմինների համակարգեր), որոնք բաղկացած են բազմաթիվ մարմիններից.Հնարավոր շարժումների սկզբունքը

Իդեալական միացումներով մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրա վրա գործող բոլոր ակտիվ ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը համակարգի ցանկացած հնարավոր շարժման համար հավասար լինի զրոյի։Համակարգի հնարավոր տեղափոխում

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարում (D'Alembert - Lagrange սկզբունք)

Դ'Ալեմբեր-Լագրանժի սկզբունքը Դ'Ալեմբերի սկզբունքի համադրություն է հնարավոր շարժումների սկզբունքի հետ։ Այսինքն՝ դինամիկ խնդիր լուծելիս ներմուծում ենք իներցիոն ուժեր և խնդիրը վերածում ստատիկ խնդրի, որը լուծում ենք՝ օգտագործելով հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը։

Դ'Ալեմբեր-Լագրանժի սկզբունքը.
Երբ շարժվում է իդեալական միացումներով մեխանիկական համակարգը, ժամանակի յուրաքանչյուր պահին բոլոր կիրառվող ակտիվ ուժերի և բոլոր իներցիոն ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը համակարգի ցանկացած հնարավոր շարժման վրա զրո է.
.
Այս հավասարումը կոչվում է դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը.

Լագրանժի հավասարումներ

Ընդհանրացված q կոորդինատներ 1 , q 2 , ..., q n n մեծությունների մի շարք է, որոնք եզակիորեն որոշում են համակարգի դիրքը։

Ընդհանրացված կոորդինատների թիվը n համընկնում է համակարգի ազատության աստիճանների թվի հետ։

Ընդհանրացված արագություններ t ժամանակի նկատմամբ ընդհանրացված կոորդինատների ածանցյալներ են։

Ընդհանրացված ուժեր Ք 1 , Q 2 , ..., Q n .
Դիտարկենք համակարգի հնարավոր շարժումը, որի դեպքում q k կոորդինատը կստանա δq k շարժում:
Մնացած կոորդինատները մնում են անփոփոխ: ԴA k-ն նման շարժման ընթացքում արտաքին ուժերի կատարած աշխատանքը։ Հետո
.

δA k = Q k δq k, կամ
Եթե ​​համակարգի հնարավոր շարժման դեպքում փոխվում են բոլոր կոորդինատները, ապա նման շարժման ընթացքում արտաքին ուժերի կատարած աշխատանքը ունի հետևյալ ձևը. δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Այնուհետև ընդհանրացված ուժերը տեղաշարժերի աշխատանքի մասնակի ածանցյալներն են. Համար պոտենցիալ ուժեր
.

Պ պոտենցիալով,Լագրանժի հավասարումներ

մեխանիկական համակարգի շարժման հավասարումներ են ընդհանրացված կոորդինատներով.
.

Այստեղ T-ն կինետիկ էներգիա է: Դա ընդհանրացված կոորդինատների, արագությունների և, հնարավոր է, ժամանակի ֆունկցիա է։ Հետևաբար, նրա մասնակի ածանցյալը նույնպես ընդհանրացված կոորդինատների, արագությունների և ժամանակի ֆունկցիա է։ Հաջորդը, դուք պետք է հաշվի առնեք, որ կոորդինատները և արագությունները ժամանակի գործառույթներ են: Հետևաբար, ժամանակի նկատմամբ ընդհանուր ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը.
Օգտագործված գրականություն. S. M. Targ,Կարճ դասընթաց

տեսական մեխանիկա, «Բարձրագույն դպրոց», 2010 թ.

(MECHANICAL SYSTEMS) – IV տարբերակ 1. Նյութական կետի դինամիկայի հիմնական հավասարումը, ինչպես հայտնի է, արտահայտվում է հավասարմամբ.Դիֆերենցիալ հավասարումներ

(1) Ոչ ազատ մեխանիկական համակարգի կամայական կետերի շարժումները ըստ ուժերի բաժանման երկու եղանակների կարելի է գրել երկու ձևով.

(2)

որտեղ է k-րդ կետի զանգվածը; - k-րդ կետի շառավիղի վեկտորը, - k-րդ կետի վրա գործող տրված (ակտիվ) ուժը կամ k-րդ կետի վրա ազդող բոլոր ակտիվ ուժերի արդյունքը. - k-րդ կետի վրա գործող կապի ռեակցիայի ուժերի արդյունքը. - k-րդ կետում գործող ներքին ուժերի արդյունքը. - k-րդ կետում գործող արտաքին ուժերի արդյունքը.

Օգտագործելով (1) և (2) հավասարումները՝ կարելի է ձգտել լուծել դինամիկայի և՛ առաջին, և՛ երկրորդ խնդիրները։ Այնուամենայնիվ, համակարգի դինամիկայի երկրորդ խնդրի լուծումը շատ բարդ է դառնում ոչ միայն մաթեմատիկական տեսանկյունից, այլ նաև այն պատճառով, որ մենք կանգնած ենք հիմնարար դժվարությունների առաջ։ Դրանք բաղկացած են նրանից, որ և՛ համակարգի (1), և՛ համակարգի համար (2), հավասարումների թիվը նշանակալի է քիչ թիվանհայտ.

Այսպիսով, եթե օգտագործենք (1), ապա երկրորդ (հակադարձ) խնդրի հայտնի դինամիկան կլինի և , իսկ անհայտները կլինեն և . Վեկտորային հավասարումները կլինեն « n», իսկ անհայտները` «2n»:

Եթե ​​ելնենք (2) հավասարումների համակարգից, ապա արտաքին ուժերի մի մասը հայտնի է։ Ինչու՞ բաժանվել: Փաստն այն է, որ արտաքին ուժերի թիվը ներառում է նաև կապերի արտաքին ռեակցիաներ, որոնք անհայտ են: Բացի այդ, անհայտ կլինի նաև.

Այսպիսով, և՛ համակարգը (1), և՛ համակարգը (2) ԱՆՓԱԿ են: Հարկավոր է ավելացնել հավասարումներ՝ հաշվի առնելով կապերի հավասարումները, և գուցե անհրաժեշտ է նաև որոշակի սահմանափակումներ դնել հենց կապերի վրա։ Ի՞նչ անել։

Եթե ​​սկսենք (1-ից), ապա կարող ենք գնալ Լագրանժի առաջին կարգի հավասարումներ կազմելու ճանապարհով։ Բայց այս ճանապարհը ռացիոնալ չէ, քանի որ ավելի հեշտ գործ(ազատության ավելի քիչ աստիճաններ), այնքան ավելի դժվար է լուծել մաթեմատիկական տեսանկյունից:

Ապա եկեք մեր ուշադրությունը դարձնենք համակարգին (2), որտեղ միշտ անհայտ են: Համակարգի լուծման առաջին քայլը այս անհայտությունների վերացումն է: Պետք է նկատի ունենալ, որ, որպես կանոն, մեզ չեն հետաքրքրում ներքին ուժերը, երբ համակարգը շարժվում է, այսինքն՝ երբ համակարգը շարժվում է, պետք չէ իմանալ, թե ինչպես է շարժվում համակարգի յուրաքանչյուր կետ, բայց դա բավական է. իմանալ, թե ինչպես է համակարգը շարժվում որպես ամբողջություն:

Այսպիսով, եթե տարբեր ձևերով(2) համակարգից բացառել անհայտ ուժերը, այնուհետև մենք ստանում ենք որոշ հարաբերություններ, այսինքն՝ հայտնվում են մի քանիսը ընդհանուր բնութագրերըհամակարգի համար, որի իմացությունը թույլ է տալիս դատել, թե ինչպես է համակարգը շարժվում ընդհանուր առմամբ: Այս բնութագրերը ներկայացվում են օգտագործելով այսպես կոչված դինամիկայի ընդհանուր թեորեմներ. Նման չորս թեորեմ կա.

1. Թեորեմ մասին մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժումը;

2. Թեորեմ մասին մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխություն;

3. Թեորեմ մասին մեխանիկական համակարգի կինետիկ պահի փոփոխություն;

4. Թեորեմ մասին մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխություն.

Բավականին հաճախ հնարավոր է մեկուսանալ կարևոր հատկանիշներմեխանիկական համակարգի շարժում՝ առանց շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի ինտեգրման դիմելու։ Սա ձեռք է բերվում դինամիկայի ընդհանուր թեորեմների կիրառմամբ։

5.1. Հիմնական հասկացություններ և սահմանումներ

Արտաքին և ներքին ուժեր.Մեխանիկական համակարգի մի կետի վրա ազդող ցանկացած ուժ անպայմանորեն կամ ակտիվ ուժ է կամ միացման ռեակցիա: Համակարգի կետերի վրա գործող ուժերի ամբողջ շարքը կարելի է տարբեր կերպ բաժանել երկու դասի՝ արտաքին և ներքին ուժեր (ցուցանիշները e և i - լատիներեն externus - արտաքին և internus - ներքին բառերից): Արտաքին ուժերը նրանք են, որոնք գործում են համակարգի կետերի վրա այն կետերից և մարմիններից, որոնք դիտարկվող համակարգի մաս չեն կազմում: Քննարկվող համակարգի կետերի և մարմինների փոխազդեցության ուժերը կոչվում են ներքին։

Այս բաժանումը կախված է նրանից, թե որ նյութական կետերն ու մարմինները հետազոտողի կողմից ներառված են դիտարկվող մեխանիկական համակարգում։ Եթե ​​դուք ընդլայնում եք համակարգի կազմը՝ ներառելով լրացուցիչ կետեր և մարմիններ, ապա որոշ ուժեր, որոնք արտաքին էին նախորդ համակարգի համար, կարող են ներքին դառնալ ընդլայնված համակարգի համար։

Ներքին ուժերի հատկությունները.Քանի որ այդ ուժերը համակարգի մասերի միջև փոխազդեցության ուժեր են, նրանք «երկուսի» մեջ մտնում են ներքին ուժերի ամբողջական համակարգ՝ կազմակերպված գործողություն-ռեակցիայի աքսիոմին համապատասխան: Յուրաքանչյուր այդպիսի «երկուսն» ունի ուժեղ կողմեր

կամայական կենտրոնի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը հավասար են զրոյի: Քանի որ ներքին ուժերի ամբողջական համակարգը բաղկացած է միայն «երկուսից», ապա

1) ներքին ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը զրո է.

2) ներքին ուժերի համակարգի հիմնական մոմենտը կամայական կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի:

Համակարգի զանգվածը կոչվում է թվաբանական գումարՀամակարգը կազմող բոլոր կետերի և մարմինների tk զանգվածները.

Զանգվածի կենտրոն(իներցիայի կենտրոն) մեխանիկական համակարգի երկրաչափական կետն է C, որի շառավիղի վեկտորը և կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

որտեղ են համակարգը կազմող կետերի շառավղային վեկտորները և կոորդինատները:

Այնուհետև ընդհանրացված ուժերը տեղաշարժերի աշխատանքի մասնակի ածանցյալներն են. ամուր, գտնվում է միատեսակ ծանրության դաշտում, զանգվածի կենտրոնի և ծանրության կենտրոնի դիրքերը համընկնում են, մյուս դեպքերում դրանք տարբեր երկրաչափական կետեր են։

Իներցիալ հղման համակարգի հետ մեկտեղ հաճախ միաժամանակ դիտարկվում է ոչ իներցիոն հղման համակարգը, որը շարժվում է թարգմանաբար: Նրա կոորդինատային առանցքները (König axes) ընտրված են այնպես, որ սկզբնաղբյուր C-ն անընդհատ համընկնի մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի հետ։ Ըստ սահմանման՝ զանգվածի կենտրոնն անշարժ է Կոենիգի առանցքներում և գտնվում է կոորդինատների սկզբնամասում։

Համակարգի իներցիայի պահըառանցքի համեմատ սկալյար մեծություն է, որը հավասար է համակարգի բոլոր կետերի mk զանգվածների արտադրյալների գումարին առանցքի նկատմամբ դրանց հեռավորությունների քառակուսիներով.

Եթե ​​մեխանիկական համակարգը կոշտ մարմին է, 12-ը գտնելու համար կարող եք օգտագործել բանաձևը

որտեղ է խտությունը, մարմնի զբաղեցրած ծավալը:

Մեխանիկական համակարգում ընդգրկված մեծ քանակությամբ նյութական կետերով, կամ եթե այն ներառում է բացարձակապես կոշտ մարմիններ () ոչ թարգմանական շարժում կատարող, շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի օգտագործումը մեխանիկական համակարգի դինամիկայի հիմնական խնդիրը լուծելու համար։ պարզվում է, որ գործնականում անհնար է: Սակայն շատ ինժեներական խնդիրներ լուծելիս կարիք չկա մեխանիկական համակարգի յուրաքանչյուր կետի շարժն առանձին որոշել։ Երբեմն բավական է եզրակացություններ անել ուսումնասիրվող շարժման գործընթացի կարևորագույն կողմերի մասին՝ առանց շարժման հավասարումների համակարգը ամբողջությամբ լուծելու։ Մեխանիկական համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումների այս եզրակացությունները կազմում են դինամիկայի ընդհանուր թեորեմների բովանդակությունը։ Ընդհանուր թեորեմները, առաջին հերթին, մեզ ազատում են յուրաքանչյուր առանձին դեպքում այն ​​մաթեմատիկական փոխակերպումները կատարելու անհրաժեշտությունից, որոնք ընդհանուր են տարբեր խնդիրների համար և կատարվում են մեկընդմիշտ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներից թեորեմներ հանելիս։ Երկրորդ՝ ընդհանուր թեորեմները կապ են ապահովում մեխանիկական համակարգի շարժման ընդհանուր ագրեգացված բնութագրերի միջև, որոնք ունեն հստակ ֆիզիկական նշանակություն։ Այս ընդհանուր բնութագրերը, ինչպիսիք են իմպուլսը, անկյունային իմպուլսը, մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան, կոչվում են մեխանիկական համակարգի շարժման չափումներ.

Շարժման առաջին չափումը մեխանիկական համակարգի շարժման մեծությունն է։

Նյութական կետի շարժման մեծությունը նրա շարժման վեկտորի չափն է, որը հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագության արտադրյալին.

.

Մեխանիկական համակարգի շարժման մեծությունը նրա շարժման վեկտորային չափումն է, որը հավասար է նրա կետերի շարժման մեծությունների գումարին.

, (13.1)

Փոխակերպենք բանաձևի աջ կողմը (23.1).

Որտեղ
- ամբողջ համակարգի զանգվածը,
- զանգվածի կենտրոնի արագությունը.

Հետևաբար, Մեխանիկական համակարգի շարժման մեծությունը հավասար է նրա զանգվածի կենտրոնի շարժման քանակին, եթե համակարգի ամբողջ զանգվածը կենտրոնացած է դրանում.

.

Իմպուլսային ուժ

Ուժի արտադրյալը և դրա գործողության տարրական ժամանակային միջակայքը
կոչվում է ուժի տարրական իմպուլս։

Ուժի ազդակ որոշակի ժամանակահատվածում կոչվում է ուժի տարրական իմպուլսի ինտեգրալ

.

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ

Թողեք յուրաքանչյուր կետի համար
մեխանիկական համակարգը գործում է որպես արտաքին ուժերի արդյունք և ներքին ուժերի արդյունքը .

Դիտարկենք մեխանիկական համակարգի դինամիկայի հիմնական հավասարումները

Հավասարումների (13.2) անդամ առ անդամ գումարելով nհամակարգի կետերը, մենք ստանում ենք

(13.3)

Աջ կողմի առաջին գումարը հավասար է հիմնական վեկտորին համակարգի արտաքին ուժերը. Երկրորդ գումարը հավասար է զրոյի՝ պայմանավորված համակարգի ներքին ուժերի հատկությամբ։ Եկեք դիտարկենք ձախ կողմըհավասարություններ (13.3):

Այսպիսով, մենք ստանում ենք.

, (13.4)

կամ կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում

(13.5)

Հավասարումները (13.4) և (13.5) արտահայտում են մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը.

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է մեխանիկական համակարգի բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին:

Այս թեորեմը կարող է ներկայացվել նաև ինտեգրալ ձևով՝ ժամանակի ընթացքում ինտեգրելով հավասարության երկու կողմերը (13.4). տ 0 դեպի տ:

, (13.6)

Որտեղ
, իսկ աջ կողմում գտնվող ինտեգրալը արտաքին ուժերի ազդակն է

ժամանակ տ-տ 0 .

Հավասարությունը (13.6) թեորեմը ներկայացնում է ինտեգրալ ձևով.

Վերջավոր ժամանակի ընթացքում մեխանիկական համակարգի իմպուլսի աճը հավասար է այս ընթացքում արտաքին ուժերի իմպուլսին:

Թեորեմը կոչվում է նաև իմպուլսի թեորեմ.

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում թեորեմը կգրվի այսպես.

Հետևանքներ (իմպուլսի պահպանման օրենքներ)

1). Եթե ​​դիտարկվող ժամանակահատվածի համար արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, ապա մեխանիկական համակարգի շարժման մեծությունը հաստատուն է, այսինքն. Եթե
,
.

2). Եթե ​​դիտարկվող ժամանակի ընթացքում արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան որևէ առանցքի վրա զրո է, ապա մեխանիկական համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիան այս առանցքի վրա հաստատուն է,

դրանք. Եթե
Դա
.

Թեորեմ զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին.Մեխանիկական համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Թեորեմ մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման մասին. Զանգվածի կենտրոնի շարժման պահպանման օրենքը.

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.Նյութական կետի շարժման չափը: Ուժի տարրական ազդակ. Ստիպել իմպուլսը որոշակի ժամանակահատվածի համար և դրա պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքներ. Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով նյութական կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ.

Մեխանիկական համակարգի շարժման չափը; դրա արտահայտությունը համակարգի զանգվածի և դրա զանգվածի կենտրոնի արագության միջոցով: Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ. Մեխանիկական իմպուլսի պահպանման օրենքը

(Փոփոխական զանգվածի մարմնի և կետի հայեցակարգը։ Մեշչերսկու հավասարումը։ Ցիոլկովսկու բանաձևը)։

Թեորեմ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին.Նյութական կետի իմպուլսի պահը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ: Թեորեմ նյութական կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին. Կենտրոնական իշխանություն. Նյութական կետի անկյունային իմպուլսի պահպանումը կենտրոնական ուժի դեպքում. (Սեկտորի արագության հայեցակարգը: Տարածքների օրենքը):

Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի կամ կինետիկ մոմենտի հիմնական պահը կենտրոնի և առանցքի նկատմամբ: Պտտվող կոշտ մարմնի կինետիկ մոմենտը պտտման առանցքի շուրջ: Մեխանիկական համակարգի կինետիկ մոմենտի փոփոխության թեորեմ. Մեխանիկական համակարգի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը. (Մեխանիկական համակարգի կինետիկ մոմենտի փոփոխության թեորեմը հարաբերական շարժումզանգվածի կենտրոնի համեմատ):

Կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ.Նյութական կետի կինետիկ էներգիա. Ուժի տարրական աշխատանք; տարրական աշխատանքի վերլուծական արտահայտություն. Իր կիրառման կետի վերջնական տեղաշարժի վրա ուժի կատարած աշխատանքը: Ձգողության, առաձգական ուժի և գրավիտացիոն ուժի աշխատանքը: Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով նյութական կետի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ:

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիա. Կոշտ մարմնի կինետիկ էներգիայի հաշվարկման բանաձևերը փոխադրական շարժման ժամանակ, ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտման և շարժման ընդհանուր դեպքում (մասնավորապես՝ հարթ զուգահեռ շարժման ժամանակ). Դիֆերենցիալ և վերջավոր ձևերով մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի փոփոխության թեորեմ. Պինդ մարմնում ներքին ուժերի կատարած աշխատանքի գումարը հավասար է զրոյի։ Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի աշխատանքը և ուժը:

Ուժային դաշտի հայեցակարգը. Պոտենցիալ ուժի դաշտ և ուժային ֆունկցիա: Ուժի կանխատեսումների արտահայտություն ուժի ֆունկցիայի միջոցով: Հավասար ներուժի մակերեսներ. Պոտենցիալ ուժային դաշտում կետի վերջնական տեղաշարժի վրա ուժի աշխատանքը: Պոտենցիալ էներգիա. Պոտենցիալ ուժային դաշտերի օրինակներ՝ միասնական գրավիտացիոն դաշտ և գրավիտացիոն դաշտ: Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը.

Կոշտ մարմնի դինամիկա.Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման համար: Ֆիզիկական ճոճանակ. Կոշտ մարմնի հարթ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դ'Ալամբերի սկզբունքը.Դ'Ալեմբերի սկզբունքը նյութական կետի համար; իներցիոն ուժ. Դ'Ալեմբերի սկզբունքը մեխանիկական համակարգի համար. Կոշտ մարմնի կետերի իներցիայի ուժերը կենտրոն բերելը. իներցիայի ուժերի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը:

(Առանցքակալների դինամիկ ռեակցիաների որոշումը հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման ժամանակ: Այն դեպքը, երբ պտտման առանցքը մարմնի իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքն է):

Հնարավոր շարժումների սկզբունքը և դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը:Մեխանիկական համակարգի վրա դրված միացումներ: Նյութական կետի և մեխանիկական համակարգի հնարավոր (կամ վիրտուալ) շարժումներ: Համակարգի ազատության աստիճանների թիվը: Իդեալական կապեր. Հնարավոր շարժումների սկզբունքը. Դինամիկայի ընդհանուր հավասարում.

Համակարգի շարժման հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներում (Լագրանժի հավասարումներ).Համակարգի ընդհանրացված կոորդինատներ; ընդհանրացված արագություններ. Տարրական աշխատանքի արտահայտում ընդհանրացված կոորդինատներով. Ընդհանրացված ուժեր և դրանց հաշվարկ; պոտենցիալ ունեցող ուժերի դեպքը։ Համակարգի հավասարակշռության պայմանները ընդհանրացված կոորդինատներում: Համակարգի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներով կամ 2-րդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ։ Լագրանժի հավասարումներ պոտենցիալ ուժերի դեպքում; Լագրանժի ֆունկցիա (կինետիկ պոտենցիալ):

Հավասարակշռության կայունության հայեցակարգը: Մեկ աստիճանի ազատության մեխանիկական համակարգի փոքր ազատ թրթռումները համակարգի և դրանց հատկությունների կայուն հավասարակշռության դիրքի մոտ:

Ազդեցության տեսության տարրեր.Ազդեցության երևույթ. Հարվածի ուժ և հարվածի իմպուլս: Նյութական կետի վրա ազդեցության ուժի ազդեցությունը: Թեորեմ հարվածի ժամանակ մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության մասին. Մարմնի ուղիղ կենտրոնական ազդեցություն անշարժ մակերևույթի վրա. առաձգական և ոչ առաձգական ազդեցություններ. Ազդեցության վերականգնման գործակիցը և դրա փորձնական որոշումը: Երկու մարմինների ուղղակի կենտրոնական ազդեցություն. Կարնոյի թեորեմը.

ՀԻՄՆԱԿԱՆՆԵՐ

Հիմնական

Բուտենին Ն.Վ., Լունց Յա-Լ., Մերկին Դ.Ռ.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. T. 1, 2. M., 1985 և նախորդ հրատարակություններ:

Դոբրոնրավով Վ.Վ., Նիկիտին Ն.Ն.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մ., 1983։

Ստարժինսկի Վ.Մ.Տեսական մեխանիկա. Մ., 1980։

Targ S. M.Տեսական մեխանիկայի կարճ դասընթաց. Մ., 1986 և նախորդ հրատարակություններ։

Յաբլոնսկի Ա.Ա., Նիկիֆորովա Վ.Մ.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մաս 1. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Յաբլոնսկի Ա.Ա.Տեսական մեխանիկայի դասընթաց. Մաս 2. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Մեշչերսկի Ի.Վ.Խնդիրների ժողովածու վրա տեսական մեխանիկա. Մ., 1986 և նախորդ հրատարակություններ։

Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու/Խմբ. Կ. Ս. Կոլեսնիկովա. Մ., 1983։

Լրացուցիչ

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S.Տեսական մեխանիկա օրինակներում և խնդիրներում. Մաս 1, 2. Մ., 1984 և նախորդ հրատարակություններ:

Տեսական մեխանիկայի խնդիրների ժողովածու/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L.և ուրիշներ, 1987 թ.

Նովոժիլով Ի.Վ., Զացեպին Մ.Ֆ.Տիպիկ համակարգչային հաշվարկներ տեսական մեխանիկայի մեջ: Մ., 1986 թ.

համար առաջադրանքների հավաքածու դասընթացտեսական մեխանիկայի մասին / Էդ. Ա.Ա.Յաբլոնսկի. Մ., 1985 և նախորդ հրատարակություններ (պարունակում է խնդիրների լուծման օրինակներ)։