Ovaj online matematički kalkulator pomoći će vam ako vam zatreba izračunati limit funkcije. Program granice rješenja ne samo da daje odgovor na problem, on vodi detaljno rješenje s objašnjenjima, tj. prikazuje postupak izračuna ograničenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce Srednja škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je brže moguće? domaća zadaća u matematici ili algebri? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjima.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, dok se razina edukacije u području rješavanja problema povećava.

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

Jer Puno je ljudi voljnih riješiti problem, vaš zahtjev je u redu čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Limit funkcije na x->x 0

Neka je funkcija f(x) definirana na nekom skupu X i neka točka \(x_0 \u X\) ili \(x_0 \ne u X\)

Uzmimo iz X niz točaka različitih od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergirajući prema x*. Vrijednosti funkcije u točkama ovog niza također čine numerički niz
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
te se može postaviti pitanje postojanja njegove granice.

Definicija. Broj A naziva se granica funkcije f(x) u točki x = x 0 (ili u x -> x 0), ako je za bilo koji niz (1) vrijednosti argumenta x različit od x 0 konvergirajući na x 0, odgovarajući niz (2) funkcije vrijednosti konvergira na broj A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcija f(x) može imati samo jednu granicu u točki x 0. To proizlazi iz činjenice da slijed
(f(x n)) ima samo jednu granicu.

Postoji još jedna definicija limita funkcije.

Definicija Broj A naziva se limitom funkcije f(x) u točki x = x 0 ako za bilo koji broj \(\varepsilon > 0\) postoji broj \(\delta > 0\) takav da za sve \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), zadovoljavajući nejednakost \(|x-x_0| Korištenjem logičkih simbola, ova se definicija može napisati kao
\((\forall \varepsilon > 0) (\postoji \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Primijetite da nejednakosti \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Prva definicija temelji se na konceptu limita brojčanog niza, pa se često naziva definicijom “u jeziku nizova.” Druga definicija se naziva definicijom “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”.
Ove dvije definicije limita funkcije su ekvivalentne i možete koristiti bilo koju od njih ovisno o tome koja je prikladnija za rješavanje određenog problema.

Imajte na umu da se definicija limita funkcije “u jeziku nizova” također naziva definicijom limita funkcije prema Heineu, a definicija limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)” naziva se i definicija limita funkcije prema Cauchyju.

Limit funkcije pri x->x 0 - i pri x->x 0 +

U nastavku ćemo koristiti pojmove jednostranih limesa funkcije koji su definirani na sljedeći način.

Definicija Broj A naziva se desnom (lijevom) granicom funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji niz (1) koji konvergira k x 0, čiji su elementi x n veći (manji od) x 0, odgovarajući niz (2) konvergira u A.

Simbolično je napisano ovako:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \lijevo(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \desno) $$

Možemo dati ekvivalentnu definiciju jednostranih limita funkcije “u jeziku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicija broj A naziva se desna (lijeva) granica funkcije f(x) u točki x 0 ako za bilo koji \(\varepsilon > 0\) postoji \(\delta > 0\) takav da za sve x zadovoljavajući nejednakosti \(x_0 Simbolični unosi:

Pogledajmo neke ilustrativne primjere.

Neka je x broj promjenjiva količina, X je područje njegove promjene. Ako je svakom broju x koji pripada X pridružen određeni broj y, tada se kaže da je funkcija definirana na skupu X i piše y = f(x).
Postavite X unutra u ovom slučaju- ravnina koja se sastoji od dva koordinatne osi– 0X i 0Y. Na primjer, zamislimo funkciju y = x 2. Osi 0X i 0Y tvore X - područje njegove promjene. Slika jasno pokazuje kako se funkcija ponaša. U tom slučaju kažu da je funkcija y = x 2 definirana na skupu X.

Skup Y svih parcijalnih vrijednosti funkcije naziva se skup vrijednosti f(x). Drugim riječima, skup vrijednosti je interval duž osi 0Y gdje je funkcija definirana. Prikazana parabola jasno pokazuje da je f(x) > 0, jer x2 > 0. Stoga će raspon vrijednosti biti . Gledamo mnoge vrijednosti prema 0Y.

Skup svih x naziva se domena od f(x). Gledamo mnoge definicije prema 0X i u našem slučaju raspon prihvatljivih vrijednosti je [-; +].

Točka a (a pripada ili X) naziva se graničnom točkom skupa X ako u bilo kojoj okolini točke a postoje točke skupa X različite od a.

Došlo je vrijeme da shvatimo što je granica funkcije?

Poziva se čisti b kojemu funkcija teži dok x teži broju a granica funkcije. Ovo je napisano na sljedeći način:

Na primjer, f(x) = x 2. Moramo saznati čemu funkcija teži (nije jednaka) pri x 2. Prvo zapisujemo granicu:

Pogledajmo graf.

Nacrtajmo liniju paralelnu s osi 0Y kroz točku 2 na osi 0X. On će presjeći naš graf u točki (2;4). Spustimo okomicu s ove točke na os 0Y i dođimo do točke 4. To je ono čemu naša funkcija teži na x 2. Ako sada zamijenimo vrijednost 2 u funkciju f(x), odgovor će biti isti .

Prije nego što prijeđemo na izračun granica, uvedimo osnovne definicije.

Uveo ga je francuski matematičar Augustin Louis Cauchy u 19. stoljeću.

Recimo da je funkcija f(x) definirana na nekom intervalu koji sadrži točku x = A, ali uopće nije nužno da vrijednost f(A) bude definirana.

Tada, prema Cauchyjevoj definiciji, granica funkcije f(x) će biti određeni broj B s x teži A ako za svaki C > 0 postoji broj D > 0 za koji

Oni. ako je funkcija f(x) na x A ograničena limitom B, to je zapisano u obliku

Ograničenje niza naziva se određeni broj A ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj U > 0 postoji broj N za koji sve vrijednosti u slučaju n > N zadovoljavaju nejednakost

Ova granica izgleda kao.

Niz koji ima limit nazvat ćemo konvergentnim, a ako nema, nazvat ćemo ga divergentnim.

Kao što ste već primijetili, limiti su označeni ikonom lim, ispod koje se ispisuje neki uvjet za varijablu, a zatim se ispisuje sama funkcija. Takav skup će se čitati kao "granica funkcije koja podliježe...". Na primjer:

- granica funkcije dok x teži 1.

Izraz "približava se 1" znači da x uzastopno poprima vrijednosti koje se približavaju 1 beskonačno blizu.

Sada postaje jasno da je za izračunavanje ove granice dovoljno zamijeniti vrijednost 1 umjesto x:

Osim specifičnih brojčana vrijednost x može težiti beskonačnosti. Na primjer:

Izraz x znači da x stalno raste i neograničeno se približava beskonačnosti. Stoga, zamjenom beskonačnosti umjesto x, postaje očito da će funkcija 1-x težiti , ali sa suprotnim predznakom:

Tako, izračun granica svodi se na pronalaženje njegove specifične vrijednosti ili određenog područja u koje pada funkcija ograničena limitom.

Na temelju gore navedenog, slijedi da je pri izračunavanju limita važno koristiti nekoliko pravila:

Razumijevanje suština granice i osnovna pravila granični izračuni, dobit ćete ključan uvid u to kako ih riješiti. Ako vam bilo koji limit stvara poteškoće, napišite u komentarima i sigurno ćemo vam pomoći.

Napomena: Pravosuđe je znanost o zakonima, koja pomaže u sukobima i drugim životnim poteškoćama.

Teorija granica- jedan od dijelova matematičke analize koji neki mogu savladati, dok drugi imaju poteškoća u izračunavanju granica. Pitanje pronalaženja granica prilično je općenito, budući da postoje deseci tehnika granice rješenja različite vrste. Iste granice mogu se pronaći i korištenjem L'Hopitalovog pravila i bez njega. Događa se da vam raspoređivanje niza infinitezimalnih funkcija omogućuje brzo postizanje željenog rezultata. Postoji niz tehnika i trikova koji vam omogućuju da pronađete granicu funkcije bilo koje složenosti. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi. Ovdje nećemo davati teoriju i definiciju granice; postoji mnogo izvora na Internetu gdje se o tome govori. Stoga, bacimo se na praktične izračune, tu je ono "Ne znam! Ne mogu! Nisu nas učili!"

Izračunavanje limita metodom supstitucije

Primjer 1. Pronađite limit funkcije
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rješenje: Primjeri ove vrste mogu se teoretski izračunati koristeći uobičajenu zamjenu

Limit je 18/11.
U takvim granicama nema ništa komplicirano ni mudro - zamijenili smo vrijednost, izračunali je i kao odgovor zapisali granicu. Međutim, na temelju takvih ograničenja, svi su poučeni da prije svega trebaju zamijeniti vrijednost u funkciju. Nadalje, granice postaju kompliciranije, uvodeći koncept beskonačnosti, neizvjesnosti i slično.

Granica s neizvjesnošću poput beskonačnosti podijeljene s beskonačnošću. Tehnike otkrivanja neizvjesnosti

Primjer 2. Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=beskonačno).
Rješenje: dana je granica polinoma oblika podijeljenog s polinomom, a varijabla teži beskonačnosti

Jednostavna zamjena vrijednosti do koje treba pronaći varijablu za pronalaženje granica neće pomoći, dobivamo nesigurnost oblika beskonačno podijeljeno s beskonačno.
Prema teoriji granica, algoritam za izračun granice je pronaći najveću potenciju "x" u brojniku ili nazivniku. Zatim se brojnik i nazivnik pojednostavljuju na to i nalazi se granica funkcije

Budući da vrijednost teži nuli kada se varijabla približi beskonačnosti, one se zanemaruju, odnosno upisuju u konačni izraz u obliku nula

Odmah iz prakse možete dobiti dva zaključka koji su nagovještaj u izračunima. Ako varijabla teži beskonačnosti, a stupanj brojnika je veći od stupnja nazivnika, tada je granica jednaka beskonačnosti. Inače, ako je polinom u nazivniku višeg reda nego u brojniku, granica je nula.
Granica se može napisati formulama poput ove:

Ako imamo funkciju oblika običnog polja bez razlomaka, tada je njezin limit jednak beskonačnosti

Sljedeća vrsta ograničenja tiče se ponašanja funkcija blizu nule.

Primjer 3. Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Rješenje: Ovdje nema potrebe uklanjati vodeći faktor polinoma. Upravo suprotno, potrebno je pronaći najmanju potenciju brojnika i nazivnika i izračunati granicu

Vrijednost x^2; x teže nuli kada varijabla teži nuli. Stoga se zanemaruju, pa dobivamo

da je granica 2,5.

Sada znaš kako pronaći limit funkcije oblika, podijelite polinom s polinomom ako varijabla teži beskonačnosti ili 0. Ali ovo je samo mali i laki dio primjera. Iz sljedećeg materijala naučit ćete kako otkriti nesigurnosti u granicama funkcije.

Granica s nesigurnošću tipa 0/0 i metode njezina izračuna

Svi se odmah sjećaju pravila da ne možete dijeliti s nulom. Međutim, teorija granica u ovom kontekstu podrazumijeva infinitezimalne funkcije.
Pogledajmo nekoliko primjera radi jasnoće.

Primjer 4. Pronađite limit funkcije
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rješenje: Kada u nazivnik zamijenimo vrijednost varijable x = -1, dobijemo nulu, a isto to dobijemo i u brojniku. Tako da imamo nesigurnost oblika 0/0.
Nositi se s takvom nesigurnošću je jednostavno: potrebno je faktorizirati polinom, odnosno odabrati faktor koji pretvara funkciju u nulu.

Nakon proširenja, granica funkcije može se napisati kao

To je cijela metoda za izračunavanje limita funkcije. Isto radimo ako postoji granica polinoma oblika podijeljenog s polinomom.

Primjer 5. Pronađite limit funkcije
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Rješenje: Izravna zamjena pokazuje
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
što imamo vrsta 0/0 nesigurnosti.
Podijelimo polinome faktorom koji uvodi singularitet


Ima učitelja koji uče da se polinome 2. reda, odnosno tipa “kvadratne jednadžbe”, treba rješavati preko diskriminante. Ali stvarna praksa pokazuje da je to duže i zbunjujuće, stoga se riješite značajki unutar ograničenja prema navedenom algoritmu. Tako zapisujemo funkciju u obliku glavni faktori i izračunati do granice

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u izračunavanju takvih granica. Dok proučite limite, znate dijeliti polinome, barem po programu ste ga već trebali položiti.
Među zadacima na vrsta 0/0 nesigurnosti Postoje neki u kojima morate koristiti skraćene formule množenja. Ali ako ih ne znate, tada dijeljenjem polinoma s monomom možete dobiti željenu formulu.

Primjer 6. Pronađite limit funkcije
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rješenje: Imamo nesigurnost tipa 0/0. U brojniku koristimo formulu skraćenog množenja

i izračunajte traženi limit

Metoda otkrivanja nesigurnosti množenjem njezinim konjugatom

Metoda se primjenjuje na granice u kojima se stvara nesigurnost iracionalne funkcije. Brojnik ili nazivnik pretvaraju se u nulu u točki izračuna i ne zna se kako pronaći granicu.

Primjer 7. Pronađite limit funkcije
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Riješenje: Predstavimo varijablu u formuli limita

Kod zamjene dobivamo nesigurnost tipa 0/0.
Prema teoriji granica, način da se zaobiđe ova značajka je množenje iracionalnog izraza njegovim konjugatom. Kako bi se osiguralo da se izraz ne mijenja, nazivnik se mora podijeliti s istom vrijednošću

Koristeći pravilo razlike kvadrata, pojednostavljujemo brojnik i izračunavamo limit funkcije

Pojednostavljujemo pojmove koji stvaraju singularnost u limitu i izvodimo zamjenu

Primjer 8. Pronađite limit funkcije
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rješenje: Izravna supstitucija pokazuje da granica ima singularitet oblika 0/0.

Da bismo proširili, množimo i dijelimo s konjugatom brojnika

Zapisujemo razliku kvadrata

Pojednostavljujemo pojmove koji uvode singularitet i nalazimo limit funkcije

Primjer 9. Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Rješenje: Zamijenite dva u formulu

Dobivamo nesigurnost 0/0.
Nazivnik se mora pomnožiti s konjugiranim izrazom, au brojniku kvadratna jednadžba mora biti riješena ili faktorizirana, uzimajući u obzir singularitet. Budući da je poznato da je 2 korijen, drugi korijen nalazimo pomoću Vietinog teorema

Dakle, zapisujemo brojnik u obliku

i zamijenite ga u limit

Smanjenjem razlike kvadrata rješavamo se singularnosti u brojniku i nazivniku

Na ovaj način možete se riješiti singulariteta u mnogim primjerima, a primjenu treba primijetiti gdje god se zadana razlika korijena pretvara u nulu tijekom supstitucije. Ostale vrste ograničenja se tiču eksponencijalne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritmi, posebne granice i druge tehnike. Ali o tome možete pročitati u dolje navedenim člancima o ograničenjima.

Teorija granica jedna je od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja limita prilično je opsežno, budući da postoje deseci metoda za rješavanje limita raznih vrsta. Postoje deseci nijansi i trikova koji vam omogućuju rješavanje ovog ili onog ograničenja. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo kratko povijesna referenca. U 19. stoljeću živio je Francuz Augustin Louis Cauchy koji je mnogim pojmovima matan dao stroge definicije i postavio njegove temelje. Mora se reći da je ovaj ugledni matematičar bio, jest i bit će u noćnim morama svih studenata fizikalno-matematičkih odjela, jer je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedan je teorem ubojitiji od drugog. U tom smislu, još nećemo razmatrati određivanje Cauchyjeve granice, ali pokušajmo učiniti dvije stvari:

1. Shvatite što je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Ispričavam se zbog nekih neznanstvenih objašnjenja, važno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je zapravo i zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

A samo primjer zašto čupavoj babi....

Svaki limit sastoji se od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "X ima tendenciju na jedan." Najčešće - točno, iako umjesto "X" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima mjesto jednog može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod znakom granice, u ovom slučaju .

Sama snimka glasi ovako: "granica funkcije dok x teži jedinici."

Pogledajmo sljedeće važno pitanje - što znači izraz "x"? nastoji do jednog"? I što uopće znači "nastojati"?
Koncept granice je koncept, da tako kažemo, dinamičan. Izgradimo niz: prvo , zatim , , …, , ….
Odnosno, izraz “x nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se jedinstvu približavaju beskrajno blizu i praktički koincidiraju s njim.

Kako riješiti gornji primjer? Na temelju gore navedenog, trebate samo zamijeniti jedan u funkciju ispod znaka granice:

Dakle, prvo pravilo: Kada nam se zada bilo kakvo ograničenje, prvo jednostavno pokušavamo uključiti broj u funkciju.

Razmotrili smo najjednostavnije granice, ali i one se u praksi pojavljuju, i to ne tako rijetko!

Primjer s beskonačnošću:

Hajdemo shvatiti što je to? To je slučaj kada raste neograničeno, to jest: prvo, zatim, zatim, zatim, i tako u nedogled.

Što se događa s funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo rečeno, prema našem prvom pravilu, umjesto "X" u funkciju ubacujemo beskonačnost i dobivamo odgovor.

Još jedan primjer s beskonačnošću:

Opet počinjemo povećavati do beskonačnosti i promatramo ponašanje funkcije:

Zaključak: kada funkcija raste neograničeno:

I još niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtite najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje imate nedoumica, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da pokušajte konstruirati niz , , . Ako tada , , .

! Bilješka: Strogo govoreći, ovaj pristup konstruiranju nizova od nekoliko brojeva nije točan, ali za razumijevanje najjednostavnijih primjera sasvim je prikladan.

Obratite pozornost i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje zadano s velikim brojem na vrhu, ili čak s milijunom: , onda je svejedno , budući da će prije ili kasnije "X" početi poprimati takve divovske vrijednosti da će milijun u usporedbi biti pravi mikrob.

Što trebate zapamtiti i razumjeti od navedenog?

1) Kada se zada bilo kakvo ograničenje, prvo jednostavno pokušavamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao što je , itd.

Štoviše, granica ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Za bolje razumijevanje teme, preporučam da pročitate metodološki materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Nakon što pročitate ovaj članak, ne samo da ćete konačno razumjeti što je granica, već ćete se također upoznati sa zanimljivim slučajevima kada granica funkcije općenito ne postoji!

U praksi je, nažalost, malo darova. Stoga prelazimo na razmatranje složenijih ograničenja. Usput, na ovu temu postoji intenzivni tečaj u pdf formatu, što je posebno korisno ako imate JAKO malo vremena za pripremu. Ali materijali stranice, naravno, nisu ništa gori:

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada je , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome

Primjer:

Izračunajte granicu

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Što dobivamo na vrhu? Beskonačnost. I što se događa ispod? Također beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove neizvjesnost vrste. Netko bi pomislio da , i odgovor je spreman, ali opći slučaj To uopće nije slučaj i trebate primijeniti neko rješenje koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ove vrste?

Prvo pogledamo brojnik i nađemo najveću snagu:

Vodeći stepen u brojniku je dvojka.

Sada gledamo nazivnik i također ga nalazimo na najveću potenciju:

Najviši stupanj nazivnika je dva.

Zatim biramo najveću potenciju brojnika i nazivnika: in u ovom primjeru poklapaju se i jednaki su dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s najvećom potencijom.

Evo ga, odgovor, a ne beskonačnost uopće.

Što je temeljno važno u dizajnu odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako je ima.

Drugo, preporučljivo je prekinuti rješenje za međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi međuobjašnjenja.

Treće, u limitu je preporučljivo označiti što kamo ide. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti na ovaj način:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne morate učiniti ništa od ovoga, ali onda će, možda, nastavnik ukazati na nedostatke u rješenju ili početi pitati dodatna pitanja na zadatku. Trebaš li to?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stupnju:

Maksimalni stupanj u brojniku: 3
Maksimalni stupanj u nazivniku: 4
Odaberite najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, dijelimo brojnik i nazivnik s .
Potpuna registracija zadaci mogu izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stupanj "X" u brojniku: 2
Maksimalni stupanj "X" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojnik i nazivnik podijeliti s . Konačno rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojnik i nazivnik s

Notacija ne znači dijeljenje s nulom (ne možete dijeliti s nulom), već dijeljenje s infinitezimalnim brojem.

Stoga, otkrivanjem neizvjesnosti vrsta, možda ćemo moći konačni broj, nula ili beskonačnost.

Granice s nesigurnošću vrste i način njihovog rješavanja

Sljedeća skupina granica donekle je slična upravo razmatranim granicama: brojnik i nazivnik sadrže polinome, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Granica rješenja
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomak:

U tom slučaju se dobiva tzv.

Opće pravilo : ako brojnik i nazivnik sadrže polinome, a postoji nesigurnost oblika, onda to otkriti morate rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da biste to učinili, najčešće morate riješiti kvadratnu jednadžbu i/ili koristiti skraćene formule množenja. Ako su te stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tablice i pročitati nastavni materijal Vruće formule školski tečaj matematičari. Usput, najbolje ga je ispisati, potrebno je vrlo često, a informacije se bolje apsorbiraju s papira.

Dakle, riješimo našu granicu

Rastavite brojnik i nazivnik na faktore

Da biste faktorirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednadžbu:

Prvo nalazimo diskriminantu:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminant velik, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkciju izdvajanja korijen dostupan na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako korijen nije potpuno izvađen (ispada razlomački broj sa zarezom), vrlo je vjerojatno da je diskriminant krivo izračunat ili je došlo do tipfelera u zadatku.

Zatim nalazimo korijene:

Tako:

Svi. Brojnik je faktoriziran.

Nazivnik. Nazivnik je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da ga se pojednostavi.

Očito, može se skratiti na:

Sada zamijenimo -1 u izraz koji ostaje ispod znaka granice:

Naravno, u ispitni rad, tijekom kolokvija ili ispita, rješenje se nikada ne ispisuje tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati ovako:

Rastavimo brojnik na faktore.

Primjer 5

Izračunajte granicu

Prvo, "završna" verzija rješenja

Rastavimo brojnik i nazivnik na faktore.

Brojnik:
Nazivnik:



,

Što je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se brojnik otkriva, prvo smo izvukli 2 iz zagrada, a zatim upotrijebili formulu za razliku kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.

Preporuka: Ako je u limitu (gotovo bilo kojeg tipa) moguće uzeti broj izvan zagrada, tada to uvijek činimo.
Štoviše, preporučljivo je pomaknuti takve brojeve izvan ikone ograničenja. Za što? Da, samo da im ne smetaju. Glavna stvar je ne izgubiti ove brojeve kasnije tijekom rješenja.

Imajte na umu da sam u završnoj fazi rješenja izvadio dva iz ikone ograničenja, a zatim minus.

! Važno
Tijekom rješenja vrlo često se pojavljuje fragment tipa. Smanjite ovaj razlomakZabranjeno je . Prvo morate promijeniti predznak brojnika ili nazivnika (stavite -1 izvan zagrada).
, odnosno pojavljuje se predznak minus koji se uzima u obzir pri izračunu limita i uopće ga ne treba gubiti.

Općenito, primijetio sam da najčešće u pronalaženju limita ovog tipa moramo riješiti dva kvadratne jednadžbe, to jest, i brojnik i nazivnik sadrže kvadratne trinome.

Metoda množenja brojnika i nazivnika konjugiranim izrazom

Nastavljamo razmatrati nesigurnost oblika

Sljedeća vrsta ograničenja slična je prethodnoj vrsti. Jedino ćemo, osim polinoma, dodati korijene.

Primjer 6

Pronađite granicu

Počnimo odlučivati.

Prvo pokušavamo zamijeniti 3 u izraz ispod znaka granice
Još jednom ponavljam - ovo je prva stvar koju morate učiniti za BILO KOJI limit. Ova radnja se obično izvodi mentalno ili u obliku nacrta.

Dobivena je nesigurnost forme koju je potrebno otkloniti.

Kao što ste vjerojatno primijetili, naš brojnik sadrži razliku korijena. I u matematici je uobičajeno riješiti se korijena, ako je moguće. Za što? I život je lakši bez njih.

Pojmovi limita nizova i funkcija. Kada je potrebno pronaći limes niza, piše se na sljedeći način: lim xn=a. U takvom nizu nizova, xn teži a, a n teži beskonačno. Niz se obično predstavlja kao niz, na primjer:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Nizovi se dijele na rastuće i opadajuće. Na primjer:
xn=n^2 - rastući niz
yn=1/n - niz
Tako, na primjer, granica niza xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Ova granica je jednaka nuli, jer n→∞, a niz 1/n^2 teži nuli.

Tipično, varijabilna veličina x teži konačnoj granici a, a x se stalno približava a, a veličina a je konstantna. Ovo se piše na sljedeći način: limx =a, dok n također može težiti nuli ili beskonačnosti. Postoje beskonačne funkcije, za koje granica teži beskonačnosti. U drugim slučajevima, kada npr. funkcija usporava vlak, moguće je da granica teži nuli.
Granice imaju niz svojstava. Tipično, svaka funkcija ima samo jedno ograničenje. Ovo je glavno svojstvo granice. Ostali su navedeni u nastavku:
* Limit iznosa jednak je zbroju limita:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Granica proizvoda jednaka je umnošku granica:
lim(xy)=lim x*lim y
* Granica kvocijenta jednaka je kvocijentu granica:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantni faktor uzet je izvan graničnog znaka:
lim(Cx)=C lim x
Zadana je funkcija 1 /x u kojoj je x →∞, njezina granica je nula. Ako je x→0, granica takve funkcije je ∞.
Za trigonometrijske funkcije su iz ovih pravila. Budući da funkcija sin x uvijek teži jedinici kada se približava nuli, za nju vrijedi identitet:
lim sin x/x=1

U nizu funkcija postoje funkcije kod kojih se kod izračuna granica javlja nesigurnost - situacija u kojoj se granica ne može izračunati. Jedini izlaz iz ove situacije je L'Hopital. Postoje dvije vrste neizvjesnosti:
* nesigurnost oblika 0/0
* nesigurnost oblika ∞/∞
Na primjer, data je granica sljedećeg oblika: lim f(x)/l(x), i f(x0)=l(x0)=0. U tom slučaju nastaje nesigurnost oblika 0/0. Da bi se riješio takav problem, obje se funkcije diferenciraju, nakon čega se nalazi granica rezultata. Za nesigurnosti tipa 0/0, granica je:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pri x→0)
Isto pravilo vrijedi i za nesigurnosti tipa ∞/∞. Ali u ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: f(x)=l(x)=∞
Koristeći L'Hopitalovo pravilo, možete pronaći vrijednosti svih granica u kojima se pojavljuju nesigurnosti. Preduvjet za

volumen - nema grešaka pri pronalaženju izvedenica. Tako je, na primjer, derivacija funkcije (x^2)" jednaka 2x. Odavde možemo zaključiti da:
f"(x)=nx^(n-1)