Tečaj Nabavite video uključuje sve teme koje su vam potrebne za uspjeh. polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 Profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Također pogodno za polaganje osnovnog ispita iz matematike. Ako želite položiti ispit za 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za ispit za razrede 10-11, kao i za nastavnike. Sve što vam treba za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i zadatka 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu i bez njih ne mogu proći ni student od sto bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci iz 1. dijela FIPI banke zadataka. Tečaj u potpunosti ispunjava uvjete Jedinstvenog državnog ispita-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, po 2,5 sata. Svaka je tema dana ispočetka, jednostavna i jasna.

Stotine ispitnih zadataka. Problemi s riječima i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Škakljivi trikovi rješenja, korisne varalice, razvoj prostorna mašta... Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto trpanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, stupnjevi i logaritmi, funkcija i izvedenica. Osnova za rješenje teški zadaci 2 dijela ispita.

ČETIRI KUTA.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definicija paralelograma.

Ako presiječemo par paralelnih pravih s drugim parom paralelnih pravih, tada ćemo dobiti četverokut, u kojem su suprotne stranice paralelno paralelne.

U četverokutima ABDC i EFNM (crtež 224) BD || AC i AB || CD;
EF || MN i EM || FN.

Četverokut u kojem su suprotne stranice paralelno paralelne naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trokuta.

Neka postoji paralelogram ABDC (slika 225), u kojem AB || CD i AC || BD.

Potrebno je dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu CB u paralelogramu ABDC. Dokažimo to /\ CAB \u003d /\ CDB.

CB stranica je uobičajena za ove trokute; / ABC \u003d / VSD, kao unutarnji kutovi presijecanja s paralelnim AB i CD i sekundarnim CB; / ASV \u003d / CBD, također kao unutarnji unakrsni kutovi s paralelnim AC i BD i sekundarnim CB (§ 38).

Odavde /\ CAB \u003d /\ CDB.

Na isti način može se dokazati da će dijagonala AD podijeliti paralelogram u dva jednaka trokuta ACD i ABD.

Posljedice. 1 . Suprotni kutovi paralelograma međusobno su jednaki.

/ A \u003d / D, to proizlazi iz jednakosti trokuta CAB i CDB.
Također / C \u003d / U.

2. Suprotne stranice paralelograma jednake su jedna drugoj.

AB \u003d CD i AC \u003d BD, budući da su to stranice jednakih trokuta i leže nasuprot jednakim kutovima.

Teorem 2. Dijagonale paralelograma prepolovljene su na mjestu njihovog presjeka.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABDC (slika 226). Dokažimo da su AO \u003d OD i CO \u003d OB.

Da biste to učinili, usporedite primjerice par suprotnih trokuta /\ AOB i /\ BAKALAR.

U tim trokutima AB \u003d CD, kao suprotne stranice paralelograma;
/ 1 = / 2, kao unutarnji kutovi poprečno položeni s paralelnim AB i CD i sekantom AD;
/ 3 = / 4 iz istog razloga, budući da je AB || CD i CB su njihovi sekanti (§ 38).

Stoga slijedi da /\ AOV \u003d /\ BAKALAR. I u jednakim trokutima nasuprot jednakim kutovima nalaze se jednake stranice. Prema tome, AO \u003d OD i CO \u003d OB.

Teorem 3. Zbroj kutova susjednih jednoj strani paralelograma je 2 d .

Dokažite se.

3. Znakovi paralelograma.

Teorema. Ako su suprotne stranice četverokuta u paru jednake, tada je ovaj četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABDC (slika 227) AB \u003d CD i AC \u003d BD. Dokažimo da je pod ovim uvjetom AB || CD i AC || VD, tj. Četverokut ABDC paralelogram je.
Spojimo segmentom bilo koja dva suprotna vrha ovoga - četverokut, na primjer, C i B. Četverokut ABDC podijeljen je u dva jednaka trokuta: /\ CAB i /\ CDB. Doista, imaju zajedničku CB stranu, AB \u003d CD i AC \u003d BD prema stanju. Dakle, tri stranice jednog trokuta jednake su, dakle, tri stranice drugog /\ CAB \u003d /\ CDB.

Stoga jednaki trokuti nasuprot jednakim stranicama imaju jednake kutove
/ 1 = / 2 i / 3 = / 4.

Kutovi 1 i 2 su unutarnji poprečno kutni kutovi na presjeku linija AB i CD pravca CB. Prema tome, AB || CD.

Na isti su način 3. i 4. kut unutarnji poprečno kutni kutovi na presjeku crta CA i BD ravne crte CB, dakle, CA || BD (§ 35).

Dakle, suprotne stranice četverokuta ABDC paralelno su paralelne, dakle, to je paralelogram, što je ono što je trebalo dokazati.

Teorem 2. Ako su dvije suprotne stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je ovaj četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABDS AB \u003d CD i AB || CD. Dokažimo da je u tim uvjetima četverokut ABDC paralelogram (slika 228).

Vrhove C i B povezujemo s odsječkom CB. Zbog paralelnosti pravih AB i CD, kutovi 1 i 2, kao unutarnji kutovi koji leže u križu, jednaki su (§ 38).
Tada je trokut CAB jednak trokutu CDB, jer imaju zajedničku stranicu CB,
AB \u003d CD uvjetom teorema i / 1 = / 2 kao što je dokazano. Jednakost ovih trokuta podrazumijeva jednakost kutova 3 i 4, budući da leže nasuprot jednakih stranica u jednakim trokutima.

Ali kutovi 3 i 4 su unutarnji poprečno kutni kutovi nastali na presjeku ravnih crta AC i BD ravne crte CB, dakle, AC || BD (§ 35), tj. Četverokut
ABDC - paralelogram.

Vježbe.

1. Dokažite da ako su dijagonale četverokuta na mjestu njihova međusobnog presijecanja prepolovljene, tada je ovaj četverokut paralelogram.

2. Dokazati da je četverokut čiji zbroj unutarnji ugloviuz svaku od dvije susjedne stranice jednako je 2 d, postoji paralelogram.

3. Konstruirajte paralelogram duž dvije stranice i kut između njih:

a) pomoću paralelizma suprotnih stranica paralelograma;
b) koristeći jednakost suprotnih stranica paralelograma.

4. Konstruirajte paralelogram duž dvije susjedne stranice i dijagonale.

5. Konstruirajte paralelogram duž njegove dvije dijagonale i kut između njih.

6. Konstruirajte paralelogram uz njegovu stranu i dvije dijagonale.

Paralelogram je četverokut s suprotnim stranicama paralelnim u parovima. Ova je definicija već dovoljna, jer iz nje slijede ostala svojstva paralelograma koja se dokazuju u obliku teorema.

Glavna svojstva paralelograma su:

• paralelogram je konveksni četverokut;
• paralelogram ima suprotne stranice jednake u parovima;
• za paralelogram su suprotni kutovi jednaki u parovima;
• dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka.

Paralelogram - konveksni četverokut

Dokažimo prvo teorem da paralelogram je konveksni četverokut... Poligon je konveksan kad god se njegova strana produži do ravne crte, sve ostale stranice poligona bit će s jedne strane te ravne crte.

Neka je dat paralelogram ABCD, u kojem je AB suprotna strana za CD, a BC suprotna strana za AD. Tada iz definicije paralelograma proizlazi da je AB || CD, BC || OGLAS.

Paralelne crte nemaju zajedničke točke, ne sijeku se. To znači da CD leži na jednoj strani AB. Budući da segment BC povezuje točku B segmenta AB s točkom C segmenta CD, a segment AD povezuje ostale točke AB i CD, segmenti BC i AD također leže na istoj strani linije AB gdje leži CD. Dakle, sve tri strane - CD, BC, AD - leže na istoj strani AB.

Slično tome, dokazano je da s druge strane paralelograma, ostale tri stranice leže na istoj strani.

Suprotne stranice i kutovi jednaki su

Jedno od svojstava paralelograma je to u paralelogramu su suprotne stranice i suprotni kutovi u paru jednaki... Na primjer, ako je paralelogram dan ABCD, on ima AB \u003d CD, AD \u003d BC, ∠A \u003d ∠C, ∠B \u003d ∠D. Ovaj se teorem dokazuje na sljedeći način.

Paralelogram je četverokut. To znači da ima dvije dijagonale. Budući da je paralelogram konveksni četverokut, bilo koji od njih dijeli ga u dva trokuta. Razmotrimo u paralelogramu ABCD trokute ABC i ADC dobivene crtanjem dijagonale AC.

Tim trokutima je zajednička jedna strana - AC. BCA kut jednak kutu CAD kao vertikalni s paralelnim BC i AD. Kutovi BAC i ACD također su jednaki vertikalnim kutovima kada su AB i CD paralelni. Prema tome, ∆ABC \u003d ∆ADC na dva ugla i na strani između njih.

U tim trokutima stranica AB odgovara stranici CD, a strana BC AD. Dakle AB \u003d CD i BC \u003d AD.

Kut B odgovara kutu D, odnosno ∠B \u003d ∠D. Kut A paralelograma zbroj je dva kuta - ∠BAC i ∠CAD. Kut C jednak je ∠BCA i ∠ACD. Budući da su parovi kutova međusobno jednaki, tada je ∠A \u003d ∠C.

Dakle, dokazano je da su u paralelogramu suprotne stranice i kutovi jednaki.

Dijagonale su prepolovljene

Budući da je paralelogram konveksni četverokut, on ima dvije dijagonale i one se sijeku. Neka je zadan paralelogram ABCD, njegove se dijagonale AC i BD sijeku u točki E. Razmotrimo trokute ABE i CDE koji su oni stvorili.

Ti trokuti imaju stranice AB i CD jednake kao suprotne stranice paralelograma. Kut ABE jednak je kutu CDE dok leže preko paralelnih linija AB i CD. Iz istog razloga, ∠BAE \u003d ∠DCE. Dakle, ∆ABE \u003d ∆CDE pod dva kuta i strana između njih.

Također možete primijetiti da su kutovi AEB i CED okomiti i prema tome međusobno jednaki.

Budući da su trokuti ABE i CDE međusobno jednaki, tada su svi njihovi odgovarajući elementi jednaki. AE stranica prvog trokuta odgovara CE strani drugog, što znači da je AE \u003d CE. Isto tako BE \u003d DE. Svaki par jednakih dijelova crte čini dijagonalu paralelograma. Dakle, dokazano je da dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka.

Kao i u euklidskoj geometriji, točka i ravna crta glavni su elementi teorije ravnina, pa je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četverokuta. Iz njega, poput niti iz kuglice, proizlaze pojmovi "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.

U kontaktu s

Definiranje paralelograma

Konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata linija, od kojih je svaki par paralelan, u geometriji je poznat kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram, prikazuje četverokut ABCD. Stranice se nazivaju bazama (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na stranicu suprotnu od ovog vrha je visina (BE i BF), linije AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik posebni su slučajevi paralelograma.

Strane i kutovi: značajke omjera

Ključna svojstva, u velikoj mjeri, predefinirana samom oznakom, dokazuju se teoremom. Te su karakteristike sljedeće:

1. Suprotne su strane u parovima identične.
2. Kutovi smješteni jedan nasuprot drugome jednaki su u parovima.

Dokaz: Razmotrimo ∆ABC i ∆ADC, koji se dobivaju dijeljenjem četverokuta ABCD pravom AC. ∠BCA \u003d ∠CAD i ∠BAC \u003d ∠ACD, budući da je AC za njih uobičajen ( vertikalni uglovi za BC || AD i AB || CD). Iz ovoga slijedi: ∆ABC \u003d ∆ADC (drugi znak jednakosti trokuta).

Segmenti AB i BC u ∆ABC u paru odgovaraju pravcima CD i AD u ∆ADC, što znači njihov identitet: AB \u003d CD, BC \u003d AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Budući da je ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD, ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD, koji su također u paru isti, tada je ∠A \u003d ∠C. Svojstvo je dokazano.

Karakteristike dijagonala lika

Glavna značajkaove paralelogramske linije: točka presjeka dijeli ih na pola.

Dokaz: Neka je m. E presječna točka dijagonala AC i BD slike ABCD. Oni tvore dva proporcionalna trokuta - ∆ABE i ∆CDE.

AB \u003d CD jer su suprotni. Prema linijama i sekanti, ∠ABE \u003d ∠CDE i ∠BAE \u003d ∠DCE.

Prema drugom kriteriju jednakosti ∆ABE \u003d ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE, a istovremeno su proporcionalni dijelovi AC i BD. Svojstvo je dokazano.

Značajke susjednih uglova

Susjedne stranice imaju zbroj kutova od 180 °jer leže na istoj strani paralelnih crta i sekante. Za četverokut ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

Svojstva simetrale:

1. spuštene na jednu stranu su okomite;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobiven crtanjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakterističnih obilježja paralelograma po teoremu

Značajke ove slike slijede iz njezina glavnog teorema, koji glasi kako slijedi: četverokut se smatra paralelogramomu slučaju da se njegove dijagonale sijeku i ta ih točka dijeli na jednake segmente.

Dokaz: neka u točki E sijeku se pravci AC i BD četverokuta ABCD. Budući da je ∠AED \u003d ∠BEC, a AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, tada je ∆AED \u003d ∆BEC (po prvom znaku jednakosti trokuta). Odnosno, ∠EAD \u003d ∠ECB. Oni su ujedno i unutarnji kutovi presjeka AC za vodove AD i BC. Dakle, prema definiciji paralelizma - AD || PRIJE KRISTA. Prikazuje se i slično svojstvo linija BC i CD. Teorem je dokazan.

Izračunavanje površine oblika

Područje ove figure nalazi se na nekoliko metoda,jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove do koje je povučen.

Dokaz: izvucite okomice BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki, jer su AB \u003d CD i BE \u003d CF. ABCD je jednake veličine pravokutnika EBCF, jer se također sastoje od proporcionalnih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga proizlazi da je područje ovoga geometrijski oblik nalazi se na isti način kao i pravokutnik:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, visinu označavamo kao hba strana je b... Odnosno:

Drugi načini pronalaženja područja

Izračun površine kroz stranice paralelograma i kutakoju oni čine druga je poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α je kut između segmenata a i b.

Ova se metoda praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek reže pravokutni trokutčiji se parametri nalaze pomoću trigonometrijskih identiteta, tj. Transformiranjem relacije dobivamo. U jednadžbi prve metode zamijenite visinu ovim proizvodom i pribavite dokaz o valjanosti ove formule.

Kroz paralelogramske dijagonale i kut, koje stvore prilikom prelaska, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD sijeku se i tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.

Područje svakog od njih ∆ može se naći izrazom, gdje je a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. Budući da se tada u izračunima koristi jedna vrijednost sinusa. Tj. Budući da su AE + CE \u003d AC \u003d d 1 i BE + DE \u003d BD \u003d d 2, formula površine smanjuje se na:

.

Primjene u vektorskoj algebri

Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, naime, dodavanje dva vektora. Pravilo paralelograma kaže da ako su zadani vektori i ne kolinearne, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove slike, čije baze odgovaraju tim vektorima.

Dokaz: od proizvoljno izabranog početka - t.j. - gradimo vektore i. Dalje gradimo paralelogram OACB, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbroju.

Formule za izračunavanje paralelogramskih parametara

Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:

1. a i b, α - stranice i kut između njih;
2. d 1 i d 2, γ - dijagonale i na mjestu njihovog presijecanja;
3. h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje stranaka
duž dijagonala i kosinusa kuta između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje duljine dijagonala
uz bokove i veličinu vrhova između njih

Prosječna razina

Paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat (2019)

1. Paralelogram

Komplicirana riječ "paralelogram"? Iza njega se krije vrlo jednostavna figura.

Pa, odnosno uzeli smo dvije paralelne crte:

Prešao još dva:

A sada je unutra paralelogram!

Koja su svojstva paralelograma?

Svojstva paralelograma.

Odnosno, što se može koristiti ako je u zadatku dan paralelogram?

Na ovo pitanje odgovara sljedeći teorem:

Nacrtajmo sve u detalje.

Što ima prva točka teorema? I činjenica da ako IMATE paralelogram, onda svakako

Druga točka znači da ako postoji paralelogram, onda, opet, svakako:

Pa, i konačno, treća točka znači da ako IMATE paralelogram, onda morate:

Vidite li kakvo je bogatstvo izbora? Što treba koristiti u zadatku? Pokušajte se usredotočiti na pitanje zadatka ili jednostavno isprobajte sve redom - učinit će neki "ključ".

A sada si postavimo još jedno pitanje: kako prepoznati paralelogram "u lice"? Što se mora dogoditi s četverokutom da bismo mu imali pravo dati "naslov" paralelograma?

Na ovo pitanje odgovara nekoliko znakova paralelograma.

Znakovi paralelograma.

Pažnja! Početi.

Paralelogram.

Obratite pažnju: ako u svom problemu pronađete barem jednu značajku, tada imate točno paralelogram i možete koristiti sva svojstva paralelograma.

2. Pravokutnik

Mislim da vam to neće biti vijest

Prvo pitanje: je li pravokutnik paralelogram?

Naravno da je! Napokon, on također - sjećate se, naš znak 3?

I odavde, naravno, slijedi da su pravokutnik, poput bilo kojeg paralelograma i, i dijagonale podijeljeni točkom presjeka na pola.

Ali pravokutnik ima i jedno karakteristično svojstvo.

Svojstvo pravokutnika

Zašto je ovo svojstvo prepoznatljivo? Jer niti jedan drugi paralelogram nema jednake dijagonale. Formulirajmo to jasnije.

Obratite pažnju: da bi četverokut postao pravokutnik, prvo mora postati paralelogram, a tek onda pokazati jednakost dijagonala.

3. Romb

I opet pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S pravom - paralelogram, jer ima i (sjetite se naše značajke 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, tada mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su suprotni kutovi romba jednaki, suprotne stranice paralelne, a dijagonale prepolovljene točkom presjeka.

Dijamantska svojstva

Pogledaj sliku:

Kao i u slučaju pravokutnika, ta su svojstva prepoznatljiva, odnosno za svako od tih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet, obratite pažnju: ne bi trebao postojati samo četverokut s okomitim dijagonalama, već paralelogram. Budi siguran:

Naravno da nije, iako su njegove dijagonale okomite, a dijagonala je simetrala kutova i. Ali ... dijagonale nisu podijeljene, točka presjeka je prepolovljena, dakle - NIJE paralelogram, a time NIJE romb.

Odnosno, kvadrat je istovremeno pravokutnik i romb. Da vidimo što će se dogoditi.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala kuta A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) u dva kuta.

Pa, to je prilično jasno: dijagonale pravokutnika jednake su; romb dijagonale su okomite, i općenito - paralelogramske dijagonale podijeljene su presječnom točkom na pola.

PROSJEČNA RAZINA

Svojstva četverokuta. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " paralelogramska svojstva"To znači ako imate zadatak tamo je paralelogram, tada se mogu koristiti sve sljedeće.

Teorem o svojstvima paralelograma.

U bilo kojem paralelogramu:

Razumijemo zašto je to sve istina, drugim riječima DOKAZAT ĆEMO teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Jednom je paralelogram, onda:

• ležeći preko
• kao da leži preko puta.

Dakle, (na temelju II: i - zajedničko.)

Pa, i jednom, onda - to je to! - dokazao.

Ali usput! U ovom smo slučaju također dokazali 2)!

Zašto? Ali uostalom (pogledajte sliku), to jest, naime zato.

Ostala su samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema atributu II (kut i stranica "između" njih).

Dokazana svojstva! Prijeđimo na značajke.

Znakovi paralelograma

Prisjetimo se da atribut paralelograma odgovara na pitanje „kako znamo?“ Da je lik paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo shvatiti zašto - to je dovoljno. Ali pogledajte:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 istina.

Pa, još je lakše! Ponovo nacrtajte dijagonalu.

To znači:

Ije također lako. Ali ... na drugačiji način!

Stoga,. Vau! Ali također - unutarnja jednostrana sa sekantom!

Stoga činjenica koja to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda - unutarnje jednostrano sa sekantom! I stoga.

Vidite kako je super?!

I opet, jednostavno:

Slično tome, i.

Obratiti pažnju: ako ste pronašli barem jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti od svih paralelogramska svojstva.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četverokuta. Pravokutnik.

Svojstva pravokutnika:

Točka 1) sasvim je očita - uostalom, značajka 3 ()

I točka 2) - jako važno... Pa, dokažimo to

Dakle, na dvije noge (i - uobičajene).

Pa, budući da su trokuti jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazano!

I zamislite, jednakost dijagonala prepoznatljivo je svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, sljedeća je izjava istinita ^

Da shvatimo zašto?

To znači (što znači kutove paralelograma). Ali sjetimo se još jednom da je to paralelogram, pa prema tome.

Stoga,. I, naravno, iz toga proizlazi da je svaki od njih drugačiji! Napokon, oni moraju dati ukupno!

Pa su dokazali da ako paralelogram odjednom (!) postojat će jednake dijagonale, pa ovo točno pravokutnik.

Ali! Obratiti pažnju!O tome se radi paralelogrami! Nijedna četverokut s jednakim dijagonalama je pravokutnik, i samo paralelogram!

Svojstva četverokuta. Romb

I opet pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S pravom - paralelogram, jer ima i (Sjetite se naše značajke 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, tada mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su suprotni kutovi romba jednaki, suprotne stranice paralelne, a dijagonale prepolovljene točkom presjeka.

Ali postoje i posebna svojstva. Formuliramo.

Dijamantska svojstva

Zašto? Pa, budući da je romb paralelogram, tada su njegove dijagonale prepolovljene.

Zašto? Da zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale simetrale uglova romba.

Kao i kod pravokutnika, i ova svojstva su - osebujan, svaki od njih je i znak romba.

Znakovi romba.

Zašto je to? I pogledaj,

Dakle, i obati su trokuti jednakokraki.

Da bi bio četverokut prvo mora "postati" paralelogram, a zatim mora pokazati znak 1 ili znak 2.

Svojstva četverokuta. Kvadrat

Odnosno, kvadrat je istovremeno pravokutnik i romb. Da vidimo što će se dogoditi.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala kuta, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) u dva kuta.

Pa, to je prilično jasno: dijagonale pravokutnika jednake su; romb dijagonale su okomite, i općenito - paralelogramske dijagonale podijeljene su presječnom točkom na pola.

Zašto? Pa, samo primijenite Pitagorin teorem na.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Svojstva paralelograma:

1. Suprotne strane su jednake:,.
2. Suprotni kutovi jednaki su:,.
3. Kutovi s jedne strane zbrajaju se:,.
4. Dijagonale su presječene točke prepolovljene :.

Svojstva pravokutnika:

1. Dijagonale pravokutnika su :.
2. Pravokutnik - paralelogram (za pravokutnik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva dijamanta:

1. Dijagonale romba su okomite :.
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova :; ; ; ...
3. Rhombus - paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Kvadratna svojstva:

Kvadrat je istovremeno romb i pravokutnik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. I.