Razmotrimo primjer. Potrebno je dosljedno izračunati :.

Možete presložiti brojeve koje želite dodati, a zatim oduzeti preostale :.

Ali to nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati ostatak stvari u nekom skladištu i moramo znati srednji rezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu :.

Znamo kakav će onda rezultat biti oduzimanje broja. To znači da trebate oduzeti, ali još ne od ničega. Kad se ima od čega oduzeti, oduzmite:

Ali možemo "varati" i odrediti. Stoga ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi.

Već smo napravili takvu operaciju - u prirodi, na primjer, također nije postojao broj "", ali uveli smo takav objekt kako bismo olakšali snimanje radnji.

Zamislite da smo u sportskom skladištu dobili uputu za izdavanje i primanje lopti. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano, prihvaćeno, izdano, prihvaćeno, ... (vidi sliku 1.)

Lik: 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati više puta dnevno, tada snimanje nije baš prikladno.

List možete podijeliti u dva stupca, jedan je prihvaćen, drugi izdan. (Vidi sliku 2.)

Lik: 2. Pojednostavljeni zapis

Snimka je postala kraća. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je lopti odneseno (ili poklonjeno) u bilo kojem određenom trenutku?

Za zapisnik se možemo poslužiti sljedećim razmatranjem: kada loptice dijelimo iz skladišta, njihova količina u skladištu se smanjuje, a kad ih prihvatimo, povećava se.

Ali kako zapisati "šutnuo loptu"? Možete unijeti objekt poput ovog :.

Ovaj nam objekt omogućuje da napravimo matematički zapis kretanja lopti redoslijedom kojim se to dogodilo:

Uzmimo još jedan primjer.

Na račun vaših telefonskih rubalja. Otišli ste na internet i koštalo je rubalja. Pokazalo se da je riječ o dugu od rubalja. Operater bi mogao zapisati ovako: "klijent duguje rublje." Stavili ste rubalja. Operater je odbio dug. Ispalo je na račun rubalja.

No, prikladno je bilježiti i operacije i novac na račun pomoću znakova "" i "". (Vidi sliku 3.)

Lik: 3. Prikladno snimanje

Upisujemo negativan broj da bismo zabilježili rezultat oduzimanja od manjeg broja većeg :.

Dodavanje negativnog broja isto je što i oduzimanje :.

Da bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo ranije imali posla, dogovoreno je da ispred njega stavimo znak minus :.

Biste li mogli bez njih? Da, možeš. U svakom specifična situacija koristili bismo riječi "natrag", "posuđeno" i tako dalje. Ali, ove bi riječi bile drugačije.

I tako imamo univerzalni prikladni alat. Jedna za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od velikog broja dijelova, od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali svi zajedno omogućuju vam vožnju. Isto tako, negativni brojevi su alat koji, zajedno s ostalim matematičkim alatima, olakšava izračunavanje i pojednostavljivanje rješenja i pisanja mnogih problema.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Za što se koriste u životu?

Prvo, sjetimo se uloga pozitivnih brojeva:

Količina: npr. Drvo, litra mlijeka. (Vidi sliku 4.)

Lik: 4. Količina

Redoslijed: na primjer, kuće su numerirane pozitivne brojeve... (Vidi sliku 5.)

Lik: 5. Naručivanje

Ime: na primjer, broj igrača. (Vidi sliku 6.)

Lik: 6. Broj kao ime

Pogledajmo sada funkcije negativni brojevi:

Oznaka količine nedostaje. Količina nikad nije negativna. Ali negativni broj koristi se kako bi se naznačilo da se iznos oduzima. Na primjer, možemo izliti iz boce i zapisati kao. (Vidi sliku 7.)

Lik: 7. Oznaka nedostajuće količine

Naručivanje. Ponekad se prilikom numeriranja odabire nula i objekte trebate numerirati u oba smjera od nule. Na primjer, podovi ispod th, u podrumu. (Pogledajte sliku 8.) Ili temperaturu koja je ispod odabrane nule. (Vidi sliku 9.)

Lik: 8. Kat smješten ispod, u podrumu

Lik: 9. Negativni brojevi na skali termometra

Ipak, glavna svrha negativnih brojeva je kao alat za pojednostavljivanje matematičkih izračuna.

Ali da negativni brojevi postanu ovakvi zgodan alat, moram:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje, bilježenje temperature trebate odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. Oboje su sporazumi. Za ime znanstvenika koji ju je predložio koristimo Celzijevu ljestvicu. (Vidi sliku 10.)

Lik: 10. Anders Celzijus

Ovdje se kao referentna točka odabire točka smrzavanja vode. Sve što je dolje označeno je negativnom vrijednošću. (Vidi sliku 11.)

Lik: jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, tada negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna u ovoj drugoj ljestvici. I tako se dogodi. Kelvinova ljestvica široko se koristi u fizici. Slična je Celzijevoj skali, samo je najniža moguća vrijednost temperature odabrana kao nula (ne može biti niža). Ova se vrijednost naziva "apsolutnom nulom". Celzijus je otprilike. (Vidi sliku 12.)

Lik: 12. Dvije ljestvice

Odnosno, u Kelvinovoj ljestvici uopće nema negativnih vrijednosti.

Dakle, naše ljeto .

I leden .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor ljudi da je tako zovu.

Krenimo od nule. Nula ima poseban položaj među brojevima.

Kao što smo već razgovarali, za našu udobnost oduzimanje sedam možemo označiti kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, znak "" ostavljamo kao znak. Nazovimo novi broj.

Odnosno, "" je takav broj koji, kada se doda, daje nulu :. I to bilo kojim redoslijedom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo ranije proučavali uvedemo novi broj, negativan, čiji je znak ispred njega znak minus. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takvi blizanci zvat će se suprotnim brojevima. (Vidi sliku 13.)

Lik: trinaest. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: suprotni brojevi su dva broja čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u predznaku "".

Ako na primjer varijabli prethodi "", što to znači? To ne znači da je ta vrijednost negativna. Znak minus znači da je ova vrijednost suprotna broju :. Koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan, ne znamo.

Ako tada.

Ako (negativan broj), onda (pozitivan broj).

Što je suprotno nuli? To već znamo.

Ako se bilo kojem broju, uključujući nulu, doda nula, tada se izvorni broj neće promijeniti. Odnosno, zbroj dviju nula je nula :. Ali brojevi koji se zbrajaju na nulu suprotni su. Dakle, nula je suprotnost samoj sebi.

Dakle, vi i ja dali smo definiciju negativnih brojeva, saznali zašto su potrebni.

Sad posvetimo malo vremena tehnici. Za sada moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj:

U posljednjem dijelu lekcije govorit ćemo o novim imenima i oznakama skupova koji se pojavljuju nakon uvođenja negativnih brojeva.

Razmotrimo primjer. Potrebno je dosljedno izračunati :.

Možete presložiti brojeve koje želite dodati, a zatim oduzeti preostale :.

Ali to nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati ostatak stvari u nekom skladištu i moramo znati srednji rezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu :.

Znamo kakav će onda rezultat biti oduzimanje broja. To znači da trebate oduzeti, ali još ne od ničega. Kad se ima od čega oduzeti, oduzmite:

Ali možemo "varati" i odrediti. Stoga ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi.

Već smo napravili takvu operaciju - u prirodi, na primjer, također nije postojao broj "", ali uveli smo takav objekt kako bismo olakšali snimanje radnji.

Zamislite da smo u sportskom skladištu dobili uputu za izdavanje i primanje lopti. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano, prihvaćeno, izdano, prihvaćeno, ... (vidi sliku 1.)

Lik: 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati više puta dnevno, tada snimanje nije baš prikladno.

List možete podijeliti u dva stupca, jedan je prihvaćen, drugi izdan. (Vidi sliku 2.)

Lik: 2. Pojednostavljeni zapis

Snimka je postala kraća. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je lopti odneseno (ili poklonjeno) u bilo kojem određenom trenutku?

Za zapisnik se možemo poslužiti sljedećim razmatranjem: kada loptice dijelimo iz skladišta, njihova količina u skladištu se smanjuje, a kad ih prihvatimo, povećava se.

Ali kako zapisati "šutnuo loptu"? Možete unijeti objekt poput ovog :.

Ovaj nam objekt omogućuje da napravimo matematički zapis kretanja lopti redoslijedom kojim se to dogodilo:

Uzmimo još jedan primjer.

Na račun vaših telefonskih rubalja. Otišli ste na internet i koštalo je rubalja. Pokazalo se da je riječ o dugu od rubalja. Operater bi mogao zapisati ovako: "klijent duguje rublje." Stavili ste rubalja. Operater je odbio dug. Ispalo je na račun rubalja.

No, prikladno je bilježiti i operacije i novac na račun pomoću znakova "" i "". (Vidi sliku 3.)

Lik: 3. Prikladno snimanje

Upisujemo negativan broj da bismo zabilježili rezultat oduzimanja od manjeg broja većeg :.

Dodavanje negativnog broja isto je što i oduzimanje :.

Da bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo ranije imali posla, dogovoreno je da ispred njega stavimo znak minus :.

Biste li mogli bez njih? Da, možeš. U svakoj specifičnoj situaciji koristili bismo riječi "natrag", "na posudbu" i tako dalje. Ali, ove bi riječi bile drugačije.

I tako imamo univerzalni prikladni alat. Jedna za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od velikog broja dijelova, od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali svi zajedno omogućuju vam vožnju. Isto tako, negativni brojevi su alat koji, zajedno s ostalim matematičkim alatima, olakšava izračunavanje i pojednostavljivanje rješenja i pisanja mnogih problema.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Za što se koriste u životu?

Prvo, sjetimo se uloga pozitivnih brojeva:

Količina: npr. Drvo, litra mlijeka. (Vidi sliku 4.)

Lik: 4. Količina

Redoslijed: Na primjer, kuće su numerirane pozitivnim brojevima. (Vidi sliku 5.)

Lik: 5. Naručivanje

Ime: na primjer, broj igrača. (Vidi sliku 6.)

Lik: 6. Broj kao ime

Pogledajmo sada funkcije negativnih brojeva:

Oznaka količine nedostaje. Količina nikad nije negativna. Ali negativni broj koristi se kako bi se naznačilo da se iznos oduzima. Na primjer, možemo izliti iz boce i zapisati kao. (Vidi sliku 7.)

Lik: 7. Oznaka nedostajuće količine

Naručivanje. Ponekad se prilikom numeriranja odabire nula i objekte trebate numerirati u oba smjera od nule. Na primjer, podovi ispod th, u podrumu. (Pogledajte sliku 8.) Ili temperaturu koja je ispod odabrane nule. (Vidi sliku 9.)

Lik: 8. Kat smješten ispod, u podrumu

Lik: 9. Negativni brojevi na skali termometra

Ipak, glavna svrha negativnih brojeva je kao alat za pojednostavljivanje matematičkih izračuna.

Ali da bi negativni brojevi postali tako prikladan alat, morate:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje, bilježenje temperature trebate odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. Oboje su sporazumi. Za ime znanstvenika koji ju je predložio koristimo Celzijevu ljestvicu. (Vidi sliku 10.)

Lik: 10. Anders Celzijus

Ovdje se kao referentna točka odabire točka smrzavanja vode. Sve što je dolje označeno je negativnom vrijednošću. (Vidi sliku 11.)

Lik: jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, tada negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna u ovoj drugoj ljestvici. I tako se dogodi. Kelvinova ljestvica široko se koristi u fizici. Slična je Celzijevoj skali, samo je najniža moguća vrijednost temperature odabrana kao nula (ne može biti niža). Ova se vrijednost naziva "apsolutnom nulom". Celzijus je otprilike. (Vidi sliku 12.)

Lik: 12. Dvije ljestvice

Odnosno, u Kelvinovoj ljestvici uopće nema negativnih vrijednosti.

Dakle, naše ljeto .

I leden .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor ljudi da je tako zovu.

Krenimo od nule. Nula ima poseban položaj među brojevima.

Kao što smo već razgovarali, za našu udobnost oduzimanje sedam možemo označiti kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, znak "" ostavljamo kao znak. Nazovimo novi broj.

Odnosno, "" je takav broj koji, kada se doda, daje nulu :. I to bilo kojim redoslijedom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo ranije proučavali uvedemo novi broj, negativan, čiji je znak ispred njega znak minus. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takvi blizanci zvat će se suprotnim brojevima. (Vidi sliku 13.)

Lik: 13. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: suprotni brojevi su dva broja čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u predznaku "".

Ako na primjer varijabli prethodi "", što to znači? To ne znači da je ta vrijednost negativna. Znak minus znači da je ova vrijednost suprotna broju :. Koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan, ne znamo.

Ako tada.

Ako (negativan broj), onda (pozitivan broj).

Što je suprotno nuli? To već znamo.

Ako se bilo kojem broju, uključujući nulu, doda nula, tada se izvorni broj neće promijeniti. Odnosno, zbroj dviju nula je nula :. Ali brojevi koji se zbrajaju na nulu suprotni su. Dakle, nula je suprotnost samoj sebi.

Dakle, vi i ja dali smo definiciju negativnih brojeva, saznali zašto su potrebni.

Sad posvetimo malo vremena tehnici. Za sada moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj:

U posljednjem dijelu lekcije govorit ćemo o novim imenima i oznakama skupova koji se pojavljuju nakon uvođenja negativnih brojeva.

Suprotno od vas samih.

Suprotno stvarnom

Iz definicije suprotan broj treba

$n\; "\backslash u003d\; -n$

Dakle, suprotni brojevi imaju isti modul, ali suprotne predznake. Sukladno tome, suprotno od broja $n$ označavaju $-n$.

Suprotno zamišljenoj jedinici

$\backslash \backslash \; frac\; (1)\; (i)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1\; \backslash \backslash \; cdot\; i)\; (i\; \backslash \backslash \; cdot\; i)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (i)\; (i\; ^\; 2)\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (i)\; (-\; 1)\; \backslash u003d\; -\; i$

Tako dobivamo

$-i\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (i)$__ ili__ $-i\; \backslash u003d\; i\; ^\; (-\; 1)$

Slično za $-i$: __ $i\; \backslash u003d\; -\; \backslash \backslash \; frac\; (1)\; (i)$ __ ili __ $i\; \backslash u003d\; -i\; ^\; (-\; 1)$

Napišite recenziju članka "Suprotan broj"

Bilješke (uredi)

vidi također

Izvod iz suprotnog broja

Sutradan, rano ujutro, oronuli Kutuzov ustao je, molio se Bogu, odjeven i s neugodnom sviješću da mora voditi bitku, koju nije odobravao, sjeo u kočiju i odvezao se iz Letaševke, pet milja iza Tarutina, do mjesta gdje su trebale biti sastavljene napredne kolone. Kutuzov je jahao, zaspao i probudio se i osluškivao ima li pucnjeva s desne strane, je li slučaj počeo? Ali i dalje je bilo tiho. Zora vlažnog i oblačnog jesenskog dana tek je počinjala. Prilazeći Tarutinu, Kutuzov je primijetio konjanike koji su konje vodili do pojilišta preko ceste kojom je kočija putovala. Kutuzov ih je dobro pogledao, zaustavio kočiju i pitao koju pukovniju? Konjanici su bili iz kolone koja je već trebala biti daleko naprijed u zasjedi. "Možda greška", pomisli stari vrhovni zapovjednik. No, otputujući još dalje, Kutuzov je u gaćama vidio pješačke pukovnije, puške u kutiji, vojnike s kašom i ogrjevnim drvetom. Pozvan je časnik. Policajac je izvijestio da nije bilo zapovijedi za marš.
- Kako da ne ... - započeo je Kutuzov, ali odmah je zašutio i naredio da pozove višeg časnika. Izašavši iz kočije, pognute glave i teško dišući, nečujno čekajući, hodao je gore-dolje. Kad se pojavio traženi službenik generalnog stožera Eichen, Kutuzov je postao ljubičast ne zato što je ovaj časnik kriv za pogrešku, već zato što je bio dostojan subjekt za izražavanje bijesa. I, tresući se, dahćući, starac je, došavši u to stanje bijesa, u koje je mogao doći kad je od bijesa ležao na zemlji, lansirao na Eichen, prijeteći rukama, vičući i psujući s četvrtaste riječi. Još jedan koji se pojavio, kapetan Brozin, koji ni za što nije kriv, doživio je istu sudbinu.
- Kakva je ovo kanalija? Pucajte u nitkove! Promuklo je vikao mašući rukama i teturajući. Bio je u fizičkoj nevolji. On, vrhovni zapovjednik, najsvjetliji, za koga svi uvjeravaju da nikada nitko u Rusiji nije imao takvu moć kao on, postavljen je u ovaj položaj - ismijao je cijelu vojsku. „Uzalud sam se toliko trudio moliti za današnji dan, uzalud noću nisam spavao i sve sam razmislio! - mislio je na sebe. "Kad sam bio dječak kao časnik, nitko mi se ne bi usudio smijati tako ... Sad!" Doživio je fizičku patnju, kao od tjelesne kazne, i nije mogao ne izraziti je ljutitim i patničkim poklicima; ali ubrzo mu je snaga oslabila i on je, osvrnuvši se oko sebe, osjećajući da je rekao puno lošeg, sjeo u kočiju i šutke se odvezao natrag.

Definicija suprotnih brojeva

Definicija suprotnih brojeva:

Dva broja nazivaju se suprotnim ako se razlikuju samo po znakovima.

Primjeri suprotnih brojeva

Primjeri suprotnih brojeva.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Odavde je jasno kako pronaći broj koji je suprotan danom: samo promijenite znak broja.

Suprotno od 3 je minus tri.

Primjer. Brojevi su suprotni podacima.

Dano: brojevi 1; pet; 8; 9.

Pronađite suprotne brojeve.

Da bismo riješili ovaj zadatak, jednostavno mijenjamo znakove danih brojeva:

Napravimo tablicu suprotnih brojeva:

Broj suprotan nuli

Suprotan broju nuli je sam broj nula.

Dakle, suprotan broj 0 je 0.

Nasuprot cijelih brojeva

Nasuprot cijele brojeve razlikuju samo znakovi.

Primjeri suprotnih cijelih brojeva.

10 -10
20 -20
125 -125

Par suprotnih brojeva

Kada se govori o suprotnim brojevima, oni uvijek znače par suprotnih brojeva.

Broj je suprotan drugom broju. I svaki broj ima samo jedan suprotni broj.

Suprotno prirodnim brojevima

Brojevi nasuprot prirodnim brojevima negativni su cijeli brojevi.

Napravimo tablicu suprotnih brojeva za prvih pet prirodnih brojeva:

Zbroj suprotnih brojeva

Zbroj suprotnih brojeva je nula. Napokon, suprotni se brojevi razlikuju samo po predznaku.