Une déclaration est une formation plus complexe qu'un nom. Lors de la décomposition des instructions en parties plus simples, nous obtenons toujours l'un ou l'autre nom. Disons que la déclaration "Le soleil est une étoile" inclut les noms "Soleil" et "étoile" comme ses parties.

En disant - une phrase grammaticalement correcte, prise avec le sens (contenu) exprimé par celle-ci, et qui est vraie ou fausse.

Le concept d'énoncé est l'un des premiers concepts clés logique moderne. En tant que tel, il ne permet pas définition exacte, également applicable dans ses différentes sections.

Un énoncé est considéré comme vrai si la description qu'il donne correspond à la situation réelle, et faux s'il n'y correspond pas. "Vrai" et "faux" sont appelés "valeurs de vérité des propositions".

À partir de déclarations individuelles différentes façons vous pouvez créer de nouvelles phrases. Par exemple, à partir des énoncés « Le vent souffle » et « Il pleut », des énoncés plus complexes peuvent être formés « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « Si il pleut, puis le vent souffle », etc.

La déclaration s'appelle Facile, s'il n'inclut pas d'autres déclarations en tant que parties.

La déclaration s'appelle compliqué s'il est obtenu à l'aide de connecteurs logiques à partir d'autres énoncés plus simples.

Considérez le plus moyens importants immeuble déclarations complexes.

discours négatif se compose de la déclaration et de la négation originales, généralement exprimées par les mots "pas", "ce n'est pas vrai que". Une proposition négative est donc une proposition composée : elle comprend dans sa partie une proposition distincte d'elle. Par exemple, la négation de l'énoncé "10 est un nombre pair" est l'énoncé "10 n'est pas un nombre pair" (ou : "Ce n'est pas vrai que 10 est un nombre pair").

Désignons les déclarations par des lettres A, B, C,... Tout le sens du concept de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé MAIS est vraie, sa négation est fausse, et si MAIS faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque l'énoncé "1 est un entier positif" est vrai, sa négation "1 n'est pas un entier nombre positif" est faux, et puisque "1 est un nombre premier" est faux, sa négation "1 n'est pas un nombre premier" est vraie.

La combinaison de deux déclarations avec le mot "et" donne une déclaration composée appelée conjonction. Les déclarations connectées de cette manière sont appelées "termes de conjonction".

Par exemple, si les énoncés « Aujourd'hui il fait chaud » et « Hier il faisait froid » sont ainsi combinés, on obtient la conjonction « Aujourd'hui il faisait chaud et hier il faisait froid ».

Une conjonction n'est vraie que si les deux déclarations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses termes est faux, alors toute la conjonction est fausse.

Dans le langage courant, deux énoncés sont reliés par l'union « et » lorsqu'ils sont liés par leur contenu ou leur sens. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction "Il est allé au manteau, et je suis allé à l'université" comme une expression qui a du sens et qui peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est Grande ville» sont vraies, nous ne sommes pas enclins à considérer leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville » comme vraie, puisque les composantes de ces affirmations n'ont pas de sens. En simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et pour cela, abandonnant le vague concept de « connexion d'énoncés par le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus spécifique.

Relier deux phrases avec le mot "ou" donne disjonction ces déclarations. Les déclarations qui forment une disjonction sont appelées "membres de la disjonction".

Le mot "ou" dans le langage courant a deux sens différents. Parfois, cela signifie "l'un ou l'autre, ou les deux", et parfois "l'un ou l'autre, mais pas les deux ensemble". Par exemple, l'énoncé "Cette saison, je veux y aller" reine de pique» ou à « Aida » permet la possibilité d'une double visite à l'onera. Dans la déclaration "Il étudie à Moscou ou à l'Université de Yaroslavl", il est sous-entendu que la personne mentionnée n'étudie que dans l'une de ces universités.

Le premier sens de "ou" est appelé non exclusif. Prise en ce sens, la disjonction de deux énoncés signifie qu'au moins un de ces énoncés est vrai, qu'ils soient tous les deux vrais ou non. Pris dans la seconde exclusif ou au sens strict, la disjonction de deux propositions énonce que l'une des propositions est vraie et l'autre est fausse.

Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins une de ses affirmations est vraie, et fausse uniquement lorsque ses deux termes sont faux.

Une disjonction exclusive est vraie lorsqu'un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou les deux sont faux.

En logique et en mathématiques, le mot "ou" est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif.

Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée en utilisant le lien "si ..., alors ..." et établissant cet événement, état, etc. est dans un sens ou dans un autre la base ou la condition de l'autre.

Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si un nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc.

Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui auquel le mot "si" est préfixé s'appelle fondation, ou alors antécédent(précédent), la déclaration qui vient après le mot "cela" s'appelle conséquence, ou alors consécutif(subséquent).

En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons d'abord qu'il ne se peut pas que ce qui est dit dans son fondement ait lieu, mais que ce qui est dit dans la conséquence soit absent. En d'autres termes, il ne peut arriver que l'antécédent soit vrai et le conséquent faux.

En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de conditions suffisantes et nécessaires sont généralement définis : l'antécédent (base) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la véracité de l'énoncé conditionnel "Si le choix est rationnel, alors la meilleure alternative disponible est choisie" signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure option disponible, et que le choix d'une telle option est une condition nécessaire pour sa rationalité.

Une fonction typique d'une déclaration conditionnelle est de justifier une déclaration en se référant à une autre déclaration. Par exemple, le fait que l'argent soit électriquement conducteur peut être justifié en se référant au fait qu'il s'agit d'un métal : « Si l'argent est un métal, il est électriquement conducteur ».

Le lien entre le justifiant et le justifié (motifs et conséquences) exprimé par l'énoncé conditionnel est difficile à caractériser dans vue générale, et seulement parfois sa nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, la connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion de la conclusion correcte ("Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle"); deuxièmement, par la loi de la nature ("Si le corps est soumis à des frottements, il commencera à s'échauffer"); troisièmement, par causalité (« Si la Lune à la nouvelle lune est au nœud de son orbite, éclipse solaire» ); quatrièmement, la régularité sociale, la règle, la tradition, etc. (« Si la société change, la personne change aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être exécuté »).

Le lien exprimé par l'énoncé conditionnel est généralement lié à la conviction que la conséquence "suit" nécessairement de la raison et qu'il existe une loi générale, ayant pu formuler laquelle, on pourrait logiquement déduire la conséquence de la raison.

Par exemple, l'énoncé conditionnel "Si le bismuth est un métal est plastique", pour ainsi dire, implique la loi générale "Ici les métaux sont plastiques", qui fait du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent.

Tant dans le langage courant que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de la fonction de justification, peut également accomplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est liée à aucune loi ou règle générale implicite ("Si je veux, je vais couper mon manteau »); fixer n'importe quelle séquence ("Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleut"); exprimer l'incrédulité sous une forme particulière ("Si vous résolvez ce problème, je prouverai le dernier théorème de Fermat"); opposition ("Si le sureau pousse dans le jardin, alors un oncle vit à Kiev"), etc. La multiplicité et l'hétérogénéité des fonctions d'un énoncé conditionnel complique considérablement son analyse.

L'utilisation d'un énoncé conditionnel est associée à certains facteurs psychologiques. Ainsi, nous formulons généralement une telle affirmation uniquement si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et son conséquent sont vrais ou non. Sinon, son utilisation semble contre nature ("Si le coton est un métal, c'est un conducteur électrique").

Le conditionnel trouve très application large dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est généralement représenté par énoncé implicite, ou alors répercussions. Dans le même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'utilisation de "si ..., alors ...", la libère de l'influence des facteurs psychologiques.

La logique s'abstrait notamment du fait que, selon le contexte, le lien entre le fondement et la conséquence, caractéristique d'un énoncé conditionnel, peut s'exprimer à l'aide non seulement de « si..., alors ... », mais aussi d'autres outils de langage. Par exemple, "Puisque l'eau est un liquide, elle transfère la pression uniformément dans toutes les directions", "Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, elle est en plastique", "Si un arbre était un métal, il serait électriquement conducteur", etc. Ces déclarations et d'autres similaires sont représentées dans le langage de la logique au moyen d'implications, bien que l'utilisation de "si ... alors ..." ne soit pas tout à fait naturelle.

En affirmant l'implication, nous affirmons qu'il ne peut arriver que sa fondation ait lieu et que sa conséquence n'existe pas. En d'autres termes, une implication n'est fausse que si la raison est vraie et la conséquence est fausse.

Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que toute proposition est soit vraie soit fausse et que la valeur de vérité d'une proposition composée ne dépend que des valeurs de vérité de ses propositions composantes et de la manière dont elles sont connectées.

Une implication est vraie quand sa raison et sa conséquence sont vraies ou fausses ; il est vrai si sa raison est fausse et sa conséquence est vraie. Ce n'est que dans le quatrième cas, lorsque la raison est vraie et la conséquence fausse, que l'implication est fausse.

L'implication n'implique pas que les déclarations MAIS et À en quelque sorte liés les uns aux autres en termes de contenu. En cas de vérité À en disant "si MAIS, alors À" vrai, peu importe si MAIS vrai ou faux, et sa signification est liée à À ou pas.

Par exemple, les déclarations sont considérées comme vraies: "S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux fois deux égalent quatre", "Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village", etc. La condition est également vraie lorsque MAIS faux, et encore indifférent, vrai À ou non, et son contenu est lié à MAIS ou pas. Les affirmations suivantes sont vraies : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux fois deux égalent cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc.

Dans un raisonnement ordinaire, toutes ces affirmations ont peu de chances d'être considérées comme significatives, et encore moins comme vraies.

Bien que l'implication soit utile à de nombreuses fins, elle ne correspond pas tout à fait à la compréhension habituelle de l'association conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique de l'énoncé conditionnel, mais en même temps, ce n'est pas une description suffisamment adéquate de celui-ci.

Au cours du dernier demi-siècle, de vigoureuses tentatives ont été faites pour réformer la théorie de l'implication. Dans le même temps, il ne s'agissait pas d'abandonner le concept d'implication décrit, mais d'introduire, parallèlement à celui-ci, un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais également leur connexion dans le contenu.

Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelée "double implication".

L'équivalence est un énoncé complexe « L si et seulement si B », formé à partir des énoncés de Lee V et décomposé en deux implications : « si MAIS, alors B", et "si B, alors MAIS". Par exemple : "Un triangle est équilatéral si et seulement s'il est équiangulaire." Le terme "équivalence" désigne également le lien "..., si et seulement si...", à l'aide duquel cet énoncé complexe est formé de deux énoncés. Au lieu de "si et seulement si", "si et seulement si", "si et seulement si", etc. peuvent être utilisés à cette fin.

Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vrai et de faux, alors une équivalence est vraie si et seulement si ses deux énoncés constitutifs ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire quand les deux sont vrais ou les deux faux. Ainsi, une équivalence est fausse lorsque l'un de ses énoncés est vrai et l'autre faux.

logique propositionnelle , également appelée logique propositionnelle - une branche des mathématiques et de la logique qui étudie les formes logiques d'énoncés complexes construits à partir d'énoncés simples ou élémentaires à l'aide d'opérations logiques.

La logique des propositions est abstraite de la charge significative des propositions et étudie leur valeur de vérité, c'est-à-dire si la proposition est vraie ou fausse.

La figure ci-dessus est une illustration d'un phénomène connu sous le nom de paradoxe du menteur. En même temps, de l'avis de l'auteur du projet, de tels paradoxes ne sont possibles que dans des environnements qui ne sont pas exempts de problèmes politiques, où quelqu'un peut être qualifié de menteur a priori. Dans le monde naturel en couches sur le sujet de la "vérité" ou de la "fausseté" n'est évalué que par des déclarations prises séparément . Et plus tard dans cette leçon, on vous présentera l'occasion d'évaluer de nombreuses déclarations à ce sujet (puis regardez les bonnes réponses). Y compris les déclarations complexes dans lesquelles les plus simples sont interconnectées par des signes d'opérations logiques. Mais considérons d'abord ces opérations sur les propositions elles-mêmes.

La logique propositionnelle est utilisée en informatique et en programmation sous la forme de la déclaration de variables logiques et de leur attribution des valeurs logiques "faux" ou "vrai", dont dépend le déroulement de l'exécution ultérieure du programme. Dans les petits programmes où une seule variable booléenne est impliquée, cette variable booléenne reçoit souvent un nom, tel que "flag" et le "flag" est implicite lorsque la valeur de cette variable est "true" et "flag is down" lorsque la valeur de cette variable est "fausse". Dans les grands programmes, dans lesquels il y a peu ou même beaucoup de variables logiques, les professionnels sont amenés à trouver des noms de variables logiques qui prennent la forme de propositions et charge sémantique, les distinguant des autres variables logiques et compréhensibles pour les autres professionnels qui liront le texte de ce programme.

Ainsi, une variable logique avec le nom "UserRegistered" (ou son équivalent anglais) peut être déclarée, ayant la forme d'une déclaration, qui peut se voir attribuer la valeur logique "true" si les conditions sont remplies pour que les données d'enregistrement soient envoyées par l'utilisateur et ces données sont reconnues par le programme comme valides. Dans d'autres calculs, les valeurs des variables peuvent changer en fonction de la valeur logique ("true" ou "false") de la variable "UserLogged in". Dans d'autres cas, une variable, par exemple, avec le nom "Plus de trois jours jusqu'au jour", peut se voir attribuer la valeur "Vrai" jusqu'à un certain bloc de calculs, et pendant l'exécution ultérieure du programme, cette valeur peut être enregistré ou changé en "faux" et le déroulement de l'exécution ultérieure dépend de la valeur de cette variable programmes.

Si un programme utilise plusieurs variables logiques dont les noms ont la forme de propositions et que des propositions plus complexes sont construites à partir d'elles, il est alors beaucoup plus facile de développer un programme si, avant de le développer, toutes les opérations à partir de propositions sont écrites sous forme de formules utilisé dans la logique propositionnelle que nous le faisons au cours de cette leçon et faisons-le.

Opérations logiques sur les déclarations

Pour les énoncés mathématiques, on peut toujours choisir entre deux alternatives différentes "vrai" et "faux", mais pour les énoncés faits en langage "verbal", les concepts de "vrai" et "faux" sont un peu plus vagues. Cependant, par exemple, des formes verbales telles que "Rentrez chez vous" et "Est-ce qu'il pleut ?" ne sont pas des énoncés. Par conséquent, il est clair que les énoncés sont des formes verbales dans lesquelles quelque chose est énoncé . Les phrases interrogatives ou exclamatives, les appels, ainsi que les souhaits ou demandes ne sont pas des déclarations. Ils ne peuvent pas être évalués par les valeurs "true" et "false".

Les propositions, en revanche, peuvent être considérées comme une quantité pouvant prendre deux valeurs : "vrai" et "faux".

Par exemple, des jugements sont donnés : « un chien est un animal », « Paris est la capitale de l'Italie », « 3

La première de ces déclarations peut être évaluée avec le symbole "vrai", la seconde - "faux", la troisième - "vrai" et la quatrième - "faux". Une telle interprétation des propositions fait l'objet de l'algèbre propositionnelle. Nous noterons les énoncés avec de grands avec des lettres latines UN, B, ..., et leurs valeurs, c'est-à-dire vrai et faux, respectivement Et et L. Dans le discours ordinaire, des connexions sont utilisées entre les déclarations "et", "ou" et d'autres.

Ces connexions permettent, en combinant divers énoncés, de former de nouveaux énoncés - déclarations complexes . Par exemple, un tas de "et". Donnons les énoncés : π supérieur à 3" et la mention " π moins de 4. Vous pouvez organiser une nouvelle déclaration - complexe " π plus de 3 et π moins de 4". L'énoncé "si π irrationnel, alors π ² est aussi irrationnel" est obtenu en reliant deux déclarations avec le lien "si - alors". Enfin, nous pouvons obtenir une nouvelle - déclaration complexe - à partir de n'importe quelle déclaration - niant la déclaration d'origine.

Considérer les propositions comme des quantités prenant les valeurs Et et L, nous définissons plus loin opérations logiques sur les instructions , qui nous permettent d'obtenir de nouvelles déclarations complexes à partir de ces déclarations.

Donnons deux déclarations arbitraires UN et B.

1 . La première opération logique sur ces énoncés - la conjonction - est la formation d'un nouvel énoncé, que nous noterons UN ∧ B et qui est vrai si et seulement si UN et B vrai. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à la connexion d'énoncés avec un tas de "et".

Table de vérité pour la conjonction :

2 . La deuxième opération logique sur les déclarations UN et B- disjonction exprimée par UN ∨ B, est défini comme suit : il est vrai si et seulement si au moins une des affirmations originales est vraie. Dans le discours ordinaire, cette opération correspond à la connexion d'instructions avec un groupe de "ou". Cependant, nous avons ici un "ou" non séparatif, qui est compris dans le sens de "soit-ou" lorsque UN et B les deux ne peuvent pas être vrais. Dans la définition de la logique propositionnelle UN ∨ B vrai si une seule des affirmations est vraie, et si les deux affirmations sont vraies UN et B.

Table de vérité pour la disjonction :

3 . La troisième opération logique sur les déclarations UN et B, exprimé en UN → B; l'énoncé résultant est faux si et seulement si UN vrai, et B faux. UN appelé parcelle , B - conséquence , et la déclaration UN → B - Suivant , aussi appelée implication. Dans le langage courant, cette opération correspond au lien « si - alors » : « si UN, alors B". Mais dans la définition de la logique propositionnelle, cette proposition est toujours vraie, que la proposition soit vraie ou fausse B. Cette circonstance peut être brièvement formulée comme suit : "tout ce que vous aimez découle du faux". A son tour, si UN vrai, et B faux, alors toute la déclaration UN → B faux. Ce sera vrai si et seulement si UN, et B vrai. Brièvement, cela peut être formulé comme suit : "le faux ne peut pas découler du vrai".

Table de vérité à suivre (implication) :

4 . La quatrième opération logique sur des énoncés, plus précisément sur un énoncé, est appelée la négation d'un énoncé. UN et noté ~ UN(vous pouvez également trouver l'utilisation non pas du symbole ~, mais du symbole ¬, ainsi que du surlignement UN). ~ UN il y a un énoncé qui est faux quand UN vrai, et vrai quand UN faux.

Table de vérité pour la négation :

5 . Et, enfin, la cinquième opération logique sur les propositions est appelée équivalence et est notée UN ↔ B. La déclaration qui en résulte UN ↔ B est un énoncé vrai si et seulement si UN et B les deux vrais ou les deux faux.

Table de vérité d'équivalence :

La plupart des langages de programmation ont des symboles spéciaux pour les valeurs logiques des propositions, ils sont écrits dans presque toutes les langues comme vrai (vrai) et faux (faux).

Résumons ce qui précède. logique propositionnelle étudie des liens entièrement déterminés par la manière dont certains énoncés sont construits à partir d'autres, dits élémentaires. Les énoncés élémentaires sont considérés comme un tout, non décomposable en parties.

Nous systématisons dans le tableau ci-dessous les noms, désignations et significations des opérations logiques sur les énoncés (nous en aurons bientôt à nouveau besoin pour résoudre des exemples).

Pour les opérations logiques sont vraies lois de l'algèbre de la logique, qui peut être utilisé pour simplifier les expressions booléennes. En même temps, il convient de noter que dans la logique des propositions, elles sont abstraites du contenu sémantique de la proposition et se limitent à la considérer dans la position où elle est soit vraie soit fausse.

Exemple 1

1) (2 = 2) ET (7 = 7) ;

2) Non(15 ;

3) ("Pin" = "Chêne") OU ("Cerisier" = "Érable");

4) Non("Pin" = "Chêne") ;

5) (Pas(15 20) ;

6) ("Les yeux sont donnés pour voir") et ("Sous le troisième étage se trouve le deuxième étage");

7) (6/2 = 3) OU (7*5 = 20) .

1) La valeur de l'énoncé entre les premières parenthèses est "true", la valeur de l'expression entre les deuxièmes parenthèses est également vraie. Les deux déclarations sont reliées par l'opération logique "ET" (voir les règles de cette opération ci-dessus), de sorte que la valeur logique de cette déclaration entière est "vrai".

2) Le sens de l'énoncé entre parenthèses est "faux". Cette déclaration est précédée d'une opération de négation logique, de sorte que la valeur logique de toute cette déclaration est "vrai".

3) Le sens de l'énoncé entre les premières parenthèses est "faux", le sens de l'énoncé entre les deuxièmes parenthèses est également "faux". Les déclarations sont reliées par l'opération logique "OU" et aucune des déclarations n'a la valeur "vrai". Par conséquent, la signification logique de toute cette déclaration est "fausse".

4) Le sens de l'énoncé entre parenthèses est "faux". Cette instruction est précédée d'une opération de négation logique. Par conséquent, la signification logique de l'ensemble de la déclaration donnée est "vraie".

5) Dans les premières parenthèses, l'énoncé entre parenthèses intérieures est nié. Cette déclaration entre parenthèses est évaluée à "faux", donc sa négation sera évaluée à la valeur logique "vrai". La déclaration entre les deuxièmes parenthèses a la valeur "faux". Ces deux déclarations sont reliées par l'opération logique "ET", c'est-à-dire que "vrai ET faux" est obtenu. Par conséquent, la signification logique de l'ensemble de la déclaration donnée est "fausse".

6) Le sens de la déclaration dans les premières parenthèses est "vrai", le sens de la déclaration dans les deuxièmes parenthèses est également "vrai". Ces deux déclarations sont reliées par l'opération logique "ET", c'est-à-dire que "vrai ET vérité" est obtenu. Par conséquent, la signification logique de l'ensemble de la déclaration donnée est "vraie".

7) Le sens de l'énoncé entre les premières parenthèses est "vrai". La signification de l'énoncé entre les deuxièmes crochets est "faux". Ces deux déclarations sont reliées par l'opération logique "OU", c'est-à-dire que "vrai OU faux" est obtenu. Par conséquent, la signification logique de l'ensemble de la déclaration donnée est "vraie".

Exemple 2Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques :

1) "Utilisateur non enregistré" ;

2) « Aujourd'hui, c'est dimanche et certains employés sont au travail » ;

3) "L'utilisateur est enregistré lorsque et seulement lorsque les données envoyées par l'utilisateur sont jugées valides."

1) p- instruction unique "L'utilisateur est enregistré", opération logique : ;

2) p- déclaration unique "Aujourd'hui, c'est dimanche", q- "Certains salariés sont au travail", opération logique : ;

3) p- déclaration unique "L'utilisateur est enregistré", q- "Les données envoyées par l'utilisateur sont valides", opération logique : .

Résolvez des exemples de logique propositionnelle par vous-même, puis examinez les solutions

Exemple 3 Calculez les valeurs booléennes des déclarations suivantes :

1) ("Il y a 70 secondes dans une minute") OU ("Une horloge qui tourne indique l'heure");

2) (28 > 7) ET (300/5 = 60) ;

3) ("Poste de télévision - Appareil électroménager") et ("Verre - bois");

4) Non((300 > 100) OU ("La soif peut être étanchée avec de l'eau"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Exemple 4Écrivez les instructions complexes suivantes à l'aide d'opérations logiques et calculez leurs valeurs logiques :

1) "Si l'horloge n'indique pas l'heure correctement, vous pouvez venir en classe au mauvais moment" ;

2) "Dans le miroir, vous pouvez voir votre reflet et Paris - la capitale des États-Unis" ;

Exemple 5 Déterminer l'expression booléenne

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Pomme = Orange",

p = "0 = 9" ,

s= "Le chapeau couvre la tête".

Formules logiques propositionnelles

Le concept de la forme logique d'une instruction complexe est spécifié à l'aide du concept formules logiques propositionnelles .

Dans les exemples 1 et 2, nous avons appris à écrire des instructions complexes à l'aide d'opérations logiques. En fait, on les appelle des formules logiques propositionnelles.

Pour désigner les déclarations, comme dans l'exemple ci-dessus, nous continuerons à utiliser les lettres

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Ces lettres joueront le rôle de variables qui prennent les valeurs de vérité "vrai" et "faux" comme valeurs. Ces variables sont également appelées variables propositionnelles. Nous les appellerons dorénavant formules élémentaires ou alors atomes .

Pour construire des formules de logique propositionnelle, en plus des lettres ci-dessus, les signes d'opérations logiques sont utilisés

~, ∧, ∨, →, ↔,

ainsi que des symboles qui offrent la possibilité d'une lecture sans ambiguïté des formules - parenthèses gauche et droite.

concept formules logiques propositionnelles définir comme suit :

1) les formules élémentaires (atomes) sont des formules de logique propositionnelle ;

2) si UN et B- formules logiques propositionnelles, puis ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B) sont aussi des formules de logique propositionnelle ;

3) seules ces expressions sont des formules de logique propositionnelle pour lesquelles cela découle de 1) et 2).

La définition d'une formule logique propositionnelle contient une énumération des règles de formation de ces formules. Selon la définition, toute formule de la logique propositionnelle est soit un atome, soit est formée d'atomes par suite de l'application successive de la règle 2).

Exemple 6 Laisser être p- énoncé unique (atome) "Tous les nombres rationnels sont réels", q- "Certains nombres réels sont des nombres rationnels", r- "certains nombres rationnels sont réels". Traduisez sous forme de propositions verbales les formules suivantes de la logique propositionnelle :

6) .

1) "il n'y a pas de nombres réels qui soient rationnels" ;

2) "si tous les nombres rationnels ne sont pas réels, alors il n'y a pas de nombres rationnels réels" ;

3) "si tous les nombres rationnels sont réels, alors certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont réels" ;

4) "tous les nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres réels sont des nombres rationnels et certains nombres rationnels sont des nombres réels" ;

5) "tous les nombres rationnels sont réels si et seulement si ce n'est pas le cas que tous les nombres rationnels ne sont pas réels" ;

6) "ce n'est pas le cas qu'il n'est pas vrai que tous les nombres rationnels ne sont pas réels et qu'il n'y a pas de nombres réels qui soient rationnels ou qu'il n'y ait pas de nombres rationnels qui soient réels."

Exemple 7 Faire une table de vérité pour la formule logique propositionnelle , qui dans le tableau peut être noté F .

Décision. Nous commençons à compiler la table de vérité en enregistrant les valeurs ("vrai" ou "faux") pour les déclarations simples (atomes) p , q et r. Toutes les valeurs possibles sont écrites dans huit lignes du tableau. De plus, lors de la détermination des valeurs de l'opération d'implication et du déplacement vers la droite dans le tableau, rappelez-vous que la valeur est égale à "faux" lorsque "vrai" implique "faux".

Notez qu'aucun atome n'a la forme ~ UN , (UN ∧ B) , (UN ∨ B) , (UN → B) , (UN ↔ B). Ce sont des formules complexes.

Le nombre de parenthèses dans les formules logiques propositionnelles peut être réduit en supposant que

1) dans formule complexe nous omettons la paire extérieure de parenthèses ;

2) ordonner les signes des opérations logiques "par ancienneté":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dans cette liste, le signe ↔ a la plus grande portée et le signe ~ a la plus petite portée. La portée d'un signe d'opération est comprise comme les parties de la formule logique propositionnelle auxquelles s'applique l'occurrence considérée de ce signe (sur lesquelles elle agit). Ainsi, il est possible d'omettre dans n'importe quelle formule les paires de parenthèses qui peuvent être restaurées, en tenant compte de "l'ordre de priorité". Et lors de la restauration des crochets, on place d'abord tous les crochets qui font référence à toutes les occurrences du signe ~ (dans ce cas, nous nous déplaçons de gauche à droite), puis à toutes les occurrences du signe ∧, et ainsi de suite.

Exemple 8 Restaurer les parenthèses dans la formule logique propositionnelle B ↔ ~ C ∨ ré ∧ UN .

Décision. Les parenthèses sont restaurées pas à pas comme suit :

B ↔ (~ C) ∨ ré ∧ UN

B ↔ (~ C) ∨ (ré ∧ UN)

B ↔ ((~ C) ∨ (ré ∧ UN))

(B ↔ ((~ C) ∨ (ré ∧ UN)))

Toutes les formules logiques propositionnelles ne peuvent pas être écrites sans crochets. Par exemple, dans les formules MAIS → (B → C) et ~( UN → B), aucune autre suppression de crochets n'est possible.

Tautologies et contradictions

Les tautologies logiques (ou simplement les tautologies) sont de telles formules de logique propositionnelle que si des lettres sont arbitrairement remplacées par des propositions (vraies ou fausses), alors le résultat sera toujours une proposition vraie.

Étant donné que la vérité ou la fausseté d'énoncés complexes ne dépend que des significations, et non du contenu des énoncés, dont chacun correspond à une certaine lettre, le test de savoir si un énoncé donné est une tautologie peut être substitué de la manière suivante. Dans l'expression à l'étude, les valeurs 1 et 0 (respectivement "vrai" et "faux") sont substituées aux lettres de toutes les manières possibles, et à l'aide d'opérations logiques, les valeurs logiques des expressions sont calculées. Si toutes ces valeurs sont égales à 1, alors l'expression étudiée est une tautologie, et si au moins une substitution donne 0, alors ce n'est pas une tautologie.

Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur "vrai" pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée formule identiquement vraie ou alors tautologie .

Le sens opposé est une contradiction logique. Si toutes les valeurs de proposition sont 0, alors l'expression est une contradiction logique.

Ainsi, une formule logique propositionnelle qui prend la valeur "faux" pour toute distribution des valeurs des atomes inclus dans cette formule est appelée formule identiquement fausse ou alors contradiction .

En plus des tautologies et des contradictions logiques, il existe des formules de logique propositionnelle qui ne sont ni des tautologies ni des contradictions.

Exemple 9 Faites une table de vérité pour une formule de logique propositionnelle et déterminez s'il s'agit d'une tautologie, d'une contradiction ou ni l'un ni l'autre.

Décision. On fait une table de vérité :

Dans le sens de l'implication, nous ne rencontrons pas de ligne où "vrai" implique "faux". Toutes les valeurs de la déclaration d'origine sont égales à "true". Par conséquent, cette formule logique propositionnelle est une tautologie.

Énoncés simples et complexes, variables logiques et constantes logiques, négation logique, multiplication logique, addition logique, tables de vérité pour les opérations logiques

Pour automatiser les processus d'information, il faut non seulement pouvoir présenter l'information de manière uniforme diverses sortes(numérique, textuel, graphique, sonore) sous forme de séquences de zéros et de uns, mais aussi pour déterminer les actions pouvant être réalisées sur l'information. L'exécution de telles actions est effectuée conformément aux règles qui régissent le processus de pensée. Autrement dit, conformément aux lois de la logique. Le terme "logique" est dérivé du mot grec ancien1 à propos§08 , signifiant "pensée, raisonnement, loi". La sciencelogiquesétudie les lois et les formes de pensée, les méthodes de preuve.

Pour décrire le raisonnement et les règles d'exécution des actions avec des informations, un langage spécial est utilisé, adopté dans la logique mathématique. Le raisonnement est basé sur des phrases spéciales appelées propositions. Dans les déclarations, quelque chose est toujours affirmé ou nié sur les objets, leurs propriétés et les relations entre les objets. Une proposition est toute proposition dont on peut dire qu'elle est vraie ou fausse. Les déclarations ne peuvent être que des phrases déclaratives. Les phrases interrogatives ou impératives ne sont pas des énoncés.

déclaration - une proposition formulée comme une phrase déclarative, dont on peut dire si elle est vraie ou fausse.

Par example, phrases interrogatives"En quelle année a été la première mention annalistique de Moscou?" et "Qu'est-ce que la mémoire externe d'un ordinateur ?" ou la phrase incitative "Respecter les règles de sécurité dans le laboratoire informatique" ne sont pas des déclarations. Phrases narratives "La première mention annalistique de Moscou remonte à 1812", "La mémoire à accès aléatoire est mémoire externe ordinateur » et « Vous n'avez pas à suivre les règles de sécurité dans un cours d'informatique » sont des affirmations, car ce sont des jugements, dont chacun peut être considéré comme faux. Les déclarations vraies seront les jugements "La première mention annalistique de Moscou remonte à 1147", "Un disque magnétique dur est une mémoire externe d'un ordinateur".

Chaque énoncé correspond à une seule des deux valeurs : soit « vrai », soit « faux », qui sontconstantes booléennes.La vraie valeur est généralement désignée par le chiffre 1, et fausse valeur- le nombre 0. Les déclarations peuvent être notées en utilisantvariables booléennes,qui sont utilisées comme lettres latines majuscules. Les variables booléennes ne peuvent prendre qu'une des deux valeurs possibles : "vrai" ou "faux". Par exemple, l'instruction "Les informations d'un ordinateur sont codées à l'aide de deux caractères" peut être désignée par une variable logiqueMAIS,et l'énoncé "L'imprimante est un périphérique de stockage d'informations" peut être désigné par une variable logiqueÀ.Puisque la première affirmation est vraie, alorsMAIS= 1. Cette notation signifie que l'énoncéMAISvrai. Puisque la deuxième affirmation n'est pas vraie, alorsB =0. Une telle notation signifie que l'énoncé dans est faux.

Les déclarations peuvent être simples ou complexes. La déclaration s'appelleFacile,si aucune partie n'est une déclaration. Jusqu'à présent, des exemples d'énoncés simples ont été donnés, qui sont indiqués par des changements logiques. Construisant une chaîne de raisonnement, une personne, en utilisant des opérations logiques, combine proverbes simples dansdéclarations plus dures ».Pour découvrir le sens d'un énoncé complexe, il n'est pas nécessaire de réfléchir à son contenu. Il suffit de connaître la signification d'énoncés simples qui composent un énoncé complexe et les règles d'exécution des opérations logiques.

Opération booléenne - une action qui permet de faire une déclaration complexe à partir de déclarations simples.

Tout raisonnement humain, ainsi que le fonctionnement des dispositifs techniques modernes, sont basés sur des actions typiques avec des informations - trois opérations logiques : négation logique (inversion), multiplication logique (conjonction) et addition logique (disjonction).

Négation logique une déclaration simple est obtenue en ajoutant des mots"Ce n'est pas vrai" au début d'une phrase simple.

■ EXEMPLE 1.Il y a un dicton simple "Les crocodiles peuvent voler". Le résultat de la négation logique est l'énoncé"Ce n'est pas vrai que les crocodiles peuvent voler. La valeur de la déclaration d'origine est "false" et la valeur de la nouvelle est "true".

■ EXEMPLE 2.Il y a un dicton simple "Le fichier doit avoir un nom". Le résultat de la négation logique est l'énoncé"Ce n'est pas vrai que le fichier doit avoir un nom. La valeur de l'instruction d'origine est "true" et la valeur de la nouvelle instruction est "false".

On peut voir que la négation logique de l'énoncé est vraie lorsque l'énoncé original est faux, et vice versa, la négation logique de l'énoncé est fausse lorsque l'énoncé original est vrai.

Négation logique (inversion) - une opération logique qui associe un énoncé simple à un nouvel énoncé dont le sens est opposé à la valeur de l'énoncé d'origine.

Dénoter une instruction simple par une variable booléenneMAIS.Alors la négation logique de cette affirmation sera notée NOTMAIS. Écrivons toutes les valeurs possibles de la variable booléenneMAISet les résultats correspondants de la négation logique NONMAIS sous la forme d'un tableau appelétable de vérité pour la négation logique (Tableau 40).

Vous pouvez voir que dans la table de vérité de la négation logique, zéro passe à un et un passe à zéro.

Multiplication booléennedeux propositions simples sont obtenues en combinant ces propositions à l'aide de l'unionet.Regardons les exemples 3 à 6, qui seront le résultat d'une multiplication logique.

■ EXEMPLE3. Il y a deux déclarations simples. Une déclaration - "Carlson vit dans le sous-sol." Une autre déclaration est "Carlson est traité avec de la crème glacée".

Le résultat de la multiplication logique de ces énoncés simples sera l'énoncé complexe « Carlson vit au sous-sol,etCarlson est traité avec de la crème glacée. Vous pouvez formuler une nouvelle déclaration plus brièvement : "Carlson vit au sous-solettraité avec de la crème glacée. Les deux déclarations originales sont fausses. La signification de la nouvelle déclaration composée est également "fausse".

■ EXEMPLE 4.Il y a deux déclarations simples. La première déclaration est "Carlson vit dans le sous-sol". La deuxième déclaration est "Carlson est traité avec de la confiture".

Le résultat de la multiplication logique de ces déclarations simples sera la déclaration complexe "Carlson vit dans le sous-soletguéri avec de la confiture. La première déclaration originale est fausse et la seconde est vraie. La signification de la nouvelle déclaration composée est "faux".

■ EXEMPLE 5.Il y a deux déclarations simples. La première déclaration est "Carlson vit sur le toit". La deuxième déclaration est "Carlson est traité avec de la crème glacée".

Le résultat de la multiplication logique de ces déclarations simples sera la déclaration complexe "Carlson vit sur le toitettraité avec de la crème glacée. La première affirmation originale est vraie et la seconde est fausse. La signification de la nouvelle déclaration composée est "faux".

* EXEMPLEb. Il y a deux déclarations simples. Une déclaration - "Carlson vit sur le toit." Une autre déclaration est "Carlson est traité avec de la confiture".

Le résultat de la multiplication logique de ces déclarations simples sera la déclaration complexe "Carlson vit sur le toit et est traité avec de la confiture". Les deux déclarations originales sont vraies. La signification de la nouvelle déclaration composée est également "vraie".

On peut voir que la multiplication logique de deux déclarations n'est vraie que dans un cas - lorsque les deux déclarations originales sont vraies.s.

Multiplication booléenne (conjonction) - une opération logique qui associe deux propositions simples à une nouvelle proposition dont la valeur est vraie si et seulement si les deux propositions originales sont vraies.

TABLE DE VÉRITÉ POUR LA MULTIPLICATION LOGIQUE

Tableau 41

Si unMAIS = 0, À =0, puis A et B0 (voir exemple 3). Si unA = 07? = 1, alorsMAISEtÀ -0 (voir exemple 4). Si /1 = 1,B =0, alorsMAISEt d=0 (voir exemple 5). Si L= \, B = \, alors A\\ B = \(voir exemple 6).

Vous pouvez voir que les résultats de la multiplication logique sont les mêmes que les résultats de la multiplication habituelle des zéros et des uns.

Addition booléennedeux propositions simples sont obtenues en combinant ces propositions à l'aide de l'unionou alors.Regardons les exemples 7-10, qui seront le résultat d'une addition logique.

EXEMPLE 7 . Il y a deux déclarations simples. Une déclaration - "La comédie" L'inspecteur général "a été écrite par M. Yu. Lermontov." Une autre déclaration - "La comédie" Inspecteur général "a été écrite par I. A. Krylov."

Le résultat de l'addition logique de ces déclarations simples sera une déclaration complexe "La comédie" Inspecteur général "a été écrite par M. Yu. Lermontovou alorsI. A. Krylov. Les deux déclarations originales sont fausses. La signification de la nouvelle déclaration composée est également "fausse".

EXEMPLE 8. Il y a deux déclarations simples. La première déclaration - "La comédie" Inspecteur général "a été écrite par M. Yu. Lermontov." La deuxième déclaration - "La comédie" L'inspecteur général "a été écrite par N. V. Gogol."

Le résultat de l'addition logique de ces propositions simplesNew Yorkil y aura une déclaration complexe "La comédie" Inspecteur général "a été écrite par M, K). Lermontovou alorsN. V. Gogol. La première initialel'énoncé est faux et le second est vrai. La signification de la nouvelle déclaration composée est "vérité".

EXEMPLE 9 . Il y a deux déclarations simples. La première déclaration - "Le poème" Mtsyri "a été écrit par M. Yu. Lermontov." La deuxième déclaration - "Le poème" Mtsyri "a été écrit par N. V. Gogol". Le résultat de l'addition logique de ces déclarations simples sera une déclaration complexe "Le poème" Mtsyri "a été écrit par M. Yu. Lermontov ou N. V. Gogol." La première affirmation est vraie et la seconde est fausse. La signification de la nouvelle déclaration composée est "vérité".

EXEMPLE 10 . Il y a deux déclarations simples. Une phrase - "A. S. Pouchkine a écrit de la poésie" Une autre déclaration est "A. S. Pouchkine a écrit de la prose. Le résultat de l'addition logique de ces énoncés simples sera l'énoncé complexe « A. S. Pouchkine a écrit de la poésie ou de la prose. Les deux déclarations originales sont vraies. La signification de la nouvelle déclaration composée est également "vraie".

On peut voir que l'addition logique de deux déclarations n'est fausse que dans un cas - lorsque les deux déclarations originales sont fausses.

Addition logique (disjonction)- une opération logique qui associe deux déclarations simples à une nouvelle déclaration dont la valeur est fausse si et seulement si les deux déclarations originales sont fausses.

Dénotons une proposition simple par la variable booléenne A, et l'autre proposition simple par la variable booléenne B.

Alors l'addition logique de ces énoncés sera notée MAIS OU ALORS À

Inscrivons toutes les valeurs possibles des variables logiques A , B , ainsi que le résultat correspondant de l'addition logique A OU B sous la forme d'un tableau appelé table de vérité.

Les opérations avec des signes binaires sont effectuées selon les tables de vérité de l'addition logique

Vous pouvez voir que les résultats de l'addition logique, à l'exception de la dernière ligne, sont les mêmes que les résultats de l'addition habituelle de zéros et de uns.

Ainsi, en utilisant le langage de la logique, le raisonnement peut être remplacé par des actions avec des déclarations. Les instructions, à leur tour, peuvent se voir attribuer un signe binaire - 0 ou 1. Les actions avec des signes binaires sont effectuées conformément aux tables de vérité pour les opérations logiques de base de négation logique, de multiplication logique et d'addition logique (voir les tableaux 40 à 42)

23. Déclarations. Opérations booléennes

L'addition logique (disjonction) de deux déclarations est fausse

1) si et seulement si les deux affirmations sont vraies

2) si et seulement si les deux affirmations sont fausses

3) quand au moins une affirmation est vraie

4) quand au moins une affirmation est fausse

Expressions booléennes. Exécution d'opérations booléennes

Enregistrement des expressions logiques, priorité d'exécution des opérations logiques, recherche de la valeur d'une expression logique, réalisation d'opérations logiques avec différents types d'informations La négation logique, la multiplication logique et l'addition logique forment un système complet d'opérations logiques avec lequel vous pouvez composer n'importe quelle instruction complexe et déterminer sa vérité. Lors de la description du raisonnement à l'aide du langage de la logique mathématique, les déclarations simples sont désignées par des variables logiques (lettres latines), les valeurs des déclarations sont désignées par des constantes logiques (zéros ou uns) et les opérations logiques sont désignées par des connecteurs spéciaux (NOT, ET, OU). L'enregistrement, compilé à l'aide de ces variables, constantes et connecteurs, est appelé une expression logique.

Expression logique - une notation symbolique dans le langage de la logique mathématique, composée de variables logiques ou de constantes logiques, unies par des opérations logiques (connexions).

Lors de la recherche de la valeur d'une expression logique, les opérations logiques sont effectuées dans un certain ordre, en fonction de leur priorité - d'abord, la négation logique, puis la multiplication logique, et ensuite seulement l'addition logique. Les opérations logiques qui ont la même priorité sont exécutées de gauche à droite. Les parenthèses sont utilisées pour modifier l'ordre dans lequel les opérations logiques sont effectuées.

■ EXEMPLE 1. Étant donné une simple déclaration vraie A = "Aristote - ancien philosophe grec» et une simple fausse déclaration B = « Aristote est un ancien philosophe russe ».

Actions sur informations. Opérations de base

significations des instructions composées qui correspondent aux expressions logiques suivantes :

1) PAS UN ;

2) A OU B;

3) A ET (NEV).

Décision. 1) Le résultat de la négation logique de l'énoncé A sera l'énoncé « Il n'est pas vrai qu'Aristote soit un philosophe grec ancien ». Puisque la valeur de l'énoncé d'origine "vrai" A = 1, alors la valeur de la négation logique de cet énoncé "faux" est NON A = 0 (voir Tableau 40). 2) Le résultat de l'addition logique de deux affirmations sera l'affirmation "Aristote est un ancien grec ou Aristote est un ancien philosophe russe". Puisque la valeur de la première déclaration initiale "vrai" A = 1, et la valeur de la deuxième déclaration initiale "faux" B = 0, alors la valeur de l'addition logique de ces déclarations "vrai" A OU B = 1 (voir Tableau 42). 3) Le résultat de la multiplication logique de l'énoncé A et de la négation logique de l'énoncé B sera l'énoncé "Aristote est un ancien philosophe grec, et il n'est pas vrai qu'Aristote soit un ancien philosophe russe". Tout d'abord, nous effectuons la négation logique de l'énoncé B. Puisque la valeur de l'énoncé original "faux" B = 0, alors la valeur de la négation logique de cet énoncé "vrai" est NON B = 1 (voir tableau 40). Puisque la valeur du premier énoncé original "vrai" A = 1 et la valeur de la négation logique du deuxième énoncé original "vrai" NON B =1, alors la valeur de la multiplication logique de ces énoncés "vrai" A ET ( PAS B) =1

(voir tab. 41)

Répondre. 1) "mentir" ; 2) "vérité" ; 3) "vérité". Pour trouver le sens d'un énoncé complexe, il suffit de connaître le sens des énoncés simples inclus dans l'énoncé complexe et les règles d'exécution des opérations logiques qui combinent ces énoncés simples.

■ EXEMPLE 2. Trouver la valeur de l'expression logique PAS A OU (0 OU 1) ET (PAS B ET 1), si les valeurs des variables logiques A =1, B =0.

Décision. 1) Remplaçons les variables logiques de l'expression logique par des constantes logiques. NAIOR(0OR 1) AND(NEVI 1)==NOT1OR(0OR1) AND(NOT0AND1).

2) Déterminons la séquence d'exécution des opérations logiques en fonction de leur priorité. NOT4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HOT 0 AND3 1).

En dessous de en disant une expression linguistique est comprise, dont on ne peut dire qu'une des deux choses : elle est vraie ou fausse. La déclaration, contrairement aux jugements, n'a pas de caractère personnel.

Les questions, les demandes, les ordres, les exclamations, les mots individuels (sauf lorsqu'ils agissent en tant que représentants d'énoncés tels que "il se fait soir", "il fait plus froid", etc.) ne sont pas des énoncés. La vérité et la fausseté des propositions sont leur valeurs booléennes.

Les déclarations sont divisées en attributif, existentiel et relationnel.

attributif sont appelées déclarations dans lesquelles une propriété ou un état d'un objet est affirmé ou nié.

existentiel sont appelés des déclarations qui affirment ou nient le fait de l'existence.

relationnel sont appelés des énoncés exprimant des relations entre des objets.

Les déclarations, comme leurs formes logiques, sont simples et complexes. complexe les déclarations peuvent être décomposées en déclarations simples. Simple les déclarations ne sont pas divisées en plus simples.

Une déclaration attributive simple a une structure qui comprend un sujet, un prédicat et un connecteur.

Matière déclarations (S) - c'est la partie de la déclaration qui exprime le sujet de la pensée.

Prédicat déclarations (P) - c'est une partie de la déclaration, qui affiche le signe du sujet de la pensée, sa propriété, son état, son attitude.

Le sujet (S) et le prédicat (P) sont appelés termes. Paquet indique la relation entre les termes (S et P).

Les énoncés attributifs utilisent souvent des quantificateurs existentiels et généraux.

Les énoncés attributifs sont divisés en fonction de la qualité et de la quantité.

Par qualité, ils sont divisés en affirmatif et négatif. À affirmative indique l'appartenance (présence) du signe, concevable dans le prédicat, au sujet de l'énoncé : « S est P ». Par exemple : « Platon est un philosophe idéaliste. À négatif indique que le prédicat n'appartient pas à son sujet : "S n'est pas P".

Selon le nombre de déclarations sont divisés en simple, privé et général. Cela fait référence à la totalité (nombre, quantité) des éléments individuels qui composent le nom de la classe de matières.

À Célibataire Dans les énoncés, le sujet consiste en un objet.

Privé les énoncés sont de la forme : "Certains S sont (ne sont pas) P".

À général Dans les énoncés, le sujet embrasse tous les objets. De telles déclarations ont la forme : "Tout S est (n'est pas) P".

Les déclarations sont classées en fonction de la qualité et de la quantité. Il existe 4 classes d'instructions :

1) général affirmatif (MAIS) - général en quantité et affirmatif en qualité ("Tout S est P");

2) privé affirmatif (J)- privé en quantité et affirmatif en qualité ("Certains S sont R" );

3) commun négatif (E) - général en quantité et négatif en qualité ("Pas un seul S n'est P");

4) négatif privé (O)- privé en quantité et négatif en qualité ("Certains S ne sont pas P").

Dans chaque classe d'énoncés, le rapport des volumes de S et P (termes) est différent. En logique, le problème du rapport des volumes S et P s'appelle problème de distribution des termes. Un terme est distribué s'il est complètement inclus dans la portée d'un autre terme ou complètement exclu de celui-ci.

En classe A |Tout S est P | le sujet est entièrement distribué dans le prédicat, et le prédicat n'est pas distribué.

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