Citations simples. Déclarations simples et complexes

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À partir de déclarations individuelles différentes façons vous pouvez créer de nouvelles déclarations. Par exemple, à partir des déclarations « Le vent souffle » et « Il pleut », vous pouvez former des déclarations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « Si il pleut, puis le vent souffle », etc.

Le dicton s'appelle Facile, s'il n'inclut pas d'autres déclarations en tant que parties de celui-ci.

Le dicton s'appelle compliqué, s'il est obtenu en utilisant des connecteurs logiques d'autres instructions plus simples.

Considérez le plus moyens importants construire déclarations difficiles.

Discours négatif se compose d'un énoncé initial et d'une négation, généralement exprimés par les mots « pas », « ce n'est pas vrai que ». Un énoncé négatif est donc un énoncé complexe : il comprend comme partie un énoncé différent de lui. Par exemple, la négation de l'énoncé « 10 est un nombre pair » est l'énoncé « 10 n'est pas un nombre pair » (ou : « Il n'est pas vrai que 10 est un nombre pair »).

Désignons les énoncés par des lettres A, B, C,... Tout le sens de la notion de refus d'une déclaration est donné par la condition : si la déclaration UNE est vrai, sa négation est fausse, et si UNE faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque la déclaration « 1 est un entier positif » est vraie, sa négation « 1 n'est pas un entier nombre positif"Est faux, et puisque " 1 est un nombre premier " est faux, sa négation " 1 n'est pas un nombre premier " est vraie.

La combinaison de deux déclarations utilisant le mot "et" donne une déclaration complexe appelée conjonction. Les énoncés ainsi assemblés sont appelés « termes de conjonction ».

Par exemple, si les énoncés « Aujourd'hui est chaud » et « Hier était froid » sont combinés de cette manière, la conjonction « Aujourd'hui est chaud et hier il faisait froid ».

Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse.

Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu'ils sont liés l'un à l'autre par leur contenu ou leur sens. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il portait un manteau et je suis allé à l'université » comme une expression qui a un sens et qui peut être vraie ou fausse. Bien que les déclarations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est Grande ville« Sont vrais, nous ne sommes pas enclins à considérer comme vraie leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville », puisque les énoncés constitutifs ne sont pas interconnectés dans leur sens. Simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et refusant pour cela le vague concept de "raccordement des énoncés par le sens", la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus défini.

La combinaison de deux affirmations utilisant le mot "ou" donne disjonction ces déclarations. Les énoncés qui forment une disjonction sont appelés « membres de la disjonction ».

Le mot "ou" dans le langage courant a deux sens différents. Parfois, cela signifie "l'un ou l'autre, ou les deux", et parfois "l'un ou l'autre, mais pas les deux". Par exemple, dire "Cette saison, je veux y aller" La reine de pique"Ou" Aida " permet la possibilité de deux visites à la honra. Dans la déclaration « Il étudie à Moscou ou à l'Université de Yaroslavl », il est sous-entendu que la personne mentionnée étudie dans une seule de ces universités.

Le premier sens de "ou" s'appelle non exclusif. Prise dans ce sens, une disjonction de deux affirmations signifie qu'au moins une de ces affirmations est vraie, qu'elles soient toutes les deux vraies ou non. Pris dans la seconde, à l'exclusion ou au sens strict, une disjonction de deux énoncés affirme que l'un des énoncés est vrai et l'autre est faux.

Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins une des affirmations qu'elle contient est vraie et fausse uniquement lorsque ses deux termes sont faux.

Une disjonction exclusive est vraie lorsqu'un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux.

En logique et en mathématiques, le mot "ou" est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif.

Instruction conditionnelle - une déclaration complexe, généralement formulée à l'aide du lien "si ..., alors ..." et établissant cet événement, cet état, etc. est, dans un sens ou dans un autre, une base ou une condition pour un autre.

Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si le nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc.

Une instruction conditionnelle est composée de deux instructions plus simples. Celui auquel le mot "si" est préfixé est appelé base, ou antécédent(précédent), l'énoncé qui vient après le mot « qui » s'appelle conséquence, ou conséquent(subséquent).

En affirmant un énoncé conditionnel, nous entendons d'abord qu'il ne peut en être ainsi que ce qui est dit dans son fondement ait eu lieu, et que ce qui est dit dans le corollaire ait été absent. Autrement dit, il ne peut pas arriver que l'antécédent soit vrai et le conséquent faux.

En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de condition suffisante et nécessaire sont généralement définis : l'antécédent (raison) est une condition suffisante pour le conséquent (conséquence), et le conséquent est condition nécessaire pour l'antécédent. Par exemple, la véracité de l'énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure alternative disponible est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure opportunité disponible et que le choix d'une telle opportunité est une condition nécessaire pour sa rationalité.

Une fonction typique d'une instruction conditionnelle est de justifier une instruction par référence à une autre instruction. Par exemple, le fait que l'argent soit électriquement conducteur peut être justifié en se référant au fait qu'il s'agit d'un métal : « Si l'argent est un métal, il est électriquement conducteur.

Le lien entre le justificatif et le justifié (motifs et conséquences) exprimé par une mention conditionnelle est difficile à caractériser dans vue générale, et seulement parfois la nature est relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, la connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion de l'inférence correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle »); deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à des frottements, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, par une connexion causale (« Si la lune sur une nouvelle lune est au nœud de son orbite, éclipse solaire"); quatrièmement, un modèle social, une règle, une tradition, etc. (« Si la société change, la personne change aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être suivi »).

Avec le lien exprimé par un énoncé conditionnel, la conviction est généralement combinée que la conséquence avec une certaine nécessité « suit » du fondement et qu'il existe une loi générale, ayant réussi à formuler laquelle, nous pourrions logiquement déduire la conséquence du fondement .

Par exemple, l'énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal est plastique », pour ainsi dire, présuppose la loi générale « Aucun des métaux n'est plastique », ce qui fait du conséquent de cet énoncé une conséquence logique de son antécédent.

Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de sa fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition qui n'est associée à aucune loi ou règle générale implicite (« Si Je veux, je vais couper mon manteau »); pour corriger n'importe quelle séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleuvait ») ; exprimer l'incrédulité sous une forme particulière ("Si vous résolvez ce problème, je prouverai le grand théorème de Fermat"); opposition ("Si un sureau pousse dans le jardin, alors un oncle vit à Kiev"), etc. La multiplicité et l'hétérogénéité des fonctions de l'énoncé conditionnel compliquent considérablement son analyse.

L'utilisation d'un énoncé conditionnel est associée à certains facteurs psychologiques. Ainsi, nous ne formulons généralement une telle affirmation que si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et son conséquent sont vrais ou non. Sinon, son utilisation semble contre nature ("Si le coton est du métal, ce n'est pas un fil électrique").

L'énoncé conditionnel trouve très large application dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est représenté, en règle générale, au moyen de déclaration implicative, ou implications. Dans le même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'utilisation de "si... alors...", la libère de l'influence des facteurs psychologiques.

La logique s'abstrait, en particulier, du fait que la connexion de la base et de l'effet, qui est caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut être exprimée en utilisant ns seulement "si ... alors ...", mais aussi d'autres moyens linguistiques. Par exemple, "L'eau étant liquide, elle transfère la pression dans toutes les directions de manière uniforme", "Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c'est du plastique", "Si le bois était du métal, il serait électriquement conducteur", etc. Ces déclarations et des déclarations similaires sont présentées dans le langage de la logique au moyen d'implications, bien que l'utilisation de "si ... alors ..." ne soit pas entièrement naturelle.

En affirmant une implication, nous affirmons qu'il ne peut pas arriver que sa fondation ait lieu, et que l'effet soit absent. En d'autres termes, l'implication n'est fausse que si la raison est vraie et l'effet est faux.

Cette définition suppose, comme les définitions précédentes des connecteurs, que chaque énoncé est soit vrai, soit faux et que la valeur de vérité d'un énoncé complexe ne dépend que des valeurs de vérité de ses énoncés constitutifs et de la manière dont ils sont connectés.

Une implication est vraie quand à la fois sa base et son effet sont vrais ou faux ; elle est vraie si son fondement est faux et que l'effet est vrai. Ce n'est que dans le quatrième cas, lorsque le fondement est vrai et que l'effet est faux, que l'implication est fausse.

L'implication n'implique pas que les déclarations UNE et V en quelque sorte liés les uns aux autres dans le contenu. Si vrai V en disant "si UNE, alors V" est vrai, peu importe si UNE vrai ou faux et il est lié dans le sens avec V ou pas.

Par exemple, les affirmations sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux fois deux égalent quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. L'instruction conditionnelle est également vraie lorsque UNE faux, et encore indifférent, vrai V ou non, et il est lié dans le contenu à UNE ou pas. Les affirmations suivantes sont vraies : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux fois deux égale cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc.

Dans le raisonnement ordinaire, toutes ces déclarations sont peu susceptibles d'être considérées comme significatives, et encore moins comme vraies.

Bien que l'implication soit utile à de nombreuses fins, elle n'est pas tout à fait cohérente avec la compréhension conventionnelle de la communication conditionnelle. L'implication couvre de nombreuses caractéristiques importantes du comportement logique d'une instruction conditionnelle, mais en même temps, ce n'est pas une description suffisamment adéquate de celle-ci.

Au cours du dernier demi-siècle, il y a eu de vigoureuses tentatives pour réformer la théorie de l'implication. Dans ce cas, il ne s'agissait pas de rejeter le concept d'implication décrit, mais d'introduire avec lui un autre concept qui prend en compte non seulement les valeurs de vérité des énoncés, mais aussi leur lien dans le contenu.

Étroitement lié à l'implication équivalence, parfois appelé « double implication ».

L'équivalence est un énoncé complexe « A si et seulement si B », formé à partir des énoncés de Mensonge B et décomposé en deux implications : « si UNE, alors B ", et" si B, alors UNE". Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s'il est conforme. Le terme "équivalence" désigne également le lien "... si et seulement si...", à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de "si et seulement si" à cette fin peut être utilisé "si et seulement si", "si et seulement si", etc.

Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de fausseté, l'équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire quand ils sont tous les deux vrais ou les deux sont faux. Ainsi, une équivalence est fausse lorsque l'une des affirmations qu'elle contient est vraie et l'autre fausse.

Énonciation- une phrase déclarative dont on peut dire qu'elle est vraie ou fausse. En algèbre, des énoncés simples se voient attribuer des variables logiques (A, B, C, etc.)

Variable booléenne Est une simple déclaration.
Les variables booléennes sont indiquées par des majuscules et des minuscules avec des lettres latines(a-z, A-Z) et ne peut prendre que deux valeurs - 1 si l'énoncé est vrai, ou 0 si l'énoncé est faux.

Exemple d'énoncés :

Fonction logique- Il s'agit d'un énoncé complexe obtenu à la suite d'opérations logiques sur des énoncés simples.

Pour la formation d'énoncés complexes, les plus souvent utilisés sont opérations logiques de base, exprimé à l'aide de connecteurs logiques "et", "ou", "pas".
Par exemple,

Beaucoup de gens n'aiment pas le temps humide..

Soit A = "Beaucoup de gens aiment le temps humide." On obtient une fonction logique F (A) = pas A.

ligaments « PAS », « ET », « OU » sont remplacés par des opérations logiques renversement , conjonction , disjonction ... ce opérations logiques de base, avec lequel vous pouvez écrire n'importe quelle expression logique.

Formule logique (expression logique) - une formule contenant uniquement des valeurs logiques et des signes d'opérations logiques. La formule logique est évaluée à VRAI (1) ou FAUX (0).

La valeur d'une fonction logique dépend des valeurs des variables logiques qu'elle contient. Par conséquent, la valeur de la fonction logique peut être déterminée à l'aide d'une table spéciale ( tables de vérité), qui répertorie toutes les valeurs possibles des variables logiques d'entrée et les valeurs de fonction correspondantes.

Opérations logiques de base (de base) :

1. Multiplication logique (conjonction), de lat. konjunctio - lien :
Combiner deux (ou plusieurs) déclarations en une seule en utilisant l'union And ;
dans les langages de programmation - Et.
Notation acceptée : / \,, et, et.
Dans l'algèbre des ensembles, la conjonction correspond à l'opération d'intersection des ensembles.

Une conjonction est vraie si et seulement si toutes les affirmations qu'elle contient sont vraies.

Exemple:
Considérez l'énoncé composé "2 2 = 4 et 3 3 = 10". Soulignons dictons simples:

B = "3 3 = 10" = 0 (puisqu'il s'agit d'une fausse déclaration)
Par conséquent, la fonction logique F (A, B) = A / \ B = 1 / \ 0 = 0 (conformément à la table de vérité), c'est-à-dire que cet énoncé composé est faux.

2. Addition logique (disjonction), de lat. disjonction - je distingue :
Combiner deux (ou plusieurs) déclarations en une seule en utilisant l'union OR ;
dans les langages de programmation - Ou.
Notation : \ /, +, ou, ou.
Dans l'algèbre des ensembles, la disjonction correspond à l'opération d'union d'ensembles.

La disjonction est fausse si et seulement alors, toutes les affirmations qu'elle contient sont fausses.

Exemple:
Considérez l'énoncé composé "2 2 = 4 ou 2 2 = 5". Sélectionnons des déclarations simples :
A = "2 2 = 4" = 1 (puisqu'il s'agit d'une affirmation vraie)
B = "2 2 = 5" = 0 (puisqu'il s'agit d'une fausse déclaration)
Par conséquent, la fonction logique F (A, B) = A \ / B = 1 \ / 0 = 1 (conformément à la table de vérité), c'est-à-dire que cet énoncé composé est vrai.

3. Négation (inversion), de lat. InVersion - retournement :

Correspond à la particule NON, phrases NON VRAI, QUOI ou N'EST PAS VRAI, QUOI ;
dans les langages de programmation - Non ;
Désignation : non А, ¬А, non
En algèbre des ensembles, la négation logique correspond à l'opération de complément à un ensemble universel.

Inversi I une variable booléenne est vraie si la variable elle-même est fausse, et inversement, l'inverse est faux si la variable est vraie.

Exemple:

A = (deux fois deux égale quatre) = 1.

A = ( Ce n'est pas vrai que deux fois deux égale quatre) = 0.

Considérez l'énoncé A : " La Lune est le satellite de la Terre"; alors ¬A sera formulé comme suit : « La lune n'est pas un satellite de la terre“.

Considérez le dicton « Ce n'est pas vrai que 4 est divisible par 3 ». Notons A l'énoncé simple "4 est divisible par 3". Alors la forme logique de nier cette déclaration a la forme A

Priorité booléenne :

Les opérations dans une expression booléenne sont effectuées de gauche à droite, en tenant compte des parenthèses v Suivant d'accord:
1. renversement ;
2. conjonction ;
3. disjonction ;
Les parenthèses sont utilisées pour modifier l'ordre dans lequel les opérations logiques sont effectuées.

Expressions booléennes composées les algèbres propositionnelles sont appelées formules.
Vrai ou faux, le sens d'une formule peut être déterminé par les lois de l'algèbre de la logique, sans se référer au sens :
F = (0 \ / 1) / \ (¬0 \ / ¬1) = (0 \ / 1) / \ (1 \ / 0) = 1 / \ 1 = 1 - vrai
F = (¬0 / \ ¬1) \ / (¬1 \ / ¬1) = (1 / \ 0) \ / (0 \ / 0) = 0 \ / 0 = 0 - faux

Énonciation- une phrase grammaticalement correcte, prise avec le sens (contenu) qu'elle exprime et qui est vraie ou fausse.

Le concept d'énoncé est l'un des premiers concepts clés de la logique. En tant que tel, il n'admet pas de définition précise qui soit également applicable dans ses différentes sections.

À partir de déclarations individuelles, vous pouvez créer de nouvelles déclarations de différentes manières.

Par exemple, à partir des déclarations « Le vent souffle » et « Il pleut », vous pouvez former des déclarations plus complexes « Le vent souffle et il pleut », « Soit le vent souffle, soit il pleut », « Si il pleut, puis le vent souffle », etc. ...

Le dicton s'appelle Facile,à moins qu'il n'inclue d'autres énoncés comme ses parties.

La déclaration s'appelle je défie s'il est obtenu en utilisant des connecteurs logiques d'autres instructions plus simples.

Considérons les moyens les plus importants de construire des déclarations complexes.

Désignons les énoncés par les lettres A, B, C, ... Le sens complet de la notion de négation d'un énoncé est donné par la condition : si l'énoncé A est vrai, sa négation est fausse, et si A est faux, sa négation est vraie. Par exemple, puisque " 1 est un entier positif " est vrai, sa négation " 1 n'est pas un entier positif " est fausse, et puisque " 1 est un nombre premier " est faux, sa négation " 1 n'est pas un nombre premier " est vraie.

La combinaison de deux déclarations utilisant le mot "et" donne une déclaration complexe appelée conjonction... Les énoncés ainsi assemblés sont appelés « termes de conjonction ».

Par exemple, si les énoncés « Aujourd'hui est chaud » et « Hier était froid » sont combinés de cette manière, la conjonction « Aujourd'hui est chaud et hier il faisait froid ».

Une conjonction n'est vraie que si les deux affirmations qu'elle contient sont vraies ; si au moins un de ses membres est faux, alors toute la conjonction est fausse.

Dans le langage ordinaire, deux énoncés sont reliés par la conjonction « et » lorsqu'ils sont liés l'un à l'autre par leur contenu ou leur sens. La nature de ce lien n'est pas tout à fait claire, mais il est clair que nous ne considérerions pas la conjonction « Il portait un manteau et je suis allé à l'université » comme une expression qui a un sens et qui peut être vraie ou fausse. Bien que les affirmations « 2 est un nombre premier » et « Moscou est une grande ville » soient vraies, nous ne sommes pas enclines à considérer leur conjonction « 2 est un nombre premier et Moscou est une grande ville » comme vraie non plus, puisque ses déclarations constitutives ne sont pas liés dans le sens. Simplifiant le sens de la conjonction et des autres connecteurs logiques et refusant pour cela le vague concept de « connexion d'énoncés dans le sens », la logique rend le sens de ces connecteurs à la fois plus large et plus clair.

La combinaison de deux affirmations utilisant le mot "ou" donne disjonction ces déclarations. Les énoncés qui forment une disjonction sont appelés « membres de la disjonction » .

Le mot "ou" dans le langage courant a deux sens différents. Parfois, cela signifie "l'un ou l'autre, ou les deux", et parfois "l'un ou l'autre, mais pas les deux". Par exemple, la mention « Cette saison, je veux aller à La Dame de Pique ou à Aida » permet la possibilité de deux visites à l'opéra. La déclaration « Il étudie à Moscou ou à l'Université de Yaroslavl » implique que la personne mentionnée étudie dans une seule de ces universités.

Le premier sens de "ou" s'appelle non exclusif. Prise dans ce sens, une disjonction de deux affirmations signifie qu'au moins une de ces affirmations est vraie, qu'elles soient toutes les deux vraies ou non. Pris dans la seconde, à l'exclusion, ou au sens strict, une disjonction de deux énoncés affirme que l'un des énoncés est vrai et l'autre est faux.

Une disjonction non exclusive est vraie lorsqu'au moins une des affirmations qu'elle contient est vraie et fausse uniquement lorsque ses deux termes sont faux.

Une disjonction exclusive est vraie lorsqu'un seul de ses termes est vrai, et elle est fausse lorsque ses deux termes sont vrais ou que les deux sont faux.

En logique et en mathématiques, le mot "ou" est presque toujours utilisé dans un sens non exclusif.

Instruction conditionnelle - un énoncé complexe, généralement formulé à l'aide du conjonctif "si ..., alors ..." et établissant qu'un événement, un état, etc. est dans un sens ou un autre une base ou une condition pour un autre.

Par exemple : « S'il y a du feu, alors il y a de la fumée », « Si le nombre est divisible par 9, il est divisible par 3 », etc.

En termes d'énoncé conditionnel, les concepts de condition suffisante et nécessaire sont généralement définis : un antécédent (raison) est une condition suffisante pour un conséquent (conséquence), et un conséquent est une condition nécessaire pour un antécédent. Par exemple, la véracité de l'énoncé conditionnel « Si le choix est rationnel, alors la meilleure alternative disponible est choisie » signifie que la rationalité est une raison suffisante pour choisir la meilleure opportunité disponible et que le choix d'une telle opportunité est une condition nécessaire pour sa rationalité.

Le lien entre le justificatif et le justificatif (motifs et conséquences) exprimé par un énoncé conditionnel est difficile à caractériser en termes généraux, et sa nature n'est que parfois relativement claire. Cette connexion peut être, premièrement, une connexion de conséquence logique qui a lieu entre les prémisses et la conclusion de l'inférence correcte (« Si toutes les créatures multicellulaires vivantes sont mortelles et que la méduse est une telle créature, alors elle est mortelle »); deuxièmement, par la loi de la nature (« Si un corps est soumis à des frottements, il commencera à s'échauffer ») ; troisièmement, par une connexion causale (« Si la Lune est au nœud de son orbite sur une nouvelle lune, une éclipse solaire se produit ») ; quatrièmement, un modèle social, une règle, une tradition (« Si la société change, la personne change aussi », « Si le conseil est raisonnable, il doit être suivi »), etc.

Par exemple, l'énoncé conditionnel « Si le bismuth est un métal, il est plastique », pour ainsi dire, présuppose la loi générale « Tous les métaux sont plastiques », qui fait du conséquent d'un énoncé donné une conséquence logique de son antécédent.

Tant dans le langage ordinaire que dans le langage scientifique, un énoncé conditionnel, en plus de sa fonction de justification, peut également remplir un certain nombre d'autres tâches : formuler une condition sans rapport avec une loi ou une règle générale implicite (« Si je veux , je couperai mon manteau »); pour corriger une séquence (« Si l'été dernier était sec, alors cette année il pleuvait ») ; exprimer l'incrédulité sous une forme particulière ("Si vous résolvez ce problème, je prouverai le grand théorème de Fermat"); opposition ("Si un sureau pousse dans le jardin, alors un oncle vit à Kiev"), etc. La multiplicité et l'hétérogénéité des fonctions du conditionnel compliquent considérablement son analyse.

L'utilisation d'un énoncé conditionnel est associée à certains facteurs psychologiques. Nous ne formulons généralement une telle affirmation que si nous ne savons pas avec certitude si son antécédent et son conséquent sont vrais ou non. Sinon, son utilisation semble contre nature (« Si le coton est en métal, il est électriquement conducteur »).

L'énoncé conditionnel trouve une application très large dans tous les domaines du raisonnement. En logique, il est représenté, en règle générale, au moyen de déclaration implicative, ou implications... Dans le même temps, la logique clarifie, systématise et simplifie l'utilisation de "si... alors...", la libère de l'influence des facteurs psychologiques.

La logique est distraite, en particulier, du fait que la connexion de la raison et de l'effet, caractéristique d'un énoncé conditionnel, selon le contexte, peut être exprimée en utilisant non seulement "si ... alors ...", mais aussi d'autres moyens.

Par exemple, "L'eau étant liquide, elle transfère la pression dans toutes les directions de manière uniforme", "Bien que la pâte à modeler ne soit pas un métal, c'est du plastique", "Si le bois était du métal, il serait électriquement conducteur", etc. Ces déclarations et des déclarations similaires sont représentés dans le langage de la logique au moyen de l'implication, bien que l'utilisation de « si... alors... » en eux ne serait pas tout à fait naturel.

L'implication n'implique pas que les déclarations A et B sont en quelque sorte liées les unes aux autres dans le contenu. Si B est vrai, l'énoncé « si A, alors B » est vrai, que A soit vrai ou faux et qu'il ait un lien avec B ou non.

Par exemple, les affirmations sont considérées comme vraies : « S'il y a de la vie sur le Soleil, alors deux fois deux égalent quatre », « Si la Volga est un lac, alors Tokyo est un grand village », etc. Une déclaration conditionnelle est également vraie lorsque A est faux, et en même temps, cela ne fait aucune différence que B soit vrai ou non, et qu'il soit lié dans le contenu à A ou non. Les affirmations sont vraies : « Si le Soleil est un cube, alors la Terre est un triangle », « Si deux fois deux égalent cinq, alors Tokyo est une petite ville », etc.

Dans le raisonnement ordinaire, toutes ces déclarations sont peu susceptibles d'être considérées comme significatives, et encore moins comme vraies.

Étroitement lié à l'implication équivalence parfois appelé « double implication ».

Équivalence- un énoncé complexe « A si et seulement si B », formé des énoncés A et B et décomposé en deux implications : « si A, alors B », et « si B, alors A ». Par exemple : « Un triangle est équilatéral si et seulement s'il est conforme. Le terme "équivalence" désigne également le lien "... si et seulement si...", à l'aide duquel un énoncé complexe donné est formé de deux énoncés. Au lieu de "si et seulement si" à cette fin peut être utilisé "si et seulement si", "si et seulement si", etc.

Si les connecteurs logiques sont définis en termes de vérité et de fausseté, l'équivalence est vraie si et seulement si les deux énoncés ont la même valeur de vérité, c'est-à-dire lorsqu'ils sont tous les deux vrais et tous les deux faux. Par conséquent, l'équivalence est fausse lorsque l'une des affirmations qu'elle contient est vraie et que l'autre est fausse.

Lors de l'examen des méthodes de formation d'énoncés complexes à partir d'énoncés simples, la structure interne des énoncés simples n'a pas été prise en compte. Ils ont été pris comme des particules indécomposables avec une seule propriété : être vrai ou faux. dictons simples

ce n'est pas par hasard qu'ils sont parfois appelés atomiques: à partir d'eux, comme à partir de briques élémentaires, à l'aide de connecteurs logiques "et", "ou", etc., divers énoncés complexes ("moléculaires") sont construits.

Maintenant, nous devons nous attarder sur la question de structure interne, ou la structure interne, des déclarations simples elles-mêmes : à partir de quelles parties spécifiques elles sont composées et comment ces parties sont liées les unes aux autres.

Il convient de souligner tout de suite que des énoncés simples peuvent être décomposés en leurs éléments constitutifs de différentes manières. Le résultat de la décomposition dépend du but pour lequel elle est effectuée, c'est-à-dire du concept d'inférence logique (conséquence logique), dans le cadre duquel de telles déclarations sont analysées.

L'intérêt particulier pour les énoncés catégoriques est principalement dû au fait que le développement de la logique en tant que science a commencé avec l'étude de leurs connexions logiques. De plus, des énoncés de ce type sont largement utilisés dans notre raisonnement. La théorie des connexions logiques des énoncés catégoriques est généralement appelée syllogistique.

Par exemple, dans le dicton « Tous les dinosaures sont éteints », les dinosaures se voient attribuer l'attribut « être éteints ». Dans le jugement "Certains dinosaures ont volé", la capacité de voler est attribuée à certains types dinosaures. Le jugement « Toutes les comètes ne sont pas des astéroïdes » nie la présence du signe « être un astéroïde » dans chacune des comètes. L'énoncé « Certains animaux ne sont pas des herbivores » nie que certains animaux soient des herbivores.

Si nous ignorons les caractéristiques quantitatives contenues dans un énoncé catégorique et exprimées par les mots « tous » et « certains », alors nous obtenons deux versions de ces énoncés : positive et négative. Leur structure :

"S est P" et "S n'est pas P",

où la lettre S représente le nom de l'article dont Dans la question dans un énoncé, et la lettre P est le nom d'une caractéristique inhérente ou non inhérente à ce sujet.

Le nom du sujet visé dans un énoncé catégorique est appelé matière, et le nom de sa fonction est prédicat... Le sujet et le prédicat sont nommés termes des énoncés catégoriques et sont reliés les uns aux autres par les faisceaux « est » ou « n'est pas » (« est » ou « n'est pas », etc.). Par exemple, dans l'énoncé « Le soleil est une étoile », les termes sont les noms « Soleil » et « étoile » (le premier d'entre eux est le sujet de l'énoncé, le second est son prédicat), et le mot « est » est un paquet.

Les déclarations simples du type « S est (n'est pas) P » sont appelées attributives : en elles, l'attribution (affectation) d'une propriété à un objet est effectuée.

Les énoncés attributifs s'opposent aux énoncés sur les relations dans lesquelles des relations s'établissent entre deux ou plusieurs objets : « Trois moins que cinq », « Kiev est plus qu'Odessa », « Le printemps est meilleur que l'automne », « Paris est entre Moscou et New York ", etc. Les déclarations sur les relations jouent un rôle essentiel en science, en particulier en mathématiques. Ils ne se réduisent pas à des énoncés catégoriques, puisque la relation entre plusieurs objets (tels que "égal", "aime", "plus chaud", "est entre", etc.) ne se réduit pas aux propriétés d'objets individuels. L'une des lacunes importantes de la logique traditionnelle était qu'elle considérait que les jugements sur les relations étaient réductibles à des jugements sur les propriétés.

Un énoncé catégorique non seulement établit un lien entre un objet et une caractéristique, mais donne également une certaine caractéristique quantitative du sujet de l'énoncé. Dans des déclarations comme « Tout S est (n'est pas) P », le mot « tous » signifie « chacun des objets de la classe correspondante ». Dans des déclarations comme « Certains S sont (ne sont pas) P », le mot « certains » est utilisé dans un sens non exclusif et signifie « certains, et peut-être tous ». Dans un sens exclusif, le mot « certains » signifie « seulement certains » ou « certains, mais pas tous ». La différence entre les deux sens de ce mot peut être démontrée par l'exemple du dicton "Certaines étoiles sont des étoiles". Dans un sens non exclusif, cela signifie "Certaines, et peut-être toutes, les étoiles sont des étoiles", et c'est évidemment vrai. Dans un sens exclusif, cette affirmation signifie "Seules quelques étoiles sont des étoiles" et est clairement fausse.

Dans les énoncés catégoriques, l'appartenance de certains signes aux objets considérés est affirmée ou niée et il est indiqué s'il s'agit de tous ces objets ou de certains d'entre eux.

Ainsi, quatre types d'énoncés catégoriques sont possibles :

Tout S est P - une déclaration généralement affirmative,

Certains S sont P - une déclaration affirmative particulière,

Tout S n'est pas P - une déclaration généralement négative,

Certains S ne sont pas P - une déclaration négative partielle.

Les énoncés catégoriques peuvent être considérés comme les résultats de la substitution de certains noms dans les expressions suivantes par des espaces (ellipses) : « Tout… est… », « Certains… est… », « Tous… n'est pas… » et « Certains… n'est pas … ». Chacune de ces expressions est une constante logique (opération logique) qui vous permet d'obtenir une instruction à partir de deux noms. Par exemple, en substituant les noms "voler" et "oiseaux" au lieu de points, on obtient, respectivement, les affirmations suivantes : "Tous qui volent sont des oiseaux", "Certains oiseaux qui volent sont",

Inférences

« Tous ceux qui volent ne sont pas des oiseaux » et « Certains qui volent ne sont pas des oiseaux ». Les première et troisième affirmations sont fausses et les deuxième et quatrième sont vraies.

Inférences

"Une personne qui peut penser logiquement peut tirer une conclusion sur l'existence de l'océan Atlantique ou des chutes du Niagara par une goutte d'eau, même s'il n'a jamais vu ni l'un ni l'autre et n'en a jamais entendu parler... Par les clous de une personne, par ses mains, ses chaussures, le pli de son pantalon sur les genoux, le long de l'épaississement de la peau sur le grand et l'index, par l'expression de son visage et les poignets de sa chemise - à partir de telles bagatelles, il est facile de deviner sa profession. Et il ne fait aucun doute que tout cela, pris ensemble, incitera un observateur compétent à tirer les bonnes conclusions. »

Ceci est une citation d'un article d'ouverture du plus célèbre consultant en détective au monde, Sherlock Holmes. Sur la base des moindres détails, il a construit des chaînes de raisonnement logiquement sans faille et a résolu des crimes complexes, souvent dans le confort de son appartement de Baker Street. Holmes a utilisé une méthode déductive qu'il a lui-même créée et qui, comme le croyait son ami le Dr Watson, a placé la résolution de crimes au bord d'une science exacte.

Bien sûr, Holmes a quelque peu exagéré l'importance de la déduction en médecine légale, mais son raisonnement sur la méthode déductive a fait l'affaire. La « déduction » d'un terme spécial et connu de quelques-uns seulement est devenue un concept couramment utilisé et même à la mode. La vulgarisation de l'art du raisonnement correct, et surtout du raisonnement déductif, n'est pas moins un mérite de Holmes que tous les crimes qu'il a révélés. Il réussit à "donner à la logique le charme d'un rêve, se frayant un chemin à travers le labyrinthe de cristal des déductions possibles jusqu'à une seule et brillante conclusion" (V. Nabokov).

La déduction est cas particulier inférences.

Dans un sens large inférence - une opération logique, à la suite de laquelle une nouvelle déclaration est obtenue à partir d'une ou plusieurs déclarations acceptées (prémisses) - une conclusion (conclusion, conséquence).

Selon qu'il existe ou non un lien entre les prémisses et la conclusion conséquence logique, il existe deux types d'inférences.

Au coeur de inférence déductive il y a une loi logique, en vertu de laquelle la conclusion avec nécessité logique découle des prémisses acceptées.

Caractéristique distinctive une telle conclusion est qu'elle conduit toujours de prémisses vraies à une conclusion vraie.

V inférence inductive le lien entre prémisses et conclusions ne repose pas sur la loi de la logique, mais sur des fondements factuels ou psychologiques qui n'ont pas un caractère purement formel.

Dans une telle conclusion, la conclusion ne découle pas logiquement des prémisses et peut contenir des informations qui y sont absentes. La fiabilité des prémisses ne signifie donc pas la fiabilité de la déclaration qui en découle de manière inductive. L'induction ne donne que probable, ou plausible, conclusions nécessitant une vérification supplémentaire.

Par exemple, les conclusions déductives comprennent :

S'il pleut, le sol est mouillé. Il pleut.

Le sol est humide.

Si l'hélium est un métal, il est électriquement conducteur. L'hélium n'est pas électriquement conducteur.

L'hélium n'est pas un métal.

La ligne séparant les prémisses de la conclusion remplace, comme d'habitude, le mot "donc".

Des exemples d'induction sont les raisonnements suivants :

L'Argentine est une république ; Le Brésil est une république ; Le Venezuela est une république ; L'Equateur est une république.

L'Argentine, le Brésil, le Venezuela, l'Équateur sont des États d'Amérique latine.

Tous les États d'Amérique latine sont des républiques .

L'Italie est une république, le Portugal est une république, la Finlande est une république, la France est une république.

Italie, Portugal, Finlande, France - Pays d'Europe occidentale.

Tous les pays d'Europe occidentale sont des républiques.

L'induction ne donne pas une garantie complète d'obtenir une nouvelle vérité à partir de celles qui existent. Le maximum dont on peut parler est un certain degré de probabilité que l'énoncé soit inféré. Ainsi, les prémisses de la première et de la deuxième inférence inductive sont vraies, mais la conclusion de la première d'entre elles est vraie et la seconde est fausse. En effet, tous les États d'Amérique latine sont des républiques ; mais parmi les pays d'Europe occidentale, il n'y a pas seulement des républiques, mais aussi des monarchies, par exemple l'Angleterre, la Belgique et l'Espagne.

Inférences

Les déductions particulièrement caractéristiques sont les transitions logiques des connaissances générales aux connaissances particulières, telles que :

Tous les métaux sont ductiles. Le cuivre est un métal.

Le cuivre est ductile.

Dans tous les cas où il faut considérer un certain phénomène à partir d'un règle générale et pour tirer la conclusion nécessaire par rapport à ces phénomènes, nous raisonnons sous forme de déduction. Raisonnement menant de la connaissance d'une partie des objets (connaissance privée) à la connaissance de tous les objets d'une certaine classe ( connaissance commune), sont des inductions typiques. Il y a toujours la possibilité que la généralisation soit hâtive et infondée ("Napoléon est un commandant ; Suvorov est un commandant ; par conséquent, chaque personne est un commandant").

En même temps, on ne peut identifier la déduction avec le passage du général au particulier, et l'induction avec le passage du particulier au général.

Dans le discours « Shakespeare a écrit des sonnets ; par conséquent, il n'est pas vrai que Shakespeare n'ait pas écrit de sonnets « il y a déduction, mais il n'y a pas de transition du général au particulier. Le raisonnement « Si l'aluminium est du plastique ou l'argile est du plastique, alors l'aluminium est du plastique » est, comme on le pense généralement, inductif, mais il n'y a pas de transition du particulier au général.

La déduction est la dérivation de conclusions aussi fiables que les prémisses acceptées, l'induction est la dérivation de conclusions probables (plausibles). Les inférences inductives incluent à la fois les transitions du particulier au général et l'analogie, les méthodes pour établir des relations causales, la confirmation des conséquences, la justification intentionnelle, etc.

L'intérêt particulier pour le raisonnement déductif est compréhensible. Ils permettent d'obtenir de nouvelles vérités à partir de connaissances existantes, et de plus, à l'aide d'un raisonnement pur, sans recourir à l'expérience, à l'intuition, au bon sens, etc. - la probabilité d'une conclusion vraie. En partant de vraies prémisses et en raisonnant de manière déductive, nous obtiendrons certainement des connaissances fiables dans tous les cas.

Tout en soulignant l'importance de la déduction dans le processus d'élaboration et de justification des connaissances, il ne faut cependant pas la séparer de l'induction et sous-estimer cette dernière. Presque toutes dispositions générales, y compris les lois scientifiques, sont le résultat d'une généralisation inductive. En ce sens, l'induction est la base de nos connaissances. En soi, il ne garantit pas sa vérité et sa validité, mais il génère des hypothèses, les relie à l'expérience et leur donne ainsi une certaine plausibilité, plus ou moins haut degré probabilités. L'expérience est la source et le fondement de la connaissance humaine. L'induction, à partir de ce qui est compris dans l'expérience, est un moyen nécessaire de sa généralisation et de sa systématisation.

LOIS LOGIQUES

Chapitre

Le concept d'une loi logique

Les lois logiques forment la base de la pensée humaine. Ils déterminent quand d'autres déclarations découlent logiquement de certaines déclarations et représentent ce cadre de fer invisible sur lequel un raisonnement cohérent est maintenu et sans lequel il se transforme en un discours chaotique et incohérent. Sans loi logique, il est impossible de comprendre ce qu'est une conséquence logique, et donc ce qu'est une preuve.

Correct, ou, comme on dit généralement, logique, penser c'est penser selon les lois de la logique, selon ces schémas abstraits qu'elles fixent. Par conséquent, l'importance de ces lois est claire.

Des lois logiques homogènes sont combinées en systèmes logiques, qui sont aussi généralement appelés « logiques ». Chacun d'eux donne une description structure logique un certain fragment, ou type, de notre raisonnement.

Par exemple, les lois décrivant les connexions logiques d'énoncés qui ne dépendent pas de la structure interne de ces derniers sont combinées en un système appelé « logique des énoncés ». Les lois logiques qui déterminent les connexions des énoncés catégoriques forment un système logique appelé « logique des énoncés catégoriques », ou « syllogistique », etc.

Les lois logiques sont objectives et ne dépendent pas de la volonté et de la conscience d'une personne. Ils ne sont pas le résultat d'un accord entre des personnes, d'une convention spécialement élaborée ou spontanée. Ils ne sont pas le produit d'une sorte d'« esprit du monde », comme Platon le croyait autrefois. Le pouvoir des lois de la logique sur une personne, leur force obligatoire pour une pensée correcte est dû au fait qu'elles représentent un reflet dans la pensée humaine du monde réel et de l'expérience séculaire de sa cognition et de sa transformation par une personne.

Comme toutes les autres lois scientifiques, les lois logiques sont universelles et nécessaires. Ils opèrent toujours et partout, s'étendant également à tous les peuples et à toutes les époques. Représentants

Le concept d'une loi logique

différentes nations et différentes cultures, hommes et femmes, Égyptiens anciens et Polynésiens modernes du point de vue de la logique de leur raisonnement ne diffèrent pas les uns des autres.

La nécessité inhérente aux lois logiques est en un certain sens encore plus urgente et immuable que la nécessité naturelle ou physique. Il est même impossible d'imaginer que le logiquement nécessaire soit différent. Si quelque chose contredit les lois de la nature et est physiquement impossible, alors aucun ingénieur, malgré tous ses dons, ne pourra le réaliser. Mais si quelque chose contredit les lois de la logique et est logiquement impossible, alors non seulement un ingénieur - même un être omnipotent, s'il apparaissait soudainement, ne serait pas en mesure de lui donner vie.

Comme mentionné précédemment, dans un raisonnement correct, la conclusion découle de prémisses avec une nécessité logique, et régime général un tel raisonnement constitue une loi logique.

Le nombre de schémas de raisonnement correct (lois logiques) est infini. Beaucoup de ces schémas nous sont connus par la pratique du raisonnement. Nous les appliquons intuitivement, sans nous rendre compte que dans chaque inférence que nous tirons correctement, l'une ou l'autre loi logique est utilisée.

Avant de présenter concept général loi logique, nous donnerons quelques exemples de schémas de raisonnement qui sont des lois logiques. A la place des variables A, B, C, ..., habituellement utilisées pour désigner des énoncés, on utilisera, comme cela se faisait dans l'antiquité, les mots "première" et "seconde", en remplacement des variables.

« S'il y a le premier, alors il y a le second ; il y a le premier ; donc, il y en a une seconde." Ce schéma de raisonnement permet de passer de l'énoncé de l'énoncé conditionnel (« S'il y a le premier, alors il y a le second ») et de l'énoncé de son fondement (« Il y a le premier ») à l'énoncé de la conséquence (« Il y a est le deuxième"). Selon ce schéma, en particulier, le raisonnement procède : « Si la glace est chauffée, elle fond ; la glace est chauffée; donc ça fond."

Un autre schéma de raisonnement correct : « Ou le premier a lieu, ou le second ; il y a le premier ; donc il n'y a pas de seconde." A travers ce schéma, à partir de deux alternatives qui s'excluent mutuellement et en établissant laquelle d'entre elles a lieu, une transition est faite à la négation de la seconde alternative. Par exemple : « Soit Dostoïevski est né à Moscou, soit il est né à Saint-Pétersbourg. Dostoïevski est né à Moscou. Cela signifie qu'il n'est pas vrai qu'il est né à Saint-Pétersbourg." Dans le western américain Le Bon, la Brute et le Truand, un méchant dit à un autre : « Souvenez-vous, le monde est divisé en deux parties : ceux qui tiennent le revolver et ceux qui creusent. J'ai le revolver maintenant, alors prends la pelle." Ce raisonnement est également basé sur le schéma indiqué.

Et un dernier exemple préliminaire d'une loi logique, ou d'un schéma général de raisonnement correct : « Le premier ou le second a lieu. Mais le premier n'est pas là. Cela signifie que la seconde a lieu." Remplaçons l'expression « le premier » par la déclaration « C'est le jour », et au lieu du « deuxième » - la déclaration « Maintenant, c'est la nuit ». Du schéma abstrait, nous obtenons le raisonnement : « Il fait jour ou maintenant la nuit. Mais ce n'est pas vrai que c'est le jour.

Il fait donc nuit maintenant.

Voici quelques-uns schémas simples raisonnement correct, illustrant le concept d'une loi logique. Des centaines et des centaines de tels stratagèmes sont assis dans nos têtes, bien que nous ne nous en rendions pas compte. Sur la base d'eux, nous raisonnons logiquement, ou correctement.

Loi de la logique (loi logique)- une expression qui ne comprend que des constantes et des variables logiques au lieu de parties substantielles et qui est vraie dans n'importe quel domaine du raisonnement.

Prenons comme exemple une expression constituée uniquement de variables et de constantes logiques, l'expression : « Si A, alors B ; alors, si nonA, alors nonB. " Les constantes logiques ici sont les connecteurs propositionnels « si, alors » et « pas ». Les variables A et B représentent des déclarations d'un certain type. Disons que A est l'énoncé « Il y a une raison » et B est l'énoncé « Il y a une conséquence ». Avec ce contenu spécifique, on obtient le raisonnement : « S'il y a une cause, alors il y a une conséquence ; ça veut dire que s'il n'y a pas d'effet, alors il n'y a pas non plus de raison." Supposons, en outre, qu'au lieu de A, l'énoncé « Le nombre est divisible par six » soit substitué, et au lieu de B, l'énoncé « Le nombre est divisible par trois ». Avec ce contenu spécifique, sur la base du schéma considéré, on obtient le raisonnement : « Si un nombre est divisible par six, il est divisible par trois. Donc, si un nombre n'est pas divisible par trois, il n'est pas divisible par six. » Quelles que soient les autres affirmations substituées aux variables A et B, si ces affirmations sont vraies, alors la conclusion qui en sera tirée sera vraie.

En logique, une réserve est généralement faite que la zone d'objets sur laquelle le raisonnement est conduit et dont parlent les énoncés substitués dans la loi logique ne peut pas être vide : elle doit contenir au moins un objet. Sinon, raisonner selon un schéma qui est une loi de la logique peut conduire de vraies prémisses à une fausse conclusion.

Par exemple, à partir des véritables prémisses « Tous les éléphants sont des animaux » et « Tous les éléphants ont une trompe », selon la loi de la logique, la vraie conclusion « Certains animaux ont une trompe » suit. Mais si la zone des objets en question est vide, suivre la loi de la logique ne garantit pas une vraie conclusion avec de vraies prémisses. Nous argumenterons selon le même schéma, mais à propos de montagnes d'or. Construisons une conclusion : « Toutes les montagnes dorées sont des montagnes ; toutes les montagnes d'or sont d'or ; par conséquent, certaines montagnes sont dorées. " Les deux prémisses de cette inférence sont vraies. Mais sa conclusion « Certaines montagnes sont d'or » est clairement fausse : il n'existe pas une seule montagne d'or.

Le concept d'une loi logique

Ainsi, pour un raisonnement basé sur la loi de la logique, deux traits sont caractéristiques :

Un tel raisonnement mène toujours de vraies prémisses à de vraies conclusions ;

Le corollaire découle de prémisses avec une nécessité logique.

La loi logique est aussi appelée tautologie logique.

tautologie logique- une expression qui reste vraie, quels que soient les objets en question, ou une expression "toujours vraie".

Par exemple, tous les résultats des substitutions dans la loi logique de la double négation « Si A, alors ce n'est pas vrai que ce n'est pas A » sont des énoncés vrais : « Si la suie est noire, alors ce n'est pas vrai que ce n'est pas noir." il ne tremble pas de peur, "et ainsi de suite.

Comme déjà mentionné, le concept de loi logique est directement lié au concept de conséquence logique : la conclusion découle logiquement des prémisses acceptées, si elle leur est reliée par une loi logique. Par exemple, des prémisses « Si A, alors B » et « Si B, alors C », la conclusion « Si A, alors C » découle logiquement, puisque l'expression « Si A, alors B, et si B, alors C, alors si A , alors C "est une loi logique, à savoir loi de transitivité(transitivité). Par exemple, à partir des prémisses « Si une personne est père, alors elle est parent » et « Si une personne est parent, alors elle est père ou mère », selon cette loi, découle la conséquence « Si une personne est père, alors il est père ou mère.

Suivi logique- la relation entre les prémisses et la conclusion de l'inférence, dont le schéma général est une loi logique.

Puisque la connexion de conséquence logique est basée sur une loi logique, elle se caractérise par deux caractéristiques :

Le suivi logique ne conduit qu'à partir de prémisses vraies à une conclusion vraie ;

La conclusion qui découle des prémisses en découle avec une nécessité logique.

Toutes les lois logiques ne déterminent pas directement le concept de conséquence logique. Il existe des lois qui décrivent d'autres connexions logiques : "et", "ou", "ce n'est pas vrai que", etc. et ne sont qu'indirectement liées à la relation de conséquence logique. C'est en particulier la loi de contradiction examinée ci-dessous : « Il n'est pas vrai qu'une déclaration arbitrairement prise et

2.1.Déclarations composées

A partir d'énoncés élémentaires, vous pouvez construire plus complexe ( composite) instructions utilisant ligaments ET, OU, NON.

Exemples. Clôture rouge ET la clôture est en bois.

Kolya est plus âgé que Petya OU Kolya est plus âgée que Fedya

Clôture NE PAS Rouge.

Le sens de ces déclarations est clair.

Un énoncé I contient deux énoncés élémentaires. Une déclaration composée avec AND est vraie si et seulement si ces deux déclarations élémentaires sont vraies. Si l'un d'eux est faux, l'énoncé composé est faux.

Une instruction OR contient également deux instructions élémentaires. Un énoncé composé avec OR est vrai si et seulement si au moins un de ces énoncés élémentaires est vrai. Si ces deux déclarations sont fausses, la déclaration composée est fausse.

Une déclaration avec NOT contient une déclaration élémentaire (en russe, NOT est souvent placé au milieu de cette déclaration). Un énoncé composé avec NON est vrai si l'énoncé élémentaire d'origine est faux et, inversement, si l'énoncé original est vrai, alors un énoncé composé avec NON est faux.

Les instructions composites peuvent être construites non seulement à partir d'instructions élémentaires, mais également à partir d'autres instructions composées. En cela, la construction des instructions composées est similaire à la construction expressions algébriques... Par exemple, il est clair ce que signifie une telle déclaration (bien qu'elle ne soit pas écrite en russe, mais en utilisant des parenthèses :)

(Kolya est plus âgée que Petya OU Kolya est plus âgée que Fedya) ET ( Kolia NE PAS plus vieux que Vanya)

Il y a ici 3 énoncés élémentaires.

2.2.Valeurs booléennes. Opérations logiques.

Nous savons déjà que chaque énoncé peut être attribué à l'un des deux valeurs booléennes– vrai(souvent noté : 1 ) ou Couché(souvent noté : 0 ). Les mots AND, OR, NE spécifient PAS les opérations sur les valeurs logiques ( opérations logiques). En effet, par exemple, un énoncé composé avec ET est vrai si et seulement si ses deux énoncés élémentaires sont vrais. Si l'un d'eux est faux, l'énoncé composé est faux. Ici, peu importe pour nous quelles étaient les déclarations initiales. La vérité d'une déclaration composée ne dépend que de la logique (parfois ils disent - véridique) le sens des déclarations originales.

Comme il n'y a que deux valeurs logiques, ces opérations peuvent être décrites dans des tableaux.

Les opérations ET, OU, N'ONT PAS de noms "scientifiques" (même plusieurs pour chaque opération et des désignations spéciales (dans les exemples A, B désignent des valeurs logiques spécifiques) :

NE PAS: négation, inversion. Désignation : ¬ (par exemple, ¬A) ;

ET: conjonction, multiplication logique.

Il est noté / \ (par exemple, A / \ B) ou & (par exemple, A & B) ;

OU: disjonction, addition logique.

Il est noté \ / (par exemple, A \ / B).

D'autres opérations logiques sont également utilisées en mathématiques.

Chaque opération logique peut être spécifiée par sa propre table. Voici deux autres exemples d'opérations logiques :

1) suivant (implication); noté → (par exemple, A → B) ; voir onglet. 4. L'expression A → B est vraie si A est fausse OU B est vraie. C'est-à-dire que A → B signifie la même chose que (¬A) \ / B.

2) identité (équivalence); noté (par exemple, A B) ; voir tableau 5. L'expression A B est vraie si et seulement si les valeurs de A et B coïncident (soit elles sont toutes les deux vraies, soit elles sont toutes les deux fausses).

2.3.Expressions logiques. Tables de vérité.

Les opérations booléennes jouent le même rôle pour les valeurs booléennes que les opérations arithmétiques pour les nombres. Semblable à la construction d'expressions algébriques, à l'aide d'opérations logiques, vous pouvez créer des expressions logiques. Comme les expressions algébriques, les expressions booléennes peuvent inclure constantes(valeurs booléennes 1 et 0) et des variables. S'il y a des variables dans la valeur booléenne, cela définit la fonction ( logique fonction; synonyme: booléen fonction). La valeur d'une telle fonction pour un ensemble donné de valeurs d'argument est calculée en substituant ces valeurs dans l'expression au lieu de variables.

Pour chaque expression logique, vous pouvez écrire table de vérité, qui décrit la valeur que prend la fonction booléenne correspondante (synonyme : prend l'expression) pour chaque ensemble admissible de valeurs des variables. Voici les tables de vérité pour les expressions x \ / y (table 6), x → y (table 7) et (x → y) / \ (y → z) (table 8).

2.4. Expressions équivalentes.

Deux expressions booléennes contenant des variables sont appelées équivalent (équivalent) si les valeurs de ces expressions coïncident pour toutes les valeurs des variables. Ainsi, les expressions A → B et (¬A) \ / B sont équivalentes, mais A / \ B et A \ / B ne le sont pas (les valeurs des expressions sont différentes, par exemple, pour A = 1, B = 0).

Les expressions équivalentes ont les mêmes tables de vérité, tandis que les expressions non équivalentes ont des tables de vérité différentes.

2.5. Priorités des opérations logiques.

Lors de l'écriture d'expressions logiques, ainsi que lors de l'écriture d'expressions algébriques, il est parfois possible de ne pas écrire de parenthèses.Dans ce cas, les accords suivants sur la priorité (priorité) des opérations logiques sont observés, les premiers sont les opérations effectuées dans la première place:

négation (inversion),

conjonction (multiplication logique),

disjonction (addition logique),

implication (suite),

identité.

Ainsi, ¬A \ / B \ / C \ / D signifie la même chose que ((¬A) \ / B) \ / (C \ / D).

Il est possible d'écrire A\/B\/C au lieu de (A\/B)\/C. Il en va de même pour la conjonction : il est possible d'écrire A/\B/\C au lieu de (A/\B) / \ C.

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Attention! Les aperçus des diapositives sont à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les options de présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Pédagogique : élargir la compréhension des élèves de l'algèbre propositionnelle, les initier aux opérations logiques et aux tables de vérité.

Développement:

Éducatif:

TYPE DE LEÇON : leçon combinée - explication du nouveau matériel avec la consolidation ultérieure des connaissances acquises.

DURÉE DE LA LEÇON : 40 minutes.

BASE MATÉRIELLE ET TECHNIQUE :

tableau interactif Tableau intelligent.
Application MS Windows - PowerPoint 2007.
Version préparée par l'enseignant de la leçon en ligne (présentation PowerPoint 2007).
Cartes de travail préparées par l'enseignant.

PLAN DE COURS:

JE. Organisation du temps- 1 minute.

II. Fixation des objectifs de la leçon - 2 min.

III. Mise à jour des connaissances - 9 min.

IV. Présentation du nouveau matériel - 15 min.

V. Consolidation du matériel étudié - 8 min.

Vi. Réflexion "Phrases incomplètes" - 3 min.

VII. Conclusion. Devoirs - 2 min.

PENDANT LES COURS

I. Moment d'organisation.

Salutations, notes pour les absents de la leçon.

Diapositive 1

Nous continuons à étudier la section « Langage logique »... Aujourd'hui, notre leçon est consacrée au sujet "Énoncés logiques". Commençons le travail avec un chèque devoirs(des poèmes d'étudiants sont lus, qui contiennent de nombreuses connexions logiques (opérations) et il est conclu que des informations arbitraires peuvent être interprétées sans ambiguïté sur la base de l'algèbre logique).

Ainsi, le but de notre leçon est d'étudier les opérations logiques et de découvrir que des informations arbitraires peuvent être interprétées de manière unique sur la base de l'algèbre de la logique. Mais d'abord, vous devez revoir le matériel appris dans la dernière leçon.

III. Mise à jour des connaissances (enquête frontale).

Tâche 1. Travailler avec des cartes (donner des réponses courtes aux questions posées) Science qui étudie les lois et les formes de pensée. (Logique)

La constante notée "1". (Vrai)

La constante notée "0". (Mentir)

Phrase déclarative, dont on peut dire qu'il est vrai ou faux. (Énonciation)

Types d'énoncés (simples et complexes)

Lesquelles des phrases suivantes sont des déclarations ?

Salut!
L'axiome n'a pas besoin de preuve.
Il pleut.
Quelle est la température extérieure ?
Le rouble est la monnaie de la Russie.
Vous ne pouvez pas facilement sortir un poisson d'un étang.
Le nombre 2 n'est pas un diviseur du nombre 9.
Le nombre x ne dépasse pas 2.

7. Déterminez la vérité ou la fausseté de l'énoncé :

L'informatique est étudiée dans un cours de lycée.
"E" est la sixième lettre de l'alphabet.
Le carré est un losange.
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.
Les angles du triangle totalisent 1900.
12+14 > 30.
Les pingouins vivent au pôle Nord de la Terre.
23+12=5*7.

Alors qu'est-ce qu'un dicton ? (Une phrase déclarative qui peut être dite vraie ou fausse.)

Qu'est-ce qu'une simple déclaration ? (Une instruction est dite simple (élémentaire) si aucune partie n'en est une.)

Qu'est-ce qu'un énoncé composé ? (Une instruction composée se compose d'instructions simples reliées par des connecteurs logiques (opérations).)

Tâche 2. Construisez des énoncés composés à partir d'énoncés simples : "A = Petya lit un livre", "B = Petya boit du thé". (à l'écran - diapositive 2)

Continuons notre travail.

Tâche 3. Dans les affirmations suivantes, mettez en évidence les affirmations simples en étiquetant chacune d'elles avec une lettre :

En hiver, les enfants font du patin à glace ou du ski. (diapositive 3)
Ce n'est pas vrai que le soleil tourne autour de la terre. (diapositive 4)
Le nombre 15 est divisible par 3 si et seulement si la somme des chiffres du nombre 15 est divisible par 3. (diapositive 5)
Si hier était dimanche, alors Dima n'était pas à l'école hier et marchait toute la journée. (diapositive 6)

IV. Présentationnouveau matériel.

Dans les tâches précédentes, divers connecteurs logiques ont été utilisés : "et", "ou", "pas", "si : alors :", "si et seulement si :". En algèbre, la logique, les connecteurs logiques et les opérations logiques correspondantes ont des noms spéciaux. Considérez 3 opérations logiques de base - l'inversion, la conjonction et la disjonction, avec lesquelles vous pouvez obtenir des instructions composées. (diapositive 7)

Toute opération logique est déterminée par une table appelée table de vérité. La table de vérité d'une expression logique est une table où toutes les combinaisons possibles de valeurs des données d'origine sont écrites à gauche et la valeur de l'expression pour chaque combinaison est écrite à droite.

La négation est une opération logique qui associe chaque énoncé simple (élémentaire) à un nouvel énoncé dont le sens est opposé à celui d'origine. ( faire glisser 8)

Considérez la règle de construction d'une négation pour un énoncé simple.

Régner: Lors de la construction d'une négation, une simple déclaration est soit utilisée le chiffre d'affaires verbal "ce n'est pas vrai que", ou la négation est construite au prédicat, puis la particule "pas" est ajoutée au prédicat, tandis que le mot "tout" est remplacé par "certains" et vice versa.

Tâche 4. Construire l'inversion (négation) à une déclaration simple :

A = J'ai un ordinateur à la maison. ( faire glisser 9)
A = Tous les garçons de 11e année sont d'excellents élèves.
Que ce soit le cas, c'est le démenti de l'affirmation : « Tous les garçons de la 11e année ne sont pas d'excellents élèves. ( faire glisser 10)

L'énoncé « Tous les garçons de la 11e année ne sont pas d'excellents élèves » n'est pas une négation de l'énoncé « Tous les garçons de la 11e année sont d'excellents élèves ». Les déclarations « Tous les garçons de la 11e année sont d'excellents élèves » sont fausses, et la vraie déclaration devrait être la négation d'une fausse déclaration. Mais le dicton "Tous les jeunes hommes de la 11e année ne sont pas d'excellents élèves" n'est pas vrai, car parmi les élèves de 11e, il y a à la fois d'excellents élèves et pas d'excellents élèves.

La négation peut être représentée graphiquement comme un ensemble. ( diapositive 11)

Considérez la prochaine opération logique - la conjonction. Une déclaration composée de deux déclarations en les combinant avec un connecteur "et" est appelée conjonction ou multiplication logique (de plus, des connecteurs sont utilisés - un, mais, bien).

Conjonction- une opération logique qui associe à chacune de deux affirmations élémentaires une nouvelle affirmation qui est vraie si et seulement si les deux affirmations initiales sont vraies. ( faire glisser 12)

Une conjonction peut être représentée graphiquement comme un ensemble. ( faire glisser 13)

Considérez la prochaine opération logique - la disjonction. Un énoncé composé de deux énoncés unis par un lien « ou » est appelé une disjonction ou une addition logique.

Disjonction- une opération logique qui associe à chacune deux affirmations élémentaires une nouvelle affirmation, qui est fausse si et seulement si les deux affirmations initiales sont fausses. ( faire glisser 14)

La disjonction peut être représentée graphiquement comme un ensemble. ( faire glisser 15)

Alors, nommez les trois opérations de base que nous avons apprises. ( faire glisser 16)

Essayons d'appliquer de nouvelles connaissances lors de l'exécution du travail de test.

V. Consolidation du matériel étudié (travail au tableau).

Tâche 5. Associez le schéma et sa désignation. ( faire glisser 17)

Tâche 6. Il y a deux affirmations simples : A = "Le nombre 10 est pair", B = "Le loup est un herbivore." Composez toutes les déclarations composées possibles à partir d'eux et déterminez leur véracité.

Réponse : 1-2 ; 2-6 ; 3-5 ; 4-1 ; 5-4 ; 6-3 ; 7-7.

Tâche 8. Deux déclarations simples sont données : A = « Le rouble est la monnaie de la Russie », B = « La hryvnia est la monnaie des États-Unis. » Quelles sont les déclarations de vérité?

4)A contre B

Réponses : 1) 0 ; 2) 1 ; trente; 4) 1.

Vi. Réflexion « Phrases inachevées ».
C'était intéressant pour moi dans la leçon parce que:

Surtout dans la leçon que j'ai aimé:

Ce qui était nouveau pour moi, c'était :

VII. Conclusion. Devoirs.

Le travail de la classe dans son ensemble et des élèves individuels qui se sont distingués dans la leçon est évalué.

Devoirs:

1) Apprenez les définitions de base, connaissez la notation.

2) Proposez des énoncés simples. (Il devrait y avoir 5 ensembles de deux déclarations au total). À partir d'eux, inventez toutes sortes de déclarations composées, déterminez leur vérité.

Liste des matériaux utilisés :
Informatique et TIC. 10-11 année. Niveau profil. Partie 1 : 10e année : manuel pour les établissements d'enseignement / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M. : Outarde, 2008

Fondements mathématiques de l'informatique. Guide pédagogique / E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M. : BINOM. Laboratoire de connaissances, 2007

Matériel du professeur d'informatique Pospelova N.P., MOU lycée n° 22, Sotchi

Fragments de la présentation du professeur d'informatique Polyakov K.Yu.

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