BELARUS CUMHURİYETİ TARIM VE GIDA BAKANLIĞI

Eğitim kurumu "BELARUS DEVLET TARIM

TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Departman teorik mekanik mekanizmalar ve makineler ile ilgili teoriler

TEORİK MEKANİK

uzmanlık öğrencileri için metodolojik kompleks

74 06 Tarım Mühendisliği

2 bölüm halinde Bölüm 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Derleyen:

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı, Doçent Yu. S. Biza, aday teknik bilimler, doçent N. L. Rakova, kıdemli öğretim görevlisi. A. Taraseviç

İnceleyenler:

"Belarus Ulusal Teknik Üniversitesi" Eğitim Kurumu Teorik Mekanik Bölümü (Başkan)

Teorik Mekanik Bölümü BNTU Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör A. V. Chigarev);

Devlet Bilim Kurumu Mekanik Sistemlerin Titreşimden Korunması Laboratuvarı'nın Lider Araştırmacısı Birleşik Makine Mühendisliği Enstitüsü

Belarus NAS", teknik bilimler adayı, doçent A. M. Goman

Teorik mekanik. "Dinamik" Bölümü: eğitici

T33 yöntemi. karmaşık. 2 bölüm halinde Bölüm 1 / derleyen: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Eğitimsel ve metodolojik kompleks, “Teorik Mekanik” disiplininin bir parçası olan “Dinamik”, bölüm 1 bölümünü incelemek için materyaller sunar. Bir dizi ders ve performans için temel materyaller içerir pratik dersler bağımsız çalışma ve kontrol için ödevler ve ödev örnekleri eğitim faaliyetleri tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrenciler.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

GİRİİŞ

Teorik mekanik, mekanik hareketin, dengenin ve maddi cisimlerin etkileşiminin genel yasalarının bilimidir.

Bu, temel genel bilimsel fiziko-matematik disiplinlerinden biridir. Modern teknolojinin teorik temelidir.

Diğer fiziksel ve matematiksel disiplinlerle birlikte teorik mekaniğin incelenmesi, bilimsel ufukların genişletilmesine, somut ve soyut düşünme yeteneğinin geliştirilmesine ve geleceğin uzmanının genel teknik kültürünün geliştirilmesine yardımcı olur.

Tüm teknik disiplinlerin bilimsel temeli olan teorik mekanik, becerilerin geliştirilmesine katkıda bulunur. rasyonel kararlar Tarım ve arazi ıslahı makine ve ekipmanlarının işletimi, onarımı ve tasarımı ile ilgili mühendislik görevleri.

Ele alınan problemlerin doğasına bağlı olarak mekanik, statik, kinematik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

İÇİNDE eğitimsel ve metodolojik kompleksi (UMK), bir ders kursu, yürütme için temel materyaller içeren “Dinamik” bölümünü incelemek için materyaller sunar. pratik çalışma, görevler ve yürütme örnekleri bağımsız çalışma ve tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin izlenmesi.

İÇİNDE “Dinamik” bölümünün incelenmesi sonucunda öğrencinin öğrenmesi gerekenler teorik temeller dinamik ve dinamik problemlerini çözmenin temel yöntemlerinde uzmanlaşmak:

Dinamik problemlerin çözüm yöntemlerini bilir, genel teoremler dinamik, mekaniğin ilkeleri;

Kendisine etki eden kuvvetlere bağlı olarak vücut hareketinin yasalarını belirleyebilme; problemleri çözmek için mekaniğin yasalarını ve teoremlerini uygulayabilir; Bedenlerin hareketini sınırlayan bağlantıların statik ve dinamik tepkilerini belirler.

“Teorik Mekanik” disiplininin müfredatı, “Dinamik” bölümünün incelenmesi için 36 saat dahil olmak üzere toplam 136 ders saati sağlar.

1. EĞİTİM VE METODOLOJİK KOMPLEKSİN BİLİMSEL VE ​​TEORİK İÇERİĞİ

1.1. Sözlük

Statik, kuvvetlerin genel doktrinini ortaya koyan ve azaltma çalışmalarını inceleyen mekaniğin bir bölümüdür. karmaşık sistemler kuvvetler en basit forma getirilir ve denge koşulları oluşturulur çeşitli sistemler kuvvet

Kinematik, maddi nesnelerin hareketini, bu harekete neden olan sebeplerden, yani bu nesnelere etki eden kuvvetlerden bağımsız olarak inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi– Dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistem.

Kuvvet impulsu, kuvvetin belirli bir zaman içindeki etkisinin vektör ölçüsüdür.

Maddi bir noktanın momentumu – noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit olan, hareketinin vektör ölçüsü.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Temel kuvvet işi kuvvet vektörünün skaler çarpımına ve kuvvetin uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirme vektörüne eşit sonsuz küçük bir skaler niceliktir.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi skaler bir enerjidir

Bir noktanın kütlesi ile hızının karesinin çarpımının yarısına eşit olan pozitif bir nicelik.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi - aritme-

Bu sistemin tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamı.

Kuvvet, cisimlerin mekanik etkileşiminin, yoğunluğunu ve yönünü karakterize eden bir ölçüsüdür.

1.2. Ders konuları ve içeriği

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

Maddi bir noktanın dinamiği kanunları (Galileo – Newton kanunları). Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri. Maddi açıdan dinamiğin iki ana problemi. Dinamiğin ikinci probleminin çözümü; İntegral sabitleri ve bunların başlangıç ​​koşullarına göre belirlenmesi.

Literatür:, s. 180-196, , s. 12-26.

Konu 2. Malzemenin bağıl hareketinin dinamiği

Maddi bir noktanın bağıl hareketi. Bir noktanın bağıl hareketinin diferansiyel denklemleri; taşınabilir ve Coriolis eylemsizlik kuvvetleri. Klasik mekaniğin görelilik ilkesi. Göreceli bir barış durumu.

Literatür: , s. 180-196, , s. 127-155.

Konu 3. Kütlelerin geometrisi. Mekanik bir sistemin kütle merkezi

Sistem kütlesi. Sistemin kütle merkezi ve koordinatları.

Literatür:, s. 86-93, s. 264-265

Konu 4. Katı bir cismin eylemsizlik momentleri

Katı bir cismin eksene ve direğe göre atalet momentleri. Atalet yarıçapı. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri teoremi. Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Vücut asimetrisinin bir özelliği olarak merkezkaç atalet momentleri.

Literatür: , s. 265-271, , s. 155-173.

Bölüm 2. Maddi bir noktanın dinamiği üzerine genel teoremler

ve mekanik sistem

Konu 5. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teorem

Sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremin sonuçları.

Literatür: , s. 274-277, , s. 175-192.

Konu 6. Maddi bir noktanın momentumu

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin hareket miktarı. Sonlu bir süre boyunca temel dürtü ve kuvvet dürtüsü. Diferansiyel ve integral formlardaki bir noktanın ve sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 280-284, , s. 192-207.

Konu 7. Maddi bir noktanın momentumu

ve merkeze ve eksene göre mekanik sistem

Bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre kinetik momenti.

Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Bir sistemin açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Açısal momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 292-298, , s. 207-258.

Konu 8. İş ve kuvvetlerin gücü

Temel kuvvet işi, analitik ifadesi. Bir kuvvetin son yol üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet. Katı bir cisme etki eden iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan kuvvetlerin işi. Güç. Yeterlik.

Literatür: , s. 208-213, , s. 280-290.

Konu 9. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin kinetik enerjisi. Katı bir cismin hareketinin çeşitli durumlarında kinetik enerjisinin hesaplanması. Koenig teoremi. Diferansiyel ve integral formlarda bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Diferansiyel ve integral formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Literatür: , s. 301-310, , s. 290-344.

Konu 10. Potansiyel kuvvet alanı ve potansiyel

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji.

Literatür: , s. 317-320, , s. 344-347.

Konu 11. Katı cisim dinamiği

Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin diferansiyel denklemi. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

Literatür: , s. 323-334, , s. 157-173.

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

malzeme gövdesi- kütlesi olan bir cisim.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde. Bu, hareketi sırasında boyutları ihmal edilebilecek bir cisim olabileceği gibi öteleme hareketi yapıyorsa sonlu boyutlarda bir cisim de olabilir.

Maddi noktalara, katı bir cismin bazı dinamik özelliklerini belirlerken zihinsel olarak parçalandığı parçacıklar da denir. Maddi noktalara örnekler (Şekil 1): a – Dünyanın Güneş etrafındaki hareketi. Dünya maddi bir noktadır; b – katı bir cismin öteleme hareketi. Sağlam vücut - anne

bir nokta, çünkü V B = V A; a B = a A; c – vücudun bir eksen etrafında dönmesi.

Bir cismin parçacığı maddi bir noktadır.

Atalet, maddi cisimlerin, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında hareket hızlarını daha hızlı veya daha yavaş değiştirme özelliğidir.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir. Klasik mekanikte kütle sabit bir miktardır.

Kuvvet, cisimler arasındaki veya bir cisim (nokta) ile bir alan (elektrik, manyetik vb.) arasındaki mekanik etkileşimin niceliksel bir ölçüsüdür.

Kuvvet, büyüklük, uygulama noktası ve yön (etki çizgisi) ile karakterize edilen bir vektör miktarıdır (Şekil 2: A - uygulama noktası; AB - kuvvetin etki çizgisi).

Pirinç. 2

Dinamikte, sabit kuvvetlerin yanı sıra t zamanına, hızϑ'ya, mesafeye veya bu büyüklüklerin bir kombinasyonuna bağlı olabilen değişken kuvvetler de vardır;

F = sabit;

F = F(t) ;

F = F(ϑ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

elektrikli lokomotif; c − F = F (r) – O merkezinden itme kuvveti veya ona doğru çekim.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi, dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistemdir. Bu sabit bir koordinat sistemi veya düzgün ve doğrusal hareket eden bir sistemdir.

Mekanikte hareket, bir cismin diğer cisimlere göre uzay ve zamandaki konumunun değişmesidir.

Klasik mekanikte uzay üç boyutludur ve Öklid geometrisine uyar.

Zaman, herhangi bir referans sisteminde eşit olarak akan skaler bir niceliktir.

Birim sistemi, fiziksel büyüklüklerin bir dizi ölçüm birimidir. Tüm mekanik büyüklükleri ölçmek için üç temel birim yeterlidir: uzunluk, zaman, kütle veya kuvvet birimleri.

Mekanik büyüklüklerin diğer tüm ölçüm birimleri bunlardan türetilir. İki tür birim sistemi kullanılır: uluslararası SI birim sistemi (veya daha küçük - GHS) ve teknik birim sistemi - ICGSS.

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

1.1. Maddi bir noktanın dinamiği yasaları (Galileo-Newton yasaları)

Birinci yasa (eylemsizlik yasası).

Dış etkilerden izole edilmiş bir maddesel nokta, uygulanan kuvvetler onu bu durumu değiştirmeye zorlayana kadar durgun durumunu korur veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Bir noktanın kuvvetlerin yokluğunda veya dengeli bir kuvvet sisteminin etkisi altında yaptığı harekete atalet hareketi denir.

Örneğin, bir cismin pürüzsüz bir yüzey boyunca hareketi (sürtünme kuvveti sıfırdır)

yatay yüzey (Şekil 4: G – vücut ağırlığı; N – normal düzlem reaksiyonu).

G = − N olduğundan, G + N = 0 olur.

ϑ 0 ≠ 0 olduğunda cisim aynı hızla hareket eder; ϑ 0 = 0 olduğunda vücut hareketsizdir (ϑ 0 başlangıç ​​hızıdır).

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası).

Bir noktanın kütlesi ile belirli bir kuvvetin etkisi altında aldığı ivmenin çarpımı, bu kuvvete büyüklükte eşittir ve yönü, ivmenin yönü ile çakışmaktadır.

bir b

Matematiksel olarak bu yasa vektör eşitliğiyle ifade edilir.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = sabit olduğunda - nokta düzgün ve doğrusal olarak hareket eder veya ϑ 0 = 0'da - hareketsizdir (eylemsizlik yasası). Saniye

yasa, dünya yüzeyine yakın bir yerde bulunan bir cismin kütlesi m ile ağırlığı arasında bir bağlantı kurmamıza izin verirG .G = mg, burada –

yer çekiminin hızlanması.

Üçüncü yasa (etki ve tepki eşitliği yasası). İki maddi nokta birbirine eşit büyüklükte ve onları birleştiren düz çizgi boyunca yönlendirilmiş kuvvetlerle etki eder.

bu noktalar zıt yönlerdedir.

F 1 = − F 2 kuvvetleri farklı noktalara uygulandığından (F 1 , F 2 ) kuvvetler sistemi dengeli değildir, yani (F 1 , F 2 )≈ 0 (Şekil 6).

Etkileşen noktaların kütleleri ivmeleriyle ters orantılıdır.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı yasası). Bir noktaya aynı anda etki edildiğinde alınan ivme

ancak, her bir kuvvet kendisine ayrı ayrı uygulandığında noktanın alacağı ivmelerin geometrik toplamına eşit birkaç kuvvet.

Açıklama (Şekil 7).

t ve n

a 1 a kF n

Bileşik kuvvet R (F 1 ,...Fk ,...Fn ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man olduğundan, o zaman

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, yani dördüncü yasa eşdeğerdir

k = 1

kuvvetlerin toplamı kuralı.

1.2. Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri

Maddi bir noktaya, aralarında hem sabit hem de değişken olan birçok kuvvetin aynı anda etki ettiğini varsayalım.

Dinamiğin ikinci yasasını şu şekilde yazalım:

noktalar varsa (1.2) r'nin türevlerini içerir ve maddi bir noktanın vektör formundaki diferansiyel hareket denklemi veya maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemidir.

Vektör eşitliğinin projeksiyonları (1.2): - Kartezyen koordinatların ekseninde (Şekil 8, a)

Doğal eksende (Şekil 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Denklemler (1.3) ve (1.4), bir maddi noktanın sırasıyla Kartezyen koordinat eksenlerinde ve doğal eksenlerdeki diferansiyel hareketinin diferansiyel denklemleridir; yani, bir noktanın yörüngesi varsa, genellikle bir noktanın eğrisel hareketi için kullanılan doğal diferansiyel denklemlerdir. nokta ve eğrilik yarıçapı bilinmektedir.

1.3. Maddi bir nokta için dinamiğin iki ana problemi ve bunların çözümü

İlk (doğrudan) görev.

Hareket yasasını ve noktanın kütlesini bilerek, noktaya etkiyen kuvveti belirleyin.

Bu sorunu çözmek için noktanın ivmesini bilmeniz gerekir. Bu tür problemlerde doğrudan belirlenebileceği gibi bir noktanın hareket yasası da belirlenerek buna göre belirlenebilir.

1. Yani bir noktanın hareketi Kartezyen koordinatlarda belirtilirse

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ve z = f 3 (t), o zaman ivme projeksiyonları belirlenir

Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Mekanik bir sistemin diferansiyel hareket denklemleri. Mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Kütle merkezinin hareketinin korunumu kanunu.

Momentumdaki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın hareket miktarı. Temel kuvvet dürtüsü. Sonlu bir süre için kuvvet darbesi ve bunun koordinat eksenlerine yansıması. Diferansiyel ve sonlu formlarda maddi bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teorem.

Mekanik bir sistemin hareket miktarı; sistemin kütlesi ve kütle merkezinin hızı aracılığıyla ifadesi. Diferansiyel ve sonlu formlarda mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik momentumun korunumu kanunu

(Cisim kavramı ve değişken kütleli bir nokta. Meshchersky denklemi. Tsiolkovsky formülü.)

Açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Maddi bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Merkezi güç. Merkezi bir kuvvet durumunda maddi bir noktanın açısal momentumunun korunumu. (Sektör hızı kavramı. Alanlar kanunu.)

Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre temel momentum momenti veya kinetik momenti. Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Mekanik bir sistemin kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin açısal momentumunun korunumu yasası. (Mekanik bir sistemin kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem bağıl hareket kütle merkezine göre.)

Kinetik enerjideki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi. Temel kuvvet işi; temel çalışmanın analitik ifadesi. Bir kuvvetin uygulandığı noktanın son yer değiştirmesi üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet ve yer çekimi kuvveti. Diferansiyel ve sonlu formlarda maddi bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi. Öteleme hareketi sırasında, sabit bir eksen etrafında dönme sırasında ve sabit bir cismin kinetik enerjisini hesaplamak için formüller genel durum hareket (özellikle düzlemsel paralel hareketle). Diferansiyel ve sonlu formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Katı bir cisimde iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan iş ve kuvvetlerin gücü.

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Kuvvet projeksiyonlarının kuvvet fonksiyonu aracılığıyla ifadesi. Eşit potansiyele sahip yüzeyler. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji. Örnekler potansiyel kuvvetler yeni alanlar: düzgün yerçekimi alanı ve yerçekimi alanı. Mekanik enerjinin korunumu kanunu.

Katı cisim dinamiği. Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi için diferansiyel denklem. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

D'Alembert ilkesi. Maddi bir nokta için D'Alembert ilkesi; eylemsizlik kuvveti. Mekanik bir sistem için D'Alembert ilkesi. Rijit bir cismin noktalarının atalet kuvvetlerinin merkeze getirilmesi; ana vektör ve ana nokta eylemsizlik kuvvetleri.

(Sert bir gövdenin sabit bir eksen etrafında dönmesi sırasında rulmanların dinamik reaksiyonlarının belirlenmesi. Dönme ekseninin gövdenin ana atalet ekseni olması durumu.)

Olası hareketler ilkesi ve dinamiğin genel denklemi. Mekanik bir sisteme uygulanan bağlantılar. Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin olası (veya sanal) hareketleri. Sistemin serbestlik derecesi sayısı. İdeal bağlantılar. Olası hareketler ilkesi. Dinamiğin genel denklemi.

Genelleştirilmiş koordinatlarda bir sistemin hareket denklemleri (Lagrange denklemleri). Sistemin genelleştirilmiş koordinatları; genelleştirilmiş hızlar Temel işin genelleştirilmiş koordinatlarda ifadesi. Genelleştirilmiş Kuvvetler ve Hesapları; potansiyeli olan kuvvetler durumu. Genelleştirilmiş koordinatlarda bir sistemin dengesi için koşullar. Bir sistemin genelleştirilmiş koordinatlarda diferansiyel hareket denklemleri veya 2. tür Lagrange denklemleri. Potansiyel kuvvetler durumunda Lagrange denklemleri; Lagrange fonksiyonu (kinetik potansiyel).

Denge kararlılığı kavramı. Sistemin kararlı denge konumuna yakın bir serbestlik derecesine sahip mekanik bir sistemin küçük serbest titreşimleri ve özellikleri.

Etki teorisinin unsurları. Etki fenomeni. Darbe kuvveti ve darbe dürtüsü. Bir darbe kuvvetinin maddi bir nokta üzerindeki etkisi. Çarpma sonucu mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Vücudun sabit bir yüzeye doğrudan merkezi etkisi; elastik ve elastik olmayan etkiler. Darbe geri kazanım katsayısı ve deneysel olarak belirlenmesi. İki cismin doğrudan merkezi etkisi. Carnot teoremi.

REFERANSLAR

Temel

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Teorik mekaniğin dersi. T. 1, 2. M., 1985 ve önceki basımlar.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Teorik mekaniğin dersi. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Teorik mekanik. M., 1980.

Targ S.M.Kısa kurs teorik mekanik. M., 1986 ve önceki basımlar.

Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Teorik mekaniğin dersi. Bölüm 1. M., 1984 ve önceki basımlar.

Yablonsky A.A. Teorik mekaniğin dersi. Bölüm 2. M., 1984 ve önceki basımlar.

Meshchersky I.V. Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması. M., 1986 ve önceki basımlar.

Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması/Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Ek olarak

Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S.Örnekler ve problemlerde teorik mekanik. Parça 1, 2. M., 1984 ve önceki basımlar.

Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması/5razhnichen/so N.A., Kan V.L., Mintzberg B.L. ve diğerleri, M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Teorik mekanikte tipik bilgisayar tabanlı hesaplamalar. M., 1986,

Şunun için görevlerin toplanması kurs teorik mekanik üzerine / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 ve önceki basımlar (problem çözme örneklerini içerir).

Ders 3. Dinamiğin genel teoremleri

Maddi noktalar sisteminin dinamiği teorik mekaniğin önemli bir dalıdır. Burada esas olarak, sonlu sayıda serbestlik derecesine (sistemin konumunu belirleyen maksimum sayıda bağımsız parametreye) sahip mekanik sistemlerin (madde noktaları sistemleri) hareketi ile ilgili problemleri ele alıyoruz. Sistem dinamiğinin asıl görevi, katı bir cismin ve mekanik sistemlerin hareket yasalarının incelenmesidir.

Bir sistemin hareketini incelemeye yönelik en basit yaklaşım aşağıdakilerden oluşur: N Maddi noktaların belirlenmesi, sistemin her bir noktasının hareketlerinin dikkate alınmasına gelir. Bu durumda noktalar arasındaki etkileşim kuvvetleri de dahil olmak üzere sistemin her noktasına etki eden tüm kuvvetlerin belirlenmesi gerekir.

Newton'un ikinci yasasına (1.2) uygun olarak her noktanın ivmesini belirleyerek, her nokta için ikinci dereceden üç skaler diferansiyel hareket yasasını elde ederiz; 3 N Tüm sistem için diferansiyel hareket yasaları.

Sistemin her bir noktası için verilen kuvvetlere ve başlangıç ​​koşullarına dayalı olarak mekanik bir sistemin hareket denklemlerini bulmak için, ortaya çıkan diferansiyel yasaların entegre edilmesi gerekir. Bu problem, evrensel çekim yasasına göre (iki cisim problemi) yalnızca etkileşim kuvvetlerinin etkisi altında hareket eden iki maddi nokta durumunda bile zordur ve etkileşen üç nokta durumunda (üç cisim problemi) son derece zordur. ).

Bu nedenle çözülebilir denklemlere yol açacak ve mekanik bir sistemin hareketi hakkında fikir verecek problemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin bulunması gerekmektedir. Diferansiyel hareket yasalarının bir sonucu olan genel dinamik teoremleri, entegrasyon sırasında ortaya çıkan karmaşıklıktan kaçınmamıza ve gerekli sonuçları elde etmemize olanak tanır.

3. 1. Genel notlar

Mekanik sistemin noktalarını indekslerle numaralandıracağız Ben, J, k vb. tüm değerlerin içinden geçen 1, 2, 3… N, Nerede N – sistemin nokta sayısı. Fiziksel miktarlar ile ilgili k nokta, noktayla aynı indeksle gösterilir. Örneğin, sırasıyla yarıçap vektörünü ve hızı ifade edin k bu nokta.

Sistemin her noktasına iki kaynaklı kuvvetler etki eder: Birincisi, kaynakları sistemin dışında bulunan kuvvetler. harici kuvvetler ve belirlenmiş; ikincisi, belirli bir sistemin diğer noktalarından gelen kuvvetlere denir. dahili kuvvetler ve belirlenmiş. İç kuvvetler Newton'un üçüncü yasasını karşılar. Herhangi bir durumda tüm mekanik sisteme etki eden iç kuvvetlerin en basit özelliklerini ele alalım.

İlk mülk. Sistemin tüm iç kuvvetlerinin geometrik toplamı (iç kuvvetlerin ana vektörü) sıfıra eşittir.

Aslında, sistemin herhangi iki keyfi noktasını ele alırsak, örneğin ve (Şekil 3.1), o zaman onlar için , Çünkü etki ve tepki kuvvetleri her zaman büyüklük bakımından eşit olup, etkileşen noktaları birbirine bağlayan bir etki çizgisi boyunca ters yönde etki eder. İç kuvvetlerin ana vektörü, etkileşen noktaların kuvvet çiftlerinden oluşur, bu nedenle

(3.1)

İkinci mülk. Uzaydaki herhangi bir noktaya göre tüm iç kuvvetlerin momentlerinin geometrik toplamı sıfıra eşittir.

Kuvvetlerin momentlerinden ve noktaya göreli bir sistem düşünelim. HAKKINDA(Şekil 3.1). İtibaren (Şekil 3.1). bu açık

,

Çünkü her iki kuvvet de aynı kollara ve vektör momentlerinin zıt yönlerine sahiptir. Bir noktaya göre iç kuvvetlerin asal momenti HAKKINDA bu tür ifadelerin vektör toplamından oluşur ve sıfıra eşittir. Buradan,

Aşağıdakilerden oluşan bir mekanik sisteme dış ve iç kuvvetlerin etki ettiğini varsayalım. N puan (Şekil 3.2). Dış kuvvetlerin bileşkesi ve tüm iç kuvvetlerin bileşkesi sistemin her noktasına uygulanırsa, o zaman herhangi bir nokta için k Sistemin 3. noktasında diferansiyel hareket denklemleri çizilebilir. Bu tür denklemlerin toplamı olacak N:

ve sabit koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda 3 N:

(3.4)

Vektör denklemleri (3.3) veya eşdeğer skaler denklemler (3.4), tüm sistemin maddi noktalarının diferansiyel hareket yasalarını temsil eder. Tüm noktalar bir düzleme veya bir düz çizgiye paralel hareket ederse, ilk durumda denklemlerin (3.4) sayısı şu şekilde olacaktır: 2 N, ikincisinde N.

Örnek 1.İki kütle birbirine bir bloğun üzerine atılan uzatılamaz bir kabloyla bağlanır (Şekil 3.3). Sürtünme kuvvetlerinin yanı sıra blok ve kablonun kütlesinin de ihmal edilmesi, yüklerin hareketi ve kablo gerginliği yasasını belirler.

Çözüm. Sistem aynı eksene paralel hareket eden (uzatılamaz bir kabloyla birbirine bağlanan) iki malzeme gövdesinden oluşur. X. Diferansiyel hareket yasalarını eksene izdüşümlerde yazalım X her vücut için.

Sağ ağırlığın ivmeyle düşmesine izin verin, sonra sol ağırlık ivmeyle yükselecektir. Kendimizi zihinsel olarak bağlantıdan (kablodan) kurtarır ve onu tepkilerle değiştiririz. (Şekil 3.3). Cisimlerin serbest olduğunu kabul ederek eksene izdüşümlü diferansiyel hareket yasalarını çizelim. X(bu, iplik gerginliklerinin iç kuvvetler olduğu ve yüklerin ağırlığının dış kuvvetler olduğu anlamına gelir):

Ve (cisimler uzayamaz bir ip ile birbirine bağlandığından) şunu elde ederiz:

İvme ve kablo gerilimi için bu denklemlerin çözülmesi T, alıyoruz

.

Kablodaki gerilimin karşılık gelen yükün yer çekimi kuvvetine eşit olmadığını unutmayın.

3. 2. Kütle merkezinin hareketine ilişkin teorem

Düzlemdeki katı bir cismin ve mekanik sistemin oldukça karmaşık hareket edebildiği bilinmektedir. Bir cismin ve mekanik bir sistemin hareketine ilişkin birinci teoreme şu şekilde ulaşılabilir: a k.-l atın. birbirine tutturulmuş birçok katı cisimden oluşan bir nesne. Bir parabolde uçacağı açıktır. Bu, noktanın hareketi incelenirken ortaya çıktı. Ancak artık nesne bir nokta değildir. Bir parabolde hareket eden etkili bir merkezin etrafında uçuşu sırasında döner ve sallanır. Karmaşık nesnelerin hareketiyle ilgili ilk teorem, belirli bir etkili merkezin, hareket eden bir nesnenin kütle merkezi olduğunu söylüyor. Kütle merkezinin mutlaka vücudun içinde olması gerekmez; onun dışında bir yerde bulunabilir.

Teorem. Mekanik bir sistemin kütle merkezi, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin uygulandığı, tüm sistemin kütlesine eşit kütleye sahip maddi bir nokta olarak hareket eder.

Teoremi kanıtlamak için diferansiyel hareket yasalarını (3.3) aşağıdaki biçimde yeniden yazıyoruz:

(3.5)

Nerede N – sistemin nokta sayısı.

Denklemleri terim terim toplayalım:

(A)

Mekanik sistemin kütle merkezinin seçilen koordinat sistemine göre konumu formül (2.1) ile belirlenir: Nerede M– sistemin kütlesi. Daha sonra eşitliğin sol tarafına (a) yazılacaktır.

Eşitliğin (a) sağ tarafındaki ilk toplam, dış kuvvetlerin ana vektörüne eşittir ve sonuncusu, iç kuvvetlerin özelliği gereği sıfıra eşittir. Daha sonra eşitlik (a), (b) dikkate alınarak yeniden yazılacaktır.

, (3.6)

onlar. Sistemin kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımı, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin geometrik toplamına eşittir.

Denklem (3.6)'dan iç kuvvetlerin kütle merkezinin hareketini doğrudan etkilemediği sonucu çıkar. Ancak bazı durumlarda sisteme uygulanan dış kuvvetlerin ortaya çıkmasına neden olurlar. Böylece, bir arabanın tahrik tekerleklerini dönmeye iten iç kuvvetler, tekerlek jantına uygulanan bir dış yapışma kuvvetinin jant üzerinde etkili olmasına neden olur.

Örnek 2. Dikey bir düzlemde bulunan mekanizma, yatay ve pürüzsüz bir düzlem üzerine monte edilir ve yüzeye sağlam bir şekilde sabitlenmiş çubuklarla ona bağlanır. İLE Ve L (Şekil 3.4).

Disk 1 yarıçapı R hareketsiz. Disk 2 kütlesi M ve yarıçap R bir kranka bağlı, uzunluk R+ R bu noktada C2. Krank sabit bir hızla dönüyor

açısal hız. İlk anda krank sağ tarafı işgal etti yatay konum. Krankın kütlesini ihmal ederek, çerçevenin ve tekerleğin (1) toplam kütlesi şuna eşitse, çubuklara etkiyen maksimum yatay ve düşey kuvvetleri belirleyin: M. Ayrıca çubukların yokluğunda mekanizmanın davranışını da göz önünde bulundurun.

Çözüm. Sistem iki kütleden oluşur ( N=2 ): çerçeveli ve hareketli diskli sabit disk 1 2. Ekseni yönlendirin en sabit diskin ağırlık merkezi boyunca dikey olarak yukarı doğru, eksen X– yatay düzlem boyunca.

Kütle merkezinin (3.6) hareketine ilişkin teoremi koordinat biçiminde yazalım.

Bu sistemin dış kuvvetleri şunlardır: çerçevenin ve sabit diskin ağırlığı - Mg, hareketli disk ağırlığı – mg, - cıvataların toplam yatay reaksiyonu, - uçağın normal toplam reaksiyonu. Buradan,

Daha sonra hareket yasaları (b) yeniden yazılacaktır.

Mekanik sistemin kütle merkezinin koordinatlarını hesaplayalım:

; (G)

şuradan görülebileceği gibi (Şekil 3.4), , , (krank açısı), . Bu ifadeleri (d)'de yerine koyarak ikinci türevlerin zamana göre hesaplanması T,'den bunu anlıyoruz

(e)

(c) ve (e)'yi (b)'de yerine koyarsak, şunu buluruz:

Çubuklara etki eden yatay basınç en büyük ve en az olduğunda çünkü = 1 buna göre, yani

Mekanizma baskısı yatay düzlem en büyük ve en küçük değerlere sahip olduğunda günah buna göre, yani

Aslında dinamiğin ilk problemi çözüldü: Sistemin kütle merkezinin (d) bilinen hareket denklemlerine göre, harekete dahil olan kuvvetler eski durumuna getirildi.

Barların yokluğunda k Ve L (Şekil 3.4) mekanizma yatay düzlemin üzerinde sıçramaya başlayabilir. Bu şu durumlarda gerçekleşecektir: olduğunda, mekanizmanın sıçradığı krankın açısal dönüş hızının eşitliği sağlaması gerektiği sonucu çıkar.

.

3. 3. Kütle merkezinin hareketinin korunumu kanunu

Sisteme etki eden dış kuvvetlerin ana vektörü sıfıra eşitse; , sonra(3.6)kütle merkezinin ivmesinin sıfır olduğu, dolayısıyla kütle merkezinin hızının büyüklük ve yön bakımından sabit olduğu sonucu çıkar. Özellikle ilk anda kütle merkezi hareketsizse, dış kuvvetlerin ana vektörü sıfıra eşitken tüm zaman boyunca hareketsizdir.

Bu teoremden birkaç sonuç çıkar.

· İç kuvvetler tek başına sistemin kütle merkezinin hareketinin doğasını değiştiremez.

· Sisteme etki eden dış kuvvetlerin ana vektörü sıfır ise, kütle merkezi hareketsizdir veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

· Sistemin dış kuvvetlerinin ana vektörünün sabit bir eksene izdüşümü sıfıra eşitse, sistemin kütle merkezinin hızının bu eksene izdüşümü değişmez.

· Katı bir cisme uygulanan bir çift kuvvet, kütle merkezinin hareketini değiştiremez (yalnızca cismin kütle merkezi etrafında dönmesine neden olabilir).

Kütle merkezinin hareketinin korunumu yasasını gösteren bir örneği ele alalım.

Örnek 3.İki kütle, bir bloğun içinden atılan uzatılamaz bir iplikle birbirine bağlanır (Şekil 3.5) kütleli bir kama üzerine sabitlenmiş M. Kama düzgün bir yatay düzlem üzerinde durmaktadır. İlk anda sistem hareketsiz durumdaydı. İlk yük belirli bir yüksekliğe indirildiğinde kamanın düzlem boyunca yer değiştirmesini bulun N. Bloğun ve ipliğin kütlesini ihmal edin.

Çözüm. Yüklerle birlikte kamaya etki eden dış kuvvetler yerçekimidir ve Mg, ayrıca pürüzsüz bir yatay yüzey N'nin normal reaksiyonunun yanı sıra,

İlk anda sistem hareketsiz olduğundan, .

Sistemin kütle merkezinin o andaki koordinatlarını hesaplayalım. T 1 yük ağırlaştığında G yüksekliğe inecek H.

Şu an için:

,

Nerede , , X– sırasıyla, g, g ağırlığındaki yüklerin ve kama ağırlığının kütle merkezinin koordinatları MG.

Kamanın o anda eksenin pozitif yönünde hareket ettiğini varsayalım. Öküz miktara göre L yükün ağırlığı belirli bir yüksekliğe düşerse N. O zaman şimdilik

Çünkü yükler kamayla birlikte hareket edecek L sağa doğru hareket edecek ve yük kama boyunca yukarı doğru hareket edecektir. O zamandan beri, hesaplamalardan sonra şunu elde ederiz:

.

3.4. Sistem hareket miktarı

3.4.1. Sistem momentumunun hesaplanması

Maddi bir noktanın momentumu, noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit bir vektör miktarıdır.

Momentum ölçüm birimi -

Mekanik bir sistemin momentumu, sistemin bireysel noktalarının momentumunun vektör toplamıdır;

Nerede N – sistemin nokta sayısı.

Mekanik bir sistemin momentumu sistemin kütlesi cinsinden ifade edilebilir. M ve kütle merkezinin hızı. Gerçekten mi,

onlar. Sistemin momentumu, tüm sistemin kütlesinin ve kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir. Yön, yön ile aynıdır (Şekil 3.6)

Dikdörtgen eksenlere yapılan projeksiyonlarda elimizdeki

burada , , sistemin kütle merkezinin hızının izdüşümleridir.

Burada M– mekanik sistemin kütlesi; sistem hareket ettiğinde değişmez.

Bu sonuçların özellikle katı cisimlerin hareket miktarlarının hesaplanmasında kullanılması uygundur.

Formül (3.7)'den, mekanik bir sistemin kütle merkezi sabit kalacak şekilde hareket etmesi durumunda sistemin momentumunun sıfıra eşit kalacağı açıktır.

3.4.2. Temel ve tam kuvvet darbesi

Bir kuvvetin zaman içinde maddi bir noktaya etkisi dt temel bir dürtü ile karakterize edilebilir. Zaman içindeki toplam kuvvet darbesi T, veya formülle belirlenen kuvvet darbesi

veya eksen koordinatları üzerine projeksiyonlarda

(3.8a)

Kuvvet darbesinin birimi.

3.4.3. Bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem

Sistemin noktalarına dış ve iç kuvvetler uygulansın. Daha sonra sistemin her noktası için diferansiyel hareket yasalarını (3.3) uygulayabiliriz, bunu aklımızda tutarak :

.

Sistemin tüm noktalarını toplayarak şunu elde ederiz:

İç kuvvetlerin özelliği ve tanımı gereği sahibiz

(3.9)

Bu denklemin her iki tarafının çarpılması dt Momentumdaki değişime ilişkin diferansiyel formda bir teorem elde ederiz:

, (3.10)

onlar. Mekanik bir sistemin diferansiyel momentumu, mekanik sistemin noktalarına etki eden tüm dış kuvvetlerin temel itkilerinin vektör toplamına eşittir.

Her iki tarafın (3.10) 0'dan zamana göre integralinin hesaplanması T, teoremi sonlu veya integral formda elde ederiz

(3.11)

Koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda sahip olacağımız

Mekanik bir sistemin momentumunun zamanla değişmesiT, aynı anda mekanik sistemin noktalarına etki eden dış kuvvetlerin tüm darbelerinin vektör toplamına eşittir.

Örnek 4. Yük ağırlığı M Bir kuvvetin etkisi altında dinlenme halindeyken eğik bir düzlemden aşağıya doğru iner F, zamanla orantılı: , burada (Şekil 3.7). Vücut bundan sonra hangi hızı kazanacak? T Hareketin başlamasından saniyeler sonra, yükün eğimli düzlemdeki kayma sürtünme katsayısı şuna eşitse: F.

Çözüm. Yüke uygulanan kuvvetleri gösterelim: mg – yük yerçekimi kuvveti, N düzlemin normal tepkisidir, düzlem üzerindeki yükün kayma sürtünme kuvvetidir ve . Tüm kuvvetlerin yönü şekilde gösterilmiştir. (Şekil 3.7).

Ekseni yönlendirelim X eğik düzlem boyunca aşağıya doğru. Eksene izdüşümdeki momentumdaki (3.11) değişimle ilgili teoremi yazalım. X:

(A)

Şarta göre çünkü zamanın ilk anında yük hareketsizdi. Tüm kuvvetlerin darbelerinin x eksenine izdüşümlerinin toplamı şuna eşittir:

Buradan,

,

.

3.4.4. Momentumun korunumu yasaları

Korunum yasaları momentumdaki değişim teoreminin özel durumları olarak elde edilir. İki özel durum mümkündür.

· Sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşitse; , o zaman aşağıdaki teoremden (3.9) , Ne ,

onlar. Sistemin dış kuvvetlerinin ana vektörü sıfır ise, sistemin hareket miktarı büyüklük ve yön bakımından sabittir.

· Dış kuvvetlerin ana vektörünün herhangi bir yere izdüşümü ise koordinat ekseni sıfıra eşit, örneğin Oh, yani. ise momentumun bu eksene izdüşümü sabit bir değerdir.

Momentumun korunumu yasasının uygulanmasına ilişkin bir örneği ele alalım.

Örnek 5. Balistik sarkaç, uzun bir ip üzerinde asılı duran bir kütleye sahip bir cisimdir. (Şekil 3.8).

Hızla hareket eden bir kütle mermisi V ve sabit bir cisme çarparak sıkışıp kalır ve cisim sapar. Ceset yüksekliğe çıkarsa merminin hızı ne olurdu? H ?

Çözüm. Kurşunun sıkıştığı bedenin hız kazanmasına izin verin. Daha sonra, iki cismin etkileşimi sırasında momentumun korunumu yasasını kullanarak şunu yazabiliriz: .

Hız, mekanik enerjinin korunumu yasası kullanılarak hesaplanabilir . Daha sonra . Sonuç olarak bulduk

.

Örnek 6. Su sabit bir kanala giriyor (Şekil 3.9) yataya açılı hıza sahip değişken kesit; kare enine kesit girişteki kanal; Kanaldan çıkışta suyun hızı ufukla açı yapar.

Suyun kanal duvarlarında oluşturduğu reaksiyonun yatay bileşenini belirleyin. Suyun yoğunluğu .

Çözüm. Kanal duvarlarının suya uyguladığı reaksiyonun yatay bileşenini belirleyeceğiz. Bu kuvvet istenilen kuvvete eşit büyüklükte ve zıt işaretlidir. (3.11a)’ya göre elimizde,

. (A)

T süresi boyunca kanala giren sıvı hacminin kütlesini hesaplıyoruz:

rAV 0 miktarına denir ikinci kütle - birim zamanda borunun herhangi bir bölümünden akan sıvının kütlesi.

Aynı sürede aynı miktarda su kanaldan çıkar. Başlangıç ​​ve son hızlar durumda verilmiştir.

Sisteme (su) uygulanan dış kuvvetlerin yatay eksene izdüşümlerinin toplamını belirleyen eşitliğin (a) sağ tarafını hesaplayalım. Tek yatay kuvvet, ortaya çıkan duvar reaksiyonunun yatay bileşenidir. Rx. Bu kuvvet sabit su hareketi sırasında sabittir. Bu yüzden

. (V)

(b) ve (c)'yi (a)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

3.5. Sistemin kinetik momenti

3.5.1. Sistemin ana momentum anı

Merkez adı verilen bir A noktasına göre sistemin kütlesine sahip bir noktanın yarıçap vektörü olsun. (Şekil 3.10).

Bir noktanın momentumu (kinetik momenti) A merkezine göre vektör denir , formülle belirlenir

. (3.12)

Bu durumda vektör merkezden geçen düzleme dik olarak yönlendirilir A ve vektör .

Bir noktanın eksene göre momentumu (kinetik momenti) bir noktanın momentum momentinin bu eksen üzerinde seçilmiş herhangi bir merkeze göre bu eksene izdüşümüne denir.

Sistemin A merkezine göre ana momentum momenti (kinetik moment) miktar denir

(3.13)

Sistemin eksene göre ana momentum momenti (kinetik moment) sistemin ana momentum momentinin bu eksen üzerinde seçilen herhangi bir momente göre bu eksen üzerindeki izdüşümüne denir. merkez ekseni.

3.5.2. Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti

Sabit noktayı hizalayalım HAKKINDA dönme ekseni üzerinde yatan vücut HAKKINDAz, koordinat sisteminin kökeni ile Ohooz eksenleri gövdeyle birlikte dönecek olan (Şekil 3.11). Vücudun bir noktasının koordinatların orijinine göre yarıçap vektörü olsun; eksen üzerindeki izdüşümü , , , ile gösterilecektir. Vücudun açısal hız vektörünün aynı eksenlerdeki izdüşümlerini 0, 0, () ile belirtiyoruz.

Bir cisimler sisteminin dinamiği üzerine genel teoremler. Kütle merkezinin hareketi, momentum değişimi, ana açısal momentum değişimi, kinetik enerji değişimi ile ilgili teoremler. D'Alembert'in ilkeleri ve olası hareketler. Dinamiğin genel denklemi. Lagrange denklemleri.

Katı bir cismin ve cisimler sisteminin dinamiği üzerine genel teoremler

Dinamiğin genel teoremleri- bu, mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin bir teorem, momentumdaki değişime ilişkin bir teorem, ana açısal momentumdaki (kinetik moment) değişime ilişkin bir teorem ve kinetik enerjideki değişime ilişkin bir teoremdir mekanik bir sistemden oluşur.

Mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi üzerine teorem

Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem.
Bir sistemin kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımı, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektör toplamına eşittir:
.

Burada M sistemin kütlesidir:
;
a C sistemin kütle merkezinin ivmesidir:
;
v C - sistemin kütle merkezinin hızı:
;
r C - sistemin kütle merkezinin yarıçap vektörü (koordinatları):
;
- sistemi oluşturan noktaların koordinatları (sabit merkeze göre) ve kütleleri.

Momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentum)

Sistemin hareket (impuls) miktarı tüm sistemin kütlesinin, kütle merkezinin hızına veya sistemi oluşturan bireysel noktaların veya parçaların momentumunun (impulsların toplamına) toplamına eşittir:
.

Momentumun diferansiyel formdaki değişimine ilişkin teorem.
Sistemin hareket miktarının (momentumunun) zamana göre türevi, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektör toplamına eşittir:
.

İntegral formda momentum değişimine ilişkin teorem.
Belirli bir süre boyunca sistemin momentumundaki (momentumundaki) değişim, aynı süre içindeki dış kuvvetlerin darbelerinin toplamına eşittir:
.

Momentumun korunumu kanunu (momentum).
Sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfır ise sistemin momentum vektörü sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Eğer dış kuvvetlerin herhangi bir eksene izdüşümü toplamı sıfır ise, sistemin hareket miktarının bu eksene izdüşümü sabit olacaktır.

Asal açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentler teoremi)

Belirli bir O merkezine göre bir sistemin temel açısal momentumu, sistemin bu merkeze göre tüm noktalarının açısal momentumunun vektör toplamına eşit miktardır:
.
Burada köşeli parantezler çapraz çarpımı göstermektedir.

Ekli sistemler

Aşağıdaki teorem, mekanik bir sistemin eylemsiz bir referans çerçevesine göre sabitlenmiş sabit bir noktaya veya eksene sahip olduğu duruma uygulanır. Örneğin, küresel bir yatakla sabitlenmiş bir gövde. Veya sabit bir merkez etrafında hareket eden cisimlerden oluşan bir sistem. Aynı zamanda bir cismin veya cisimler sisteminin etrafında döndüğü sabit bir eksen de olabilir. Bu durumda momentler, itme momentleri ve sabit eksene göre kuvvetler olarak anlaşılmalıdır.

Asal açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem (momentler teoremi)
Sistemin ana açısal momentumunun sabit bir O merkezine göre zamana göre türevi, sistemin tüm dış kuvvetlerinin aynı merkeze göre momentlerinin toplamına eşittir.

Asal açısal momentumun korunumu yasası (açısal momentum).
Belirli bir sabit O merkezine göre sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfıra eşitse, sistemin bu merkeze göre ana açısal momentumu sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Eğer dış kuvvetlerin sabit bir eksene göre momentlerinin toplamı sıfır ise, sistemin bu eksene göre açısal momentumu sabit olacaktır.

Keyfi sistemler

Aşağıdaki teorem evrensel bir karaktere sahiptir. Hem sabit hem de serbestçe hareket eden sistemler için geçerlidir. Sabit sistemlerde bağlantıların sabit noktalardaki tepkilerinin dikkate alınması gerekir. Sabit bir O noktası yerine sistemin C kütle merkezinin alınması gerektiği açısından önceki teoremden farklıdır.

Kütle merkezi etrafındaki momentler teoremi
Sistemin C kütle merkezine göre ana açısal momentumunun zamana göre türevi, sistemin tüm dış kuvvetlerinin aynı merkeze göre momentlerinin toplamına eşittir.

Açısal momentumun korunumu kanunu.
Sisteme uygulanan tüm dış kuvvetlerin C kütle merkezine göre momentlerinin toplamı sıfıra eşitse, sistemin bu merkeze göre ana momentum momenti sabit olacaktır. Yani koordinat eksenlerindeki tüm projeksiyonları sabit değerleri koruyacaktır.

Vücudun eylemsizlik momenti

Vücut z ekseni etrafında dönüyorsaω z açısal hızıyla, z eksenine göre açısal momentumu (kinetik momenti) aşağıdaki formülle belirlenir:
Lz = Jz ωz ,
burada Jz, cismin z eksenine göre eylemsizlik momentidir.

Cismin z eksenine göre atalet momenti formülle belirlenir:
,
burada h k, m k kütleli bir noktadan z eksenine olan mesafedir.
Kütlesi M ve yarıçapı R olan ince bir halka veya kütlesi kenarı boyunca dağılmış bir silindir için,
J z = MR 2 .
Katı homojen bir halka veya silindir için,
.

Steiner-Huygens teoremi.
Cz cismin kütle merkezinden geçen eksen, Oz ise ona paralel eksen olsun. O zaman cismin bu eksenlere göre eylemsizlik momentleri şu ilişkiyle ilişkilendirilir:
J Oz = J Cz + Ma 2 ,
burada M vücut ağırlığıdır; a eksenler arasındaki mesafedir.

Daha genel bir durumda:
,
vücudun atalet tensörü nerede.
Burada cismin kütle merkezinden m k kütleli bir noktaya çizilen bir vektör var.

Kinetik enerjinin değişimine ilişkin teorem

M kütleli bir cismin z ekseni etrafında ω açısal hızıyla öteleme ve dönme hareketi yapmasına izin verin.
,
Daha sonra vücudun kinetik enerjisi aşağıdaki formülle belirlenir:
burada v C vücudun kütle merkezinin hareket hızıdır;

J Cz, dönme eksenine paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen eksene göre cismin atalet momentidir. Dönme ekseninin yönü zamanla değişebilir. Bu formül kinetik enerjinin anlık değerini verir.
Diferansiyel formdaki bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.
.

Bir hareket sırasında bir sistemin kinetik enerjisinin farkı (artışı), sisteme uygulanan tüm dış ve iç kuvvetlerin bu hareket üzerindeki iş farklarının toplamına eşittir:
İntegral formdaki bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.
.

Bir hareket sırasında sistemin kinetik enerjisindeki değişiklik, sisteme uygulanan tüm dış ve iç kuvvetlerin bu hareket üzerinde yaptığı işin toplamına eşittir: Kuvvetin yaptığı iş
,
, kuvvet vektörlerinin skaler çarpımına ve uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirmesine eşittir:

yani F ve ds vektörlerinin modüllerinin aralarındaki açının kosinüsüyle çarpımı. Kuvvet momentinin yaptığı iş
.

, tork vektörlerinin skaler çarpımına ve sonsuz küçük dönme açısına eşittir:

D'Alembert ilkesinin özü dinamik problemlerini statik problemlerine indirgemektir. Bunu yapmak için sistem gövdelerinin belirli (açısal) ivmelere sahip olduğu varsayılır (veya önceden bilinir). Daha sonra, mekanik yasalarına göre belirli ivmeler veya açısal ivmeler yaratacak kuvvetlerin kuvvetlerine ve momentlerine büyüklük olarak eşit ve zıt yönde olan atalet kuvvetleri ve/veya atalet kuvvetlerinin momentleri tanıtılır.

Bir örneğe bakalım. Vücut öteleme hareketine maruz kalır ve dış kuvvetler tarafından etkilenir. Ayrıca bu kuvvetlerin sistemin kütle merkezinde bir ivme yarattığını varsayıyoruz. Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teoreme göre, bir cisme bir kuvvet etki ettiğinde cismin kütle merkezi aynı ivmeye sahip olacaktır. Daha sonra eylemsizlik kuvvetini tanıtacağız:
.
Bundan sonra dinamik problem:
.
;
.

Dönme hareketi için aynı şekilde ilerleyin. Cismin z ekseni etrafında dönmesine ve M e zk kuvvetinin dış momentlerinin etkisine maruz kalmasına izin verin.
.
Bu momentlerin bir εz açısal ivmesi yarattığını varsayıyoruz.
;
.

Daha sonra eylemsizlik kuvvetlerinin momentini tanıtıyoruz M И = - J z ε z.

Bundan sonra dinamik problem:

Statik bir soruna dönüşür:.
Olası hareketlerin ilkesi

Statik problemleri çözmek için olası yer değiştirmeler ilkesi kullanılır. Bazı problemlerde denge denklemlerini oluşturmaktan daha kısa bir çözüm verir. Bu özellikle birçok gövdeden oluşan bağlantıları olan sistemler (örneğin, dişler ve bloklarla birbirine bağlanan gövde sistemleri) için geçerlidir. Olası hareketlerin ilkesi

İdeal bağlantılara sahip bir mekanik sistemin dengesi için, sistemin olası herhangi bir hareketi için üzerine etki eden tüm aktif kuvvetlerin temel işlerinin toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Olası sistem değişikliği

- sisteme dayatılan bağlantıların kopmadığı küçük bir harekettir.

İdeal bağlantılar

- bunlar sistem hareket ettiğinde iş yapmayan bağlantılardır. Daha doğrusu, sistemi hareket ettirirken bağlantıların kendilerinin yaptığı iş miktarı sıfırdır..
Dinamiğin genel denklemi (D'Alembert - Lagrange ilkesi)
.
D'Alembert-Lagrange ilkesi, D'Alembert ilkesinin olası hareketler ilkesiyle birleşimidir. Yani dinamik bir problemi çözerken atalet kuvvetlerini devreye sokuyoruz ve problemi olası yer değiştirmeler ilkesini kullanarak çözdüğümüz statik bir probleme indirgemekteyiz. D'Alembert-Lagrange ilkesiİdeal bağlantılara sahip bir mekanik sistem hareket ettiğinde, zamanın her anında sistemin olası herhangi bir hareketine uygulanan tüm aktif kuvvetlerin ve tüm eylemsizlik kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı sıfırdır:.

Lagrange denklemleri

Genelleştirilmiş q koordinatları 1 , q 2 , ..., q n sistemin konumunu benzersiz bir şekilde belirleyen n adet nicelik kümesidir.

Genelleştirilmiş koordinatların sayısı n, sistemin serbestlik derecesi sayısıyla çakışır.

Genelleştirilmiş hızlar t zamanına göre genelleştirilmiş koordinatların türevleridir.

Genelleştirilmiş kuvvetler Q 1 , Ç 2 , ..., Ç n .
qk koordinatının δqk hareketini alacağı sistemin olası bir hareketini düşünelim.
Kalan koordinatlar değişmeden kalır. Böyle bir hareket sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş δA k olsun. Daha sonra
.

δA k = Q k δq k veya
Sistemin olası bir hareketiyle tüm koordinatlar değişirse, bu tür bir hareket sırasında dış kuvvetlerin yaptığı iş şu şekilde olur: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

O zaman genelleştirilmiş kuvvetler yer değiştirmeler üzerindeki işin kısmi türevleridir: Potansiyel kuvvetler için
.

potansiyel Π ile, Lagrange denklemleri

- bunlar genelleştirilmiş koordinatlarda mekanik bir sistemin hareket denklemleridir:
.

Burada T kinetik enerjidir. Genelleştirilmiş koordinatların, hızların ve muhtemelen zamanın bir fonksiyonudur. Bu nedenle kısmi türevi aynı zamanda genelleştirilmiş koordinatların, hızların ve zamanın bir fonksiyonudur. Daha sonra koordinatların ve hızların zamanın fonksiyonu olduğunu dikkate almanız gerekir. Bu nedenle zamana göre toplam türevi bulmak için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uygulamanız gerekir:
Kullanılan literatür:

Mekanik sisteme dahil edilen çok sayıda malzeme noktasıyla veya öteleme dışı hareket gerçekleştiren kesinlikle katı cisimler () içeriyorsa, mekanik bir sistemin dinamiğinin ana problemini çözmede diferansiyel hareket denklemleri sisteminin kullanılması pratik olarak imkansız olduğu ortaya çıkıyor. Ancak birçok mühendislik problemini çözerken mekanik bir sistemin her noktasının hareketinin ayrı ayrı belirlenmesine gerek yoktur. Bazen hareket denklemleri sistemini tamamen çözmeden, incelenen hareket sürecinin en önemli yönleri hakkında sonuçlar çıkarmak yeterlidir. Mekanik bir sistemin diferansiyel hareket denklemlerinden elde edilen bu sonuçlar, genel dinamiğin teoremlerinin içeriğini oluşturur. Genel teoremler, öncelikle bizi, farklı problemler için ortak olan ve diferansiyel hareket denklemlerinden teoremler türetirken bir kez ve tamamen gerçekleştirilen matematiksel dönüşümleri her bir bireysel durumda gerçekleştirme ihtiyacından kurtarır. İkinci olarak, genel teoremler, mekanik bir sistemin hareketinin açık bir fiziksel anlamı olan genel toplu özellikleri arasında bir bağlantı sağlar. Bunlar genel özellikler Mekanik bir sistemin momentumu, açısal momentumu, kinetik enerjisi gibi değerlere denir. Mekanik bir sistemin hareket ölçüleri.

Hareketin ilk ölçüsü, mekanik bir sistemin hareket miktarıdır.

Maddi bir noktanın hareket miktarı, hareketinin vektör ölçüsüdür ve noktanın kütlesi ile hızının çarpımına eşittir:

.

Mekanik bir sistemin hareket miktarı, hareketinin vektör ölçüsüdür ve noktalarının hareket miktarlarının toplamına eşittir:

, (13.1)

Formül (23.1)'in sağ tarafını dönüştürelim:

Nerede
- tüm sistemin kütlesi,
- kütle merkezinin hızı.

Buradan, Sistemin tüm kütlesi burada yoğunlaşmışsa, mekanik bir sistemin hareket miktarı, kütle merkezinin hareket miktarına eşittir:

.

İmpuls kuvveti

Bir kuvvetin ürünü ve hareketinin temel zaman aralığı
kuvvetin temel itkisi denir.

Bir güç dürtüsü belirli bir süre boyunca kuvvetin temel itkisinin integrali denir

.

Mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem

Her nokta için izin ver
mekanik sistem dış kuvvetlerin bir sonucu olarak hareket eder ve iç kuvvetlerin sonucu .

Mekanik bir sistemin dinamiğinin temel denklemlerini ele alalım

Denklemler (13.2)'nin terim terim eklenmesi N sistemin noktalarını elde ederiz

(13.3)

Sağ taraftaki ilk toplam ana vektöre eşittir Sistemin dış kuvvetleri. İkinci toplam, sistemin iç kuvvetlerinin özelliğinden dolayı sıfıra eşittir. düşünelim sol taraf eşitlikler (13.3):

Böylece şunu elde ederiz:

, (13.4)

veya koordinat eksenlerindeki projeksiyonlarda

(13.5)

Eşitlikler (13.4) ve (13.5), mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremi ifade eder:

Mekanik bir sistemin momentumunun zamana göre türevi, mekanik sistemin tüm dış kuvvetlerinin ana vektörüne eşittir.

Bu teorem aynı zamanda eşitliğin (13.4) her iki tarafının da zaman içinde integrali alınarak integral formda sunulabilir. T 0 ila T:

, (13.6)

Nerede
ve sağ taraftaki integral dış kuvvetlerin itkisidir.

zaman T-T 0 .

Eşitlik (13.6), teoremi integral formda sunar:

Mekanik bir sistemin momentumundaki sonlu bir süre içindeki artış, bu süre içindeki dış kuvvetlerin itkisine eşittir.

Teorem aynı zamanda denir momentum teoremi.

Koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda teorem şu şekilde yazılacaktır:

Sonuçlar (momentumun korunumu yasaları)

1). Dikkate alınan süre boyunca dış kuvvetlerin ana vektörü sıfıra eşitse, mekanik sistemin hareket miktarı sabittir, yani. Eğer
,
.

2). Dış kuvvetlerin ana vektörünün söz konusu zaman periyodu boyunca herhangi bir eksene izdüşümünün sıfır olması durumunda, mekanik sistemin momentumunun bu eksene izdüşümü sabittir,

onlar. Eğer
O
.