Çoğu zaman tanımlamak mümkündür önemli özellikler hareket mekanik sistem sistem entegrasyonuna başvurmadan diferansiyel denklemler hareketler. Bu, genel dinamik teoremlerinin uygulanmasıyla elde edilir.

5.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Dış ve iç kuvvetler. Mekanik bir sistemdeki bir noktaya etki eden herhangi bir kuvvet mutlaka ya aktif bir kuvvettir ya da bir birleşme reaksiyonudur. Sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerin tamamı farklı iki sınıfa ayrılabilir: dış kuvvetler ve iç kuvvetler (e ve i endeksleri - Latince externus - dış ve internus - iç kelimelerinden). Dış kuvvetler, söz konusu sistemin parçası olmayan noktalardan ve cisimlerden bir sistemin noktalarına etki eden kuvvetlerdir. Söz konusu sistemin noktaları ve gövdeleri arasındaki etkileşim kuvvetlerine iç denir.

Bu bölüm, araştırmacı tarafından incelenen mekanik sisteme hangi malzeme noktalarının ve gövdelerinin dahil edildiğine bağlıdır. Sistemin bileşimini ek noktalar ve gövdeler ekleyerek genişletirsek, önceki sistem için dışsal olan bazı kuvvetler, genişletilmiş sistem için içsel hale gelebilir.

İç kuvvetlerin özellikleri. Bu kuvvetler sistemin parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olduğundan, etki-tepki aksiyomuna göre organize edilmiş “ikili” olarak tüm iç kuvvetler sistemine girerler. Bu “iki”nin her birinin güçlü yanları vardır

ana vektör ve ana nokta keyfi bir merkeze göre sıfıra eşittir. Tüm iç kuvvetler sistemi yalnızca “ikililerden” oluştuğuna göre, o zaman

1) iç kuvvetler sisteminin ana vektörü sıfırdır,

2) iç kuvvetler sisteminin keyfi bir noktaya göre ana momenti sıfıra eşittir.

Sistemin kütlesine denir aritmetik toplam sistemi oluşturan tüm noktaların ve cisimlerin kütleleri:

Kütle merkezi Mekanik bir sistemin (atalet merkezi), yarıçap vektörü ve koordinatları formüllerle belirlenen geometrik C noktasıdır.

sistemi oluşturan noktaların yarıçap vektörleri ve koordinatları nerededir?

İçin sağlam Düzgün bir ağırlık alanında bulunan kütle merkezinin ve ağırlık merkezinin konumları çakışır, diğer durumlarda bunlar farklı geometrik noktalardır.

Atalet referans sistemiyle birlikte, öteleme hareketi yapan eylemsiz olmayan bir referans sistemi sıklıkla aynı anda dikkate alınır. Koordinat eksenleri (König eksenleri), C orijini sürekli olarak mekanik sistemin kütle merkeziyle çakışacak şekilde seçilir. Tanıma uygun olarak kütle merkezi Koenig eksenlerinde sabittir ve koordinatların orijininde yer alır.

Sistemin eylemsizlik momenti bir eksene göre, sistemin tüm noktalarının mk kütlelerinin çarpımlarının eksene olan mesafelerinin kareleriyle toplamına eşit bir skaler miktardır:

Mekanik sistem katı bir cisim ise 12'yi bulmak için formülü kullanabilirsiniz.

yoğunluk nerede, vücudun kapladığı hacim.

BELARUS CUMHURİYETİ TARIM VE GIDA BAKANLIĞI

Eğitim kurumu "BELARUS DEVLET TARIM

TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Teorik Mekanik ve Mekanizmalar ve Makineler Teorisi Bölümü

TEORİK MEKANİK

uzmanlık öğrencileri için metodolojik kompleks

74 06 Tarım Mühendisliği

2 bölüm halinde Bölüm 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Derleyen:

Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı, Doçent Yu. S. Biza, aday teknik bilimler, doçent N. L. Rakova, kıdemli öğretim görevlisi. A. Taraseviç

İnceleyenler:

"Belarus Ulusal Teknik Üniversitesi" Eğitim Kurumu Teorik Mekanik Bölümü (Başkan)

Teorik Mekanik Bölümü BNTU Fizik ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör A. V. Chigarev);

Devlet Bilim Kurumu Mekanik Sistemlerin Titreşimden Korunması Laboratuvarı'nın Lider Araştırmacısı Birleşik Makine Mühendisliği Enstitüsü

Belarus NAS", teknik bilimler adayı, doçent A. M. Goman

Teorik mekanik. "Dinamik" Bölümü: eğitici

T33 yöntemi. karmaşık. 2 bölüm halinde Bölüm 1 / derleyen: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Eğitimsel ve metodolojik kompleks, “Teorik Mekanik” disiplininin bir parçası olan “Dinamik” bölümünün 1. bölümünü incelemek için materyaller sunar. Bir dizi ders ve performans için temel materyaller içerir pratik dersler bağımsız çalışma ve kontrol için ödevler ve ödev örnekleri eğitim faaliyetleri tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrenciler.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

GİRİİŞ

Teorik mekanik, mekanik hareketin, dengenin ve maddi cisimlerin etkileşiminin genel yasalarının bilimidir.

Bu, temel genel bilimsel fiziko-matematik disiplinlerinden biridir. Modern teknolojinin teorik temelidir.

Diğer fiziksel ve matematiksel disiplinlerle birlikte teorik mekaniğin incelenmesi, bilimsel ufukların genişletilmesine, somut ve soyut düşünme yeteneğinin geliştirilmesine ve geleceğin uzmanının genel teknik kültürünün geliştirilmesine yardımcı olur.

Tüm teknik disiplinlerin bilimsel temeli olan teorik mekanik, becerilerin geliştirilmesine katkıda bulunur. rasyonel kararlar Tarım ve arazi ıslahı makine ve ekipmanlarının işletimi, onarımı ve tasarımı ile ilgili mühendislik görevleri.

Ele alınan problemlerin doğasına bağlı olarak mekanik, statik, kinematik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

İÇİNDE eğitimsel ve metodolojik kompleksi (UMK), bir ders kursu, yürütme için temel materyaller içeren “Dinamik” bölümünü incelemek için materyaller sunar. pratik çalışma, görevler ve yürütme örnekleri bağımsız çalışma ve tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin izlenmesi.

İÇİNDE “Dinamik” bölümünün incelenmesi sonucunda öğrencinin öğrenmesi gerekenler teorik temeller dinamik ve dinamik problemlerini çözmenin temel yöntemlerinde uzmanlaşmak:

Dinamik problemlerin çözüm yöntemlerini bilir, genel teoremler dinamik, mekaniğin ilkeleri;

Kendisine etki eden kuvvetlere bağlı olarak vücut hareketinin yasalarını belirleyebilme; problemleri çözmek için mekaniğin yasalarını ve teoremlerini uygulayabilir; Bedenlerin hareketini sınırlayan bağlantıların statik ve dinamik tepkilerini belirler.

“Teorik Mekanik” disiplininin müfredatı, “Dinamik” bölümünün incelenmesi için 36 saat dahil olmak üzere toplam 136 ders saati sağlar.

1. EĞİTİM VE METODOLOJİK KOMPLEKSİN BİLİMSEL VE ​​TEORİK İÇERİĞİ

1.1. Sözlük

Statik, kuvvetlerin genel doktrinini ortaya koyan ve azaltma çalışmalarını inceleyen mekaniğin bir bölümüdür. karmaşık sistemler kuvvetler en basit forma getirilir ve denge koşulları oluşturulur çeşitli sistemler kuvvet

Kinematik, maddi nesnelerin hareketini, bu harekete neden olan sebeplerden, yani bu nesnelere etki eden kuvvetlerden bağımsız olarak inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi– Dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistem.

Kuvvet impulsu, kuvvetin belirli bir zaman içindeki etkisinin vektör ölçüsüdür.

Maddi bir noktanın momentumu – noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit olan, hareketinin vektör ölçüsü.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Temel kuvvet işi kuvvet vektörünün skaler çarpımına ve kuvvetin uygulama noktasının sonsuz küçük yer değiştirme vektörüne eşit sonsuz küçük bir skaler niceliktir.

Kinetik enerji– mekanik hareketin skaler ölçüsü.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi skaler bir enerjidir

Bir noktanın kütlesi ile hızının karesinin çarpımının yarısına eşit olan pozitif bir nicelik.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi - aritme-

Bu sistemin tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamı.

Kuvvet, cisimlerin mekanik etkileşiminin, yoğunluğunu ve yönünü karakterize eden bir ölçüsüdür.

1.2. Ders konuları ve içeriği

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

Maddi bir noktanın dinamiği kanunları (Galileo – Newton kanunları). Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri. Maddi açıdan dinamiğin iki ana problemi. Dinamiğin ikinci probleminin çözümü; İntegral sabitleri ve bunların başlangıç ​​koşullarına göre belirlenmesi.

Literatür:, s. 180-196, , s. 12-26.

Konu 2. Malzemenin bağıl hareketinin dinamiği

Maddi bir noktanın bağıl hareketi. Bir noktanın bağıl hareketinin diferansiyel denklemleri; taşınabilir ve Coriolis atalet kuvvetleri. Klasik mekaniğin görelilik ilkesi. Göreceli bir barış durumu.

Literatür: , s. 180-196, , s. 127-155.

Konu 3. Kütlelerin geometrisi. Mekanik bir sistemin kütle merkezi

Sistem kütlesi. Sistemin kütle merkezi ve koordinatları.

Literatür:, s. 86-93, s. 264-265

Konu 4. Katı bir cismin eylemsizlik momentleri

Katı bir cismin eksene ve direğe göre atalet momentleri. Atalet yarıçapı. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri teoremi. Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Vücut asimetrisinin bir özelliği olarak merkezkaç atalet momentleri.

Literatür: , s. 265-271, , s. 155-173.

Bölüm 2. Maddi bir noktanın dinamiği üzerine genel teoremler

ve mekanik sistem

Konu 5. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teorem

Sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Sistemin kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremin sonuçları.

Literatür: , s. 274-277, , s. 175-192.

Konu 6. Maddi bir noktanın momentumu

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin hareket miktarı. Sonlu bir süre boyunca temel dürtü ve kuvvet dürtüsü. Diferansiyel ve integral formlardaki bir noktanın ve sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 280-284, , s. 192-207.

Konu 7. Maddi bir noktanın momentumu

ve merkeze ve eksene göre mekanik sistem

Bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre kinetik momenti.

Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Bir sistemin açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Açısal momentumun korunumu kanunu.

Literatür: , s. 292-298, , s. 207-258.

Konu 8. İş ve kuvvetlerin gücü

Temel kuvvet işi, analitik ifadesi. Bir kuvvetin son yol üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet. Katı bir cisme etki eden iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan kuvvetlerin işi. Güç. Yeterlik.

Literatür: , s. 208-213, , s. 280-290.

Konu 9. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi

ve mekanik sistem

Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin kinetik enerjisi. Katı bir cismin hareketinin çeşitli durumlarında kinetik enerjisinin hesaplanması. Koenig teoremi. Diferansiyel ve integral formlarda bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Diferansiyel ve integral formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Literatür: , s. 301-310, , s. 290-344.

Konu 10. Potansiyel kuvvet alanı ve potansiyel

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji.

Literatür: , s. 317-320, , s. 344-347.

Konu 11. Katı cisim dinamiği

Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin diferansiyel denklemi. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

Literatür: , s. 323-334, , s. 157-173.

Bölüm 1. Dinamiğe giriş. Temel Kavramlar

klasik mekanik

Dinamik, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında maddi cisimlerin (noktaların) hareketini inceleyen teorik mekaniğin bir dalıdır.

malzeme gövdesi- kütlesi olan bir cisim.

Önemli nokta– noktaların hareketindeki fark önemsiz olan maddi bir gövde. Bu, hareketi sırasında boyutları ihmal edilebilecek bir cisim olabileceği gibi öteleme hareketi yapıyorsa sonlu boyutlarda bir cisim de olabilir.

Maddi noktalara, katı bir cismin bazı dinamik özelliklerini belirlerken zihinsel olarak parçalandığı parçacıklar da denir. Maddi noktalara örnekler (Şekil 1): a – Dünyanın Güneş etrafındaki hareketi. Dünya maddi bir noktadır; b – katı bir cismin öteleme hareketi. Sağlam vücut - anne

bir nokta, çünkü V B = V A; a B = a A; c – vücudun bir eksen etrafında dönmesi.

Bir cismin parçacığı maddi bir noktadır.

Atalet, maddi cisimlerin, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında hareket hızlarını daha hızlı veya daha yavaş değiştirme özelliğidir.

Bir cismin kütlesi, belirli bir cismin içerdiği madde miktarına bağlı olan ve öteleme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünü belirleyen skaler pozitif bir niceliktir. Klasik mekanikte kütle sabit bir miktardır.

Kuvvet, cisimler arasındaki veya bir cisim (nokta) ile bir alan (elektrik, manyetik vb.) arasındaki mekanik etkileşimin niceliksel bir ölçüsüdür.

Kuvvet, büyüklük, uygulama noktası ve yön (etki çizgisi) ile karakterize edilen bir vektör miktarıdır (Şekil 2: A - uygulama noktası; AB - kuvvetin etki çizgisi).

Pirinç. 2

Dinamikte, sabit kuvvetlerin yanı sıra t zamanına, hızϑ'ya, mesafeye veya bu büyüklüklerin bir kombinasyonuna bağlı olabilen değişken kuvvetler de vardır;

F = sabit;

F = F(t) ;

F = F(ϑ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

elektrikli lokomotif; c − F = F (r) – O merkezinden itme kuvveti veya ona doğru çekim.

Referans sistemi, başka bir cismin hareketinin incelendiği bir cisimle ilişkili bir koordinat sistemidir.

Atalet sistemi, dinamiğin birinci ve ikinci yasalarının karşılandığı bir sistemdir. Bu sabit bir koordinat sistemi veya düzgün ve doğrusal hareket eden bir sistemdir.

Mekanikte hareket, bir cismin diğer cisimlere göre uzay ve zamandaki konumunun değişmesidir.

Klasik mekanikte uzay üç boyutludur ve Öklid geometrisine uyar.

Zaman, herhangi bir referans sisteminde eşit olarak akan skaler bir niceliktir.

Birim sistemi, ölçü birimlerinin bir koleksiyonudur fiziksel büyüklükler. Tüm mekanik büyüklükleri ölçmek için üç temel birim yeterlidir: uzunluk, zaman, kütle veya kuvvet birimleri.

Mekanik büyüklüklerin diğer tüm ölçüm birimleri bunlardan türetilir. İki tür birim sistemi kullanılır: uluslararası SI birim sistemi (veya daha küçük - GHS) ve teknik birim sistemi - ICGSS.

Konu 1. Maddi bir noktanın dinamiği

1.1. Maddi bir noktanın dinamiği yasaları (Galileo-Newton yasaları)

Birinci yasa (eylemsizlik yasası).

Dış etkilerden izole edilmiş bir maddesel nokta, uygulanan kuvvetler onu bu durumu değiştirmeye zorlayana kadar durgun durumunu korur veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Bir noktanın kuvvetlerin yokluğunda veya dengeli bir kuvvet sisteminin etkisi altında yaptığı harekete atalet hareketi denir.

Örneğin, bir cismin pürüzsüz bir yüzey boyunca hareketi (sürtünme kuvveti sıfırdır)

yatay yüzey (Şekil 4: G – vücut ağırlığı; N – normal düzlem reaksiyonu).

G = − N olduğundan, G + N = 0 olur.

ϑ 0 ≠ 0 olduğunda cisim aynı hızla hareket eder; ϑ 0 = 0 olduğunda vücut hareketsizdir (ϑ 0 başlangıç ​​hızıdır).

İkinci yasa (dinamiğin temel yasası).

Bir noktanın kütlesinin çarpımı ve belirli bir kuvvetin etkisi altında aldığı ivme, bu kuvvete büyüklükte eşittir ve yönü, ivmenin yönü ile çakışmaktadır.

bir b

Matematiksel olarak bu yasa vektör eşitliğiyle ifade edilir.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = sabit olduğunda - nokta düzgün ve doğrusal olarak hareket eder veya ϑ 0 = 0'da - hareketsizdir (eylemsizlik yasası). Saniye

yasa, dünya yüzeyine yakın bir yerde bulunan bir cismin kütlesi m ile ağırlığı arasında bir bağlantı kurmamıza izin verir. G .G = mg, burada g

yer çekiminin hızlanması.

Üçüncü yasa (etki ve tepki eşitliği yasası). İki maddi nokta birbirine eşit büyüklükte ve onları birleştiren düz çizgi boyunca yönlendirilmiş kuvvetlerle etki eder.

bu noktalar zıt yönlerdedir.

F 1 = − F 2 kuvvetleri farklı noktalara uygulandığından (F 1 , F 2 ) kuvvetler sistemi dengeli değildir, yani (F 1 , F 2 )≈ 0 (Şekil 6).

Etkileşen noktaların kütleleri ivmeleriyle ters orantılıdır.

Dördüncü yasa (kuvvetlerin eyleminin bağımsızlığı yasası). Bir noktaya aynı anda etki edildiğinde alınan ivme

ancak, her bir kuvvet kendisine ayrı ayrı uygulandığında noktanın alacağı ivmelerin geometrik toplamına eşit birkaç kuvvet.

Açıklama (Şekil 7).

t ve n

a 1 a kF n

Bileşik kuvvet R (F 1 ,...Fk ,...Fn ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man olduğuna göre, o zaman

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, yani dördüncü yasa eşdeğerdir

k = 1

kuvvetlerin toplamı kuralı.

1.2. Maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemleri

Maddi bir noktaya, aralarında hem sabit hem de değişken olan birçok kuvvetin aynı anda etki ettiğini varsayalım.

Dinamiğin ikinci yasasını şu şekilde yazalım:

noktalar varsa (1.2) r'nin türevlerini içerir ve maddi bir noktanın vektör formundaki diferansiyel hareket denklemi veya maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemidir.

Vektör eşitliğinin projeksiyonları (1.2): - Kartezyen koordinatların ekseninde (Şekil 8, a)

Doğal eksende (Şekil 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Denklemler (1.3) ve (1.4), bir maddi noktanın sırasıyla Kartezyen koordinat eksenlerinde ve doğal eksenlerdeki diferansiyel hareketinin diferansiyel denklemleridir; yani, bir noktanın yörüngesi varsa, genellikle bir noktanın eğrisel hareketi için kullanılan doğal diferansiyel denklemlerdir. nokta ve eğrilik yarıçapı bilinmektedir.

1.3. Maddi bir nokta için dinamiğin iki ana problemi ve bunların çözümü

İlk (doğrudan) görev.

Hareket yasasını ve noktanın kütlesini bilerek, noktaya etkiyen kuvveti belirleyin.

Bu sorunu çözmek için noktanın ivmesini bilmeniz gerekir. Bu tür problemlerde doğrudan belirlenebileceği gibi bir noktanın hareket yasası da belirlenerek buna göre belirlenebilir.

1. Yani bir noktanın hareketi Kartezyen koordinatlarda belirtilirse

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ve z = f 3 (t), o zaman ivme projeksiyonları belirlenir

Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Mekanik bir sistemin diferansiyel hareket denklemleri. Mekanik bir sistemin kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Kütle merkezinin hareketinin korunumu kanunu.

Momentumun değişimine ilişkin teorem. Maddi bir noktanın hareket miktarı. Temel kuvvet dürtüsü. Sonlu bir süre için kuvvet darbesi ve bunun üzerine yansıması koordinat eksenleri. Diferansiyel ve sonlu formlarda maddi bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teorem.

Mekanik bir sistemin hareket miktarı; sistemin kütlesi ve kütle merkezinin hızı aracılığıyla ifadesi. Diferansiyel ve sonlu formlarda mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Mekanik momentumun korunumu kanunu

(Cisim kavramı ve değişken kütleli bir nokta. Meshchersky denklemi. Tsiolkovsky formülü.)

Açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın merkeze ve eksene göre momentum momenti. Maddi bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem. Merkezi güç. Merkezi bir kuvvet durumunda maddi bir noktanın açısal momentumunun korunumu. (Sektör hızı kavramı. Alanlar kanunu.)

Mekanik bir sistemin merkeze ve eksene göre temel momentum momenti veya kinetik momenti. Dönen katı bir cismin dönme eksenine göre kinetik momenti. Mekanik bir sistemin kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistemin açısal momentumunun korunumu yasası. (Mekanik bir sistemin kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem bağıl hareket kütle merkezine göre.)

Kinetik enerjideki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın kinetik enerjisi. Temel kuvvet işi; temel çalışmanın analitik ifadesi. Bir kuvvetin uygulandığı noktanın son yer değiştirmesi üzerinde yaptığı iş. Yer çekimi işi, elastik kuvvet ve yer çekimi kuvveti. Diferansiyel ve sonlu formlarda maddi bir noktanın kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem.

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi. Katı bir cismin öteleme hareketi sırasında, sabit bir eksen etrafında dönmesi sırasında kinetik enerjisini hesaplamak için formüller genel durum hareket (özellikle düzlem paralel hareketle). Diferansiyel ve sonlu formlarda mekanik bir sistemin kinetik enerjisindeki değişime ilişkin teorem. Katı bir cisimde iç kuvvetlerin yaptığı işin toplamı sıfıra eşittir. Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cisme uygulanan iş ve kuvvetlerin gücü.

Güç alanı kavramı. Potansiyel kuvvet alanı ve kuvvet fonksiyonu. Kuvvet projeksiyonlarının kuvvet fonksiyonu aracılığıyla ifadesi. Eşit potansiyele sahip yüzeyler. Bir kuvvetin potansiyel kuvvet alanındaki bir noktanın son yer değiştirmesi üzerindeki işi. Potansiyel enerji. Örnekler potansiyel kuvvetler yeni alanlar: düzgün yerçekimi alanı ve yerçekimi alanı. Mekanik enerjinin korunumu kanunu.

Katı cisim dinamiği. Katı bir cismin öteleme hareketinin diferansiyel denklemleri. Katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi için diferansiyel denklem. Fiziksel sarkaç. Katı bir cismin düzlemsel hareketinin diferansiyel denklemleri.

D'Alembert ilkesi. Maddi bir nokta için D'Alembert ilkesi; eylemsizlik kuvveti. Mekanik bir sistem için D'Alembert ilkesi. Rijit bir cismin noktalarının atalet kuvvetlerinin merkeze getirilmesi; Atalet kuvvetlerinin ana vektörü ve ana momenti.

(Sert bir gövdenin sabit bir eksen etrafında dönmesi sırasında rulmanların dinamik reaksiyonlarının belirlenmesi. Dönme ekseninin gövdenin ana atalet ekseni olması durumu.)

Olası hareketler ilkesi ve dinamiğin genel denklemi. Mekanik bir sisteme uygulanan bağlantılar. Maddi bir noktanın ve mekanik sistemin olası (veya sanal) hareketleri. Sistemin serbestlik derecesi sayısı. İdeal bağlantılar. Olası hareketler ilkesi. Genel denklem hoparlörler.

Genelleştirilmiş koordinatlarda bir sistemin hareket denklemleri (Lagrange denklemleri). Sistemin genelleştirilmiş koordinatları; genelleştirilmiş hızlar Temel işin genelleştirilmiş koordinatlarda ifadesi. Genelleştirilmiş Kuvvetler ve Hesapları; potansiyeli olan kuvvetler durumu. Genelleştirilmiş koordinatlarda bir sistemin dengesi için koşullar. Bir sistemin genelleştirilmiş koordinatlarda diferansiyel hareket denklemleri veya 2. tür Lagrange denklemleri. Potansiyel kuvvetler durumunda Lagrange denklemleri; Lagrange fonksiyonu (kinetik potansiyel).

Denge kararlılığı kavramı. Sistemin kararlı denge konumuna yakın bir serbestlik derecesine sahip mekanik bir sistemin küçük serbest titreşimleri ve özellikleri.

Etki teorisinin unsurları. Etki fenomeni. Darbe kuvveti ve darbe dürtüsü. Bir darbe kuvvetinin maddi bir nokta üzerindeki etkisi. Çarpma sonucu mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem. Vücudun sabit bir yüzeye doğrudan merkezi etkisi; elastik ve elastik olmayan etkiler. Darbe geri kazanım katsayısı ve deneysel olarak belirlenmesi. İki cismin doğrudan merkezi etkisi. Carnot teoremi.

REFERANSLAR

Temel

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Teorik mekaniğin dersi. T. 1, 2. M., 1985 ve önceki basımlar.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Teorik mekaniğin dersi. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Teorik mekanik. M., 1980.

Targ S.M. Teorik mekanikte kısa ders. M., 1986 ve önceki basımlar.

Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Teorik mekaniğin dersi. Bölüm 1. M., 1984 ve önceki basımlar.

Yablonsky A.A. Teorik mekaniğin dersi. Bölüm 2. M., 1984 ve önceki basımlar.

Meshchersky I.V. Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması. M., 1986 ve önceki basımlar.

Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması/Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Ek olarak

Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S.Örnekler ve problemlerde teorik mekanik. Parça 1, 2. M., 1984 ve önceki basımlar.

Teorik mekanikle ilgili problemlerin toplanması/5razhnichen/so N.A., Kan V.L., Mintzberg B.L. ve diğerleri, M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Teorik mekanikte tipik bilgisayar tabanlı hesaplamalar. M., 1986,

Şunun için görevlerin toplanması kurs teorik mekanik üzerine / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 ve önceki basımlar (problem çözme örneklerini içerir).

Sorunların çözümünde sağlık sigortasının kullanılması bazı zorluklarla ilişkilidir. Bu nedenle, hareketin özellikleri ile kuvvetler arasında genellikle daha uygun olan ek ilişkiler kurulur. pratik uygulama. Bu tür ilişkiler dinamiğin genel teoremleri. OMS'nin sonuçları olarak, özel olarak tanıtılan bazı hareket ölçümlerinin değişim hızı ile dış kuvvetlerin özellikleri arasında ilişkiler kurarlar.

Momentumun değişimine ilişkin teorem. Maddi bir noktanın momentum vektörü (R. Descartes) kavramını tanıtalım (Şekil 3.4):

ben ben = t V G (3.9)

Pirinç. 3.4.

Sistem için konsepti tanıtıyoruz sistemin momentumunun ana vektörü geometrik toplam olarak:

Q = Y, m " V r

OZMS'ye uygun olarak: Xu, -^=i) veya X

TEKRAR) .

/w, = const değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz: -Ym,!" = TEKRAR)

veya son haliyle

dO/di = A (E (3.11)

onlar. Sistemin momentum ana vektörünün zamana göre birinci türevi, dış kuvvetlerin ana vektörüne eşittir.

Kütle merkezinin hareketi ile ilgili teorem. Sistemin kütle merkezi konumu bağlı olan geometrik noktaya denir T, vesaire. sistemdeki kütle dağılımı /g/'den alınır ve kütle merkezinin yarıçap vektörünün ifadesiyle belirlenir (Şekil 3.5):

Nerede gs - kütle merkezinin yarıçap vektörü.

Pirinç. 3.5.

Hadi arayalım = t sistemin kütlesi ile.İfadeyi çarptıktan sonra

(3.12)'yi paydaya uygulayarak ve sonucun her iki tarafının farklısını alarak

değerli bir eşitliğe sahip olacağız: g s t s = ^t.U. = 0 veya 0 = bu ABD.

Böylece sistemin ana momentum vektörü, sistemin kütlesi ile kütle merkezinin hızının çarpımına eşittir. Momentumdaki değişime ilişkin teoremi (3.11) kullanarak şunu elde ederiz:

t s dU s / dі = A (E) , veya

Formül (3.13) kütle merkezinin hareketine ilişkin teoremi ifade eder: Sistemin kütle merkezi, dış kuvvetlerin ana vektörünün etkilediği sistemin kütlesine sahip maddi bir nokta olarak hareket eder.

Açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem. Maddi bir noktanın açısal momentumu kavramını, yarıçap vektörü ve momentumunun vektör çarpımı olarak tanıtalım:

ah'ya = bl X O, (3.14)

Nerede OI'ye - Maddi bir noktanın sabit bir noktaya göre momentum momenti HAKKINDA(Şekil 3.6).

Şimdi mekanik bir sistemin açısal momentumunu geometrik bir toplam olarak tanımlıyoruz:

К() = X ko, = ШУ, ? Ç-15>

(3.15)'in türevini alarak şunu elde ederiz:

Ґ sn--- X ben U. + sen X ben

Bunu göz önünde bulundurarak = U G U ben X sen ben sen= 0 ve formül (3.2) ile şunu elde ederiz:

сіК а /с1ї - ї 0 .

(3.6)'daki ikinci ifadeye dayanarak, sonunda sistemin açısal momentumundaki değişime ilişkin bir teorem elde edeceğiz:

Mekanik bir sistemin sabit bir O merkezine göre momentum momentinin birinci zaman türevi, bu sisteme etki eden dış kuvvetlerin aynı merkeze göre ana momentine eşittir.

İlişkiyi (3.16) türetirken, şu varsayıldı: HAKKINDA- sabit nokta. Bununla birlikte, diğer bazı durumlarda ilişkinin (3.16) biçiminin, özellikle düzlemsel harekette moment noktasının kütle merkezinde, hızların veya ivmelerin anlık merkezinde seçilmesi durumunda değişmeyeceği gösterilebilir. Ayrıca eğer nokta HAKKINDA Hareketli bir maddesel noktaya çakışırsa, bu nokta için yazılan eşitlik (3.16) 0 = 0 özdeşliğine dönüşecektir.

Kinetik enerjideki değişime ilişkin teorem. Mekanik bir sistem hareket ettiğinde sistemin hem “dış” hem de iç enerjisi değişir. İç kuvvetlerin özellikleri, ana vektör ve ana moment, ana vektördeki ve ivme sayısının ana momentindeki değişimi etkilemiyorsa, o zaman sistemin enerji durumuna ilişkin süreçlerin değerlendirilmesine iç kuvvetler dahil edilebilir. Bu nedenle, bir sistemin enerjisindeki değişiklikleri değerlendirirken, iç kuvvetlerin de uygulandığı bireysel noktaların hareketlerini dikkate almak gerekir.

Maddi bir noktanın kinetik enerjisi miktar olarak tanımlanır.

T^tuTsg. (3.17)

Mekanik bir sistemin kinetik enerjisi, sistemin maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

Dikkat T > 0.

Kuvvetin gücünü, kuvvet vektörü ile hız vektörünün skaler çarpımı olarak tanımlayalım:

Belirli bir maddi nesneler sisteminin sabit bir koordinat sistemine göre hareketini ele alalım. Sistem özgür olmadığında, sisteme dayatılan bağlantıları atarsak ve onların eylemlerini karşılık gelen reaksiyonlarla değiştirirsek, serbest olarak düşünülebilir.

Sisteme uygulanan tüm kuvvetleri dış ve iç olarak ayıralım; her ikisi de atılan reaksiyonları içerebilir

bağlantılar. A noktasına göre dış kuvvetlerin ana vektörünü ve ana momentini gösterelim.

1. Momentumdaki değişime ilişkin teorem. Sistemin hareket miktarı ise (bkz.)

yani teorem geçerlidir: Sistemin momentumunun zamana göre türevi, tüm dış kuvvetlerin ana vektörüne eşittir.

Sistemin kütlesi, kütle merkezinin hızı olan ifadesi ile vektörün yerine geçerek denklem (4.1)'e farklı bir form verilebilir:

Bu eşitlik, sistemin kütle merkezinin, kütlesi sistemin kütlesine eşit olan ve sistemin tüm dış kuvvetlerinin ana vektörüne geometrik olarak eşit bir kuvvetin uygulandığı maddi bir nokta gibi hareket etmesi anlamına gelir. Son ifadeye sistemin kütle merkezinin (atalet merkezi) hareketine ilişkin teorem denir.

O halde (4.1)'den momentum vektörünün büyüklük ve yön bakımından sabit olduğu sonucu çıkar. Bunu koordinat eksenine yansıtarak, sistemin çift tepe noktasının diferansiyel denklemleri olan üç skaler birinci integral elde ederiz:

Bu integrallere momentum integralleri denir. Kütle merkezinin hızı sabit olduğunda, yani düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.

Dış kuvvetlerin ana vektörünün herhangi bir eksendeki, örneğin bir eksendeki izdüşümü sıfıra eşitse, o zaman bir birinci integralimiz olur veya ana vektörün iki izdüşümü sıfıra eşitse, o zaman iki tane vardır. Momentumun integralleri.

2. Açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem. A'nın uzayda herhangi bir rastgele nokta (hareketli veya sabit) olmasına izin verin; bu noktanın, tüm hareket süresi boyunca sistemin herhangi bir spesifik maddi noktasıyla çakışması zorunlu değildir. Sabit bir koordinat sistemindeki hızını şu şekilde gösteririz: Bir malzeme sisteminin A noktasına göre kinetik momentindeki değişime ilişkin teorem şu şekildedir:

A noktası sabitse eşitlik (4.3) daha basit bir biçim alır:

Bu eşitlik, bir sistemin açısal momentumunun sabit bir noktaya göre değişimi hakkındaki teoremi ifade eder: Sistemin açısal momentumunun sabit bir noktaya göre hesaplanan zamana göre türevi, tüm dış kuvvetlerin göreceli temel momentine eşittir. bu noktaya kadar.

O halde (4.4)'e göre açısal momentum vektörünün büyüklüğü ve yönü sabittir. Bunu koordinat eksenlerine yansıtarak, çift sistemin diferansiyel denklemlerinin skaler birinci integrallerini elde ederiz:

Bu integrallere momentum integralleri veya alan integralleri denir.

A noktası sistemin kütle merkezi ile çakışırsa, eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim (4.3) kaybolur ve açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem, aşağıdaki durumda olduğu gibi aynı yazı biçimine (4.4) sahip olur. sabit bir A noktası. Söz konusu durumda, eşitliğin (4.4) sol tarafındaki sistemin mutlak açısal momentumunun, sistemin eşit açısal momentumu ile değiştirilebileceğine dikkat edin (bkz. s. 4 § 3). kütle merkezine göre hareket halindedir.

Sistemin kütle merkezinden geçen sabit bir eksen veya sabit doğrultuda bir eksen olsun ve sistemin bu eksene göre kinetik momenti olsun. (4.4)'ten şu sonuç çıkıyor

eksene göre dış kuvvetlerin momenti nerede. Tüm hareket boyunca ilk integrale sahipsek

S.A. Chaplygin'in çalışmalarında, kinetik momentumdaki değişime ilişkin teoremin çeşitli genellemeleri elde edildi ve bunlar daha sonra yuvarlanan toplarla ilgili bir dizi problemi çözmek için uygulandı. Mekanik momentteki değişime ilişkin teoremin daha ileri genellemeleri ve bunların katı cisim dinamiği problemlerindeki uygulamaları çalışmalarda yer almaktadır. Bu çalışmaların ana sonuçları, sürekli olarak hareketli bir A noktasından geçen hareketli bir momentuma göre kinetik momentumun değişmesine ilişkin teorem ile ilgilidir. Bu eksen boyunca yönlendirilmiş bir birim vektör olsun. Eşitliğin (4.3) her iki tarafıyla skaler olarak çarpılıp terimi iki kısmına ekleyerek şunu elde ederiz:

Kinematik koşul karşılandığında

Denklem (4.5), (4.7)'den gelmektedir. Ve eğer (4.8) koşulu tüm hareket boyunca sağlanırsa, o zaman birinci integral (4.6) mevcuttur.

Sistemin bağlantıları idealse ve sanal yer değiştirmeler arasında sistemin eksen etrafında katı bir cisim olarak dönmesine izin veriyorsa ve o zaman reaksiyonların eksene göre ana momenti ve sıfıra eşitse ve ardından değer Denklemin (4.5) sağ tarafı tüm dış aktif kuvvetlerin eksene göre ana momentini temsil eder ve . Bu momentin sıfıra eşitliği ve (4.8) ilişkisinin geçerliliği, integralin (4.6) varlığı için yeterli koşulların göz önünde bulundurulması durumunda olacaktır.

Eksen yönü sabit ise (4.8) koşulu şu şekilde yazılacaktır:

Bu eşitlik, kütle merkezinin hızı ile A noktasının hızının eksen ve buna dik düzlem üzerindeki izdüşümlerinin paralel olduğu anlamına gelir. S.A. Chaplygin'in çalışmasında (4.9) yerine, daha az genel durum burada X keyfi bir sabit değerdir.

(4.8) koşulunun noktasının seçimine bağlı olmadığına dikkat edin. Aslında P eksen üzerinde keyfi bir nokta olsun. Daha sonra

ve bu nedenle

Sonuç olarak, Rézal'in (4.1) ve (4.4) denklemlerine ilişkin geometrik yorumuna dikkat çekiyoruz: vektörlerin uçlarının mutlak hız vektörleri ve sırasıyla, A noktasına göre tüm dış kuvvetlerin ana vektörüne ve ana momentine eşittir. .