Sa panahon ng pagkakaroon ng Academy of Sciences sa Russia, tila isa sa mga pinakatanyag na miyembro nito ay ang mathematician na si Leonhard Euler (1707-1783).

Siya ang naging unang nagsimulang bumuo ng isang pare-parehong edipisyo ng infinitesimal analysis sa kanyang mga gawa. Pagkatapos lamang ng kanyang pananaliksik, na itinakda sa napakagandang volume ng kanyang trilogy na "Introduction to Analysis", "Differential Calculus" at "Integral Calculus", ang pagsusuri ay naging isang ganap na nabuong agham - isa sa pinakamalalim mga nakamit na pang-agham sangkatauhan.

Si Leonhard Euler ay ipinanganak sa lungsod ng Basel sa Switzerland noong Abril 15, 1707. Ang kanyang ama, si Pavel Euler, ay isang pastor sa Riechen (malapit sa Basel) at may ilang kaalaman sa matematika. Inilaan ng ama ang kanyang anak na lalaki para sa isang espirituwal na karera, ngunit siya mismo, na interesado sa matematika, ay itinuro ito sa kanyang anak, umaasa na ito ay magiging kapaki-pakinabang sa kanya bilang isang kawili-wili at kapaki-pakinabang na aktibidad. Pagkatapos ng kanyang pag-aaral sa bahay, ang labing tatlong taong gulang na si Leonard ay ipinadala ng kanyang ama sa Basel upang makinig sa pilosopiya.

Sa iba pang mga paksa sa faculty na ito ay pinag-aralan elementarya matematika at astronomiya, na itinuro ni Johann Bernoulli Hindi nagtagal ay napansin ni Bernoulli ang talento ng batang tagapakinig at nagsimulang mag-aral sa kanya nang hiwalay.

Matapos matanggap ang kanyang master's degree noong 1723, pagkatapos maghatid ng isang talumpati sa Latin sa pilosopiya nina Descartes at Newton, si Leonard, sa kahilingan ng kanyang ama, ay nagsimulang mag-aral ng mga oriental na wika at teolohiya. Ngunit lalo siyang naaakit sa matematika. Nagsimulang bisitahin ni Euler ang bahay ng kanyang guro, at sa pagitan niya at ng mga anak ni Johann Bernoulli - Nikolai
Daniil - lumitaw ang isang pagkakaibigan na may mahalagang papel sa buhay ni Euler.

Noong 1725, inanyayahan ang magkapatid na Bernoulli na maging miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, na itinatag kamakailan ni Empress Catherine I. Nang umalis, ipinangako ni Bernoulli kay Leonard na aabisuhan siya kung may angkop na trabaho para sa kanya sa Russia. Nang sumunod na taon, iniulat nila na mayroong isang lugar para kay Euler, ngunit, gayunpaman, bilang isang physiologist sa departamento ng medikal ng akademya. Nang malaman ito, agad na nag-enrol si Leonard bilang isang medikal na estudyante sa Unibersidad ng Basel. Nag-aaral ng masigasig at matagumpay
Science Faculty of Medicine, si Euler ay nakakahanap din ng oras para sa mga pag-aaral sa matematika. Sa panahong ito, sumulat siya ng isang disertasyon sa pagpapalaganap ng tunog at isang pag-aaral sa paglalagay ng mga palo sa isang barko, na kalaunan ay inilathala noong 1727 sa Basel.

Sa St. Petersburg mayroong karamihan kanais-nais na mga kondisyon para sa pamumulaklak ng henyo ni Euler: materyal na seguridad, ang pagkakataong gawin ang gusto niya, ang pagkakaroon ng taunang journal para sa pag-publish ng mga gawa. Ang pinakamalaking pangkat ng mga espesyalista sa larangan ng mga agham ng matematika sa mundo noong panahong iyon ay nagtrabaho dito, na kinabibilangan ni Daniil Bernoulli (namatay ang kanyang kapatid na si Nicholas noong 1726), ang maraming nalalaman na si H. Goldbach, kung saan ibinahagi ni Euler ang mga karaniwang interes sa teorya ng numero at iba pang isyu, ang may-akda ng mga gawa sa trigonometrya F.Kh. Mayer, astronomer at geographer na si J.N. Delisle, mathematician at physicist na si G.V. Mula noon, ang St. Petersburg Academy ay naging isa sa mga pangunahing sentro ng matematika sa mundo.

Ang mga natuklasan ni Euler, na salamat sa kanyang masiglang pagsusulatan ay madalas na kilala bago pa mailathala, ang kanyang pangalan ay lalong kilala. Ang kanyang posisyon sa Academy of Sciences ay napabuti: noong 1727 nagsimula siyang magtrabaho kasama ang ranggo ng adjunct, iyon ay, isang junior academician, at noong 1731 siya ay naging isang propesor ng physics, iyon ay, isang buong miyembro ng Academy. Sa 1733 natanggap niya ang upuan ng mas mataas na matematika, na dati ay inookupahan ni D. Bernoulli, na bumalik sa parehong taon sa Basel. Ang paglaki ng awtoridad ni Euler ay natatanging makikita sa mga liham sa kanya mula sa kanyang guro na si Johann Bernoulli. Noong 1728, binanggit ni Bernoulli ang "pinaka-maalam at matalinong binata, si Leonhard Euler," noong 1737, "ang pinakatanyag at matalinong matematiko," at noong 1745, "ang walang katulad na si Leonhard Euler, ang pinuno ng mga matematiko."

Noong 1735, kailangan ng akademya na makumpleto ang isang napaka mahirap na trabaho sa pamamagitan ng pagkalkula ng tilapon ng kometa. Ayon sa akademya, ito ay nangangailangan ng ilang buwan ng paggawa. Ginawa ito ni Euler sa loob ng tatlong araw at natapos ang gawain, ngunit bilang isang resulta ay nagkasakit siya ng nerbyos na lagnat na may pamamaga ng kanyang kanang mata, na nawala sa kanya. Di-nagtagal pagkatapos nito, noong 1736, lumitaw ang dalawang volume ng kanyang analytical mechanics. Malaki ang pangangailangan para sa aklat na ito; Maraming mga artikulo ang isinulat sa iba't ibang isyu ng mekanika, ngunit walang magandang treatise sa mekanika.

Noong 1738, dalawang bahagi ng isang panimula sa arithmetic ang lumitaw sa Aleman, noong 1739 - isang bagong teorya ng musika. Pagkatapos noong 1840 ay sumulat si Euler ng isang sanaysay tungkol sa pag-agos at pagdaloy ng mga dagat, na iginawad sa isang-katlo ng premyo ng French Academy; ang iba pang dalawang katlo ay iginawad kina Daniel Bernoulli at Maclaurin para sa mga sanaysay sa parehong paksa.

Sa pagtatapos ng 1740, ang kapangyarihan sa Russia ay nahulog sa mga kamay ng regent na si Anna Leopoldovna at ang kanyang entourage. Isang nakababahalang sitwasyon ang nabuo sa kabisera. Sa oras na ito, nagpasya ang hari ng Prussian na si Frederick II na buhayin ang Society of Sciences sa Berlin, na itinatag ni Leibniz, na halos hindi aktibo sa loob ng maraming taon. Sa pamamagitan ng kanyang embahador sa St. Petersburg, inimbitahan ng hari si Euler sa Berlin. Euler, sa paniniwalang “nagsimulang magmukhang maayos ang sitwasyon
hindi sigurado,” tinanggap ang imbitasyon.

Sa Berlin, unang nagtipon si Euler ng isang maliit na lipunang pang-agham sa paligid niya, at pagkatapos ay inanyayahan na sumali sa bagong naibalik na Royal Academy of Sciences at hinirang na dean ng departamento ng matematika. Noong 1743, inilathala niya ang lima sa kanyang mga memoir, apat sa kanila sa matematika. Ang isa sa mga gawaing ito ay kapansin-pansin sa dalawang aspeto. Ito ay nagpapahiwatig ng isang paraan upang pagsamahin ang mga rational fraction sa pamamagitan ng pag-decompose sa kanila
mga partial fraction at, bilang karagdagan, ang ngayon ay karaniwang paraan ng pagsasama ng linear ordinaryong equation mas mataas na pagkakasunud-sunod na may pare-parehong coefficient.

Sa pangkalahatan, karamihan sa mga gawa ni Euler ay nakatuon sa pagsusuri. Pinasimple at dinagdagan ni Euler ang buong malalaking seksyon ng pagsusuri ng mga infinitesimal, pagsasama ng mga function, ang teorya ng serye, mga differential equation, na nagsimula bago siya, na nakuha nila ang humigit-kumulang na anyo na kanilang sinakop sa isang malaking lawak na nananatili hanggang sa araw na ito. Si Euler, bilang karagdagan, ay nagsimula ng isang buong bagong kabanata ng pagsusuri - ang calculus ng mga pagkakaiba-iba. Ang inisyatiba niyang ito ay agad na kinuha ni Lagrange at sa gayon ay nabuo ang isang bagong agham.

Noong 1744, inilathala ni Euler ang tatlong mga gawa sa Berlin sa paggalaw ng mga luminaries: ang una ay ang teorya ng paggalaw ng mga planeta at kometa, na naglalaman ng isang pahayag ng pamamaraan para sa pagtukoy ng mga orbit mula sa ilang mga obserbasyon; ang pangalawa at pangatlo ay tungkol sa paggalaw ng mga kometa.

Si Euler ay nagtalaga ng pitumpu't limang mga gawa sa geometry. Ang ilan sa kanila, bagaman kawili-wili, ay hindi masyadong mahalaga. Ang ilan ay gumawa lamang ng isang panahon. Una, dapat ituring si Euler na isa sa mga tagapagtatag ng pananaliksik sa geometry sa espasyo sa pangkalahatan. Siya ang unang nagbigay ng magkakaugnay na pagtatanghal ng analytical geometry sa espasyo (sa "Introduction to Analysis") at, sa partikular, ipinakilala ang tinatawag na mga anggulo ng Euler, na ginagawang posible na pag-aralan ang mga pag-ikot
katawan sa paligid ng isang punto.

Sa kanyang 1752 na gawain, "Katibayan ng ilang mga kahanga-hangang katangian kung saan ang mga katawan na nakatali sa mga mukha ng eroplano ay napapailalim," natagpuan ni Euler ang isang relasyon sa pagitan ng bilang ng mga vertices, mga gilid, at mga mukha ng isang polyhedron: ang kabuuan ng bilang ng mga vertices at mga mukha ay katumbas ng bilang ng mga gilid kasama ang dalawa. Ang relasyon na ito ay iminungkahi ni Descartes, ngunit pinatunayan ito ni Euler sa kanyang mga memoir. Ito ay, sa isang kahulugan, ang unang pangunahing teorama sa kasaysayan ng matematika ng topolohiya - ang pinakamalalim na bahagi ng geometry.

Habang pinag-aaralan ang mga tanong tungkol sa repraksyon ng mga sinag ng liwanag at pagsulat ng maraming memoir sa paksang ito, naglathala si Euler ng isang sanaysay noong 1762 kung saan iminungkahi niya ang disenyo ng mga kumplikadong lente upang mabawasan ang chromatic aberration. Ang English artist na si Doldond, na nakatuklas ng dalawang uri ng salamin na may iba't ibang refrangibility, kasunod ng mga tagubilin ni Euler, ay gumawa ng unang achromatic lens.

Noong 1765, sumulat si Euler ng isang sanaysay kung saan nalutas niya ang mga differential equation ng rotation solid, na tinatawag na Euler equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan.

Sumulat ang siyentipiko ng maraming mga sanaysay sa baluktot at panginginig ng boses ng nababanat na mga baras. Ang mga tanong na ito ay kawili-wili hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa praktikal.

Ibinigay ni Frederick the Great ang mga tagubilin ng siyentipiko na puro engineering. Kaya, noong 1749, inutusan niya siya na siyasatin ang Funo Canal sa pagitan ng Havel at Oder at gumawa ng mga rekomendasyon para sa pagwawasto sa mga pagkukulang ng daluyan ng tubig na ito. Sumunod ay inatasan siyang ayusin ang suplay ng tubig sa Sans Souci.

Nagresulta ito sa mahigit dalawampung memoir sa hydraulics, na isinulat ni Euler sa magkaibang panahon. Ang mga first-order hydrodynamic equation na may mga partial derivatives ng mga projection ng velocity, density at pressure ay tinatawag na Euler hydrodynamic equation.

Pagkatapos umalis sa St. Petersburg, pinanatili ni Euler ang pinakamalapit na koneksyon sa Russian Academy of Sciences, kabilang ang opisyal: hinirang siya bilang honorary member, at binigyan siya ng malaking taunang pensiyon, at siya, sa kanyang bahagi, ay umako ng mga obligasyon tungkol sa karagdagang pagtutulungan. Bumili siya ng mga libro, pisikal at astronomical na instrumento para sa aming Academy, mga piling empleyado sa ibang bansa, na nagpapaalam detalyadong mga pagtutukoy posibleng mga kandidato, na-edit ang mathematical department ng academic notes, kumilos bilang arbiter sa siyentipiko
mga pagtatalo sa pagitan ng mga siyentipiko ng St. Petersburg, nagpadala ng mga paksa para sa mga pang-agham na kumpetisyon, pati na rin ang impormasyon tungkol sa bago mga natuklasang siyentipiko atbp. Ang mga mag-aaral mula sa Russia ay nanirahan sa bahay ni Euler sa Berlin: M. Sofronov, S. Kotelnikov, S. Rumovsky, ang huli ay naging mga akademiko.

Mula sa Berlin, Euler, sa partikular, ay nakipag-ugnayan kay Lomonosov, kung saan ang gawain ay lubos niyang pinahahalagahan ang masayang kumbinasyon ng teorya at eksperimento. Noong 1747, nagbigay siya ng isang napakatalino na pagsusuri ng mga artikulo ni Lomonosov sa pisika at kimika na ipinadala sa kanya para sa konklusyon, na lubos na nabigo sa maimpluwensyang opisyal ng akademiko na si Schumacher, na labis na nagalit kay Lomonosov.

Sa pakikipagsulatan ni Euler sa kanyang kaibigan na si Goldbach, isang akademiko ng St. Petersburg Academy of Sciences, nakita namin ang dalawang sikat na "mga problema sa Goldbach": upang patunayan na ang bawat kakaibang natural na numero ay ang kabuuan ng tatlo mga pangunahing numero, at bawat even na numero ay dalawa. Ang una sa mga pahayag na ito ay napatunayan gamit ang isang napaka-kahanga-hangang pamamaraan na sa ating panahon (1937) ng Academician I.M. Vinogradov, ngunit ang pangalawa ay hindi pa napatunayan hanggang ngayon.

Si Euler ay hinila pabalik sa Russia. Noong 1766, sa pamamagitan ng embahador sa Berlin, si Prince Dolgorukov, nakatanggap siya ng imbitasyon mula kay Empress Catherine II na bumalik sa Academy of Sciences sa anumang mga termino. Sa kabila ng panghihikayat na manatili, tinanggap niya ang imbitasyon at dumating sa St. Petersburg noong Hunyo.

Binigyan ng Empress si Euler ng pondo para makabili ng bahay. Ang panganay sa kanyang mga anak na lalaki, si Johann Albrecht, ay naging isang akademiko sa larangan ng pisika, si Karl ay kumuha ng mataas na posisyon sa departamento ng medisina, at hindi pinabayaan ni Frederick II si Christopher, na ipinanganak sa Berlin, sa mahabang panahon. serbisyo militar, at kinailangan ito ng interbensyon ni Catherine II para makapunta siya sa kanyang ama. Si Christopher ay hinirang na direktor ng Sestroretsk Armory
halaman

Noong 1738, nabulag si Euler sa isang mata, at noong 1771, pagkatapos ng isang operasyon, halos nawala ang kanyang paningin at maaari lamang magsulat gamit ang tisa sa isang black board, ngunit salamat sa kanyang mga mag-aaral at katulong. I.A Euler, A I. Loksel, V.L. Kraft, S.K. Kotelnikov, M.E. Si Golovin, at pinaka-mahalaga, si N.I.

Si Euler, kasama ang kanyang makikinang na kakayahan at kahanga-hangang memorya, ay nagpatuloy sa paggawa at pagdidikta ng kanyang mga bagong memoir. Mula 1769 hanggang 1783 lamang, si Euler ay nagdikta ng humigit-kumulang 380 na artikulo at sanaysay, at sa kanyang buhay ay sumulat siya ng mga 900 mga gawaing siyentipiko.

Ang papel ni Euler noong 1769 na "On Orthogonal Trajectories" ay naglalaman ng mga makikinang na ideya tungkol sa pagkuha, gamit ang isang function ng isang kumplikadong variable mula sa mga equation ng dalawang magkaparehong orthogonal na pamilya ng mga kurba sa isang ibabaw (i.e., mga linya tulad ng mga meridian at parallel sa isang globo), isang walang katapusan bilang ng iba pang magkaparehong orthogonal na pamilya. Ang gawaing ito ay naging napakahalaga sa kasaysayan ng matematika.

Sa kanyang susunod na gawain noong 1771, "Sa mga katawan na ang ibabaw ay maaaring gawing isang eroplano," pinatunayan ni Euler ang sikat na teorama na ang anumang ibabaw na maaaring makuha lamang sa pamamagitan ng pagyuko ng isang eroplano, ngunit walang pag-unat o pag-compress nito, kung ito ay hindi conical. o cylindrical , ay isang hanay ng mga tangent sa ilang spatial curve.

Ang gawa ni Euler sa mga projection ng mapa ay parehong kapansin-pansin.

Maaaring isipin ng isang tao kung ano ang isang paghahayag na ginawa ni Euler sa kurbada ng mga ibabaw at mga nabubuong ibabaw para sa mga mathematician noong panahong iyon. Ang mga gawa kung saan pinag-aaralan ni Euler ang mga surface mapping na nagpapanatili ng pagkakatulad sa maliit (conformal mappings), batay sa teorya ng mga function ng isang complex variable,
dapat ay tila ganap na transendental At ang gawain sa polyhedra ay nagsimula ng isang ganap na bagong bahagi ng geometry at, sa mga prinsipyo at lalim nito, ay tumayo sa tabi ng mga natuklasan ni Euclid.

Ang kawalang-pagod at tiyaga ni Euler sa siyentipikong pananaliksik ay kaya noong 1773, nang masunog ang kanyang bahay at halos lahat ng ari-arian ng kanyang pamilya ay nawasak, kahit na matapos ang kasawiang ito ay patuloy niyang dinidiktahan ang kanyang pananaliksik. Di-nagtagal pagkatapos ng sunog, ang isang bihasang ophthalmologist, si Baron Wentzel, ay nagsagawa ng operasyon ng katarata, ngunit hindi nakayanan ni Euler ang naaangkop na oras nang hindi nagbabasa at naging ganap na bulag.

Gayundin noong 1773, namatay ang asawa ni Euler, na kasama niya sa loob ng apatnapung taon. Pagkaraan ng tatlong taon, pinakasalan niya ang kanyang kapatid na si Salome Gsell. Palaging isang pantay na kalooban, malambot at natural na kagalakan, isang uri ng mabait na pangungutya, ang kakayahang magkuwento ng walang muwang at nakakatawang mga kuwento na naging dahilan upang makipag-usap sa kanya.
bilang kaaya-aya bilang ito ay kanais-nais...” Siya kung minsan ay maaaring sumiklab, ngunit "siya ay hindi
kayang magtago ng galit sa isang tao sa mahabang panahon...” pagbabalik-tanaw ni N I Fuss.

Si Euler ay patuloy na napapalibutan ng maraming apo, madalas na may isang bata na nakaupo sa kanyang mga bisig at isang pusa na nakahiga sa kanyang leeg. Siya mismo ang nagturo ng matematika sa mga bata. At ang lahat ng ito ay hindi naging hadlang sa kanyang pagtatrabaho.

Noong Setyembre 18, 1783, namatay si Euler sa apoplexy sa presensya ng kanyang mga katulong, mga propesor na sina Kraft at Leksel. Siya ay inilibing sa Smolensk Lutheran Cemetery na inatasan ng Academy ang sikat na iskultor na si Zh.D. Si Rachette, na kilalang-kilala si Euler, ay nakatanggap ng marble bust ng namatay, at binigyan siya ni Prinsesa Dashkova ng marble pedestal.

Hanggang sa katapusan ng ika-18 siglo, nanatili si I.A. Si Euler, na pinalitan ng N.I. Si Fuss, na nagpakasal sa anak na babae ng huli, at noong 1826 - ang anak ni Fuss na si Pavel Nikolaevich, upang ang organisasyonal na bahagi ng buhay ng Academy ay namamahala sa mga inapo ni Leonhard Euler sa loob ng halos isang daang taon. Ang mga tradisyon ni Euler ay nagkaroon ng malakas na impluwensya sa mga mag-aaral
Chebysheva: A.M. Lyapunova, A.N. Korkina, E.I. Zolotareva, A.A. Markov at iba pa, na tumutukoy sa mga pangunahing tampok ng paaralang matematika ng St. Petersburg.

Walang siyentipiko na ang pangalan ay binanggit sa pang-edukasyon na panitikan sa matematika na kasingdalas ng pangalan ni Euler. Kahit sa mataas na paaralan Ang logarithms at trigonometry ay pinag-aaralan pa rin sa malaking lawak "ayon kay Euler."

Natagpuan ni Euler ang mga patunay ng lahat ng teorema ni Fermat, ipinakita ang kamalian ng isa sa mga ito, at pinatunayan ang sikat na Huling Teorem ni Fermat para sa "tatlo" at "apat". Pinatunayan din niya na ang bawat prime number ng form na 4n+1 ay palaging nabubulok sa kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang numero.

Si Euler ay nagsimulang patuloy na bumuo ng isang elementarya na teorya ng mga numero. Simula sa teorya ng mga nalalabi sa kapangyarihan, pagkatapos ay kinuha niya ang mga parisukat na nalalabi. Ito ang tinatawag na quadratic reciprocity law. Si Euler ay gumugol din ng maraming taon sa paglutas ng mga hindi tiyak na equation ng ikalawang antas sa dalawang hindi alam.

Sa lahat ng tatlo sa mga pangunahing tanong na ito, na sa loob ng higit sa dalawang siglo pagkatapos mabuo ni Euler ang karamihan sa teorya ng elementarya, napakalayo ang narating ng siyentipiko, ngunit sa lahat ng tatlo ay nabigo siya. Ang kumpletong patunay ay nakuha nina Gauss at Lagrange.

Kinuha ni Euler ang inisyatiba upang lumikha ng pangalawang bahagi ng teorya ng mga numero - ang analytic theory ng mga numero, kung saan ang pinakamalalim na lihim ng mga integer, halimbawa, ang pamamahagi ng mga prime number sa serye ng lahat ng natural na numero, ay nakuha mula sa pagsasaalang-alang sa katangian ng ilang mga analytic function.

Ang analytical theory ng mga numero na nilikha ni Euler ay patuloy na umuunlad ngayon.

Great Soviet Encyclopedia: Euler Leonhard, mathematician, mekaniko at physicist. Genus. sa pamilya ng isang mahirap na pastor na si Paul Euler. Natanggap niya ang kanyang edukasyon muna mula sa kanyang ama (na sa kanyang kabataan ay nag-aral ng matematika sa ilalim ng direksyon ni J. Bernoulli), at noong 1720-24 sa Unibersidad ng Basel, kung saan siya pumasok sa mga lektura sa matematika ni J. Bernoulli.
Sa con. 1726 E. ay inanyayahan sa St. Petersburg Academy of Sciences at noong Mayo 1727 ay dumating siya sa St. Petersburg. Sa bagong organisadong akademya, natagpuan ni E. ang mga kanais-nais na kondisyon para sa aktibidad na pang-agham, na nagpapahintulot sa kanya na agad na magsimulang mag-aral ng matematika at mekanika. Sa loob ng 14 na taon ng unang yugto ng St. Petersburg ng kanyang buhay, naghanda si E. ng mga 80 gawa para sa publikasyon at inilathala ang mahigit 50. Sa St. Petersburg, nag-aral siya ng wikang Ruso.
E. lumahok sa maraming mga lugar ng aktibidad ng St. Petersburg Academy of Sciences. Nag-lecture siya sa mga mag-aaral sa akademikong unibersidad, lumahok sa iba't ibang teknikal na eksaminasyon, nagtrabaho sa pag-compile ng mga mapa ng Russia, at isinulat ang pampublikong magagamit na "Manual to Arithmetic" (German edition 1738-40, Russian translation, bahagi 1-2, 1740). Sa mga espesyal na tagubilin mula sa Academy, naghanda si E. para sa publikasyong "Marine Science" (mga bahagi 1-2, 1749), isang pangunahing gawain sa teorya ng paggawa ng barko at pag-navigate.
Noong 1741, tinanggap ni E. ang alok ng hari ng Prussian na si Frederick II na lumipat sa Berlin, kung saan magaganap ang muling pagsasaayos ng Academy of Sciences. Sa Berlin Academy of Sciences, kinuha ni E. ang posisyon ng direktor ng klase ng matematika at isang miyembro ng lupon, at pagkamatay ng unang pangulo nito na si P.L. Si Maupertuis ay talagang pinamunuan ang akademya sa loob ng ilang taon (mula 1759). Sa loob ng 25 taon ng kanyang buhay sa Berlin, naghanda siya ng humigit-kumulang 300 mga gawa, kabilang ang maraming malalaking monograph.
Habang naninirahan sa Berlin, hindi huminto si E. sa masinsinang pagtatrabaho para sa St. Petersburg Academy of Sciences, pinapanatili ang titulo ng honorary member nito. Nagsagawa siya ng malawak na pang-agham at pang-agham-organisasyon na pagsusulatan, partikular na nakipag-ugnayan siya sa M.V. Lomonosov, na lubos niyang pinahahalagahan. In-edit ni E. ang matematikal na departamento ng Russian academic na pang-agham na katawan, kung saan sa panahong ito ay nai-publish niya ang halos kasing dami ng mga artikulo tulad ng sa "Memoirs" ng Berlin Academy of Sciences. Siya ay aktibong lumahok sa pagsasanay ng mga Russian mathematician; Ang mga hinaharap na akademiko na si S.K. ay ipinadala sa Berlin upang mag-aral sa ilalim ng kanyang pamumuno. Kotelnikov, S.Ya. Rumovsky at M. Sofronov. Nagbigay ng malaking tulong si E. sa St. Petersburg Academy of Sciences, na nakuha ito siyentipikong panitikan at kagamitan, pakikipag-ayos sa mga kandidato para sa mga posisyon sa akademya, atbp.
Hulyo 17 (28), 1766 E. bumalik sa St. Petersburg kasama ang kanyang pamilya. Sa kabila ng kanyang katandaan at halos ganap na pagkabulag na nangyari sa kanya, nagtrabaho siya nang produktibo hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Sa loob ng 17 taon ng kanyang pangalawang pananatili sa St. Petersburg, naghanda siya ng mga 400 obra, kabilang ang ilang malalaking aklat. E. patuloy na lumahok sa gawaing pang-organisasyon ng akademya. Noong 1776, isa siya sa mga eksperto sa proyekto ng isang solong-arko na tulay sa kabila ng Neva, na iminungkahi ng I.P. Kulibin, at isa sa buong komisyon ang nagbigay ng malawak na suporta para sa proyekto.
Ang mga merito ni E. bilang isang pangunahing siyentipiko at tagapag-ayos siyentipikong pananaliksik tumanggap ng mataas na papuri sa kanyang buhay. Bilang karagdagan sa mga akademya ng St. Petersburg at Berlin, miyembro siya ng pinakamalaking institusyong pang-agham: ang Paris Academy of Sciences, ang London. Royal Society at iba pa.
Isa sa mga natatanging aspeto ng pagkamalikhain ni E. ay ang pambihirang produktibidad nito. Sa panahon lamang ng buhay ni E., humigit-kumulang 550 sa kanyang mga aklat at artikulo ang nai-publish (ang listahan ng mga gawa ni E. ay naglalaman ng humigit-kumulang 850 mga pamagat). Noong 1909, nagsimulang ilathala ng Swiss Natural Science Society ang kumpletong mga gawa ng E., na natapos noong 1975; ito ay binubuo ng 72 tomo. Ang malaking interes ay ang napakalaking sulat na pang-agham ni E. (mga 3,000 titik), na hanggang ngayon ay bahagyang nai-publish.
Ang hanay ng mga pag-aaral ni E. ay hindi pangkaraniwang malawak, na sumasaklaw sa lahat ng mga departamento ng kontemporaryong matematika at mekanika, ang teorya ng elasticity, matematikal na pisika, optika, teorya ng musika, teorya ng makina, ballistics, agham ng dagat, insurance, atbp. Humigit-kumulang 3/5 ng mga gawa ni E. ay nauugnay sa matematika, ang natitirang 2/5 pangunahin sa mga aplikasyon nito. E. systematized ang kanyang mga resulta at ang mga resulta na nakuha ng iba sa isang bilang ng mga klasikong monographs, nakasulat na may kamangha-manghang kalinawan at ibinigay na may mahalagang mga halimbawa. Ito ay, halimbawa, "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically" (vol. 1-2, 1736), "Introduction to Analysis" (vol. 1-2, 1748), "Differential Calculus" (1755) , "Theory motion of a rigid body" (1765), "Universal Arithmetic" (vol. 1-2, 1768-69), na dumaan sa humigit-kumulang 30 edisyon sa 6 na wika, "Integral Calculus" (vol. 1-3, 1768-70, vol. 4 , 1794) at iba pa noong ika-18 siglo, at bahagyang noong ika-19 na siglo. Ang magagamit sa publiko na "Mga liham tungkol sa iba't ibang pisikal at pilosopikal na mga bagay, na isinulat sa isang prinsesa ng Aleman..." (mga bahagi 1-3, 1768-74) ay nakakuha ng napakalaking katanyagan, na dumaan sa mahigit 40 edisyon sa 10 wika. Karamihan sa nilalaman ng mga monograp ni E. ay isinama noon sa mga manwal na pang-edukasyon para sa mas mataas at bahagyang sekondaryang paaralan. Imposibleng ilista ang lahat ng mga teorema, pamamaraan at mga pormula ng E. na ginagamit pa, kung saan iilan lamang ang lumilitaw sa panitikan sa ilalim ng kanyang pangalan [tingnan, halimbawa, ang pamamaraan ni Euler ng mga putol na linya, ang pagpapalit ni Euler, ang pare-pareho ni Euler, ang Euler's. equation, Euler's equation (sa hydromechanics), Euler's formula, Euler function, Euler number sa matematika, Euler number, Euler-Maclaurin formula, Euler-Fourier formula, Euler na katangian, Euler integrals, Euler angles].
Sa "Mechanics," unang binalangkas ni E. ang dynamics ng isang punto gamit ang mathematical analysis. Ang Tomo 1 ng gawaing ito ay tumatalakay malayang paggalaw mga punto sa ilalim ng impluwensya ng iba't ibang pwersa kapwa sa kawalan at sa isang daluyan na may pagtutol; sa ika-2 - ang paggalaw ng isang punto kasama ang isang naibigay na linya o kasama ang isang naibigay na ibabaw; malaking halaga para sa pagbuo ng celestial mechanics mayroong isang kabanata sa paggalaw ng isang punto sa ilalim ng pagkilos ng sentro. lakas Noong 1744 una siyang nagbalangkas ng tama mekanikal na prinsipyo ang pinakamaliit na pagkilos at ipinakita ang mga unang aplikasyon nito. Sa "The Theory of Rigid Body Motion," binuo ni E. ang kinematics at dynamics ng isang matibay na katawan at nagbigay ng mga equation para sa pag-ikot nito sa paligid ng isang nakapirming punto, na naglalagay ng pundasyon para sa teorya ng mga gyroscope. Sa kanyang teorya ng barko, gumawa si E. ng mahalagang kontribusyon sa teorya ng katatagan. Ang mga makabuluhang pagtuklas ni E. ay nasa celestial mechanics (halimbawa, sa theory of the motion of the Moon), continuum mechanics (ang mga pangunahing equation ng motion ng ideal fluid sa anyo ng E. at sa tinatawag na Lagrange mga variable, mga oscillation ng gas sa mga tubo, atbp.). Sa optika, si E. ay nagbigay (1747) ng isang formula para sa isang biconvex lens at nagmungkahi ng isang paraan para sa pagkalkula ng refractive index ng isang medium. E. sumunod sa wave theory of light. Pinaniwalaan niya iyon iba't ibang kulay tumutugma sa iba't ibang wavelength ng liwanag. E. iminungkahing mga paraan upang maalis ang chromatic aberrations ng mga lente at sa ika-3 bahagi ng "Dioptrics" ay nagbigay siya ng mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga optical na bahagi ng isang mikroskopyo. E. nagtalaga ng isang malawak na serye ng mga gawa, na nagsimula noong 1748, sa matematikal na pisika: mga problema sa vibration ng isang string, plate, lamad, atbp. mga pamamaraan. function, differential geometry, atbp. Marami sa mga pagtuklas sa matematika ni E. ay nakapaloob sa mga akdang ito.
Ang pangunahing gawain ni E. bilang isang dalub-agbilang ay ang pagbuo ng pagsusuri sa matematika. Inilatag niya ang mga pundasyon ng ilang mga disiplina sa matematika, na nasa kanilang panimulang anyo lamang o ganap na wala sa infinitesimal na calculus ng I. Newton, G.V. Leibniz, J. at I. Bernoulli. Kaya, si E. ang unang nagpakilala ng mga function ng isang komplikadong argumento (“Introduction to Analysis,” vol. 1) at ginalugad ang mga katangian ng basic elementary functions ng complex variable (exponential, logarithmic at trigonometric functions); sa partikular, nagmula siya ng mga formula na nag-uugnay sa mga trigonometriko na pag-andar na may mga pagpapalawak na pag-andar. Ang gawain ni E. sa direksyong ito ay naglatag ng pundasyon para sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.
Si E. ay ang lumikha ng calculus of variations, na itinakda sa akdang "Paraan ng Paghahanap ng mga Kurbadong Linya na Pagkakaroon ng Mga Katangian ng Maximum o Minimum..." (1744). Matapos ang gawain ni J. Lagrange, higit pang binuo ni E. ang calculus ng mga variation sa "Integral Calculus" at ilang mga artikulo. Ang pamamaraan kung saan hinango ni E. noong 1744 kinakailangang kondisyon extremum ng functional - ang equation ni Euler, ay ang prototype ng mga direktang pamamaraan ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ng ika-20 siglo. E. nilikha ang teorya ng mga ordinaryong differential equation bilang isang malayang disiplina at inilatag ang mga pundasyon para sa teorya ng partial differential equation. Dito nakagawa siya ng malaking bilang ng mga pagtuklas: ang klasikal na paraan ng paglutas mga linear na equation na may pare-parehong mga koepisyent, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, paglilinaw ng mga pangunahing katangian ng Riccati equation, pagsasama ng mga linear na equation na may variable na coefficient gamit ang walang katapusang serye, pamantayan para sa mga espesyal na solusyon, ang doktrina ng integrating factor, iba't ibang tinatayang pamamaraan at isang bilang ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga partial differential equation. ibig sabihin. Nakolekta ni E. ang ilan sa mga resultang ito sa kanyang "Integral Calculus."
Pinayaman din ni E. ang differential at integral calculus sa makitid na kahulugan ng salita (halimbawa, ang doktrina ng mga pagbabago ng mga variable, ang theorem sa homogenous na function, ang konsepto ng double integral, at ang pagkalkula ng maraming espesyal na integral). Sa "Differential Calculus," ipinahayag at sinuportahan ni E. kasama ng mga halimbawa ang kanyang paniniwala sa pagiging marapat ng paggamit ng magkakaibang serye at mga iminungkahing pamamaraan para sa pangkalahatang pagbubuod ng mga serye, na inaasahan ang mga ideya ng modernong mahigpit na teorya ng divergent na serye, na nilikha sa pagpasok ng ika-19 at ika-20 siglo. Bilang karagdagan, nakakuha si E. ng maraming konkretong resulta sa teorya ng serye. Natuklasan niya ang tinatawag na ang Euler-Maclaurin summation formula, iminungkahi ang pagbabago ng serye na nagtataglay ng kanyang pangalan, tinukoy ang mga kabuuan ng isang malaking bilang ng mga serye at ipinakilala ang mga bagong mahalagang uri ng serye sa matematika (halimbawa, trigonometric series). Kasama rin dito ang pananaliksik ni E. sa teorya ng patuloy na mga fraction at iba pang mga prosesong walang hanggan.
E. ay ang nagtatag ng teorya mga espesyal na function. Siya ang unang nag-isip ng sine at cosine bilang mga function, at hindi bilang mga segment sa isang bilog. Nakuha niya ang halos lahat ng mga klasikal na pagpapalawak ng elementarya na mga function sa walang katapusang serye at mga produkto. Ang kanyang mga gawa ay lumikha ng teorya ng gamma function. Inimbestigahan niya ang mga katangian ng elliptic integral, hyperbolic at cylindrical function, ang zeta function, ilang theta function, integral logarithm, at mahahalagang klase ng mga espesyal na polynomial.
Ayon sa pahayag ni P.L. Inilatag ni Chebyshev, E. ang pundasyon para sa lahat ng pananaliksik na bumubuo sa pangkalahatang bahagi ng teorya ng mga numero, na kinabibilangan ng higit sa 100 memoir ng E. Kaya, pinatunayan ni E. ang isang bilang ng mga pahayag na ginawa ni P. Fermat (tingnan, halimbawa, , ang maliit na teorama ni Fermat), binuo ang mga pundasyon ng teorya ng mga nalalabi sa kapangyarihan at ang teorya ng mga parisukat na anyo, natuklasan (ngunit hindi napatunayan) ang batas ng parisukat na katumbasan (tingnan ang Quadratic residue) at pinag-aralan ang ilang mga problema sa pagsusuri ng Diophantine. Sa kanyang mga gawa sa paghahati ng mga numero sa mga termino at sa teorya ng mga pangunahing numero, si E. ang unang gumamit ng mga pamamaraan ng pagsusuri, sa gayon ay naging tagalikha ng analytical theory ng mga numero. Sa partikular, ipinakilala niya ang zeta function at pinatunayan ang tinatawag na. Ang pagkakakilanlan ni E., na nagkokonekta ng mga prime number sa lahat ng natural na numero.
E. ay may mahusay na mga merito sa iba pang mga lugar ng matematika. Sa algebra, nagsulat siya ng mga gawa sa paglutas ng mga equation sa mga radical mas mataas na antas at tungkol sa mga equation na may dalawang hindi alam, pati na rin ang tinatawag na. E.'s identity tungkol sa apat na parisukat. E. makabuluhang advanced analytical geometry, lalo na ang doktrina ng second-order surface. Sa differential geometry, pinag-aralan niya nang detalyado ang mga katangian ng mga geodesic na linya, ang unang naglapat ng mga natural na equation ng mga kurba, at higit sa lahat, inilatag ang mga pundasyon ng teorya ng mga ibabaw. Ipinakilala niya ang konsepto ng mga pangunahing direksyon sa isang punto sa isang ibabaw, pinatunayan ang kanilang orthogonality, nagmula ng isang pormula para sa curvature ng anumang normal na seksyon, sinimulan ang pag-aaral ng mga nabubuong ibabaw, atbp.; sa isang posthumously published work (1862), bahagyang inasahan niya ang pananaliksik ni K.F. Gauss sa panloob na geometry ng mga ibabaw. E. kasangkot din sa departamento. mga tanong ng topology at pinatunayan, halimbawa, ang isang mahalagang teorama tungkol sa convex polyhedra. Ang electronic mathematician ay madalas na nailalarawan bilang isang makinang na "calculator." Sa katunayan, siya ay isang hindi maunahang master ng mga pormal na kalkulasyon at pagbabago sa kanyang mga gawa, maraming mathematical formula at simbolismo ang natanggap modernong hitsura(halimbawa, pagmamay-ari niya ang notasyon para sa e at p). Gayunpaman, ang E. ay hindi lamang isang "calculator" ng pambihirang lakas. Ipinakilala niya ang ilang malalim na ideya sa agham, na ngayon ay mahigpit na pinatutunayan at nagsisilbing halimbawa ng lalim ng pagtagos sa paksa ng pananaliksik.
Ayon kay P.S. Si Laplace, E. ay isang guro ng mga mathematician noong ika-2 kalahati ng ika-18 siglo. Ang kanyang mga gawa ay direktang sinundan sa iba't ibang pag-aaral ni P.S. Laplace, J.L. Lagrange, G. Monge, A. M. Legendre, K.F. Gauss, mamaya O. Cauchy, M.V. Ostrogradsky, P. L. Chebyshev at iba pa ay lubos na pinahahalagahan ng mga Russian mathematician ang gawa ni E., at nakita ng mga figure ng Chebyshev school sa E. ang kanilang ideolohikal na hinalinhan sa kanyang hinalinhan. palagiang pakiramdam pagkakonkreto, sa interes sa mga tiyak na mahihirap na problema na nangangailangan ng pagbuo ng mga bagong pamamaraan, sa pagnanais na makakuha ng mga solusyon sa mga problema sa anyo ng kumpletong mga algorithm na nagpapahintulot sa isa na mahanap ang sagot sa anumang kinakailangang antas ng katumpakan.

Euler Leonhard (1707-1783), mathematician, physicist, mekaniko, astronomer.

Ipinanganak noong Abril 15, 1707 sa Basel (Switzerland). Nagtapos siya sa lokal na gymnasium at dumalo sa mga lektura ni I. Bernoulli sa Unibersidad ng Basel. Noong 1723 nakatanggap siya ng master's degree. Noong 1726, sa imbitasyon ng St. Petersburg Academy of Sciences, siya ay dumating sa Russia at hinirang na pandagdag sa matematika.

Noong 1730 kinuha niya ang upuan ng pisika, at noong 1733 siya ay naging isang akademiko. Sa loob ng 15 taon ng kanyang pananatili sa Russia, nagawa ni Euler na isulat ang unang aklat-aralin sa mundo sa teoretikal na mekanika, pati na rin ang isang kurso sa matematikal na nabigasyon at marami pang iba.

Noong 1741, tinanggap niya ang alok ng hari ng Prussian na si Frederick II at lumipat sa Berlin. Ngunit kahit na sa oras na ito ang siyentipiko ay hindi sinira ang ugnayan sa St. Petersburg. Noong 1746, tatlong volume ng mga artikulo ni Euler sa ballistics ang nai-publish.

Noong 1749, inilathala niya ang isang dalawang-volume na gawain, na sa unang pagkakataon ay ipinakita ang mga isyu sa nabigasyon sa anyong matematikal. Ang maraming pagtuklas ni Euler sa larangan ng mathematical analysis ay kalaunan ay pinagsama-sama sa aklat na An Introduction to the Analysis of Infinitesimals (1748).

Kasunod ng “Introduction,” isang treatise ang inilathala sa apat na tomo. Ang unang volume, na nakatuon sa differential calculus, ay inilathala sa Berlin (1755), at ang natitira, na nakatuon sa integral calculus, ay inilathala sa St. Petersburg (1768-1770).

Sinusuri ng huli, ika-4 na volume ang calculus ng mga variation na nilikha nina Euler at J. Lagrange. Kasabay nito, sinisiyasat ni Euler ang isyu ng pagpasa ng liwanag sa iba't ibang media at ang kaugnay na epekto ng chromatism.

Noong 1747 iminungkahi niya ang isang kumplikadong lente.

Noong 1766, bumalik si Euler sa Russia. Napilitan ang siyentipiko na idikta ang kanyang akda na "Mga Elemento ng Algebra," na inilathala noong 1768, dahil sa oras na iyon siya ay naging bulag. Kasabay nito, tatlong volume ng integral calculus, dalawang volume ng mga elemento ng algebra, at mga memoir ("Pagkalkula ng Kometa ng 1769", "Pagkalkula ng Eclipse ng Araw", "Bagong Teorya ng Buwan", "Navigation ”, atbp.) ay nai-publish.

Noong 1775, ang Paris Academy of Sciences, na nilalampasan ang batas at may pahintulot ng gobyerno ng Pransya, ay itinalaga si Euler bilang ang ikasiyam nito (dapat ay mayroon lamang walo) "nakalakip na miyembro."

Si Euler ay nag-akda ng higit sa 865 na pag-aaral sa pinaka-magkakaibang at mahirap na mga isyu. Siya ay may mahusay at mabungang impluwensya sa pag-unlad ng edukasyong matematika sa Russia noong ika-18 siglo. Ang St. Petersburg mathematical school, na kinabibilangan ng mga akademiko na S. K. Kotelnikov, S. Ya Rumovsky, N. I. Fuss, M. E. Golovin at iba pang mga siyentipiko, sa ilalim ng pamumuno ni Euler, ay nagsagawa ng napakalaking gawaing pang-edukasyon, lumikha ng isang malawak at kapansin-pansin para sa oras na panitikan sa edukasyon, nagsagawa ng ilang mga kawili-wiling pag-aaral.

Si Euler ang direktang nagpatunay sa pagpapalawak ng exponential at arctangent series (isang hindi direktang patunay sa pamamagitan ng inverse power series ay ibinigay ni Newton at Leibniz sa pagitan ng 1670 at 1680). Ang kanyang paggamit ng serye ng kapangyarihan ay nagbigay-daan sa kanya upang malutas ang sikat na problema sa Basel noong 1735 (siya ay gumawa ng mas mahigpit na patunay noong 1741):

Geometric na kahulugan ng formula ni Euler Si Euler ay nagsimulang gumamit ng mga exponential at logarithms sa analytical proofs. Nagawa niyang palawakin ang logarithmic function sa isang serye ng kapangyarihan at, gamit ang iskedyul na ito, matukoy ang mga logarithms para sa negatibo at kumplikadong mga numero. Pinalawak din niya ang kahulugan ng exponential function sa mga kumplikadong numero, at natuklasan ang koneksyon ng exponential function na may trigonometric function. Ang formula ni Euler ay nagsasaad na para sa anumang tunay na numero x ang pagkakapantay-pantay ay hawak:

Isang espesyal na kaso ng formula ni Euler para sa x= ? ay ang pagkakakilanlan ni Euler, na nag-uugnay ng limang pangunahing mathematical constants:

e i ? + 1 = 0,

Tinawag na "the most wonderful mathematical formula" ni Richard Feynman... Noong 1988, magazine readers Mathematics Intelligencer sa boto ay tinawag nila itong "pinakamagandang mathematical formula sa lahat ng panahon."
Ang resulta ng Formula ni Euler ay ang Formula ni Moivre.
Bilang karagdagan, binuo ni Euler ang teorya ng mga espesyal na transendental na function sa pamamagitan ng pagpapakilala ng gamma function at ipinakilala ang mga bagong pamamaraan para sa paglutas ng mga fourth-degree na equation. Nakahanap din siya ng paraan upang suriin ang mga integral na may mga kumplikadong limitasyon, bago ang pagbuo ng modernong kumplikadong pagsusuri, at sinimulan ang calculus ng mga pagkakaiba-iba, kabilang ang kanyang sikat na resulta, ang Euler-Lagrange equation.
Pinangunahan din ni Euler ang paggamit ng mga analytical na pamamaraan upang malutas ang mga problema sa teorya ng numero. Sa ganitong paraan, pinag-isa niya ang dalawang magkaibang larangan ng matematika at ipinakilala ang isang bagong larangan ng pag-aaral, ang analytic number theory. Ang simula ay ang paglikha ni Euler ng teorya ng hypergeometric series, Q-Series, hyperbolic trigonometriko function at ang analytic theory ng generalized fractions. Halimbawa, pinatunayan niya ang infinity ng prime numbers gamit ang harmonic series disagreement, at gumamit ng mga paraan ng pagsusuri para malaman ang tungkol sa distribution ng prime numbers. Ang gawain ni Euler sa lugar na ito ay humantong sa paglitaw ng theorem sa pamamahagi ng mga prime number.
Teorya ng numero
Ang interes ni Euler sa teorya ng numero ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng impluwensya ni Christian Goldbach, pangalawa mula sa St. Petersburg Academy. marami maagang mga gawa Ang teorya ng mga numero ni Euler ay batay sa gawain ni Pierre Fermat. Binuo ni Euler ang ilan sa mga ideya ni Fermat, at pinabulaanan ang ilan sa kanyang mga pagpapalagay.
Ikinonekta ni Euler ang katangian ng pamamahagi ng mga prime number sa mga ideya sa pagsusuri. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng inverses ng prime numbers ay divergent. Sa ganitong paraan natuklasan niya ang koneksyon sa pagitan ng Riemann zeta function at prime numbers, isang resulta na kilala bilang "Euler's identity in number theory".
Pinatunayan ni Euler ang mga pagkakakilanlan ni Newton, ang maliit na teorama ni Fermat, ang teorama ni Fermat sa mga kabuuan ng dalawang parisukat, at gumawa ng makabuluhang kontribusyon sa teorama ni Lagrange sa apat na parisukat. Siya rin ang nag-imbento ng Euler function? (N), katumbas ng bilang mga positibong numero, hindi lalampas sa natural N at kung saan ay medyo prime sa N. Gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, ginawang pangkalahatan niya ang maliit na teorama ni Fermat sa tinatawag ngayong teorem ni Euler. Gumawa siya ng makabuluhang kontribusyon sa teorya ng perpektong mga numero, na nabighani sa mga mathematician mula pa noong panahon ni Euclid. Si Euler ay gumawa din ng progreso patungo sa prime number distribution theorem at iminungkahi ang quadratic reciprocity hypothesis. Ang dalawang konseptong ito ay itinuturing na pangunahing teorema ng teorya ng numero, at ang kanyang mga ideya ay nagbigay daan para sa gawain ni Gauss.
Bago ang 1772, pinatunayan ni Euler na ang 2 31 – 1 = 2147483647 ay isang numero ng Mersenne. Malamang na ang numerong ito ang pinakamalaking kilalang prime number bago ang 1867.
Teorya ng graph
Noong 1736, nilutas ni Euler ang problemang kilala bilang Seven Bridges of Königsberg. Ang lungsod ng Königsberg (ngayon Kaliningrad) sa Prussia ay matatagpuan sa Pregolya River at may kasamang dalawang malalaking isla na konektado sa isa't isa at sa mainland sa pamamagitan ng pitong tulay. Ang problema ay makakahanap ka ng landas na dumadaan sa bawat tulay nang eksaktong isang beses at babalik sa panimulang punto. Ang sagot ay hindi: walang Euler cycle. Ang pahayag na ito ay itinuturing na unang teorama ng teorya ng graph, lalo na sa teorya ng mga planar graph.
Pinatunayan din ni Euler ang formula V – E + F= 2, na nag-uugnay sa bilang ng mga vertices, mga gilid at mga mukha ng isang convex polyhedron, at samakatuwid ay mga planar graph (para sa mga planar graph V – E + F= 1). Ang kaliwang bahagi ng formula, na kilala ngayon bilang Euler na katangian ng isang graph (o iba pang mathematical object), ay nauugnay sa konsepto ng genus ng isang surface.
Ang pag-aaral at paglalahat ng formula na ito, lalo na nina Cauchy at L'Huillier, ay ang mga simula ng topology.
Applied Mathematics
Kabilang sa mga pinakadakilang tagumpay ni Euler ay ang mga analytical na solusyon ng mga praktikal na problema, ang paglalarawan ng maraming aplikasyon ng mga numero ng Bernoulli, serye ng Fourier, Venn diagram (kilala rin bilang Euler circles), Mga numero ng Euler, constants e at?, patuloy na mga fraction at integral.
Pinagsama niya ang differential calculus ni Leibniz sa paraan ng fluxions ni Newton, at lumikha ng mga tool na nagpadali sa aplikasyon ng pagsusuri sa mga pisikal na problema. Gumawa siya ng mahusay na mga hakbang sa pagpapabuti ng numerical approximation ng mga integral, na nag-imbento ng kilala ngayon bilang Euler's method at ang Euler-Maclaurin formula. Isinulong din niya ang paggamit ng mga differential equation, lalo na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng Euler-Mascheroni constant:

Ang isa sa mga hindi pangkaraniwang interes ni Euler ay ang paggamit ng mga ideya sa matematika sa musika. Noong 1739 siya ay sumulat Tentamen novae theoriae musicae, umaasa na sa wakas ay isama ang teorya ng musika sa matematika. Ang bahaging ito ng kanyang trabaho, gayunpaman, ay hindi nakatanggap malawak na atensyon at minsang tinawag na "masyadong mathematical para sa mga musikero at napakamusika para sa mga mathematician."
Physics
Si Leonhard Euler ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng mekanika, lalo na sa paglutas ng problema ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Ang diskarte ni Euler ay nauugnay sa mga konsepto ng Euler angles at Euler kinematic equation. Noong 1757, inilathala ni Euler ang kanyang memoir na "Principes generaux du mouvement des fluides" ( Pangkalahatang mga prinsipyo fluid motion), kung saan isinulat niya ang mga equation ng motion ng isang incompressible ideal fluid, na tinatawag na Euler's equation. Ang resulta ng trabaho sa problema ng deformation ng beam sa panahon ng paglo-load ay ang mga equation ng Euler-Bernoulli, na kasunod na natagpuan ang aplikasyon sa agham ng engineering, lalo na sa disenyo ng mga tulay.
Nagtrabaho si Euler sa mga pangkalahatang problema ng mekanika, na binuo ang prinsipyo ng Maupertuis. Ang mga equation ng Lagrangian mechanics ay madalas na tinatawag na Euler-Lagrange equation.
Inilapat ni Euler ang mga binuong pamamaraan ng matematika upang malutas ang mga problema ng celestial mechanics. Ang kanyang trabaho sa lugar na ito ay nakatanggap ng ilang mga parangal mula sa Paris Academy of Sciences. Kabilang sa kanyang mga nagawa ay ang pagtukoy nang may mahusay na katumpakan sa mga orbit ng mga kometa at iba pang mga celestial na katawan, na nagpapaliwanag sa likas na katangian ng mga kometa, at pagkalkula ng paralaks ng Araw. Ang mga kalkulasyon ni Euler ay gumawa ng malaking kontribusyon sa pagbuo ng tumpak na mga talahanayan ng latitude.
Mahalaga para sa kanyang oras ay Euler's kontribusyon sa optika. Tinanggihan niya ang noo'y nangingibabaw na teorya ng liwanag ni Newton. Ang gawain ni Euler sa buong 1740s ay nakatulong sa pagtatatag ng teorya ng alon ng liwanag ni Christian Huygens.
Astronomiya
Karamihan sa mga astronomical na gawa ni Euler ay nakatuon sa mga isyu ng celestial mechanics na may kaugnayan sa oras na iyon, pati na rin ang spherical, praktikal at nautical na astronomiya, ang teorya ng tides, ang teorya ng astronomical na klima, ang repraksyon ng liwanag sa atmospera ng mundo, paralaks at aberasyon, at ang pag-ikot ng Earth. Sa larangan ng celestial mechanics, gumawa si Euler ng makabuluhang kontribusyon sa teorya ng perturbed motion. Noong 1746, kinakalkula niya ang mga pagganyak ng Buwan at inilathala ang mga talahanayan ng buwan. Kasabay nina A.K. Clairaut at J.L.D "Alembert at hiwalay sa kanila, binuo ni Euler ang mga pangkalahatang teorya ng paggalaw ng Buwan, kung saan siya ay pinag-aralan ng mahusay. mataas na katumpakan. Ang unang teorya, na inilapat ang paraan ng pagpapalawak ng nais na mga coordinate sa serye sa mga kapangyarihan ng maliliit na mga parameter at nagbigay ng isang bahagyang pag-unlad ng analytical na pamamaraan ng iba't ibang mga elemento ng orbital, ay inilathala noong 1753. Ang teoryang ito ay ginamit ni T. I. Mayer sa pag-compile ng mataas na- mga talahanayan ng katumpakan ng paggalaw ng Buwan. Ang isang perpektong teorya ng analitikal, kung saan ibinibigay ang numerical development ng pamamaraan at kinakalkula ang mga talahanayan, ay itinakda sa isang akdang inilathala sa St. Petersburg noong 1772 sa Latin. Ang pinaikling pagsasalin nito sa Ruso sa ilalim ng pamagat na "Bagong Teorya ng Paggalaw ng Buwan" ay isinagawa ni A. N. Krylov at inilathala noong 1934. Ang mga pamamaraan ng computational na iminungkahi ni Euler upang makakuha ng tumpak na mga ephemerides ng Buwan at mga planeta, lalo na ang rectangular coordinate ang mga palakol na ipinakilala niya, ay malawakang ginamit ni J.W Gill. Ayon kay M. F. Subbotin, naging isa sila sa pinakamahalagang mapagkukunan ng karagdagang pag-unlad sa lahat ng celestial mechanics. Ang malawak na posibilidad para sa paggamit ng mga pamamaraang ito ay lumitaw sa pagdating ng mga computer. Modernong tumpak at kumpletong teorya Ang paggalaw ng buwan ay nilikha noong 1895-1908 ni E. V. Brown. Ang gawain nina Euler at Gill ay nagbunga ng pangkalahatang teorya ng nonlinear oscillations, na gumaganap ng mahalagang papel sa modernong agham at teknolohiya.
Ang akda ni Euler na "On the Improvement of the Objective Glass of Telescopes" (1747) ay mahalaga para sa astronomy, kung saan ipinakita niya na sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang lente ng salamin na may iba't ibang repraktibo na kapangyarihan, ang isang achromatic lens ay maaaring malikha. Naimpluwensyahan ng gawa ni Euler, ang unang lens ng ganitong uri ay ginawa ng English optician na si J. Dollond noong 1758.

Si Leonhard Euler ay isa sa pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras - siya ay nakikilala sa pamamagitan ng isang hindi mapigil na pagkauhaw para sa kaalaman at hindi mapigilan na enerhiya. Maraming mga klasikal na teorema sa lahat ng larangan ng matematika ang ipinangalan sa kanya.

Si Leonhard Euler ay ipinanganak sa lungsod ng Basel sa Switzerland noong Abril 15, 1707. Si Paul Euler, ang ama ng bata, ay isang pastor at pinangarap ng kanyang anak na sumunod sa kanyang mga yapak. Mula sa mga unang taon ng kanyang buhay, tinuruan niya si Leonard ng lahat ng uri ng agham, na gustong itanim sa kanya ang pagkauhaw sa bagong kaalaman. Nagpakita si Euler ng isang espesyal na talento para sa mga bagay na katumpakan, at ang kanyang ama ay agad na nagsimulang bumuo ng kanyang mga kakayahan. Si Paul mismo ay nagtalaga ng halos lahat ng kanyang libreng oras sa matematika, at sa kanyang kabataan ay dumalo pa siya sa mga aralin ng sikat na Jacob Bernoulli.

Ang home schooling ay naging matatag na pundasyon para sa karagdagang edukasyon ng batang lalaki. Nang makapasok siya sa gymnasium ng Basel, lahat ng mga paksa ay ibinigay sa kanya nang may pambihirang kadalian. Gayunpaman, ang antas ng pagtuturo sa mataas na paaralan ay nag-iwan ng maraming nais, at si Euler ay nagsimulang maghanap ng mga bagong pagkakataon upang makakuha ng kaalaman. Sa edad na 13, pumasok si Leonard sa Unibersidad ng Basel sa Faculty of Liberal Arts. Ito ay kung paano siya nagtatapos sa pagdalo sa mga lektura sa matematika ng nakababatang kapatid ni Jacob Bernoulli, si Johann.

Napansin ng propesor ang isang may kakayahang mag-aaral at nagtalaga kay Euler ng mga indibidwal na aralin. Sa ilalim ng sensitibong patnubay ni Bernoulli, nakikilala ng batang lalaki ang mga pinaka-kumplikadong gawa ng mga dakilang mathematician, natututong maunawaan at pag-aralan ang mga ito. Ang pamamaraang ito sa pag-aaral ay nagbigay-daan kay Leonard na makatanggap ng kanyang unang akademikong degree sa edad na 16, nang siya ay makapagsagawa paghahambing na pagsusuri mga gawa nina Descartes at Newton. Kaya naging Master of Arts si Euler.

Matapos makapagtapos sa unibersidad, muling namagitan si Paul sa pag-aaral ng kanyang anak. Dahil kumbinsido na magiging pari si Leonard, pinilit siya ng kanyang ama na mag-aral ng mga wika: Hebrew at Greek. Hindi nakamit ni Euler ang maraming tagumpay, kaya kinailangan ng kanyang ama na tanggapin ang kanyang pagkahilig sa matematika. Gayunpaman, ang 17-taong-gulang na batang lalaki ay hindi makahanap ng trabaho sa kanyang espesyalidad - lahat ng mga lugar sa unibersidad ay puno. Patuloy siyang bumisita sa bahay ni Propesor Bernoulli at nagkakaroon ng malapit na pakikipagkaibigan sa kanyang mga anak na lalaki: sina Daniel at Nikolai.

Noong 1727, kasunod ng magkakapatid na Bernoulli, umalis ang siyentipiko patungong St. Petersburg. Dito si Euler ay naging pandagdag ng mas mataas na matematika. Noong 1730, inalok si Leonhard Euler na pamunuan ang departamento ng pisika, at noong Enero 1731 siya ay naging propesor. Mula noong 1733, sa ilalim ng kanyang pamumuno ay mayroon nang departamento ng mas mataas na matematika. Sa loob ng 14 na taon na ginugol niya sa St. Petersburg, naglathala siya ng mga gawa sa haydrolika, nabigasyon, mekanika, kartograpya at, siyempre, matematika. Sa kabuuan, mayroon siyang higit sa 70 siyentipikong papel. Sa Kanluran, tiyak na kinikilala si Euler bilang isang siyentipikong Ruso. Ang Swiss roots ni Leonard ay nagpapaalala sa kanilang sarili lamang sa kanyang personal na buhay - nagpakasal siya sa isang Swiss na babae, si Katerina Gsell.

Ang St. Petersburg Academy of Sciences noong panahong iyon ay maaaring magyabang ng isang natatanging kawani ng pagtuturo. Ang mga sikat na siyentipiko tulad nina J. Herman, D. Bernoulli, H. Goldbach at marami pang iba ay nagtuturo at nagsasagawa ng mga aktibidad na pang-agham dito. Ang nasabing kumpanya ay nagpapahintulot kay Euler na pumunta nang malalim hangga't maaari sa kanyang pananaliksik, at ang siyentipiko ay naglalathala ng higit at higit pang mga bagong gawa sa mga publikasyon ng Academy. Ang pinakamahalaga sa kanila ay ang dalawang-volume na "Mechanics".

Si Frederick II, bilang Hari ng Prussia, ay nagpasya na buksan ang Berlin Academy batay sa Society of Sciences. Inaanyayahan niya si Euler na magtrabaho sa Berlin para sa isang napaka kanais-nais na mga kondisyon. Noong 1841, nagpasya ang siyentipiko na lumipat, gayunpaman, pinanatili niya ang aktibong pakikipag-ugnayan sa mga siyentipikong Ruso, lalo na kay Lomonosov. Sa Berlin, nakilala ni Leonard Euler ang Pangulo ng Academy of Sciences, Moreau de Maupertuis, at talagang naging kanyang kinatawan - madalas na may sakit si Moreau, at tinutupad ni Euler ang kanyang mga tungkulin.

Sa Germany, patuloy na nagtatrabaho ang siyentipiko sa larangan ng teorya ng numero, pagsusuri sa matematika at calculus ng mga pagkakaiba-iba, at nag-aaplay ng bagong diskarte sa pag-aaral ng geometry. Ang resulta ng pananaliksik ni Euler ay isang bagong agham - topology. Kasabay nito, ang paggawa ng barko at celestial mechanics ay nahulog sa larangan ng interes ni Leonard. Sa huli, nakamit niya ang walang uliran na tagumpay - lumikha siya ng isang teorya ng paggalaw ng Buwan, na isinasaalang-alang ang gravity ng Araw.

Hindi kailanman natanggap ni Euler ang pinakahihintay na post ng Pangulo ng Academy, na naging isa sa mga pangunahing dahilan ng kanyang pagbabalik sa St. Dito siya ay mainit na tinanggap ng patroness ng agham mismo, si Catherine II. Ang siyentipiko ay masigasig na nagsimulang magtrabaho para sa kapakinabangan ng Russia.

Ang edad ay tumatagal, at sa edad na 60, si Euler ay halos nawalan ng paningin, gayunpaman, hindi niya pinipigilan ang kanyang aktibidad sa siyensya. Pagkabalik, nagawa niyang maglathala ng 200 sanaysay sa iba't ibang larangan ng agham.

Ang unang asawa ni Leonard ay namatay sa lalong madaling panahon pagkatapos ng paglipat at, makalipas ang ilang taon, pinakasalan siya ng siyentipiko. sarili kong kapatid Salome-Abigail Gsell. Ang kanyang mga anak ay tumatanggap ng pagkamamamayan ng Russia.

Lubos na pinahahalagahan ng gobyerno ang mga nagawa ng siyentipiko at ang kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng agham. Kahit na matapos itigil ang kanyang mga gawaing pang-agham, si Euler at ang kanyang pamilya ay ganap na nabigyan ng lahat ng kailangan nila sa gastos ng estado. Namatay si Leonhard Euler noong 1783 sa St. Petersburg sa edad na 75. Sa panahong ito, mayroon na siyang 5 anak at 26 na apo. Nag-iwan siya ng 800 artikulong pang-agham at 72 tomo na nakatuon sa iba't ibang larangan ng agham.

Sa panahon ng kanyang pang-agham na karera, itinatag ni Leonhard Euler ang teorya ng mga function na may mga kumplikadong variable, ordinaryong differential equation, at partial differential equation. Naging pioneer siya sa calculus ng variations at topology, at naglapat ng mga bagong paraan ng pagsasama. Maraming theorems ng algebra at number theory, na kalaunan ay naging classical, ay ipinangalan sa kanya.

Gamit ang mga resulta ng Stirling at Newton, natuklasan ni Euler noong 1732 (kasabay ng McLaren) ang pangkalahatang batas ng pagbubuod. Sa madaling salita, ipinahayag niya ang partial sum, integral at derivative ng isang walang katapusang serye sn= ∑ u (k) sa pamamagitan ng isang serye na may mga karaniwang terminong u (n). Iniimbestigahan ang data na nakuha, pati na rin ang ratio ng Bernoulli na mga numero B2n+2:B2n, natukoy ni Euler na seryeng ito- divergent, gayunpaman, nagawang kalkulahin ang tinatayang halaga nito. Upang gawin ito, ginamit ng siyentipiko ang kabuuan ng lahat ng mga termino ng serye na bumababa. Ang pagtuklas na ito ay humantong sa konsepto ng isang asymptotic na serye, kung saan maraming sikat na mathematician ang nagtalaga ng kanilang mga gawa. Kabilang sa mga ito ay Laplace, Legendre, Lagrange, Poisson at Cauchy. Ang pormula ng Euler-McLaren ay naging batayan ng teorya ng finite difference.

Nabighani sa gawa ni d'Alembert, nagsimulang mag-aral si Euler ng string theory. Sa kanyang artikulong "On the Vibration of a String," natuklasan ng siyentipiko pangkalahatang solusyon mga equation ng vibration, na ginagawang zero ang paunang bilis. Mayroon itong anyo na y = φ (x + at) + ψ (x - at), kung saan ang a ay pare-pareho, at kaunti ang pagkakaiba sa solusyon ni d'Alembert. Gayunpaman, noong 1766, natagpuan din ni Euler ang kanyang sariling pamamaraan, na sa kalaunan ay isasama sa kanyang "Integral Calculus" (1770) Upang gawin ito, ipinakilala niya ang mga bagong coordinate, na nagdala ng equation sa isang mas simpleng anyo para sa pagsasama: u = x + sa, v = x - sa. Sa modernong mga aklat-aralin sa differential equation ang naturang mga coordinate ay tinatawag na katangian at malawakang ginagamit para sa iba't ibang uri ng mga kalkulasyon.

Isa sa mga pangunahing natuklasan ni Euler ay ang pormula na ipinangalan sa kanya. Sinasabi nito na para sa anumang tunay na x ang pagkakapantay-pantay eix = cosx + isinx ay totoo (i ay ang haka-haka na yunit, e ang batayan ng natural na logarithm). Kaya, ikinonekta ng siyentipiko ang trigonometric function at ang complex exponential. Ang formula ay nai-publish sa aklat na "Introduction to the Analysis of Infinitesimals" (1748). Sa pagpapatuloy ng kanyang pananaliksik sa lugar na ito, nakuha ni Euler ang isang exponential form ng isang kumplikadong numero ng form na z = reiφ.

Bilang karagdagan, makabuluhang pinasimple at pinaikli niya ang mga notasyon sa matematika - ipinakilala niya ang mga notasyon para sa mga function ng trigonometriko: tg x, ctg x, sec x, cosec x at siya ang unang nag-isip sa mga ito bilang mga function ng isang numerical argument, na naging batayan ng modernong trigonometrya. .

Tulad ng sinabi ni Laplace sa kalaunan, lahat ng mga matematiko noong ika-18 siglo ay nag-aral kay Euler. Gayunpaman, kahit ilang siglo na ang lumipas, ang kanyang mga pamamaraan sa matematika ay ginagamit sa maritime affairs, ballistics, optika, teorya ng musika at insurance.