Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:

1. Seštevanje ulomkov z enaki imenovalci
2. Seštevanje ulomkov z različne imenovalce

Najprej se naučimo seštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2. Seštejte ulomke in.

Odgovor ni bil pravi ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru cel del zlahka izstopa - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer je zlahka razumljiv, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate še pico, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.

Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Seštejmo ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej razdelite LCM z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:

Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:

S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec, dobili smo ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).

Upoštevajte, da smo opisali ta primer preveč podrobno. IN izobraževalne ustanove Ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:

A obstaja tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
4. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgoraj navedena navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del

Izkazalo se je, da je naš odgovor nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:

Dobili smo odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
2. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite pomen izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:

Dobili smo odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.

Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10

Dobili smo odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite pomnožiti ulomek s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.

Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Posnetek je mogoče razumeti kot pol 1 časa. Na primer, če enkrat vzameš pico, jo dobiš

Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici

In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:

En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o približno enako velika pica. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupni delilnik(GCD) številki 105 in 450.

Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", to pa je, kot vemo, enako pet:

Vzajemna števila

Zdaj se bomo seznanili z zelo zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki ga pomnožimo sa daje eno.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, ki ga pomnožimo s 5 daje eno.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, samo na glavo:

Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzno število 5 število , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.

Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemna števila vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s

Navadna ulomna števila se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba obravnavati ali uporabljati predmet ne kot celoto, temveč v ločenih delih. Začnite preučevati to temo - delnice. Deleži so enaki, na katerega je razdeljen ta ali oni predmet. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; upoštevati je treba dele ali ulomke neke mere. Beseda "frakcija", ki je nastala iz glagola "razdeliti" - razdeliti na dele in ima arabske korenine, se je v ruskem jeziku pojavila v 8. stoletju.

Ulomki so dolgo veljali za najtežjo vejo matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali »zlomljena števila«, kar je bilo ljudem zelo težko razumljivo.

Moderen videz preproste ulomke, katerih deli so ločeni z vodoravno črto, je prvi promoviral Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegova dela so datirana v leto 1202. Toda namen tega članka je bralcu preprosto in jasno razložiti, kako se množijo mešani ulomki z različnimi imenovalci.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Na začetku je vredno določiti vrste ulomkov:

• pravilno;
• nepravilno;
• mešano.

Nato se morate spomniti, kako se množijo delna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja enostavni ulomki z enakima imenovalcema je ulomkov izraz, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev teh ulomkov. To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.

Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Edina razlika je v tem, da bo dobljeno število pod ulomkovo zmnožek različnih števil in seveda kvadrat enega številski izraz nemogoče ga je poimenovati.

Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo metode za zmanjševanje ulomkov. Števec lahko zmanjšate samo s števili imenovalca; sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo črto ni mogoče zmanjšati.

Skupaj s preprostimi ulomki obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

Za razmislek je na voljo več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko pravilo za to dejanje zapišemo kot:

a* b/c = a*b /c.

Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih delnih ostankov, število členov pa to kaže naravno število. Poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena rešitev za množenje števila z ulomkom. Samo imenovalec morate deliti s tem številom:

d* e/f = e/f: d.

Ta tehnika je uporabna za uporabo, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, s celim številom.

Mešana števila pretvorimo v neprave ulomke in dobimo zmnožek na prej opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka kot nepravilnega ulomka in ga je mogoče predstaviti tudi kot splošno formulo:

a bc = a*b+ c / c, kjer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se cel del pomnoži z imenovalcem in sešteje s števcem prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje tudi v hrbtna stran. Če želite ločiti cel del in delni ostanek, morate števec nepravilnega ulomka razdeliti na njegov imenovalec s pomočjo "kota".

Množenje nepravilnih ulomkov proizvedeno na splošno sprejet način. Ko pišete pod eno ulomkovo črto, morate ulomke po potrebi zmanjšati, da s to metodo zmanjšate števila in olajšate izračun rezultata.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje še tako zapletenih matematičnih problemov razne variacije programi. Zadostna količina takšne storitve ponujajo pomoč pri štetju množenja ulomkov različne številke v imenovalcih – tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste računske operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Z njim je enostavno delati; izpolnite ustrezna polja na strani spletnega mesta in izberite znak matematična operacija in kliknite »izračunaj«. Program izračuna samodejno.

Tematika računskih operacij z ulomki je aktualna skozi celotno izobraževanje srednješolcev in srednješolcev. V srednji šoli ne obravnavajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračunih, pridobljenih prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro osvojeno osnovno znanje daje popolno zaupanje v uspešna odločitev večina kompleksne naloge.

Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Nikolajeviča Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Človek ni v moči, da poveča svoj števec - svoje zasluge -, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.

) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Deljenje ulomkov z naravnimi števili.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
• množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
• zmanjšati delež;
• Če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.

Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravih ulomkov, nato pa pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadni ulomek na številko.

Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.

Iz zgornjega primera je razvidno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnadstropni ulomki.

V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:

Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Opomba, Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.

2. Pri nalogah z različni tipi ulomki - pojdite v obliko navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.

5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje ulomkov«). Najtežji del teh dejanj je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo preprostejše od seštevanja in odštevanja. Najprej si oglejmo najpreprostejši primer, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim ulomkom.

Oznaka:

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "obrniti" ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo skozi lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšljiv ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se po vseh zmanjšanjih izkaže, da ulomek ni pravilen, je treba poudariti cel del. Toda tisto, kar se pri množenju zagotovo ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največji faktorji in najmanjši skupni večkratniki.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celimi deli in negativnimi ulomki

Če ulomki vsebujejo celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko izločimo iz množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus z minusom daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej so se s temi pravili srečevali le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za delo jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več pomanjkljivosti hkrati:

1. Negative prečrtamo v parih, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnih primerih lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga vzamemo iz meja množenja. Rezultat je negativen ulomek.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Vse ulomke pretvorimo v neprave, nato pa iz množenja odstranimo minuse. Kar ostane, pomnožimo po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus, ki se pojavi pred ulomkom s poudarjenim celim delom, nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov cel del (to velja za zadnja dva primera).

Upoštevajte tudi negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov množenja in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo delovno intenzivna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev težave lahko poskusite ulomek še zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na njihovem mestu ostanejo enote, ki jih na splošno ni treba pisati. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike nikoli ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Do napake pride, ker pri seštevanju števec ulomka ustvari vsoto in ne produkt števil. Posledično je nemogoče uporabiti osnovno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.

Drugih razlogov za zmanjševanje ulomkov preprosto ni, torej pravilna rešitev prejšnja naloga izgleda takole:

Pravilna rešitev:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

T vrsta lekcije: ONZ (odkrivanje novih znanj – uporaba tehnologije dejavnosti poučevanja).

Osnovni cilji:

1. Izvedeti načine za deljenje ulomka z naravnim številom;
2. Razviti sposobnost deljenja ulomka z naravnim številom;
3. Ponovi in ​​utrdi deljenje ulomkov;
4. Urijo sposobnost zmanjševanja ulomkov, analiziranja in reševanja problemov.

Material za predstavitev opreme:

1. Naloge za obnavljanje znanja:

Primerjaj izraze:

Referenca:

2. Poskusna (individualna) naloga.

1. Izvedite delitev:

2. Izvedite deljenje, ne da bi opravili celotno verigo izračunov: .

Standardi:

• Ko delite ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožite s tem številom, števec pa pustite enak.

• Če je števec deljiv z naravnim številom, potem lahko pri deljenju ulomka s tem številom števec delite s številom in pustite imenovalec enak.

Med poukom

I. Motivacija (samoodločba) za izobraževalne dejavnosti.

Namen odra:

1. Organizirati posodobitev zahtev za študenta v smislu izobraževalnih dejavnosti (»mora«);
2. Organizirati dejavnosti študentov za vzpostavitev tematskih okvirov (»Lahko«);
3. Ustvarite pogoje, da učenec razvije notranjo potrebo po vključevanju v izobraževalne dejavnosti (»želim«).

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji I.

Zdravo! Vesel sem, da vas vse vidim pri uri matematike. Upam, da je obojestransko.

Fantje, kakšno novo znanje ste pridobili v zadnji lekciji? (Deli ulomke).

Prav. Kaj vam pomaga pri deljenju ulomkov? (Pravilo, lastnosti).

Kje potrebujemo to znanje? (V primerih, enačbah, nalogah).

Dobro opravljeno! Naloge v zadnji lekciji ste dobro opravili. Želiš danes sam odkriti nova znanja? (da).

Potem pa - gremo! In moto lekcije bo izjava: "Matematike se ne moreš naučiti tako, da gledaš svojega soseda, kako to počne!"

II. Posodabljanje znanja in odpravljanje individualnih težav v poskusni akciji.

Namen odra:

1. Organizirajte posodabljanje naučenih metod delovanja, ki zadostujejo za izgradnjo novega znanja. Zapišite te metode verbalno (v govoru) in simbolno (standard) ter jih posplošite;
2. Organizirati aktualizacijo miselnih operacij in kognitivnih procesov, ki zadostujejo za konstruiranje novega znanja;
3. Motivirati za poskusno dejanje in njegovo samostojno izvedbo ter utemeljitev;
4. Predstavite posamezno nalogo za poskusno akcijo in jo analizirajte, da prepoznate novo izobraževalne vsebine;
5. Organizirajte fiksacijo izobraževalnega cilja in teme lekcije;
6. Organizirati izvedbo poskusne akcije in odpraviti težavo;
7. Organizirajte analizo prejetih odgovorov in zabeležite posamezne težave pri izvajanju poskusne akcije ali utemeljitvi le-te.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji II.

Frontalno s pomočjo tablic (individualne table).

1. Primerjaj izraze:

(Ti izrazi so enaki)

Kaj zanimivega ste opazili? (Števec in imenovalec dividende, števec in imenovalec delitelja v vsakem izrazu sta povečana za enako število krat. Tako so dividende in delitelji v izrazih predstavljeni z medsebojno enakimi ulomki).

Poiščite pomen izraza in ga zapišite na tablico. (2)

Kako lahko to število zapišem kot ulomek?

Kako ste izvedli dejanje delitve? (Otroci recitirajo pravilo, učitelj ga obesi na tablo črkovne oznake)

2. Izračunajte in zabeležite samo rezultate:

3. Seštejte rezultate in zapišite odgovor. (2)

Kako se imenuje število, dobljeno v 3. nalogi? (Naravno)

Ali menite, da lahko ulomek delite z naravnim številom? (Da, poskusili bomo)

Poskusite to.

4. Individualna (poskusna) naloga.

Izvedite deljenje: (samo primer a)

Katero pravilo ste uporabili za delitev? (Po pravilu deljenja ulomkov z ulomki)

Zdaj delite ulomek z naravnim številom, večjim od na preprost način, brez izvedbe celotne verige izračunov: (primer b). Dam ti 3 sekunde za to.

Kdo ni mogel opraviti naloge v 3 sekundah?

Kdo je to naredil? (Takšnih ni)

Zakaj? (Ne poznamo poti)

Kaj si dobil? (Težavnost)

Kaj mislite, kaj bomo počeli v razredu? (Deli ulomke z naravnimi števili)

Tako je, odprite zvezke in zapišite temo lekcije: “Deljenje ulomka z naravnim številom.”

Zakaj se ta tema zdi nova, ko pa že veste, kako deliti ulomke? (Potrebujem nov način)

Prav. Danes bomo vzpostavili tehniko, ki poenostavlja deljenje ulomka z naravnim številom.

III. Identifikacija lokacije in vzroka težave.

Namen odra:

1. Organizirati obnovo izvedenih operacij in zabeležiti (besedno in simbolično) mesto – korak, operacijo – kjer je nastala težava;
2. Organizirajte korelacijo študentskih dejanj z uporabljeno metodo (algoritmom) in zapisom zunanji govor razlogi za težavo - tista specifična znanja, veščine ali sposobnosti, ki manjkajo za rešitev začetnega problema te vrste.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji III.

Katero nalogo ste morali opraviti? (Deli ulomek z naravnim številom, ne da bi šel skozi celotno verigo izračunov)

Kaj vam je povzročalo težave? (Nisem se mogel odločiti za kratek čas hiter način)

Kakšen cilj si zastavimo v lekciji? (Najti hiter način deljenje ulomka z naravnim številom)

Kaj vam bo pomagalo? (Že znano pravilo za deljenje ulomkov)

IV. Gradnja projekta za izhod iz težave.

Namen odra:

1. Pojasnitev cilja projekta;
2. Izbira metode (razjasnitev);
3. Določitev srednjih vrednosti (algoritem);
4. Izdelava načrta za dosego cilja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IV.

Vrnimo se k testni nalogi. Rekli ste, da ste delili po pravilu za deljenje ulomkov? (da)

Če želite to narediti, nadomestite naravno število z ulomkom? (da)

Kateri korak (ali korake) je po vašem mnenju mogoče preskočiti?

(Veriga rešitev je odprta na tabli:

Analizirajte in naredite zaključek. (Korak 1)

Če odgovora ni, vas vodimo skozi vprašanja:

Kam je izginil naravni delilnik? (V imenovalec)

Ali se je števec spremenil? (ne)

Kateri korak torej lahko "izpustite"? (Korak 1)

Akcijski načrt:

• Pomnožite imenovalec ulomka z naravnim številom.
• Števnika ne spreminjamo.
• Dobimo nov ulomek.

V. Izvedba izdelanega projekta.

Namen odra:

1. Organizirati komunikacijsko interakcijo za izvedbo izdelanega projekta, namenjenega pridobivanju manjkajočega znanja;
2. Organizirajte snemanje konstruirane metode dejanja v govoru in znakih (z uporabo standarda);
3. Organizirajte rešitev začetnega problema in zabeležite, kako premagati težavo;
4. Organizirajte razjasnitev splošne narave novega znanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji V.

Zdaj hitro zaženite testni primer na nov način.

Zdaj ste lahko hitro opravili nalogo? (da)

Pojasnite, kako ste to storili? (otroci govorijo)

To pomeni, da smo pridobili novo znanje: pravilo za deljenje ulomka z naravnim številom.

Dobro opravljeno! Povejte v parih.

Nato en učenec spregovori razredu. Pravilo-algoritem pritrdimo ustno in v obliki standarda na tablo.

Zdaj vnesite oznake črk in zapišite formulo za naše pravilo.

Učenec zapiše na tablo in pove pravilo: ko delimo ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožimo s tem številom, števec pa pustimo enak.

(Vsi si zapišejo formulo v zvezke).

Zdaj ponovno analizirajte verigo reševanja testne naloge, pri čemer bodite posebno pozorni na odgovor. Kaj si naredil? (Števec ulomka 15 smo delili (pomanjšali) s številom 3)

Kakšna je ta številka? (Naravno, delilec)

Kako drugače lahko delite ulomek z naravnim številom? (Preveri: če je števec ulomka deljiv s tem naravnim številom, potem lahko števec deliš s tem številom, rezultat zapišeš v števec novega ulomka, imenovalec pa pustiš enak)

Zapišite to metodo kot formulo. (Učenec med izgovarjanjem zapiše pravilo na tablo. Formulo si vsi zapišejo v zvezek.)

Vrnimo se k prvi metodi. Lahko ga uporabite, če a:n? (Da splošna metoda)

In kdaj je priročno uporabiti drugo metodo? (Ko števec ulomka delimo z naravnim številom brez ostanka)

VI. Primarna konsolidacija z izgovorjavo v zunanjem govoru.

Namen odra:

1. Organizirajte otrokovo asimilacijo nove metode delovanja pri reševanju standardnih problemov z njihovo izgovorjavo v zunanjem govoru (frontalno, v parih ali skupinah).

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VI.

Izračunajte na nov način:

• Št. 363 (a; d) - izvaja se na tabli, izgovarja pravilo.
• Št. 363 (e; f) - v parih s preverjanjem po vzorcu.

VII. Samostojno delo s samotestiranjem po standardu.

Namen odra:

1. Organizirati samostojno opravljanje nalog učencev za nov način delovanja;
2. Organizirati samotestiranje na podlagi primerjave s standardom;
3. Na podlagi rezultatov izvedbe samostojno delo organizirati razmislek o asimilaciji novega načina delovanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VII.

Izračunajte na nov način:

• št. 363 (b; c)

Učenci preverijo standard in ocenijo pravilnost izvedbe. Vzroke za napake analiziramo in napake odpravimo.

Učitelj vpraša tiste učence, ki so delali napake, kaj je razlog?

Na tej stopnji je pomembno, da vsak študent samostojno preveri svoje delo.

VIII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanje.

Namen odra:

1. Organizirati identifikacijo meja uporabe novega znanja;
2. Organizirajte ponavljanje izobraževalnih vsebin, potrebnih za zagotovitev smiselne kontinuitete.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VIII.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IX.

1. Dialog:

Fantje, katera nova znanja ste danes odkrili? (Naučili so se, kako na preprost način deliti ulomek z naravnim številom)

Oblikujte splošno metodo. (Pravijo)

Na kakšen način in v katerih primerih se lahko uporablja? (Pravijo)

Kakšna je prednost nove metode?

Ali smo dosegli cilj lekcije? (da)

Kakšno znanje ste uporabili za dosego cilja? (Pravijo)

Se vam je vse izšlo?

Kakšne so bile težave?

2. Domača naloga: klavzula 3.2.4.; št. 365(l, n, o, p); št. 370.

3. Učiteljica: Veseli me, da so bili danes vsi aktivni in so uspeli najti izhod iz stiske. In kar je najpomembneje, pri odpiranju in ustanavljanju novega niso bili sosedje. Hvala za lekcijo, otroci!