Razumejmo, kaj je zmanjševanje ulomkov, zakaj in kako zmanjševati ulomke ter podajte pravilo za zmanjševanje ulomkov in primere njegove uporabe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj je "zmanjševanje ulomkov"

Zmanjšati ulomek pomeni deliti njegov števec in imenovalec s skupnim faktorjem, ki je pozitiven in se razlikuje od ena.

Kot rezultat tega dejanja bo ulomek z novim števcem in imenovalcem enak prvotnemu ulomku.

Na primer, vzemimo navadni ulomek 6 24 in ga zmanjšajmo. Števec in imenovalec delite z 2, rezultat je 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. V tem primeru smo prvotni ulomek zmanjšali za 2.

Reduciranje ulomkov v nezmanjšano obliko

V prejšnjem primeru smo ulomek 6 24 zmanjšali za 2, kar je povzročilo ulomek 3 12. Preprosto je videti, da je ta delež mogoče še zmanjšati. Običajno je cilj zmanjševanja ulomkov, da na koncu dobimo nezmanjšljiv ulomek. Kako reducirati ulomek v nezmanjšano obliko?

To lahko storite tako, da števec in imenovalec zmanjšate za njun največji skupni faktor (GCD). Potem, po lastnini največjega skupni delilnik, bosta imela števec in imenovalec medsebojno praštevili, ulomek pa bo nezmanjšljiv.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Zmanjšanje ulomka v nezmanjšano obliko

Če želite ulomek reducirati na nezmanjšano obliko, morate njegov števec in imenovalec deliti z njunim gcd.

Vrnimo se k ulomku 6 24 iz prvega primera in ga pripeljemo v nezmanjšano obliko. Največji skupni delitelj števil 6 in 24 je 6. Zmanjšajmo ulomek:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Zmanjševanje ulomkov je priročno za uporabo, da ne delate z velikimi številkami. Na splošno velja neizrečeno pravilo v matematiki: če lahko poenostavite kateri koli izraz, potem morate to storiti. Zmanjšanje ulomka najpogosteje pomeni njegovo zmanjševanje na nezmanjšano obliko in ne preprosto zmanjševanje za skupni delitelj števca in imenovalca.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov

Če želite zmanjšati ulomke, si zapomnite pravilo, ki je sestavljeno iz dveh korakov.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1. Poiščite gcd števca in imenovalca.
2. Števec in imenovalec delite z njuno gcd.

Poglejmo praktične primere.

Primer 1. Zmanjšajmo ulomek.

Podan je ulomek 182 195. Skrajšajmo.

Poiščimo gcd števca in imenovalca. V ta namen v v tem primeru Najbolj priročno je uporabiti evklidski algoritem.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Števec in imenovalec delite s 13. Dobimo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

pripravljena Dobili smo nezmanjšani ulomek, ki je enak prvotnemu ulomku.

Kako drugače lahko zmanjšate ulomke? V nekaterih primerih je priročno razložiti števec in imenovalec na prafaktorje in nato odstraniti vse skupne faktorje iz zgornjega in spodnjega dela ulomka.

Primer 2. Zmanjšaj ulomek

Podan je ulomek 360 2940. Skrajšajmo.

Če želite to narediti, si zamislite prvotni ulomek v obliki:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Znebimo se skupnih faktorjev v števcu in imenovalcu, kar ima za posledico:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Za konec si poglejmo še en način zmanjševanja ulomkov. To je tako imenovana sekvenčna redukcija. S to metodo se redukcija izvaja v več fazah, v vsaki od katerih se ulomek zmanjša za nek očiten skupni faktor.

Primer 3. Zmanjšaj ulomek

Zmanjšajmo ulomek 2000 4400.

Takoj je jasno, da imata števec in imenovalec skupni faktor 100. Ulomek zmanjšamo za 100 in dobimo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Dobljeni rezultat ponovno zmanjšamo za 2 in dobimo nezmanjšani ulomek:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke, si najprej oglejmo primer.

Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z isto stvarjo. Tako 360 kot 420 se končata s števko, zato lahko ta ulomek zmanjšamo za 2. V novem ulomku sta tudi 180 in 210 deljiva z 2, zato ta ulomek zmanjšamo za 2. Pri številih 90 in 105 je vsota števk je deljivo s 3, torej sta obe števili deljivi s 3, ulomek zmanjšamo za 3. V novem ulomku se 30 in 35 končata na 0 in 5, kar pomeni, da sta obe števili deljivi s 5, zato zmanjšamo ulomek za 5. Dobljeni ulomek šest sedmin je nezmanjšljiv. To je končni odgovor.

Do istega odgovora lahko pridemo na drugačen način.

Tako 360 kot 420 se končata na nič, kar pomeni, da sta deljiva z 10. Ulomek zmanjšamo za 10. V novem ulomku sta tako števec 36 kot imenovalec 42 deljena z 2. Ulomek zmanjšamo za 2. naslednji ulomek tako števec 18 kot imenovalec 21 delimo s 3, kar pomeni, da ulomek zmanjšamo za 3. Prišli smo do rezultata - šest sedmin.

In še ena rešitev.

Naslednjič si bomo ogledali primere krajšanja ulomkov.

Spletni kalkulator deluje zmanjšanje algebrski ulomki v skladu s pravilom zmanjševanja ulomkov: zamenjava prvotnega ulomka z enakim ulomkom, vendar z manjšim števcem in imenovalcem, tj. Istočasno deljenje števca in imenovalca ulomka z njunim skupnim največjim skupnim faktorjem (GCD). Kalkulator prikaže tudi podrobno rešitev, ki vam bo pomagala razumeti zaporedje zmanjšanja.

podano:

rešitev:

Izvajanje zmanjševanja ulomkov

preverjanje možnosti izvedbe redukcije algebraičnega ulomka

1) Določitev največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka

določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca algebraičnega ulomka

2) Zmanjševanje števca in imenovalca ulomka

zmanjševanje števca in imenovalca algebraičnega ulomka

3) Izbira celega dela ulomka

ločevanje celega dela algebraičnega ulomka

4) Pretvarjanje algebraičnega ulomka v decimalni ulomek

pretvorbo algebraičnega ulomka v decimalno

Pomoč pri razvoju spletne strani projekta

Spoštovani obiskovalec spletnega mesta.
Če niste mogli najti, kar ste iskali, se prepričajte, da o tem napišete v komentarjih, kaj trenutno manjka na spletnem mestu. To nam bo pomagalo razumeti, v katero smer se moramo premakniti naprej, drugi obiskovalci pa bodo kmalu lahko prejeli potrebno gradivo.
Če se je spletno mesto izkazalo za uporabno, ga podarite projektu samo 2 ₽ in vedeli bomo, da gremo v pravo smer.

Hvala, da ste se ustavili!

I. Postopek za zmanjševanje algebraičnega ulomka s spletnim kalkulatorjem:

1. Če želite zmanjšati algebraični ulomek, v ustrezna polja vnesite vrednosti števca in imenovalca ulomka. Če je ulomek mešan, izpolnite tudi polje, ki ustreza celotnemu delu ulomka. Če je ulomek preprost, pustite polje celotnega dela prazno.
2. Če želite določiti negativni ulomek, postavite znak minus na cel del ulomka.
3. Odvisno od navedenega algebraičnega ulomka se samodejno izvede naslednje zaporedje dejanj:

• določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka;
• zmanjšanje števca in imenovalca ulomka za gcd;
• poudarjanje celega dela ulomka, če je števec končnega ulomka večji od imenovalca.
• pretvorbo končnega algebraičnega ulomka v decimalni ulomek zaokroženo na najbližjo stotino.

II. Za referenco:

Ulomek je število, sestavljeno iz enega ali več delov (ulomkov) enote. Navadni ulomek(prosti ulomek) je zapisan kot dve števili (števec ulomka in imenovalec ulomka), ločeni z vodoravno črto (ulomkovo črto), ki označuje znak deljenja. Števec ulomka je število nad ulomkovo črto. Števec prikazuje, koliko delnic je bilo odvzetih iz celote. Imenovalec ulomka je število pod ulomkovo črto. Imenovalec pove, na koliko enakih delov je razdeljena celota. Enostavni ulomek je ulomek, ki nima celega dela. Preprost ulomek je lahko pravilen ali nepravilen. pravi ulomek – ulomek, katerega števec je manjša od imenovalca, zato je pravi ulomek vedno manjši od ena. Primer pravilnih ulomkov: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravi ulomek je ulomek, pri katerem je števec večji ali enak imenovalcu, torej je nepravi ulomek vedno večji ali enak ena. Primer nepravilnih ulomkov: 7/6, 8/7, 13/13. mešani ulomek je število, ki vsebuje celo število in pravi ulomek ter označuje vsoto tega celega števila in pravega ulomka. Vsak mešani ulomek je mogoče pretvoriti v nepravi ulomek enostavni ulomek. Primer mešane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.

III. Opomba:

1. Blok izvornih podatkov je označen rumena , modro je označen blok vmesnih izračunov, blok rešitve je označen z zeleno.
2. Za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje navadnih ali mešanih ulomkov uporabite spletni kalkulator ulomkov s podrobno rešitvijo.

Mnogi učenci delajo enake napake pri delu z ulomki. In vse zato, ker pozabijo na osnovna pravila aritmetika. Danes bomo ta pravila ponovili posebne naloge ki jih podajam v svojih razredih.

Tukaj je naloga, ki jo ponujam vsem, ki se pripravljajo na enotni državni izpit iz matematike:

Naloga. Pliskavka poje 150 gramov hrane na dan. Toda zrasla je in začela jesti 20% več. Koliko gramov krme zdaj poje prašič?

ne pravilna rešitev. To je odstotni problem, ki se skrči na enačbo:

Mnogi (zelo mnogi) zmanjšajo število 100 v števcu in imenovalcu ulomka:

To je napaka, ki jo je moj študent naredil prav na dan pisanja tega članka. Številke, ki so bile okrnjene, so označene rdeče.

Ni treba posebej poudarjati, da je bil odgovor napačen. Presodite sami: prašič je pojedel 150 gramov, vendar je začel jesti 3150 gramov. Povečanje ni 20-odstotno, ampak 21-kratno, tj. za 2000 %.

Da bi se izognili takšnim nesporazumom, si zapomnite osnovno pravilo:

Zmanjšati je mogoče samo množitelje. Pogojev ni možno zmanjšati!

Tako je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Z rdečo barvo so označena števila, ki so v števcu in imenovalcu skrajšana. Kot lahko vidite, je števec produkt, imenovalec pa navadna številka. Zato je znižanje povsem zakonito.

Delo s proporci

Še ena problemsko področje — razmerja. Še posebej, če je spremenljivka na obeh straneh. Na primer:

Naloga. Reši enačbo:

Napačna rešitev - nekatere ljudi dobesedno srbi, da bi vse skrajšali za m:

Zmanjšane spremenljivke so prikazane rdeče. Izraz 1/4 = 1/5 se izkaže za popolno neumnost, ti številki nista nikoli enaki.

In zdaj - prava odločitev. V bistvu je navaden linearna enačba . Rešimo ga lahko s premikanjem vseh elementov na eno stran ali z osnovno lastnostjo razmerja:

Mnogi bralci bodo ugovarjali: "Kje je napaka v prvi rešitvi?" No, poglejmo. Spomnimo se pravila za delo z enačbami:

Vsako enačbo lahko razdelimo in pomnožimo s poljubnim številom, različen od nič.

Ste zgrešili trik? Deliš lahko samo s številkami različen od nič. Zlasti lahko delite s spremenljivko m le, če je m != 0. Kaj pa, če je m = 0? Zamenjajmo in preverimo:

Dobili smo pravilno številčno enakost, tj. m = 0 je koren enačbe. Za preostali m != 0 dobimo izraz v obliki 1/4 = 1/5, kar je seveda napačno. Tako ni ničelnih korenin.

Sklepi: vse skupaj

Torej, rešiti ulomljene racionalne enačbe zapomni si tri pravila:

1. Zmanjšati je mogoče samo množitelje. Dodatki niso mogoči. Zato se naučite faktorizirati števec in imenovalec;
2. Glavna lastnost razmerja: produkt skrajnih elementov je enak produktu srednjih;
3. Enačbe je mogoče množiti in deliti samo s števili k, ki niso nič. Primer k = 0 je treba preveriti posebej.

Zapomnite si ta pravila in ne delajte napak.