Preidimo na preučevanje naslednjega dejanja z decimalnimi ulomki, zdaj pa si ga bomo podrobno ogledali množenje decimalk. Najprej se pogovorimo splošna načela množenje decimalnih ulomkov. Po tem bomo prešli na množenje decimalnih ulomkov z decimalnim ulomkom, pokazali bomo, kako pomnožimo decimalne ulomke s stolpcem, in razmislili o rešitvah primerov. Nato si bomo ogledali množenje decimalnih ulomkov z naravnimi števili, zlasti z 10, 100 itd. Nazadnje se pogovorimo o množenju decimalk z ulomki in mešanimi števili.

Takoj povejmo, da bomo v tem članku govorili le o množenju pozitivnih decimalnih ulomkov (glej pozitivna in negativna števila). Preostali primeri so obravnavani v člankih množenje racionalnih števil in množenje realnih števil.

Navigacija po strani.

Splošna načela množenja decimalnih mest

Pogovorimo se o splošnih načelih, ki jih je treba upoštevati pri izvajanju množenja z decimalke.

Ker so končne decimalke in neskončni periodični ulomki decimalna oblika navadnih ulomkov, je množenje takšnih decimalk v bistvu množenje navadnih ulomkov. Z drugimi besedami, množenje končnih decimalk, množenje končnih in periodičnih decimalnih ulomkov, in množenje periodičnih decimalk se zmanjša na množenje navadnih ulomkov po pretvorbi decimalnih ulomkov v navadne.

Oglejmo si primere uporabe navedenega načela množenja decimalnih ulomkov.

Primer.

Pomnožite decimalki 1,5 in 0,75.

rešitev.

Zamenjajmo decimalne ulomke, ki jih množimo, z ustreznimi navadnimi ulomki. Ker je 1,5=15/10 in 0,75=75/100, potem . Lahko zmanjšate ulomek in nato iz nepravilnega ulomka izberete cel del ali bolj priročno nastali del navadni ulomek Zapišite 1,125/1,000 kot decimalni ulomek 1,125.

odgovor:

1,5·0,75=1,125.

Upoštevati je treba, da je priročno pomnožiti končne decimalne ulomke v stolpcu; o tej metodi množenja decimalnih ulomkov bomo govorili v.

Oglejmo si primer množenja periodičnih decimalnih ulomkov.

Primer.

Izračunajte zmnožek periodičnih decimalnih ulomkov 0,(3) in 2,(36) .

rešitev.

Pretvorimo periodične decimalne ulomke v navadne ulomke:

Potem. Dobljeni navadni ulomek lahko pretvorite v decimalni ulomek:

odgovor:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Če je med pomnoženimi decimalnimi ulomki neskončno število neperiodičnih ulomkov, je treba vse pomnožene ulomke, vključno s končnimi in periodičnimi, zaokrožiti na določeno številko (glej zaokroževanje števil), nato pa pomnožite končne decimalne ulomke, dobljene po zaokroževanju.

Primer.

Pomnožite decimalki 5,382 ... in 0,2.

rešitev.

Najprej zaokrožimo neskončni neperiodični decimalni ulomek, zaokrožimo ga lahko na stotinke, imamo 5,382...≈5,38. Končnega decimalnega ulomka 0,2 ni treba zaokrožiti na najbližjo stotino. Tako je 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Ostaja še izračunati produkt končnih decimalnih ulomkov: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

odgovor:

5,382…·0,2≈1,076.

Množenje decimalnih ulomkov s stolpcem

Množenje končnih decimalnih ulomkov lahko poteka v stolpcu, podobno kot množenje naravnih števil v stolpcu.

Oblikujmo pravilo za množenje decimalnih ulomkov s stolpcem. Če želite pomnožiti decimalne ulomke s stolpcem, morate:

• ne da bi bili pozorni na vejice, izvajajte množenje po vseh pravilih množenja s stolpcem naravnih števil;
• v dobljenem številu ločite z decimalno vejico toliko števk na desni, kolikor je decimalnih mest v obeh faktorjih skupaj, in če v zmnožku ni dovolj števk, morate dodati na levo zahtevana količina ničle.

Oglejmo si primere množenja decimalnih ulomkov s stolpci.

Primer.

Pomnožite decimalki 63,37 in 0,12.

rešitev.

Pomnožimo decimalne ulomke v stolpcu. Najprej pomnožimo števila, pri čemer ne upoštevamo vejic:

Vse kar ostane je, da dobljenemu produktu dodamo vejico. Ločiti mora 4 števke na desno, saj imajo faktorji skupno štiri decimalna mesta (dve v ulomku 3,37 in dve v ulomku 0,12). Tam je dovolj številk, zato vam ni treba dodajati ničel na levo. Končajmo snemanje:

Kot rezultat imamo 3,37·0,12=7,6044.

odgovor:

3,37·0,12=7,6044.

Primer.

Izračunajte zmnožek decimalnih mest 3,2601 in 0,0254.

rešitev.

Po izvedbi množenja v stolpcu brez upoštevanja vejic dobimo naslednjo sliko:

Zdaj morate v produktu ločiti 8 števk na desni z vejico, saj je skupno število decimalnih mest pomnoženih ulomkov osem. Vendar je v produktu samo 7 števk, zato morate na levo dodati toliko ničel, da boste lahko 8 števk ločili z vejico. V našem primeru moramo dodeliti dve ničli:

S tem je množenje decimalnih ulomkov po stolpcu končano.

odgovor:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Množenje decimalk z 0,1, 0,01 itd.

Pogosto morate decimalne ulomke pomnožiti z 0,1, 0,01 itd. Zato je priporočljivo oblikovati pravilo za množenje decimalnih ulomkov s temi številkami, ki izhaja iz zgoraj obravnavanih načel množenja decimalnih ulomkov.

Torej, množenje dane decimalke z 0,1, 0,01, 0,001 itd. daje ulomek, ki ga dobimo iz prvotnega, če se v njegovem zapisu vejica premakne v levo za 1, 2, 3 in tako naprej števke, in če ni dovolj števk za premik vejice, potem morate na levo dodajte zahtevano število ničel.

Če želite na primer pomnožiti decimalni ulomek 54,34 z 0,1, morate decimalno vejico v ulomku 54,34 premakniti za 1 mesto v levo, kar vam bo dalo ulomek 5,434, to je 54,34·0,1=5,434. Povejmo še en primer. Pomnožite decimalni ulomek 9,3 z 0,0001. Da bi to naredili, moramo premakniti decimalno vejico za 4 števke v levo v pomnoženem decimalnem ulomku 9.3, vendar zapis ulomka 9.3 ne vsebuje toliko števk. Zato moramo levo od ulomka 9,3 pripisati toliko ničel, da lahko enostavno premaknemo decimalno vejico na 4 števke, imamo 9,3·0,0001=0,00093.

Upoštevajte, da navedeno pravilo za množenje decimalnih ulomkov z 0,1, 0,01, ... velja tudi za neskončne decimalne ulomke. Na primer, 0.(18)·0,01=0,00(18) ali 93,938…·0,1=9,3938… .

Množenje decimalke z naravnim številom

V svojem bistvu množenje decimalk z naravnimi števili ne razlikuje od množenja decimalke z decimalko.

Najprimerneje je pomnožiti končni decimalni ulomek z naravnim številom v stolpcu; v tem primeru se morate držati pravil za množenje decimalnih ulomkov v stolpcu, obravnavanih v enem od prejšnjih odstavkov.

Primer.

Izračunaj zmnožek 15·2,27.

rešitev.

Pomnožimo naravno število z decimalnim ulomkom v stolpcu:

odgovor:

15·2,27=34,05.

Pri množenju periodičnega decimalnega ulomka z naravnim številom je treba periodični ulomek nadomestiti z navadnim ulomkom.

Primer.

Decimalni ulomek 0.(42) pomnožimo z naravnim številom 22.

rešitev.

Najprej pretvorimo periodični decimalni ulomek v navadni ulomek:

Sedaj pa naredimo množenje: . Ta decimalni rezultat je 9,(3) .

odgovor:

0,(42)·22=9,(3) .

In ko množite neskončni neperiodični decimalni ulomek z naravnim številom, morate najprej zaokrožiti.

Primer.

Pomnoži 4·2,145….

rešitev.

Ko prvotni neskončni decimalni ulomek zaokrožimo na stotinke, dobimo množenje naravnega števila in končni decimalni ulomek. Imamo 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

odgovor:

4·2,145…≈8,60.

Množenje decimalke z 10, 100, ...

Pogosto morate decimalne ulomke pomnožiti z 10, 100, ... Zato je priporočljivo, da se o teh primerih podrobneje posvetimo.

Izrazimo to pravilo za množenje decimalnih ulomkov z 10, 100, 1000 itd. Ko množite decimalni ulomek z 10, 100, ... v njegovem zapisu, morate premakniti decimalno vejico v desno na 1, 2, 3, ... števke oziroma, in zavreči dodatne ničle na levi; če zapis ulomka, ki ga množite, nima dovolj števk za premik decimalne vejice, morate na desno dodati zahtevano število ničel.

Primer.

Pomnožite decimalni ulomek 0,0783 s 100.

rešitev.

Premaknimo ulomek 0,0783 za dve števki v desno in dobimo 007,83. Če izpustimo dve ničli na levi, dobimo decimalni ulomek 7,38. Tako je 0,0783·100=7,83.

odgovor:

0,0783·100=7,83.

Primer.

Pomnožite decimalni ulomek 0,02 z 10.000.

rešitev.

Če želite pomnožiti 0,02 z 10.000, moramo premakniti decimalno vejico za 4 števke v desno. Očitno je, da v ulomku 0,02 ni dovolj števk za premik decimalne vejice za 4 števke, zato bomo dodali nekaj ničel na desno, da se bo decimalna vejica lahko premaknila. V našem primeru je dovolj dodati tri ničle, imamo 0,02000. Po premiku vejice dobimo vnos 00200.0. Če zavržemo ničle na levi, dobimo število 200,0, ki je enako naravnemu številu 200, ki je rezultat množenja decimalnega ulomka 0,02 z 10.000.

V tem članku si bomo ogledali dejanje množenja decimalnih mest. Začnimo z navedbo splošnih načel, nato pokažimo, kako pomnožimo en decimalni ulomek z drugim in razmislimo o metodi množenja s stolpcem. Vse definicije bodo ponazorjene s primeri. Nato si bomo ogledali, kako pravilno pomnožiti decimalne ulomke z navadnimi, pa tudi mešanimi in naravnimi števili (vključno s 100, 10 itd.)

V tem gradivu se bomo dotaknili le pravil za množenje pozitivnih ulomkov. Primeri z negativnimi števili so ločeno obravnavani v člankih o množenju racionalnih in realnih števil.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Oblikujmo splošna načela, ki jih moramo upoštevati pri reševanju nalog, ki vključujejo množenje decimalnih ulomkov.

Najprej se spomnimo, da decimalni ulomki niso nič drugega kot posebna oblika zapisovanja navadnih ulomkov, zato lahko postopek njihovega množenja skrčimo na podoben za navadne ulomke. To pravilo deluje tako za končne kot za neskončne ulomke: potem ko jih pretvorimo v navadne ulomke, je z njimi enostavno množiti po pravilih, ki smo se jih že naučili.

Poglejmo, kako se takšne težave rešujejo.

Primer 1

Izračunajte zmnožek 1,5 in 0,75.

Rešitev: Najprej zamenjajmo decimalne ulomke z navadnimi. Vemo, da je 0,75 75/100, 1,5 pa 15/10. Lahko zmanjšamo ulomek in izberemo cel del. Dobljeni rezultat 125 1000 bomo zapisali kot 1, 125.

odgovor: 1 , 125 .

Uporabimo lahko metodo štetja stolpcev, tako kot pri naravnih številih.

Primer 2

Pomnožite en periodični ulomek 0, (3) z drugim 2, (36).

Najprej skrčimo prvotne ulomke na navadne. Dobili bomo:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Zato je 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

Nastali navadni ulomek lahko zmanjšamo na decimalna oblika, pri čemer števec delimo z imenovalcem v stolpcu:

odgovor: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Če imamo v nalogi naloge neskončno neperiodične ulomke, potem moramo opraviti predhodno zaokroževanje (glejte članek o zaokroževanju števil, če ste pozabili, kako se to naredi). Po tem lahko izvedete dejanje množenja z že zaokroženimi decimalnimi ulomki. Dajmo primer.

Primer 3

Izračunajte zmnožek 5, 382 ... in 0, 2.

rešitev

V našem problemu imamo neskončen ulomek, ki ga moramo najprej zaokrožiti na stotinke. Izkazalo se je, da je 5,382... ≈ 5,38. Drugega faktorja nima smisla zaokroževati na stotinke. Zdaj lahko izračunate zahtevani zmnožek in zapišete odgovor: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

odgovor: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

Metoda štetja stolpcev se lahko uporablja ne samo za naravna števila. Če imamo decimalke, jih lahko pomnožimo na povsem enak način. Izpeljimo pravilo:

Definicija 1

Množenje decimalnih ulomkov s stolpcem poteka v dveh korakih:

1. Izvedite množenje stolpcev, pri čemer ne upoštevajte vejic.

2. V končno število postavite decimalno vejico in jo ločite s toliko ciframi na desni strani, kolikor imata oba faktorja decimalnih mest skupaj. Če rezultat ni dovolj številk za to, dodajte ničle na levo.

Oglejmo si primere takšnih izračunov v praksi.

Primer 4

Pomnožite decimalke 63, 37 in 0, 12 stolpcev.

rešitev

Najprej pomnožimo števila, ne da bi upoštevali decimalne vejice.

Zdaj moramo vejico postaviti na pravo mesto. Ločil bo štiri števke na desni strani, ker je vsota decimalnih mest v obeh faktorjih 4. Ni treba dodajati ničel, saj dovolj znakov:

odgovor: 3,37 0,12 = 7,6044.

Primer 5

Izračunajte, koliko je 3,2601 krat 0,0254.

rešitev

Štejemo brez vejic. Dobimo naslednjo številko:

Na desno stran bomo postavili vejico, ki ločuje 8 števk, ker imajo prvotni ulomki skupaj 8 decimalnih mest. Toda naš rezultat ima le sedem števk in brez dodatnih ničel ne moremo:

odgovor: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Kako pomnožiti decimalko z 0,001, 0,01, 01 itd.

Množenje decimalk s takšnimi številkami je običajno, zato je pomembno, da to storite hitro in natančno. Zapišimo posebno pravilo, ki ga bomo uporabili pri tem množenju:

Definicija 2

Če decimalko pomnožimo z 0, 1, 0, 01 itd., dobimo številko, ki je podobna prvotnemu ulomku, pri čemer je decimalna vejica premaknjena v levo za zahtevano število mest. Če ni dovolj številk za prenos, morate na levo dodati ničle.

Torej, če želite pomnožiti 45, 34 z 0, 1, morate premakniti decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku za eno mesto. Na koncu jih bomo imeli 4.534.

Primer 6

Pomnožite 9,4 z 0,0001.

rešitev

Decimalno vejico bomo morali premakniti za štiri mesta glede na število ničel v drugem faktorju, vendar števila v prvem faktorju za to niso dovolj. Priredimo potrebne ničle in ugotovimo, da je 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

odgovor: 0 , 00094 .

Za neskončne decimalke uporabljamo isto pravilo. Tako je na primer 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ali 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... in itd.

Postopek takega množenja se ne razlikuje od dejanja množenja dveh decimalnih ulomkov. Primerno je uporabiti metodo množenja stolpcev, če stavek problema vsebuje končni decimalni ulomek. V tem primeru je treba upoštevati vsa pravila, o katerih smo govorili v prejšnjem odstavku.

Primer 7

Izračunaj, koliko je 15 · 2,27.

rešitev

Prvotna števila pomnožimo s stolpcem in ločimo dve vejici.

odgovor: 15 · 2,27 = 34,05.

Če pomnožimo periodični decimalni ulomek z naravnim številom, moramo najprej decimalni ulomek spremeniti v navadnega.

Primer 8

Izračunajte zmnožek 0 , (42) in 22 .

Reducirajmo periodični ulomek na navadno obliko.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Končni rezultat lahko zapišemo v obliki periodičnega decimalnega ulomka kot 9, (3).

odgovor: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Neskončne ulomke je treba pred izračuni najprej zaokrožiti.

Primer 9

Izračunaj, koliko bo 4 · 2, 145....

rešitev

Zaokrožimo prvotni neskončni decimalni ulomek na stotinke. Po tem pridemo do množenja naravnega števila in končnega decimalnega ulomka:

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

odgovor: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Kako pomnožiti decimalko s 1000, 100, 10 itd.

Pri težavah se pogosto srečujemo z množenjem decimalnih ulomkov z 10, 100 itd., zato bomo ta primer analizirali posebej. Osnovno pravilo množenja je:

Definicija 3

Če želite decimalni ulomek pomnožiti s 1000, 100, 10 itd., morate premakniti njegovo decimalno vejico na 3, 2, 1 števko, odvisno od množitelja, in zavreči dodatne ničle na levi. Če ni dovolj številk za premik vejice, dodamo na desno toliko ničel, kolikor jih potrebujemo.

S primerom natančno pokažimo, kako to storiti.

Primer 10

Pomnožite 100 in 0,0783.

rešitev

Da bi to naredili, moramo premakniti decimalno vejico za 2 števki v desno. Končali bomo z 007, 83. Ničle na levi lahko zavržemo in rezultat zapišemo kot 7, 38.

odgovor: 0,0783 100 = 7,83.

Primer 11

Pomnožite 0,02 z 10 tisoč.

Rešitev: Vejico bomo premaknili za štiri števke v desno. V prvotnem decimalnem ulomku za to nimamo dovolj predznakov, zato bomo morali dodati ničle. V tem primeru bodo tri 0 dovolj. Rezultat je 0, 02000, premaknite vejico in dobite 00200, 0. Če zanemarimo ničle na levi, lahko odgovor zapišemo kot 200.

odgovor: 0,02 · 10.000 = 200.

Pravilo, ki smo ga podali, bo delovalo enako v primeru neskončnih decimalnih ulomkov, vendar morate biti tukaj zelo previdni glede obdobja zadnjega ulomka, saj se v njem zlahka zmotimo.

Primer 12

Izračunajte produkt 5,32 (672) krat 1000.

Rešitev: najprej bomo periodični ulomek zapisali kot 5, 32672672672 ..., tako bo verjetnost napake manjša. Po tem lahko premaknemo vejico na zahtevano število znakov (tri). Rezultat bo 5326, 726726 ... Zapišimo piko v oklepaj in odgovor zapišimo kot 5,326, (726).

odgovor: 5, 32 (672) · 1.000 = 5.326, (726) .

Če problemski pogoji vsebujejo neskončne neperiodične ulomke, ki jih je treba pomnožiti z deset, sto, tisoč itd., jih pred množenjem ne pozabite zaokrožiti.

Če želite izvesti množenje te vrste, morate decimalni ulomek predstaviti kot navaden ulomek in nato nadaljevati po že znanih pravilih.

Primer 13

Pomnožite 0, 4 s 3 5 6

rešitev

Najprej pretvorimo decimalni ulomek v navadni ulomek. Imamo: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Odgovor smo prejeli v obliki mešanega števila. Lahko ga zapišete kot periodični ulomek 1, 5 (3).

odgovor: 1 , 5 (3) .

Če je v izračun vključen neskončen neperiodični ulomek, ga morate zaokrožiti na določeno število in nato pomnožiti.

Primer 14

Izračunajte zmnožek 3, 5678. . . · 2 3

rešitev

Drugi faktor lahko predstavimo kot 2 3 = 0, 6666…. Nato zaokrožite oba faktorja na tisočinko. Po tem bomo morali izračunati produkt dveh zadnjih decimalnih ulomkov 3,568 in 0,667. Preštejmo s stolpcem in dobimo odgovor:

Končni rezultat moramo zaokrožiti na tisočinke, saj smo na to številko zaokrožili prvotna števila. Izkazalo se je, da je 2,379856 ≈ 2,380.

odgovor: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Decimalka se uporablja, ko morate izvesti operacije z necelimi števili. To se morda zdi neracionalno. Toda ta vrsta številk močno poenostavi matematične operacije, ki jih je treba izvesti z njimi. To razumevanje pride sčasoma, ko se njihovo pisanje udomači, njihovo branje ne povzroča težav in so pravila decimalnih ulomkov osvojena. Še več, vsa dejanja ponavljajo že znana, ki so se jih naučili z naravnimi števili. Zapomniti si morate le nekatere značilnosti.

Decimalna definicija

Decimalka je posebna predstavitev necelega števila z imenovalcem, ki je deljiv z 10, kar daje odgovor kot ena in po možnosti z ničlami. Z drugimi besedami, če je imenovalec 10, 100, 1000 in tako naprej, je bolj priročno prepisati številko z vejico. Nato se bo pred njim nahajal celoten del, nato pa delni del. Poleg tega bo zapis druge polovice števila odvisen od imenovalca. Število števk v ulomku mora biti enako številu imenovalca.

Zgornje lahko ponazorimo s temi številkami:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Razlogi za uporabo decimalnih mest

Matematiki so potrebovali decimalke iz več razlogov:

Poenostavitev snemanja. Takšen ulomek se nahaja vzdolž ene črte brez pomišljaja med imenovalcem in števcem, medtem ko jasnost ne trpi.

Preprostost v primerjavi. Dovolj je, da števila, ki so na istih položajih, preprosto povežemo v korelacijo, pri navadnih ulomkih pa bi jih morali reducirati na skupni imenovalec.

Poenostavite izračune.

Kalkulatorji niso zasnovani tako, da sprejemajo ulomke; za vse operacije uporabljajo decimalni zapis.

Kako pravilno brati takšne številke?

Odgovor je preprost: tako kot navadno mešano število z imenovalcem, ki je večkratnik 10. Edina izjema so ulomki brez cele vrednosti, potem morate pri branju izgovoriti "nič celih števil".

Na primer, 45/1000 je treba izgovoriti kot petinštirideset tisočakov, hkrati pa bo 0,045 zvenelo kot nič pika petinštirideset tisočink.

Mešano število z cel del enako 7 in ulomek 17/100, ki bo zapisan kot 7,17, v obeh primerih se bo prebral kot sedem pika sedemnajst.

Vloga števk pri pisanju ulomkov

Pravilno označevanje ranga je tisto, kar zahteva matematika. Decimalke in njihov pomen se lahko bistveno spremenijo, če števko zapišete na napačno mesto. Vendar je bilo to res prej.

Če želite prebrati števke celega dela decimalnega ulomka, morate preprosto uporabiti pravila, znana za naravna števila. In na desni strani so zrcaljeni in se berejo drugače. Če je celoten del zvenel "desetice", potem bo za decimalno vejico "desetinka".

To je jasno razvidno iz te tabele.

Kako pravilno zapisati mešano število kot decimalko?

Če imenovalec vsebuje število, ki je enako 10 ali 100, in druge, potem vprašanje, kako pretvoriti ulomek v decimalko, ni težko. Če želite to narediti, je dovolj, da vse njegove komponente prepišete drugače. Naslednje točke bodo pomagale pri tem:

števec ulomka napišite nekoliko vstran, v tem trenutku se decimalna vejica nahaja na desni, za zadnjo številko;

premaknite vejico v levo, tukaj je najpomembnejše pravilno štetje številk - premakniti jo morate za toliko mest, kolikor je ničel v imenovalcu;

če jih ni dovolj, naj bodo na praznih mestih ničle;

ničle, ki so bile na koncu števca, zdaj niso potrebne in jih je mogoče prečrtati;

Pred vejico dodajte cel del; če ga ni bilo, bo tudi tukaj nič.

Pozor. Ne morete prečrtati ničel, ki so obkrožene z drugimi številkami.

Spodaj si lahko preberete, kaj storiti v primeru, ko ima imenovalec število, ki ni sestavljeno le iz enic in ničel, in kako ulomek pretvoriti v decimalno. to pomembna informacija, ki ga je vsekakor vredno preveriti.

Kako pretvoriti ulomek v decimalko, če je imenovalec poljubno število?

Tukaj sta dve možnosti:

Ko je imenovalec mogoče predstaviti kot število, ki je enako deset na poljubno potenco.

Če takšne operacije ni mogoče izvesti.

Kako lahko to preverim? Imenovalec morate faktorizirati. Če sta v zmnožku prisotna samo 2 in 5, potem je vse v redu in ulomek se zlahka pretvori v končno decimalko. V nasprotnem primeru, če se pojavijo 3, 7 in druga praštevila, bo rezultat neskončen. Tak decimalni ulomek za lažjo uporabo v matematične operacije Običajno je okroglo. O tem bomo razpravljali malo spodaj.

Raziskuje, kako nastanejo decimalke, 5. razred. Primeri tukaj bodo zelo koristni.

Naj bodo imenovalci števila: 40, 24 in 75. Razčlenitev na glavni dejavniki za njih bo takole:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

V teh primerih je samo prvi ulomek lahko predstavljen kot končni ulomek.

Algoritem za pretvorbo navadnega ulomka v končno decimalko

Preverite razlaganje imenovalca na prafaktorje in se prepričajte, da bo sestavljen iz 2 in 5.

Tem številkam dodajte toliko 2 in 5, da jih bo enako. Podali bodo vrednost dodatnega množitelja.

Pomnožite imenovalec in števec s tem številom. Rezultat bo navaden ulomek, pod črto katerega je do neke mere 10.

Če se v nalogi ta dejanja izvajajo z mešanim številom, ga je treba najprej predstaviti kot nepravilni ulomek. In šele nato ukrepajte po opisanem scenariju.

Predstavitev ulomka kot zaokrožene decimalke

Ta metoda pretvorbe ulomka v decimalko se komu morda zdi celo lažja. Ker ni veliko akcije. Samo števec morate deliti z imenovalcem.

Vsakemu številu z decimalnim delom desno od decimalne vejice lahko pripišemo neskončno število ničel. To lastnost je tisto, kar morate izkoristiti.

Najprej zapišite cel del in za njim postavite vejico. Če je ulomek pravilen, napišite nič.

Nato morate števec deliti z imenovalcem. Tako da imata enako število števk. Se pravi, dodajte zahtevano število ničel na desno od števca.

Izvajajte dolgo deljenje, dokler ne dosežete zahtevanega števila števk. Na primer, če morate zaokrožiti na stotinke, bi moral biti odgovor 3. Na splošno bi moralo biti eno število več, kot ga morate dobiti na koncu.

Vmesni odgovor zapiši za decimalno vejico in zaokroži po pravilih. Če je zadnja številka od 0 do 4, jo morate samo zavreči. In ko je enako 5-9, je treba tistega pred njim povečati za eno, pri čemer zavržemo zadnjega.

Vrnitev iz decimalnega v navadni ulomek

V matematiki obstajajo težave, ko je decimalne ulomke bolj priročno predstaviti v obliki navadnih ulomkov, v katerih je števec z imenovalcem. Lahko si oddahnete: ta operacija je vedno možna.

Za ta postopek morate narediti naslednje:

zapišite cel del, če je enak nič, potem ni treba ničesar pisati;

narišite ulomkovo črto;

nad njim zapišite številke z desne strani, če so ničle najprej, jih je treba prečrtati;

Pod črto zapiši enoto s toliko ničlami, kolikor števk je za decimalno vejico v prvotnem ulomku.

To je vse, kar morate storiti, da pretvorite decimalko v ulomek.

Kaj lahko storite z decimalkami?

V matematiki bodo to določene operacije z decimalkami, ki so bile prej opravljene za druga števila.

To so:

primerjava;

seštevanje in odštevanje;

množenje in deljenje.

Prvo dejanje, primerjava, je podobno kot za naravna števila. Če želite ugotoviti, katera je večja, morate primerjati števke celotnega dela. Če se izkaže, da sta enaka, potem preideta na ulomek in ju primerjata tudi po cifrah. Število z največjo števko v najpomembnejši števki bo odgovor.

Seštevanje in odštevanje decimalk

Teh je morda največ preprosti koraki. Ker se izvajajo po pravilih za naravna števila.



Torej, da bi dodali decimalne ulomke, jih je treba napisati enega pod drugim in postaviti vejice v stolpec. Pri tem zapisu so celi deli prikazani levo od vejic, ulomki pa desno. In zdaj morate številke seštevati po delih, kot je storjeno z naravnimi številkami, pri čemer vejico premikate navzdol. Seštevati morate začeti od najmanjše števke delnega dela števila. Če v desni polovici ni dovolj številk, se dodajo ničle.

Enako velja za odštevanje. In tukaj je pravilo, ki opisuje možnost prevzema enote z najvišjega ranga. Če ima ulomek, ki ga zmanjšujemo, manj števk za decimalno vejico kot ulomek, ki ga odštejemo, se mu preprosto dodajo ničle.

Situacija je nekoliko bolj zapletena pri nalogah, kjer morate množiti in deliti decimalne ulomke.

Kako pomnožiti decimalni ulomek v različnih primerih?

Pravilo za množenje decimalnih ulomkov z naravnim številom je:

zapišite jih v stolpec, ne upoštevajte vejice;

razmnožujejo se, kot bi bile naravne;

Z vejico ločite toliko števk, kot jih je bilo v ulomku prvotnega števila.

Poseben primer je primer, ko je naravno število enako 10 na poljubno potenco. Če želite dobiti odgovor, morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko mest, kolikor je ničel v drugem faktorju. Z drugimi besedami, ko se pomnoži z 10, se decimalna vejica premakne za eno števko, za 100 - že bosta dve in tako naprej. Če v ulomku ni dovolj številk, morate na prazna mesta napisati ničle.

Pravilo, ki se uporablja, ko naloga zahteva množenje decimalnih ulomkov z drugim istim številom:

zapišite jih eno za drugo, ne pazite na vejice;

množijo se, kot bi bile naravne;

Z vejico ločite toliko števk, kolikor jih je bilo v ulomkih obeh prvotnih ulomkov skupaj.

Poseben primer so primeri, v katerih je eden od množiteljev enak 0,1 ali 0,01 itd. V njih morate premakniti decimalno vejico v levo za število števk v predstavljenih faktorjih. To pomeni, da če se pomnoži z 0,1, se decimalna vejica premakne za eno mesto.

Kako razdeliti decimalni ulomek v različnih nalogah?

Deljenje decimalnih ulomkov z naravnim številom poteka po naslednjem pravilu:

zapiši jih za delitev v stolpec, kot bi bile naravne;

razdelite po običajnem pravilu, dokler se ne konča celoten del;

pri odgovoru vstavi vejico;

nadaljujte z deljenjem delne komponente, dokler ostanek ni nič;

če je potrebno, lahko dodate potrebno število ničel.

Če je celoštevilski del enak nič, ga tudi v odgovoru ne bo.

Ločeno je razdelitev na števila, enaka desetim, stotim in tako naprej. Pri takšnih težavah morate premakniti decimalno vejico v levo za število ničel v delitelju. Zgodi se, da v celem delu ni dovolj številk, namesto tega se uporabijo ničle. Vidite lahko, da je ta operacija podobna množenju z 0,1 in podobnim številom.

Če želite deliti decimalke, morate uporabiti to pravilo:

delitelj spremenite v naravno število in za to premaknite vejico v njem v desno do konca;

premakniti decimalno vejico v dividendi za enako število števk;

ravnajte po prejšnjem scenariju.

Delitev z 0,1 je poudarjena; 0,01 in druge podobne številke. V takšnih primerih je decimalna vejica premaknjena v desno za število števk v ulomku. Če jih zmanjka, morate dodati manjkajoče število ničel. Omeniti velja, da to dejanje ponavlja deljenje z 10 in podobnimi številkami.



Zaključek: vse je stvar prakse

Nič pri učenju ni enostavno ali brez truda. Zanesljivo obvladovanje novega materiala zahteva čas in prakso. Matematika ni izjema.

Da tema o decimalnih ulomkih ne bo povzročala težav, morate z njimi rešiti čim več primerov. Navsezadnje je bil čas, ko je bilo seštevanje naravnih števil slepa ulica. In zdaj je vse v redu.

Zatorej, če parafraziram znano frazo: odločaj, odločaj in še enkrat odločaj. Potem bodo naloge s takimi številkami dokončane enostavno in naravno, kot še ena uganka.

Mimogrede, uganke je sprva težko rešiti, nato pa morate narediti običajne gibe. Enako je v matematičnih primerih: ko hodite po isti poti večkrat, potem ne boste več razmišljali, kam bi zavili.

Da bi razumeli, kako pomnožiti decimalke, si poglejmo konkretne primere.

Pravilo za množenje decimalk

1) Pomnožite, ne da bi bili pozorni na vejico.

2) Posledično ločimo toliko števk za decimalno vejico, kolikor jih je za decimalko v obeh faktorjih skupaj.

Primeri.

Poiščite zmnožek decimalnih ulomkov:

Za množenje decimalnih ulomkov množimo, ne da bi bili pozorni na vejice. To pomeni, da ne množimo 6,8 in 3,4, temveč 68 in 34. Posledično ločimo toliko števk za decimalno vejico, kolikor jih je za decimalko v obeh faktorjih skupaj. V prvem faktorju je za decimalno vejico ena številka, v drugem prav tako ena. Skupaj ločimo dve števili za decimalno vejico. Tako smo dobili končni odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Decimalke množimo brez upoštevanja decimalne vejice. Se pravi, da namesto 36,85 pomnožimo z 1,14, pomnožimo 3685 s 14. Dobimo 51590. Sedaj moramo v tem rezultatu z vejico ločiti toliko števk, kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj. Prvo število ima dve števki za decimalno vejico, drugo eno. Skupaj tri števke ločimo z vejico. Ker je za decimalno vejico na koncu vnosa ničla, je v odgovor ne zapišemo: 36,85∙1,4=51,59.

Če želite pomnožiti te decimalke, pomnožimo števila, ne da bi pri tem upoštevali vejice. Se pravi, pomnožimo naravni števili 2315 in 7. Dobimo 16205. Pri tem številu je treba za decimalno vejico ločiti štiri števke – toliko, kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj (dve v vsakem). Končni odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnega ulomka z naravnim številom poteka na enak način. Števila množimo, ne da bi bili pozorni na decimalno vejico, torej 75 pomnožimo s 16. Dobljeni rezultat naj vsebuje enako število predznakov za decimalno vejico, kot jih je v obeh faktorjih skupaj - eno. Tako je 75∙1,6=120,0=120.

Množenje decimalnih ulomkov začnemo z množenjem naravnih števil, saj se ne oziramo na vejice. Nato ločimo toliko števk za decimalno vejico, kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj. Prva številka ima dve decimalki, druga prav tako dve. Skupaj mora biti rezultat štirimestna za decimalno vejico: 4,72∙5,04=23,7888.

V srednjih in srednjih šolah so učenci obravnavali temo »Ulomki«. Vendar je ta koncept veliko širši od tistega, kar je podano v procesu učenja. Danes se koncept ulomka srečuje precej pogosto in ne more vsakdo izračunati katerega koli izraza, na primer množenja ulomkov.

Kaj je ulomek?

Zgodovinsko gledano so ulomna števila nastala zaradi potrebe po merjenju. Kot kaže praksa, pogosto obstajajo primeri določanja dolžine segmenta in prostornine pravokotnega pravokotnika.

Učence najprej seznanimo s pojmom delnice. Na primer, če lubenico razdelite na 8 delov, bo vsaka oseba dobila eno osmino lubenice. Ta del osmice se imenuje delež.

Delež, ki je enak ½ katere koli vrednosti, se imenuje polovica; ⅓ - tretjina; ¼ - četrtina. Zapisi v obliki 5/8, 4/5, 2/4 se imenujejo navadni ulomki. Navadni ulomek je razdeljen na števec in imenovalec. Med njima je ulomkov trak ali ulomkov trak. Ulomljeno črto lahko narišemo kot vodoravno ali poševno črto. IN v tem primeru predstavlja znak delitve.

Imenovalec predstavlja, na koliko enakih delov je količina ali predmet razdeljen; števec pa je, koliko enakih delnic se vzame. Števec je zapisan nad ulomkovo črto, imenovalec pa pod njo.

Najbolj priročno je prikazati navadne ulomke na koordinatnem žarku. Če je segment enote razdeljen na 4 enake dele, označite vsak del latinska črka, potem je lahko rezultat odličen vizualni pripomoček. Torej točka A prikazuje delež, ki je enak 1/4 celotnega segmenta enote, točka B pa 2/8 danega segmenta.

Vrste ulomkov

Ulomki so lahko navadna, decimalna in mešana števila. Poleg tega lahko ulomke razdelimo na prave in neprave. Ta razvrstitev je primernejša za navadne ulomke.

Spodaj pravi ulomek razumeti število, katerega števnik manjša od imenovalca. V skladu s tem je nepravilni ulomek število, katerega števec je večji od imenovalca. Druga vrsta je običajno zapisana kot mešano število. Ta izraz je sestavljen iz celega in ulomka. Na primer, 1½. 1 je celo število, ½ je ulomek. Če pa morate z izrazom izvesti nekaj manipulacij (deljenje ali množenje ulomkov, njihovo zmanjševanje ali pretvorbo), se mešano število pretvori v nepravilen ulomek.

Pravilen ulomek je vedno manjši od ena, nepravilen pa je vedno večji ali enak 1.

Kar zadeva ta izraz, mislimo na zapis, v katerem je predstavljeno poljubno število, katerega imenovalec izraza v ulomku je mogoče izraziti z eno z več ničlami. Če je ulomek pravilen, bo celoštevilski del v decimalnem zapisu enak nič.

Če želite napisati decimalni ulomek, morate najprej napisati cel del, ga ločiti od ulomka z vejico in nato zapisati ulomkov izraz. Ne smemo pozabiti, da mora števec za decimalno vejico vsebovati enako število digitalnih znakov, kot je ničel v imenovalcu.

Primer. Izrazite ulomek 7 21 / 1000 v decimalnem zapisu.

Algoritem za pretvorbo nepravilnega ulomka v mešano število in obratno

V odgovoru na nalogo ni pravilno zapisati napačnega ulomka, zato ga je treba pretvoriti v mešano število:

• delite števec z obstoječim imenovalcem;
• V konkreten primer nepopolni količnik – celota;
• in ostanek je števec ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen.

Primer. Pretvori nepravilni ulomek v mešano število: 47/5.

rešitev. 47: 5. Delni količnik je 9, ostanek = 2. Torej, 47/5 = 9 2/5.

Včasih morate mešano število predstaviti kot nepravilen ulomek. Nato morate uporabiti naslednji algoritem:

• celoštevilski del se pomnoži z imenovalcem ulomljenega izraza;
• dobljeni produkt prištejemo k števcu;
• rezultat zapišemo v števec, imenovalec ostane nespremenjen.

Primer. Mešano število predstavite kot nepravilni ulomek: 9 8 / 10.

rešitev. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je števec.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje ulomkov

Na navadnih ulomkih je mogoče izvajati različne algebraične operacije. Če želite pomnožiti dve števili, morate pomnožiti števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Poleg tega se množenje ulomkov z različnimi imenovalci ne razlikuje od produkta ulomkov z enakimi imenovalci.

Zgodi se, da morate po ugotovitvi rezultata zmanjšati ulomek. Nujno je treba dobljeni izraz čim bolj poenostaviti. Seveda ne moremo reči, da je nepravilen ulomek v odgovoru napaka, težko pa temu rečemo tudi pravilen odgovor.

Primer. Poiščite produkt dveh navadnih ulomkov: ½ in 20/18.

Kot je razvidno iz primera, smo po iskanju produkta dobili zmanjšljivi delni zapis. Tako števec kot imenovalec sta v tem primeru deljena s 4, rezultat pa je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih ulomkov

Zmnožek decimalnih ulomkov se po principu precej razlikuje od zmnožka navadnih ulomkov. Torej, množenje ulomkov je naslednje:

• dva decimalna ulomka morata biti zapisana drug pod drugim tako, da sta skrajni desni števki ena pod drugo;
• zapisana števila morate množiti kljub vejicam, torej kot naravna števila;
• prešteti število števk za decimalno vejico v vsakem številu;
• v rezultatu, dobljenem po množenju, morate od desne prešteti toliko digitalnih simbolov, kot jih vsebuje vsota v obeh faktorjih za decimalno vejico, in postaviti ločilni znak;
• če je v zmnožku manj števil, potem morate pred njimi napisati toliko ničel, da pokrijete to število, postavite vejico in prištejte cel del, ki je enak nič.

Primer. Izračunajte zmnožek dveh decimalnih ulomkov: 2,25 in 3,6.

rešitev.

Množenje mešanih ulomkov

Za izračun produkta dveh mešanih ulomkov morate uporabiti pravilo za množenje ulomkov:

• pretvarjati mešana števila v neprave ulomke;
• poiščite zmnožek števcev;
• poiščite zmnožek imenovalcev;
• zapišite rezultat;
• čim bolj poenostavite izraz.

Primer. Poiščite zmnožek 4½ in 6 2/5.

Množenje števila z ulomkom (ulomki s številom)

Poleg iskanja produkta dveh ulomkov in mešanih števil obstajajo naloge, kjer morate pomnožiti z ulomkom.

Torej, če želite najti produkt decimalnega ulomka in naravnega števila, potrebujete:

• pod ulomek zapiši število tako, da so skrajne desne števke druga nad drugo;
• poišči izdelek kljub vejici;
• v dobljenem rezultatu ločite celo število od ulomka z vejico, pri čemer odštejte od desne število števk, ki se nahajajo za decimalno vejico v ulomku.

Če želite navadni ulomek pomnožiti s številom, morate najti produkt števca in naravnega faktorja. Če odgovor ustvari ulomek, ki ga je mogoče zmanjšati, ga je treba pretvoriti.

Primer. Izračunajte zmnožek 5/8 in 12.

rešitev. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kot lahko vidite iz prejšnjega primera, je bilo treba zmanjšati dobljeni rezultat in pretvoriti napačen ulomek v mešano število.

Množenje ulomkov zadeva tudi iskanje produkta števila v mešani obliki in naravnega faktorja. Če želite pomnožiti ti dve števili, morate celoten del mešanega faktorja pomnožiti s številom, števec pomnožiti z isto vrednostjo, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Če je potrebno, morate dobljeni rezultat čim bolj poenostaviti.

Primer. Poiščite zmnožek 9 5 / 6 in 9.

rešitev. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje s faktorji 10, 100, 1000 ali 0,1; 0,01; 0,001

Naslednje pravilo izhaja iz prejšnjega odstavka. Če želite decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000, 10000 itd., morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko števk, kolikor je ničel v faktorju za enico.

Primer 1. Poiščite zmnožek 0,065 in 1000.

rešitev. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primer 2. Poiščite zmnožek 3,9 in 1000.

rešitev. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Če morate pomnožiti naravno število in 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., premaknite vejico v nastalem zmnožku v levo za toliko števk, kolikor je ničel pred ena. Po potrebi se pred naravno število zapiše zadostno število ničel.

Primer 1. Poiščite zmnožek 56 in 0,01.

rešitev. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primer 2. Poiščite zmnožek 4 ​​in 0,001.

rešitev. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Torej iskanje produkta različnih ulomkov ne bi smelo povzročati težav, razen morda izračuna rezultata; v tem primeru brez kalkulatorja enostavno ne gre.