Klicana je funkcija oblike where kvadratna funkcija.

Graf kvadratne funkcije – parabola.

Razmislimo o primerih:

I CASE, KLASIČNA PARABOLA

to je , ,

Za konstrukcijo izpolnite tabelo tako, da vrednosti x nadomestite v formulo:

Označite točke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatna ravnina(manjši korak jemljemo vrednosti x (v v tem primeru korak 1), in več vrednosti x vzamemo, bolj gladka bo krivulja), dobimo parabolo:

Preprosto je videti, da če vzamemo primer , , , torej dobimo parabolo, ki je simetrična glede na os (oh). To je enostavno preveriti tako, da izpolnite podobno tabelo:

II PRIMER, "a" JE RAZLIČEN OD ENOTE

Kaj se bo zgodilo, če vzamemo , , ? Kako se bo spremenilo obnašanje parabole? Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Na prvi sliki (glej zgoraj) je jasno razvidno, da so bile točke iz tabele za parabolo (1;1), (-1;1) transformirane v točke (1;4), (1;-4), to pomeni, da se pri enakih vrednostih ordinata vsake točke pomnoži s 4. To se bo zgodilo z vsemi ključnimi točkami prvotne tabele. Podobno razmišljamo v primerih slik 2 in 3.

In ko parabola "postane širša" od parabole:

Naj povzamemo:

1)Predznak koeficienta določa smer vej. Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolutna vrednost koeficient (modul) je odgovoren za "širjenje" in "stiskanje" parabole. Večji ko je , ožja je parabola, manjši je |a|, širša je parabola.

PRIMER III, POJAVI SE "C".

Zdaj pa uvedimo v igro (to je, upoštevajte primer, ko), bomo obravnavali parabole oblike . Ni težko uganiti (vedno se lahko obrnete na tabelo), da se bo parabola premaknila navzgor ali navzdol vzdolž osi, odvisno od znaka:

IV PRIMER, PRIKAŽE se "b".

Kdaj se bo parabola »odtrgala« od osi in končno »hodila« po celotni koordinatni ravnini? Kdaj ne bo več enak?

Tukaj potrebujemo za sestavo parabole formula za izračun oglišča: , .

Torej na tej točki (kot na točki (0;0) nov sistem koordinate) bomo zgradili parabolo, kar že lahko naredimo. Če imamo opravka s primerom, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, enega navzgor, - nastala točka je naša (podobno, korak v levo, korak navzgor je naša točka); če imamo na primer opravka, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, dva - navzgor itd.

Na primer, vrh parabole:

Glavna stvar, ki jo je treba razumeti, je, da bomo na tej točki zgradili parabolo po vzorcu parabole, ker v našem primeru.

Pri konstruiranju parabole po najdenih koordinatah oglišča zeloPrimerno je upoštevati naslednje točke:

1) parabola bo zagotovo šel skozi točko . Če nadomestimo x=0 v formulo, dobimo, da . To pomeni, da je ordinata presečišča parabole z osjo (oy) . V našem primeru (zgoraj) parabola seka ordinato v točki , saj .

2) simetrična os parabole je ravna črta, zato bodo vse točke parabole simetrične glede nanjo. V našem primeru takoj vzamemo točko (0; -2) in jo zgradimo simetrično glede na simetrično os parabole, dobimo točko (4; -2), skozi katero bo parabola potekala.

3) Z enačenjem , ugotovimo presečišča parabole z osjo (oh). Da bi to naredili, rešimo enačbo. Glede na diskriminanto bomo dobili enega (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V prejšnjem primeru naš koren diskriminanta pri konstruiranju ni celo število, nima smisla iskati korenin, vendar jasno vidimo, da bomo imeli dve presečni točki z osjo (oh) (od title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Torej, rešimo to

Algoritem za konstrukcijo parabole, če je podana v obliki

1) določite smer vej (a>0 – gor, a<0 – вниз)

2) poiščemo koordinate vrha parabole s formulo , .

3) najdemo točko presečišča parabole z osjo (oy) s prostim izrazom, zgradimo točko, ki je simetrična na to točko glede na os simetrije parabole (opozoriti je treba, da se zgodi, da je nerentabilno označiti ta točka, na primer, ker je vrednost velika ... to točko preskočimo ...)

4) V najdeni točki - oglišču parabole (kot v točki (0;0) novega koordinatnega sistema) sestavimo parabolo. If title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Presečišča parabole z osjo (oy) poiščemo (če še niso »priplavale«) tako, da rešimo enačbo

Primer 1

Primer 2

Opomba 1.Če nam je parabola na začetku podana v obliki , kjer so nekatera števila (npr. ), potem jo bomo še lažje sestavili, saj smo že dobili koordinate oglišča . Zakaj?

Vzemimo kvadratni trinom in v njem izoliramo celoten kvadrat: Poglejte, dobili smo to , . Vi in jaz smo prej imenovali vrh parabole, to je zdaj,.

Na primer,. Označimo vrh parabole na ravnini, razumemo, da so veje usmerjene navzdol, parabola je razširjena (glede na ). Se pravi, izvajamo 1. točko; 3; 4; 5 iz algoritma za konstrukcijo parabole (glej zgoraj).

Opomba 2.Če je parabola podana v podobni obliki (torej predstavljena kot produkt dveh linearnih faktorjev), potem takoj vidimo presečišča parabole z osjo (ox). V tem primeru – (0;0) in (4;0). Za ostalo delujemo v skladu z algoritmom in odpiramo oklepaje.

Pri pouku matematike v šoli ste se že seznanili z najpreprostejšimi lastnostmi in grafom funkcije. y = x 2. Razširimo svoje znanje naprej kvadratna funkcija.

1. vaja

Graf funkcije y = x 2. Merilo: 1 = 2 cm Označite točko na osi Oy F(0; 1/4). S kompasom ali trakom papirja izmerite razdaljo od točke F do neke točke M parabole. Nato pripnite trak na točko M in ga vrtite okoli te točke, dokler ni navpičen. Konec traku bo padel nekoliko pod os x (slika 1). Na traku označite, kako daleč sega čez os x. Zdaj vzemite drugo točko na paraboli in znova ponovite meritev. Kako daleč je rob traku padel pod os x?

rezultat: ne glede na to, katero točko na paraboli y = x 2 vzamete, bo razdalja od te točke do točke F(0; 1/4) večja od razdalje od iste točke do abscisne osi za vedno isto število - 1/4.

Lahko rečemo drugače: razdalja od katerekoli točke parabole do točke (0; 1/4) je enaka razdalji od iste točke parabole do premice y = -1/4. Ta čudovita točka F(0; 1/4) se imenuje fokus parabole y = x 2 in premico y = -1/4 – ravnateljica ta parabola. Vsaka parabola ima direktriso in gorišče.

Zanimive lastnosti parabole:

1. Vsaka točka parabole je enako oddaljena od neke točke, imenovane gorišče parabole, in neke premice, imenovane njena direktrisa.

2. Če zavrtite parabolo okoli simetrijske osi (na primer parabolo y = x 2 okoli osi Oy), boste dobili zelo zanimivo ploskev, imenovano vrtilni paraboloid.

Površina tekočine v vrteči se posodi ima obliko vrtilnega paraboloida. To površino lahko vidite, če z žlico močno premešate nepopoln kozarec čaja in nato žlico odstranite.

3. Če vržete kamen v praznino pod določenim kotom na obzorje, bo letel v paraboli (slika 2).

4. Če presekate površino stožca z ravnino, ki je vzporedna s katero koli od njegovih generatrik, potem bo presek povzročil parabolo (slika 3).

5. V zabaviščnih parkih imajo včasih zabavno vožnjo, imenovano Paraboloid čudes. Vsakemu, ki stoji znotraj vrtečega se paraboloida, se zdi, da stoji na tleh, ostali ljudje pa se nekako čudežno držijo sten.

6. V odbojnih teleskopih se uporabljajo tudi parabolična zrcala: svetloba oddaljene zvezde, ki prihaja v vzporednem žarku, pade na zrcalo teleskopa, se zbere v fokus.

7. Reflektorji imajo običajno ogledalo v obliki paraboloida. Če vir svetlobe postavite v žarišče paraboloida, potem žarki, ki se odbijajo od paraboličnega zrcala, tvorijo vzporedni žarek.

Grafiranje kvadratne funkcije

Pri pouku matematike ste se učili, kako iz grafa funkcije y = x 2 pridobiti grafe funkcij oblike:

1) y = sekira 2– raztezanje grafa y = x 2 vzdolž osi Oy v |a| krat (z |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riž. 4).

2) y = x 2 + n– premik grafa za n enot vzdolž osi Oy, pri n > 0 pa je premik navzgor, pri n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– premik grafa za m enot vzdolž osi Ox: če je m< 0, то вправо, а если m >0, nato levo, (slika 5).

4) y = -x 2– simetričen prikaz glede na os Ox grafa y = x 2 .

Oglejmo si podrobneje risanje funkcije y = a(x – m) 2 + n.

Kvadratno funkcijo oblike y = ax 2 + bx + c lahko vedno reduciramo na obliko

y = a(x – m) 2 + n, kjer je m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Dokažimo to.

res,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Uvedimo nove oznake.

Pustiti m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

potem dobimo y = a(x – m) 2 + n ali y – n = a(x – m) 2.

Naredimo še nekaj zamenjav: naj bo y – n = Y, x – m = X (*).

Nato dobimo funkcijo Y = aX 2, katere graf je parabola.

Vrh parabole je v izhodišču. X = 0; Y = 0.

Če koordinate oglišča nadomestimo v (*), dobimo koordinate oglišča grafa y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Torej, če želite narisati kvadratno funkcijo, predstavljeno kot

y = a(x – m) 2 + n

s transformacijami lahko nadaljujete na naslednji način:

a) narišite funkcijo y = x 2 ;

b) z vzporedno translacijo vzdolž osi Ox za m enot in vzdolž osi Oy za n enot - prenesite oglišče parabole iz izhodišča v točko s koordinatami (m; n) (slika 6).

Snemanje transformacij:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Primer.

S transformacijami zgradite graf funkcije y = 2(x – 3) 2 v kartezičnem koordinatnem sistemu – 2.

rešitev.

Veriga transformacij:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Izris je prikazan v riž. 7.

Grafiranje kvadratnih funkcij lahko vadite sami. Na primer, zgradite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 v enem koordinatnem sistemu z uporabo transformacij. Če imate kakršna koli vprašanja ali želite dobiti nasvet od učitelja, potem imate možnost dirigirati brezplačna 25-minutna lekcija s spletnim mentorjem po registraciji. Za nadaljnje delo Z učiteljem lahko izberete tarifni načrt, ki vam ustreza.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako narisati graf kvadratne funkcije?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporabne vire za

Da bi razumeli, kaj bo tukaj napisano, morate dobro vedeti, kaj je kvadratna funkcija in za kaj se uporablja. Če se imate za profesionalca, ko gre za kvadratne funkcije, dobrodošli. Če pa ne, bi morali prebrati temo.

Začnimo z malim preverjanja:

1. Kako izgleda kvadratna funkcija v splošni obliki (formuli)?
2. Kako se imenuje graf kvadratne funkcije?
3. Kako glavni koeficient vpliva na graf kvadratne funkcije?

Če ste lahko takoj odgovorili na ta vprašanja, nadaljujte z branjem. Če je vsaj eno vprašanje povzročilo težave, pojdite na.

Torej, že znate ravnati s kvadratno funkcijo, analizirati njen graf in zgraditi graf po točkah.

No, tukaj je: .

Na kratko se spomnimo, kaj počnejo kvote.

1. Vodilni koeficient je odgovoren za "strmino" parabole ali, z drugimi besedami, za njeno širino: večji je, ožja je parabola (bolj strma), manjši pa širša (bolj položna).
2. Prosti člen je koordinata presečišča parabole z ordinatno osjo.
3. In koeficient je nekako odgovoren za premik parabole iz središča koordinat. Pogovorimo se zdaj o tem podrobneje.

Kje vedno začnemo graditi parabolo? Kaj je njegova posebnost?

to vertex. Se spomnite, kako najti koordinate oglišča?

Na abscisi se išče po naslednji formuli:

Takole: kot več, tiste levo vrh parabole premakne.

Ordinato oglišča lahko najdemo tako, da v funkcijo zamenjamo:

Nadomestite ga sami in izračunajte. Kaj se je zgodilo?

Če vse naredite pravilno in dobljeni izraz čim bolj poenostavite, dobite:

Izkazalo se je, da bolj modulo, tiste višji volja vertex parabole.

Končno preidimo na risanje grafa.
Najlažji način je zgraditi parabolo, začenši od vrha.

primer:

Zgradite graf funkcije.

rešitev:

Najprej določimo koeficiente: .

Zdaj pa izračunajmo koordinate oglišča:

Zdaj pa si zapomnite: vse parabole z enakim vodilnim koeficientom izgledajo enako. To pomeni, da če zgradimo parabolo in premaknemo njeno oglišče v točko, bomo dobili graf, ki ga potrebujemo:

Preprosto, kajne?

Ostaja le še eno vprašanje: kako hitro narisati parabolo? Tudi če narišemo parabolo z vrhom v izhodišču, jo moramo še vedno graditi točko za točko, kar je dolgo in neprijetno. Toda vse parabole izgledajo enako, morda obstaja način, kako pospešiti njihovo risanje?

Ko sem bil v šoli, je moj učitelj matematike vsem rekel, naj iz kartona izrežejo šablono v obliki parabole, da jo bodo lahko hitro narisali. Ampak ne boš mogel hoditi s šablono povsod in je ne boš smel peljati na izpit. To pomeni, da ne bomo uporabljali tujih predmetov, ampak bomo iskali vzorec.

Razmislimo o najpreprostejši paraboli. Zgradimo točko za točko:

To je vzorec tukaj. Če se iz oglišča premaknemo v desno (vzdolž osi) za in navzgor (vzdolž osi) za, potem pridemo do točke parabole. Nadalje: če se od te točke premaknemo v desno in navzgor, bomo spet prišli do točke parabole. Naprej: desno naprej in gor. Kaj je naslednje? Prav naprej in naprej. In tako naprej: eno premaknite v desno, naslednjo liho številko pa navzgor. Nato naredimo enako z levo vejo (navsezadnje je parabola simetrična, torej njene veje izgledajo enako):

Odlično, to vam bo pomagalo sestaviti katero koli parabolo iz oglišča z vodilnim koeficientom, ki je enak. Na primer, izvedeli smo, da je vrh parabole v točki. Konstruirajte (sami, na papirju) to parabolo.

Zgrajeno?

Videti bi moralo takole:

Zdaj povezujemo nastale točke:

To je vse.

V redu, no, zdaj lahko gradimo samo parabole z?

Seveda ne. Zdaj pa ugotovimo, kaj storiti z njimi, če.

Poglejmo nekaj tipičnih primerov.

Super, naučili ste se narisati parabolo, zdaj pa vadimo uporabo resničnih funkcij.

Torej, narišite grafe teh funkcij:

odgovori:

3. Zgoraj: .

Se spomnite, kaj storiti, če je višji koeficient manjši?

Pogledamo imenovalec ulomka: enak je. Torej, premikali se bomo takole:

• desno - gor
• desno - gor
• desno - gor

in tudi levo:

4. Zgoraj: .

Oh, kaj lahko storimo glede tega? Kako izmeriti celice, če je vrh nekje med črtami?..

In bomo goljufali. Najprej narišimo parabolo in šele nato premaknimo njeno oglišče v točko. Ne, naredimo nekaj še bolj zvitega: Narišimo parabolo in potem premikanje osi:- vklopljeno navzdol, a - na prav:

Ta tehnika je zelo priročna v primeru katere koli parabole, zapomnite si jo.

Naj vas spomnim, da lahko funkcijo predstavimo v tej obliki:

Na primer: .

Kaj nam to daje?

Dejstvo je, da je število, ki se odšteje od oklepaja (), abscisa oglišča parabole, člen zunaj oklepaja () pa je ordinata oglišča.

To pomeni, da boste, ko ste zgradili parabolo, preprosto potrebovali premaknite os v levo in os navzdol.

Primer: Zgradimo graf funkcije.

Izberimo celoten kvadrat:

Katero število odšteti iz oklepaja? To (in ne kako se lahko odločite brez razmišljanja).

Torej, zgradimo parabolo:

Zdaj premaknemo os navzdol, to je navzgor:

In zdaj - levo, torej desno:

To je vse. To je enako kot premikanje parabole z njenim vrhom iz izhodišča v točko, le da je ravno os veliko lažje premakniti kot ukrivljeno parabolo.

Zdaj, kot ponavadi, jaz:

In ne pozabite starih osi izbrisati z radirko!

Jaz sem kot odgovori Za preverjanje vam bom zapisal ordinate oglišč teh parabol:

Se je vse poklopilo?

Če ja, potem ste super! Znanje ravnanja s parabolo je zelo pomembno in koristno, tukaj pa smo ugotovili, da sploh ni težko.

IZGRADNJA GRAFA KVADRATNE FUNKCIJE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna funkcija - funkcija oblike, kjer in so poljubna števila (koeficienti), - prosti izraz.

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Vrh parabole:
, tj. večji kot je \displaystyle b , bolj v levo se premakne vrh parabole.
Nadomestimo ga v funkcijo in dobimo:
, tj. \displaystyle b večji v absolutni vrednosti, višje bo oglišče parabole

Prosti člen je koordinata presečišča parabole z ordinatno osjo.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Boste potrebovali reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjerkoli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku -
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - Kupite učbenik - 499 RUR

Da, v našem učbeniku imamo 99 takšnih členov in dostop do vseh nalog in vsakogar skrita besedila jih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!