decimalno ulomek- raznolikost ulomki, ki ima v imenovalcu »okroglo« število: 10, 100, 1000 itd., npr. ulomek 5/10 ima decimalni zapis 0,5. Na podlagi tega načela, ulomek je lahko predstavljen v oblika decimalno ulomki.

Navodila

Recimo, da si moramo predstavljati oblika decimalno ulomek 18/25.
Najprej se morate prepričati, da se v imenovalcu pojavi ena od "okroglih" številk: 100, 1000 itd. Če želite to narediti, morate imenovalec pomnožiti s 4. Vendar boste morali tako števec kot imenovalec pomnožiti s 4.

Množenje števca in imenovalca ulomki 18/25 krat 4, se izkaže 72/100. To je zabeleženo ulomek v decimalki oblika torej: 0,72.

V matematiki je ulomek racionalno število, ki je enako enemu ali več delom, na katere je enota razdeljena. V tem primeru mora zapis ulomka vsebovati navedbo dveh števil: eno natančno pove, na koliko deležev je bila enota razdeljena pri ustvarjanju tega ulomka, drugo pa, koliko teh deležev ulomek vključuje. Če sta ti dve števili zapisani kot števec in imenovalec, ločena s črto, se ta oblika zapisovanja imenuje "navaden" ulomek. Vendar pa obstaja še ena oblika zapisa ulomkov, imenovana "decimalna".

Trinadstropna oblika pisanja števil, pri kateri se imenovalec nahaja nad števcem, med njimi pa je tudi ločnica, ni vedno priročna. Ta nevšečnost se je še posebej začela kazati z množičnim širjenjem osebnih računalnikov. Decimalna oblika predstavljanja ulomkov nima te pomanjkljivosti - ne zahteva navedbe števca, saj je po definiciji vedno enak deset na negativno potenco. Zato lahko ulomek zapišemo v eno vrstico, čeprav bo njegova dolžina v večini primerov veliko večja od dolžine ustreznega navadnega ulomka.

Druga prednost zapisovanja števil kot decimalnih mest je, da jih je veliko lažje primerjati. Ker je imenovalec vsake števke dveh takšnih števil enak, je dovolj, da primerjamo le dve števki ustreznih števk, pri primerjavi navadnih ulomkov pa je treba upoštevati tako števec kot imenovalec vsakega od njih. Ta prednost ni pomembna samo za ljudi, ampak tudi za računalnike - primerjanje števil v decimalni obliki je zelo enostavno programirati.

Obstajajo stoletja stara pravila za seštevanje, množenje in druge matematične operacije, ki vam omogočajo izračune na papirju ali v glavi s števili v decimalni obliki. To je še ena prednost te oblike pred navadnimi ulomki. Čeprav je z razvojem računalniške tehnologije, ko imajo tudi ure kalkulator, to vse manj opazno.

Opisane prednosti decimalnega zapisa za zapis ulomkov kažejo, da je njegov glavni namen poenostaviti delo z matematičnimi količinami. Ta oblika ima tudi slabosti - na primer, da bi periodične ulomke zapisali v decimalni ulomek, morate dodati tudi številko v oklepaju, neracionalna števila v decimalni obliki pa imajo vedno približno vrednost. Vendar pa je na trenutni stopnji razvoja ljudi in njihovih tehnologij veliko bolj priročna za uporabo kot običajna oblika za pisanje ulomkov.

Decimalni ulomek je ulomek, v katerem je imenovalec naravna potenca števila 10. To je na primer ulomek. Ta ulomek lahko zapišemo v naslednji obliki: števce zapišimo na črto in ločimo čim več z vejico na desni, saj so v imenovalcu ničle, in sicer:

V takem zapisu tvorijo števila levo od decimalke celoštevilski del, številke desno od decimalke pa delni del danega decimalnega ulomka.

Naj bo p/q neko pozitivno racionalno število. Iz aritmetike je postopek deljenja dobro znan, kar vam omogoča, da število predstavite kot decimalni ulomek. Bistvo postopka deljenja je najprej najti največje celo število, kolikokrat je q vsebovan v p; če je p večkratnik q, potem se tu postopek deljenja konča. V nasprotnem primeru se pojavi ostanek. Nato ugotovijo, koliko desetin q vsebuje ta ostanek, in na tem koraku se lahko postopek konča ali pa se pojavi nov ostanek. V slednjem primeru ugotovite, koliko stotink q vsebuje itd.

Če imenovalec q nima drugih prafaktorjev razen 2 ali 5, potem bo po končnem številu korakov ostanek enak nič, proces deljenja se bo končal in dani navadni ulomek se bo spremenil v končni decimalni ulomek. Pravzaprav je v tem primeru vedno mogoče izbrati celo število tako, da pomnožimo števec in imenovalec danega ulomka z njim, dobimo enak ulomek, v katerem bo imenovalec predstavljal naravno potenco desetice. Na primer, to je ulomek

ki se lahko predstavi takole:

Vendar pa bo bralec brez teh transformacij, deljenja števca z imenovalcem, dobil enak rezultat:

Če ima imenovalec nezmanjšanega ulomka vsaj en pradelilnik, ki ni 2 ali 5, potem se proces deljenja s q ne bo nikoli končal (noben od naslednjih ostankov ne bo šel na nič).

Po opravljeni delitvi najdemo

Za zapis rezultata, dobljenega v tem primeru, sta številki 0 in 6, ki se periodično ponavljata, v oklepaju in zapisani:

V tem primeru in drugih podobnih primerih dejanje deljenja ne povzroči končnega rezultata kot decimalko. Če posplošimo koncept decimalnega ulomka, lahko rečemo, da je količnik 965/132 predstavljen z neskončnim periodičnim ulomkom. Ponavljajoča se števila 06 imenujemo perioda tega ulomka in njihovo število, ki je v našem primeru enako, je dolžina obdobja.

Da bi razumeli razlog za pojav periodičnosti ulomka, preučimo na primer postopek deljenja s 7. Če deljenje ni v celoti izvedeno, se pojavi ostanek, ki ima lahko samo eno od naslednjih vrednosti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. In na vsakem od naslednjih korakov bo preostanek ponovno imel eno od teh šestih vrednosti. Zato bomo najkasneje v sedmem koraku neizogibno naleteli na eno od preostalih vrednosti, ki so se že pojavile.Od te točke naprej bo proces delitve postal periodičen. Vrednosti bilanc in številke količnika se bodo periodično ponavljale. Enako sklepanje velja za kateri koli drug delitelj.

Tako je vsak navadni ulomek predstavljen kot končni ali neskončni periodični decimalni ulomek. Zanimivo je, da je nasprotno vsak periodični decimalni ulomek mogoče predstaviti kot navaden ulomek. Pokažimo, kako se to dejanje izvaja. V tem primeru se uporablja formula za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije (klavzula 92).

lahko razumemo takole:

tukaj členi na desni strani, začenši od drugega, tvorijo neskončno geometrijsko progresijo z imenovalcem in prvim členom

Z uporabo formule (92.2):

Jasno je, da bo isti postopek omogočil, da se kateri koli dani neskončni periodični ulomek predstavi v obliki navadnega ulomka (in, kot je mogoče pokazati, ravno tistega, iz katerega v procesu deljenja nastane dani neskončni periodični ulomek v pride do obrata). Vendar je tu ena izjema. Upoštevajte ulomek

in uporabite postopek pretvorbe v navadni ulomek:

Prišli smo do števila 1/2, ki se zdi končni decimalni ulomek

Podoben rezultat bomo dobili, kadar ima perioda danega neskončnega ulomka obliko (9). Zato identificiramo pare števil, kot je npr.

Včasih je koristno dovoliti tudi zapise obrazca

formalno predstavljajo končne decimalne ulomke kot neskončne s periodo (0).

Vse, kar je bilo povedano o pretvorbi navadnega ulomka v periodični decimalni ulomek in obratno, velja za pozitivna racionalna števila. V primeru negativnega števila lahko to storite na dva načina.

1) Vzemite pozitivno število nasproti danega negativnega števila, ga pretvorite v decimalko in nato pred njim postavite znak minus. Na primer, za - 5/3 dobimo

2) Predstavite dano negativno racionalno število kot vsoto njegovega celega (negativnega) in delnega dela (nenegativnega), nato pa samo ta delni del števila pretvorite v decimalni ulomek. Na primer:

Za zapis števil, predstavljenih kot vsota njihovega negativnega celega dela in končnega ali neskončnega decimalnega ulomka, je sprejemljiv naslednji zapis (umetna oblika zapisa negativnega števila):

Tu znak minus ni postavljen pred celotnim ulomkom, ampak nad njegovim celotnim delom, da poudarimo, da je le cel del negativen, ulomek za decimalno vejico pa pozitiven.

Ta zapis ustvarja enotnost v zapisu pozitivnih in negativnih decimalnih ulomkov in se bo v prihodnosti uporabljal v teoriji decimalnih logaritmov (razdelek 28). Za vajo vabimo bralca, da preveri prehod iz enega zapisa v drugega v primerih:

Sedaj lahko oblikujemo končno ugotovitev: vsako racionalno število je mogoče predstaviti z neskončnim decimalnim periodičnim ulomkom in, nasprotno, vsak tak ulomek podaja racionalno število. Končni decimalni ulomek omogoča tudi dve obliki zapisa v obliki neskončnega decimalnega ulomka: s piko (0) in s piko (9).

Že v osnovni šoli so učenci izpostavljeni ulomkom. In potem se pojavijo v vsaki temi. S temi številkami ne morete pozabiti dejanj. Zato morate poznati vse informacije o navadnih in decimalnih ulomkih. Ti koncepti niso zapleteni, glavna stvar je razumeti vse v redu.

Zakaj so potrebni ulomki?

Svet okoli nas je sestavljen iz celih predmetov. Zato delnice niso potrebne. Toda vsakdanje življenje nenehno potiska ljudi k delu z deli predmetov in stvari.

Na primer, čokolada je sestavljena iz več kosov. Razmislite o situaciji, ko je njegova ploščica sestavljena iz dvanajstih pravokotnikov. Če ga razdelite na dvoje, dobite 6 delov. Brez težav ga lahko razdelimo na tri. Ne bo pa mogoče petim ljudem dati celega števila čokoladnih rezin.

Mimogrede, te rezine so že ulomki. In njihova nadaljnja delitev vodi do pojava bolj zapletenih števil.

Kaj je "ulomek"?

To je število, sestavljeno iz delov enote. Navzven je videti kot dve številki, ločeni z vodoravno ali poševnico. Ta funkcija se imenuje frakcijska. Zgoraj (levo) zapisano število imenujemo števec. Kar je spodaj (desno), je imenovalec.

V bistvu se poševnica izkaže kot znak delitve. To pomeni, da števec lahko imenujemo dividenda, imenovalec pa delitelj.

Kateri ulomki so tam?

V matematiki obstajata le dve vrsti: navadni in decimalni ulomki. S prvimi se šolarji seznanijo že v osnovni šoli in jih preprosto imenujejo »ulomki«. Slednje se bomo učili v 5. razredu. Takrat se pojavijo ta imena.

Navadni ulomki so vsi tisti, ki so zapisani kot dve števili, ločeni s črto. Na primer 4/7. Decimalka je število, pri katerem ima ulomek položajni zapis in je od celega števila ločen z vejico. Na primer, 4.7. Učenci morajo jasno razumeti, da sta podana primera popolnoma različni številki.

Vsak preprost ulomek lahko zapišemo kot decimalko. Ta izjava je skoraj vedno resnična obratno. Obstajajo pravila, ki vam omogočajo, da decimalni ulomek zapišete kot navadni ulomek.

Katere podvrste imajo te vrste ulomkov?

Bolje je začeti v kronološkem vrstnem redu, saj so preučeni. Navadni ulomki so na prvem mestu. Med njimi je mogoče razlikovati 5 podvrst.

Pravilno. Njegov števec je vedno manjši od imenovalca.

Narobe. Njegov števec je večji ali enak imenovalcu.

Zmanjšljiv/nezmanjšljiv. Lahko se izkaže za pravilno ali napačno. Druga pomembna stvar je, ali imata števec in imenovalec skupne faktorje. Če obstajajo, je treba oba dela ulomka razdeliti nanje, to je zmanjšati.

Mešano. Celo število je pripisano njegovemu običajnemu pravilnemu (nepravilnemu) ulomku. Poleg tega je vedno na levi strani.

Sestavljeno. Sestavljen je iz dveh frakcij, ki sta med seboj razdeljeni. To pomeni, da vsebuje tri ulomke naenkrat.

Decimalni ulomki imajo samo dve podvrsti:

končen, to je tisti, katerega delni del je omejen (ima konec);

neskončno - število, katerega števke za decimalno vejico se ne končajo (lahko jih pišemo neskončno).

Kako pretvoriti decimalni ulomek v navadni ulomek?

Če je to končno število, se uporabi asociacija po pravilu - kakor slišim, tako pišem. To pomeni, da ga morate pravilno prebrati in zapisati, vendar brez vejice, vendar z ulomkom.

Kot namig o zahtevanem imenovalcu se morate spomniti, da je vedno ena in več ničel. Slednjih morate napisati toliko, kolikor je števk v ulomku zadevnega števila.

Kako pretvoriti decimalne ulomke v navadne ulomke, če njihov celoštevilski del manjka, torej je enak nič? Na primer 0,9 ali 0,05. Po uporabi navedenega pravila se izkaže, da morate napisati nič celih števil. Vendar ni navedeno. Ostane le še zapisati ulomke. Prvo število bo imelo imenovalec 10, drugo pa 100. Se pravi, dani primeri bodo imeli kot odgovore naslednja števila: 9/10, 5/100. Poleg tega se izkaže, da je slednje mogoče zmanjšati za 5. Zato je treba rezultat zanj zapisati kot 1/20.

Kako pretvorite decimalni ulomek v navaden ulomek, če je njegov celi del različen od nič? Na primer 5,23 ali 13,00108. V obeh primerih se prebere cel del in zapiše njegova vrednost. V prvem primeru je 5, v drugem pa 13. Nato se morate premakniti na delni del. Enako operacijo naj bi izvedli tudi z njimi. Prva številka se pojavi 23/100, druga - 108/100000. Drugo vrednost je treba ponovno zmanjšati. Odgovor daje naslednje mešane ulomke: 5 23/100 in 13 27/25000.

Kako pretvoriti neskončni decimalni ulomek v navaden ulomek?

Če je neperiodično, potem takšna operacija ne bo mogoča. To dejstvo je posledica dejstva, da se vsak decimalni ulomek vedno pretvori v končni ali periodični ulomek.

Edino, kar lahko storite s takšnim ulomkom, je, da ga zaokrožite. Ampak potem bo decimalka približno enaka tej neskončnosti. Lahko se že spremeni v navadnega. Toda obratni postopek: pretvorba v decimalko nikoli ne bo dala začetne vrednosti. To pomeni, da se neskončni neperiodični ulomki ne pretvorijo v navadne ulomke. To si je treba zapomniti.

Kako zapisati neskončni periodični ulomek kot navaden ulomek?

V teh številkah je za decimalno vejico vedno ena ali več števk, ki se ponavljajo. Imenujejo se obdobje. Na primer 0,3(3). Tukaj je "3" v obdobju. Uvrščamo jih med racionalne, ker jih je mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Tisti, ki so se srečali s periodičnimi ulomki, vedo, da so lahko čisti ali mešani. V prvem primeru se pika začne takoj od vejice. V drugem se ulomek začne z nekaj številkami, nato pa se začne ponavljanje.

Pravilo, po katerem morate zapisati neskončno decimalko kot navadni ulomek, bo različno za dve navedeni vrsti števil. Čiste periodične ulomke je precej enostavno zapisati kot navadne ulomke. Kot pri končnih jih je treba pretvoriti: piko zapišite v števec in imenovalec bo število 9, ki se ponovi tolikokrat, kolikor števk vsebuje pika.

Na primer 0,(5). Število nima celega dela, zato morate takoj začeti z delnim delom. Za števec zapišite 5, za imenovalec pa 9. To pomeni, da bo odgovor ulomek 5/9.

Pravilo, kako zapisati navaden decimalni periodični ulomek, ki je mešan.

Poglejte dolžino obdobja. Toliko 9 bo imel imenovalec.

Zapišite imenovalec: najprej devetice, nato ničle.

Če želite določiti števec, morate zapisati razliko dveh števil. Vse številke za decimalno vejico bodo zmanjšane skupaj s piko. Odbitna franšiza - je brez obdobja.

Na primer 0,5(8) - periodični decimalni ulomek zapišite kot navadni ulomek. Ulomek pred piko vsebuje eno števko. Torej bo ena ničla. V obdobju je tudi samo ena številka - 8. Se pravi, samo ena devetka. To pomeni, da morate v imenovalec napisati 90.

Če želite določiti števec, morate od 58 odšteti 5. Izkaže se 53. Na primer, odgovor bi morali zapisati kot 53/90.

Kako se ulomki pretvorijo v decimalke?

Najenostavnejša možnost je število, katerega imenovalec je število 10, 100 itd. Nato se imenovalec preprosto zavrže, med ulomki in celo število pa se postavi vejica.

Obstajajo situacije, ko se imenovalec zlahka spremeni v 10, 100 itd. Na primer številke 5, 20, 25. Dovolj je, da jih pomnožite z 2, 5 oziroma 4. Morate samo pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec z istim številom.

Za vse druge primere je uporabno preprosto pravilo: števec delite z imenovalcem. V tem primeru lahko dobite dva možna odgovora: končni ali periodični decimalni ulomek.

Operacije z navadnimi ulomki

Seštevanje in odštevanje

Učenci se z njimi seznanijo prej kot drugi. Poleg tega imajo ulomki najprej enake imenovalce, nato pa različne. Splošna pravila se lahko zmanjšajo na ta načrt.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev.

Zapišite dodatne faktorje za vse navadne ulomke.

Pomnožite števce in imenovalce s faktorji, določenimi zanje.

Seštejte (odštejte) števce ulomkov in pustite skupni imenovalec nespremenjen.

Če je števec manjšega manjši od odštevanca, potem moramo ugotoviti, ali imamo mešano število ali pravi ulomek.

V prvem primeru si morate enega izposoditi iz celotnega dela. Števcu ulomka dodajte imenovalec. In nato naredite odštevanje.

V drugem je treba uporabiti pravilo odštevanja večjega števila od manjšega števila. To pomeni, da od modula subtrahenda odštejete modul minuenda in kot odgovor postavite znak "-".

Pozorno si oglejte rezultat seštevanja (odštevanja). Če dobite nepravilen ulomek, morate izbrati cel del. To pomeni, da števec delite z imenovalcem.

Množenje in deljenje

Za njihovo izvedbo ulomkov ni treba reducirati na skupni imenovalec. To olajša izvajanje dejanj. Vendar še vedno zahtevajo, da upoštevate pravila.

Ko množite ulomke, morate pogledati številke v števcih in imenovalcih. Če imata katerikoli števec in imenovalec skupni faktor, ju je mogoče zmanjšati.

Pomnoži števce.

Pomnožite imenovalce.

Če je rezultat zmanjšljiv ulomek, ga je treba znova poenostaviti.

Pri deljenju je treba deljenje najprej zamenjati z množenjem, delitelj (drugi ulomek) pa z recipročnim ulomkom (števec in imenovalec zamenjati).

Nato nadaljujte kot pri množenju (začenši od točke 1).

Pri nalogah, kjer je treba množiti (deliti) s celim številom, naj bo slednje zapisano kot nepravi ulomek. To je z imenovalcem 1. Nato ravnajte, kot je opisano zgoraj.



Operacije z decimalkami

Seštevanje in odštevanje

Seveda lahko decimalko vedno pretvorite v ulomek. In ukrepajte po že opisanem načrtu. Toda včasih je bolj priročno delovati brez tega prevoda. Potem bodo pravila za njihovo seštevanje in odštevanje popolnoma enaka.

Izenačite število števk v ulomku števila, to je za decimalno vejico. Dodajte mu manjkajoče število ničel.

Ulomke zapiši tako, da bo vejica pod vejico.

Seštevamo (odštevamo) kot naravna števila.

Odstranite vejico.

Množenje in deljenje

Pomembno je, da vam tukaj ni treba dodajati ničel. Ulomke pustite tako, kot so podani v primeru. In potem pojdite po načrtu.

Za množenje morate ulomke pisati enega pod drugim, ne da bi upoštevali vejice.

Množite kot naravna števila.

V odgovor postavite vejico in od desnega konca odgovora odštejte toliko števk, kolikor jih je v ulomkih obeh faktorjev.

Če želite deliti, morate najprej transformirati delitelj: naj bo naravno število. To pomeni, da ga pomnožite z 10, 100 itd., odvisno od tega, koliko števk je v delčku delitelja.

Pomnožite dividendo z istim številom.

Decimalni ulomek delite z naravnim številom.

V odgovor postavite vejico v trenutku, ko se konča deljenje celega dela.



Kaj pa, če en primer vsebuje obe vrsti ulomkov?

Da, v matematiki pogosto obstajajo primeri, v katerih morate izvajati operacije na navadnih in decimalnih ulomkih. Pri takih nalogah sta možni dve rešitvi. Številke morate objektivno pretehtati in izbrati optimalno.

Prvi način: predstavlja navadne decimalke

Primerno je, če deljenje ali prevajanje povzroči končne ulomke. Če vsaj ena številka daje periodični del, potem je ta tehnika prepovedana. Torej, tudi če vam ni všeč delo z navadnimi ulomki, jih boste morali prešteti.

Drugi način: decimalne ulomke zapišite kot navadne

Ta tehnika se izkaže za priročno, če del za decimalno vejico vsebuje 1-2 števki. Če jih je več, lahko na koncu dobite zelo velik navadni ulomek, z decimalnim zapisom pa bo naloga hitrejša in lažja za izračun. Zato morate vedno trezno oceniti nalogo in izbrati najpreprostejši način rešitve.

V tem članku si bomo ogledali, kako pretvarjanje ulomkov v decimalke, in upoštevajte tudi obratni postopek - pretvorbo decimalnih ulomkov v navadne ulomke. Tukaj bomo predstavili pravila za pretvorbo ulomkov in podali podrobne rešitve tipičnih primerov.

Navigacija po straneh.

Pretvarjanje ulomkov v decimalke

Označimo zaporedje, v katerem bomo obravnavali pretvarjanje ulomkov v decimalke.

Najprej si bomo ogledali, kako predstaviti ulomke z imenovalci 10, 100, 1000, ... kot decimalke. To je razloženo z dejstvom, da so decimalni ulomki v bistvu strnjena oblika zapisa navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ....

Nato bomo šli še dlje in pokazali, kako zapišemo poljuben navaden ulomek (ne samo tiste z imenovalci 10, 100, ...) kot decimalni ulomek. Ko navadne ulomke obravnavamo na ta način, dobimo tako končne decimalne ulomke kot neskončne periodične decimalne ulomke.

Zdaj pa se pogovorimo o vsem po vrsti.

Pretvarjanje navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalke

Nekateri pravilni ulomki zahtevajo "predhodno pripravo", preden se pretvorijo v decimalke. To velja za navadne ulomke, katerih število števcev je manjše od števila ničel v imenovalcu. Na primer, navadni ulomek 2/100 je treba najprej pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek, ulomek 9/10 pa ne potrebuje nobene priprave.

"Predhodna priprava" pravih navadnih ulomkov za pretvorbo v decimalne ulomke je sestavljena iz dodajanja toliko ničel levo v števcu, da skupno število števk tam postane enako številu ničel v imenovalcu. Na primer, ulomek po dodajanju ničel bo videti kot .

Ko pripravite ustrezen ulomek, ga lahko začnete pretvarjati v decimalko.

Dajmo pravilo za pretvorbo pravilnega navadnega ulomka z imenovalcem 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalni ulomek. Sestavljen je iz treh korakov:

• napiši 0;
• za njim postavimo decimalno vejico;
• Zapišemo število iz števca (skupaj z dodanimi ničlami, če smo jih sešteli).

Razmislimo o uporabi tega pravila pri reševanju primerov.

Primer.

Pravilni ulomek 37/100 pretvorite v decimalko.

rešitev.

V imenovalcu je število 100, ki ima dve ničli. Števec vsebuje številko 37, njegov zapis ima dve števki, zato tega ulomka ni treba pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek.

Sedaj zapišemo 0, postavimo decimalno vejico in iz števca zapišemo število 37 in dobimo decimalni ulomek 0,37.

odgovor:

0,37 .

Za utrjevanje spretnosti pretvarjanja pravilnih navadnih ulomkov s števci 10, 100, ... v decimalne ulomke bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Pravilni ulomek 107/10.000.000 zapišite kot decimalko.

rešitev.

Število številk v števcu je 3, število ničel v imenovalcu pa 7, zato je treba ta navadni ulomek pripraviti za pretvorbo v decimalko. Levo v števcu moramo dodati 7-3=4 ničle, tako da skupno število števk tam postane enako številu ničel v imenovalcu. Dobimo.

Vse, kar ostane, je ustvariti zahtevani decimalni ulomek. Da bi to naredili, najprej napišemo 0, drugič, postavimo vejico, tretjič, zapišemo številko iz števca skupaj z ničlami ​​0000107, kot rezultat imamo decimalni ulomek 0,0000107.

odgovor:

0,0000107 .

Nepravilni ulomki ne zahtevajo nobene priprave pri pretvorbi v decimalke. Upoštevati je treba naslednje pravila za pretvarjanje nepravilnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalke:

• zapiši število iz števnika;
• Z decimalno vejico ločimo toliko števk na desni, kolikor ničel je v imenovalcu prvotnega ulomka.

Poglejmo si uporabo tega pravila pri reševanju primera.

Primer.

Pretvorite nepravilni ulomek 56.888.038.009/100.000 v decimalko.

rešitev.

Prvič, zapišemo število iz števca 56888038009, in drugič, ločimo 5 števk na desni z decimalno vejico, saj ima imenovalec prvotnega ulomka 5 ničel. Kot rezultat imamo decimalni ulomek 568880,38009.

odgovor:

568 880,38009 .

Če želite mešano število pretvoriti v decimalni ulomek, katerega imenovalec ulomka je število 10, ali 100, ali 1000, ..., lahko mešano število pretvorite v nepravilni navadni ulomek in nato pretvorite dobljeni ulomek. ulomek v decimalni ulomek. Lahko pa uporabite tudi naslednje pravilo za pretvarjanje mešanih števil z ulomkom 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalne ulomke:

• če je potrebno, izvedemo "predhodno pripravo" delnega dela prvotnega mešanega števila z dodajanjem zahtevanega števila ničel levo v števcu;
• zapišite celoštevilski del prvotnega mešanega števila;
• postavite decimalno vejico;
• Število iz števca zapišemo skupaj s prištetimi ničlami.

Oglejmo si primer, v katerem dokončamo vse potrebne korake za predstavitev mešanega števila kot decimalni ulomek.

Primer.

Mešano število pretvorite v decimalko.

rešitev.

Imenovalec ulomka ima 4 ničle, števec pa vsebuje številko 17, ki je sestavljena iz 2 števk, zato moramo števcu dodati dve ničli na levo, tako da število števk tam postane enako številu ničle v imenovalcu. Po tem bo števec 0017.

Sedaj zapišemo celoštevilski del prvotnega števila, to je številka 23, postavimo decimalno vejico, za katero zapišemo število iz števca skupaj z dodanimi ničlami, to je 0017, in dobimo želeno decimalko. ulomek 23,0017.

Naj na kratko zapišemo celotno rešitev: .

Seveda je bilo mogoče mešano število najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in ga nato pretvoriti v decimalni ulomek. S tem pristopom je rešitev videti takole: .

odgovor:

23,0017 .

Pretvarjanje ulomkov v končne in neskončne periodične decimalke

V decimalni ulomek lahko pretvorite ne samo navadne ulomke z imenovalci 10, 100, ..., temveč tudi navadne ulomke z drugimi imenovalci. Zdaj bomo ugotovili, kako se to naredi.

V nekaterih primerih se prvotni navadni ulomek zlahka skrči na enega od imenovalcev 10, ali 100, ali 1000, ... (glej spravljanje navadnega ulomka na nov imenovalec), potem pa ni težko predstaviti nastalega ulomka kot decimalni ulomek. Očitno je na primer, da je mogoče ulomek 2/5 zmanjšati na ulomek z imenovalcem 10, za to morate števec in imenovalec pomnožiti z 2, kar bo dalo ulomek 4/10, ki glede na Pravila, obravnavana v prejšnjem odstavku, zlahka pretvorijo v decimalni ulomek 0, 4 .

V drugih primerih morate uporabiti drugo metodo za pretvorbo navadnega ulomka v decimalno, kar bomo zdaj obravnavali.

Za pretvorbo navadnega ulomka v decimalni ulomek delimo števec ulomka z imenovalcem, števec najprej nadomestimo z enakim decimalnim ulomkom s poljubnim številom ničel za decimalno vejico (o tem smo govorili v razdelku enako in neenaki decimalni ulomki). V tem primeru se deljenje izvede na enak način kot deljenje s stolpcem naravnih števil, v količniku pa se postavi decimalna vejica, ko se konča deljenje celotnega dela dividende. Vse to bo razvidno iz rešitev spodnjih primerov.

Primer.

Pretvorite ulomek 621/4 v decimalko.

rešitev.

Predstavimo število v števcu 621 kot decimalni ulomek, dodamo decimalno vejico in za njo več ničel. Najprej seštejmo 2 števki 0, pozneje, če je treba, lahko vedno dodamo še več ničel. Torej imamo 621,00.

Zdaj pa s stolpcem razdelimo število 621.000 s 4. Prvi trije koraki se ne razlikujejo od deljenja naravnih števil s stolpcem, po katerem pridemo do naslednje slike:

Tako pridemo do decimalne vejice dividende, ostanek pa je drugačen od nič. V tem primeru v količniku postavimo decimalno vejico in nadaljujemo z deljenjem v stolpcu, ne da bi bili pozorni na vejice:

S tem je deljenje končano in kot rezultat dobimo decimalni ulomek 155,25, ki ustreza prvotnemu navadnemu ulomku.

odgovor:

155,25 .

Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi drugega primera.

Primer.

Pretvorite ulomek 21/800 v decimalko.

rešitev.

Za pretvorbo tega navadnega ulomka v decimalni ulomek delimo s stolpcem decimalnega ulomka 21.000... z 800. Po prvem koraku bomo morali v količniku postaviti decimalno vejico in nato nadaljevati deljenje:

Končno smo dobili ostanek 0, s tem smo zaključili pretvorbo navadnega ulomka 21/400 v decimalni ulomek in prišli smo do decimalnega ulomka 0,02625.

odgovor:

0,02625 .

Lahko se zgodi, da pri deljenju števca z imenovalcem navadnega ulomka še vedno ne dobimo ostanka 0. V teh primerih se delitev lahko nadaljuje za nedoločen čas. Od določenega koraka pa se ostanki začnejo periodično ponavljati, ponavljajo pa se tudi števila v količniku. To pomeni, da se prvotni ulomek pretvori v neskončni periodični decimalni ulomek. Pokažimo to s primerom.

Primer.

Zapišite ulomek 19/44 kot decimalko.

rešitev.

Če želite navadni ulomek pretvoriti v decimalno, izvedite deljenje s stolpcem:

Že zdaj je jasno, da sta se pri deljenju začela ponavljati ostanka 8 in 36, medtem ko se v količniku ponavljata števili 1 in 8. Tako se prvotni navadni ulomek 19/44 pretvori v periodični decimalni ulomek 0,43181818...=0,43(18).

odgovor:

0,43(18) .

Za zaključek te točke bomo ugotovili, katere navadne ulomke je mogoče pretvoriti v končne decimalne ulomke in katere samo v periodične.

Pred seboj imamo nezmanjšljiv navadni ulomek (če je ulomek zmanjšljiv, potem ulomek najprej skrčimo) in ugotoviti moramo, v kakšen decimalni ulomek ga lahko pretvorimo - v končnega ali periodičnega.

Jasno je, da če lahko navadni ulomek zmanjšamo na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ..., potem lahko dobljeni ulomek enostavno pretvorimo v končni decimalni ulomek po pravilih, obravnavanih v prejšnjem odstavku. Toda na imenovalce 10, 100, 1000 itd. Niso podani vsi navadni ulomki. Na take imenovalce lahko skrčimo le tiste ulomke, katerih imenovalec je vsaj eno od števil 10, 100, ... In katera števila so lahko delitelji 10, 100, ...? Številke 10, 100, ... nam bodo omogočile odgovor na to vprašanje in so naslednje: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Iz tega sledi, da so delitelji 10, 100, 1000 itd. Obstajajo lahko samo števila, katerih razčlenitve na prafaktorje vsebujejo samo številki 2 in (ali) 5.

Zdaj lahko naredimo splošen zaključek o pretvorbi navadnih ulomkov v decimalke:

• če so pri razgradnji imenovalca na prafaktorje prisotni samo števili 2 in (ali) 5, potem lahko ta ulomek pretvorimo v končni decimalni ulomek;
• če so poleg dvojk in petic v razširitvi imenovalca še druga praštevila, potem se ta ulomek pretvori v neskončni decimalni periodični ulomek.

Primer.

Brez pretvarjanja navadnih ulomkov v decimalne, povejte mi, katere od ulomkov 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 je mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek in katere samo v periodični ulomek.

rešitev.

Imenovalec ulomka 47/20 je faktoriziran na prafaktorje kot 20=2·2·5. V tej razširitvi sta samo dvojka in petica, zato je ta ulomek mogoče zmanjšati na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ... (v tem primeru na imenovalec 100), zato ga je mogoče pretvoriti v končno decimalko ulomek.

Razčlenitev imenovalca ulomka 7/12 na prafaktorje ima obliko 12=2·2·3. Ker vsebuje prafaktor 3, ki se razlikuje od 2 in 5, tega ulomka ni mogoče predstaviti kot končno decimalko, lahko pa ga pretvorimo v periodično decimalko.

Ulomek 21/56 – kontraktilna, po kontrakciji dobi obliko 3/8. Razlaganje imenovalca na prafaktorje vsebuje tri faktorje, enake 2, zato lahko navadni ulomek 3/8 in s tem enak ulomek 21/56 pretvorimo v končni decimalni ulomek.

Končno je razširitev imenovalca ulomka 31/17 sama 17, zato tega ulomka ni mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek, lahko pa ga pretvorimo v neskončni periodični ulomek.

odgovor:

47/20 in 21/56 je mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek, 7/12 in 31/17 pa le v periodični ulomek.

Navadni ulomki se ne pretvorijo v neskončne neperiodične decimalke

Informacije v prejšnjem odstavku sprožijo vprašanje: "Ali lahko deljenje števca ulomka z imenovalcem povzroči neskončen neperiodični ulomek?"

Odgovor: ne. Pri pretvorbi navadnega ulomka je lahko rezultat končni decimalni ulomek ali neskončni periodični decimalni ulomek. Naj pojasnimo, zakaj je tako.

Iz izreka o deljivosti z ostankom je razvidno, da je ostanek vedno manjši od delitelja, se pravi, če neko celo število delimo s celim številom q, potem je lahko ostanek samo eno izmed števil 0, 1, 2. , ..., q−1. Iz tega sledi, da potem, ko je stolpec dokončal delitev celega dela števca navadnega ulomka z imenovalcem q, se bo v največ q korakih pojavila ena od naslednjih dveh situacij:

• ali bomo dobili ostanek 0, s tem bomo končali deljenje in dobili bomo zadnji decimalni ulomek;
• ali pa bomo dobili ostanek, ki se je že pojavil, nakar se bodo ostanki začeli ponavljati kot v prejšnjem primeru (ker pri deljenju enakih števil s q dobimo enake ostanke, kar izhaja iz že omenjenega izreka o deljivosti), to rezultat bo neskončni periodični decimalni ulomek.

Drugih možnosti ne more biti, zato pri pretvorbi navadnega ulomka v decimalni ulomek ni mogoče dobiti neskončnega neperiodičnega decimalnega ulomka.

Iz sklepanja v tem odstavku tudi sledi, da je dolžina periode decimalnega ulomka vedno manjša od vrednosti imenovalca ustreznega navadnega ulomka.

Pretvarjanje decimalnih mest v ulomke

Zdaj pa ugotovimo, kako pretvoriti decimalni ulomek v navaden ulomek. Začnimo s pretvorbo zadnjih decimalnih ulomkov v navadne ulomke. Po tem bomo obravnavali metodo za obračanje neskončnih periodičnih decimalnih ulomkov. Na koncu povejmo o nezmožnosti pretvorbe neskončnih neperiodičnih decimalnih ulomkov v navadne ulomke.

Pretvarjanje končnih decimalk v ulomke

Pridobivanje ulomka, ki je zapisan kot končna decimalka, je precej preprosto. Pravilo za pretvorbo končnega decimalnega ulomka v navadni ulomek je sestavljen iz treh korakov:

• najprej dani decimalni ulomek zapiši v števec, pri čemer si pred tem zavrgel decimalno vejico in vse ničle na levi, če so bile;
• drugič, v imenovalec vpišite eno in mu dodajte toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku;
• tretjič, če je potrebno, zmanjšajte nastalo frakcijo.

Poglejmo si rešitve primerov.

Primer.

Decimalno število 3,025 pretvorite v ulomek.

rešitev.

Če prvotnemu decimalnemu ulomku odstranimo decimalno vejico, dobimo število 3.025. Na levi strani ni ničel, ki bi jih zavrgli. Torej, v števec želenega ulomka zapišemo 3,025.

Število 1 zapišemo v imenovalec in mu dodamo desno 3 ničle, saj so v prvotnem decimalnem ulomku za decimalno vejico 3 števke.

Torej imamo navadni ulomek 3,025/1,000. Ta ulomek lahko zmanjšamo za 25, dobimo .

odgovor:

.

Primer.

Pretvorite decimalni ulomek 0,0017 v ulomek.

rešitev.

Brez decimalne vejice je prvotni decimalni ulomek videti kot 00017, če zavržemo ničle na levi dobimo število 17, ki je števec želenega navadnega ulomka.

Enico zapišemo s štirimi ničlami ​​v imenovalcu, saj ima prvotni decimalni ulomek 4 števke za decimalno vejico.

Kot rezultat imamo navaden ulomek 17/10.000. Ta ulomek je nezmanjšljiv in pretvorba decimalnega ulomka v navadni ulomek je končana.

odgovor:

.

Ko je celi del prvotnega končnega decimalnega ulomka različen od nič, ga je mogoče takoj pretvoriti v mešano število, mimo navadnega ulomka. Dajmo pravilo za pretvorbo končnega decimalnega ulomka v mešano število:

• število pred decimalno vejico mora biti zapisano kot celo število želenega mešanega števila;
• v števec delnega dela morate napisati število, ki ga dobite iz delnega dela prvotnega decimalnega ulomka, potem ko zavržete vse ničle na levi;
• v imenovalec ulomka morate zapisati številko 1, ki ji na desni strani dodate toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku;
• po potrebi zmanjšajte delni del dobljenega mešanega števila.

Oglejmo si primer pretvorbe decimalnega ulomka v mešano število.

Primer.

Izrazite decimalni ulomek 152,06005 kot mešano število

Če želite zapisati racionalno število m/n kot decimalni ulomek, morate števec deliti z imenovalcem. V tem primeru količnik zapišemo kot končni ali neskončni decimalni ulomek.

To število zapišite kot decimalni ulomek.

rešitev. Števec vsakega ulomka razdelite v stolpec z imenovalcem: A) delite 6 s 25; b) delite 2 s 3; V) delite 1 z 2 in nato dobljeni ulomek prištejte k ena - celemu delu tega mešanega števila.

Nezmanjšani navadni ulomki, katerih imenovalci ne vsebujejo prafaktorjev razen 2 in 5 , so zapisane kot zadnji decimalni ulomek.

IN primer 1 kdaj A) imenovalec 25=5·5; kdaj V) imenovalec je 2, tako da dobimo končne decimalke 0,24 in 1,5. Kdaj b) imenovalec je 3, zato rezultata ni mogoče zapisati kot končno decimalko.

Ali je mogoče brez dolgega deljenja pretvoriti v decimalni ulomek tak navaden ulomek, katerega imenovalec ne vsebuje drugih deliteljev razen 2 in 5? Ugotovimo! Kateri ulomek imenujemo decimalka in ga zapišemo brez ulomkovega stolpca? Odgovor: ulomek z imenovalcem 10; 100; 1000 itd. In vsako od teh števil je produkt enakaštevilo dvojk in petic. Dejansko: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 itd.

Posledično bo treba imenovalec nezmanjšanega navadnega ulomka predstaviti kot zmnožek »dvojk« in »petic« in nato pomnožiti z 2 in (ali) 5, tako da postanejo »dvojke« in »petice« enake. Potem bo imenovalec ulomka enak 10 ali 100 ali 1000 itd. Da se vrednost ulomka ne spremeni, pomnožimo števec ulomka z istim številom, s katerim smo pomnožili imenovalec.

Naslednje navadne ulomke izrazite kot decimalke:

rešitev. Vsak od teh ulomkov je nezmanjšljiv. Razložimo imenovalec vsakega ulomka na prafaktorje.

20=2·2·5. Zaključek: manjka ena črka A.

8=2·2·2. Sklep: manjkajo trije "A".

25=5·5. Zaključek: manjkata dve »dvojki«.

Komentiraj. V praksi pogosto ne uporabljajo faktoriziranja imenovalca, ampak preprosto zastavijo vprašanje: s koliko je treba pomnožiti imenovalec, da bo rezultat ena z ničlami ​​(10 ali 100 ali 1000 itd.). In potem se števec pomnoži z istim številom.

Torej, v primeru A)(primer 2) iz števila 20 lahko dobite 100 z množenjem s 5, zato morate števec in imenovalec pomnožiti s 5.

Kdaj b)(primer 2) iz števila 8 ne bomo dobili števila 100, ampak bomo z množenjem s 125 dobili število 1000. Tako števec (3) kot imenovalec (8) ulomka pomnožimo s 125.

Kdaj V)(primer 2) iz 25 dobite 100, če pomnožite s 4. To pomeni, da je treba števec 8 pomnožiti s 4.

Imenuje se neskončni decimalni ulomek, v katerem se ena ali več števk vedno ponavlja v istem zaporedju periodično kot decimalko. Niz ponavljajočih se števk imenujemo perioda tega ulomka. Zaradi kratkosti je perioda ulomka zapisana enkrat, v oklepaju.

Kdaj b)(primer 1) obstaja samo ena ponavljajoča se cifra in je enaka 6. Zato bo naš rezultat 0,66... ​​​​zapisan takole: 0,(6) . Berejo: nič pika, šest v piki.

Če je med decimalno vejico in prvo piko ena ali več števk, ki se ne ponavljajo, potem se tak periodični ulomek imenuje mešani periodični ulomek.

Nezmanjšani navadni ulomek, katerega imenovalec je skupaj z drugimi množitelj vsebuje množitelj 2 oz 5 , postane mešano periodični ulomek.

Zapiši števila kot decimalna mesta.