Na prvi pogled se zdijo algebraični ulomki zelo zapleteni in nepripravljeni učenec lahko misli, da se z njimi ne da narediti ničesar. Kopičenje spremenljivk, številk in celo stopinj vzbuja strah. Vendar se ista pravila uporabljajo za zmanjševanje navadnih ulomkov (kot je 15/25) in algebrskih ulomkov.

Koraki

Zmanjševanje ulomkov

Oglejte si dejavnosti z enostavni ulomki. Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemimo ulomek 15/35. Če želite poenostaviti ta ulomek, bi morali poiščite skupni delitelj. Obe števili sta deljivi s pet, zato lahko ločimo 5 v števcu in imenovalcu:

Zdaj lahko zmanjša skupne dejavnike, torej prečrtajte 5 v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo poenostavljen ulomek 3/7 . IN algebrski izrazi skupni faktorji so dodeljeni na enak način kot pri navadnih. V prejšnjem primeru smo lahko zlahka izolirali 5 od 15 - isto načelo velja za bolj zapletene izraze, kot je 15x – 5. Poiščimo skupni faktor. IN v tem primeru to bo 5, ker sta oba člena (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izolirajte skupni faktor in ga premaknite levo.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, preprosto pomnožite izraz v oklepajih s 5 - rezultat bodo enake številke kot na začetku. Kompleksne člene lahko izoliramo na enak način kot enostavne. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne. To je najlažji način za zmanjšanje ulomka. Razmislite o naslednjem ulomku:

Upoštevajte, da tako števec (zgoraj) kot imenovalec (spodaj) vsebujeta člen (x+2), zato ga je mogoče zmanjšati na enak način kot skupni faktor 5 v ulomku 15/35:

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3)/(x+10)

Zmanjšanje algebraičnih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri redukciji algebraičnega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh strani. Začnite s števcem in ga poskusite vključiti v čim več faktorjev. V tem razdelku razmislite o naslednjem ulomku:

Začnimo s števcem: 9x – 3. Za 9x in -3 je skupni faktor številka 3. Vzemimo 3 iz oklepaja, kot je storjeno z navadnimi števili: 3 * (3x-1). Rezultat te transformacije je naslednji ulomek:

Poiščite skupni faktor v števcu. Nadaljujmo z zgornjim primerom in zapišimo imenovalec: 15x+6. Kot prej ugotovimo, s katerim številom sta deljiva oba dela. In v tem primeru je skupni faktor 3, tako da lahko zapišemo: 3 * (5x +2). Prepišimo ulomek v naslednji obliki:

Skrajšajte iste izraze. V tem koraku lahko ulomek poenostavite. Prečrtajte iste člene v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

Ugotovite, da ima ulomek najpreprostejša oblika. Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da ne morete preklicati izrazov, ki se pojavijo v oklepajih - v zgornjem primeru x ni mogoče ločiti od 3x in 5x, saj sta polna izraza (3x -1) in (5x + 2). Tako ulomka ni mogoče nadalje poenostavljati in končni odgovor je naslednji:

Vadite zmanjševanje ulomkov sami. Najboljši način naučite se metode je neodvisna odločitev naloge. Pravilni odgovori so podani pod primeri.

odgovor:(x=13)

odgovor:(2x-1)/5

Posebne poteze

Vzemi ven negativni predznak onstran ulomka. Recimo, da vam je dan naslednji ulomek:

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaka, vendar ju ni mogoče takoj zmanjšati, ker sta "obrnjena". Vendar (x - 4) lahko zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrat znaka".

Zdaj lahko zmanjšate enake izraze (4-x):

Tako dobimo končni odgovor: -3/5 . Naučite se prepoznati razliko med kvadratki. Razlika kvadratov je, ko se kvadrat enega števila odšteje od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko popolnih kvadratov je vedno mogoče razstaviti na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratni koren. Potem bo izraz dobil naslednjo obliko:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta tehnika je zelo uporabna pri iskanju skupnih izrazov v algebrskih ulomkih.

• Preverite, ali ste ta ali oni izraz pravilno faktorizirali. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak izraz.
• Če želite popolnoma poenostaviti ulomek, vedno ločite največje faktorje.

V tem članku si bomo podrobno ogledali, kako zmanjševanje ulomkov. Najprej se pogovorimo o tem, kaj se imenuje zmanjševanje ulomka. Po tem se pogovorimo o zmanjševanju reducibilnega ulomka v nezmanjšano obliko. Nato bomo pridobili pravilo za zmanjševanje ulomkov in na koncu razmislili o primerih uporabe tega pravila.

Navigacija po straneh.

Kaj pomeni zmanjšati ulomek?

Vemo, da navadne ulomke delimo na zmanjšene in nezmanjšljive ulomke. Iz imen lahko sklepate, da je zmanjšene ulomke mogoče skrčiti, nezmanjšanih pa ne.

Kaj pomeni zmanjšati ulomek? Zmanjšaj ulomek- to pomeni, da njegov števec in imenovalec delimo z njunim pozitivnim in različnim od enote. Jasno je, da z zmanjševanjem ulomka dobimo nov ulomek z manjšim števcem in imenovalcem, zaradi osnovne lastnosti ulomka pa je dobljeni ulomek enak prvotnemu.

Na primer, zmanjšajmo navadni ulomek 8/24 tako, da njegov števec in imenovalec delimo z 2. Z drugimi besedami, zmanjšajmo ulomek 8/24 za 2. Ker je 8:2=4 in 24:2=12, je rezultat tega zmanjšanja ulomek 4/12, ki je enak prvotnemu ulomku 8/24 (glejte enake in neenake ulomke). Kot rezultat, imamo.

Reduciranje navadnih ulomkov v nezmanjšano obliko

Običajno je končni cilj zmanjševanja ulomka pridobiti nezmanjšljiv ulomek, ki je enak prvotnemu pomanjšljivemu ulomku. Ta cilj je mogoče doseči z redukcijo prvotnega pomanjšanega ulomka na njegov števec in imenovalec. Kot rezultat takšne redukcije vedno dobimo nezmanjšani ulomek. Res, delček je nepopravljiva, saj je znano, da in - . Tukaj bomo rekli, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka največje število, s katerim se ta delež lahko zmanjša.

Torej, zmanjševanje navadnega ulomka v nezmanjšano obliko sestoji iz deljenja števca in imenovalca prvotnega pomanjšanega ulomka z njunim gcd.

Poglejmo primer, za katerega se vrnemo k ulomku 8/24 in ga zmanjšamo za največji skupni delitelj števil 8 in 24, ki je enak 8. Ker je 8:8=1 in 24:8=3, pridemo do nezmanjšanega ulomka 1/3. Torej, .

Upoštevajte, da besedna zveza "zmanjšaj ulomek" pogosto pomeni zmanjševanje prvotnega ulomka na njegovo nezmanjšano obliko. Z drugimi besedami, zmanjševanje ulomka se zelo pogosto nanaša na deljenje števca in imenovalca z njunim največjim skupnim faktorjem (namesto s katerimkoli skupnim faktorjem).

Kako zmanjšati ulomek? Pravila in primeri zmanjševanja ulomkov

Preostane nam le še ogled pravila za zmanjševanje ulomkov, ki pojasnjuje, kako zmanjševati dani ulomek.

Pravilo za zmanjševanje ulomkov je sestavljen iz dveh korakov:

• najprej se najde gcd števca in imenovalca ulomka;
• drugič, števec in imenovalec ulomka se deli z njunim gcd, kar daje nezmanjšani ulomek, ki je enak prvotnemu.

Uredimo to primer zmanjševanja ulomka po navedenem pravilu.

Primer.

Zmanjšaj ulomek 182/195.

rešitev.

Izvedemo oba koraka, ki ju predpisuje pravilo za zmanjševanje ulomka.

Najprej najdemo GCD(182, 195) . Najprimerneje je uporabiti Evklidov algoritem (glej): 195=182·1+13, 182=13·14, to je GCD(182, 195)=13.

Zdaj delimo števec in imenovalec ulomka 182/195 s 13 in dobimo nezmanjšani ulomek 14/15, ki je enak prvotnemu ulomku. S tem je zmanjšanje frakcije končano.

Rešitev lahko na kratko zapišemo takole: .

odgovor:

Tu lahko končamo zmanjševanje ulomkov. Za popolnost pa si poglejmo še dva načina za zmanjševanje ulomkov, ki se običajno uporabljata v lažjih primerih.

Včasih števec in imenovalec ulomka, ki ga zmanjšujemo, nista težka. Zmanjšanje ulomka v tem primeru je zelo preprosto: samo odstraniti morate vse skupne faktorje iz števca in imenovalca.

Omeniti velja, da ta metoda neposredno izhaja iz pravila zmanjševanja ulomkov, saj je zmnožek vseh skupnih prafaktorjev števca in imenovalca enak njihovemu največjemu skupnemu delitelju.

Poglejmo rešitev primera.

Primer.

Zmanjšaj ulomek 360/2 940.

rešitev.

Razložimo števec in imenovalec na preproste faktorje: 360=2·2·2·3·3·5 in 2,940=2·2·3·5·7·7. torej .

Zdaj se znebimo skupnih faktorjev v števcu in imenovalcu, zaradi udobja jih preprosto prečrtamo: .

Na koncu pomnožimo preostale faktorje: , in krajšanje ulomka je končano.

Tukaj je kratek povzetek rešitve: .

odgovor:

Razmislimo o drugem načinu zmanjševanja ulomka, ki je sestavljen iz zaporednega zmanjševanja. Tu se ulomek na vsakem koraku zmanjša za nek skupni delitelj števca in imenovalca, ki je očiten ali pa ga zlahka določimo z

Ne da bi vedeli, kako zmanjšati ulomek, in imeli dosledno spretnost pri reševanju podobni primeri Zelo težko se je učiti algebro v šoli. Dlje kot greš, več je osnovnih znanj o okrajšavah navadni ulomki prekrivajo nove informacije. Najprej se pojavijo potence, nato faktorji, ki kasneje postanejo polinomi.

Kako se lahko tukaj izognete zmedi? Temeljito utrdite veščine prejšnjih tem in se postopoma pripravite na znanje o zmanjševanju ulomka, ki postaja iz leta v leto bolj zapleteno.

Osnovno znanje

Brez njih se ne boste mogli spoprijeti z nalogami katere koli ravni. Da bi razumeli, morate razumeti dvoje preprosti trenutki. Prvič: dejavnike lahko le zmanjšate. Ta odtenek se izkaže za zelo pomemben, ko se v števcu ali imenovalcu pojavijo polinomi. Nato morate jasno ločiti, kje je množitelj in kje seštevalec.

Druga točka pravi, da je poljubno število mogoče predstaviti v obliki faktorjev. Poleg tega je rezultat zmanjšanja ulomek, katerega števca in imenovalca ni več mogoče zmanjšati.

Pravila za zmanjševanje navadnih ulomkov

Najprej preverite, ali je števec deljiv z imenovalcem ali obratno. Potem je treba ravno to število zmanjšati. To je najpreprostejša možnost.

Drugi je analiza videzštevilke. Če se oba končata z eno ali več ničlami, ju je mogoče skrajšati za 10, 100 ali tisoč. Tukaj lahko opazite, ali so števila soda. Če da, potem ga lahko varno prerežete na dva.

Tretje pravilo za zmanjševanje ulomka je razčlenitev števca in imenovalca na prafaktorje. V tem času morate aktivno uporabiti vse svoje znanje o znakih deljivosti števil. Po tem razčlenjevanju preostane le še poiskati vse ponavljajoče se, jih pomnožiti in zmanjšati za dobljeno število.

Kaj pa, če je v ulomku algebrski izraz?

Tu se pojavijo prve težave. Ker se tu pojavljajo termini, ki so lahko identični faktorjem. Zelo jih želim zmanjšati, a ne morem. Pred rezanjem algebrski ulomek, ga je treba transformirati tako, da ima množitelje.

Če želite to narediti, boste morali izvesti več korakov. Morda boste morali iti skozi vse ali pa vam bo prvi ponudil ustrezno možnost.

Preverite, ali se števec in imenovalec oziroma katerikoli izraz v njiju razlikujeta po predznaku. V tem primeru morate le dati minus ena iz oklepaja. To proizvaja enake faktorje, ki jih je mogoče zmanjšati.

Preverite, ali je možno odstraniti skupni faktor iz polinoma iz oklepaja. Morda bo tako nastal oklepaj, ki ga je mogoče tudi skrajšati, ali pa bo odstranjen monom.

Poskusite združiti monome, da jim nato dodate skupni faktor. Po tem se lahko izkaže, da bodo dejavniki, ki jih je mogoče zmanjšati, ali pa se bo spet ponovilo oklepanje skupnih elementov.

Poskusite pisno obravnavati formule za skrajšano množenje. Z njihovo pomočjo lahko preprosto pretvorite polinome v faktorje.

Zaporedje operacij z ulomki s potencami

Da bi zlahka razumeli vprašanje, kako zmanjšati ulomek s potencami, se morate trdno spomniti osnovnih operacij z njimi. Prva od teh je povezana z množenjem moči. V tem primeru, če so osnove enake, je treba indikatorje dodati.

Drugo je delitev. Še enkrat, za tiste, ki imajo iste razloge, bo treba kazalnike odšteti. Poleg tega morate odšteti od števila, ki je v dividendi, in ne obratno.

Tretja je potenciranje. V tem primeru se kazalniki pomnožijo.

Uspešno zmanjševanje bo zahtevalo tudi zmožnost zmanjševanja potenc na enake baze. To pomeni, da vidimo, da je štiri dva na kvadrat. Ali 27 - kocka treh. Ker je zmanjševanje 9 na kvadrat in 3 kub težko. Toda če transformiramo prvi izraz kot (3 2) 2, bo redukcija uspešna.

Mnogi učenci delajo enake napake pri delu z ulomki. In vse zato, ker pozabijo na osnovna pravila aritmetika. Danes bomo ta pravila ponovili posebne naloge ki jih podajam v svojih razredih.

Tukaj je naloga, ki jo ponujam vsem, ki se pripravljajo na enotni državni izpit iz matematike:

Naloga. Pliskavka poje 150 gramov hrane na dan. Toda zrasla je in začela jesti 20% več. Koliko gramov krme zdaj poje prašič?

ne pravilna rešitev. To je odstotni problem, ki se skrči na enačbo:

Mnogi (zelo mnogi) zmanjšajo število 100 v števcu in imenovalcu ulomka:

To je napaka, ki jo je naredil moj študent prav na dan pisanja tega članka. Številke, ki so bile okrnjene, so označene rdeče.

Ni treba posebej poudarjati, da je bil odgovor napačen. Presodite sami: prašič je pojedel 150 gramov, vendar je začel jesti 3150 gramov. Povečanje ni 20-odstotno, ampak 21-kratno, tj. za 2000 %.

Da bi se izognili takšnim nesporazumom, si zapomnite osnovno pravilo:

Zmanjšati je mogoče samo množitelje. Terminov ni mogoče zmanjšati!

Tako je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:

Z rdečo barvo so označena števila, ki so v števcu in imenovalcu skrajšana. Kot lahko vidite, je števec produkt, imenovalec pa navadna številka. Zato je znižanje povsem zakonito.

Delo s proporci

Še ena problemsko področje — razmerja. Še posebej, če je spremenljivka na obeh straneh. Na primer:

Naloga. Reši enačbo:

Napačna rešitev - nekatere ljudi dobesedno srbi, da bi vse skrajšali za m:

Zmanjšane spremenljivke so prikazane rdeče. Izraz 1/4 = 1/5 se izkaže za popolno neumnost, ti številki nista nikoli enaki.

In zdaj - prava odločitev. V bistvu je navaden linearna enačba . Rešimo ga lahko s premikanjem vseh elementov na eno stran ali z osnovno lastnostjo sorazmerja:

Mnogi bralci bodo ugovarjali: "Kje je napaka v prvi rešitvi?" No, poglejmo. Spomnimo se pravila za delo z enačbami:

Vsako enačbo lahko razdelimo in pomnožimo s poljubnim številom, različen od nič.

Ste zgrešili trik? Deliš lahko samo s številkami različen od nič. Zlasti lahko delite s spremenljivko m le, če je m != 0. Kaj pa, če je m = 0? Zamenjajmo in preverimo:

Dobili smo pravilno številčno enakost, tj. m = 0 je koren enačbe. Za preostali m != 0 dobimo izraz v obliki 1/4 = 1/5, kar je seveda napačno. Tako ni ničelnih korenin.

Sklepi: vse skupaj

Torej, rešiti ulomljene racionalne enačbe zapomni si tri pravila:

1. Zmanjšati je mogoče samo množitelje. Dodatki niso dovoljeni. Zato se naučite faktorizirati števec in imenovalec;
2. Glavna lastnost razmerja: produkt skrajnih elementov je enak produktu srednjih;
3. Enačbe je mogoče množiti in deliti samo s števili k, ki niso nič. Primer k = 0 je treba preveriti posebej.

Zapomnite si ta pravila in ne delajte napak.

Delitevštevec in imenovalec ulomka pa na njihovih skupni delilnik, drugačen od enega, se imenuje zmanjševanje ulomka.

Če želite zmanjšati navadni ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z istim naravnim številom.

To število je največji skupni delitelj števca in imenovalca danega ulomka.

Možne so naslednje obrazci za zapisovanje odločitev Primeri zmanjševanja navadnih ulomkov.

Študent ima pravico izbrati katero koli obliko zapisa.

Primeri. Poenostavite ulomke.

Zmanjšajte ulomek za 3 (števec delite s 3;

imenovalec deli s 3).

Zmanjšaj ulomek za 7.

Navedena dejanja izvajamo v števcu in imenovalcu ulomka.

Nastali ulomek se zmanjša za 5.

Zmanjšajmo ta delež 4) na 5·7³- največji skupni delitelj (GCD) števca in imenovalca, ki je sestavljen iz skupnih faktorjev števca in imenovalca, vzetih na potenco z najmanjšim eksponentom.

Razložimo števec in imenovalec tega ulomka na prafaktorje.

Dobimo: 756=2²·3³·7 in 1176=2³·3·7².

Določite GCD (največji skupni delitelj) števca in imenovalca ulomka 5) .

To je produkt skupnih faktorjev z najnižjimi eksponenti.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Števec in imenovalec tega ulomka delimo z njuno gcd, to je z 2²·3·7 dobimo nezmanjšani ulomek 9/14 .

Ali pa je bilo mogoče zapisati razgradnjo števca in imenovalca v obliki zmnožka prafaktorjev, ne da bi uporabili koncept potence, in nato zmanjšati ulomek s prečrtanjem istih faktorjev v števcu in imenovalcu. Ko ni več enakih faktorjev, pomnožimo preostale faktorje posebej v števcu in posebej v imenovalcu ter dobljeni ulomek izpišemo. 9/14 .

In končno je bilo mogoče ta delež zmanjšati 5) postopoma, z uporabo znakov za deljenje števil tako na števcu kot na imenovalcu ulomka. Razmišljajmo takole: številke 756 in 1176 končajo s sodim številom, kar pomeni, da sta oba deljiva s 2 . Ulomek zmanjšamo za 2 . Števec in imenovalec novega ulomka sta števili 378 in 588 razdeljen tudi na 2 . Ulomek zmanjšamo za 2 . Opažamo, da je število 294 - celo, in 189 je liho in zmanjšanje za 2 ni več mogoče. Preverimo deljivost števil 189 in 294 na 3 .

(1+8+9)=18 je deljivo s 3 in (2+9+4)=15 je deljivo s 3, torej številke same 189 in 294 se delijo na 3 . Ulomek zmanjšamo za 3 . Nadalje, 63 je deljivo s 3 in 98 - Ne. Poglejmo še druge glavne dejavnike. Obe števili sta deljivi z 7 . Ulomek zmanjšamo za 7 in dobimo nezmanjšani ulomek 9/14 .