Vsakdanji ulomkov Prvič se srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba predmet pregledati ali uporabiti ne kot celoto, temveč v ločenih delih. Začnite preučevati to temo - delnice. Deleži so enaki, na katerega je razdeljen ta ali oni predmet. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; upoštevati je treba dele ali ulomke neke mere. Sama beseda "frakcija", ki je nastala iz glagola "razdeliti" - razdeliti na dele in ima arabske korenine, se je pojavila v ruskem jeziku v 8. stoletju.

Ulomki so dolgo veljali za najtežjo vejo matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali »zlomljena števila«, kar je bilo ljudem zelo težko razumljivo.

Moderen videz preproste ulomke, katerih deli so ločeni z vodoravno črto, je prvi promoviral Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegova dela so datirana v leto 1202. Toda namen tega članka je bralcu preprosto in jasno razložiti, kako pride do množenja mešane frakcije z različne imenovalce.

Množenje ulomkov z različnimi imenovalci

Na začetku je vredno določiti vrste ulomkov:

• pravilno;
• nepravilno;
• mešano.

Nato se morate spomniti, s čim se množijo ulomna števila enaki imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja enostavni ulomki z enakima imenovalcema je ulomkov izraz, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev teh ulomkov. To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.

Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Edina razlika je v tem, da bo dobljeno število pod ulomkovo zmnožek različnih števil in seveda kvadrat enega številski izraz nemogoče ga je poimenovati.

Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primeri uporabljajo metode za zmanjševanje ulomkov. Številke števca lahko zmanjšate le s številkami imenovalca; sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo črto ni mogoče zmanjšati.

Skupaj s preprostimi ulomki obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako deluje množenje?

V razmislek je na voljo več primerov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko pravilo za to dejanje zapišemo kot:

a* b/c = a*b /c.

Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih delnih ostankov, število členov pa to kaže naravno število. Poseben primer:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Obstaja še ena rešitev za množenje števila z ulomkom. Samo imenovalec morate deliti s tem številom:

d* e/f = e/f: d.

Ta tehnika je uporabna za uporabo, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, s celim številom.

Mešana števila pretvorimo v neprave ulomke in dobimo zmnožek na prej opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka kot nepravilnega ulomka in ga je mogoče predstaviti tudi kot splošno formulo:

a bc = a*b+ c / c, kjer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se cel del pomnoži z imenovalcem in sešteje s števcem prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.

Ta postopek deluje tudi v hrbtna stran. Če želite ločiti cel del in delni ostanek, morate števec razdeliti nepravilni ulomek na svoj imenovalec z "votilom".

Množenje nepravilnih ulomkov proizvedeno na splošno sprejet način. Ko pišete pod eno ulomkovo črto, morate ulomke po potrebi zmanjšati, da s to metodo zmanjšate števila in olajšate izračun rezultata.

Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje še tako zapletenih matematičnih problemov razne variacije programi. Zadostna količina takšne storitve ponujajo pomoč pri štetju množenja ulomkov različne številke v imenovalcih – tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste računske operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Z njim je enostavno delati; izpolnite ustrezna polja na strani spletnega mesta in izberite znak matematična operacija in kliknite »izračunaj«. Program izračuna samodejno.

Tematika računskih operacij z ulomki je aktualna skozi celotno izobraževanje srednješolcev in srednješolcev. V srednji šoli ne upoštevajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračunih, pridobljenih prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro osvojeno osnovno znanje daje popolno zaupanje v uspešna odločitev večina kompleksne naloge.

Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Nikolajeviča Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Človek ni v moči, da poveča svoj števec - svoje zasluge -, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.

Zdaj, ko smo se naučili seštevati in množiti posamezne ulomke, si lahko ogledamo več kompleksne zasnove. Kaj na primer, če ista težava vključuje seštevanje, odštevanje in množenje ulomkov?

Najprej morate vse ulomke pretvoriti v nepravilne. Nato zaporedno izvedemo zahtevana dejanja - v istem vrstnem redu kot pri navadnih številkah. namreč:

1. Najprej se izvede potenciranje - znebite se vseh izrazov, ki vsebujejo eksponente;
2. Nato - deljenje in množenje;
3. Zadnji korak je seštevanje in odštevanje.

Seveda, če so v izrazu oklepaji, se vrstni red operacij spremeni - najprej je treba prešteti vse, kar je znotraj oklepajev. In ne pozabite na nepravilne ulomke: cel del morate označiti šele, ko so vsa druga dejanja že opravljena.

Pretvorimo vse ulomke iz prvega izraza v nepravilne in nato izvedimo naslednje korake:

Zdaj pa poiščimo vrednost drugega izraza. Tukaj ulomki z cel del ne, so pa oklepaji, zato najprej naredimo seštevanje in šele nato deljenje. Upoštevajte, da je 14 = 7 · 2. Nato:

Nazadnje razmislite o tretjem primeru. Tukaj so oklepaji in diploma - bolje jih je šteti ločeno. Če upoštevamo, da je 9 = 3 3, imamo:

Bodite pozorni na zadnji primer. Če želite dvigniti ulomek na potenco, morate posebej dvigniti števec na to potenco in posebej imenovalec.

Lahko se odločite drugače. Če se spomnimo definicije stopnje, se bo problem zmanjšal na običajno množenje ulomkov:

Večnadstropni ulomki

Doslej smo upoštevali samo »čiste« ulomke, ko sta števec in imenovalec navadne številke. To je povsem skladno z definicijo številskega ulomka, podano v prvi lekciji.

Kaj pa, če v števec ali imenovalec postavite bolj zapleten predmet? Na primer, še en številski ulomek? Takšne konstrukcije se pojavljajo precej pogosto, zlasti pri delu z dolgimi izrazi. Tukaj je nekaj primerov:

Za delo z večnivojskimi ulomki obstaja samo eno pravilo: takoj se jih morate znebiti. Odstranjevanje "odvečnih" nadstropij je precej preprosto, če se spomnite, da poševnica pomeni standardno operacijo delitve. Zato lahko vsak ulomek prepišemo na naslednji način:

Z uporabo tega dejstva in po postopku lahko kateri koli večnadstropni ulomek zlahka zmanjšamo na navadnega. Oglejte si primere:

Naloga. Pretvorite večnadstropne ulomke v navadne:

V vsakem primeru prepišemo glavni ulomek in zamenjamo ločnico z znakom za deljenje. Ne pozabite tudi, da je vsako celo število mogoče predstaviti kot ulomek z imenovalcem 1. To je 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobimo:

V zadnjem primeru so bili ulomki preklicani pred končnim množenjem.

Posebnosti dela z večnivojskimi ulomki

V večnivojskih ulomkih obstaja ena subtilnost, ki si jo je treba vedno zapomniti, sicer lahko dobite napačen odgovor, tudi če so bili vsi izračuni pravilni. Poglej:

1. V števcu je eno samo število 7, v imenovalcu pa ulomek 12/5;
2. Števec vsebuje ulomek 7/12, imenovalec pa ločeno število 5.

Torej, za en vnos smo dobili dva v celoti različne interpretacije. Če štejete, bodo tudi odgovori različni:

Za zagotovitev nedvoumnega branja zapisa uporabite preprosto pravilo: ločnica glavnega ulomka mora biti daljša od črte ugnezdenega ulomka. Po možnosti večkrat.

Če sledite temu pravilu, je treba zgornje ulomke zapisati takole:

Da, morda je grd in zavzame preveč prostora. Boš pa pravilno štela. Za konec še nekaj primerov, kjer se dejansko pojavijo večnadstropne frakcije:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Torej, poglejmo prvi primer. Pretvorimo vse ulomke v nepravilne in nato izvedemo operacije seštevanja in deljenja:

Naredimo enako z drugim primerom. Pretvorimo vse ulomke v neprave in izvedemo zahtevane operacije. Da ne bom bralca dolgočasil, bom izpustil nekaj očitnih izračunov. Imamo:

Ker sta v števcu in imenovalcu osnovnih ulomkov vsote, se pravilo zapisovanja večnadstropnih ulomkov samodejno upošteva. Prav tako smo v zadnjem primeru namenoma pustili 46/1 v obliki ulomka za izvedbo deljenja.

Opozoril bom še, da v obeh primerih ulomek pravzaprav nadomesti oklepaj: najprej smo našli vsoto in šele nato količnik.

Nekateri bodo rekli, da je bil prehod na neprave ulomke v drugem primeru očitno odveč. Morda je to res. A s tem se zavarujemo pred napakami, saj se lahko naslednjič primer izkaže za veliko bolj zapletenega. Sami izberite, kaj je bolj pomembno: hitrost ali zanesljivost.

Prej ali slej se vsi otroci v šoli začnejo učiti ulomkov: njihovega seštevanja, deljenja, množenja in vseh mogočih operacij, ki jih lahko izvajamo z ulomki. Da bi otroku zagotovili ustrezno pomoč, starši sami ne bi smeli pozabiti, kako cela števila razdeliti na ulomke, sicer mu ne boste mogli nikakor pomagati, ampak ga boste samo zmedli. Če si morate zapomniti to dejanje, vendar preprosto ne morete združiti vseh informacij v svoji glavi v eno pravilo, potem vam bo ta članek pomagal: naučili se boste deliti število z ulomkom in videli jasne primere.

Kako razdeliti število na ulomek

Zapišite svoj primer kot približen osnutek, da si boste lahko zapisovali in brisali. Ne pozabite, da je celo število zapisano med celicami, tik ob njihovem presečišču, ulomka pa vsako v svoji celici.

• IN ta metoda ulomek morate obrniti na glavo, to je, da zapišete imenovalec v števec in števec v imenovalec.
• Znak za deljenje je treba spremeniti v množenje.
• Zdaj morate le še izvesti množenje po že naučenih pravilih: števec pomnožite s celim številom, imenovalca pa se ne dotaknete.

Seveda boste zaradi takšnega dejanja dobili zelo velika številka v števniku. Ne morete pustiti ulomka v tem stanju - učitelj preprosto ne bo sprejel tega odgovora. Zmanjšajte ulomek tako, da števec delite z imenovalcem. Nastalo celo število zapišite levo od ulomka na sredino celic, ostanek pa bo nov števec. Imenovalec ostane nespremenjen.

Ta algoritem je precej preprost, tudi za otroka. Ko ga opravi pet ali šestkrat, si bo otrok postopek zapomnil in ga bo lahko uporabil za poljubne ulomke.

Kako deliti število z decimalko

Obstajajo še druge vrste ulomkov - decimalke. Razdelitev nanje poteka po popolnoma drugačnem algoritmu. Če naletite na tak primer, sledite navodilom:

• Za začetek spremenite obe številki v decimalke. To je enostavno narediti: vaš delitelj je že predstavljen kot ulomek, naravno število, ki ga delite, pa ločite z vejico in tako dobite decimalni ulomek. To pomeni, da če je bila dividenda 5, dobite ulomek 5,0. Število morate ločiti s toliko ciframi, kolikor jih je za decimalno vejico in deliteljem.
• Po tem morate oba decimalna ulomka narediti naravna števila. Morda se sprva zdi nekoliko zmedeno, vendar je najbolj hiter način divizije, kar vam bo po nekaj vajah vzelo nekaj sekund. Ulomek 5,0 bo postal številka 50, ulomek 6,23 pa bo postal 623.
• Naredi delitev. Če so številke velike ali bo deljenje potekalo z ostankom, naredite to v stolpcu. Tako lahko jasno vidite vsa dejanja ta primer. Vejice vam ni treba namerno postaviti, saj se bo med dolgim ​​deljenjem prikazala samodejno.

Ta vrsta deljenja se na začetku zdi preveč zmedena, saj morate dividendo in delitelj spremeniti v ulomek in nato nazaj v naravna števila. Toda po kratki vaji boste takoj začeli videti tiste številke, ki jih morate preprosto deliti med seboj.

Ne pozabite, da lahko sposobnost pravilnega deljenja ulomkov in celih števil z njimi pride velikokrat v življenju prav, zato mora otrok ta pravila in preprosta načela popolnoma poznati, da v višjih razredih ne postanejo kamen spotike, zaradi katerega otrok ne more rešiti zahtevnejših nalog.

Z ulomki lahko počnete vse, vključno z deljenjem. Ta članek prikazuje delitev navadni ulomki. Podane bodo definicije in obravnavani bodo primeri. Oglejmo si podrobneje deljenje ulomkov z naravnimi števili in obratno. Obravnavali bomo deljenje navadnega ulomka z mešanim številom.

Deljenje ulomkov

Deljenje je obratno od množenja. Pri deljenju se neznani faktor nahaja pri znano delo in še en faktor, kjer je njegov dani pomen ohranjen z navadnimi ulomki.

Če je treba navadni ulomek a b razdeliti na c d, potem morate za določitev takšnega števila pomnožiti z deliteljem c d, kar bo na koncu dalo dividendo a b. Vzemimo število in ga zapišimo a b · d c , kjer je d c inverzno število c d. Enačbe lahko zapišemo z uporabo lastnosti množenja, in sicer: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kjer je izraz a b · d c količnik deljenja a b s c d.

Od tu dobimo in oblikujemo pravilo za deljenje navadnih ulomkov:

Definicija 1

Če želite razdeliti navadni ulomek a b s c d, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Zapišimo pravilo v obliki izraza: a b: c d = a b · d c

Pravila deljenja se spustijo na množenje. Če želite vztrajati pri tem, morate dobro razumeti množenje ulomkov.

Preidimo k obravnavanju deljenja navadnih ulomkov.

Primer 1

Deli 9 7 s 5 3. Rezultat zapiši kot ulomek.

rešitev

Število 5 3 je recipročni ulomek 3 5. Uporabiti je treba pravilo za deljenje navadnih ulomkov. Ta izraz zapišemo takole: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Pri zmanjševanju ulomkov ločite cel del, če je števec večji od imenovalca.

Primer 2

Deli 8 15 : 24 65. Odgovor zapišite kot ulomek.

rešitev

Če želite rešiti, morate preiti iz deljenja na množenje. Zapišimo ga v tej obliki: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je zmanjšati in to naredimo na naslednji način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Izberite cel del in dobite 13 9 = 1 4 9.

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Deljenje izjemnega ulomka z naravnim številom

Za deljenje ulomka z naravnim številom uporabljamo pravilo: če želite a b deliti z naravnim številom n, morate samo imenovalec pomnožiti z n. Od tu dobimo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo deljenja je posledica pravila množenja. Če torej naravno število predstavimo kot ulomek, dobimo enakost tega tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmislite o tej delitvi ulomka s številom.

Primer 3

Ulomek 16 45 delite s številom 12.

rešitev

Uporabimo pravilo za deljenje ulomka s številom. Dobimo izraz v obliki 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Zmanjšajmo ulomek. Dobimo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Deljenje naravnega števila z ulomkom

Pravilo delitve je podobno O pravilo za deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom: da bi naravno število n delili z navadnim ulomkom a b, je treba število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a b.

Na podlagi pravila imamo n: a b = n · b a, zaradi pravila množenja naravnega števila z navadnim ulomkom pa dobimo izraz v obliki n: a b = n · b a. To delitev je treba obravnavati na primeru.

Primer 4

Deli 25 s 15 28.

rešitev

Od deljenja moramo preiti k množenju. Zapišimo ga v obliki izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmanjšajmo ulomek in dobimo rezultat v obliki ulomka 46 2 3.

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Deljenje ulomka z mešanim številom

Ko delite navadni ulomek z mešanim številom, lahko preprosto začnete deliti navadne ulomke. Mešano število morate pretvoriti v nepravilni ulomek.

Primer 5

Ulomek 35 16 delite s 3 1 8.

rešitev

Ker je 3 1 8 mešano število, ga predstavimo kot nepravi ulomek. Potem dobimo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Zdaj pa razdelimo ulomke. Dobimo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Deljenje mešanega števila poteka na enak način kot navadna števila.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter