Penalaran berdasarkan fakta yang tepat dan kesimpulan yang tepat berdasarkan fakta ini disebut pertimbangan yang ketat. Dalam kes di mana perlu menggunakan fakta yang tidak pasti untuk membuat keputusan, pertimbangan yang tepat menjadi tidak sesuai. Oleh itu, salah satu kekuatan sistem pakar dianggap kemampuannya untuk membentuk penaakulan dalam keadaan ketidakpastian yang berjaya seperti yang dilakukan oleh pakar manusia. Penalaran semacam itu bersifat longgar. Anda boleh bercakap mengenai kehadiran dengan selamat logik kabur.

Ketidakpastian, dan sebagai hasilnya, logika kabur dapat dianggap sebagai maklumat yang tidak mencukupi untuk membuat keputusan. Ketidakpastian menjadi masalah kerana ia dapat menghalang penciptaan penyelesaian terbaik dan bahkan menyebabkan penyelesaian yang buruk dapat dijumpai. Harus diingat bahawa penyelesaian berkualiti yang dijumpai dalam masa nyata sering dianggap lebih dapat diterima daripada penyelesaian yang lebih baik, yang memerlukan banyak masa untuk dikira. Contohnya, kelewatan memberi rawatan untuk ujian tambahan boleh mengakibatkan pesakit mati tanpa menunggu pertolongan.

Sebab ketidakpastian adalah adanya pelbagai kesalahan dalam maklumat. Pengelasan ringkas Kesalahan ini dapat ditunjukkan dalam pembahagiannya kepada jenis berikut:

• kekaburan maklumat, kejadiannya disebabkan oleh fakta bahawa beberapa maklumat dapat ditafsirkan dengan cara yang berbeza;
• maklumat yang tidak lengkap kerana kekurangan beberapa data;
• ketidakcukupan maklumat yang disebabkan oleh penggunaan data tidak sesuai dengan keadaan sebenar (kemungkinan sebab adalah kesalahan subjektif: pembohongan, salah maklumat, kerosakan peralatan);
• kesalahan pengukuran yang timbul kerana ketidakpatuhan terhadap syarat-syarat untuk ketepatan dan ketepatan kriteria untuk persembahan kuantitatif data;
• ralat rawak, yang manifestasi adalah turun naik data secara rawak berkaitan dengan nilai minnya (sebabnya mungkin: ketidakpercayaan peralatan, pergerakan Brown, kesan terma, dll.).

Sehingga kini, sejumlah besar teori ketidakpastian telah dikembangkan, di mana usaha dilakukan untuk menghilangkan beberapa atau bahkan semua kesalahan dan memberikan kesimpulan yang dapat dipercayai dalam keadaan ketidakpastian. Praktik yang paling banyak digunakan adalah teori berdasarkan definisi kebarangkalian klasik dan kebarangkalian posterior.

Salah satu alat tertua dan paling penting untuk menyelesaikan masalah kecerdasan buatan adalah kebarangkalian. Kebarangkalian adalah kaedah kuantitatif untuk menjelaskan ketidakpastian. Kebarangkalian klasik berasal dari teori yang pertama kali dikemukakan oleh Pascal dan Fermat pada tahun 1654. Sejak itu, banyak pekerjaan telah dilakukan dalam kajian kebarangkalian dan pelaksanaan banyak aplikasi kebarangkalian dalam bidang sains, teknologi, perniagaan, ekonomi dan bidang lain.

Kebarangkalian klasik

Kebarangkalian klasik juga disebut kebarangkalian a priori, kerana definisinya merujuk kepada sistem yang ideal. Istilah "sebelumnya" menunjukkan kebarangkalian yang ditentukan "terhadap peristiwa", tanpa mengambil kira banyak faktor yang berlaku di dunia nyata. Konsep kebarangkalian apriori berlaku untuk peristiwa yang berlaku dalam sistem ideal yang cenderung untuk dipakai atau pengaruh sistem lain. Dalam sistem yang ideal, kejadian salah satu peristiwa berlaku dengan cara yang sama, menjadikan analisis mereka lebih mudah.

Rumus asas untuk kebarangkalian klasik (P) ditakrifkan sebagai berikut:

Dalam formula ini W adalah bilangan kejadian yang diharapkan, dan N- jumlah peristiwa dengan kebarangkalian yang sama yang mungkin hasil percubaan atau ujian. Contohnya, kebarangkalian mendapatkan dadu enam sisi adalah 1/6, dan melukis kad dari dek yang mengandungi 52 kad berbeza adalah 1/52.

Aksioma Teori Kebarangkalian

Teori kebarangkalian formal dapat dibuat berdasarkan tiga aksioma:

Aksioma di atas memungkinkan untuk meletakkan asas teori kebarangkalian, tetapi mereka tidak mempertimbangkan kebarangkalian kejadian yang berlaku dalam sistem nonideal sebenar. Berbeza dengan pendekatan a priori, dalam sistem nyata, untuk menentukan kebarangkalian kejadian P (E), kaedah untuk menentukan kebarangkalian eksperimen sebagai had taburan kekerapan digunakan:

Kebarangkalian posterior

Dalam formula ini f (E) menunjukkan kekerapan berlakunya beberapa peristiwa antara N bilangan pemerhatian hasil keseluruhan. Kebarangkalian jenis ini juga disebut kebarangkalian posterior, iaitu kebarangkalian ditentukan "selepas peristiwa". Asas untuk menentukan kebarangkalian posterior adalah pengukuran frekuensi kejadian berlaku semasa sebilangan besar ujian. Contohnya, definisi jenis sosial pelanggan bank yang boleh dipercayai berdasarkan pengalaman empirikal.

Acara yang tidak saling eksklusif dapat saling mempengaruhi. Kejadian seperti itu dikelaskan sebagai kompleks. Kemungkinan kejadian kompleks dapat dikira dengan menganalisis ruang sampel yang sesuai. Ruang sampel ini dapat diwakili menggunakan diagram Venn, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1

Gambar. 1 Contoh ruang untuk dua acara yang tidak saling eksklusif

Kebarangkalian terjadinya peristiwa A, yang ditentukan dengan mempertimbangkan fakta bahawa peristiwa B telah terjadi, disebut kebarangkalian bersyarat dan dilambangkan P (A | B)... Kebarangkalian bersyarat ditakrifkan seperti berikut:

Kebarangkalian sebelumnya

Dalam formula ini, kebarangkalian P (B) tidak boleh sifar, dan merupakan kebarangkalian sebelumnya, yang ditentukan sebelum maklumat tambahan lain diketahui. Kebarangkalian sebelumnya apa yang digunakan berkaitan dengan penggunaan kebarangkalian bersyarat kadang-kadang disebut kebarangkalian mutlak.

Terdapat masalah yang pada dasarnya bertentangan dengan masalah mengira kebarangkalian bersyarat. Ini terdiri dalam menentukan kebarangkalian terbalik, yang menunjukkan kemungkinan kejadian sebelumnya, dengan mengambil kira peristiwa yang terjadi di masa depan. Dalam praktiknya, kebarangkalian jenis ini sering dijumpai, misalnya, semasa diagnostik perubatan atau diagnostik peralatan, di mana gejala tertentu dikesan, dan tugasnya adalah mencari kemungkinan penyebabnya.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan Teorema Bayes, dinamakan sempena ahli matematik Britain abad ke-18 Thomas Bayes. Teori Bayesian banyak digunakan hari ini untuk analisis pokok keputusan dalam ekonomi dan sains sosial. Pencarian Bayesian untuk penyelesaian juga digunakan dalam sistem pakar PROSPEKTOR ketika mengenal pasti lokasi yang menjanjikan untuk penerokaan mineral. Sistem PROSPEKTOR mendapat populariti luas sebagai sistem pakar pertama, dengan bantuan deposit molibdenum yang berharga ditemui, yang berharga $ 100 juta.

C7 Dalam bentuk moden ini, teorema Bayes sebenarnya dirumuskan oleh Laplace. Rumusan masalah itu adalah milik Thomas Bayes. Dia merumuskannya sebagai kebalikan dari masalah Bernoulli yang terkenal. Sekiranya Bernoulli mencari kebarangkalian hasil yang berbeza dari "lengkung" pelemparan duit syiling, maka Bayes, sebaliknya, berusaha untuk menentukan tahap "kelengkungan" ini oleh hasil pelemparan duit syiling yang diperhatikan secara empirikal. Tidak ada kemungkinan sebelumnya dalam penyelesaiannya.

Walaupun peraturannya kelihatan sangat sederhana, ternyata sukar untuk menerapkannya dalam praktik, kerana kebarangkalian posterior (atau bahkan nilai fungsi keputusan yang dipermudah) tidak diketahui. Nilai mereka dapat dianggarkan. Berdasarkan teorema Bayes, kebarangkalian posteriori dapat dinyatakan dalam bentuk kebarangkalian apriori dan fungsi ketumpatan dengan formula P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Cy P xI C,

Dengan menilai hasil klasifikasi dengan kaedah MDA, kita melihat sebilangan besar keputusan yang salah untuk syarikat muflis (kumpulan 1) - salah satunya akan menerima pinjaman. Syarikat dengan kedudukan yang tidak jelas (kumpulan 2) sukar diklasifikasikan dengan betul, kerana, pada akhirnya, mereka mungkin tergolong dalam kumpulan 1 atau 3. Masalahnya tidak dapat diperbaiki dengan menyesuaikan kemungkinan sebelumnya sesuai dengan persepsi bank mengenai kemungkinan syarikat tergolong dalam kumpulan yang berbeza. Petunjuk keseluruhan kebenaran ramalan hanya 56.6%, dan dari kumpulan pertama hanya 30% dikelaskan dengan betul.

Dengan tahap kerumitan dan keseragaman proses yang ada, model berdasarkan hubungan kausal mempunyai peluang terbatas untuk aplikasi, peristiwa yang baru terjadi selalu mengubah spesifikasi semua pemboleh ubah (baik yang disertakan dan tidak termasuk dalam model), dan nilai kebarangkalian a priori dan pembayaran untuk pelbagai strategi sangat tidak pasti dan berubah-ubah dengan cepat dengan perubahan pertumbuhan ekonomi, kadar faedah, kadar pertukaran dan keuntungan urus niaga tanpa pinjaman (contohnya, ketika perubahan kos operasi dan komisen).

Oleh kerana dalam situasi nyata, mustahil untuk mengetahui terlebih dahulu bahagian syarikat mana yang diwakili dalam sampel rawak akan muflis dalam setahun dan kerana pengarang kedua model yang dipertimbangkan, seperti yang dapat diasumsikan, menetapkan tahap pemisah berdasarkan beberapa andaian khusus mengenai kebarangkalian kebangkrutan apriori dan kos kesalahan, kami mempermudah prosedur perbandingan dan memperkenalkan tahap pemisahan relatif. Dengan kata lain, untuk setiap model, kami menganggap 10% isyarat yang dihasilkan oleh model untuk tahun berikutnya sebagai isyarat kemuflisan. Sebenarnya, pendekatan ini bermaksud 10% kemungkinan kebangkrutan sebelumnya dan nisbah bilangan isyarat kebankrapan terhadap kebankrapan sebenar dalam ujian sebelumnya, yang ditentukan menggunakan ambang pengoptimuman. Di samping itu, kaedah ini mempunyai kelebihan bahawa ia meminimumkan penyelewengan kerana jeda waktu yang besar antara penerbitan skor Altman Z dan pelaksanaan eksperimen. Indikator rata-rata selama ini mungkin telah berubah, dan oleh itu pembahagian syarikat menjadi kuat dan lemah, berdasarkan perkadaran tertentu, nampaknya lebih dapat dipercayai. Jadual 9.2 menunjukkan hasil percubaan untuk meramalkan kemuflisan untuk satu tahun ke depan dengan petunjuk kesalahan bagi setiap model.

Mengambil kebarangkalian sebelumnya sebagai fakta, anggarkan jangkaan keuntungan sekiranya membuka cawangan.

Kami menunjukkan dengan A. peristiwa bahawa q 6 [

Misalkan, misalnya, parameter berikut dipilih: nilai pelaburan modal, nilai kos operasi dan harga produk siap, yang masing-masing dapat mengambil nilai Кb К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2 , Цз- Setiap nilai ini sesuai dengan beberapa kebarangkalian apriori, misalnya, Кь Эь Ts mempunyai kebarangkalian pt = 0.1, untuk K2, A2, Ts2 kebarangkalian akan p2 = 0.8, dan untuk K3, E3, Ts3 - p3 = 0.1.

Biarkan kebarangkalian a priori memperoleh pada akhir proses reka bentuk penyelesaian teknikal yang memuaskan

Sekiranya pemain 2 mempunyai lebih daripada satu strategi dalam permainan D dan kebarangkalian penggunaannya tidak diketahui oleh pemain 1, atau bahkan tidak masuk akal untuk membincangkan kemungkinan ini, maka semua yang baru saja dinyatakan tidak dapat dilaksanakan.

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, perubahan pada kebarangkalian sebelumnya p dan q bergantung pada penalaan isyarat.

Ini menunjukkan bahawa jika kita mempunyai entiti yang berisiko risiko yang percaya bahawa pilihan panggilan akan bernilai C dengan kebarangkalian m dan j dengan kebarangkalian (1 - m), maka entiti ini akan mengira harga opsyen semasa sepenuhnya sesuai dengan persamaan yang kami hasilkan ... Perhatikan bahawa kami tidak pernah menganggap adanya kebarangkalian apriori mengenai berlakunya harga saham tertentu dan, oleh itu, penilaian opsyen masa depan. Pendekatan ini disebut penilaian neutral risiko.

Biarkan m (

Sisi kanan (7.53) bukanlah ketumpatan dalam arti yang tepat, kerana integralnya tidak ditentukan; namun, ketika menghitung kepadatan pengagihan parameter posterior menggunakan formula Bayes, kesulitan formal ketika bekerja dengan ( 7.53) sama ada tidak timbul, atau mudah diatasi ... Seperti yang akan kita lihat di bawah dalam Bagian 7.3.2, pilihan (7.53) sesuai secara analitik dan, sepertinya, mencerminkan ketiadaan sepenuhnya pengetahuan apriori mengenai penyebaran parameter. Walau bagaimanapun, sebenarnya menyembunyikan anggapan yang sangat kuat bahawa tidak ada korelasi antara parameter (tidak boleh dikelirukan dengan korelasi antara anggaran nilai parameter, yang bergantung pada taburan regresor dan nilai a), Priori kebarangkalian bahawa vektor parameter terletak pada sebarang jumlah terhingga yang diberikan, berapa pun besarnya, dan lain-lain. Ini kadang-kadang membawa kesukaran serius dalam menafsirkan hasil anggaran Bayesian.

Pertimbangkan kandungan teorema Bayes dari sudut pandangan yang sedikit berbeza. Untuk melakukan ini, mari tuliskan semua kemungkinan hasil percubaan kami. Biarkan simbol Н0, h bermaksud hasilnya, duit syiling tidak ditutup dan sisi atasnya adalah lambang. "

Saya seperti V2i, maka kebarangkalian hasil yang ditentukan adalah Va X x1 / 2 = 1 / 4- Di bawah ini kami berikan senarai semua hasil dan kebarangkalian sebelumnya

Jadi, dalam contoh dengan duit syiling dan mati, P (Ha) adalah kebarangkalian sebelumnya, P (Na K) adalah kebarangkalian posterior, dan P (H Ha) adalah kemungkinan.

Sekiranya sekarang kebarangkalian sebelumnya P (H0) dapat diambil sama dengan 1 atau 0, dikatakan bahawa pembuat keputusan

Bayangkan sekarang bahawa pakar eksperimen menawarkan maklumat yang boleh dipercayai (atau lengkap) pembuat keputusan mengenai objek tertentu yang tidak dilindungi. Walau bagaimanapun, pembuat keputusan mesti membayar perkhidmatan penyampaian maklumat yang boleh dipercayai sebelum dia menerima maklumat ini. Apakah nilai maklumat tersebut? Dia dapat melihat ke depan dan bertanya pada diri sendiri apa yang akan dia lakukan sebagai tindak balas terhadap setiap dua kemungkinan mesej yang dapat diberikan oleh perkhidmatan tertentu, dan menghitung pendapatannya berdasarkan respons yang diterima. Menimbang pendapatan ini dengan menggunakan priori kebarangkalian mesej yang mungkin memungkinkan dia menganggarkan jumlah pendapatan yang diharapkannya jika dia membayar sejumlah maklumat yang dapat dipercayai sebelum benar-benar menerimanya. Oleh kerana pendapatan yang dijangkakan ini akan lebih dari $ 0,5, iaitu, apa yang dia harapkan berdasarkan informasi apriori saja, maka kenaikan pendapatan akan menjadi jumlah maksimum yang masuk akal baginya untuk membayar perkhidmatan maklumat.

Syarikat mesti membeli sejumlah besar barang sama ada hari ini atau esok. Hari ini harga produk adalah $ 14.5 seunit. Menurut firma itu, esok harganya sama ada $ 10 atau $ 20 dengan kebarangkalian yang sama. Biarkan x menunjukkan harga esok maka kebarangkalian sebelumnya adalah

Pada peringkat terakhir, kebolehpercayaan pilihan kebarangkalian apriori terhadap berlakunya keadaan pasaran diperiksa dan utiliti yang diharapkan dari penyempurnaan kebarangkalian ini dikira. Untuk ini, pokok keputusan dibina. Sekiranya timbul kebutuhan untuk penyelidikan pasar tambahan, disarankan untuk menangguhkan pelaksanaan versi produk baru yang dipilih sampai hasil yang lebih dapat dipercaya.

Dalam amalan pemasaran syarikat, selalunya perlu membandingkan kos mendapatkan maklumat sebahagian (tidak lengkap) dan kos mendapatkan maklumat baru tambahan untuk membuat keputusan yang lebih baik. Pengurus (pembuat keputusan) mesti menilai sejauh mana faedah yang diperoleh daripada maklumat tambahan meliputi kos mendapatkannya. Dalam kes ini, teori keputusan Bayesian dapat diterapkan. Data awal adalah kebarangkalian apriori P (Sk) dan kebarangkalian bersyarat P (Z Sk) dari kemunculan keadaan pasaran Z, dengan syarat penampilan keadaan 5A diasumsikan. Setelah menerima maklumat baru, utiliti yang diharapkan dari setiap strategi dikira, dan kemudian strategi dengan nilai maksimum utiliti yang diharapkan dipilih. Dengan bantuan maklumat baru, pembuat keputusan dapat membetulkan kebarangkalian P (Sk) sebelumnya, dan ini sangat penting ketika membuat keputusan.

Sekarang, adalah wajar untuk mengetahui berapa kemungkinan kemunculan Sk keadaan objektif apabila maklumat baru diterima. Oleh itu, adalah perlu untuk mencari P (Sk Z), di mana k, q = 1, n. Ini adalah kebarangkalian bersyarat dan itu adalah kebarangkalian sebelumnya yang disesuaikan. Untuk mengira P (Sk Z), kami menggunakan formula Bayes

Oleh itu, kami memperoleh kebarangkalian apriori yang lebih baik mengenai penampilan keadaan pasaran yang objektif. Keseluruhan proses pengiraan dan hasil yang diperoleh ditunjukkan dalam jadual. 9.11 dan 9.12.

Penggunaan pendekatan Bayesian (6.47) memerlukan pengetahuan tentang kebarangkalian apriori dan kepadatan taburan kebarangkalian.

Dengan menggunakan ciri berangka objek yang diperoleh dari AGC, kami melakukan analisis linear diskriminasi berganda standard dengan kemungkinan sama (sama dengan 33%) keanggotaan elemen. kumpulan. 41% daripada jumlah kes diklasifikasikan dengan betul, dan ini sedikit lebih baik daripada ketepatan 33% yang akan diperoleh jika objek ditugaskan secara rawak kepada satu atau kumpulan lain. Tab. 8.6 di bawah adalah jadual salah klasifikasi, juga disebut matriks ralat.

Cabaran seterusnya adalah mengembangkan standard untuk ujian. Dalam kebanyakan kes, beberapa sampel diambil untuk menilai model MDA, dan ini meningkatkan kemungkinan model tersebut sesuai dengan data ujian. Sampel biasanya mengandungi sebilangan besar syarikat yang muflis dan tidak muflis, dan data itu sendiri, sebagai peraturan, sesuai dengan tempoh kemuflisan yang sengit. Ini membawa kepada kesimpulan bahawa hanya hasil penilaian model pada data baru yang boleh dipercayai. Dari meja. 9.1 dapat dilihat bahawa walaupun pada ujian yang paling baik dengan data baru (apabila semua contoh diambil dari jangka masa yang sama dan, lebih-lebih lagi, homogen dari segi industri dan ukuran perusahaan), kualitinya lebih buruk daripada pada sampel, yang mana digunakan untuk menentukan parameter model. Oleh kerana, dalam praktiknya, pengguna model klasifikasi tidak akan dapat menyesuaikan model tersebut dengan kebarangkalian kebangkrutan, ukuran syarikat atau industri sebelumnya, kualiti model itu mungkin lebih buruk lagi. Kualiti juga boleh merosot kerana terdapat beberapa firma dalam sampel yang digunakan untuk menguji model MDA yang tidak muflis tetapi berisiko. Sekiranya hanya ada empat atau lima syarikat yang berisiko bertahan, maka ini memesongkan bahagian sebenar syarikat yang berisiko, dan akibatnya, frekuensi kesalahan Jenis II diremehkan.

Kaedah MDA yang terlibat dalam perbandingan dikira dan dioptimumkan berdasarkan kadar isyarat palsu 10 1 dengan beberapa kebarangkalian dan kos kesalahan sebelumnya. Saya ingin menggunakan kriteria ex ante kurang dari 10 peratus, jumlah potensi muflis dalam populasi, tetapi ini tidak sesuai dengan parameter model. Ini juga bertentangan dengan amalan di mana menurunkan ambang di bawah 10 peratus tidak menyebabkan kemuflisan. Oleh itu, apabila bahagian isyarat palsu dipotong menjadi 7%, skala Z Taffler berhenti untuk mengenal pasti kebangkrutan sama sekali, dan model Datastream mengalami halangan ini pada sekitar 8%. Sebaliknya, rangkaian saraf mengakui dua kes kebankrapan di bawah tahap pemisahan 4.5%, iaitu. rangkaian dapat beroperasi dalam keadaan di mana hanya terdapat lima isyarat palsu untuk satu pengenalan kemuflisan yang betul. Angka ini setanding dengan hasil terbaik yang diperoleh oleh model MDA dalam ujian ex post yang kurang menuntut. Ini membawa kepada dua kesimpulan: pertama, model neural adalah kaedah klasifikasi yang boleh dipercayai di sektor kredit, dan, kedua, menggunakan harga saham sebagai pemboleh ubah sasaran dalam latihan mungkin akan menjadi lebih menguntungkan daripada petunjuk kebangkrutan / kelangsungan hidup itu sendiri. Harga saham mencerminkan-

Di ch. 3-5 menerangkan kaedah untuk skala pilihan (bobot) peristiwa masa depan, anggaran kuantitatif tahap keutamaan dan, kita dapat mengira kebarangkalian tanpa syarat hasil sampel

I. Kebarangkalian bersyarat. Kebarangkalian priori dan posterior. 3

II. Acara bebas. 5

III. Menguji hipotesis statistik. Kebolehpercayaan statistik. 7

IV. Menggunakan Ujian Chi-Square 19

1. Penentuan kebolehpercayaan perbezaan antara satu set frekuensi dan satu set kebarangkalian. 19

2. Penentuan kebolehpercayaan perbezaan antara beberapa set frekuensi. 26

V PEKERJAAN INDEPENDEN 33

Pelajaran nombor 2

1. Kebarangkalian bersyarat. Kebarangkalian priori dan posterior.

Pemboleh ubah rawak ditetapkan oleh tiga objek: satu set peristiwa asas, satu set peristiwa, dan kebarangkalian peristiwa. Nilai-nilai yang boleh diambil oleh pemboleh ubah rawak dipanggil acara sekolah rendah. Kumpulan peristiwa asas dipanggil peristiwa... Untuk pemboleh ubah rawak berangka dan lain-lain yang tidak terlalu kompleks, setiap set elemen asas yang diberikan adalah peristiwa.

Mari kita ambil contoh: membuang dadu.

Terdapat 6 acara asas: "mata", "2 mata", "3 mata" ... "6 mata". Acara - sekumpulan peristiwa dasar, misalnya, "genap" adalah jumlah peristiwa dasar "2 poin", "4 poin" dan "6 poin".

Kebarangkalian sebarang peristiwa asas P (A) adalah 1/6:

kebarangkalian peristiwa adalah bilangan peristiwa asas yang disertakan di dalamnya, dibahagi dengan 6.

Sering kali, selain kemungkinan kejadian yang diketahui, terdapat beberapa maklumat tambahan yang mengubah kebarangkalian ini. Contohnya, kematian pesakit. dimasukkan ke hospital dengan ulser perut yang berdarah akut, sekitar 10%. Walau bagaimanapun, jika pesakit berusia lebih dari 80 tahun, kadar kematian ini adalah 30%.

Untuk menggambarkan keadaan seperti itu, yang disebut kebarangkalian bersyarat... Mereka ditetapkan sebagai P (A / B) dan membaca "kebarangkalian peristiwa A yang disediakan peristiwa B". Untuk mengira kebarangkalian bersyarat, formula digunakan:

Mari kembali ke contoh sebelumnya:

Biarkan di kalangan pesakit yang dimasukkan ke hospital dengan ulser perut yang berdarah akut, 20% adalah pesakit yang berumur lebih dari 80 tahun. Lebih-lebih lagi, di antara semua pesakit, peratusan pesakit yang meninggal berusia lebih dari 80 tahun adalah 6% (ingat bahawa peratusan semua kematian adalah 10%). Dalam kes ini

Semasa menentukan kebarangkalian bersyarat, syaratnya a priori(secara harfiah - sebelum pengalaman) dan a posteriori kebarangkalian (secara harfiah - selepas pengalaman).

Dengan menggunakan kebarangkalian bersyarat, seseorang dapat mengira yang lain dari satu kebarangkalian, misalnya, untuk menukar peristiwa dan keadaan.

Mari kita pertimbangkan teknik ini pada contoh menganalisis hubungan antara risiko penyakit rematik (demam reumatik) dan salah satu antigen, yang merupakan faktor risiko untuknya.

Kejadian reumatik adalah sekitar 1%. Mari kita tentukan kehadiran rematik sebagai R +, sementara P (R +) = 0.01.

Kehadiran antigen akan ditetapkan sebagai A +. Ia dijumpai pada 95% pesakit rematik dan 6% pesakit tanpa rematik. Dalam notasi kami, ini adalah: kebarangkalian bersyarat P (A + / R +) = 0.95 dan P (A + / R -) = 0.06.

Berdasarkan ketiga kebarangkalian ini, kami akan menentukan kebarangkalian lain secara berurutan.

Pertama sekali, jika kejadian rematik adalah P (R +) = 0.01, maka kebarangkalian tidak jatuh sakit adalah P (R -) = 1-P (R +) = 0.99.

Dari formula untuk kebarangkalian bersyarat, kita dapati

P (A + dan R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0.95 * 0.01 = 0.0095, atau 0.95% penduduk secara serentak menderita rematik dan mempunyai antigen.

Begitu juga

P (A + dan R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594, atau 5,94% penduduk membawa antigen, tetapi tidak mendapat rematik.

Oleh kerana setiap orang yang mempunyai antigen mengalami rematik atau tidak jatuh sakit (tetapi tidak keduanya pada masa yang sama), jumlah dua kebarangkalian terakhir memberikan kekerapan pengangkutan antigen pada populasi secara keseluruhan:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Oleh itu, bahagian orang tanpa antigen adalah sama dengan

P (A -) = 1- P (A +) = 0.9311

Oleh kerana kejadian rematik adalah 1%, dan bahagian orang dengan antigen dan rematik adalah 0,95%, bahagian orang dengan rematik dan tidak ada antigen sama dengan:

P (A - dan R +) = P (R +) - P (A + dan R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Sekarang kita akan bergerak ke arah yang berlawanan, bergerak dari kebarangkalian peristiwa dan gabungannya ke kebarangkalian bersyarat. Menurut formula kebarangkalian bersyarat awal P (A + / R +) = P (R + dan A +) / P (A +) = 0.0095 / 0.0689-0.1379, atau kira-kira 13.8% orang yang membawa antigen jatuh sakit dengan rematik . Oleh kerana kejadian populasi secara keseluruhan hanya 1%, fakta pengesanan antigen meningkatkan kemungkinan rematik sebanyak 14 kali.

Begitu juga, P (R + / A -) = P (R + dan A -) / P (A -) = 0.0005 / 0.93110.000054, iaitu kenyataan bahawa tidak ada antigen yang dikesan semasa ujian mengurangkan kemungkinan mendapat rematik 19 kali.

Mari format tugas ini dalam hamparan Excel:

Anda dapat melihat proses membina gambar meja2 \ p2-1.gif

Peristiwa rawak dinilai oleh nombor yang menentukan intensiti manifestasi peristiwa ini. Nombor ini dipanggil kebarangkalian perkembangan P () ... Kebarangkalian kejadian asas adalah ... Kebarangkalian peristiwa adalah ukuran berangka dari tahap objektiviti, kemungkinan peristiwa ini. Semakin besar kemungkinannya, semakin besar kemungkinan kejadiannya.

Setiap acara yang sesuai dengan keseluruhan ruang hasil S dipanggil acara yang boleh dipercayai, iaitu peristiwa seperti itu, sebagai hasil percubaan, semestinya berlaku (sebagai contoh, kejatuhan sebilangan mata dari 1 hingga 6 pada dadu). Sekiranya acara itu bukan milik himpunan S, maka ia dianggap mustahil(sebagai contoh, penampilan sejumlah mata lebih besar daripada 6 pada dadu). Kebarangkalian peristiwa tidak mungkin adalah 0, kebarangkalian peristiwa tertentu adalah 1. Semua peristiwa lain mempunyai kebarangkalian dari 0 hingga 1.

Perkembangan E dan dipanggil sebaliknya, sekiranya E datang apabila ia tidak datang ... Contohnya, acara tersebut E- "kehilangan jumlah mata genap", kemudian acara - "kehilangan mata ganjil." Dua peristiwa E 1 dan E 2 dipanggil tidak konsisten jika tidak ada hasil yang biasa bagi kedua-dua peristiwa tersebut.

Untuk menentukan kebarangkalian kejadian rawak, kaedah langsung atau tidak langsung digunakan. Semasa mengira kebarangkalian secara langsung, skema pengiraan a priori dan posteriori dibezakan, ketika menjalankan pemerhatian (eksperimen) atau apriori mengira bilangan eksperimen m di mana peristiwa itu muncul, dan jumlah eksperimen yang dilakukan n... Kaedah tidak langsung berdasarkan teori aksiomatik. Oleh kerana peristiwa ditakrifkan sebagai set, semua operasi teori-set dapat dilakukan pada mereka. Set teori, analisis fungsional dicadangkan oleh ahli akademik A.N. Kolmogorov dan membentuk asas teori kebarangkalian aksiomatik. Berikut adalah aksioma kebarangkalian.

AksiomaSaya. Medan acaraF(S) adalah aljabar set.

Aksioma ini menunjukkan analogi antara teori set dan teori kebarangkalian.

AksiomaII. Ke setiap setdariF(S) nombor sebenar P (), disebut kebarangkalian peristiwa:

dengan syarat S 1 S 2 =  (untuk peristiwa yang tidak konsisten S 1 dan S 2 ), atau untuk banyak peristiwa yang tidak konsisten

di mana N- bilangan peristiwa asas (kemungkinan hasil)

Kebarangkalian kejadian rawak

di mana - kebarangkalian peristiwa asas termasuk dalam subset .

Contohnya 1.1. Tentukan kebarangkalian jatuh dari setiap nombor ketika melempar dadu, jatuh dari nombor genap, angka 4 .

Penyelesaian... Kebarangkalian setiap nombor jatuh dari set

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Kebarangkalian mendapat nombor genap, iaitu
={2, 4, 6}, berdasarkan (1.6) akan P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Kebarangkalian mendapat nombor  4 , iaitu
= {4, 5, 6 } ,

P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Tugasan belajar sendiri

1. Terdapat 20 bola putih, 30 hitam dan 50 merah di dalam bakul. Tentukan kebarangkalian bola pertama yang dikeluarkan dari bakul berwarna putih; hitam; merah.

2. Terdapat 12 budak lelaki dan 10 perempuan dalam kumpulan pelajar. Apakah kebarangkalian bahawa dalam seminar mengenai teori kebarangkalian tidak akan ada: 1) seorang pemuda; 2) seorang gadis; 3) dua budak lelaki?

3. Selama tahun 51 hari dibezakan oleh fakta bahawa pada hari-hari ini hujan (atau salji). Apakah kemungkinan anda menghadapi risiko terjebak dalam hujan (atau salji): 1) pergi bekerja; 2) mendaki selama 5 hari?

4. Buat masalah pada topik tugas ini dan selesaikan.

1.1.3. Penentuan kebarangkalian posterior (kebarangkalian statistik atau kekerapan

peristiwa rawak)

Semasa menentukan kebarangkalian a priori, diandaikan bahawa sama besar kemungkinan. Ini jauh dari selalu berlaku, lebih kerap berlaku perkara itu
di
... Andaian
membawa kepada ralat dalam definisi a priori P ( ) mengikut skema yang telah ditetapkan. Untuk menentukan , dan secara amnya P ( ) menjalankan ujian yang disasarkan. Dalam menjalankan ujian seperti itu (contohnya, ujian menghasilkan contoh 1.2, 1.3) dalam pelbagai keadaan, pelbagai keadaan, pengaruh, faktor penyebab, iaitu dalam berbeza kes, berbeza hasil(manifestasi berbeza dari maklumat objek yang disiasat) Setiap hasil ujian sesuai dengan satu elemen atau satu subset banyak orang S Sekiranya anda menentukan m sebagai jumlah acara yang menggembirakan A hasil yang diperoleh hasilnya n ujian, kebarangkalian posterior (kebarangkalian statistik atau kekerapan peristiwa rawak A)

Berdasarkan undang-undang sejumlah besar untuk  A

mereka. dengan peningkatan jumlah percubaan, kekerapan peristiwa rawak (a posteriori, atau statistik, kebarangkalian) cenderung kepada kebarangkalian kejadian ini.

Contohnya 1.2. Kebarangkalian untuk mendapatkan kepala duit syiling, ditentukan oleh skema kes, adalah 0.5. Diperlukan untuk membalikkan duit syiling 10, 20, 30 ... dan menentukan kekerapan peristiwa ekor secara rawak selepas setiap siri ujian.

Penyelesaian... K. Poisson melemparkan koin 24,000 kali, dengan 11,998 ekor. Kemudian, dengan formula (1.7), kebarangkalian mendapat ekor

.

Tugasan belajar sendiri

Berdasarkan bahan statistik yang besar ( n  , nilai kebarangkalian penampilan huruf individu abjad Rusia dan ruang () dalam teks diperoleh, yang diberikan dalam Jadual 1.1.

Jadual 1.1. Kebarangkalian penampilan huruf abjad dalam teks

Ambil halaman mana-mana teks dan tentukan kekerapan berlakunya pelbagai huruf di halaman ini. Tingkatkan jumlah ujian menjadi dua halaman. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan data dalam jadual. Buat kesimpulan.

Ketika menembak sasaran, hasil berikut diperoleh (lihat tabel 1.2).

Jadual 1.2. Hasil penembakan sasaran

Apakah kemungkinan sasaran itu terkena tembakan pertama jika ukurannya lebih kecil daripada sepuluh, sembilan, dll.?

3. Rancang dan jalankan ujian yang serupa untuk acara lain. Kemukakan keputusan mereka.