Dalam praktik komputasi, seseorang sering berurusan dengan fungsi yang diberikan oleh jadual nilai mereka untuk beberapa set nilai yang terbatas NS : .

Dalam proses menyelesaikan masalah, perlu menggunakan nilai
untuk nilai pertengahan argumen. Dalam kes ini, fungsi Ф (x) dibina, yang cukup mudah untuk pengiraan, yang pada titik yang diberikan x 0 , x 1 , ..., x n , dipanggil simpul interpolasi, mengambil nilai, dan pada titik lain dari segmen (x 0, x n) yang termasuk dalam domain definisi
, kira-kira mewakili fungsi
dengan tahap ketepatan yang berbeza-beza.

Semasa menyelesaikan masalah, dalam kes ini, bukannya fungsinya
beroperasi dengan fungsi Ф (x). Masalah membina fungsi sedemikian Ф (x) disebut masalah interpolasi. Selalunya, fungsi interpolating Ф (x) dicari dalam bentuk polinomial algebra.

1. Polinomial interpolasi

Untuk setiap fungsi
ditakrifkan pada [ a, b], dan sebarang set nod x 0 , x 1 , ...., x n (x i
[a, b], x i x j untuk i j) antara polinomial algebra darjah paling banyak n, terdapat polinomial interpolasi unik Ф (x), yang boleh ditulis dalam bentuk:

, (3.1)

di mana
- polinomial darjah n dengan harta berikut:

Untuk polinomial interpolasi, polinomial
kelihatan seperti:

Polinomial ini (3.1) menyelesaikan masalah interpolasi dan dipanggil polinomial interpolasi Lagrange.

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi bentuk
pada selang masa
diberikan dalam bentuk jadual.

Adalah perlu untuk menentukan nilai fungsi pada titik x-2.5. Kami akan menggunakan polinomial Lagrange untuk ini. Berdasarkan formula (3.1 dan 3.3), kami menulis polinomial ini dalam bentuk eksplisit:

(3.4).

Kemudian, menggantikan nilai awal dari jadual kami ke formula (3.4), kami memperoleh

Hasil yang diperoleh sesuai dengan teori, iaitu ...

1. Formula interpolasi Lagrange

Polinomial interpolasi Lagrange boleh ditulis dalam bentuk yang berbeza:

(3.5)

Menulis polinomial dalam bentuk (3.5) lebih senang untuk pengaturcaraan.

Semasa menyelesaikan masalah interpolasi, kuantiti n dipanggil urutan polinomial interpolating. Lebih-lebih lagi, seperti yang dapat dilihat dari formula (3.1) dan (3.5), bilangan simpul interpolasi akan selalu sama dengan n + 1 dan maksudnya x, yang mana nilai
, mesti berada di dalam domain definisi node interpolasi mereka.

. (3.6)

Dalam beberapa kes praktikal, jumlah nod interpolasi yang diketahui adalah m mungkin lebih besar daripada urutan polinomial interpolating n.

Dalam kes ini, sebelum melaksanakan prosedur interpolasi mengikut formula (3.5), perlu menentukan node interpolasi yang syaratnya (3.6) berlaku. Harus diingat bahawa kesalahan terkecil dicapai ketika mencari nilainya x di tengah-tengah kawasan interpolasi. Untuk memastikannya, prosedur berikut dicadangkan:

Tujuan utama interpolasi adalah untuk mengira nilai fungsi tabulasi untuk nilai argumen bukan nodal (pertengahan), oleh itu interpolasi sering disebut "seni membaca jadual antara baris."

Polinomial Lagrange

Polinomial interpolasi Lagrangian- polinomial darjah minimum yang mengambil nilai yang diberikan dalam set titik tertentu. Untuk n+ 1 pasang nombor, di mana semua x i berbeza, hanya ada satu polinomial L(x) darjah tidak lebih n, untuk yang mana L(x i) = y i .

Dalam kes paling mudah ( n= 1) adalah polinomial linear yang grafnya adalah garis lurus yang melewati dua titik yang diberikan.

Definisi

Contoh ini menunjukkan polinomial interpolasi Lagrange untuk empat titik (-9.5), (-4.2), (-1, -2), dan (7.9), serta polinomial y j l j (x), masing-masing melewati salah satu titik yang dipilih, dan mengambil nilai sifar di selebihnya x i

Biarkan untuk fungsi f(x) nilai diketahui y j = f(x j) pada beberapa titik. Maka kita boleh menginterpolasi fungsi ini sebagai

Khususnya,

Nilai-nilai integral dari l j tidak bergantung pada f(x, dan mereka dapat dikira terlebih dahulu, mengetahui urutannya x i .

Untuk kes pengedaran seragam nod interpolasi di sepanjang segmen

Dalam kes ini, kita dapat menyatakan x i melalui jarak antara node interpolasi h dan titik permulaan x 0 :

dan oleh itu

Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula polinomial asas dan mengeluarkan h untuk tanda pendaraban dalam pengangka dan penyebut, kita mendapat

Sekarang anda boleh memasukkan penggantian pemboleh ubah

dan dapatkan polinomial y yang dibina hanya menggunakan aritmetik integer. Kelemahan pendekatan ini adalah kerumitan faktorial pengangka dan penyebut, yang memerlukan penggunaan algoritma dengan perwakilan nombor multibait.

Pautan luaran

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa "Lagrange polynomial" dalam kamus lain:

Bentuk penulisan polinomial darjah n (Lagrange interpolation polynomial) menginterpolasi fungsi yang diberikan f (x). Pada nod x 0, x1, ..., xn: Sekiranya nilai xi sama jarak, adalah, menggunakan notasi (x x0) / h = t formula (1) ... ... Ensiklopedia Matematik

Dalam matematik, polinomial atau polinomial dalam satu pemboleh ubah adalah fungsi bentuk di mana ci adalah pekali tetap dan x adalah pemboleh ubah. Polinomial merupakan salah satu kelas fungsi asas yang paling penting. Kajian persamaan polinomial dan penyelesaiannya ... ... Wikipedia

Dalam matematik komputasi, polinomial Bernstein adalah polinomial algebra yang merupakan gabungan linear polinomial asas Bernstein. Algoritma yang stabil untuk pengkomputeran polinomial dalam bentuk Bernstein adalah algoritma ... ... Wikipedia

Polinomial darjah minimum yang mengambil nilai yang diberikan dalam set titik tertentu. Untuk pasangan nombor di mana semuanya berbeza, terdapat satu polinomial darjah paling banyak, yang mana. Dalam kes yang paling mudah (... Wikipedia

Polinomial interpolasi Lagrange adalah polinomial darjah minimum yang mengambil nilai yang diberikan pada set titik tertentu. Untuk n + 1 pasang nombor, di mana semua xi berbeza, terdapat darjah polinomial L (x) unik paling banyak n, yang mana L (xi) = yi ... ... Wikipedia

Polinomial interpolasi Lagrange adalah polinomial darjah minimum yang mengambil nilai yang diberikan pada set titik tertentu. Untuk n + 1 pasang nombor, di mana semua xi berbeza, terdapat darjah polinomial L (x) unik paling banyak n, yang mana L (xi) = yi ... ... Wikipedia

Pada fungsinya, lihat: Interpolyant. Interpolasi dalam matematik komputasi adalah kaedah untuk mencari nilai antara kuantiti dari satu set nilai yang diketahui yang berbeza. Ramai di antara mereka yang sering menghadapi pengiraan saintifik dan kejuruteraan ... Wikipedia

Pada fungsinya, lihat: Interpolyant. Interpolasi, interpolasi dalam matematik komputasi adalah kaedah untuk mencari nilai perantaraan suatu kuantiti dari satu set nilai yang diketahui yang berbeza. Banyak dari mereka yang menemui ilmiah dan ... ... Wikipedia

Kami akan membina polinomial interpolasi dalam bentuk

di mana polinomial darjah paling banyak NS, mempunyai harta berikut:

Sesungguhnya, dalam kes ini polinomial (4.9) pada setiap nod x j, j = 0,1, ... n, sama dengan nilai fungsi yang sepadan y j, iaitu adalah interpolasi.

Marilah kita membina polinomial seperti itu. Oleh kerana untuk x = x 0, x 1, ... x i -1, x i +1, ... x n, kita boleh memfaktorkan seperti berikut

di mana c adalah pemalar. Dari keadaan kita memperolehnya

Interpolasi polinomial (4.1) ditulis dalam bentuk

dipanggil polinomial interpolasi Lagrange.

Nilai anggaran fungsi pada titik x * dikira menggunakan polinomial Lagrange akan mempunyai ralat baki (4.8). Sekiranya nilai-nilai fungsi y i pada nod interpolasi x i ditetapkan kira-kira dengan ralat mutlak yang sama, maka bukannya nilai yang tepat, nilai anggaran akan dikira, dan

di manakah kesalahan mutlak pengiraan polinomial interpolasi Lagrange. Akhirnya, kami mempunyai anggaran berikut dari jumlah kesilapan nilai anggaran.

Khususnya, polinomial Lagrange darjah pertama dan kedua akan mempunyai bentuk

dan jumlah kesalahan mereka pada titik x *

Terdapat bentuk penulisan polinomial interpolasi yang sama (4.1), sebagai contoh, formula interpolasi Newton dengan perbezaan yang dipisahkan yang dipertimbangkan di bawah dan variannya. Untuk pengiraan yang tepat, nilainya Pn (x *) diperoleh dengan formula interpolasi yang berbeza yang dibina dari nod yang sama bertepatan. Kehadiran ralat pengiraan membawa kepada perbezaan nilai yang diperoleh dari formula ini. Menulis polinomial dalam bentuk Lagrange membawa, sebagai peraturan, kesilapan pengiraan yang lebih kecil.

Penggunaan formula untuk mengira kesalahan yang timbul dari interpolasi bergantung pada rumusan masalah. Sebagai contoh, jika bilangan node diketahui, dan fungsinya diberikan dengan sebilangan besar tanda yang betul, maka masalah pengiraan f (x *) dengan ketepatan sebanyak mungkin. Sekiranya, sebaliknya, bilangan tanda yang betul kecil, dan bilangan simpul besar, maka masalah pengiraan f (x *) dengan ketepatan yang dibenarkan oleh nilai jadual fungsi, dan untuk menyelesaikan masalah ini, mungkin kekurangan dan pemadatan meja mungkin diperlukan.

§4.3. Perbezaan yang terpisah dan sifatnya.

Konsep perbezaan terbahagi adalah konsep terbitan umum. Biarkan nilai fungsi f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Perbezaan pesanan pertama yang dipisahkan ditentukan oleh persamaan

dipisahkan oleh perbezaan urutan kedua - persamaan,

dan perbezaan yang dipisahkan k-turut ditentukan oleh formula rekursif berikut:

Perbezaan perpecahan biasanya diletakkan dalam jadual seperti ini:

Pertimbangkan sifat perbezaan yang berikut.

1. Perbezaan yang dibahagi bagi semua pesanan adalah kombinasi nilai linear f (x i), iaitu formula berikut mengandungi:

Marilah kita membuktikan kesahan formula ini dengan aruhan mengikut urutan perbezaan. Untuk perbezaan pesanan pertama

Formula (4.12) adalah sah. Anggap sekarang ia sah untuk semua perbezaan pesanan.

Kemudian, menurut (4.11) dan (4.12), untuk perbezaan pesanan k = n + 1 kita ada

Syarat yang mengandungi f (x 0) dan f (x n +1), mempunyai borang yang diperlukan. Pertimbangkan syarat yang mengandungi f (x i), i = 1, 2, ..., n... Terdapat dua istilah seperti - dari jumlah pertama dan kedua:

mereka. formula (4.12) berlaku untuk perbezaan pesanan k = n + 1, buktinya lengkap.

2. Perbezaan yang dibahagi adalah fungsi simetri argumennya x 0, x 1,… x n (iaitu, ia tidak berubah untuk permutasi apa pun):

Harta ini mengikuti secara langsung dari persamaan (4.12).

3. Hubungan perbezaan-perbezaan yang sederhana f dan terbitan f (n) (x) memberikan teorem berikut.

Biarkan nod x 0, x 1, ... x n tergolong dalam segmen dan fungsi f (x) mempunyai segmen turunan pesanan berterusan NS... Kemudian ada titik xÎ, apa

Mari kita membuktikan kesahihan hubungan terlebih dahulu

Menurut (4.12), ungkapan dalam tanda kurung adalah

f.

Membandingkan (4.14) dengan ungkapan (4.7) untuk selebihnya R n (x) = f (x) -L n (x) kita memperoleh (4.13), teorema dibuktikan.

Akibat sederhana berikut dari teorema ini. Untuk polinomial NS-darjah

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

turunan turutan NS jelas ada

dan hubungan (4.13) memberikan perbezaan bagi nilai yang dibahagi

Jadi, setiap polinomial darjah NS perbezaan pesanan yang dipisahkan NS sama dengan nilai tetap - pekali pada tahap tertinggi polinomial. Perbezaan Perintah Tinggi yang Dipisahkan
(lebih banyak lagi NS) jelas sama dengan sifar. Walau bagaimanapun, kesimpulan ini hanya berlaku jika tidak ada kesalahan pengiraan untuk perbezaan yang dipisahkan.

§4.4. Interpolasi Newton Polynomial dengan Perbezaan Berasingan

Mari kita tulis polinomial interpolasi Lagrange dalam bentuk berikut:

di mana L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Polinomial interpolasi Lagrange darjah k dibina oleh nod x 0, x 1, ..., x k... Kemudian ada tahap polinomial k yang akarnya adalah titik x 0, x 1, ..., x k -1... Oleh itu, ia boleh difaktorkan

di mana A k adalah pemalar.

Sesuai dengan (4.14), kami memperoleh

Membandingkan (4.16) dan (4.17), kita memperoleh bahawa (4.15) juga mengambil bentuk

yang dipanggil polinomial interpolasi Newton dengan perbezaan yang dipisahkan.

Jenis notasi polinomial interpolasi ini lebih deskriptif (penambahan satu simpul sepadan dengan penampilan satu istilah) dan membolehkan anda mengesan analogi konstruksi yang dibina dengan lebih baik dengan konstruksi asas analisis matematik.

Kesalahan sisa polinomial interpolasi Newton dinyatakan dengan formula (4.8), tetapi, dengan mengambil kira (4.13), dapat ditulis dalam bentuk lain

mereka. kesalahan sisa dapat dianggarkan dengan modulus istilah pertama yang ditolak dalam polinomial N n (x *).

Kesalahan pengiraan N n (x *) akan ditentukan oleh kesalahan perbezaan yang dipisahkan. Nod interpolasi yang paling hampir dengan nilai interpolasi x *, akan memberi kesan yang lebih besar pada polinomial interpolasi, berbaring lebih jauh - kurang. Oleh itu, adalah wajar, jika boleh, untuk x 0 dan x 1 mengambil datang ke x * nod interpolasi dan lakukan interpolasi linear pada nod ini terlebih dahulu. Kemudian secara beransur-ansur menarik simpul-simpul seterusnya sehingga sama simetri berbanding dengan x * sehingga istilah seterusnya dalam nilai mutlak kurang daripada kesalahan mutlak perbezaan terbahagi yang termasuk di dalamnya.

Biarkan di segmen fungsi y = f (x) ditetapkan dalam jadual, iaitu (x i, y i), (i = 0,1, .., n), di mana y i = f (x i). Fungsi ini dipanggil " jaring».

Rumusan masalah: cari polinomial algebra (polinomial):

darjah tidak lebih tinggi n seperti itu

L n (x i) = y i, di i = 0,1, .., n,(5.6)

mereka. mempunyai pada nod yang diberi x saya, (i=0,1,..,n) nilai yang sama dengan fungsi grid di=f (x).

Polinomial itu sendiri L n (x) dipanggil polinomial interpolasi, dan tugasnya adalah interpolasi polinomial .

Cari L polinomial L (x)- ini bermaksud cari pekali a 0 , a 1 ,…, A n. Untuk ini ada n + 1 keadaan (5.6), yang ditulis dalam bentuk sistem persamaan algebra linear sehubungan dengan yang tidak diketahui a,(i=0, 1,…,n):

di mana x saya dan y saya ( i=0,1,…,n) - nilai jadual argumen dan fungsi.

Telah diketahui dari kursus aljabar bahawa penentu sistem ini, yang disebut penentu Vandermonde:

bukan sifar dan, oleh itu, sistem (5.7) mempunyai keputusan sahaja.

Setelah menentukan pekali a 0 , a 1 ,…, A n, sistem penyelesaian (5.7), kami memperoleh apa yang disebut Polinomial interpolasi Lagrange untuk fungsi f (x):

(5.8)

yang boleh ditulis sebagai:

Dibuktikan bahawa diberikan n Nilai +1 fungsi dapat diplot satu-satunya polinomial interpolasi Lagrange(5.8).

Dalam praktiknya, polinomial interpolasi Lagrange yang pertama ( n = 1) dan yang kedua ( n = 2) darjah.

Pada n = 1 maklumat mengenai fungsi interpolasi y = f (x) ditetapkan pada dua titik: (x 0 , y 0 ) dan (x 1 , y 1 ), dan polinomial Lagrange mempunyai bentuk

Untuk n = 2 Polinomial Lagrange dibina dari jadual tiga mata

Penyelesaian: Kami mengganti data awal ke dalam formula (5.8). Tahap polinomial Lagrange yang diperoleh tidak lebih tinggi daripada yang ketiga, kerana fungsinya ditentukan oleh empat nilai:

Dengan menggunakan polinomial interpolasi Lagrange, anda dapat mencari nilai fungsi pada titik perantaraan, misalnya, untuk NS=4:

= 43

Polinomial interpolasi Lagrange digunakan dalam kaedah elemen terhingga, banyak digunakan dalam menyelesaikan masalah pembinaan.

Rumus interpolasi lain juga diketahui, sebagai contoh, Formula interpolasi Newton digunakan untuk interpolasi dalam kes nod yang sama jaraknya atau polinomial interpolasi Hermita.

Interpolasi spline... Semasa menggunakan sebilangan besar node interpolasi, teknik khas digunakan - interpolasi polinomial sekeping apabila fungsi diinterpolasi oleh polinomial darjah T antara mana-mana nod grid bersebelahan.

Root bermaksud penghampiran fungsi persegi

Rumusan masalah

Penghampiran Rms fungsi adalah pendekatan lain untuk mendapatkan ungkapan analitik untuk menghampiri fungsi. Ciri masalah seperti itu adalah kenyataan bahawa data awal untuk pembinaan keteraturan tertentu jelas watak hampir.

Data ini diperoleh sebagai hasil daripada eksperimen apa pun atau sebagai hasil dari beberapa proses pengiraan. Oleh itu, data ini mengandungi kesalahan eksperimen (kesalahan peralatan dan keadaan pengukuran, kesalahan rawak, dll.) Atau kesalahan pembundaran.

Katakan beberapa fenomena atau proses sedang disiasat. Secara umum, objek kajian dapat diwakili oleh sistem sibernetik ("kotak hitam") yang ditunjukkan dalam gambar.

Pembolehubah NS Merupakan pemboleh ubah terkawal bebas (parameter input).

Pembolehubah Y Adakah reaksi (tindak balas) objek kajian terhadap pengaruh parameter input. Ini adalah pemboleh ubah bersandar.

Katakan bahawa semasa memproses hasil percubaan ini, terdapat ketergantungan fungsional tertentu y = f (x) antara pemboleh ubah tak bersandar NS dan pemboleh ubah bersandar di. Pergantungan ini ditunjukkan dalam bentuk jadual. 5.1 nilai x i, y i (i=1,2,…, N) diperoleh semasa eksperimen.

Jadual 5.1

Sekiranya ungkapan fungsi analitik y = f (x) tidak diketahui atau sangat sukar, maka timbul masalah untuk mencari fungsinya y = j (NS), nilai yang pada x = x i, mungkin sedikit berbeza dari data eksperimen awak, (i=1,..,n). Oleh itu, kebergantungan yang diteliti didekati oleh fungsi y = j (NS) pada segmen [ x 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Fungsi menghampiri y = j (NS) dipanggil formula empirik (EF) atau persamaan regresi (RR).

Rumus empirikal tidak berpura-pura sebagai undang-undang alam, tetapi hanya hipotesis yang menggambarkan lebih kurang data eksperimen dengan lebih kurang. Walau bagaimanapun, kepentingan mereka sangat besar. Dalam sejarah sains, terdapat kes apabila formula empirik yang berjaya menghasilkan penemuan saintifik yang hebat.

Formula empirikal adalah memadai jika ia dapat digunakan untuk menggambarkan objek yang dikaji dengan tepat untuk latihan.

Untuk apa ketagihan ini?

Sekiranya penghampiran (5.9) dijumpai, maka mungkin:

Buat ramalan mengenai tingkah laku objek yang disiasat di luar ruas ( ekstrapolasi );

Pilih optimum arah perkembangan proses yang sedang dikaji.

Persamaan regresi dapat memiliki bentuk yang berbeda dan tingkat kerumitan yang berbeda, bergantung pada ciri objek yang sedang dikaji dan ketepatan representasi yang diperlukan.

Secara geometri masalah membina persamaan regresi terdiri dalam melukis keluk L: y = j (NS) « sedekat mungkin»Bersebelahan dengan sistem titik eksperimen M i (x i, y i), i = 1,2, .., n jadual yang diberikan. 5.1 (Rajah 5.2).

Pembinaan persamaan regresi (fungsi empirik) terdiri daripada 2 peringkat:

1. pilihan pandangan umum persamaan regresi,

2. menentukan parameternya.

Berjaya pilihan persamaan regresi sangat bergantung pada pengalaman ahli eksperimen, menyiasat suatu proses atau fenomena.

Polinomial (polinomial) sering dipilih sebagai persamaan regresi:

Tugas kedua, mencari parameter persamaan regresi diselesaikan dengan kaedah biasa, misalnya, kaedah petak paling sedikit(OLS), yang banyak digunakan dalam kajian corak apa pun berdasarkan pemerhatian atau eksperimen.

Perkembangan kaedah ini dikaitkan dengan nama ahli matematik terkenal pada masa lalu - K. Gauss dan A. Legendre.

Kaedah kuadrat paling sedikit

Mari kita anggap bahawa hasil eksperimen tersebut disajikan dalam bentuk jadual. 5.1. Dan persamaan regresi ditulis dalam bentuk (5.11), iaitu bergantung kepada ( m+1) parameter

Parameter ini menentukan lokasi graf persamaan regresi berbanding dengan titik eksperimen M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Rajah 5.2).

Walau bagaimanapun, parameter ini tidak ditentukan secara unik. Diperlukan untuk memilih parameter sehingga grafik persamaan regresi terletak “ sedekat mungkin»Untuk sistem titik eksperimen ini.

Mari memperkenalkan konsep penyelewengan nilai persamaan regresi (5.11) dari nilai jadual y i untuk x i : , i = 1,2, .., n.

Pertimbangkan jumlah petak penyimpangan, yang bergantung kepada( m+1) parameter

Menurut OLS, pekali terbaik a i(i=0,1,..,m) adalah yang meminimumkan jumlah petak penyimpangan, iaitu fungsi.

Menggunakan syarat-syarat yang diperlukan untuk bahagian paling hujung fungsi beberapa pemboleh ubah, kita mendapat apa yang disebut sistem normal untuk menentukan pekali yang tidak diketahui :

Untuk fungsi penghampiran (5.11), sistem (5.14) adalah sistem persamaan aljabar linear untuk yang tidak diketahui .

Kes mungkin:

1. Jika, maka ada banyak polinomial (5.11) yang meminimumkan fungsi (5.13).

2. Sekiranya m = n–1, maka hanya ada satu fungsi meminimumkan polinomial (5.11) (5.13).

Lebih kurang m, lebih mudah formula empiriknya, tetapi tidak selalu lebih baik. Harus diingat bahawa formula empirik yang dihasilkan seharusnya memadai objek yang dikaji.