Elemen analisis kombinatorial

Sambungan. kosong TAPI a 1 , a 2, a 3 …a n TAPI m (m daripada n sambungan daripada n unsur oleh m

Permutasi. kosong TAPI ialah set yang terdiri daripada bilangan unsur terhingga a 1 , a 2, a 3 …a n. Daripada pelbagai elemen set TAPI kumpulan boleh dibentuk. Jika setiap kumpulan mengandungi bilangan elemen yang sama m (m daripada n), maka mereka dikatakan membentuk sambungan daripada n unsur oleh m dalam setiap orang. Terdapat tiga jenis sambungan: peletakan, gabungan dan pilih atur.

Penginapan. sebatian yang masing-masing mengandungi m pelbagai elemen ( m < n) diambil daripada n set elemen A, berbeza antara satu sama lain sama ada dalam komposisi unsur-unsur, atau dalam susunan mereka dipanggil penempatan daripada n unsur oleh m dalam setiap orang. Bilangan penempatan sedemikian ditunjukkan oleh simbol

Teorem 1. Bilangan semua pilih atur berbeza bagi n unsur ialah

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Teorem 2. Bilangan semua penempatan daripada n unsur oleh m dikira dengan formula:

Gabungan. Sambungan yang setiap satunya mengandungi m pelbagai elemen ( m < n) diambil daripada n set elemen TAPI, yang berbeza antara satu sama lain oleh sekurang-kurangnya satu unsur (hanya komposisi) dipanggil gabungan daripada n unsur oleh m dalam setiap orang. Bilangan kombinasi tersebut ditunjukkan oleh simbol

Teorem 3. Bilangan semua gabungan n unsur oleh m ditentukan oleh formula:

Kadangkala formula berikut digunakan untuk merekodkan bilangan peletakan:

Intipati dan syarat penggunaan teori kebarangkalian.

Teori kebarangkalian

Acara rawak -

sahaja

T.v. berfungsi untuk mengesahkan statistik matematik dan gunaan, yang digunakan dalam merancang organisasi pengeluaran, dsb.

Konsep asas teori kebarangkalian.

Teori kebarangkalian ialah sains matematik yang mengkaji keteraturan dalam fenomena rawak.

Acara rawak - ia adalah satu fenomena yang, dengan penghasilan semula berulang pengalaman yang sama, meneruskan setiap kali dengan cara yang sedikit berbeza.

Kaedah teori kebarangkalian disesuaikan secara semula jadi sahaja untuk kajian fenomena rawak jisim; mereka tidak memungkinkan untuk meramalkan hasil fenomena rawak individu, tetapi mereka memungkinkan untuk meramalkan jumlah purata hasil jisim fenomena rawak homogen.

Dalam teori kebarangkalian ujian Adalah menjadi kebiasaan untuk memanggil percubaan yang (sekurang-kurangnya secara teori) boleh dilakukan dalam keadaan yang sama tanpa had bilangan kali.

Keputusan atau keputusan setiap ujian akan dipanggil peristiwa. Peristiwa ialah konsep asas teori kebarangkalian. Kami akan menandakan peristiwa dengan huruf A, B, C.

Jenis acara:

peristiwa yang pasti- peristiwa yang pasti akan berlaku hasil daripada pengalaman.

kejadian yang mustahil- peristiwa yang, hasil daripada pengalaman, tidak boleh berlaku.

peristiwa rawak- peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak berlaku dalam pengalaman tertentu. Persamaan peristiwa

Kebarangkalian perkembangan A(menandakan P(A) A(menandakan m(A)), N mereka. P(A)= m(A)/N.

Ruang kebarangkalian.

Ruang kebarangkalian ialah model matematik eksperimen rawak (eksperimen) dalam aksiomatik A.N. Kolmogorov. Ruang kebarangkalian mengandungi semua maklumat tentang sifat-sifat eksperimen rawak, yang diperlukan untuk analisis matematiknya melalui teori kebarangkalian. Sebarang masalah teori kebarangkalian diselesaikan dalam rangka kerja beberapa ruang kebarangkalian, diberikan sepenuhnya pada mulanya. Masalah di mana ruang kebarangkalian tidak dinyatakan sepenuhnya, dan maklumat yang hilang harus diperoleh daripada hasil pemerhatian, tergolong dalam bidang statistik matematik.

Ruang kebarangkalian ditakrifkan oleh tiga komponen (simbol) (Ω,S,P), dengan Ω ialah ruang bagi peristiwa asas

S-∂(sigma)-algebra peristiwa, P - kebarangkalian, Ω-peristiwa tertentu, S-sistem subset ruang hasil asas Ω.

5. 5. Pengiraan kebarangkalian langsung.

Takrif klasik kebarangkalian berdasarkan konsep kesetaraan peristiwa .

Persamaan peristiwa bermakna tiada sebab untuk memilih mana-mana satu daripada yang lain.

Pertimbangkan ujian yang boleh mengakibatkan peristiwa A. Setiap hasil di mana peristiwa berlaku A, dipanggil menguntungkan peristiwa A.

Kebarangkalian perkembangan A(menandakan P(A)) ialah nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut A(menandakan m(A)), antara semua hasil ujian - N mereka. P(A)= m(A)/N.

Berikut adalah daripada takrifan klasik kebarangkalian. harta benda :

Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak di antara sifar dan satu.

Bukti. Oleh kerana, membahagikan semua bahagian ketaksamaan dengan N, kita mendapatkan

Dari mana, mengikut takrifan klasik kebarangkalian, ia mengikutinya

Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar

6. 6.Teoremi penambahan kebarangkalian.

Jika A dan B tidak konsisten, maka P(A + B) = P(A) + P(B)

Jika A dan B adalah peristiwa berlawanan, maka

Satu unsur sigma-algebra seterusnya akan dipanggil peristiwa rawak.

Kumpulan penuh acara

Kumpulan acara lengkap ialah kumpulan subset yang lengkap, setiap satu daripadanya ialah acara. Dikatakan bahawa peristiwa kumpulan penuh adalah pembahagian ruang hasil asas.

fungsi aditif terhingga

biarlah A – algebra. Fungsi  memetakan algebra kepada set nombor nyata

dipanggil aditif terhingga jika untuk sebarang set terhingga peristiwa tidak serasi berpasangan

Mengira fungsi aditif

biarlah F– algebra atau sigma-algebra. Fungsi

dipanggil aditif boleh dikira jika ia adalah aditif terhingga dan untuk sebarang set peristiwa tidak serasi berpasangan yang boleh dikira

Ukuran ialah fungsi aditif boleh dikira bukan negatif yang ditakrifkan pada algebra sigma yang memenuhi syarat

ukuran akhir

ukur dipanggil muktamad jika

Kebarangkalian

Kebarangkalian (ukuran kebarangkalian) P adalah ukuran sedemikian

Mulai sekarang, kami akan berhenti mengukur kebarangkalian dalam peratusan dan mula mengukurnya dengan nombor nyata dari 0 hingga 1.

dipanggil kebarangkalian kejadian A

Ruang kebarangkalian

Ruang kebarangkalian ialah himpunan tiga objek - ruang hasil asas, sigma-algebra peristiwa dan kebarangkalian.

Ini ialah model matematik bagi fenomena atau objek rawak.

Paradoks mentakrifkan ruang kebarangkalian

Mari kita kembali kepada rumusan asal masalah teori kebarangkalian. Matlamat kami adalah untuk membina model matematik bagi fenomena rawak yang akan membantu untuk mengukur kebarangkalian kejadian rawak. Pada masa yang sama, untuk membina ruang kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan kebarangkalian, i.e. nampaknya betul-betul apa yang kita cari (?).

Penyelesaian paradoks ini ialah untuk definisi lengkap kebarangkalian sebagai fungsi pada semua elemen F, biasanya sudah cukup untuk menetapkannya pada beberapa acara sahaja dari F, kebarangkalian yang boleh kita tentukan dengan mudah , dan kemudian, menggunakan ketambahan boleh dikiranya, mengira pada mana-mana unsur F.

Acara bebas

Konsep penting dalam teori kebarangkalian ialah kebebasan.

Peristiwa A dan B dipanggil bebas jika

mereka. kebarangkalian kejadian serentak kejadian ini adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya.

Peristiwa dalam set boleh dikira atau terhingga dipanggil bebas berpasangan jika mana-mana pasangan daripadanya ialah sepasang peristiwa bebas

Dalam jumlah

Peristiwa dalam set boleh kira atau terhingga adalah bebas secara kolektif jika kebarangkalian mana-mana subset terhingga daripadanya berlaku serentak adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa dalam subset itu.

Adalah jelas bahawa acara saling bebas adalah bebas dan berpasangan. Sebaliknya tidak benar.

Kebarangkalian Bersyarat

Kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah berlaku, ialah nilainya

Buat masa ini, kami mentakrifkan kebarangkalian bersyarat hanya untuk peristiwa B, kebarangkalian yang tidak sama dengan sifar.

Jika peristiwa A dan B adalah bebas, maka

Sifat dan teorem

Sifat kebarangkalian yang paling mudah

Bentuk acara kumpulan penuh, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya semestinya akan berlaku akibat daripada eksperimen dan tidak konsisten berpasangan.

Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu A hanya boleh berlaku bersama-sama dengan satu daripada beberapa peristiwa tidak serasi berpasangan yang membentuk kumpulan lengkap. Mari kita panggil peristiwa i= 1, 2,…, n) hipotesis pengalaman tambahan (a priori). Kebarangkalian kejadian A ditentukan oleh formula kebarangkalian penuh :

Contoh 16 Terdapat tiga tempayan. Guci pertama mengandungi 5 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua mengandungi 4 bola putih dan 4 bola hitam, dan guci ketiga mengandungi 8 bola putih. Salah satu guci dipilih secara rawak (ini mungkin bermakna, sebagai contoh, pemilihan dibuat daripada guci tambahan yang mengandungi tiga bola bernombor 1, 2 dan 3). Sebiji bola diambil secara rawak dari balang ini. Apakah kebarangkalian bahawa ia akan menjadi hitam?

Penyelesaian. Peristiwa A– bola hitam ditarik. Jika diketahui dari mana bola itu diambil, maka kebarangkalian yang diperlukan boleh dikira mengikut definisi klasik kebarangkalian. Mari kita perkenalkan andaian (hipotesis) mengenai guci yang dipilih untuk mengeluarkan bola.

Bola boleh diambil sama ada dari guci pertama (hipotesis ), atau dari kedua (hipotesis ), atau dari ketiga (hipotesis ). Oleh kerana terdapat peluang yang sama untuk memilih mana-mana guci, maka .

Oleh itu ia mengikutinya

Contoh 17. Lampu elektrik dihasilkan di tiga kilang. Kilang pertama menghasilkan 30% daripada jumlah lampu elektrik, yang kedua - 25%,
dan yang ketiga untuk selebihnya. Produk kilang pertama mengandungi 1% daripada lampu elektrik yang rosak, yang kedua - 1.5%, yang ketiga - 2%. Kedai ini menerima produk dari ketiga-tiga kilang. Apakah kebarangkalian bahawa lampu yang dibeli di kedai rosak?

Penyelesaian. Andaian mesti dimasukkan ke dalam kilang mana mentol lampu dikilangkan. Mengetahui ini, kita boleh mencari kebarangkalian bahawa ia rosak. Mari perkenalkan notasi untuk acara: A– lampu elektrik yang dibeli ternyata rosak, – lampu dihasilkan oleh kilang pertama, – lampu dikeluarkan oleh kilang kedua,
– lampu dihasilkan oleh kilang ketiga.

Kebarangkalian yang diingini didapati dengan jumlah formula kebarangkalian:

Formula Bayes.

Biarkan menjadi kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan (hipotesis). TAPI adalah peristiwa rawak. Kemudian,

Formula terakhir yang membolehkan anda menilai terlalu tinggi kebarangkalian hipotesis selepas keputusan ujian diketahui, akibatnya peristiwa A muncul, dipanggil Formula Bayes .

Contoh 18. Purata 50% pesakit yang menghidap penyakit ini dimasukkan ke hospital khusus Kepada, 30% dengan penyakit L, 20 % –
dengan penyakit M. Kebarangkalian penyembuhan lengkap penyakit ini K bersamaan 0.7 untuk penyakit L dan M kebarangkalian ini masing-masing adalah 0.8 dan 0.9. Pesakit yang dimasukkan ke hospital telah dibenarkan keluar dengan sihat. Cari kebarangkalian bahawa pesakit ini menghidap penyakit tersebut K.

Penyelesaian. Kami memperkenalkan hipotesis: - pesakit mengalami penyakit Kepada L, pesakit mengalami penyakit tersebut M.

Kemudian, mengikut keadaan masalah, kita ada . Mari kita perkenalkan satu acara TAPI Pesakit yang dimasukkan ke hospital telah dibenarkan keluar dengan sihat. Dengan syarat

Mengikut jumlah formula kebarangkalian, kita dapat:

Formula Bayes.

Ruang kebarangkalian

Keputusan teori pertama mengenai teori kebarangkalian ialah

menjelang pertengahan abad ke-17 dan tergolong dalam B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli. Teori ini berhutang kejayaannya pada abad ke-18 dan permulaan abad ke-19 kepada A. Moivre, P. Laplace, K. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Kemajuan yang ketara dalam teori kebarangkalian telah dicapai pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20 dalam karya L. Boltzmann, P. Chebyshev, A. Lyapunov, A. Markov, E. Borel dan lain-lain. Walau bagaimanapun, walaupun oleh permulaan abad ke-20, teori yang ketat dan tidak kontroversial. Hanya pendekatan aksiomatik yang memungkinkan untuk mencapai ini. Buat pertama kalinya, pembinaan aksiomatik teori itu dibuat oleh S.N. Walau bagaimanapun, pendekatan ini belum dikembangkan lagi. Lebih membuahkan hasil adalah pendekatan aksiomatik berdasarkan teori set dan teori ukuran yang dibangunkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 1920-an. j Aksiomatik Kolmogorov, konsep kejadian rawak, berbeza dengan pendekatan klasik, bukanlah awal, tetapi merupakan akibat daripada konsep yang lebih asas. Titik permulaan Kolmogorov ialah set (ruang) W peristiwa asas (ruang hasil, ruang sampel). Sifat unsur-unsur ruang ini tidak memainkan peranan.

Jika A, B, C Î W , maka hubungan berikut yang ditubuhkan dalam teori set adalah jelas:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ , A +Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A=A,

di mana bar atas menandakan pelengkap dalam W; A + B = A B, AB = A + B, AB \u003d BA, A + B \u003d B + A, (A + B) + C \u003d A + (B + C), (AB) C \u003d A (BC) , A(B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

di sini Æ menandakan set kosong, iaitu, kejadian yang mustahil.

Dalam aksiomatik Kolmogorov, beberapa sistem U subset set W dipertimbangkan, unsur-unsurnya dipanggil peristiwa rawak. Sistem U memenuhi keperluan berikut: jika subset A dan B set W dimasukkan ke dalam sistem U, maka sistem ini juga mengandungi set A È B, A Ç B, A dan B; set W. itu sendiri juga merupakan unsur sistem U. Sistem set sedemikian dipanggil algebra set (Boolean).

Jelas sekali, ia berikutan daripada takrifan algebra bagi set bahawa set kosong Æ juga tergolong dalam keluarga U. Oleh itu, algebra set (iaitu, set peristiwa rawak) ditutup berkenaan dengan operasi penambahan, persilangan, dan pembentukan pelengkap, dan, akibatnya, operasi asas pada peristiwa rawak tidak mendahului di luar set peristiwa rawak U.

Untuk kebanyakan aplikasi, adalah perlu untuk menghendaki keluarga set U termasuk bukan sahaja jumlah terhingga dan persilangan subset bagi set W, tetapi juga jumlah dan persilangan boleh dikira. Ini membawa kita kepada takrifan tanggapan s-algebra.

Definisi 1.1. S-algebra ialah keluarga subset (U) bagi set W yang ditutup di bawah operasi membentuk pelengkap, jumlah boleh dikira dan persilangan boleh dikira.

Jelaslah bahawa mana-mana s-algebra mengandungi set W itu sendiri dan set kosong. Jika keluarga U sewenang-wenang bagi subset set W diberikan, maka algebra s terkecil yang mengandungi semua set keluarga U dipanggil algebra s yang dijana oleh keluarga U.

Algebra s terbesar mengandungi semua subset s; ia berguna dalam ruang diskret W, di mana kebarangkalian biasanya ditakrifkan untuk semua subset set W. Walau bagaimanapun, dalam ruang yang lebih umum, adalah sama ada mustahil atau tidak diingini untuk menentukan kebarangkalian (takrifan kebarangkalian akan diberikan di bawah) untuk semua subset. Satu lagi takrif ekstrem bagi s-algebra ialah s-algebra yang hanya terdiri daripada set W. dan set kosong Æ.

Sebagai contoh pilihan W dan s-algebra subset U, pertimbangkan permainan di mana peserta membaling dadu, pada setiap enam muka yang nombor dari 1 hingga 6 ditanda. Dalam mana-mana lontaran dadu, hanya enam keadaan direalisasikan: w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 dan w 6 , ke-i yang bermaksud i skor. Keluarga U bagi peristiwa rawak terdiri daripada 2 6 = 64 unsur yang terdiri daripada semua kombinasi yang mungkin w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Acara rawak, i.e. unsur-unsur s-algebra U selalunya akan dilambangkan dengan huruf A, B,… Jika dua peristiwa rawak A dan B tidak mengandungi unsur yang sama w i нW, maka kita akan memanggilnya tidak serasi. Peristiwa A dan A dipanggil bertentangan (dalam tatatanda lain, bukannya A, anda boleh meletakkan CA). Sekarang kita boleh beralih kepada definisi konsep kebarangkalian.

Definisi 1.2. Ukuran kebarangkalian Р pada s-algebra U subset set W ialah fungsi set P yang memenuhi keperluan berikut:

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, iaitu yang mempunyai sifat ketambahan boleh dikira, di mana A k ialah set saling bercapah daripada U.

Oleh itu, walau apa pun ruang sampel W, kami menetapkan kebarangkalian hanya kepada set beberapa s-algebra U, dan kebarangkalian ini ditentukan oleh nilai ukuran P pada set ini.

Oleh itu, dalam sebarang masalah kajian peristiwa rawak, konsep awal ialah ruang sampel s, di mana, dalam satu cara atau yang lain, algebra s dipilih, di mana ukuran kebarangkalian P telah ditakrifkan. Oleh itu, kita boleh memberikan definisi berikut

Definisi 1.3. Ruang kebarangkalian ialah tiga (W,U,P) yang terdiri daripada ruang sampel W,s-algebra U subsetnya dan ukuran kebarangkalian P yang ditakrifkan pada U.

Dalam amalan, mungkin terdapat masalah di mana kebarangkalian berbeza diberikan kepada peristiwa rawak yang sama daripada U. Sebagai contoh, dalam kes dadu simetri, adalah wajar untuk meletakkan:

P (w 1) \u003d P (w 2) \u003d ... \u003d P (w 6) \u003d= 1/6,

dan jika tulang tidak simetri, maka kebarangkalian berikut mungkin menjadi lebih konsisten dengan realiti: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

Pada asasnya, kita akan berurusan dengan set W, yang merupakan subset bagi ruang Euclidean berdimensi terhingga R n . Objek utama teori kebarangkalian ialah pembolehubah rawak, i.e. beberapa fungsi yang ditakrifkan pada ruang sampel W. Tugas pertama kami ialah menyekat kelas Fungsi yang akan kami kendalikan. Adalah wajar untuk memilih kelas fungsi sedemikian, operasi standard yang tidak akan disimpulkan daripada kelas ini, khususnya, supaya, sebagai contoh, operasi mengambil had mengikut arah, komposisi fungsi, dsb., tidak akan disimpulkan. daripada kelas ini.

Definisi 1.4. Kelas terkecil bagi fungsi B ditutup di bawah petikan bertitik ke had (iaitu, jika ¦ 1 ,¦ 2 ,... tergolong dalam kelas B dan untuk semua x terdapat had ¦(x) = lim¦ n (x) , maka ¦( x) tergolong dalam B) yang mengandungi semua fungsi berterusan dipanggil kelas Baer.

Ia berikutan daripada definisi ini bahawa jumlah, perbezaan, produk, unjuran, komposisi dua fungsi Baire adalah sekali lagi fungsi Baire, i.e. setiap fungsi fungsi Baire sekali lagi adalah fungsi Baire. Ternyata jika kita menghadkan diri kita kepada kelas fungsi yang lebih sempit, maka tiada pengukuhan atau penyederhanaan teori boleh diperolehi.

Dalam kes umum, pembolehubah rawak, i.e. fungsi Х = U(х), di mana XнWнR n , harus ditakrifkan sedemikian rupa sehingga peristiwa (X £ t) untuk sebarang t mempunyai kebarangkalian tertentu, i.e. supaya set (X £ t) tergolong dalam keluarga U , yang unsur-unsurnya kebarangkalian Р ditakrifkan, i.e. supaya kuantiti P(X £ t) ditentukan. Ini membawa kita kepada takrifan berikut tentang kebolehukur fungsi berkenaan dengan keluarga U.

Definisi 1.5. Fungsi sebenar U(x), xОW, dipanggil U-measurable jika, untuk mana-mana t nyata, set titik tersebut xОW yang mana U(х)£t tergolong dalam keluarga U.

Oleh kerana s-algebra U ditutup di bawah operasi mengambil pelengkap, maka dalam definisi kebolehukur ketaksamaan £ boleh digantikan dengan mana-mana ketaksamaan ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Seperti yang telah disebutkan, s-algebra boleh dipilih secara sewenang-wenangnya, dan, khususnya, seperti berikut: pertama, selang dimensi n ditakrifkan pada ruang WОR n, kemudian, menggunakan operasi algebra set, set a struktur yang lebih kompleks boleh dibina daripada selang ini, dan keluarga set terbentuk. Di antara semua keluarga yang mungkin, seseorang boleh memilih satu yang mengandungi semua subset terbuka dalam W. Pembinaan sedemikian membawa kepada definisi berikut.

Definisi 1.6. S-algebra U b terkecil yang mengandungi semua subset terbuka (dan dengan itu semua tertutup) oleh set WÌ R n dipanggil Borel s-algebra, dan setnya dipanggil Borel.

Ternyata kelas fungsi Ber B adalah sama dengan kelas fungsi yang boleh diukur berkenaan dengan s-algebra U b set Borel.

Sekarang kita boleh mentakrifkan dengan jelas konsep pembolehubah rawak dan fungsi kebarangkalian taburannya.

Definisi 1.7. Pembolehubah rawak X ialah fungsi nyata X =U(x), xОW, boleh diukur berkenaan dengan s-algebra U termasuk dalam takrifan ruang kebarangkalian.

Definisi 1.8. Fungsi taburan pembolehubah rawak X ialah fungsi F(t) = P(X £ t), yang menentukan kebarangkalian pembolehubah rawak X tidak melebihi nilai t.

Memandangkan fungsi taburan F yang diberikan, ukuran kebarangkalian boleh dibina secara unik, dan begitu juga sebaliknya.

Mari kita pertimbangkan keteraturan kebarangkalian utama menggunakan contoh set terhingga W. Biarkan A, BÌ W. Jika A dan B mengandungi unsur sepunya, i.e. AB¹0, maka kita boleh menulis: A + B \u003d A + (B-AB) dan B \u003d AB + (B-AB), di mana di sebelah kanan terdapat set tidak bersilang (iaitu peristiwa tidak serasi), dan oleh itu , dengan ukuran kebarangkalian sifat tambahan: P (A + B) \u003d P (B-AB) + P (A), P (B) \u003d P (AB) + P (B-AB); ini membayangkan Formula untuk jumlah kebarangkalian peristiwa sewenang-wenangnya: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Jika tiada syarat dikenakan semasa mengira kebarangkalian peristiwa A, maka kebarangkalian P(A) dipanggil tanpa syarat. Jika peristiwa A direalisasikan, sebagai contoh, di bawah syarat peristiwa B telah direalisasikan, maka mereka bercakap tentang kebarangkalian bersyarat, menandakannya dengan simbol P (A / B). Dalam teori kebarangkalian aksiomatik, mengikut definisi, diandaikan:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

Untuk memahami definisi ini secara intuitif, pertimbangkan, sebagai contoh, situasi berikut. Biarkan kotak itu mengandungi k keping kertas bertanda huruf A, r keping kertas bertanda huruf B, m keping kertas bertanda huruf A·B, dan n keping kertas kosong. Terdapat p = k + r + n + m keping kertas kesemuanya. Dan biarkan satu demi satu kertas ditarik keluar dari kotak secara bergilir-gilir, dan setiap kali ditarik keluar, jenis kertas yang ditarik dicatat dan dimasukkan semula ke dalam kotak. Keputusan sebilangan besar percubaan sedemikian direkodkan. Kebarangkalian bersyarat P(A/B) bermakna peristiwa A dianggap hanya berkaitan dengan realisasi peristiwa B. Dalam contoh ini, ini bermakna bahawa adalah perlu untuk mengira bilangan kertas yang ditarik keluar dengan huruf A B dan huruf B dan bahagikan nombor pertama dengan hasil tambah nombor pertama dan kedua. Dengan bilangan percubaan yang cukup besar, nisbah ini akan cenderung kepada nombor yang menentukan kebarangkalian bersyarat P(A/B). Kiraan yang sama bagi kepingan kertas lain akan menunjukkannya

Mengira nisbah

kami memastikan bahawa ia hanya bertepatan dengan nilai yang kami kira sebelum ini untuk kebarangkalian P(A/B). Oleh itu, kita mendapat

P(A B) = P(A/B) P(B).

Menjalankan penaakulan yang sama, menukar A dan B, kita dapat

P(A B) = P(B/A) P(A)

Kesaksamaan

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

dipanggil teorem pendaraban kebarangkalian.

Contoh yang dipertimbangkan juga memungkinkan untuk mengesahkan secara visual kesahihan kesamaan berikut untuk A B¹Æ :

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Contoh 1.1. Katakan sebuah dadu digulung dua kali dan tugasnya adalah untuk menentukan kebarangkalian P(A/B) daripada sejumlah 10 jika gulungan pertama ialah 4.

Menggolek 6 pada gulungan kedua mempunyai kebarangkalian 1/6. Akibatnya,

Contoh 1.2. Biarkan ada 6 tempayan:

dalam balang jenis A 1 - dua bola putih dan satu bola hitam, dalam balang jenis A 2 - dua bola putih dan dua bola hitam, dalam balang jenis A 3 - dua bola hitam dan satu bola putih. Terdapat 1 urn jenis A 1 , 2 urn jenis A 2 dan 3 urn jenis A 3 . Sebuah guci dipilih secara rawak dan sebiji bola diambil daripadanya. Apakah kebarangkalian bahawa bola ini berwarna putih? Nyatakan dengan B peristiwa menarik bola putih.

Untuk menyelesaikan masalah, andaikan beberapa peristiwa B direalisasikan hanya bersama-sama dengan salah satu daripada n peristiwa yang tidak serasi A 1 ,..., A n , i.e. B = , di mana peristiwa BA i dan BA j dengan indeks i dan j yang berbeza adalah tidak serasi. Daripada sifat ketambahan bagi kebarangkalian P ia berikut:

Menggantikan pergantungan (1.1) di sini, kita perolehi

formula ini dipanggil formula kebarangkalian jumlah. Untuk menyelesaikan contoh terakhir, kami menggunakan formula kebarangkalian jumlah. Memandangkan bola putih (acara B) boleh diambil dari salah satu daripada tiga guci (acara A 1 , A 2 , A 3), kita boleh menulis

B \u003d A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Jumlah formula kebarangkalian memberi

Mari kita hitung kebarangkalian yang termasuk dalam formula ini. Kebarangkalian bahawa bola itu diambil dari bekas jenis A 1 adalah jelas P(A 1) = 1/6, daripada bekas jenis A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 dan dari sebuah balang jenis A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Jika bola diambil dari balang jenis A 1, maka P (B / A 1) \u003d 2/3, jika dari balang jenis A 2, maka P (B / A 2) \u003d 1/2, dan jika dari balang jenis A 3, maka P (B / A 3) \u003d 1/3. Dengan cara ini,

P(B) \u003d (1/6) (2/3) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) \u003d 4/9.

Kebarangkalian bersyarat Р(В/А) mempunyai semua sifat kebarangkalian Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 dan P(В/А) adalah aditif.

Kerana ia

P (A B) \u003d\u003d P (B / A) - P (A) \u003d P (A / B) P (B) ,

maka ia berikutan bahawa jika A tidak bergantung kepada B, iaitu, jika

P(A/B) = P(A),

maka B tidak bergantung kepada A, i.e. P(B/A) = P(B).

Oleh itu, dalam kes peristiwa bebas, teorem pendaraban mengambil bentuk yang paling mudah:

P(A B) = P(A) P(B) (1.3)

Jika peristiwa A dan B adalah bebas, maka setiap pasangan peristiwa berikut juga bebas: (A, B), (A, B), (A, B). Mari kita sahkan, sebagai contoh, bahawa jika A dan B adalah bebas, maka A dan B juga bebas. syarat P (B / A) \u003d P (B), berikut: P (B / A) \u003d 1 - P (B) \u003d P (B).

Acara boleh bebas berpasangan, tetapi bergantung pada agregat. Dalam hal ini, konsep kebebasan bersama juga diperkenalkan: peristiwa A 1 ,..., A n dipanggil saling bebas jika bagi mana-mana subset E indeks 1,2,...,n kesamaan

Dalam praktiknya, adalah perkara biasa untuk menilai kebarangkalian hipotesis selepas beberapa ujian telah dijalankan. Biarkan, sebagai contoh, peristiwa B boleh direalisasikan hanya dengan salah satu peristiwa yang tidak serasi A 1 ,...,A n , i.e. dan biarkan peristiwa B direalisasikan. Ia dikehendaki mencari kebarangkalian hipotesis (peristiwa) A i di bawah keadaan

apa yang B berlaku. Daripada teorem pendaraban

P (A i B) \u003d P (B) P (A i / B) \u003d P (A i) P (B / A i)

Dengan mengambil kira jumlah formula kebarangkalian untuk P(B), ini bermakna

Formula ini dipanggil formula Bayes.

Contoh 1.3. Biarkan sebiji bola putih dilukis dalam Contoh 1.2 dan ia diperlukan untuk menentukan apakah kebarangkalian bahawa ia dikeluarkan daripada balang jenis 3.

Kebarangkalian dan peraturan tindakan dengan mereka. Untuk penerangan lengkap tentang mekanisme eksperimen rawak yang sedang dikaji, adalah tidak mencukupi untuk menyatakan hanya ruang peristiwa asas. Jelas sekali, bersama-sama dengan menyenaraikan semua kemungkinan hasil eksperimen rawak yang sedang dikaji, kita juga mesti mengetahui berapa kerap peristiwa asas tertentu boleh berlaku dalam siri panjang eksperimen sedemikian. Malah, kembali, katakan, kepada contoh, adalah mudah untuk membayangkan bahawa dalam rangka kerja setiap satu

Dalam ruang kejadian asas, seseorang boleh mempertimbangkan satu set eksperimen rawak yang tidak terhitung banyaknya yang berbeza dengan ketara dalam mekanismenya. pusat graviti yang tersesar sedikit, dengan pusat graviti yang disesarkan dengan kuat, dsb.) Dalam contoh 4.4-4.7, kekerapan kejadian produk yang rosak, sifat pencemaran dengan produk yang rosak bagi kelompok terkawal dan kekerapan berlakunya beberapa kegagalan mesin talian automatik akan bergantung pada tahap peralatan teknologi pengeluaran yang sedang dikaji: untuk ruang kejadian asas yang sama , kekerapan berlakunya hasil asas "baik" akan lebih tinggi dalam pengeluaran dengan tahap teknologi yang lebih tinggi.

Untuk membina (dalam kes diskret) teori matematik yang lengkap dan lengkap bagi eksperimen rawak - teori kebarangkalian, sebagai tambahan kepada konsep awal eksperimen rawak yang telah diperkenalkan, hasil asas dan peristiwa rawak, adalah perlu untuk menyimpan stok. pada satu lagi andaian awal (aksiom), mempostulatkan kewujudan kebarangkalian kejadian asas (memuaskan normalisasi tertentu), dan menentukan kebarangkalian sebarang peristiwa rawak.

Aksiom. Setiap elemen ruang peristiwa asas Q sepadan dengan beberapa ciri berangka bukan negatif peluang kejadiannya, dipanggil kebarangkalian kejadian itu, dan

(oleh itu, khususnya, ia mengikuti itu untuk semua ).

Menentukan kebarangkalian sesuatu kejadian. Kebarangkalian sebarang peristiwa A ditakrifkan sebagai jumlah kebarangkalian semua peristiwa asas yang membentuk peristiwa A, iaitu, jika kita menggunakan simbolisme untuk menandakan "kebarangkalian peristiwa A", maka

Dari sini dan dari (4.2) ia serta-merta mengikuti bahawa sentiasa dan kebarangkalian kejadian tertentu

adalah sama dengan satu, dan kebarangkalian kejadian mustahil adalah sama dengan sifar. Semua konsep dan peraturan tindakan lain dengan kebarangkalian dan peristiwa sudah pun diperoleh daripada empat takrifan awal yang diperkenalkan di atas (suatu eksperimen rawak, hasil asas, peristiwa rawak dan kebarangkaliannya) dan satu aksiom.

Oleh itu, untuk penerangan menyeluruh tentang mekanisme eksperimen rawak yang dikaji (dalam kes diskret), adalah perlu untuk menentukan set terhingga atau boleh dikira semua kemungkinan hasil asas Q dan setiap hasil asas untuk mengaitkan beberapa bukan negatif ( tidak melebihi satu) ciri berangka ditafsirkan sebagai kebarangkalian berlakunya hasil, dan jenis surat-menyurat yang ditetapkan mesti memenuhi keperluan normalisasi (4.2).

Ruang kebarangkalian adalah tepat konsep yang memformalkan penerangan sedemikian tentang mekanisme eksperimen rawak. Menentukan ruang kebarangkalian bermakna menyatakan ruang peristiwa asas Q dan mentakrifkan di dalamnya jenis surat-menyurat di atas

Jelas sekali, jenis surat-menyurat (4.4) boleh ditentukan dalam pelbagai cara: dengan bantuan jadual, graf, formula analisis, dan akhirnya, secara algoritma.

Bagaimana untuk membina ruang kebarangkalian sepadan dengan kompleks sebenar keadaan yang dikaji? Sebagai peraturan, tiada kesukaran untuk mengisi dengan kandungan tertentu konsep eksperimen rawak, peristiwa asas, ruang peristiwa asas, dan dalam kes diskret, walaupun sebarang peristiwa rawak boleh reput. Tetapi tidak begitu mudah untuk menentukan kebarangkalian kejadian asas individu daripada keadaan khusus masalah yang sedang diselesaikan! Untuk tujuan ini, salah satu daripada tiga pendekatan berikut digunakan.

Pendekatan a priori untuk mengira kebarangkalian terletak pada analisis teori, spekulatif tentang keadaan khusus bagi eksperimen rawak tertentu (sebelum eksperimen itu sendiri). Dalam beberapa situasi, analisis pra-eksperimen ini memungkinkan untuk membuktikan secara teori kaedah untuk menentukan kebarangkalian yang diingini. Sebagai contoh, adalah mungkin bahawa ruang semua mungkin

hasil asas terdiri daripada nombor terhingga N unsur, dan syarat untuk penghasilan eksperimen rawak yang dikaji adalah sedemikian rupa sehingga kebarangkalian setiap N hasil asas ini kelihatan sama dengan kita (inilah situasi yang kita hadapi apabila kami melambung syiling simetri, membaling dadu biasa, melukis kad permainan secara rawak dari dek yang bercampur-campur, dsb.). Berdasarkan aksiom (4.2), kebarangkalian setiap peristiwa asas adalah sama dengan MN dalam kes ini. Ini membolehkan anda mendapatkan resipi mudah untuk mengira kebarangkalian sebarang peristiwa: jika peristiwa A mengandungi peristiwa asas NA, maka mengikut definisi (4.3)

Maksud formula (4.3) ialah kebarangkalian sesuatu peristiwa dalam kelas situasi tertentu boleh ditakrifkan sebagai nisbah bilangan hasil yang menggalakkan (iaitu, hasil asas yang termasuk dalam peristiwa ini) kepada bilangan semua hasil yang mungkin ( apa yang dipanggil takrifan klasik kebarangkalian). Dalam tafsiran moden, formula (4.3) bukan takrifan kebarangkalian: ia hanya terpakai dalam kes tertentu apabila semua hasil asas berkemungkinan sama.

Pendekatan frekuensi posterior untuk mengira kebarangkalian pada asasnya adalah berdasarkan takrifan kebarangkalian yang diterima pakai oleh konsep frekuensi kebarangkalian yang dipanggil (untuk butiran lanjut tentang konsep ini, lihat, sebagai contoh, ). Selaras dengan konsep ini, kebarangkalian ditakrifkan sebagai had kekerapan relatif kejadian hasil w dalam proses peningkatan tanpa had dalam jumlah eksperimen rawak, i.e.

di manakah bilangan eksperimen rawak (daripada jumlah bilangan eksperimen rawak yang dilakukan) di mana kejadian peristiwa asas telah didaftarkan

satu siri eksperimen rawak Kaedah mengira kebarangkalian ini tidak bercanggah dengan konsep moden (aksiomatik) teori kebarangkalian, kerana yang kedua dibina sedemikian rupa sehingga analog empirikal (atau selektif) kebarangkalian wujud secara objektif bagi sebarang peristiwa A adalah kekerapan relatif peristiwa ini dalam satu siri percubaan bebas. Takrifan kebarangkalian ternyata berbeza dalam kedua-dua konsep ini: mengikut konsep kekerapan, kebarangkalian bukan objektif, wujud sebelum pengalaman, sifat fenomena yang dikaji, tetapi muncul hanya berkaitan dengan eksperimen atau pemerhatian; ini membawa kepada campuran teori (benar, disebabkan oleh kompleks sebenar keadaan untuk "kewujudan" fenomena yang dikaji) ciri-ciri kebarangkalian dan analog empirikal (selektif) mereka. Seperti yang ditulis oleh G. Cramer, "takrif kebarangkalian yang ditentukan boleh dibandingkan, sebagai contoh, dengan takrifan titik geometri sebagai had titik kapur dengan saiz yang semakin berkurangan, tetapi geometri aksiomatik moden tidak memperkenalkan definisi sedemikian" () . Kami tidak akan membincangkan kelemahan matematik konsep kekerapan kebarangkalian. Kami hanya perhatikan kesukaran asas dalam melaksanakan kaedah pengiraan untuk mendapatkan nilai anggaran menggunakan frekuensi relatif. Pertama, mengekalkan keadaan percubaan rawak tidak berubah (iaitu, memelihara keadaan ensembel statistik), di mana andaian bahawa relatif frekuensi cenderung berkumpul di sekitar nilai malar ternyata sah, tidak dapat dikekalkan selama-lamanya dan dengan ketepatan yang tinggi. Oleh itu, untuk menganggar kebarangkalian menggunakan frekuensi relatif, tidak ada

tidak masuk akal untuk mengambil siri yang terlalu panjang (iaitu, terlalu besar ) dan oleh itu, secara kebetulan, laluan tepat ke had (4.5) tidak boleh mempunyai makna sebenar. Kedua, dalam situasi di mana kita mempunyai bilangan kemungkinan hasil asas yang cukup besar (dan ia boleh membentuk tak terhingga, malah, seperti yang telah dinyatakan dalam § 4.1, set kontinum), walaupun dalam siri eksperimen rawak yang panjang sewenang-wenangnya, kita akan untuk mempunyai kemungkinan hasil yang tidak pernah menjadi kenyataan semasa percubaan kami; dan untuk hasil yang mungkin selebihnya, anggaran kebarangkalian yang diperoleh dengan bantuan frekuensi relatif akan menjadi sangat tidak boleh dipercayai di bawah keadaan ini.

Pendekatan model posteriori untuk menetapkan kebarangkalian yang sepadan secara khusus dengan kompleks sebenar keadaan yang sedang dikaji mungkin yang paling biasa dan paling mudah dalam amalan pada masa ini. Logik di sebalik pendekatan ini adalah seperti berikut. Di satu pihak, dalam rangka pendekatan a priori, iaitu, dalam rangka analisis teori, spekulatif kemungkinan varian spesifik kompleks keadaan sebenar hipotetikal, satu set ruang kebarangkalian model (binomial, Poisson, normal , eksponen, dsb.) telah dibangunkan dan dikaji, lihat § 6.1). Sebaliknya, penyelidik mempunyai keputusan bilangan eksperimen rawak yang terhad. Selanjutnya, dengan bantuan teknik matematik dan statistik khas (berdasarkan kaedah anggaran statistik parameter yang tidak diketahui dan ujian statistik hipotesis, lihat Bab 8 dan 9), penyelidik, seolah-olah, "sesuai" model hipotesis ruang kebarangkalian kepada keputusan pemerhatian yang dia ada (mencerminkan spesifik realiti sebenar yang dikaji) dan meninggalkan untuk kegunaan selanjutnya hanya model itu atau model yang tidak bercanggah dengan keputusan ini dan dalam erti kata tertentu paling sesuai dengannya.

Kami kini menerangkan peraturan asas tindakan dengan kebarangkalian kejadian, yang merupakan akibat daripada takrifan dan aksiom di atas.

Kebarangkalian jumlah peristiwa (teorem penambahan kebarangkalian). Kami merumuskan dan membuktikan peraturan untuk mengira kebarangkalian jumlah dua peristiwa. Untuk melakukan ini, kami membahagikan setiap set peristiwa asas,

komponen acara kepada dua bahagian:

di mana menyatukan semua peristiwa asas ω yang termasuk dalam tetapi tidak termasuk dalam terdiri daripada semua peristiwa asas yang disertakan serentak dalam dan Menggunakan takrifan (4.3) dan takrif produk peristiwa, kita mempunyai:

Pada masa yang sama, mengikut definisi jumlah peristiwa dan dengan (4.3), kita telah

Daripada (4.6), (4.7) dan (4.8) kita memperoleh formula untuk menambah kebarangkalian (untuk dua peristiwa):

Formula (4.9) untuk menambah kebarangkalian boleh digeneralisasikan kepada kes bilangan sebutan arbitrari (lihat, sebagai contoh, 183, ms 105):

di mana "tambahan" dikira dalam bentuk jumlah kebarangkalian bentuk

lebih-lebih lagi, penjumlahan di sebelah kanan jelas dijalankan dengan syarat semuanya berbeza, . Dalam kes tertentu apabila sistem yang diminati kepada kami hanya terdiri daripada peristiwa yang tidak serasi, semua produk dalam bentuk

akan menjadi peristiwa kosong (atau mustahil) dan, oleh itu, formula (4.9) memberi

Kebarangkalian hasil darab peristiwa (teorem pendaraban kebarangkalian). Kebarangkalian Bersyarat.

Mari kita pertimbangkan situasi apabila keadaan pra-tetap atau penetapan beberapa peristiwa yang telah berlaku tidak termasuk daripada senarai kemungkinan beberapa peristiwa asas ruang kebarangkalian yang dianalisis. Oleh itu, apabila menganalisis satu set N produk keluaran besar-besaran yang mengandungi produk gred pertama, - kedua, - ketiga dan - keempat, kami mempertimbangkan ruang kebarangkalian dengan hasil asas dan kebarangkalian mereka - masing-masing (di sini bermaksud peristiwa bahawa produk secara rawak diekstrak daripada koleksi ternyata pelbagai). Katakan syarat untuk menyusun produk adalah sedemikian rupa sehingga, pada peringkat tertentu, produk gred pertama dipisahkan daripada populasi umum dan semua kesimpulan kebarangkalian (dan, khususnya, pengiraan kebarangkalian pelbagai peristiwa) yang perlu kita bina dalam hubungan kepada populasi terpotong yang hanya terdiri daripada produk gred kedua, ketiga dan keempat. Dalam kes sedemikian, adalah kebiasaan untuk bercakap tentang kebarangkalian bersyarat, iaitu, kebarangkalian yang dikira di bawah syarat bahawa beberapa peristiwa telah berlaku. Dalam kes ini, peristiwa yang direalisasikan adalah peristiwa, iaitu peristiwa yang terdiri daripada mana-mana produk yang diekstrak secara rawak adalah sama ada daripada gred kedua, atau ketiga, atau keempat. Oleh itu, jika kita berminat untuk mengira kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A (dengan mengandaikan bahawa peristiwa B sudah berlaku), yang terdiri, sebagai contoh, dalam fakta bahawa produk yang diekstrak secara rawak akan menjadi gred kedua atau ketiga, maka , jelas sekali, kebarangkalian bersyarat ini (kami menyatakannya) boleh ditakrifkan oleh perhubungan berikut:

Oleh kerana mudah difahami daripada contoh ini, pengiraan kebarangkalian bersyarat adalah, pada dasarnya, peralihan kepada yang lain, dipotong oleh keadaan B tertentu, ruang peristiwa asas, apabila nisbah kebarangkalian kejadian asas dalam terpotong. ruang kekal sama seperti dalam asal (lebih luas), tetapi semuanya dinormalisasi (dibahagikan dengan ) untuk memenuhi keperluan normalisasi (4.2) dalam ruang kebarangkalian baharu juga. Sudah tentu, seseorang tidak boleh memperkenalkan terminologi dengan kebarangkalian bersyarat, tetapi hanya menggunakan radas kebarangkalian biasa ("tanpa syarat") dalam ruang baharu. Rakaman dari segi kebarangkalian ruang "lama" berguna dalam kes tersebut apabila, mengikut keadaan masalah tertentu, kita mesti sentiasa mengingati kewujudan ruang asal yang lebih luas bagi peristiwa asas.

Kami memperoleh formula untuk kebarangkalian bersyarat dalam kes umum. Biarkan B menjadi peristiwa (tidak kosong), N dianggap telah berlaku (“keadaan”), peristiwa yang kebarangkalian bersyaratnya akan dikira. Ruang baharu (dipotong) bagi peristiwa asas Q hanya terdiri daripada peristiwa asas yang termasuk dalam B, dan, akibatnya, kebarangkalian mereka (dengan keadaan normalisasi ) ditentukan oleh hubungan

Secara takrifan, kebarangkalian ialah kebarangkalian kejadian A dalam ruang kebarangkalian "dipotong" dan, oleh itu, mengikut (4.3) dan (4.10)

atau, yang sama,

Rumus setara (4.11) dan (4.11") biasanya dipanggil formula kebarangkalian bersyarat dan peraturan pendaraban kebarangkalian, masing-masing.

Kami menekankan sekali lagi bahawa pertimbangan kebarangkalian bersyarat bagi pelbagai peristiwa di bawah keadaan yang sama B adalah bersamaan dengan pertimbangan kebarangkalian biasa dalam ruang (potongan) kejadian asas yang berbeza dengan mengira semula kebarangkalian sepadan kejadian asas mengikut formula (4.10) . Oleh itu, semua teorem dan peraturan am untuk menangani kebarangkalian kekal sah untuk kebarangkalian bersyarat, jika kebarangkalian bersyarat ini diambil di bawah keadaan yang sama.

Kemerdekaan acara.

Dua peristiwa A dan B dipanggil bebas jika

Untuk menjelaskan keaslian definisi sedemikian, mari kita beralih kepada teorem pendaraban kebarangkalian (4.11) dan lihat dalam situasi (4.12) yang berikut daripadanya. Jelas sekali, ini boleh berlaku apabila kebarangkalian bersyarat adalah sama dengan kebarangkalian tidak bersyarat yang sepadan, iaitu, secara kasarnya, apabila pengetahuan bahawa sesuatu peristiwa telah berlaku tidak menjejaskan penilaian kemungkinan berlakunya peristiwa A.

Melanjutkan definisi kemerdekaan kepada sistem lebih daripada dua peristiwa adalah seperti berikut. Acara dipanggil saling bebas jika untuk mana-mana pasangan, tiga kali ganda, empat kali ganda, dsb. daripada peristiwa yang dipilih daripada set acara ini, peraturan pendaraban berikut dipegang:

Jelas sekali, baris pertama membayangkan

(bilangan gabungan k dalam dua) persamaan, dalam kedua - dan seterusnya.Secara keseluruhan, oleh itu, (4.13) menggabungkan keadaan. Pada masa yang sama, syarat baris pertama adalah mencukupi untuk memastikan kebebasan berpasangan acara ini. Dan walaupun kebebasan berpasangan dan saling bebas bagi suatu sistem peristiwa, secara tegasnya, bukanlah perkara yang sama, perbezaannya adalah kepentingan teori dan bukannya praktikal: nampaknya, tidak ada contoh praktikal penting bagi peristiwa bebas berpasangan yang tidak saling bebas.

Sifat kebebasan peristiwa sangat memudahkan analisis pelbagai kebarangkalian yang berkaitan dengan sistem peristiwa yang dikaji. Cukuplah untuk mengatakan bahawa jika, dalam kes umum, untuk menerangkan kebarangkalian semua kemungkinan kombinasi peristiwa sistem, anda perlu menentukan 2 kebarangkalian, maka dalam kes kebebasan bersama bagi peristiwa ini, hanya k kebarangkalian yang mencukupi

Peristiwa bebas sangat kerap ditemui dalam realiti yang dikaji; ia dijalankan dalam eksperimen (pemerhatian) yang dijalankan secara bebas antara satu sama lain dalam pengertian fizikal biasa.

Sifat bebas daripada hasil empat balingan berturut-turut dadu yang memungkinkan (dengan bantuan (4.13)) untuk mengira dengan mudah kebarangkalian untuk tidak membaling enam (semasa tiada satu pun balingan ini) dalam masalah 2.2.1 . Sesungguhnya, menandakan acara yang terdiri daripada tidak bergolek enam dalam satu lontaran (kemungkinan ini mengikuti secara langsung daripada fakta bahawa peristiwa itu meletihkan seluruh ruang acara asas dalam jumlah dan tidak bersilang secara berpasangan), i.e.

Selanjutnya, dengan menggunakan teorem penambahan kebarangkalian (seperti yang digunakan untuk peristiwa tidak serasi, iaitu peristiwa) dan mengira kebarangkalian setiap produk menggunakan formula produk kebarangkalian (4.1 Г), kami memperoleh (4.14).

Formula Bayes.

Mari kita beralih kepada masalah seterusnya dahulu. Terdapat peranti dalam stok yang dibuat oleh tiga kilang: 20% daripada peranti dalam stok dikeluarkan oleh kilang #1, 50% oleh kilang #2 dan 30% oleh kilang #3. setiap tumbuhan adalah sama dengan 0.2, masing-masing; 0.1; 0.3. Peranti yang diambil dari gudang tidak mempunyai tanda kilang dan memerlukan pembaikan (semasa tempoh jaminan). Kilang manakah yang berkemungkinan besar membuat peranti ini? Apakah kebarangkalian ini? Jika kami menetapkan peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa peranti yang diambil secara rawak dari gudang ternyata dibuat di

Menggantikan (4.16) dan (4.17) kepada (4.15), kami memperoleh

Menggunakan formula ini, mudah untuk mengira kebarangkalian yang diperlukan:

Oleh itu, kemungkinan besar peranti substandard itu dihasilkan di loji No. 3.

Pembuktian formula (4.18) dalam kes sistem lengkap peristiwa yang terdiri daripada bilangan arbitrari k peristiwa tepat mengulangi pembuktian formula (4.18). Dalam bentuk am ini, formula

biasanya dirujuk sebagai formula Bayes.