Definisi. Fesyen M 0 pembolehubah rawak diskret dipanggil nilai paling berkemungkinan. Untuk pembolehubah rawak berterusan, mod ialah nilai pembolehubah rawak di mana ketumpatan taburan mempunyai maksimum.

Jika poligon taburan untuk pembolehubah rawak diskret atau lengkung taburan untuk pembolehubah rawak berterusan mempunyai dua atau lebih maksima, maka taburan sedemikian dipanggil bimodal atau multimodal.

Jika pengedaran mempunyai minimum, tetapi tidak mempunyai maksimum, maka ia dipanggil anti modal.

Definisi. Median M D bagi pembolehubah rawak X dipanggil nilainya berbanding dengan yang mana ia berkemungkinan sama untuk memperoleh nilai pembolehubah rawak yang lebih besar atau lebih kecil.

Secara geometri, median ialah absis titik di mana kawasan yang dibatasi oleh lengkung taburan dibelah dua.

Ambil perhatian bahawa jika taburan adalah unimodal, maka mod dan median bertepatan dengan jangkaan matematik.

Definisi. Titik permulaan pesanan k pembolehubah rawak X dipanggil jangkaan matematik bagi nilai X k .

Untuk pembolehubah rawak diskret:.

.

Momen awal susunan pertama adalah sama dengan jangkaan matematik.

Definisi. Titik tengah pesanan k pembolehubah rawak X dipanggil jangkaan matematik nilai

Untuk pembolehubah rawak diskret: .

Untuk pembolehubah rawak berterusan: .

Momen pusat tertib pertama sentiasa sifar, dan momen pusat tertib kedua adalah sama dengan varians. Momen tengah bagi susunan ketiga mencirikan asimetri taburan.

Definisi. Nisbah momen pusat tertib ketiga kepada sisihan piawai darjah ketiga dipanggil pekali asimetri.

Definisi. Untuk mencirikan kemuncak dan kerataan taburan, kuantiti dipanggil kurtosis.

Sebagai tambahan kepada kuantiti yang dipertimbangkan, apa yang dipanggil momen mutlak juga digunakan:

Titik permulaan mutlak:.

Titik Pusat Mutlak: .

Kuantil sepadan dengan tahap kebarangkalian tertentu R, dipanggil nilai sedemikian di mana fungsi pengedaran mengambil nilai yang sama dengan R, iaitu di mana R- tahap kebarangkalian tertentu.

Dalam kata lain kuantil terdapat nilai pembolehubah rawak di mana

Kebarangkalian R diberikan sebagai peratusan, memberikan nama kepada kuantil yang sepadan, contohnya, ia dipanggil kuantil 40%.

20. Jangkaan matematik dan varians bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam eksperimen bebas.

Definisi. Jangkaan matematik pembolehubah rawak berterusan X, nilai yang mungkin tergolong dalam selang, dipanggil kamiran pasti

Jika nilai kemungkinan pembolehubah rawak dipertimbangkan pada keseluruhan paksi berangka, maka jangkaan matematik ditemui oleh formula:

Dalam kes ini, sudah tentu, diandaikan bahawa kamiran tidak wajar menumpu.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil kali nilai kemungkinannya dengan kebarangkalian yang sepadan:

M(NS) =NS 1 R 1 +NS 2 R 2 + … +NS NS R NS . (7.1)

Jika bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak adalah tidak terhingga, maka
jika siri yang terhasil menumpu secara mutlak.

Catatan 1. Jangkaan matematik kadang-kadang dipanggil purata wajaran, kerana ia lebih kurang sama dengan min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak untuk sebilangan besar eksperimen.

Catatan 2. Daripada definisi jangkaan matematik, nilainya tidak kurang daripada nilai terkecil yang mungkin bagi pembolehubah rawak dan tidak lebih daripada yang terbesar.

Catatan 3. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak diskret ialah tiada kebetulan(malar. Dalam perkara berikut, kita akan melihat bahawa perkara yang sama berlaku untuk pembolehubah rawak berterusan.

Sifat jangkaan matematik.

Jangkaan matematik pemalar adalah sama dengan yang paling pemalar:

M(DENGAN) =DENGAN.(7.2)

Bukti. Memandangkan DENGAN sebagai pembolehubah rawak diskret yang mengambil hanya satu nilai DENGAN dengan kebarangkalian R= 1, maka M(DENGAN) =DENGAN 1 = DENGAN.

Faktor malar boleh diambil daripada tanda jangkaan matematik:

M(SH) =CM(NS). (7.3)

Bukti. Jika pembolehubah rawak NS diberikan oleh siri pengedaran

maka siri pengedaran untuk SH kelihatan seperti:

Kemudian M(SH) =Cx 1 R 1 +Cx 2 R 2 + … +Cx NS R NS =DENGAN(NS 1 R 1 +NS 2 R 2 + … +NS NS R NS) =CM(NS).

Jangkaan matematik pembolehubah rawak selanjar dipanggil

(7.13)

Catatan 1. Takrifan umum varians kekal sama untuk pembolehubah rawak berterusan seperti untuk pembolehubah diskret (def. 7.5), dan formula untuk pengiraannya mempunyai bentuk:

(7.14)

Sisihan piawai dikira dengan formula (7.12).

Catatan 2. Jika semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan tidak melampaui selang [ a, b], maka kamiran dalam formula (7.13) dan (7.14) dikira dalam had ini.

Teorem. Varians bilangan kejadian peristiwa dalam percubaan bebas adalah sama dengan hasil bilangan percubaan mengikut kebarangkalian kejadian dan tidak berlakunya peristiwa dalam satu percubaan:.

Bukti. Biarkan bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam percubaan bebas. Ia sama dengan jumlah kejadian peristiwa dalam setiap percubaan:. Oleh kerana ujian adalah bebas, maka pembolehubah rawak - adalah bebas, oleh itu.

Seperti yang ditunjukkan di atas, dan.

Kemudian, sementara .

Dalam kes ini, seperti yang dinyatakan sebelum ini, sisihan piawai.

58. Pekali asimetri dan kurtosis.

Detik pusat pengedaran

Untuk kajian lanjut tentang sifat variasi, nilai purata tahap sisihan berbeza nilai individu atribut daripada min aritmetiknya digunakan. Penunjuk ini dipanggil titik tumpuan pengagihan susunan yang sepadan dengan tahap penyimpangan dinaikkan, atau hanya detik.

Penunjuk borang pengedaran

Asimetri pengedaran

Eksponen Pearson bergantung pada tahap asimetri di bahagian tengah siri pengedaran, dan indeks asimetri, berdasarkan momen tertib ketiga, pada nilai ekstrem ciri tersebut.

Penilaian kebendaan asimetri

Untuk menilai kepentingan asimetri, purata ralat kuasa dua bagi pekali asimetri dikira

Jika sikap mempunyai nilai lebih besar daripada 2, maka ini menunjukkan sifat asimetri yang ketara

Kurtosis pengedaran

Penunjuk Kurtosis
mewakili sisihan bahagian atas taburan empirikal ke atas atau ke bawah ("kesejukan") dari bahagian atas lengkung taburan normal, TETAPI! Graf taburan boleh kelihatan curam sewenang-wenangnya bergantung pada kekuatan variasi sifat: semakin lemah variasi, semakin curam keluk taburan pada skala tertentu. Belum lagi fakta bahawa dengan menukar skala di sepanjang paksi absis dan ordinat, sebarang pengedaran boleh dibuat secara buatan "curam" dan "rata". Untuk menunjukkan apa yang terdiri daripada kurtosis taburan, dan untuk mentafsirnya dengan betul, adalah perlu untuk membandingkan siri dengan kekuatan variasi yang sama (nilai σ yang sama) dan indeks kurtosis yang berbeza. Untuk tidak mengelirukan kurtosis dengan asimetri, semua baris yang dibandingkan mestilah simetri. Perbandingan ini ditunjukkan dalam Rajah.

Oleh kerana kurtosis taburan normal ialah 3, indeks kurtosis dikira dengan formula

Penilaian kebendaan kurtosis

Untuk menilai kepentingan kurtosis, penunjuk ralat akar-min-kuasa duanya dikira

Jika sikap mempunyai nilai lebih daripada 3, maka ini menunjukkan sifat lebihan yang ketara

Pekali asimetri menunjukkan "kecondongan" siri pengedaran berbanding pusat:

di manakah momen pusat bagi susunan ketiga;

- kubus sisihan piawai.

Untuk kaedah pengiraan ini: jika, taburan adalah sebelah kanan (asimetri positif), jika, taburan adalah sebelah kiri (asimetri negatif)

Sebagai tambahan kepada momen tengah, asimetri boleh dikira menggunakan mod atau median:

atau, (6.69)

Untuk kaedah pengiraan ini: jika, dalam taburan terdapat sebelah kanan (asimetri positif), jika, dalam taburan, terdapat sebelah kiri (asimetri negatif) (Rajah 4).

nasi. 4. Taburan tidak simetri

Nilai yang menunjukkan "kecuraman" pengedaran dipanggil kurtosis:

Jika, dalam pengagihan ada kemuncak - kurtosis adalah positif jika, dalam pengedaran, ada kerataan - kurtosis adalah negatif (Rajah 5).

nasi. 5. Lebihan pengagihan

Contoh 5. Terdapat data tentang bilangan biri-biri di ladang daerah (Jadual 9).

1. Purata bilangan biri-biri bagi setiap isi rumah.

3. Median.

4. Penunjuk variasi

Varians;

· sisihan piawai;

· pekali variasi.

5. Petunjuk asimetri dan kurtosis.

Penyelesaian.

1. Memandangkan nilai pilihan dalam agregat diulang beberapa kali, dengan frekuensi tertentu untuk mengira nilai purata, kami menggunakan formula min aritmetik berwajaran:

2. Baris ini adalah diskret, jadi mod akan menjadi pilihan dengan frekuensi tertinggi -.

3. Siri ini genap, dalam kes ini median untuk siri diskret ditemui dengan formula:

Iaitu, separuh daripada isi rumah dalam populasi yang dikaji mempunyai bilangan biri-biri sehingga 4.75 ribu ekor. dan lebih separuh daripada nombor ini.

4. Untuk mengira penunjuk variasi, kami akan menyusun jadual 10, di mana kami akan mengira sisihan, kuasa dua sisihan ini, pengiraan boleh dilakukan dengan menggunakan formula pengiraan mudah dan wajaran (dalam contoh kami menggunakan mudah satu):

Jadual 10

Mari kita hitung varians:

Mari kita hitung sisihan piawai:

Mari kita hitung pekali variasi:

5. Untuk mengira penunjuk asimetri dan kurtosis, kami membina jadual 11, di mana kami mengira,,

Jadual 11

Asimetri taburan adalah sama dengan:

Iaitu, asimetri sebelah kiri diperhatikan, kerana, yang disahkan oleh pengiraan mengikut formula:

Dalam kes ini, yang untuk formula ini juga menunjukkan asimetri sebelah kiri

Kurtosis pengedaran adalah sama dengan:

Dalam kes kami, kurtosis adalah negatif, iaitu, puncak rata diperhatikan.

Contoh 6... Untuk ladang, data mengenai gaji pekerja dibentangkan (tab. 12)

Penyelesaian.

Untuk siri variasi selang waktu, mod dikira dengan formula:

di mana selang modal - selang dengan kekerapan tertinggi, dalam kes kami 3600-3800, dengan kekerapan

Sempadan minimum selang modal (3600);

Nilai selang modal (200);

Kekerapan selang sebelum selang modal (25);

Kekerapan selang modal seterusnya (29);

Kekerapan selang modal (68).

Jadual 12

Untuk siri variasi selang waktu, median dikira dengan formula:

di mana selang median ini ialah selang, kekerapan terkumpul (terkumpul) yang sama dengan atau lebih daripada separuh daripada jumlah frekuensi, dalam contoh kami ialah 3600-3800.

Sempadan minimum selang median (3600);

Nilai selang median (200);

Jumlah frekuensi siri (154);

Jumlah frekuensi terkumpul, semua selang sebelum median (57);

Adakah kekerapan selang median (68).

Contoh 7. Untuk tiga ladang di satu wilayah, terdapat maklumat mengenai intensiti modal pengeluaran (bilangan kos aset tetap setiap 1 rubel produk perkilangan): I - 1.29 rubel, II - 1.32 rubel, III - 1.27 rubel. Ia adalah perlu untuk mengira intensiti modal purata.

Penyelesaian... Oleh kerana keamatan modal ialah penunjuk songsang bagi pusing ganti modal, kami menggunakan formula purata harmonik mudah.

Contoh 8. Bagi tiga ladang di satu wilayah, terdapat data mengenai penuaian bijirin kasar dan hasil purata (Jadual 13).

Penyelesaian... Pengiraan hasil purata dengan min aritmetik adalah mustahil, kerana tiada maklumat mengenai bilangan kawasan yang disemai, oleh itu kami menggunakan formula untuk purata wajaran harmonik:

Contoh 9. Terdapat data mengenai purata hasil kentang dalam plot individu dan bilangan bukit bukit (Jadual 14)

Jadual 14

Mari kumpulkan data (Jadual 15):

Jadual 15

Pengumpulan plot mengikut "bilangan merumput"

1. Mari kita hitung jumlah varians sampel (Jadual 16).

2.6 Asimetri dan kurtosis

Dalam statistik matematik, untuk mengetahui bentuk geometri ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak, dua ciri berangka yang dikaitkan dengan momen pusat bagi susunan ketiga dan keempat digunakan.

Definisi 2.22 Pekali kecondongan sampelx 1 , x 2 , …, x n ialah nombor yang sama dengan nisbah momen persampelan pusat urutan ketiga kepada kubus sisihan piawai S:

Sejak dan , maka pekali asimetri dinyatakan dalam sebutan momen pusat dengan formula berikut:

Ini memberikan formula yang menyatakan pekali asimetri dari segi momen awal:

yang memudahkan pengiraan praktikal.

Ciri teori yang sepadan diperkenalkan dengan bantuan mata teori.

Definisi 2.23 Pekali asimetri pembolehubah rawakXdipanggil nombor itusama dengan nisbah momen pusat susunan ketigakepada kubus sisihan piawai:

Jika pembolehubah rawak X mempunyai taburan simetri berkenaan dengan jangkaan matematik μ, maka pekali kecondongan teorinya ialah 0, jika taburan kebarangkalian adalah tidak simetri, maka pekali kecondongan adalah bukan sifar. Nilai positif pekali kecondongan menunjukkan bahawa kebanyakan nilai pembolehubah rawak terletak di sebelah kanan jangkaan matematik, iaitu, cawangan kanan keluk ketumpatan kebarangkalian lebih memanjang daripada yang kiri. Nilai negatif pekali kecondongan menunjukkan bahawa bahagian lengkung yang lebih panjang terletak di sebelah kiri. Kenyataan ini digambarkan dalam rajah berikut.

Rajah 2.1 - Asimetri positif dan negatif

pengagihan

Contoh 2.29 Mari cari pekali sampel asimetri mengikut kajian situasi tekanan daripada contoh 2.28.

Menggunakan nilai yang dikira sebelum ini bagi momen persampelan pusat, kami memperoleh

.

Dibundarkan = 0.07. Nilai bukan sifar bagi pekali kecondongan menunjukkan kecondongan taburan relatif kepada min. Nilai positif menunjukkan bahawa cabang lebih panjang keluk ketumpatan kebarangkalian berada di sebelah kanan.

Ciri-ciri taburan nilai pembolehubah rawak di sekitar mod X nilai modalnya dicirikan oleh pemalar berikut.

Definisi 2.24 Pensampelan Kurtosisx 1 , x 2 , …, x ndipanggil nombor itu , sama rata

,

di mana- momen pusat terpilih urutan keempat,

S 4 - darjah keempat standardpenyelewenganS.

Konsep teori kurtosis adalah sama dengan kurtosis terpilih.

Definisi 2.25 Secara kurtosis pembolehubah rawakXdipanggil nombor itu e, sama rata

,

di mana– titik pusat teori bagi urutan keempat,

–tahap keempat sisihan piawai.

Maksud kurtosis e mencirikan kecuraman relatif bahagian atas lengkung ketumpatan taburan di sekitar titik maksimum. Jika kurtosis ialah nombor positif, maka lengkung taburan yang sepadan mempunyai bahagian atas yang lebih tajam. Taburan dengan kurtosis negatif mempunyai bahagian atas yang lebih licin dan rata. Rajah berikut menggambarkan kemungkinan kes.

Rajah 2.2 - Taburan dengan nilai positif, sifar dan negatif kurtosis

Asimetri dikira oleh fungsi SKOS. Hujahnya ialah julat sel dengan data, contohnya, = RMS (A1: A100) jika data terkandung dalam julat sel dari A1 hingga A100.

Kurtosis dikira oleh fungsi EXCESS, hujahnya adalah data berangka, yang ditetapkan, sebagai peraturan, dalam bentuk selang sel, contohnya: = EXCESS (A1: A100).

§2.3. Alat analisis Statistik deskriptif

V Excel adalah mungkin untuk mengira semua ciri titik sampel sekaligus menggunakan alat analisis Statistik deskriptif yang terkandung dalam Pakej analisis.

Statistik deskriptif mencipta jadual statistik asas untuk set data. Jadual ini akan mengandungi ciri-ciri berikut: min, ralat piawai, varians, sisihan piawai, mod, median, julat variasi selang, nilai maksimum dan minimum, pencongan, kurtosis, saiz populasi, jumlah semua elemen populasi, selang keyakinan (tahap kebolehpercayaan). ). alat Statistik deskriptif sangat memudahkan analisis statistik dengan menghapuskan keperluan untuk memanggil setiap fungsi untuk mengira ciri statistik secara berasingan.

Untuk memanggil Statistik deskriptif, ikut:

1) dalam menu Perkhidmatan pilih pasukan Analisis data;

2) dalam senarai Alat analisis kotak dialog Analisis data memilih alat Statistik deskriptif dan tekan OKEY.

Di tingkap Statistik deskriptif perlu:

· dalam kumpulan Input data di padang Selang input nyatakan julat sel yang mengandungi data;

Jika baris pertama dalam julat input mengandungi tajuk lajur, maka masuk medan Label pada baris pertama tandakan kotak;

· dalam kumpulan Pilihan output aktifkan suis (tandakan kotak) Statistik ringkasan jika anda memerlukan senarai lengkap ciri;

Aktifkan suis Tahap kebolehpercayaan dan nyatakan kebolehpercayaan dalam% jika perlu untuk mengira selang keyakinan (secara lalai, kebolehpercayaan ialah 95%). klik OKEY.

Akibatnya, jadual akan muncul dengan nilai pengiraan ciri statistik di atas. Segera, tanpa mengosongkan pemilihan jadual ini, jalankan arahan Format® Ruangan® AutoFit Lebar.

Paparan kotak dialog Statistik deskriptif:

Tugasan praktikal

2.1. Pengiraan statistik titik asas menggunakan fungsi piawai Excel

Voltmeter yang sama mengukur voltan merentasi litar sebanyak 25 kali. Hasil daripada eksperimen, nilai voltan berikut dalam volt diperoleh:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Cari min, varians sampel dan diperbetulkan, sisihan piawai, julat, mod, median. Semak sisihan daripada taburan normal dengan mengira kecondongan dan kurtosis.

Lengkapkan langkah berikut untuk menyelesaikan tugasan ini.

1. Taipkan hasil percubaan anda dalam lajur A.

2. Dalam sel B1, taip "Purata", dalam B2 - "Varians terpilih", dalam B3 - "Sisihan piawai", dalam B4 - "Varians diperbetulkan", dalam B5 - "Sisihan piawai diperbetulkan", dalam B6 - "Maksimum" , dalam B7 - "Minimum", dalam B8 - "Julat variasi", dalam B9 - "Mod", dalam B10 - "Median", dalam B11 - "Asimetri", dalam B12 - "Berlebihan".

3. Jajarkan lebar lajur ini dengan AutoFit lebar.

4. Pilih sel C1 dan klik pada butang dengan tanda "=" dalam bar formula. Dengan menggunakan Wizard Fungsi dalam kategori Statistik cari fungsi AVERAGE, kemudian serlahkan julat sel data dan tekan OKEY.

5. Pilih sel C2 dan klik pada tanda = dalam bar formula. Dengan menggunakan Wizard Fungsi dalam kategori Statistik cari fungsi VARP, kemudian serlahkan julat sel data dan tekan OKEY.

6. Lakukan perkara yang sama untuk diri sendiri untuk mengira ciri-ciri yang lain.

7. Untuk mengira julat variasi dalam sel C8, masukkan formula: = C6-C7.

8. Tambahkan satu baris di hadapan jadual anda, di mana taipkan tajuk lajur yang sepadan: "Nama ciri" dan "Nilai berangka".