Transformasi asas baris (lajur) matriks bermaksud tindakan berikut:

1. Menyusun semula dua baris (lajur).
2. Pendaraban semua elemen baris (lajur) dengan beberapa nombor $ a \ neq 0 $.
3. Jumlah semua elemen satu baris (lajur) dengan unsur-unsur yang sesuai dari baris lain (lajur), didarabkan dengan beberapa nombor nyata.

Sekiranya kita menerapkan beberapa transformasi asas ke baris atau lajur matriks $ A $, kita akan mendapat matriks baru $ B $. Dalam kes ini, $ \ rang (A) = \ rang (B) $, iaitu transformasi asas tidak mengubah kedudukan matriks.

Sekiranya $ \ rang A = \ rang B $, maka matriks $ A $ dan $ B $ dipanggil bersamaan... Hakikat bahawa matriks $ A $ setara dengan matriks $ B $ ditulis seperti ini: $ A \ sim B $.

Notasi berikut sering digunakan: $ A \ rightarrow B $, yang bermaksud bahawa matriks $ B $ diperoleh dari matriks $ A $ dengan menggunakan beberapa transformasi asas.

Apabila mencari pangkat menggunakan kaedah Gauss, anda boleh bekerja dengan baris dan lajur. Lebih senang bekerja dengan rentetan, oleh itu, dalam contoh di halaman ini, transformasi dilakukan pada rentetan matriks.

Perhatikan bahawa transposisi tidak mengubah kedudukan matriks, iaitu $ \ rang (A) = \ rang (A ^ T) $. Dalam beberapa kes, sifat ini mudah digunakan (lihat contoh # 3), kerana, jika perlu, mudah membuat lajur baris dan sebaliknya.

Penerangan ringkas algoritma

Mari memperkenalkan beberapa istilah. Garis sifar- tali, semua elemen sama dengan sifar. Rentetan bukan sifar- rentetan, sekurang-kurangnya satu elemen bukan nol. Unsur utama rentetan bukan sifar disebut unsur bukan sifar pertamanya (mengira dari kiri ke kanan). Contohnya, dalam baris $ (0; 0; 5; -9; 0) $, elemen utama akan menjadi elemen ketiga (sama dengan 5).

Peringkat mana-mana matriks sifar adalah 0, jadi kami akan mempertimbangkan matriks selain sifar. Matlamat utama transformasi matriks adalah menjadikannya melangkah. Peringkat matriks bertahap sama dengan bilangan baris bukan sifar.

Kaedah yang dipertimbangkan untuk mencari peringkat matriks terdiri daripada beberapa langkah. Langkah pertama menggunakan baris pertama, langkah kedua menggunakan baris pertama, dan seterusnya. Ketika berada di bawah baris yang kita gunakan pada langkah sekarang, hanya tinggal baris nol, atau tidak ada baris sama sekali, algoritma berhenti, kerana matriks yang dihasilkan akan dilangkah.

Sekarang mari kita beralih kepada transformasi rentetan yang dilakukan pada setiap langkah algoritma. Katakan bahawa di bawah garis semasa, yang perlu kita gunakan pada langkah ini, terdapat garis bukan nol, di mana $ k $ adalah bilangan elemen utama dari garis semasa, dan $ k _ (\ min) $ adalah yang terkecil dari bilangan unsur utama garis yang terletak di bawah garis semasa ...

• Sekiranya $ k \ lt (k _ (\ min)) $, kemudian pergi ke langkah seterusnya algoritma, iaitu untuk menggunakan baris seterusnya.
• Sekiranya $ k = k _ (\ min) $, maka kita memusatkan elemen pangsi dari baris yang mendasarinya yang nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Sekiranya baris sifar muncul, maka kami memindahkannya ke bahagian bawah matriks. Kemudian kita beralih ke langkah seterusnya algoritma.
• Sekiranya $ k \ gt (k _ (\ min)) $, maka kami menukar baris semasa dengan salah satu baris di bawah, yang nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Selepas itu, kami memusatkan elemen pangsi dari baris yang mendasarinya, yang mana nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Sekiranya tidak ada garis seperti itu, lanjutkan ke langkah seterusnya algoritma. Sekiranya baris sifar muncul, maka kami memindahkannya ke bahagian bawah matriks.

Seberapa tepat elemen utama disifatkan, kita akan mempertimbangkan dalam praktiknya. Huruf $ r $ (dari kata "baris") akan menunjukkan baris: $ r_1 $ adalah baris pertama, $ r_2 $ adalah baris kedua, dan seterusnya. Huruf $ c $ (dari kata "lajur") akan menunjukkan lajur: $ c_1 $ - lajur pertama, $ c_2 $ - lajur kedua, dan seterusnya.

Dalam contoh di halaman ini, saya akan menggunakan $ k $ untuk menunjukkan nombor pangsi dari baris semasa, dan $ k _ (\ min) $ akan digunakan untuk menunjukkan bilangan pangsi terkecil dari garis di bawah garis semasa.

Contoh # 1

Cari kedudukan matriks $ A = \ kiri (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (susunan) \ kanan) $.

Langkah pertama

Pada langkah pertama, kami bekerja dengan barisan pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan, elemen utama adalah elemen pertama, iaitu nombor pangsi dari baris pertama $ k = 1 $. Mari lihat garis di bawah baris pertama. Unsur utama pada garis ini bernombor 4, 1, 1, dan 1. Yang terkecil dari nombor ini ialah $ k _ (\ min) = 1 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami memisahkan elemen pangsi dari baris yang mendasari, yang mana nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Dengan kata lain, anda perlu mengetepikan elemen utama dari baris ketiga, keempat dan kelima.

Pada prinsipnya, anda boleh terus memusatkan elemen di atas, tetapi bagi penukaran yang dilakukan menjadi sifar, lebih mudah apabila elemen utama rentetan yang digunakan adalah satu. Ini tidak perlu, tetapi membuat pengiraannya sangat mudah. Kami mempunyai nombor -2 sebagai elemen utama pada baris pertama. Terdapat beberapa pilihan untuk menggantikan nombor "tidak selesa" dengan satu (atau nombor (-1)). Anda boleh, sebagai contoh, mengalikan baris pertama dengan 2, dan kemudian mengurangkan kelima dari baris pertama. Atau anda boleh menukar lajur pertama dan ketiga. Setelah menyusun semula lajur # 1 dan # 3, kami mendapat matriks baru yang setara dengan matriks yang diberikan $ A $:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (array) \ kanan) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ kiri (\ bermula (susunan) (ccccc) \ tebal (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ kanan) $$

Unsur utama baris pertama adalah satu. Nombor pangsi baris pertama tidak berubah: $ k = 1 $. Bilangan unsur utama garis di bawah yang pertama adalah seperti berikut: 4, 1, 2, 1. Nombor terkecil ialah $ k _ (\ min) = 1 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami mengasingkan unsur pangsi dari baris yang mendasari, dengan nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Ini bermaksud bahawa anda perlu mengetepikan elemen utama dari baris ketiga dan kelima. Unsur-unsur ini diserlahkan dengan warna biru dan hijau.

Untuk memusatkan elemen yang diperlukan, kami akan menjalankan operasi dengan baris matriks. Saya akan menulis operasi ini secara berasingan:

$$ \ begin (sejajar) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ end (sejajar) $$

Rekod $ r_3 + 5r_1 $ bermaksud bahawa unsur-unsur yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan lima, telah ditambahkan ke unsur-unsur baris ketiga. Hasilnya ditulis sebagai ganti baris ketiga dalam matriks baru. Sekiranya timbul kesukaran dengan operasi oral seperti itu, maka tindakan ini dapat dilakukan secara berasingan:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

Tindakan $ r_5-r_1 $ serupa. Hasil daripada transformasi rentetan, kami mendapat matriks berikut:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ akhir (susunan) \ kanan) $$

Pada tahap ini, langkah pertama dapat dianggap lengkap. Oleh kerana terdapat garis bukan sifar di bawah baris pertama, anda perlu terus berfungsi. Satu-satunya peringatan: di baris ketiga matriks yang dihasilkan, semua elemen dibahagikan sepenuhnya dengan 2. Untuk mengurangkan nombor dan mempermudah pengiraan kami, kami mengalikan unsur baris ketiga dengan $ \ frac (1) (2) $ , dan kemudian teruskan ke langkah kedua:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ end (susunan) \ kanan) $$

Langkah kedua

Pada langkah kedua, kami bekerja dengan barisan kedua. Pada baris kedua matriks, elemen utama adalah yang keempat, iaitu nombor pangsi dari baris kedua $ k = 4 $. Mari lihat garis di bawah baris kedua. Unsur utama pada baris ini diberi nombor 2, 2, dan 2. Yang terkecil dari nombor ini ialah $ k _ (\ min) = 2 $. Oleh kerana $ k \ gt (k _ (\ min)) $, anda perlu menukar baris kedua semasa dengan salah satu baris yang nombor pangsinya adalah $ k _ (\ min) $. Dengan kata lain, anda perlu menukar baris kedua dengan ketiga, keempat atau kelima. Saya akan memilih baris kelima (ini akan mengelakkan munculnya pecahan), iaitu tukar baris kelima dan kedua:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ kanan) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim) \ kiri (\ bermula (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ kanan) $$

Mari kita lihat baris kedua sekali lagi. Sekarang elemen utama adalah elemen kedua (ia diserlahkan dengan warna merah), iaitu $ k = 2 $. Nombor pangsi terkecil dari baris yang mendasari (iaitu, nombor 2, 2, dan 4) akan menjadi $ k _ (\ min) = 2 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami mengasingkan unsur pangsi dari baris yang mendasari, dengan nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Ini bermaksud bahawa anda perlu mengetepikan elemen utama dari baris ketiga dan keempat. Unsur-unsur ini diserlahkan dengan warna biru dan hijau.

Perhatikan bahawa pada langkah sebelumnya, 1 dijadikan pangsi baris semasa menggunakan permutasi lajur. Ini dilakukan untuk mengelakkan bekerja dengan pecahan. Di sini juga, anda boleh meletakkannya di tempat pangsi baris kedua: sebagai contoh, dengan menukar lajur kedua dan keempat. Namun, kami tidak akan melakukan ini, kerana pecahan tidak akan timbul. Tindakan dengan rentetan seperti ini:

$$ \ begin (aligned) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ end (sejajar) $$

Melakukan operasi yang ditunjukkan, kami sampai di matriks berikut:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ akhir (tatasusunan ) \ kanan) $$

Langkah kedua sudah selesai. Oleh kerana terdapat garis bukan nol di bawah baris kedua, kami meneruskan ke langkah ketiga.

Langkah ketiga

Pada langkah ketiga, kami bekerja dengan barisan ketiga. Pada baris ketiga matriks, elemen utama adalah yang keempat, iaitu nombor pangsi dari baris ketiga $ k = 4 $. Mari lihat garis di bawah baris ketiga. Unsur utama dalam baris ini diberi nombor 4 dan 4, yang terkecil ialah $ k _ (\ min) = 4 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami mengasingkan unsur pangsi dari baris yang mendasari, dengan nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Ini bermaksud bahawa anda perlu memusatkan elemen utama dari baris keempat dan kelima. Transformasi yang dilakukan untuk tujuan ini sama dengan perubahan yang dilakukan sebelumnya:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (susunan) \ kanan) $$

Hanya terdapat garis sifar di bawah baris ketiga. Ini bermaksud bahawa penukaran selesai. Kami telah menjadikan matriks ke bentuk yang bertahap. Oleh kerana matriks yang dikurangkan mengandungi tiga baris bukan sifar, kedudukannya adalah 3. Oleh itu, kedudukan matriks asal juga tiga, iaitu, $ \ rang A = 3 $. Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan adalah:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (array) \ kanan) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ kiri (\ bermula (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ akhir (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (array) \ kanan) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (tatasusunan) \ kanan) \ bermula (tatasusunan) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ kiri (\ mula (susunan) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ akhir (susunan) \ kanan) $$

Jawapan: $ \ rang A = 3 $.

Contoh No. 2

Cari kedudukan matriks $ A = \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (susunan) \ kanan) $.

Matriks ini tidak sifar, yang bermaksud kedudukannya lebih besar daripada sifar. Mari beralih ke langkah pertama algoritma.

Langkah pertama

Pada langkah pertama, kami bekerja dengan barisan pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan, elemen utama adalah elemen pertama, iaitu nombor pangsi dari baris pertama $ k = 1 $. Mari lihat garis di bawah baris pertama. Unsur-unsur terkemuka pada baris ini diberi nombor 1, iaitu nombor pangsi terkecil dari garis asas ialah $ k _ (\ min) = 1 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, perlu memusatkan unsur pangsi dari baris yang mendasarinya yang nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Dengan kata lain, anda perlu mengetepikan elemen utama dari baris kedua, ketiga dan keempat.

Untuk kemudahan pengiraan, kita akan menjadikan elemen utama baris pertama menjadi satu. Dalam contoh sebelumnya, untuk ini, kami menukar lajur, tetapi tindakan ini tidak akan berfungsi dengan matriks ini - tidak ada unsur yang sama dengan satu dalam matriks ini. Mari lakukan satu tindakan tambahan: $ r_1-5r_2 $. Maka pangsi baris pertama akan menjadi 1.

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ akhir (susunan) \ kanan) $$

Unsur utama baris pertama adalah satu. Mari kita sifatkan elemen utama baris yang mendasari:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ akhir (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (susunan) \ kanan) $$

Langkah pertama sudah selesai. Oleh kerana terdapat garis bukan sifar di bawah baris pertama, anda perlu terus berfungsi.

Langkah kedua

Pada langkah kedua, kami bekerja dengan barisan kedua. Pada baris kedua matriks, elemen utama adalah yang kedua, iaitu nombor pangsi dari baris kedua $ k = 2 $. Unsur utama dalam baris di bawah mempunyai nombor yang sama 2, jadi $ k _ (\ min) = 2 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami memusatkan elemen pangsi dari baris yang mendasari, dengan nombor pangsi adalah $ k _ (\ min) $. Ini bermaksud bahawa anda perlu memusatkan elemen utama dari baris ketiga dan keempat.

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ akhir (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (susunan) \ kanan) $$

Garisan kosong muncul. Mari jatuhkannya ke bahagian bawah matriks:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ kanan) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ akhir (susunan) \ kanan) $$

Langkah kedua sudah selesai. Perhatikan bahawa kita sudah mendapat matriks bertahap. Walau bagaimanapun, kami dapat menyelesaikan algoritma kami secara rasmi. Oleh kerana terdapat garis bukan nol di bawah baris kedua, anda harus pergi ke langkah ketiga dan bekerja dengan baris ketiga, tetapi tidak ada garis bukan nol di bawah baris ketiga. Oleh itu, penukaran selesai.

By the way, matriks yang dihasilkan adalah trapezoid. Matriks trapezoid adalah kes khas matriks bertahap.

Oleh kerana matriks ini mengandungi tiga baris bukan sifar, kedudukannya adalah 3. Akibatnya, kedudukan matriks asal juga tiga, iaitu, $ \ rang (A) = 3 $. Penyelesaian lengkap tanpa penjelasan adalah:

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ hantu (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ akhir (susunan) \ kanan) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim) \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (susunan) \ kanan) $$

Jawapan: $ \ rang A = 3 $.

Contoh No. 3

Cari kedudukan matriks $ A = \ kiri (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (susunan) \ kanan) $.

Kadang-kadang dalam proses penyelesaian adalah lebih mudah untuk menukar matriks. Oleh kerana kedudukan matriks transposisi sama dengan kedudukan matriks asal, operasi seperti ini cukup diterima. Contoh ini akan mempertimbangkan kes seperti itu. Semasa transformasi, dua rentetan yang serupa $ (0; \; 1; \; - 2) $ (pertama dan keempat) akan muncul. Pada prinsipnya, anda boleh melakukan aksi $ r_4-r_1 $, maka baris keempat akan menjadi sifar, tetapi ini hanya akan memanjangkan penyelesaiannya dengan satu catatan, jadi kami tidak akan melakukan zeroing pada baris keempat.

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (array) \ kanan) \ sim $$ $$ \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ end (array) \ kanan) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ kiri (\ mula ( array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (array) \ kanan) \ bermula (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ hantu (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (susunan) \ kanan) $$

Peringkat matriks berubah adalah 2, oleh itu kedudukan matriks asal ialah $ \ rang (A) = 2 $. Pada prinsipnya, adalah mungkin untuk mencari peringkat tanpa mengalihkan matriks: menukar baris pertama dengan baris kedua, ketiga atau kelima dan meneruskan transformasi biasa dengan baris. Kaedah mengurangkan matriks ke bentuk yang dilangkah memungkinkan untuk variasi dalam proses penyelesaian.

Jawapan: $ \ rang A = 2 $.

Contoh No. 4

Cari kedudukan matriks $ A = \ kiri (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ end (susunan) \ kanan) $.

Matriks ini tidak sifar, iaitu pangkatnya lebih besar daripada sifar. Mari beralih ke langkah pertama algoritma.

Langkah pertama

Pada langkah pertama, kami bekerja dengan barisan pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan, elemen utama adalah yang kedua, iaitu nombor pangsi dari baris pertama $ k = 2 $. Pertimbangkan garis di bawah baris pertama. Unsur utama pada baris ini diberi nombor 3, iaitu nombor pangsi terkecil dari baris yang mendasari ialah $ k _ (\ min) = 3 $. Oleh kerana $ k \ lt (k _ (\ min)) $, kami terus ke langkah seterusnya algoritma.

Langkah kedua

Pada langkah kedua, kami bekerja dengan barisan kedua. Pada baris kedua, elemen utama adalah yang ketiga, iaitu nombor pangsi dari baris kedua $ k = 3 $. Di bawah baris kedua hanya satu baris ketiga, nombor pangsi adalah 3, jadi $ k _ (\ min) = 3 $. Oleh kerana $ k = k _ (\ min) $, kami mengasingkan elemen utama baris ketiga:

$$ \ kiri (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (array) \ kanan) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (array) \ sim \ kiri (\ begin (array ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ akhir (tatasusunan) \ kanan) $$

Menerima matriks bertahap. Peringkat matriks berubah, dan dengan itu kedudukan matriks asal, adalah 3.

Jawapan: $ \ rang A = 3 $.

Contoh No. 5

Cari kedudukan matriks $ A = \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ Akhir (susunan) \ kanan) $.

Kadang-kadang mungkin untuk mengurangkan matriks menjadi matriks stepped dengan hanya menggunakan satu permutasi baris atau lajur. Ini berlaku, tentu saja, sangat jarang berlaku, tetapi penyusunan semula yang berjaya dapat memudahkan penyelesaiannya dengan ketara.

$$ \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (tatasusunan ) \ kanan) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ kanan) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ kiri (\ begin (array) (ccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ akhir (susunan) \ kanan) $$

Matrik dikurangkan menjadi melangkah, $ \ rang (A) = 3 $.

Jawapan: $ \ rang A = 3 $.

Artikel ini akan membincangkan konsep seperti peringkat matriks dan konsep tambahan yang diperlukan. Kami akan memberikan contoh dan bukti untuk mengetahui kedudukan matriks, dan juga memberitahu anda apa itu matriks minor dan mengapa ia sangat penting.

Matriks kecil

Untuk memahami apakah peringkat matriks, adalah perlu untuk memahami konsep seperti minor matriks.

Definisi 1

Minork-matriks pesanan adalah penentu bagi matriks segiempat bagi k × k, yang terdiri daripada unsur-unsur matriks A yang terletak di k-baris dan k-lajur yang telah dipilih, sambil mengekalkan kedudukan unsur-unsur matriks A.

Ringkasnya, jika dalam matriks A kita menghapus baris (pk) dan lajur (nk), dan dari unsur-unsur yang masih ada, menyusun matriks, mengekalkan susunan unsur-unsur matriks A, maka penentu matriks yang dihasilkan adalah sebahagian kecil dari pesanan k matriks A.

Dari contohnya menunjukkan bahawa golongan bawah matriks kelas pertama A adalah unsur-unsur matriks itu sendiri.

Terdapat beberapa contoh kanak-kanak bawah umur ke-2. Mari pilih dua baris dan dua lajur. Contohnya, lajur 1 dan 2, lajur ke-3 dan ke-4.

Dengan pilihan elemen ini, minor peringkat kedua akan menjadi - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Minimum urutan kedua matriks A yang lain ialah 0 0 1 1 = 0

Kami akan memberikan gambaran mengenai pembinaan anak bawah umur matriks A:

Minor pesanan ke-3 diperoleh dengan menghapus lajur ketiga matriks A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Gambaran bagaimana matriks A kelas 3 diperolehi:

Untuk matriks tertentu, tidak ada anak di bawah umur yang lebih tinggi daripada urutan ke-3, kerana

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Berapakah bilangan min bagi pesanan k yang ada untuk matriks A pesanan p × n?

Bilangan kanak-kanak di bawah umur dikira menggunakan formula berikut:

C p k × C n k, di mana e e C p k = p! k! (p - k)! dan C n k = n! k! (n - k)! - bilangan kombinasi dari p hingga k, dari n hingga k, masing-masing.

Setelah kita memutuskan apakah matrik A di bawah umur, kita boleh terus menentukan peringkat matriks A.

Peringkat matriks: kaedah mencari

Peringkat matrik - urutan tertinggi matriks selain sifar.

Jawatan 1

Kedudukan (A), Rg (A), Rang (A).

Dari definisi peringkat matriks dan minor matriks, menjadi jelas bahawa kedudukan matriks sifar adalah sifar, dan kedudukan matriks bukan sifar adalah nol.

Mencari peringkat matriks mengikut definisi

Membilang Bawah Umur - kaedah berdasarkan menentukan peringkat matriks.

Algoritma tindakan dengan menghitung kanak-kanak di bawah umur :

Adalah perlu untuk mencari peringkat matriks A susunan hlm× n... Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu elemen bukan sifar, maka kedudukan matriks sekurang-kurangnya sama dengan satu ( sejak adalah minor dari urutan 1, yang tidak sama dengan sifar).

Ini diikuti dengan penghitungan bilangan anak bawah umur kedua. Sekiranya semua anak bawah umur ke-2 sama dengan sifar, maka pangkatnya sama dengan satu. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu minor nol dari urutan ke-2, adalah perlu untuk menghitung bilangan anak bawah umur dari urutan ke-3, dan peringkat matriks, dalam kes ini, akan sama dengan sekurang-kurangnya dua.

Kami akan bertindak dengan cara yang sama dengan peringkat urutan ketiga: jika semua anak matriks sama dengan sifar, maka pangkat akan sama dengan dua. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu minor bukan sifar urutan 3, maka peringkat matriks sekurang-kurangnya tiga. Dan seterusnya, mengikut analogi.

Contoh 2

Cari kedudukan matriks:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Oleh kerana matriks bukan nol, kedudukannya sekurang-kurangnya sama dengan satu.

Minimum urutan ke-2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 adalah bukan sifar. Oleh itu ia menunjukkan bahawa kedudukan matriks A sekurang-kurangnya dua.

Kami berulang kali ke bawah anak-anak bawah urutan ke-3: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 keping.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Anak bawah umur ke-3 sama dengan sifar, oleh itu kedudukan matriks sama dengan dua.

Jawapan : Peringkat (A) = 2.

Mencari peringkat matriks dengan kaedah bersempadan dengan anak di bawah umur

Kaedah Batas Minor - kaedah yang membolehkan anda memperoleh hasil dengan kerja pengiraan yang kurang.

Menghadapi kanak-kanak kecil - susunan kecil M ok (k + 1) -th matriks A, yang bersempadan dengan M kecil bagi susunan k matriks A, jika matriks yang sepadan dengan M kecil minor "mengandungi" matriks yang sesuai dengan bawah umur M.

Secara sederhana, matriks yang bersesuaian dengan M minor yang dibatasi diperoleh dari matriks yang sesuai dengan M ok minor yang bersempadan dengan menghapus unsur-unsur satu baris dan satu lajur.

Contoh 3

Cari kedudukan matriks:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Untuk mendapatkan pangkat, kami mengambil pesanan kecil ke-2 М = 2 - 1 4 1

Kami menuliskan semua anak di bawah umur yang bersempadan:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Untuk membuktikan kaedah berbatasan dengan anak di bawah umur, kami mengemukakan teorema, yang rumusannya tidak memerlukan asas bukti.

Teorema 1

Sekiranya semua anak di bawah umur yang bersempadan dengan k-th urutan kecil matriks A dari pesanan p oleh n sama dengan sifar, maka semua anak bawah pesanan (k + 1) matriks A sama dengan sifar.

Algoritma tindakan :

Untuk mencari peringkat matriks, tidak perlu dilakukan berulang-ulang untuk semua anak di bawah umur; cukup untuk melihat orang yang bersempadan.

Sekiranya kanak-kanak di bawah umur sama dengan sifar, maka kedudukan matriks adalah sifar. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu anak di bawah umur yang tidak sama dengan sifar, maka kita menganggap anak di bawah umur yang bersempadan.

Sekiranya semuanya sifar, maka Kedudukan (A) adalah dua. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu anak kecil yang bersempadan dengan nol, maka kita terus mempertimbangkan anak bawah umurnya. Dan seterusnya, dengan cara yang serupa.

Contoh 4

Cari peringkat matriks dengan kaedah bawah umur yang bersempadan

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Bagaimana menyelesaikannya?

Oleh kerana elemen 11 matriks A tidak sama dengan sifar, maka kita mengambil sedikit dari urutan 1. Mari mulakan mencari anak yang tidak bersempadan dengan sifar:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Kami menjumpai minor orde 2 bersempadan tidak sama dengan sifar 2 0 4 1.

Mari kita berulang kali ke bawah umur yang berbatasan - (ada (4 - 2) × (5 - 2) = 6 keping).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Jawapan : Peringkat (A) = 2.

Mencari peringkat matriks dengan kaedah Gauss (menggunakan transformasi asas)

Mari kita ingat apa itu transformasi asas.

Transformasi asas:

• dengan menyusun semula baris (lajur) matriks;
• dengan mengalikan semua elemen sebarang baris (lajur) matriks dengan nombor bukan sifar sewenang-wenangnya k;

dengan menambahkan unsur unsur baris (lajur) yang sesuai dengan baris lain (lajur) matriks, yang didarabkan dengan nombor sewenang-wenangnya k.

Definisi 5

Mencari peringkat matriks dengan kaedah Gauss - kaedah berdasarkan teori kesetaraan matriks: jika matriks B diperoleh dari matriks A menggunakan sebilangan kecil transformasi unsur, maka Rank (A) = Rank (B).

Kesahan pernyataan ini berlaku berdasarkan definisi matriks:

• dalam kes permutasi baris atau lajur matriks, penentu perubahannya menjadi tanda. Sekiranya sama dengan sifar, maka ia tetap sama dengan sifar ketika menyusun semula baris atau lajur;
• dalam keadaan mengalikan semua elemen sebarang baris (lajur) matriks dengan nombor sewenang-wenangnya k, yang tidak sama dengan sifar, penentu matriks yang dihasilkan sama dengan penentu matriks asal, yang didarabkan oleh k;

sekiranya menambahkan unsur baris atau lajur matriks tertentu unsur yang sesuai dari baris atau lajur lain, yang dikalikan dengan nombor k, tidak mengubah penentu.

Intipati kaedah transformasi asas : mengurangkan matriks yang pangkatnya dapat dijumpai kepada trapezoidal menggunakan transformasi asas.

Untuk apa?

Kedudukan matriks seperti ini agak senang dicari. Ia sama dengan bilangan baris yang mengandungi sekurang-kurangnya satu unsur bukan sifar. Dan kerana pangkat tidak berubah semasa transformasi dasar, ini akan menjadi pangkat matriks.

Mari kita gambarkan proses ini:

• untuk matriks segi empat tepat A dari urutan p oleh n, bilangan barisnya lebih besar daripada bilangan lajur:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• untuk matriks segi empat tepat A dari urutan p oleh n, bilangan barisnya kurang daripada bilangan lajur:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• untuk matriks persegi A tertib n oleh n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Contoh 5

Cari peringkat matriks A menggunakan transformasi asas:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Bagaimana menyelesaikannya?

Oleh kerana elemen 11 adalah bukan sifar, perlu mengalikan unsur baris pertama matriks A dengan 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Tambahkan ke elemen baris ke-2 elemen yang sesuai dari baris ke-1, yang dikalikan dengan (-3). Pada elemen baris ke-3, tambahkan elemen baris pertama, yang dikalikan dengan (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Elemen a 22 (2) adalah nol, jadi kita mengalikan elemen dari baris ke-2 matriks A dengan A (2) dengan 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Pada elemen baris ke-3 matriks yang dihasilkan, tambahkan elemen yang sesuai dari baris ke-2, yang didarabkan dengan 3 2;
• kepada unsur-unsur baris ke-4 - unsur-unsur baris ke-2, yang didarabkan dengan 9 2;
• kepada unsur-unsur baris ke-5 - unsur-unsur baris ke-2, yang didarabkan dengan 3 2.

Semua elemen baris adalah sifar. Oleh itu, dengan bantuan transformasi asas, kami membawa matriks ke bentuk trapezoid, di mana dilihat bahawa R a n k (A (4)) = 2. Oleh itu ia menunjukkan bahawa kedudukan matriks asal juga sama dengan dua.

Komen

Sekiranya anda melakukan transformasi asas, maka nilai anggaran tidak dibenarkan!

Sekiranya anda melihat kesalahan dalam teks, pilih dan tekan Ctrl + Enter

Definisi. Mengikut peringkat matriks ialah bilangan maksimum garis bebas linear yang dianggap sebagai vektor.

Teorema 1 pada peringkat matriks. Mengikut peringkat matriks ialah susunan maksimum matriks minor bukan sifar.

Kami telah menganalisis konsep anak kecil dalam pelajaran mengenai penentu, dan sekarang kami akan menggeneralisasikannya. Mari kita ambil dalam matriks beberapa baris dan beberapa lajur, dan "beberapa" ini harus lebih kecil daripada bilangan baris dan lajur matriks, dan untuk baris dan lajur ini "sebilangan" mestilah bilangan yang sama. Kemudian di persimpangan beberapa baris dan berapa banyak lajur akan ada matriks tertib rendah daripada matriks asal kita. Penentu matriks ini akan menjadi urutan k-th minor jika "sebilangan" yang disebutkan (bilangan baris dan lajur) dilambangkan dengan k.

Definisi. Minor ( r+1) urutan ke bawah, di mana minor yang dipilih terletak r-perintah dipanggil bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur tertentu.

Dua kaedah yang paling biasa digunakan adalah mencari peringkat matriks... ia bersempadan dengan anak bawah umur dan kaedah transformasi asas(dengan kaedah Gauss).

Untuk kaedah bawah umur yang bersempadan, teorema berikut digunakan.

Teorema 2 pada peringkat matriks. Sekiranya dari unsur-unsur matriks adalah mungkin untuk menyusun anak di bawah umur r-tertib, tidak sama dengan sifar, maka kedudukan matriksnya adalah r.

Dalam kaedah transformasi asas, sifat berikut digunakan:

Sekiranya, dengan transformasi asas, matriks trapezoid diperolehi yang setara dengan yang asal, maka peringkat matriks ini ialah bilangan garis di dalamnya, kecuali garis yang seluruhnya terdiri daripada sifar.

Mencari peringkat matriks dengan kaedah bawah umur yang bersempadan

Anak bawah umur yang bersempadan adalah minor dari pesanan yang lebih tinggi dalam hubungannya dengan yang diberikan, jika ini yang kecil dari yang lebih tinggi mengandungi yang kecil ini.

Contohnya, diberi matriks

Mari ambil anak di bawah umur

bersempadan dengan anak-anak berikut:

Algoritma untuk mencari peringkat matriks seterusnya.

1. Cari anak bawah umur yang bukan sifar dari urutan kedua. Sekiranya semua anak bawah umur kedua sama dengan sifar, maka kedudukan matriks akan sama dengan satu ( r =1 ).

2. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu minor dari urutan kedua yang tidak sama dengan sifar, maka kita menyusun anak bawah umur yang bersempadan dengan urutan ketiga. Sekiranya semua anak bawah umur yang bersempadan dengan urutan ketiga sama dengan sifar, maka kedudukan matriks sama dengan dua ( r =2 ).

3. Sekiranya sekurang-kurangnya salah satu dari bawah umur yang bersempadan dengan urutan ketiga tidak sama dengan sifar, maka kita menyusun anak di bawah umur yang bersempadan. Sekiranya semua anak di bawah umur yang bersempadan dengan urutan keempat sama dengan sifar, maka kedudukan matriks sama dengan tiga ( r =2 ).

4. Teruskan selagi saiz matriks membenarkan.

Contoh 1. Cari kedudukan matriks

.

Penyelesaian. Minor urutan kedua .

Kami merangka. Akan ada empat orang di bawah umur yang bersempadan:

,

,

Oleh itu, semua anak bawah umur yang bersempadan dengan urutan ketiga sama dengan sifar, oleh itu, kedudukan matriks ini sama dengan dua ( r =2 ).

Contoh 2. Cari kedudukan matriks

Penyelesaian. Peringkat matriks ini adalah 1, kerana semua anak bawah umur matriks kedua sama dengan sifar (dalam hal ini, seperti dalam kes bersempadan dengan anak bawah umur dalam dua contoh seterusnya, pelajar yang dikasihi dijemput untuk mengesahkan sendiri, mungkin menggunakan peraturan untuk mengira penentu), dan di antara anak bawah umur pertama, iaitu, di antara elemen matriks, tidak ada sama dengan sifar.

Contoh 3. Cari kedudukan matriks

Penyelesaian. Minor dari urutan kedua matriks ini, di semua minor urutan ketiga matriks ini sama dengan sifar. Oleh itu, kedudukan matriks ini adalah dua.

Contoh 4. Cari kedudukan matriks

Penyelesaian. Kedudukan matriks ini adalah 3, kerana satu-satunya kelas ketiga matriks ini adalah 3.

Mencari peringkat matriks dengan kaedah transformasi asas (kaedah Gauss)

Sudah ada dalam Contoh 1, dapat dilihat bahawa masalah menentukan peringkat matriks dengan kaedah bersempadan dengan anak di bawah umur memerlukan pengiraan sebilangan besar penentu. Namun, ada cara untuk memastikan jumlah pengiraan minimum. Kaedah ini berdasarkan penggunaan transformasi matriks dasar dan juga disebut kaedah Gauss.

Transformasi matriks dasar difahami sebagai operasi berikut:

1) pendaraban sebarang baris atau lajur matriks dengan nombor selain sifar;

2) menambah elemen baris atau lajur matriks unsur-unsur yang sama dari baris atau lajur lain, didarabkan dengan nombor yang sama;

3) menukar dua baris atau lajur matriks;

4) penghapusan garis "sifar", iaitu semua elemen sama dengan sifar;

5) penghapusan semua garis berkadaran kecuali satu.

Teorem. Transformasi asas tidak mengubah kedudukan matriks. Dengan kata lain, jika kita menggunakan transformasi asas dari matriks A pergi ke matriks B, kemudian.

Baris (Lajur). Beberapa baris (lajur) disebut bebas linear jika tidak ada yang dapat dinyatakan secara linear dari segi yang lain. Peringkat sistem baris selalu sama dengan peringkat sistem lajur, dan nombor ini disebut kedudukan matriks.

Peringkat matriks adalah pesanan tertinggi dari semua kemungkinan matriks non-sifar di bawah umur. Peringkat matriks sifar dengan ukuran apa pun adalah sifar. Sekiranya semua anak bawah umur kedua adalah sifar, maka pangkatnya adalah satu, dan seterusnya.

Peringkat matriks adalah dimensi gambar redup im (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operatorname (im) (A))) operator linear yang sesuai dengan matriks.

Biasanya peringkat matriks A (\ gaya paparan A) dilambangkan rang ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rang) A), r ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rg) A) atau peringkat ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rank) A)... Varian terakhir khas untuk bahasa Inggeris, sementara dua yang pertama adalah untuk bahasa Jerman, Perancis dan sebilangan bahasa lain.

Kolaborasi YouTube

• 1 / 5

  Biarkan menjadi matriks segi empat tepat.

  Kemudian, mengikut definisi, peringkat matriks A (\ gaya paparan A) adalah:

  Teorema (mengenai kebenaran definisi peringkat). Biarkan semua anak di bawah matrik A m × n (\ gaya paparan A_ (m \ kali n)) pesanan k (\ gaya paparan k) sama dengan sifar ( M k = 0 (\ gaya paparan M_ (k) = 0)). Kemudian ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0) sekiranya mereka wujud.

  Definisi yang berkaitan

  Hartanah

  • Teorema (mengenai asas kecil): Biarkan r = rang ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ nama operatorn (rang) A, M_ (r))- asas kecil matriks A (\ gaya paparan A), kemudian:
  • Akibat:
  • Teorema (pada invarian peringkat di bawah transformasi asas): Mari kita memperkenalkan notasi untuk matriks yang diperoleh antara satu sama lain dengan transformasi asas. Maka pernyataan berikut adalah benar: Sekiranya A ∼ B (\ gaya paparan A \ sim B), maka kedudukan mereka sama.
  • Teorema Kronecker - Capelli: Sistem persamaan algebra linear konsisten jika dan hanya jika kedudukan matriks utamanya sama dengan kedudukan matriks lanjutannya. Khususnya:
    • Bilangan pemboleh ubah utama sistem adalah sama dengan peringkat sistem.
    • Sistem sambungan akan ditentukan (penyelesaiannya unik) jika kedudukan sistem sama dengan jumlah semua pemboleh ubahnya.
  • Ketidaksamaan Sylvester: Sekiranya A dan B matriks saiz m x n dan n x k, kemudian
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + rang ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatorname (rang) AB \ geq \ operatorname (rang) A + \ operatorname (rang) B-n)

  Ini adalah kes khas dari ketaksamaan berikut.

  • Ketidaksamaan Frobenius: Sekiranya AB, BC, ABC ditakrifkan dengan baik, maka
  rang ⁡ A B C ≥ rang ⁡ A B + rang ⁡ B C - rang ⁡ B (\ displaystyle \ operatorname (rang) ABC \ geq \ operatorname (rang) AB + \ operatorname (rang) BC- \ operatorname (rang) B)

  Transformasi linear dan kedudukan matriks

  Biarkan A (\ gaya paparan A)- matriks saiz m × n (\ gaya paparan m \ kali n) di atas padang C (\ gaya paparan C)(atau R (\ gaya paparan R)). Biarkan T (\ gaya paparan T)- transformasi linear sepadan A (\ gaya paparan A) secara standard; ia bermaksud bahawa T (x) = A x (\ gaya paparan T (x) = Ax). Peringkat matrik A (\ gaya paparan A) adalah dimensi julat nilai transformasi T (\ gaya paparan T).

  Kaedah

  Terdapat beberapa kaedah untuk mencari peringkat matriks:

  • Kaedah transformasi asas
  Peringkat matriks sama dengan bilangan baris bukan sifar dalam matriks setelah mengurangkannya ke bentuk yang dilangkah menggunakan transformasi asas di atas baris matriks.
  • Kaedah Batas Minor
  Biarkan di matriks A (\ gaya paparan A) minor bukan sifar dijumpai k (\ gaya paparan k)-pesanan M (\ gaya paparan M)... Pertimbangkan semua anak di bawah umur (k + 1) (\ gaya paparan (k + 1))- perintah, termasuk (bersempadan) kecil M (\ gaya paparan M); jika semuanya sama dengan sifar, maka kedudukan matriksnya adalah k (\ gaya paparan k)... Jika tidak, ada yang bukan nol di antara anak di bawah umur yang bersempadan, dan keseluruhan prosedur diulang.

  Matrik apa pun A pesanan m × n boleh dilihat sebagai koleksi m vektor baris atau n vektor lajur.

  Mengikut pangkat matrik A pesanan m × n adalah bilangan maksimum vektor lajur bebas atau vektor baris.

  Sekiranya peringkat matriks A adalah sama dengan r, maka tertulis:

  Mencari kedudukan matriks

  Biarkan A matriks pesanan sewenang-wenangnya m× n... Untuk mencari peringkat matriks A gunakan kaedah penghapusan Gauss.

  Perhatikan bahawa jika pada beberapa tahap pengecualian, elemen pangsi sama dengan sifar, maka kita menukar garis ini dengan garis di mana elemen pangsi adalah nol. Sekiranya ternyata tidak ada baris seperti itu, kemudian pergi ke lajur seterusnya, dll.

  Selepas langkah langsung menghilangkan Gauss, kita mendapat matriks, unsur-unsur yang di bawah pepenjuru utama sama dengan sifar. Di samping itu, mungkin terdapat vektor garis sifar.

  Bilangan vektor baris bukan sifar akan menjadi peringkat matriks A.

  Mari pertimbangkan semua ini dengan contoh mudah.

  Contoh 1.

  Mengalikan baris pertama dengan 4 dan menambah baris kedua dan mengalikan baris pertama dengan 2 dan menambah baris ketiga kita mempunyai:

  

  Baris kedua dikalikan dengan -1 dan ditambahkan ke baris ketiga:

  

  Kami mendapat dua baris bukan sifar dan, oleh itu, kedudukan matriks adalah 2.

  Contoh 2.

  Cari kedudukan matriks berikut:

  

  Gandakan baris pertama dengan -2 dan tambah ke baris kedua. Begitu juga, kita memusatkan elemen baris ketiga dan keempat lajur pertama:

  

  Sifar elemen baris ketiga dan keempat lajur kedua dengan menambahkan baris yang sesuai ke baris kedua dikalikan dengan -1.