KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA

Institusi Pendidikan Autonomi Negeri Persekutuan

pendidikan profesional yang lebih tinggi

"Universiti Persekutuan Ural dinamakan sebagai Presiden pertama Rusia B. N. Yeltsin"

Institut elektronik radio dan teknologi maklumat - RTF

Jabatan Automasi dan teknologi maklumat

Interpolasi spline

ARAHAN METODOLOGI UNTUK KERJA MAKMAL PADA DISIPLIN "Kaedah Berangka"

Disusun oleh I.A. Selivanova, pensyarah kanan.

INTERPOLASI SPLINE: Arahan kaedah untuk latihan praktik dalam disiplin "Kaedah Berangka"

Arahan itu bertujuan untuk pelajar semua bentuk pendidikan ke arah 230100 - "Informatik dan Kejuruteraan Komputer".

GA FGAOU VPO "UrFU dinamakan sebagai Presiden pertama Rusia B. N. Yeltsin", 2011

1. INTERPOLASI MENGIKUT SPLIN. 4

1.1. Spline padu. 4

1.2. Bentuk khas notasi spline. 5

1.3. Sambungan kuadratik. 13

1.4. Tugasan latihan. lapan belas

1.5. Pilihan pekerjaan. 19

Rujukan 21

1. Interpolasi dengan splines.

Dalam kes di mana selang waktu [ a,b] di mana anda mahu mengganti fungsi f(x) adalah besar, anda boleh menggunakan interpolasi spline.

1.1. Splic padu.

Interpolasi splines Ke-3 susunan ialah fungsi yang terdiri daripada kepingan polinomial 3 ika pesanan. Pada nod antara muka, kesinambungan fungsi, derivatif pertama dan kedua dipastikan. Fungsi penghampiran terdiri daripada polinomial berasingan, sebagai peraturan, darjah kecil yang sama, masing-masing ditakrifkan pada bahagian segmennya sendiri.

Biarkan pada segmen [ a, b] paksi sebenar x grid diberikan, pada nod yang nilainya
fungsi f(x). Ia diperlukan untuk membina pada segmen [ a, b] fungsi spline berterusan S(x), yang memenuhi syarat-syarat berikut:

Untuk membina spline yang diperlukan, anda perlu mencari pekali
polinomial
,i=1,… n, iaitu 4 n pekali yang tidak diketahui yang memuaskan 4 n-2 persamaan (1), (2), (3). Untuk sistem persamaan mempunyai penyelesaian, dua syarat tambahan (sempadan) ditambah. Tiga jenis syarat sempadan digunakan:

Syarat (1), (2), (3) dan salah satu syarat (4), (5), (6) membentuk SLAE pesanan 4 n. Penyelesaian sistem boleh dijalankan menggunakan kaedah Gauss. Walau bagaimanapun, dengan memilih tatatanda khas untuk polinomial padu, seseorang boleh mengurangkan dengan ketara susunan sistem persamaan yang diselesaikan.

1.2. Bentuk khas notasi spline.

Pertimbangkan segmen
... Mari kita perkenalkan tatatanda pembolehubah berikut:

Di sini
- panjang segmen
,

,
- pembolehubah tambahan,

x- titik perantaraan pada segmen
.

Bila x berjalan melalui semua nilai dalam selang waktu
, pembolehubah berbeza dari 0 hingga 1, dan
antara 1 hingga 0.

Biarkan polinomial padu
pada segmen
kelihatan seperti:

Pembolehubah dan
ditentukan berhubung dengan segmen interpolasi tertentu.

Cari nilai spline itu
di hujung segmen
... titik
adalah permulaan untuk segmen
, Oleh itu =0,
= 1 dan mengikut (3.8):
.

Di penghujung segmen
=1,
= 0 dan
.

Untuk selang waktu
titik
adalah terhad, oleh itu =1,
= 0 dan daripada formula (9) kita perolehi:
... Oleh itu, keadaan kesinambungan fungsi S(x) pada persimpangan polinomial padu tanpa mengira pilihan nombor  i.

Untuk menentukan pekali  i, i=0,… n kita bezakan (8) dua kali sebagai fungsi kompleks x... Kemudian

Mari kita takrifkan terbitan kedua bagi spline
dan
:

Untuk polinomial
titik ialah permulaan segmen interpolasi dan =0,
= 1, oleh itu

Ia mengikuti daripada (15) dan (16) bahawa pada segmen [ a,b Fungsi spline "terpaku" dari kepingan polinomial urutan ketiga mempunyai turunan urutan kedua berterusan.

Untuk mendapatkan kesinambungan terbitan pertama bagi fungsi itu S(x), kami memerlukan pada nod dalaman interpolasi pemenuhan syarat:

Untuk spline kubik semula jadi
, oleh itu, sistem persamaan akan mempunyai bentuk:

dan sistem persamaan (17) akan mempunyai bentuk:

Contoh.

Data awal:

Gantikan fungsi
spline kubik interpolasi, nilai yang pada titik nod yang diberikan (lihat jadual) bertepatan dengan nilai fungsi pada titik yang sama. Pertimbangkan syarat sempadan yang berbeza.

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik nod. Untuk melakukan ini, kami menggantikan nilai dari jadual ke dalam fungsi yang diberikan.

Untuk keadaan sempadan yang berbeza (4), (5), (6), kita dapati pekali splin padu.

1. Pertimbangkan syarat sempadan pertama.

Dalam kes kita n=3,
,
,
... Untuk mencari
kita menggunakan sistem persamaan (3.18):

Mari mengira dan menggunakan formula (7) dan (11):

Gantikan nilai yang diperoleh ke dalam sistem persamaan:

.

Penyelesaian sistem:

Dengan mengambil kira syarat sempadan pertama, pekali spline:

Pertimbangkan takrifan pekali spline dengan mengambil kira keadaan sempadan (3.5):

Cari terbitan bagi fungsi itu
:

Mari mengira
dan
:

Mari kita gantikan dalam sistem persamaan (21) dengan nilai dan :

Menggunakan formula (20), kita takrifkan  0 dan  3:

Mengambil kira nilai khusus:

dan vektor pekali:

Mari kita hitung nilai spline padu S (x) pada titik tengah segmen interpolasi.

Titik tengah segmen:

Untuk mengira nilai spline padu pada titik tengah segmen interpolasi, kami menggunakan formula (7) dan (9).

3.1.

Cari dan
:

Dalam formula (3.9), kita menggantikan pekali

3.2.

Cari dan
:

, untuk syarat sempadan (4), (5), (6):

3.3.

Cari dan
:

Dalam formula (9), kita menggantikan pekali
, untuk syarat sempadan (4), (5), (6):

Mari buat jadual:

Perkataan spline (perkataan Inggeris "spline") bermaksud pembaris fleksibel yang digunakan untuk melukis lengkung licin melalui titik tertentu pada satah. Bentuk sekeping universal ini pada setiap segmen digambarkan oleh parabola padu. Splines digunakan secara meluas dalam aplikasi kejuruteraan, khususnya dalam grafik komputer. Jadi, pada setiap i-Segmen ke-[ x i –1 , x i], i = 1, 2,…, N, penyelesaian akan dicari dalam bentuk polinomial darjah ketiga:

S i(x)= a i + b i(x – x i)+ c i(x–x i) 2 /2+ d i(x – x i) 3 /6

Kemungkinan tidak diketahui a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., N, kami dapati daripada:

Syarat interpolasi: S i(x i)= f i, i = 1, 2,..., N;S 1 (x 0)= f 0 ,

Fungsi kesinambungan S i(x saya– 1 ) = S i– 1 (x i –1), i = 2, 3,..., N,

Kesinambungan terbitan pertama dan kedua:

S / i(x saya– 1)=S / i– 1 (x i –1), S // i(x i –1)= S // i –1 (x i –1), i = 2, 3,..., N.

Memandangkan itu, untuk menentukan 4 N tidak diketahui, kami memperoleh sistem 4 N–2 persamaan:

a i = f i, i = 1, 2,..., N,

b i h i - c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6= f i - f i –1 , i = 1, 2,..., N,

b i - b i – 1 = c i h i - d i h i 2 /2, i = 2, 3,..., N,

d i h i = c i - c i– 1 , i = 2, 3,..., N.

di mana h i = x i - x i– 1. Dua persamaan yang hilang diperoleh daripada syarat tambahan: S //(a)= S //(b)=0. Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam kes ini. Tidak diketahui boleh dikecualikan daripada sistem b i, d i, setelah menerima sistem tersebut N + 1 persamaan linear (SLAE) untuk menentukan pekali c i:

c 0 = 0, c N = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , i = 1, 2,…, N–1. (1)

Selepas itu, pekali dikira b i, d i:

, i = 1, 2,..., N. (2)

Dalam kes grid malar h i = h sistem persamaan ini dipermudahkan.

SLAE ini mempunyai matriks tridiagonal dan diselesaikan dengan kaedah sapuan.

Pekali ditentukan daripada formula:

Untuk mengira nilai S(x) pada titik sewenang-wenangnya segmen z∈[a, b] adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan bagi pekali c i, i = 1,2,…, N–1, kemudian cari semua pekali b i, d i. Selanjutnya, adalah perlu untuk menentukan selang masa [ x i 0, x i 0-1] mencapai titik ini, dan mengetahui nombornya saya 0, hitung nilai spline dan terbitannya pada satu titik z

S(z)= a i 0 + b i 0 (z – x i 0)+ c i 0 (z – x i 0) 2 /2+ d i 0 (z – x i 0) 3 /6

S /(z)= b i 0 + c i 0 (z – x i 0)+ d i 0 (z – x i 0) 2 /2, S //(z)= c i 0 + d i 0 (z – x i 0).

Ia diperlukan untuk mengira nilai fungsi pada titik 0.25 dan 0.8 menggunakan interpolasi spline.

Dalam kes kami: h i = 1/4,.

Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan:

Menyelesaikan sistem persamaan linear ini, kita dapat:.

Pertimbangkan titik 0.25, yang tergolong dalam segmen pertama, i.e. ... Oleh itu, kita dapat

Pertimbangkan titik 0.8, yang tergolong dalam segmen keempat, i.e. ...

Oleh itu,

Interpolasi global

Bila interpolasi global polinomial tunggal ditemui pada keseluruhan selang [ a, b], iaitu polinomial dibina, yang digunakan untuk menginterpolasi fungsi f (x) sepanjang keseluruhan selang variasi hujah x. Kami akan mencari fungsi interpolasi dalam bentuk polinomial (polinomial) m-Ijazah ke- P m(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +… + A m x m. Apakah darjah polinomial untuk memenuhi semua syarat interpolasi? Katakan dua mata diberikan: ( x 0 , f 0) dan ( x 1 , f 1), iaitu N = 1. Satu garis lurus boleh dilukis melalui titik-titik ini, i.e. fungsi interpolasi akan menjadi polinomial darjah pertama P 1 (x)= a 0 + a 1 x. Melalui tiga titik (N = 2) seseorang boleh melukis parabola P 2 (x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2, dsb. Penaakulan dengan cara ini, kita boleh mengandaikan bahawa polinomial yang diperlukan mesti mempunyai darjah N .

Untuk membuktikan ini, kami menulis sistem persamaan untuk pekali. Persamaan sistem ialah keadaan interpolasi pada setiap x = x i:

Sistem ini adalah linear berkenaan dengan pekali yang dikehendaki a 0 , a 1 , a 2 , …,a N. Adalah diketahui bahawa SLAE mempunyai penyelesaian jika penentunya bukan sifar. Penentu sistem tertentu

membawa nama penentu Vandermonde... Ia diketahui daripada kursus analisis matematik bahawa ia adalah bukan sifar jika x k≠x m(iaitu semua nod interpolasi adalah berbeza). Oleh itu, terbukti bahawa sistem itu mempunyai penyelesaian.

Kami telah menunjukkan bahawa untuk mencari pekali
a 0 , a 1 , a 2 , …,a N adalah perlu untuk menyelesaikan SLAE, yang merupakan tugas yang sukar. Tetapi ada cara lain untuk membina polinomial N-Th darjah, yang tidak memerlukan penyelesaian sistem sedemikian.

Polinomial Lagrange

Kami mencari penyelesaian dalam bentuk , di mana l i(z) – polinomial asas N-Tahap ke atas syarat dipenuhi: ... Mari kita mengesahkan bahawa jika polinomial sedemikian dibina, maka L N (x) akan memenuhi syarat interpolasi:

Cara membina polinomial asas? Kami tentukan

, i = 0, 1,..., N.

Mudah difahami bahawa

Fungsi l i(z) ialah polinomial N-Lulusan dari z dan untuk itu syarat "asas" dipenuhi:

0, i ≠ k;, i.e. k = 1,…, i-1 atau k = i + 1,…, N.

Oleh itu, kami berjaya menyelesaikan masalah membina polinomial interpolasi N– ijazah, dan untuk ini tidak perlu menyelesaikan SLAE. Polinomial Lagrange boleh ditulis sebagai formula padat: . Ralat formula ini boleh dianggarkan jika fungsi asal g(x mempunyai derivatif hingga N + 1 pesanan:

Ia berikutan daripada formula ini bahawa ralat kaedah bergantung pada sifat-sifat fungsi g(x), dan juga dari lokasi node interpolasi dan titik z. Eksperimen yang dikira menunjukkan bahawa polinomial Lagrange mempunyai ralat kecil untuk nilai kecil N<20 ... Untuk lebih besar N ralat mula berkembang, yang menunjukkan bahawa kaedah Lagrange tidak menumpu (iaitu, ralatnya tidak berkurangan dengan peningkatan N).

Mari pertimbangkan kes khas. Biarkan N = 1, i.e. nilai fungsi diberikan hanya pada dua titik. Kemudian polinomial asasnya adalah:

, iaitu kita memperoleh formula untuk interpolasi linear sekeping.

Biarkan N = 2. Kemudian:

Hasilnya, kami memperoleh formula untuk apa yang disebut interpolasi kuadratik atau parabola.

Contoh: Nilai beberapa fungsi diberikan:

Diperlukan untuk mencari nilai fungsi untuk z = 1 menggunakan polinomial interpolasi Lgrange. Ad hoc N= 3, iaitu polinomial Lagrange ialah tertib ketiga. Mari kita hitung nilai polinomial asas untuk z=1:

Pemilihan formula empirik

Apabila interpolasi fungsi, kami menggunakan syarat kesamaan nilai polinomial interpolasi dan fungsi yang diberikan pada nod interpolasi. Jika data awal diperolehi hasil daripada pengukuran eksperimen, maka keperluan untuk padanan tepat tidak diperlukan, kerana data tidak diperoleh dengan tepat. Dalam kes ini, seseorang hanya memerlukan pemenuhan syarat interpolasi. Keadaan ini bermakna fungsi interpolasi F (x) tidak melewati titik-titik yang diberikan, tetapi di beberapa kawasan sekitarnya, seperti, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar.

Kemudian bercakap tentang pemilihan formula empirikal... Pembinaan formula empirik terdiri daripada dua tahap6 memilih bentuk formula ini yang mengandungi parameter yang tidak diketahui, dan menentukan yang terbaik, dari satu segi, parameter ini. Bentuk formula kadang-kadang diketahui dari pertimbangan fizikal (untuk medium elastik, hubungan antara tekanan dan ubah bentuk) atau dipilih dari pertimbangan geometri: titik eksperimen diplotkan pada grafik dan bentuk umum pergantungan dapat ditebak secara kasar dengan membandingkan lengkung yang terhasil dengan graf fungsi yang diketahui. Kejayaan di sini banyak ditentukan oleh pengalaman dan gerak hati penyelidik.

Untuk praktik, kes penghampiran fungsi oleh polinomial adalah penting, iaitu ...

Selepas jenis pergantungan empirikal telah dipilih, tahap kedekatan dengan data empirikal ditentukan menggunakan jumlah minimum petak penyimpangan data yang dikira dan eksperimen.

Kaedah kuadrat paling sedikit

Biarkan untuk data awal x i, f i, i = 1,…, N (lebih baik untuk memulakan penomboran dengan satu), jenis pergantungan empirikal dipilih: dengan pekali yang tidak diketahui. Mari kita tulis jumlah petak penyimpangan antara yang dikira dengan formula empirik dan data eksperimen yang diberikan:

Parameter akan ditemui dari keadaan minimum fungsi ... Ini adalah kaedah kuasa dua terkurang (OLS).

Telah diketahui bahawa pada titik minimum semua terbitan separa w sama dengan sifar:

(1)

Mari kita pertimbangkan penggunaan OLS untuk kes tertentu, yang digunakan secara meluas dalam amalan. Sebagai fungsi empirikal, pertimbangkan polinomial

Rumus (1) untuk menentukan jumlah petak penyimpangan akan berupa:

Mari kita hitung derivatif:

Menyamakan ungkapan ini dengan sifar dan mengumpulkan pekali untuk yang tidak diketahui, kita memperoleh sistem persamaan linear berikut.

Biarkan jadual nilai fungsi diberikan y i dalam nod NS 0 < х 1 < ... < х п Menunjukkan h i = x i - x i -1 , i= 1, 2, ... , NS.

Spline- lekukan halus yang melewati titik-titik yang diberikan ( x i, y i), i = 0, 1, ... , NS. Interpolasi spline terletak pada kenyataan bahawa pada setiap segmen [ x i -1 , x i] polinomial darjah tertentu digunakan. Polinomial yang paling kerap digunakan pada darjah ketiga, lebih jarang - kedua atau keempat. Dalam kes ini, untuk menentukan pekali polinomial, digunakan untuk kesinambungan turunan pada node interpolasi.

Interpolasi splin kubik adalah interpolasi tempatan ketika di setiap segmen [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , NS lengkung kubik digunakan yang memenuhi keadaan kelancaran tertentu, iaitu, kelangsungan fungsi itu sendiri dan turunan pertama dan kedua pada titik-titik nod. Penggunaan fungsi kubik didorong oleh pertimbangan berikut. Jika kita mengandaikan bahawa lengkung interpolasi sepadan dengan pembaris elastik yang ditetapkan pada titik ( x i, y i), kemudian dari kursus ketahanan bahan diketahui bahawa lengkung ini ditakrifkan sebagai penyelesaian kepada persamaan pembezaan f(IV) ( x) = 0 pada segmen [ x i -1 , x i] (untuk kesederhanaan persembahan, kami tidak mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan dimensi fizikal). Penyelesaian umum persamaan sedemikian ialah polinomial darjah ketiga dengan pekali arbitrari, yang boleh ditulis dengan mudah dalam bentuk
S i(x) = dan saya + b i(NS - x i -1) +dengan i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ NS £ x i, i = 1, 2, ... , NS.(4.32)

Pekali fungsi S i(x) ditentukan dari keadaan kesinambungan fungsi dan terbitan pertama dan kedua pada nod dalaman x i,i= 1, 2,..., NS - 1.

Daripada formula (4.32) dengan NS = x i-1 kita dapat

S i(x i- 1) = y i -1 = a i, i = 1, 2,..., NS,(4.33)

dan pada NS = x i

S i(x i) = dan saya + b i h i +dengan i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., n.

Syarat untuk kesinambungan fungsi interpolasi ditulis dalam bentuk S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , n- 1 dan dari syarat (4.33) dan (4.34) ia menunjukkan bahawa mereka berpuas hati.

Cari terbitan bagi fungsi tersebut S i(x):

S "i(x) =b i + 2dengan i(NS - x i -1) + 3di(NS – x i -1) 2 ,

S "i(x) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

Pada x = x i-1, kami ada S "i(x i -1) = b i, S" (x i -1) = 2dengan i, dan pada NS = x i dapatkan

S "i(x i) = b i+ 2dengan i h i+ 3dih i 2 , S" (x i) = 2dengan i + 6d i h i.

Syarat untuk kesinambungan terbitan membawa kepada persamaan

S "i(x i) =S "i +1 (x i) Þ b i+ 2dengan i h i+ 3dih i 2 = b i +1 ,

i= l, 2, ..., NS - 1. (4.35)

S "i (x i) = S "i +1 (x i) Þ 2 dengan i + 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2, ..., n- 1. (4.36)

Secara keseluruhan, kami mempunyai 4 n- 2 persamaan untuk menentukan 4 n tidak diketahui. Untuk mendapatkan dua persamaan lagi, syarat sempadan tambahan digunakan, sebagai contoh, syarat kelengkungan sifar keluk interpolasi pada titik akhir, iaitu persamaan terbitan kedua dengan sifar di hujung segmen [ a, b]a = NS 0 , b= x n:

S" 1 (x 0) = 2c 1 = 0 Þ dengan 1 = 0,

S "n(x n) = 2dengan n + 6d n h n = 0 Þ dengan n + 3d n h n = 0. (4.37)

Sistem persamaan (4.33) - (4.37) boleh dipermudahkan dan formula berulang untuk mengira pekali spline boleh diperolehi.

Daripada keadaan (4.33) kita mempunyai formula eksplisit untuk mengira pekali a i:

a i = y i -1 , i = 1,..., n. (4.38)

Mari kita luahkan d i seberang c i menggunakan (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Kita letak dengan n+1 = 0, kemudian untuk d i kami mendapat satu formula:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Ungkapan ganti untuk dan saya dan d i menjadi persamaan (4.34):

, i= 1, 2,..., n.

dan menyatakan b i, seberang dengan i:

, i= 1, 2,..., n. (4.40)

Kami mengecualikan daripada persamaan (4.35) pekali b i dan d i menggunakan (4.39) dan (4.40):

i= 1, 2,..., n -1.

Oleh itu, kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan dengan i:

Sistem persamaan (4.41) boleh ditulis semula sebagai

Notasi diperkenalkan di sini

, i =1, 2,..., n- 1.

Mari kita selesaikan sistem persamaan (4.42) dengan kaedah sapuan. Daripada persamaan pertama, kami nyatakan dengan 2 hingga dengan 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2,,. (4.43)

Gantikan (4.43) ke dalam persamaan kedua (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2 ( h 2 + h 3)c 3 + h 3 c 4 = g 2 ,

dan menyatakan dengan 3 melalui dengan 4:

dengan 3 = a 3 dengan 4 + b 3, (4.44)

Andainya dengan i-1 = a i -1 c i+ b i-1 daripada i-th persamaan (4.42) yang kami perolehi

c i= a saya dengan saya+1 + b i

, i = 3,..., n- 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a saya dengan saya+1 + b i, i= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Pengiraan pekali dan saya, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., n.

4. Pengiraan nilai fungsi menggunakan spline. Untuk melakukan ini, cari nilai sedemikian i bahawa nilai yang diberikan pembolehubah NS tergolong dalam segmen [ x i -1 , x i] dan hitung

S i(x) = dan saya + b i(NS - x i -1) +dengan i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Interpolasi splin kubik

Spline interpolasi padu sepadan dengan fungsi tertentu f (x) dan nod yang diberi x i ialah fungsi S (x) yang memenuhi syarat berikut:

1. Pada setiap segmen, i = 1, 2, ..., N, fungsi S (x) ialah polinomial darjah ketiga,

2. Fungsi S (x), serta terbitan pertama dan kedua, adalah selanjar pada selang,

3.S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

Pada setiap selang, i = 1, 2, ..., N, kita akan mencari fungsi S (x) = S i (x) dalam bentuk polinomial darjah ketiga:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i,

di mana a i, b i, c i, d i - pekali untuk ditentukan pada semua n segmen asas. Untuk sistem persamaan algebra mempunyai penyelesaian, bilangan persamaan mestilah betul-betul sama dengan bilangan yang tidak diketahui. Oleh itu, kita harus mendapatkan persamaan 4n.

Kami memperoleh persamaan 2n pertama daripada syarat bahawa graf bagi fungsi S (x) mesti melalui titik-titik yang diberikan, i.e.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Syarat-syarat ini boleh ditulis sebagai:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Persamaan 2n - 2 berikut mengikuti daripada keadaan kesinambungan terbitan pertama dan kedua pada nod interpolasi, iaitu syarat untuk kelancaran lengkung di semua titik.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Menyamakan pada setiap node dalaman x = x i nilai derivatif ini dikira dalam selang kiri dan kanan dari nod, kami memperoleh (dengan mengambil kira h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

jika x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

Pada peringkat ini, kita mempunyai 4n yang tidak diketahui dan 4n - 2 persamaan. Oleh itu, adalah perlu untuk mencari dua lagi persamaan.

Dengan pengikat bebas hujung, kelengkungan garisan pada titik ini boleh disamakan dengan sifar. Daripada keadaan kelengkungan sifar pada hujungnya, maka terbitan kedua adalah sama dengan sifar pada titik ini:

S 1 (x 0) = 0 dan S n (x n) = 0,

c i = 0 dan 2 c n + 6 d n h n = 0.

Persamaan membentuk sistem persamaan algebra linear untuk menentukan pekali 4n: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, ..., N).

Sistem ini boleh dibawa ke bentuk yang lebih mudah. Semua pekali a dapat dijumpai dari keadaan sekaligus.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Menggantikan, kami mendapat:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Kami mengecualikan pekali b i dan d i daripada persamaan. Akhirnya, kami memperoleh sistem persamaan berikut hanya untuk pekali dengan i:

c 1 = 0 dan c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Dengan menggunakan pekali yang dijumpai dengan i, mudah untuk mengira d i, b i.

Pengiraan kamiran dengan kaedah Monte Carlo

Produk perisian ini menerapkan kemampuan untuk menetapkan sekatan tambahan pada kawasan integrasi dengan dua permukaan spline dua dimensi (untuk integrasi dimensi 3) ...

Interpolasi fungsi

Biarkan jadual nilai fungsi f (xi) = yi () diberikan, di mana ia terletak dalam tertib menaik nilai hujah: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Interpolasi spline

Interpolasi spline

Interpolasi spline

Mari berkenalan dengan algoritma program. 1. Kira nilai dan 2. Berdasarkan nilai ini, kami mengira pekali sapuan dan o. 3. Berdasarkan data yang diperoleh, kami mengira pekali 4 ...

Pemodelan matematik objek teknikal

Fungsi terbina dalam MathCAD membolehkan anda melukis lengkung dengan pelbagai darjah kerumitan melalui titik eksperimen semasa interpolasi. Interpolasi linear ...

Kaedah penghampiran fungsi

Pada setiap segmen, polinomial interpolasi adalah sama dengan pemalar, iaitu pada nilai kiri atau kanan fungsi. Untuk interpolasi linear sepotong kiri F (x) = fi-1 jika xi-1? X

Kaedah penghampiran fungsi

Pada setiap selang, fungsi adalah Fi linear (x) = kix + li. Nilai pekali didapati daripada pemenuhan syarat interpolasi di hujung segmen: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. Kami mendapat sistem persamaan: kixi-1 + li = fi-1, kixi + li = fi, dari mana kita dapati ki = li = fii- kixi ...

Kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Interpolasi

Penyataan masalah interpolasi. Sistem titik (node ​​interpolasi) xi, i = 0,1,…, N diberikan pada selang; a? x saya? b, dan nilai fungsi yang tidak diketahui pada nod ini fn i = 0,1,2,…, N. Tugas-tugas berikut dapat diatur: 1) Bentukkan fungsi F (x) ...

Pembinaan model matematik yang menerangkan proses penyelesaian persamaan pembezaan

3.1 Pembinaan polinomial interpolasi Lagrange dan pemeluwapan nilai Cara yang jelas untuk menyelesaikan masalah ini ialah mengira nilai ѓ (x) menggunakan nilai analisis fungsi ѓ. Untuk ini - mengikut maklumat awal ...

Jika mereka darjah (1, x, x2, ..., xn), maka kita bercakap tentang interpolasi algebra, dan fungsi itu dipanggil polinomial interpolasi dan dilambangkan sebagai: (4) Jika () (5), maka kita boleh membina polinomial interpolasi darjah n dan lebih-lebih lagi hanya satu ...

Aplikasi praktikal interpolasi fungsi lancar

Mari kita pertimbangkan contoh interpolasi untuk elemen satu set. Untuk kesederhanaan dan ringkas, ambil = [- 1; 1],. Biarkan mata dan berbeza antara mereka sendiri. Mari kita kemukakan masalah berikut: (12) membina polinomial yang memenuhi syarat-syarat ini ...

Aplikasi kaedah berangka untuk menyelesaikan masalah matematik

Kaedah Berangka

Jadi, seperti yang dinyatakan di atas, tugas interpolasi adalah untuk mencari polinomial sedemikian yang grafnya melalui titik yang diberikan. Biarkan fungsi y = f (x) diberikan menggunakan jadual (Jadual 1) ...

Kaedah berangka untuk menyelesaikan masalah matematik