Kami mengatakan bahawa lengkung algebra dari urutan kedua ditentukan oleh persamaan algebra darjah kedua berkenaan dengan NS dan di... Dalam bentuk umum, persamaan tersebut ditulis sebagai

A NS 2 + B hu+ C di 2 + D x+ E y+ F = 0, (6)

lebih-lebih lagi, А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (iaitu pada masa yang sama nombor А, В, С tidak hilang). Syarat A NS 2, B hu, DENGAN di 2 disebut istilah kanan persamaan, nombor

dipanggil diskriminasi persamaan ini. Persamaan (6) disebut persamaan umum lengkung urutan kedua.

Untuk lekuk yang dipertimbangkan sebelumnya, kami mempunyai:

Elips: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

bulatan NS 2 + di 2 = a 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - a 2, d = 1> 0;

Hyperbola: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parabola: di 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Lengkung yang diberikan oleh persamaan (6) disebut tengah keluk jika d¹0. Sekiranya d> 0, maka lengkung elips taip jika d<0, то кривая hiperbolik menaip. Lengkung yang d = 0 adalah lengkung parabola menaip.

Dibuktikan bahawa baris urutan kedua di ada Sistem koordinat Cartesian diberikan oleh persamaan algebra orde kedua. Hanya dalam satu sistem persamaan mempunyai bentuk yang kompleks (misalnya, (6)), dan yang lain lebih mudah, misalnya, (5). Oleh itu, lebih mudah untuk mempertimbangkan sistem koordinat di mana keluk yang dikaji ditulis oleh persamaan termudah (misalnya, kanonik). Peralihan dari satu sistem koordinat, di mana lengkung diberikan oleh persamaan bentuk (6) ke bentuk lain, di mana persamaannya mempunyai bentuk yang lebih sederhana, disebut koordinat transformasi.

Mari pertimbangkan jenis transformasi koordinat utama.

Saya Menjalankan transformasi koordinat paksi (dengan pemeliharaan arah). Biarkan dalam sistem koordinat asal XOU titik M mempunyai koordinat ( NS, diNS¢, di¢). Dari lukisan dapat dilihat bahawa koordinat titik M dalam sistem yang berlainan dihubungkan oleh nisbah

(7), atau (8).

Rumus (7) dan (8) disebut formula transformasi koordinat.

II. Transformasi putaran koordinat paksi pada sudut a. Sekiranya titik M mempunyai koordinat ( NS, di), dan dalam sistem koordinat baru XO ¢ Y ia mempunyai koordinat ( NS¢, di¢). Kemudian hubungan antara koordinat ini dinyatakan oleh formula

, (9)

atau

Dengan mengubah koordinat, persamaan (6) dapat dikurangkan menjadi salah satu daripada yang berikut kanonik persamaan.

1) - elips,

2) - hiperbola,

3) di 2 = 2px, NS 2 = 2RU- parabola

4) a 2 NS 2 – b 2 y 2 = 0 - sepasang garis lurus yang bersilang (Gambar A)

5) y 2 – a 2 = 0 - sepasang garis lurus selari (Gamb. B)

6) x 2 –a 2 = 0 - sepasang garis lurus selari (Gamb. C)

7) y 2 = 0 - garis lurus bertepatan (paksi OX)

8) x 2 = 0 - garis lurus bertepatan (paksi OU)

9) a 2 NS 2 + b 2 y 2 = 0 - titik (0, 0)

10) elips khayalan

11) y 2 + a 2 = 0 - sepasang garis khayalan

12) x 2 + a 2 = 0 adalah sepasang garis khayalan.

Setiap persamaan ini adalah persamaan baris pesanan kedua. Garis yang ditentukan oleh Persamaan 4 - 12 dipanggil merosot lengkung urutan kedua.

Pertimbangkan contoh mengubah persamaan umum lengkung ke bentuk kanonik.

1) 9NS 2 + 4di 2 – 54NS + 8di+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4di 2 + 8di) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(di 2 + 2di+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(di+ 1) = 36, Þ

.

Kita letak NS¢ = NS – 3, di¢ = di+ 1, kami memperoleh persamaan kanonik elips ... Kesaksamaan NS¢ = NS – 3, di¢ = di+ 1 menentukan transformasi terjemahan sistem koordinat ke titik (3, –1). Setelah membina sistem koordinat lama dan baru, tidak sukar untuk menggambar elips ini.

2) 3di 2 +4NS– 12di+8 = 0. Transformasi:

(3di 2 – 12di)+ 4 NS+8 = 0

3(di 2 – 4di+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(di – 2) 2 = – (NS – 1) .

Kita letak NS¢ = NS – 1, di¢ = di- 2, kami memperoleh persamaan parabola di¢ 2 = - NS¢. Penggantian yang dipilih sesuai dengan pemindahan sistem koordinat ke titik O ¢ (1,2).

Dalam artikel ini kita akan melihat persamaan umum garis lurus pada satah. Mari kita berikan contoh membina persamaan umum garis lurus jika dua titik garis lurus ini diketahui atau jika satu titik dan vektor normal garis lurus ini diketahui. Mari kita kemukakan kaedah untuk mengubah persamaan dalam bentuk umum menjadi bentuk kanonik dan parametrik.

Biarkan sistem koordinat segiempat tepat Cartesian diberikan Oksik... Pertimbangkan persamaan darjah pertama atau persamaan linear:

di mana A, B, C- beberapa pemalar, dan sekurang-kurangnya salah satu elemen A dan B bukan sifar.

Kami akan menunjukkan bahawa persamaan linear dalam satah mendefinisikan garis lurus. Mari kita buktikan teorem berikut.

Teorema 1. Dalam sistem koordinat segiempat tepat Cartesian pada satah, setiap garis lurus dapat ditentukan oleh persamaan linear. Sebaliknya, setiap persamaan linear (1) dalam sistem koordinat segiempat tepat Cartesian pada satah menentukan garis lurus.

Bukti. Cukup untuk membuktikan bahawa garis L ditentukan oleh persamaan linear untuk mana-mana satu sistem koordinat segiempat Cartesian, sejak itu akan ditentukan oleh persamaan linear dan untuk setiap pilihan sistem koordinat segiempat Cartesian.

Biarkan garis lurus diberikan di atas kapal terbang L... Marilah kita memilih sistem koordinat supaya paksi Lembu bertepatan dengan garis lurus L dan paksi Oy tegak lurus dengannya. Kemudian persamaan garis lurus L akan mengambil bentuk berikut:

Semua titik pada garis lurus L akan memenuhi persamaan linear (2), dan semua titik di luar garis lurus ini tidak akan memenuhi persamaan (2). Bahagian pertama teorem terbukti.

Biarkan sistem koordinat segiempat Cartesian diberikan dan biarkan persamaan linear (1) diberikan, di mana sekurang-kurangnya salah satu elemen A dan B bukan sifar. Mari kita cari lokus titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1). Oleh kerana sekurang-kurangnya satu pekali A dan B berbeza dengan sifar, maka persamaan (1) mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian M(x 0 ,y 0). (Sebagai contoh, untuk A≠ 0, titik M 0 (−C / A, 0) tergolong dalam lokus titik yang diberikan). Menggantikan koordinat ini dalam (1), kita memperoleh identiti

Mari kita tolak identiti (3) dari (1):

Jelas, persamaan (4) bersamaan dengan persamaan (1). Oleh itu, cukup untuk membuktikan bahawa (4) mendefinisikan beberapa garis.

Oleh kerana kita mempertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, maka berdasarkan persamaan (4) vektor dengan komponen ( x - x 0 , y - y 0) adalah ortogonal kepada vektor n dengan koordinat ( A, B}.

Pertimbangkan beberapa garis lurus L melewati titik M 0 (x 0 , y 0) dan tegak lurus dengan vektor n(Rajah 1). Biarkan maksudnya M(x, y) tergolong dalam garis lurus L... Kemudian vektor dengan koordinat x - x 0 , y - y 0 tegak lurus n dan persamaan (4) berpuas hati (produk skalar vektor n dan sama dengan sifar). Kembali jika titik M(x, y) tidak terletak pada garis lurus L, kemudian vektor dengan koordinat x - x 0 , y - y 0 tidak ortogonal kepada vektor n dan persamaan (4) tidak berpuas hati. Teorema itu dibuktikan.

Bukti. Oleh kerana garis lurus (5) dan (6) menentukan garis lurus yang sama, vektor normal n 1 ={A 1 ,B 1) dan n 2 ={A 2 ,B 2) adalah collinear. Sejak vektor n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, maka ada nombor λ , apa n 2 =n 1 λ ... Oleh itu kita mempunyai: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Mari kita membuktikan bahawa C 2 =C 1 λ ... Jelas, garis bertepatan mempunyai titik persamaan M 0 (x 0 , y 0). Mengalikan persamaan (5) dengan λ dan mengurangkan persamaannya (6) kita mendapat:

Oleh kerana dua persamaan pertama dari ungkapan (7) berpuas hati, maka C 1 λ −C 2 = 0. Mereka. C 2 =C 1 λ ... Ucapan tersebut terbukti.

Perhatikan bahawa persamaan (4) menentukan persamaan garis lurus yang melewati titik M 0 (x 0 , y 0) dan mempunyai vektor normal n={A, B). Oleh itu, jika vektor normal garis lurus dan titik kepunyaan garis lurus ini diketahui, maka mungkin untuk membina persamaan umum garis lurus menggunakan persamaan (4).

Contoh 1. Garis lurus melewati titik M= (4, −1) dan mempunyai vektor normal n= (3, 5). Bina persamaan umum garis lurus.

Penyelesaian. Kami mempunyai: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B= 5. Untuk membina persamaan umum garis lurus, kami mengganti nilai-nilai ini menjadi persamaan (4):

Jawapan:

Vektor selari dengan garis lurus L dan, oleh itu, adalah perdikular dengan vektor normal garis lurus L... Marilah kita membina vektor normal garis lurus L, dengan mengambil kira bahawa produk skalar vektor n dan sama dengan sifar. Kita boleh menuliskan, sebagai contoh, n={1,−3}.

Untuk membina persamaan umum garis lurus, kita akan menggunakan formula (4). Ganti (4) koordinat titik M 1 (kita juga boleh mengambil koordinat titik M 2) dan vektor normal n:

Menggantikan koordinat titik M 1 dan M 2 in (9) kita dapat memastikan bahawa garis lurus yang diberikan oleh persamaan (9) melewati titik-titik ini.

Jawapan:

Kurangkan (10) dari (1):

Kami telah memperoleh persamaan kanonik garis. Vektor q={−B, A adalah vektor pengarah garis lurus (12).

Lihat transformasi terbalik.

Contoh 3. Garis lurus pada satah dilambangkan oleh persamaan umum berikut:

Gerakkan sebutan kedua ke kanan dan bahagikan kedua-dua sisi persamaan dengan 2 · 5.

Keluk pesanan kedua- lokus titik pada satah, koordinat segi empat tepat

yang memenuhi persamaan bentuk:

di mana sekurang-kurangnya satu pekali satu 11, a 12, 22 tidak sifar.

Invarian keluk dari urutan kedua.

Bentuk lengkung bergantung pada 4 invarian yang diberikan di bawah:

Inovarian putaran dan terjemahan sistem koordinat:

Invarian berkaitan dengan putaran sistem koordinat ( separa invariant):

Untuk mengkaji keluk pesanan kedua, pertimbangkan produknya A * C.

Am persamaan keluk pesanan kedua kelihatan seperti itu:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Sekiranya A * C> 0 jenis elips... Sebarang elips

persamaan adalah persamaan sama ada elips biasa, atau elips degenerasi (titik), atau khayalan

elips (dalam kes ini, persamaan tidak menentukan satu gambar geometri pada satah);

Sekiranya A * C< 0 , maka persamaan tersebut mengambil bentuk persamaan jenis hiperbolik... Sebarang hiperbolik

persamaan menyatakan hiperbola sederhana atau hiperbola degenerasi (dua garis bersilang);

Sekiranya A * C = 0, maka barisan pesanan kedua tidak akan menjadi pusat. Persamaan jenis ini dipanggil

persamaan jenis parabola dan menyatakan dengan satah sama ada parabola sederhana, atau 2 selari

(sama ada bertepatan) garis lurus, atau tidak mengekspresikan sebarang gambar geometri di satah;

Sekiranya A * C ≠ 0, keluk pesanan kedua akan

Persamaan umum keluk orde kedua dalam satah ialah:

Kapak 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Mata + F = 0, (39)

di mana A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R... Ia menentukan semua bahagian kerucut yang mungkin terletak secara sewenang-wenang di atas kapal terbang.

Dari pekali persamaan (39), kami menyusun dua penentu:

Dipanggil diskriminasi persamaan(39), dan - pembeza syarat utama persamaan. Pada 0, persamaan (39) menentukan:> 0 - elips;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Dari persamaan umum (39), anda boleh pergi ke persamaan kanonik jika anda mengecualikan istilah linier dan silang dengan menukar ke sistem koordinat baru yang bertepatan dengan paksi simetri rajah. Ganti di (39) x pada x + a dan y pada y + b, di mana a, b sebilangan pemalar. Mari kita tuliskan pekali yang diperoleh untuk NS dan y dan menyamakannya dengan 0

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Akibatnya, persamaan (39) akan berbentuk:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

di mana pekali A, B, C belum berubah, tetapi F= /. Penyelesaian sistem persamaan (41) akan menentukan koordinat pusat simetri rajah:

Sekiranya B= 0, maka a = -D/A, b = -E/C dan lebih mudah untuk mengecualikan istilah linier di (39) dengan kaedah pengurangan ke segiempat sempurna:

Kapak 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

Dalam persamaan (42), kita akan memutar koordinat dengan sudut a (38). Mari kita tuliskan pekali yang diperoleh pada jangka masa silang xy dan menyamakannya dengan 0

xy = 0. (44)

Keadaan (44) menentukan sudut putaran paksi koordinat yang diperlukan sehingga bertepatan dengan paksi simetri rajah dan mengambil bentuk:

Persamaan (42) berbentuk:

A+ X 2 + C + Y 2 + F = 0 (46)

dari mana mudah untuk melewati persamaan kanonik keluk:

Kemungkinan A + , C+, tertakluk pada syarat (45), dapat ditunjukkan sebagai akar dari persamaan kuadratik tambahan:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Akibatnya, kedudukan dan arah paksi simetri angka, semiaxisnya ditentukan:

dan ia boleh dibina secara geometri.

Sekiranya = 0 kita mempunyai parabola. Sekiranya paksi simetri selari dengan paksi Oh, maka persamaan dikurangkan menjadi bentuk:

jika tidak, kemudian ke borang:

di mana ungkapan dalam kurungan disamakan dengan 0 menentukan garis paksi koordinat baru:.

Menyelesaikan tugas biasa

Contoh 15. Persamaan 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 ke bentuk kanonik dan membina lengkung.

Penyelesaian. B= 0, = -72 0, = 6> 0 elips.

Mari lakukan pengurangan ke petak lengkap:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Pusat koordinat simetri (1; -1), transformasi linear X = x - 1, Y = y+ 1 membawa persamaan ke bentuk kanonik.

Contoh 16. Persamaan 2 xy = a 2 ke bentuk kanonik dan membina lengkung.

Penyelesaian. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Pusat sistem koordinat berada di pusat simetri lengkung; tidak ada istilah linear dalam persamaan. Mari putar paksi melalui sudut a. Dengan formula (45), kita mempunyai tg2a = B/(A - C) =, iaitu a = 45 °. Pekali persamaan kanonik (46) A + , C+ ditentukan oleh persamaan (48): t 2 = 1 atau t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, iaitu
X 2 - Y 2 = a 2 atau. Oleh itu, persamaan 2 hu = a 2 menerangkan hiperbola dengan pusat simetri di (0; 0). Paksi simetri terletak di sepanjang dua bahagian sudut koordinat, paksi koordinat adalah asimptot, separuh paksi hiperbola sama a.y - 9 = 0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3x 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Kami mewujudkan sistem koordinat segi empat tepat pada satah dan mempertimbangkan persamaan umum darjah kedua

di mana
.

Kumpulan semua titik satah yang koordinatnya memenuhi persamaan (8.4.1) dipanggil bengkok (garisan) pesanan kedua.

Untuk sebarang lengkungan urutan kedua, terdapat sistem koordinat segi empat tepat, yang disebut kanonik, di mana persamaan lengkung ini mempunyai salah satu bentuk berikut:

1)
(elips);

2)
(elips khayalan);

3)
(sepasang garis bersilang khayalan);

4)
(hiperbola);

5)
(sepasang garis bersilang);

6)
(parabola);

7)
(sepasang garis selari);

8)
(sepasang garis selari khayalan);

9)
(sepasang garis lurus bertepatan).

Persamaan 1) –9) dipanggil persamaan kanonik lengkung urutan kedua.

Penyelesaian untuk masalah mengurangkan persamaan lengkung urutan kedua ke bentuk kanonik termasuk mencari persamaan kanonik lengkung dan sistem koordinat kanonik. Kanonikalisasi membolehkan anda mengira parameter lengkung dan menentukan lokasinya berbanding dengan sistem koordinat asal. Peralihan dari sistem koordinat segi empat tepat
ke kanonik
dilakukan dengan memutar paksi sistem koordinat asal di sekitar satu titik O oleh beberapa sudut  dan terjemahan selari seterusnya sistem koordinat.

Oleh invarian lengkung urutan kedua(8.4.1) fungsi koefisien persamaannya disebut, nilainya tidak berubah ketika melewati dari satu sistem koordinat segi empat tepat ke sistem lain yang sama.

Untuk keluk pesanan kedua (8.4.1), jumlah pekali pada kuadrat koordinat

,

penentu yang terdiri daripada pekali pada sebutan tertinggi

dan penentu urutan ketiga

adalah invarian.

Nilai invarian s, ,  dapat digunakan untuk menentukan jenis dan menyusun persamaan kanonik dari lengkung urutan kedua (Jadual 8.1).

Jadual 8.1

Pengelasan keluk pesanan kedua berdasarkan invarian

Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci elips, hiperbola dan parabola.

Elips(Gamb. 8.1) dipanggil lokus titik-titik satah yang jumlah jaraknya menjadi dua titik tetap
pesawat ini, dipanggil fokus elips, ada nilai tetap (lebih besar daripada jarak antara fokus). Ini tidak mengecualikan kebetulan fokus elips. Sekiranya fokus sepadan, maka elips adalah bulatan.

Separuh jumlah jarak dari titik elips ke fokusnya dilambangkan dengan a, separuh jarak antara fokus - dengan... Sekiranya sistem koordinat segi empat tepat pada satah dipilih supaya fokus elips terletak pada paksi Ox secara simetri mengenai asal usul, maka dalam sistem koordinat ini elips diberikan oleh persamaan

, (8.4.2)

dipanggil persamaan elips kanonik, di mana
.

Nasi. 8.1

Dengan pilihan sistem koordinat segi empat tepat yang ditentukan, elips adalah simetri mengenai paksi koordinat dan asalnya. Paksi simetri elips memanggilnya gandar, dan pusat simetri - pusat elips... Pada masa yang sama, angka 2 sering disebut sebagai sumbu elips. a dan 2 b dan nombor a dan b – besar dan paksi separa kecil masing-masing.

Titik persimpangan elips dengan paksinya disebut bucu elips... Bucu elips mempunyai koordinat ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Elips eksentrik disebut nombor

. (8.4.3)

Sejak 0  c < a, eksentrisiti elips 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Oleh itu, dapat dilihat bahawa eksentrisiti mencirikan bentuk elips: semakin dekat  ke sifar, semakin elips kelihatan seperti bulatan; dengan peningkatan , elips menjadi lebih memanjang.

Biarkan
- titik elips yang sewenang-wenangnya,
dan
- jarak dari titik M sebelum muslihat F 1 dan F 2 masing-masing. Angka-angka r 1 dan r 2 dipanggil jejari titik fokus M elips dan dikira dengan formula

Guru Besar selain bulatan elips dengan persamaan kanonik (8.4.2) adalah dua garis lurus

.

Directrix elips terletak di luar elips (Gamb. 8.1).

Nisbah Radius Fokus mataMelips ke jarak  elips ini (fokus dan directrix dianggap sesuai jika berada di sisi yang sama dengan pusat elips).

Hiperbola(Gambar 8.2) disebut lokus titik-titik satah yang modulus perbezaan antara jarak ke dua titik tetap dan pesawat ini, dipanggil fokus hiperbola, terdapat nilai tetap (tidak sama dengan sifar dan kurang dari jarak antara fokus).

Biarkan jarak antara fokus menjadi 2 dengan, dan modulus perbezaan jarak yang ditunjukkan adalah 2 a... Mari pilih sistem koordinat segi empat tepat dengan cara yang sama dengan elips. Dalam sistem koordinat ini, hiperbola diberikan oleh persamaan

, (8.4.4)

dipanggil persamaan hiperbola kanonik, di mana
.

Nasi. 8.2

Dengan pilihan sistem koordinat segi empat tepat ini, paksi koordinat adalah paksi simetri hiperbola, dan asalnya adalah pusat simetri. Paksi simetri hiperbola menyebutnya gandar, dan pusat simetri adalah pusat hiperbola... Segi empat tepat dengan sisi 2 a dan 2 b terletak seperti dalam rajah. 8.2 disebut segi empat tepat hiperbola... Nombor 2 a dan 2 b Adakah paksi hiperbola, dan angka a dan b- dia separuh poros... Garisan yang merupakan lanjutan dari pepenjuru bentuk segi empat tepat utama asimptot hiperbola

.

Titik persimpangan hiperbola dengan paksi Lembu dipanggil bucu hiperbola... Bucu hiperbola mempunyai koordinat ( a, 0), (–a, 0).

Eksentrik hiperbola disebut nombor

. (8.4.5)

Sejauh mana dengan > a, eksentrisitas hiperbola > 1. Kami menulis semula persamaan (8.4.5) dalam bentuk

.

Oleh itu, dapat dilihat bahawa eksentrisiti mencirikan bentuk segi empat utama dan, oleh itu, bentuk hiperbola itu sendiri: semakin kecil , semakin banyak segi empat utama membentang, dan setelah itu hiperbola itu sendiri di sepanjang paksi Lembu.

Biarkan
- titik hiperbola sewenang-wenangnya,
dan
- jarak dari titik M sebelum muslihat F 1 dan F 2 masing-masing. Angka-angka r 1 dan r 2 dipanggil jejari titik fokus M hiperbola dan dikira dengan formula

Guru Besar hiperbola dengan persamaan kanonik (8.4.4) adalah dua garis lurus

.

Hiperbola directrixes memotong persegi panjang utama dan melintasi antara pusat dan bucu hiperbola yang sesuai (Gamb. 8.2).

O nisbah jejari fokus mataM hiperbola ke jarak dari sudut ini ke fokus yang sepadan guru besar sama dengan eksentrik hiperbola ini (fokus dan directrix dianggap sesuai jika terletak di bahagian yang sama dari pusat hiperbola).

Parabola(Gamb. 8.3) disebut lokus titik-titik satah yang jaraknya dengan beberapa titik tetap F (fokus parabola) satah ini sama dengan jarak ke beberapa garis lurus tetap ( parabola directrix), juga terletak di pesawat yang sedang dipertimbangkan.

Mari pilih permulaan O sistem koordinat segi empat tepat di tengah segmen [ FD], yang tidak tegak lurus F ke directrix (diasumsikan bahawa fokus tidak tergolong dalam directrix), dan paksi Lembu dan Oy langsung seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 8.3. Biarkan panjang segmen [ FD] adalah sama dengan hlm... Kemudian dalam sistem koordinat yang dipilih
dan persamaan parabola kanonik mempunyai bentuk

. (8.4.6)

Kuantiti hlm dipanggil parameter parabola.

Parabola mempunyai paksi simetri yang disebut paksi parabola... Titik persimpangan parabola dengan paksinya disebut puncak parabola... Sekiranya parabola diberikan oleh persamaan kanonisnya (8.4.6), maka paksi parabola adalah sumbu Lembu... Jelas, puncak parabola adalah asalnya.

Contoh 1. Titik A= (2, –1) tergolong dalam elips, intinya F= (1, 0) adalah fokusnya, sesuai F directrix diberikan oleh persamaan
... Menyamakan elips ini.

Penyelesaian. Kami akan menganggap bahawa sistem koordinat berbentuk segi empat tepat. Kemudian jarak dari sudut A kepada guru besar
sesuai dengan hubungan (8.1.8), di mana


, sama

.

Jarak dari sudut A memberi tumpuan F sama dengan

,

yang membolehkan anda menentukan eksentrisiti elips

.

Biarkan M = (x, y) Merupakan titik elips yang sewenang-wenangnya. Kemudian jarak
dari sudut M kepada guru besar
mengikut formula (8.1.8) sama dengan

dan jarak dari sudut M memberi tumpuan F sama dengan

.

Oleh kerana untuk titik elips mana pun nisbahnya adalah nilai tetap yang sama dengan eksentrisitas elips, oleh itu kita mempunyai

,

Contoh 2. Keluk diberikan oleh persamaan

dalam sistem koordinat segi empat tepat. Cari sistem koordinat kanonik dan persamaan kanonik lengkung ini. Tentukan jenis lengkung.

Penyelesaian. Bentuk kuadratik
mempunyai matriks

.

Ciri khasnya polinomial

mempunyai akar  1 = 4 dan  2 = 9. Oleh itu, dalam asas ortonormal vektor eigen matriks A bentuk kuadratik yang dianggap mempunyai bentuk kanonik

.

Mari kita terus membina matriks transformasi ortogonal pemboleh ubah, yang mengurangkan bentuk kuadratik yang dipertimbangkan menjadi bentuk kanonik yang ditunjukkan. Untuk ini, kami akan membina sistem penyelesaian asas kepada sistem persamaan homogen
dan menormalkannya.

Pada
sistem ini mempunyai bentuk

Penyelesaian umum adalah
... Terdapat satu pemboleh ubah percuma di sini. Oleh itu, sistem asas keputusan terdiri daripada satu vektor, misalnya, vektor
... Menormalkannya, kita mendapat vektor

.

Pada
juga membina vektor

.

Vektor dan sudah ortogonal, kerana merujuk kepada nilai eigen yang berbeza dari matriks simetri A... Mereka membentuk asas ortonormal kanonik dari bentuk kuadratik yang diberikan. Matriks ortogonal yang diperlukan (matriks putaran) dibina dari lajur koordinatnya

.

Mari periksa kebenaran mencari matriks R mengikut formula
, di mana
- matriks bentuk kuadratik dalam asasnya
:

Matrik R dijumpai dengan betul.

Mari lakukan transformasi pemboleh ubah

dan tuliskan persamaan lengkung ini dalam sistem koordinat segi empat tepat baru dengan vektor pusat dan arah lama
:

di mana
.

Menerima persamaan kanonik elips

.

Kerana kenyataan bahawa transformasi koordinat segi empat tepat yang dihasilkan ditentukan oleh formula

,

,

sistem koordinat kanonik
mempunyai permulaan
dan vektor panduan
.

Contoh 3. Dengan menggunakan teori invarian, tentukan jenis dan tuliskan persamaan kanonik lengkung

Penyelesaian. Sejauh mana

,

sesuai dengan jadual. 8.1 kami menyimpulkan bahawa ini adalah hiperbola.

Oleh kerana s = 0, ciri polinomial matriks bentuk kuadratik

Akarnya
dan
membolehkan anda menulis persamaan kanonik keluk

di mana DENGAN dijumpai dari keadaan

,

.

Persamaan kanonik yang dicari bagi keluk

.

Dalam tugas bahagian ini, koordinatx, ydianggap segi empat tepat.

8.4.1. Untuk elips
dan
cari:

a) paksi separa;

b) muslihat;

c) eksentrik;

d) persamaan directrix.

8.4.2. Buat persamaan elips, mengetahui fokusnya
sepadan dengan pengarah x= 8 dan eksentrik ... Cari fokus kedua dan directrix kedua elips.

8.4.3. Persamaan elips yang fokusnya adalah pada koordinat (1, 0) dan (0, 1), dan paksi utamanya adalah dua.

8.4.4. Diberikan hiperbola
... Cari:

a) paksi separa a dan b;

b) muslihat;

c) eksentrik;

d) persamaan asimptot;

e) persamaan directrix.

8.4.5. Diberikan hiperbola
... Cari:

a) paksi separa a dan b;

b) muslihat;

c) eksentrik;

d) persamaan asimptot;

e) persamaan directrix.

8.4.6. Titik
tergolong dalam hiperbola yang menjadi tumpuannya
, dan directrix yang sesuai diberikan oleh persamaan
... Persamaan hiperbola ini.

8.4.7. Menyamakan parabola jika tumpuannya diberikan
dan guru besar
.

8.4.8. Diberi bucu parabola
dan persamaan directrix
... Persamaan parabola ini.

8.4.9. Persamaan parabola yang fokusnya berada pada satu titik

dan directrix diberikan oleh persamaan
.

8.4.10. Persamaan keluk pesanan kedua, mengetahui eksentrisinya
, fokus
dan pengarah yang sepadan
.

8.4.11. Tentukan jenis keluk orde kedua, tulis persamaan kanoniknya dan cari sistem koordinat kanonik:

G)
;

8.4.12.

adalah elips. Cari panjang semiax dan eksentrisitas elips ini, koordinat pusat dan fokus, buat persamaan bagi paksi dan garis arah.

8.4.13. Buktikan bahawa keluk pesanan kedua yang diberikan oleh persamaan

adalah hiperbola. Cari panjang paksi separa dan eksentrisitas hiperbola ini, koordinat pusat dan fokus, buat persamaan bagi paksi, garis arah dan asimptot.

8.4.14. Buktikan bahawa keluk pesanan kedua yang diberikan oleh persamaan

,

adalah parabola. Cari parameter parabola ini, koordinat bucu dan fokus, buat persamaan bagi paksi dan garis arah.

8.4.15. Bawa setiap persamaan berikut ke bentuk kanonik. Lukiskan lengkung urutan kedua yang sesuai dalam lukisan berkenaan dengan sistem koordinat segi empat tepat yang asal:

8.4.16. Dengan menggunakan teori invarian, tentukan jenis dan tuliskan persamaan kanonik lengkung.