U ovom ćemo članku pogledati radnju množenja decimala. Počnimo s navođenjem općih načela, zatim pokažimo kako množiti jedan decimalni razlomak s drugim i razmotrimo metodu množenja stupcem. Sve definicije bit će ilustrirane primjerima. Zatim ćemo pogledati kako pravilno množiti decimalne razlomke običnim, kao i mješovitim i prirodnim brojevima (uključujući 100, 10, itd.)

U ovom materijalu dotaknut ćemo samo pravila množenja pozitivnih razlomaka. Slučajevi s negativnim brojevima posebno su obrađeni u člancima o množenju racionalnih i realnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Idemo formulirati generalni principi, koje se moraju pridržavati pri rješavanju problema množenja decimalnih razlomaka.

Prvo se prisjetimo da decimalni razlomci nisu ništa drugo nego poseban oblik pisanja običnih razlomaka, stoga se postupak njihovog množenja može svesti na sličan za obične razlomke. Ovo pravilo vrijedi i za konačne i za beskonačne razlomke: nakon što ih pretvorite u obične razlomke, lako je s njima množiti prema pravilima koja smo već naučili.

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju.

Primjer 1

Izračunajte umnožak 1,5 i 0,75.

Rješenje: Prvo zamijenimo decimalne razlomke običnim. Znamo da je 0,75 75/100, a 1,5 15/10. Možemo smanjiti razlomak i odabrati cijeli dio. Dobiveni rezultat 125 1000 zapisat ćemo kao 1, 125.

Odgovor: 1 , 125 .

Možemo koristiti metodu brojanja stupaca, baš kao i za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pomnožite jedan periodički razlomak 0, (3) s drugim 2, (36).

Prvo svedimo izvorne razlomke na obične. Dobit ćemo:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Prema tome, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

Dobivena obični razlomak može dovesti do decimalni oblik dijeleći brojnik nazivnikom u stupcu:

Odgovor: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Ako u tvrdnji problema imamo beskonačne neperiodične razlomke, tada moramo izvršiti preliminarno zaokruživanje (pogledajte članak o zaokruživanju brojeva ako ste zaboravili kako se to radi). Nakon toga možete izvesti radnju množenja s već zaokruženim decimalnim razlomcima. Navedimo primjer.

Primjer 3

Izračunajte umnožak 5, 382... i 0, 2.

Riješenje

U našem problemu imamo beskonačni razlomak koji se prvo mora zaokružiti na stotinke. Ispada da je 5,382... ≈ 5,38. Drugi faktor nema smisla zaokruživati ​​na stotinke. Sada možete izračunati traženi umnožak i zapisati odgovor: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

Odgovor: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

Metoda brojanja stupaca može se koristiti ne samo za prirodne brojeve. Ako imamo decimale, možemo ih pomnožiti na potpuno isti način. Izvedimo pravilo:

Definicija 1

Množenje decimalnih razlomaka po stupcu izvodi se u 2 koraka:

1. Izvršite množenje stupaca, ne obraćajući pažnju na zareze.

2. Stavite decimalnu točku u konačni broj, odvajajući ga s onoliko znamenki na desnoj strani koliko oba faktora zajedno sadrže decimalna mjesta. Ako rezultat nije dovoljno brojeva za to, dodajte nule s lijeve strane.

Pogledajmo primjere takvih izračuna u praksi.

Primjer 4

Pomnožite decimale 63, 37 i 0, 12 sa stupcima.

Riješenje

Prvo, pomnožimo brojeve, zanemarujući decimalne točke.

Sada moramo staviti zarez na pravo mjesto. Razdvojit će četiri znamenke s desne strane jer je zbroj decimala u oba faktora 4. Nema potrebe dodavati nule, jer dovoljno znakova:

Odgovor: 3,37 0,12 = 7,6044.

Primjer 5

Izračunajte koliko je 3,2601 puta 0,0254.

Riješenje

Brojimo bez zareza. Dobijamo sljedeći broj:

S desne strane ćemo staviti zarez koji odvaja 8 znamenki, jer izvorni razlomci zajedno imaju 8 decimalnih mjesta. Ali naš rezultat ima samo sedam znamenki i ne možemo bez dodatnih nula:

Odgovor: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Kako pomnožiti decimalu s 0,001, 0,01, 01 itd.

Množenje decimala takvim brojevima je uobičajeno, stoga je važno to moći učiniti brzo i točno. Zapišimo posebno pravilo koje ćemo koristiti za ovo množenje:

Definicija 2

Ako pomnožimo decimalu s 0, 1, 0, 01 itd., na kraju ćemo dobiti broj sličan izvornom razlomku, s decimalnom točkom pomaknutom ulijevo za potrebna količina znakovi. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, trebate dodati nule s lijeve strane.

Dakle, da biste pomnožili 45, 34 s 0, 1, morate ga prenijeti na izvornik decimal zarez po jedan znak. Završit ćemo s 4, 534.

Primjer 6

Pomnožite 9,4 s 0,0001.

Riješenje

Decimalnu točku ćemo morati pomaknuti za četiri mjesta prema broju nula u drugom faktoru, ali brojevi u prvom faktoru za to nisu dovoljni. Dodijelimo potrebne nule i dobijemo da je 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

Odgovor: 0 , 00094 .

Za beskonačne decimale koristimo isto pravilo. Tako, na primjer, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ili 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... i tako dalje.

Proces takvog množenja ne razlikuje se od radnje množenja dva decimalna razlomka. Pogodno je koristiti metodu množenja stupaca ako tvrdnja problema sadrži konačni decimalni razlomak. U ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir sva pravila o kojima smo govorili u prethodnom odlomku.

Primjer 7

Izračunajte koliko je 15 · 2,27.

Riješenje

Pomnožimo izvorne brojeve stupcem i odvojimo dva zareza.

Odgovor: 15 · 2,27 = 34,05.

Izvršimo li periodično decimalno množenje s prirodni broj, prvo morate promijeniti decimalni razlomak u obični razlomak.

Primjer 8

Izračunajte umnožak 0 , (42) i 22 .

Svedimo periodični razlomak na obični oblik.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Konačni rezultat možemo napisati u obliku periodičnog decimalnog razlomka kao 9, (3).

Odgovor: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Beskonačni razlomci moraju se prvo zaokružiti prije izračuna.

Primjer 9

Izračunajte koliko će biti 4 · 2, 145....

Riješenje

Zaokružimo izvorni beskonačni decimalni razlomak na stotinke. Nakon toga dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka:

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

Odgovor: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Kako pomnožiti decimalu sa 1000, 100, 10 itd.

Množenje decimalnog razlomka s 10, 100 itd. često se susreće u problemima, pa ćemo ovaj slučaj posebno analizirati. Osnovno pravilo množenja je:

Definicija 3

Da biste decimalni razlomak pomnožili s 1000, 100, 10 itd., trebate pomaknuti njegovu decimalnu točku na 3, 2, 1 znamenku ovisno o množitelju i odbaciti dodatne nule s lijeve strane. Ako nema dovoljno brojeva za pomicanje zareza, desno dodamo onoliko nula koliko nam je potrebno.

Pokažimo na primjeru kako to točno učiniti.

Primjer 10

Pomnožite 100 i 0,0783.

Riješenje

Da bismo to učinili, moramo pomaknuti decimalnu točku za 2 znamenke udesno. Završit ćemo s 007, 83. Nule s lijeve strane mogu se odbaciti i rezultat napisati kao 7, 38.

Odgovor: 0,0783 100 = 7,83.

Primjer 11

Pomnožite 0,02 s 10 tisuća.

Rješenje: Pomaknut ćemo zarez četiri znamenke udesno. Nemamo dovoljno znakova za to u izvornom decimalnom razlomku, pa ćemo morati dodati nule. U ovom slučaju, tri 0 bit će dovoljna. Rezultat je 0, 02000, pomaknite zarez i dobit ćete 00200, 0. Zanemarujući nule s lijeve strane, možemo napisati odgovor kao 200.

Odgovor: 0,02 · 10 000 = 200.

Pravilo koje smo dali djelovat će isto u slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, ali ovdje treba biti vrlo oprezan s periodom posljednjeg razlomka, jer je u njemu lako pogriješiti.

Primjer 12

Izračunajte umnožak 5,32 (672) puta 1000.

Rješenje: prije svega ćemo periodični razlomak napisati kao 5, 32672672672 ..., pa će vjerojatnost pogreške biti manja. Nakon toga možemo pomaknuti zarez na potreban broj znakova (tri). Rezultat će biti 5326, 726726... Stavimo točku u zagrade i napišimo odgovor kao 5,326, (726).

Odgovor: 5, 32 (672) · 1 000 = 5 326, (726) .

Ako uvjeti problema sadrže beskonačne neperiodične razlomke koji se moraju pomnožiti s deset, sto, tisuću itd., ne zaboravite ih zaokružiti prije množenja.

Da biste izvršili množenje ove vrste, trebate predstaviti decimalni ulomak kao obični ulomak, a zatim nastaviti prema već poznatim pravilima.

Primjer 13

Pomnožite 0, 4 sa 3 5 6

Riješenje

Prvo, pretvorimo decimalni razlomak u obični razlomak. Imamo: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Odgovor smo dobili u obliku mješovitog broja. Možete ga napisati kao periodični razlomak 1, 5 (3).

Odgovor: 1 , 5 (3) .

Ako je u izračunu uključen beskonačni neperiodični razlomak, morate ga zaokružiti na određeni broj i zatim pomnožiti.

Primjer 14

Izračunajte umnožak 3, 5678. . . · 2 3

Riješenje

Drugi faktor možemo predstaviti kao 2 3 = 0, 6666…. Zatim zaokružite oba faktora na tisućiti dio. Nakon toga trebat ćemo izračunati umnožak dva zadnja decimalna razlomka 3,568 i 0,667. Brojimo u stupcu i dobijemo odgovor:

Konačni rezultat mora biti zaokružen na tisućinke, jer smo na tu znamenku zaokružili izvorne brojeve. Ispada da je 2,379856 ≈ 2,380.

Odgovor: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bismo razumjeli kako množiti decimale, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo za množenje decimala

1) Množite ne pazeći na zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ima iza decimalne točke u oba faktora zajedno.

Primjeri.

Nađi umnožak decimalnih razlomaka:

Za množenje decimalnih razlomaka, množimo ne obraćajući pažnju na zareze. To jest, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ima iza decimalne točke u oba faktora zajedno. U prvom faktoru je jedna znamenka iza decimalne točke, u drugom također jedna. Ukupno odvajamo dva broja iza decimalne točke, pa smo dobili konačan odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Decimale množimo ne uzimajući u obzir decimalnu točku. To jest, zapravo, umjesto množenja 36,85 s 1,14, množimo 3685 s 14. Dobivamo 51590. Sada u ovom rezultatu trebamo zarezom odvojiti onoliko znamenki koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije znamenke iza decimalne točke, drugi ima jednu. Ukupno tri znamenke odvajamo zarezom. Budući da iza decimalne točke na kraju unosa stoji nula, ne upisujemo je u odgovor: 36,85∙1,4=51,59.

Da bismo pomnožili te decimale, pomnožimo brojeve bez obraćanja pozornosti na zareze. Odnosno, pomnožimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobijemo 16205. U ovom broju nakon decimalne točke trebate odvojiti četiri znamenke – onoliko koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dvije u svakom). Konačni odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način. Brojeve množimo ne vodeći računa o decimalnoj točki, odnosno 75 množimo sa 16. Dobiveni rezultat treba sadržavati isti broj predznaka iza decimalne zareze koliko ih ima u oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75∙1,6=120,0=120.

Množenje decimalnih razlomaka počinjemo množenjem prirodnih brojeva, budući da ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije decimale, a drugi također dvije. Ukupno, rezultat bi trebao biti četiri znamenke nakon decimalne točke: 4,72∙5,04=23,7888.

Prijeđimo na proučavanje sljedeće radnje s decimalnim razlomcima, sada ćemo sveobuhvatno pogledati množenje decimala. Prvo, raspravimo opća načela množenja decimala. Nakon toga ćemo prijeći na množenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom, pokazat ćemo kako se decimalni razlomci množe stupcem i razmotrit ćemo rješenja primjera. Zatim ćemo pogledati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebno s 10, 100 itd. Na kraju, razgovarajmo o množenju decimala razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi obrađeni su u člancima množenje racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opći principi množenja decimala

Razmotrimo opća načela kojih se treba pridržavati pri množenju s decimalama.

Budući da su konačne decimale i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik običnih razlomaka, množenje takvih decimala u biti je množenje običnih razlomaka. Drugim riječima, množenje konačnih decimala, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, i množenje periodičnih decimala svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Pogledajmo primjere primjene navedenog principa množenja decimalnih razlomaka.

Primjer.

Pomnožite decimale 1,5 i 0,75.

Riješenje.

Zamijenimo decimalne razlomke koji se množe odgovarajućim običnim razlomcima. Kako je 1,5=15/10 i 0,75=75/100, tada je . Možete smanjiti razlomak, zatim izolirati cijeli dio od nepravog razlomka, a prikladnije je zapisati dobiveni obični razlomak 1,125/1,000 kao decimalni razlomak 1,125.

Odgovor:

1,5·0,75=1,125.

Treba napomenuti da je prikladno množiti konačne decimalne ulomke u stupcu; o ovoj metodi množenja decimalnih ulomaka ćemo govoriti u.

Pogledajmo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Primjer.

Izračunajte umnožak periodičnih decimalnih razlomaka 0,(3) i 2,(36) .

Riješenje.

Pretvorimo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Zatim . Možete pretvoriti dobiveni obični razlomak u decimalni razlomak:

Odgovor:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Ako među umnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačno neperiodičnih, tada sve umnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu znamenku (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim pomnožite konačne decimalne razlomke dobivene nakon zaokruživanja.

Primjer.

Pomnožite decimale 5,382... i 0,2.

Riješenje.

Prvo, zaokružimo beskonačni neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može učiniti na stotinke, imamo 5,382...≈5,38. Konačni decimalni razlomak 0,2 nije potrebno zaokružiti na najbližu stotinku. Dakle, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Ostaje još izračunati umnožak konačnih decimalnih razlomaka: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Odgovor:

5,382…·0,2≈1,076.

Množenje decimalnih razlomaka po stupcu

Množenje konačnih decimalnih razlomaka može se izvesti u stupcu, slično množenju prirodnih brojeva u stupcu.

Idemo formulirati pravilo za množenje decimalnih razlomaka stupcem. Da biste decimalne razlomke pomnožili stupcem, trebate:

• ne pazeći na zareze izvoditi množenje po svim pravilima množenja sa stupcem prirodnih brojeva;
• u dobivenom broju odvojite decimalnom točkom s desne strane onoliko znamenki koliko ima decimalnih mjesta u oba faktora zajedno, a ako nema dovoljno znamenaka u umnošku, tada s lijeve strane treba dodati potreban broj nula.

Pogledajmo primjere množenja decimalnih razlomaka stupcima.

Primjer.

Pomnožite decimale 63,37 i 0,12.

Riješenje.

Pomnožimo decimalne razlomke u stupcu. Prvo množimo brojeve, zanemarujući zareze:

Sve što ostaje je dodati zarez dobivenom proizvodu. Ona treba odvojiti 4 znamenke udesno, jer faktori imaju ukupno četiri decimalna mjesta (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Tamo ima dovoljno brojeva, tako da ne morate dodavati nule lijevo. Završimo snimanje:

Kao rezultat, imamo 3,37·0,12=7,6044.

Odgovor:

3,37·0,12=7,6044.

Primjer.

Izračunajte umnožak decimala 3,2601 i 0,0254.

Riješenje.

Izvršivši množenje u stupcu bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:

Sada u proizvodu trebate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, budući da je ukupan broj decimalnih mjesta umnoženih razlomaka osam. Ali proizvod ima samo 7 znamenki, stoga trebate dodati onoliko nula s lijeve strane kako biste 8 znamenki mogli odvojiti zarezom. U našem slučaju, moramo dodijeliti dvije nule:

Time je završeno množenje decimalnih razlomaka po stupcu.

Odgovor:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Množenje decimala s 0,1, 0,01 itd.

Vrlo često morate množiti decimalne razlomke s 0,1, 0,01 i tako dalje. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka ovim brojevima, što proizlazi iz gore razmotrenih načela množenja decimalnog razlomka.

Tako, množenje zadane decimale s 0,1, 0,01, 0,001 i tako dalje daje razlomak koji se dobije od izvornog ako se u njegovom zapisu zarez pomakne ulijevo za 1, 2, 3 i tako redom znamenke, a ako nema dovoljno znamenki za pomicanje zareza, tada treba dodajte potreban broj nula s lijeve strane.

Na primjer, da biste decimalni razlomak 54,34 pomnožili s 0,1, morate pomaknuti decimalni zarez u razlomku 54,34 ulijevo za 1 znamenku, što će vam dati razlomak 5,434, odnosno 54,34·0,1=5,434. Navedimo još jedan primjer. Pomnožite decimalni razlomak 9,3 s 0,0001. Da bismo to učinili, trebamo pomaknuti decimalnu točku 4 znamenke ulijevo u umnoženom decimalnom razlomku 9.3, ali zapis razlomka 9.3 ne sadrži toliko znamenki. Stoga, trebamo dodijeliti toliko nula lijevo od razlomka 9.3 da možemo lako premjestiti decimalnu točku na 4 znamenke, imamo 9.3·0.0001=0.00093.

Imajte na umu da navedeno pravilo za množenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, ... vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0.(18)·0,01=0,00(18) ili 93,938…·0,1=9,3938… .

Množenje decimale prirodnim brojem

U svojoj srži množenje decimala prirodnim brojevima ne razlikuje se od množenja decimale decimalom.

Najprikladnije je konačni decimalni razlomak pomnožiti s prirodnim brojem u stupcu; u tom slučaju treba se pridržavati pravila množenja decimalnih razlomaka u stupcu, o kojima se raspravljalo u jednom od prethodnih odlomaka.

Primjer.

Izračunaj umnožak 15·2.27.

Riješenje.

Pomnožimo prirodni broj decimalnim razlomkom u stupcu:

Odgovor:

15·2,27=34,05.

Pri množenju periodičkog decimalnog razlomka prirodnim brojem periodični razlomak treba zamijeniti običnim razlomkom.

Primjer.

Pomnožite decimalni razlomak 0.(42) s prirodnim brojem 22.

Riješenje.

Prvo, pretvorimo periodični decimalni razlomak u obični razlomak:

Sada izvršimo množenje: . Ovaj decimalni rezultat je 9,(3) .

Odgovor:

0,(42)·22=9,(3) .

A kada množite beskonačni neperiodični decimalni ulomak s prirodnim brojem, prvo morate izvršiti zaokruživanje.

Primjer.

Pomnožite 4·2,145….

Riješenje.

Zaokruživanjem izvornog beskonačnog decimalnog razlomka na stotinke dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Odgovor:

4·2,145…≈8,60.

Množenje decimale s 10, 100, ...

Vrlo često morate množiti decimalne razlomke s 10, 100, ... Stoga je preporučljivo detaljno se zadržati na ovim slučajevima.

Izrazimo to pravilo za množenje decimalnog razlomka s 10, 100, 1000 itd. Kada množite decimalni razlomak s 10, 100, ... u njegovom zapisu, trebate pomaknuti decimalni zarez udesno na 1, 2, 3, ... znamenke, odnosno, i odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako zapis razlomka koji se množi nema dovoljno znamenki za pomicanje decimalne točke, tada trebate dodati potreban broj nula s desne strane.

Primjer.

Pomnožite decimalni razlomak 0,0783 sa 100.

Riješenje.

Pomaknimo razlomak 0,0783 dvije znamenke udesno i dobit ćemo 007,83. Ispuštanje dvije nule s lijeve strane daje decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783·100=7,83.

Odgovor:

0,0783·100=7,83.

Primjer.

Pomnožite decimalni razlomak 0,02 s 10 000.

Riješenje.

Da bismo pomnožili 0,02 s 10 000, decimalnu točku moramo pomaknuti za 4 znamenke udesno. Očito je da u razlomku 0,02 nema dovoljno znamenki za pomicanje decimalne točke za 4 znamenke, pa ćemo dodati nekoliko nula s desne strane kako bi se decimalna točka mogla pomaknuti. U našem primjeru dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon pomicanja zareza dobivamo unos 00200.0. Odbacivanjem nula s lijeve strane, imamo broj 200,0, koji je jednak prirodnom broju 200, koji je rezultat množenja decimalnog razlomka 0,02 s 10 000.

U srednjim i srednjim školama učenici su obrađivali temu “Razlomci”. Međutim, ovaj koncept je puno širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno gledano, frakcijski brojevi nastali su iz potrebe za mjerenjem. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri određivanja duljine segmenta i volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju s pojmom dionice. Na primjer, ako lubenicu podijelite na 8 dijelova, tada će svaka osoba dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj dio od osam naziva se dionica.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se pola; ⅓ - trećina; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Obični razlomak dijelimo na brojnik i nazivnik. Između njih je razlomačka traka, odnosno razlomka. Razlomačka crta može se nacrtati kao vodoravna ili kosa crta. U u ovom slučaju predstavlja znak dijeljenja.

Nazivnik predstavlja na koliko je jednakih dijelova količina ili predmet podijeljen; a brojnik koliko je istih dionica uzeto. Brojnik je napisan iznad crte razlomka, a nazivnik ispod nje.

Najprikladnije je obične razlomke prikazati na koordinatnoj zraci. Ako je jedinični segment podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično pismo, tada rezultat može biti izvrsna vizualna pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog jediničnog segmenta, a točka B označava 2/8 danog segmenta.

Vrste razlomaka

Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomke možemo podijeliti na prave i neprave. Ova klasifikacija je prikladnija za obične razlomke.

Pravi razlomak je broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Odnosno, nepravi razlomak- broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Drugi tip se obično piše kao mješoviti broj. Ovaj izraz sastoji se od cijelog i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli dio, ½ - frakcijski. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjivanje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan razlomački izraz uvijek je manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, mislimo na zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik izraza razlomka može izraziti kao jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak pravilan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti jednak nuli.

Da biste napisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati izraz razlomka. Treba imati na umu da nakon decimalne točke brojnik mora sadržavati isti broj digitalnih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Izrazite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

U odgovoru na zadatak nije ispravno pisati nepravi razlomak, pa ga je potrebno pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• V konkretan primjer nepotpuni kvocijent – ​​cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravi razlomak u mješoviti broj: 47 / 5.

Riješenje. 47: 5. Djelomični kvocijent je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Tada morate koristiti sljedeći algoritam:

• cjelobrojni dio množi se nazivnikom frakcijskog izraza;
• dobiveni umnožak dodaje se brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Predstavite broj u mješovitom obliku kao nepravi razlomak: 9 8 / 10.

Riješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje razlomaka

Nad običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od umnoška razlomački brojevi s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaženja rezultata morate smanjiti frakciju. Imperativ je pojednostaviti dobiveni izraz što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je netočan razlomak u odgovoru pogreška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja umnoška dobiva se reducibilni razlomački zapis. I brojnik i nazivnik u ovom su slučaju podijeljeni s 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom je principu sasvim drugačiji od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je sljedeće:

• dva decimalna razlomka moraju biti napisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• napisane brojeve treba množiti, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• brojati broj znamenki iza decimalne točke u svakom broju;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je s desne strane izbrojati onoliko digitalnih simbola koliko je sadržano u zbroju u oba faktora iza decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako u umnošku ima manje brojeva, ispred njih treba napisati onoliko nula da pokriju taj broj, staviti zarez i dodati cijeli dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte umnožak dva decimalna razlomka: 2,25 i 3,6.

Riješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Za izračun umnoška dva mješovite frakcije, trebate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvarati mješovite brojeve u neprave razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2/5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnoška dvaju razlomaka i mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima treba množiti s razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upišite broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći proizvod unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu zarezom odvojite cijeli broj od razlomka, računajući s desne strane broj znamenki koje se nalaze iza decimalne točke u razlomku.

Za množenje običnog razlomka s brojem potrebno je pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako odgovor daje razlomak koji se može smanjiti, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunajte umnožak 5/8 i 12.

Riješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno reducirati dobiveni rezultat i pretvoriti netočan frakcijski izraz u mješoviti broj.

Množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli dio mješovitog faktora pomnožiti s brojem, brojnik pomnožiti s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim. Ako je potrebno, morate pojednostaviti dobiveni rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak broja 9 5 / 6 i 9.

Riješenje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo proizlazi iz prethodnog odlomka. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., morate decimalni zarez pomaknuti udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u faktoru iza jedinice.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Riješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak broja 3,9 i 1000.

Riješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebate pomaknuti zarez u rezultirajućem umnošku ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Po potrebi se ispred prirodnog broja upisuje dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak broja 56 i 0,01.

Riješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Riješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje umnoška različitih frakcija ne bi trebalo izazvati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

U prošloj lekciji smo naučili kako zbrajati i oduzimati decimale (vidi lekciju “Zbrajanje i oduzimanje decimala”). Istodobno smo procijenili koliko su izračuni pojednostavljeni u usporedbi s običnim "dvokatnim" razlomcima.

Nažalost, ovaj se učinak ne pojavljuje kod množenja i dijeljenja decimala. U nekim slučajevima decimalni zapis čak komplicira te operacije.

Prvo, uvedimo novu definiciju. Viđat ćemo ga dosta često, i to ne samo u ovoj lekciji.

Značajni dio broja je sve između prve i zadnje znamenke koja nije nula, uključujući krajeve. Riječ je o samo o brojevima, decimalna točka se ne uzima u obzir.

Znamenke uključene u značajni dio broja nazivaju se značajnim znamenkama. Mogu se ponavljati i čak biti jednaki nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna brojka: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikamo. Već smo se susreli s nečim sličnim kada smo učili pretvarati decimalne razlomke u obične (vidi lekciju “Decimale”).

Ova točka je toliko važna, a pogreške se ovdje tako često čine, da ću u bliskoj budućnosti objaviti test na ovu temu. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, nastavit ćemo, zapravo, s temom lekcije.

Množenje decimala

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak napiši značajni dio. Dobit ćete dva obična cijela broja - bez ikakvih nazivnika i decimalnih točaka;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Izravno, ako su brojevi mali, ili u stupcu. Dobivamo značajan dio željene frakcije;
3. Saznajte gdje je i za koliko znamenki decimalna točka u izvornim razlomcima pomaknuta da bi se dobio odgovarajući značajni dio. Izvršite obrnute pomake za značajan dio dobiven u prethodnom koraku.

Još jednom vas podsjećam da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Ignoriranje ovog pravila dovodi do pogrešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0,28 · 12,5.

1. Ispišimo značajne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov umnožak: 28 · 125 = 3500;
3. U prvom faktoru decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom je pomaknuta za još 1 znamenku. Ukupno vam je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3500 = 3,5.

Sada pogledajmo izraz 6.3 · 1.08.

1. Ispišimo značajne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov umnožak: 63 · 108 = 6804;
3. Opet dva pomaka udesno: za 2 odnosno 1 znamenku. Ukupno - opet 3 znamenke udesno, tako da će obrnuti pomak biti 3 znamenke ulijevo: 6804 → 6,804. Ovaj put nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 · 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325. i 34.;
2. Njihov umnožak: 1325 · 34 = 45 050;
3. U prvom se razlomku decimalna točka pomiče udesno za 1 znamenku, au drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Pomaknemo se za 5 ulijevo: 45,050 → ,45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju, a dodana naprijed kako ne bi ostala “gola” decimalna točka.

Sljedeći izraz je: 0,0108 · 1600,5.

1. Zapisujemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve iza decimalne točke: u prvom broju je 4, u drugom je 1. Ukupno je opet 5. Imamo: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “extra” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5,25 10,000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 · 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10 000 → 1,0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 znamenke udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

Napomena u posljednjem primjeru: budući da se decimalna točka pomiče u različitim smjerovima, ukupni pomak se nalazi kroz razliku. Ovo je vrlo važna točka! Evo još jednog primjera:

Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). „Koračimo“ 1 znamenku udesno, a zatim 2 ulijevo. Kao rezultat, pomaknuli smo se 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalno dijeljenje

Podjela je možda najteža operacija. Naravno, ovdje možete djelovati analogno množenju: podijelite značajne dijelove, a zatim "pomaknite" decimalnu točku. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalne uštede.

Pa pogledajmo univerzalni algoritam, koji je malo duži, ali mnogo pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak s "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, ponovno predstavite rezultat kao decimalni razlomak. Ovaj je korak također brz, budući da je nazivnik često već potencija broja deset.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo razlomke u decimale:

Učinimo isto s drugim izrazom. Brojnik prvog razlomka će se ponovno faktorizirati:

U trećem i četvrtom primjeru postoji važna točka: nakon uklanjanja decimalnog zapisa pojavljuju se reduktibilni razlomci. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer brojnik drugog razlomka sadrži prost broj. Ovdje se jednostavno nema što faktorizirati, pa to odmah razmatramo:

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o zadnjem primjeru). U tom slučaju treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, prilikom dijeljenja često nastaju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Ovo razlikuje dijeljenje od množenja, gdje su rezultati uvijek predstavljeni u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju zadnji korak se opet ne izvodi.

Obratite pozornost i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. U suprotnom, ovo će zakomplicirati inverzni zadatak - ponovno predstavljanje konačnog odgovora u decimalnom obliku.

Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svugdje i uvijek, u svakoj prilici.