U ovom ćemo članku pogledati nepotpuno rješavanje kvadratne jednadžbe.

Ali prvo, ponovimo koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kojem slučaju dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, tada je ax 2 = 0.

• Hajde da smislimo kako riješiti jednadžbe oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo riješili jednadžbu, pomaknemo slobodni član c na desnu stranu jednadžbe, dobivamo

sjekira 2 = ‒s. Budući da je a ≠ 0, obje strane jednadžbe dijelimo s a, tada je x 2 = ‒c/a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednadžba ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako –c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo s primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednadžbu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primjer 2. Riješite jednadžbu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: jednadžba nema rješenja.

• Smislimo kako to riješiti jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrade, dobivamo x(ax + b) = 0. Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednadžbe ax + b = 0 dobivamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako rješenje jednadžbi ovog tipa izgleda na dijagramu.

Učvrstimo naše znanje konkretnim primjerom.

Primjer 3. Riješite jednadžbu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ili 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednadžbe trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, tada je x 2 = 0. Jednadžba ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, pogledajmo dijagram.

Uvjerimo se kod rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu vrlo jednostavno riješiti.

Primjer 4. Riješite jednadžbu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješite jednadžbu

Pomnožimo obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom, to jest s 30

Skratimo to

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Otvorimo zagrade

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo slično

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća s takvim zadacima. Budite oprezni pri određivanju vrste nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja o ovoj temi, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti probleme koji se pojave.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Pogledajmo sve detaljno: bit i snimanje kvadratne jednadžbe, definiramo pridružene pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpune jednadžbe, upoznajmo se s formulom korijena i diskriminante, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, a naravno da ćemo vizualno riješiti praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je u biti kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer za ilustraciju dana definicija: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada koristite kratki oblik zapisi poput 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na temelju vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Navedimo primjere: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 u kojima je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i zadana nereducirana jednadžba ili također nemaju korijena uopće.

Obzir konkretan primjer omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da je na a = 0 bitno se pretvara u Linearna jednadžba b x + c = 0.

U slučaju kada koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbe – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, ova jednadžba odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pri c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 =0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x 2 = 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednadžbe a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu premještanjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotni i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• prijenos c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, završavamo s x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne; prema tome, rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 = - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati metodom kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za gore navedene korijene kao x 1 I − x 1. Uzmimo da i jednadžba x 2 = - c a ima korijen x 2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , a za x 2- x 2 2 = - c a . Na temelju svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan točan član po član jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizlazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema korijena osim x = - c a i x = - - c a.

Sažmimo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Riješenje

Pomaknimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane dobivene jednadžbe s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Jednadžbu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x 2 = 36. Na desnoj strani - pozitivan broj, odavde to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvucimo korijen i zapišimo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x 2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = − 6.

Odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristit ćemo se metodom faktorizacije. Faktorizirajmo polinom koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x = 0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riješenje

Izvadit ćemo ga x izvan zagrada dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje je D = b 2 − 4 a c– tzv. diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u biti znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različit od nule, dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Na kraju transformiramo izraz napisan s desne strane posljednje jednakosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tako dolazimo do jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi ispitali smo u prethodnim odlomcima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c naveden je naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definirano kao njegova oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - na temelju njene vrijednosti i predznaka mogu zaključiti hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koji je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminantni zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulirajmo ponovno naše zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. I, kada proširimo module i smanjimo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju određivanje oba stvarna korijena kada je diskriminant veći od nule. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule će dati isti korijen, kao jedina odluka kvadratna jednadžba. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja Korijen iz negativan broj, što će nas odvesti dalje od stvarnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah pomoću formule za korijen, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe najprije odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračun vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminirajuću vrijednost;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0, pronađite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - b 2 · a ;
• za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenje primjera za različita značenja diskriminirajući.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobivamo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x = - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo dobiveni izraz izuzimanjem faktora iz znaka korijena i zatim smanjenjem razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Treba riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednadžbu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminanta je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći akcije s kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski plan i program Ne postoji standardni zahtjev za traženje kompleksnih korijena, stoga, ako se tijekom rješavanja utvrdi da je diskriminant negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili s koeficijentom oblika 2 · n, npr. 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo formulu korijena:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra s drugim koeficijentom 2 · n imati oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, odnosno D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a · c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 = 0, odredite jedini korijen jednadžbe pomoću formule x = - n a;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe možemo prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 očito je prikladnije riješiti nego 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezinih obje strane s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivene dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Zatim obje strane jednadžbe obično podijelimo s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegove koeficijente.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U tom se slučaju množe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti zapisan u više u jednostavnom obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek rješavamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane s −1. Na primjer, od kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, nama već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednadžbe kroz njene numeričke koeficijente. Na temelju ove formule imamo priliku specificirati druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent sa suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći brojne druge veze između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kvadratne jednadžbe često se pojavljuju pri rješavanju raznih problema u fizici i matematici. U ovom članku ćemo pogledati kako te jednakosti riješiti na univerzalan način “preko diskriminante”. U članku su također navedeni primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednadžbama ćemo govoriti?

Slika ispod prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" se pojavljuje prije varijable x na kvadrat. To je najveća snaga predstavljenog izraza, zbog čega se naziva kvadratna jednadžba. Često se koristi njezin drugi naziv: jednadžba drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (stoji uz kvadrat varijable), b je linearni koeficijent (nalazi se uz varijablu podignutu na prvu potenciju), i na kraju, broj c je slobodni član.

Imajte na umu da je vrsta jednadžbe prikazana na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Osim nje, postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b i c mogu biti nula.

Kada se postavlja zadatak rješavanja predmetne jednakosti, to znači da treba pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje, prva stvar koju trebate zapamtiti je sljedeća stvar: budući da je maksimalni stupanj X 2, onda ovaj tip izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako su pri rješavanju jednadžbe pronađene 2 vrijednosti x koje ga zadovoljavaju, tada možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamijenivši ga umjesto x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezini korijeni.

Metode rješavanja jednadžbi drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. U školski tečaj algebre smatraju 4 razne metode rješenja. Nabrojimo ih:

• korištenje faktorizacije;
• korištenje formule za savršeni kvadrat;
• primjenom grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
• koristeći diskriminantnu jednadžbu.

Prednost prve metode je njezina jednostavnost, no ne može se koristiti za sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda razlikuje se po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminantne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednadžbe drugog reda. Stoga ćemo u ovom članku razmotriti samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Obratimo se Opća pojava kvadratna jednadžba. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije nego što upotrijebite metodu rješavanja "kroz diskriminant", jednakost uvijek trebate dovesti u pisani oblik. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tada prvo trebate premjestiti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati članove koji sadrže varijablu x u iste ovlasti.

U u ovom slučaju ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednadžbi 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevu i desnu stranu jednakost po -1).

U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi jednakosti koji se razmatraju uvijek zbrajaju, pa ako se pojavi znak “-”, to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.

Nakon što smo ispitali ovu točku, prijeđimo sada na samu formulu, koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao ovaj prikazan na fotografiji ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućuje da dobijete dva korijena (obratite pozornost na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je zamijeniti koeficijente b, c i a u njega.

Pojam diskriminante

U prethodnom odlomku dana je formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantom, odnosno D = b²-4*a*c.

Zašto je ovaj dio formule istaknut, pa čak i jest ispravno ime? Činjenica je da diskriminant povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Posljednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti na sljedećem popisu:

1. D>0: Jednadžba ima 2 različita rješenja, od kojih su oba realni brojevi.
2. D=0: Jednadžba ima samo jedan korijen i to je realan broj.

Zadatak određivanja diskriminacije

Dajmo jednostavan primjer kako pronaći diskriminant. Neka je dana sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Dovedimo to u standardni oblik, dobivamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, odakle dolazimo do jednakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.

Sada možete koristiti gornju formulu za diskriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da u primjeru diskriminant manje od nule, onda možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema pravih korijena. Njegovo rješenje bit će samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminantu

Riješimo probleme malo drugačijeg tipa: s obzirom na jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći vrijednosti c za koje je D>0.

U ovom slučaju poznata su samo 2 od 3 koeficijenta, pa se ne može izračunati točna vrijednost diskriminante, ali se zna da je pozitivna. Posljednju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednadžbe: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješavanjem dobivene nejednadžbe dolazi se do rezultata: c>-3.

Provjerimo dobiveni broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava dobiveni rezultat (-2>-3), odgovarajuća diskriminanta će imati vrijednost: D = 12>0. S druge strane, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4. Dakle, svaki broj c koji je veći od -3 će zadovoljiti uvjet.

Primjer rješavanja jednadžbe

Predstavimo problem koji uključuje ne samo pronalaženje diskriminante, već i rješavanje jednadžbe. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.

U ovom primjeru diskriminant je sljedeća vrijednost: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada će se korijeni jednadžbe odrediti na sljedeći način: x = (9±√137)/(-4). Ovo su točne vrijednosti korijena; ako približno izračunate korijen, tada ćete dobiti brojeve: x = -5,176 i x = 0,676.

Geometrijski problem

Riješimo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminante, već i korištenje vještina apstraktnog razmišljanja i znanja o tome kako napisati kvadratne jednadžbe.

Bob je imao poplun veličine 5 x 4 metra. Dječak je želio sašiti kontinuiranu traku od lijepa tkanina. Koliko će ta traka biti debela ako znamo da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu x m, tada je površina tkanine duga strana deka će biti (5+2*x)*x, a budući da ima 2 dugačke strane, imamo: 2*x*(5+2*x). Na kraćoj strani, površina sašivenog materijala bit će 4*x, budući da postoje 2 te strane, dobivamo vrijednost 8*x. Imajte na umu da je vrijednost 2*x dodana dužoj strani jer se duljina pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine zašivene na pokrivač je 10 m². Stoga dobivamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ovaj primjer, diskriminant je jednak: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Pomoću formule nalazimo tražene korijene: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Očito je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan prema uvjetima problema.

Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoju deku biti široka 50 cm.

U moderno društvo sposobnost izvođenja operacija s jednadžbama koje sadrže varijablu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i naširoko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. Dokazi za to mogu se naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Koristeći takve izračune, putanje kretanja većine različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu vam zatrebati na planinarenju, na sportskim događajima, u trgovinama pri kupnji iu drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Određuje se stupanj jednadžbe maksimalna vrijednost stupanj varijable koju ovaj izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, tada se naznačeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada lijeva strana izraz se sastoji od tri pojma. Među njima su: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, s izuzetkom osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Prvo treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda tako da izraz s desne strane ima dva člana, točnije ax 2 i bx, x ćete najlakše pronaći stavljanjem varijable izvan zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Dalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Ovakvim jednadžbama može se opisati kretanje tijela pod utjecajem gravitacije, koja su se počela kretati od određene točke uzete kao ishodište koordinata. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje protekne od trenutka kada se tijelo digne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o ovome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje više rješavanja ovih problema teški slučajevi. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpuna. Prvo transformirajmo izraz i faktoriziraj ga. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 3.

Korijen

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugi red je izraz predstavljen u jeziku slova na način da je desna strana izgrađena od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni član prenosi na desnu stranu, a nakon toga se izvlači kvadratni korijen s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže član s, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike određen potrebom da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutna parcela zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta ako znate da je njegova površina 612 m2.

Za početak, kreirajmo potrebnu jednadžbu. Označimo s x širinu površine, tada će njezina duljina biti (x+16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x(x+16) koji prema uvjetima našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravimo potrebne transformacije izgled ovog izraza će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante. Ovdje potrebne kalkulacije proizvode se prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućuje pronalaženje potrebnih veličina u jednadžbi drugog reda, već određuje količinu moguće opcije. Ako je D>0, dva su; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je jednak: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću donje formule. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj nedoumici ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 m. +16=34, a opseg 2(34+ 18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premjestimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobit ćemo onu vrstu jednadžbe koja se obično naziva standardnom i izjednačimo je s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajajući slične, određujemo diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada riješimo misterije druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili opsežan odgovor, svedimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer to uopće nije bit problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Prikladno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen uzima iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobila po čovjeku koji je živio u 16. stoljeću u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da se korijeni jednadžbe numerički zbrajaju na -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Upotrijebimo Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se te vrijednosti varijable doista uklapaju u izraz.

Parabolni graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su navedeni ranije. Pogledajmo sada malo detaljnije neke matematičke zagonetke. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takav odnos, nacrtan kao grafikon, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći pomoću upravo navedene formule x 0 = -b/2a. I zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinata.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je sjecište grafa s osi 0x za a>0 moguće samo ako 0 poprima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A znajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je konstruirati grafikon.

Iz povijesti

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo radili matematičke izračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi izračuni bili potrebni za velika otkrića u poljima fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. To se dogodilo četiri stoljeća prije naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su radikalno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje svaki moderni školarac zna.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednadžbe. To se dogodilo oko osam stoljeća prije Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u davna vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svojim radovima koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Diskriminantom se rješavaju samo potpune kvadratne jednadžbe, dok se za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednadžbe nazivaju potpunima? Ovaj jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu, moramo izračunati diskriminantu D.

D = b 2 – 4ac.

Ovisno o vrijednosti diskriminante, zapisat ćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednadžbu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednadžbu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi pomoću dijagrama na slici 1.

Pomoću ovih formula možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo trebaš paziti da jednadžba je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, kada pišete jednadžbu x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno zaključiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada je

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A ovo nije istina. (Pogledajte rješenje za primjer 2 gore).

Dakle, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom s najvećim eksponentom treba biti prvi, tj. A x 2 , zatim s manje – bx a zatim slobodan član S.

Kod rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Upoznajmo se s ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), tada možete riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednak je jedan i jednadžba poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva se jednadžba može dati za rješenje ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom A, stoji na x 2 .

Slika 3 prikazuje dijagram za rješavanje reduciranog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednadžbu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočimo da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi s 3 i izvođenjem dijeljenja dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednadžbu pomoću formula za reduciranu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe slika 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednadžbe pomoću različitih formula dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito svladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.