Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019). Formule pour le nième terme d'une progression arithmétique

Ajouts algébriques.

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n. Une matrice inverse ne peut exister que pour les matrices carrées. Objet de la prestation. Grâce à ce service en ligne, vous pouvez trouver des compléments algébriques, une matrice transposée A T, une matrice alliée et une matrice inverse. La décision s'effectue directement sur le site internet (en ligne) et est gratuite. Les résultats du calcul sont présentés dans un rapport au format Word et Excel (c'est-à-dire qu'il est possible de vérifier la solution). voir exemple de conception. Instructions. Pour obtenir une solution, il faut préciser la dimension de la matrice. Ensuite, remplissez la matrice A dans la nouvelle boîte de dialogue. Dimension matricielle 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Voir aussi Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss Algorithme pour trouver la matrice inverse Trouver la matrice transposée A T . Définition des compléments algébriques. Remplacez chaque élément de la matrice par son complément algébrique. Compilation matrice inverseà partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice résultante est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine. Suivant algorithme pour trouver la matrice inverse similaire au précédent à quelques étapes près : d’abord les compléments algébriques sont calculés, puis la matrice alliée C est déterminée. Déterminez si la matrice est carrée. Sinon, il n’existe pas de matrice inverse pour cela. Calcul du déterminant de la matrice A. Si elle n'est pas égale à zéro, on continue la solution, sinon la matrice inverse n'existe pas. Définition des compléments algébriques. Remplir la matrice d'union (mutuelle, adjointe) C . Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice adjointe C est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine. Ils font une vérification : ils multiplient les matrices originales et résultantes. Le résultat devrait être une matrice d’identité. Exemple n°1. Écrivons la matrice sous la forme :

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

UNE 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

UNE 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

UNE 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

UNE 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

UNE 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Alors matrice inverse peut s'écrire sous la forme :

A-1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un autre algorithme pour trouver la matrice inverse

Présentons un autre schéma pour trouver la matrice inverse.

1. Trouver le déterminant d'une matrice carrée A donnée.
2. On trouve des compléments algébriques à tous les éléments de la matrice A.
3. Nous écrivons des ajouts algébriques d'éléments de ligne aux colonnes (transposition).
4. On divise chaque élément de la matrice résultante par le déterminant de la matrice A.

Comme on peut le voir, l’opération de transposition peut s’appliquer aussi bien au début, sur la matrice originale, qu’à la fin, sur les additions algébriques résultantes.

Cas particulier: L'inverse de la matrice identité E est la matrice identité E.

Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... est une progression arithmétique car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées croissant.

Cependant, \(d\) peut aussi être nombre négatif. Par exemple, en progression arithmétique \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression sont appelés membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre qu'une progression arithmétique, mais avec un index numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes de progression arithmétique

En principe, les informations présentées ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Recherchez \(b_5\).
Solution:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62; 49; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression..
Solution:

	On nous donne les premiers éléments de la séquence et savons qu'il s'agit d'une progression arithmétique. Autrement dit, chaque élément diffère de son voisin par le même nombre. Découvrons lequel en soustrayant le précédent de l'élément suivant : \(d=49-62=-13\).
	Nous pouvons maintenant restaurer notre progression vers le (premier élément négatif) dont nous avons besoin.
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Étant donné plusieurs éléments consécutifs d'une progression arithmétique : \(…5; x; 10; 12.5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Solution:

	Pour trouver \(x\), nous devons savoir à quel point l’élément suivant diffère du précédent, c’est-à-dire la différence de progression. Trouvons-le à partir de deux éléments voisins connus : \(d=12.5-10=2.5\).
	Et maintenant, nous pouvons facilement trouver ce que nous cherchons : \(x=5+2.5=7.5\).
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est définie par les conditions suivantes : \(a_1=-11\) ; \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:

Nous devons trouver la somme des six premiers termes de la progression. Mais nous ne connaissons pas leur signification ; on ne nous donne que le premier élément. On calcule donc d’abord les valeurs une à une, en utilisant ce qui nous est donné : \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Et après avoir calculé les six éléments dont nous avons besoin, nous trouvons leur somme.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Le montant requis a été trouvé.

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Solution:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes pour la progression arithmétique

Comme vous pouvez le constater, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres, et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (le différence de progression).

Cependant, il arrive parfois que prendre une décision « frontale » soit très gênant. Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Devons-nous ajouter quatre \(385\) fois ? Ou imaginez que dans l’avant-dernier exemple, vous deviez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous en aurez marre de compter...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas les problèmes de manière frontale, mais utilisent des formules spéciales dérivées de la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme des \(n\) premiers termes.

Formule du \(n\)ième terme : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) – terme de la progression de numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement même le trois centième ou le millionième élément, en ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Recherchez \(b_(246)\).
Solution:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) – le dernier terme additionné ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(a_n=3.4n-0.6\). Trouver la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Solution:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pour calculer la somme des vingt-cinq premiers termes, nous devons connaître la valeur du premier et du vingt-cinquième termes. Notre progression est donnée par la formule du nième terme en fonction de son numéro (pour plus de détails, voir). Calculons le premier élément en substituant un à \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Trouvons maintenant le vingt-cinquième terme en substituant vingt-cinq au lieu de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Eh bien, nous pouvons maintenant facilement calculer le montant requis.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) remplacez-le par la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On obtient :

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise des premiers éléments \(n\) ;
\(a_1\) – le premier terme additionné ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) – nombre d’éléments au total.

Exemple. Trouver la somme des premiers termes \(33\)-ex de la progression arithmétique : \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solution:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Vous disposez désormais de toutes les informations dont vous avez besoin pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels il faut non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\) ; \(-19\); \(-18,7\)…
Solution:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		La tâche est très similaire à la précédente. Nous commençons à résoudre la même chose : nous trouvons d’abord \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Maintenant, j'aimerais remplacer \(d\) dans la formule pour la somme... et voilà petite nuance– nous ne savons pas \(n\). En d’autres termes, nous ne savons pas combien de termes il faudra ajouter. Comment le savoir ? Réfléchissons. Nous arrêterons d’ajouter des éléments lorsque nous atteindrons le premier élément positif. Autrement dit, vous devez connaître le numéro de cet élément. Comment? Écrivons la formule pour calculer n'importe quel élément d'une progression arithmétique : \(a_n=a_1+(n-1)d\) pour notre cas.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Nous avons besoin que \(a_n\) devienne supérieur à zéro. Voyons à quel moment \(n\) cela va se produire.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Nous divisons les deux côtés de l’inégalité par \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		On transfère moins un, sans oublier de changer les panneaux
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calculons...
\(n>65 333…\)		...et il s'avère que le premier élément positif aura le numéro \(66\). En conséquence, le dernier négatif a \(n=65\). Juste au cas où, vérifions ça.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Nous devons donc ajouter les premiers éléments \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(65)=-630,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ième au \(42\) élément inclus.
Solution:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dans ce problème, vous devez également trouver la somme des éléments, mais en commençant non pas par le premier, mais par le \(26\)ième. Pour un tel cas, nous n’avons pas de formule. Comment décider ? C'est simple : pour obtenir la somme du \(26\)ème au \(42\)ème, vous devez d'abord trouver la somme du \(1\)ème au \(42\)ème, puis soustraire à partir de là, la somme du premier au \(25\)ième (voir photo).
	Pour notre progression \(a_1=-33\), et la différence \(d=4\) (après tout, ce sont les quatre qu'on ajoute à l'élément précédent pour trouver le suivant). Sachant cela, on trouve la somme des premiers éléments \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Maintenant la somme des premiers éléments \(25\).
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Et enfin, nous calculons la réponse.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Répondre: \(S=1683\).

Pour la progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.

Calculateur en ligne.
Résoudre une progression arithmétique.
Étant donné : a n , d, n
Trouver : un 1

Ce programme mathématique trouve \(a_1\) d'une progression arithmétique basée sur les nombres spécifiés par l'utilisateur \(a_n, d\) et \(n\).
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions. De plus, nombre fractionnaire peut être saisi sous forme de fraction décimale (\(2,5\)) et sous forme de fraction commune(\(-5\frac(2)(7)\)).

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.

Ce calculateur en ligne peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation essais et des examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs

en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie des chiffres
Les nombres \(a_n\) et \(d\) peuvent être spécifiés non seulement sous forme d'entiers, mais également sous forme de fractions.

Le nombre \(n\) ne peut être qu’un entier positif.
Règles de saisie des fractions décimales.
Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez saisir décimales

donc 2,5 ou alors 2,5
Règles de saisie des fractions ordinaires.

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Saisir:
Résultat : \(-\frac(2)(3)\)

Partie entière séparé de la fraction par une esperluette : &
Saisir:
Résultat : \(-1\frac(2)(3)\)

Entrez les chiffres a n , d, n

Trouver un 1

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Un peu de théorie.

Séquence numérique

Dans la pratique quotidienne, la numérotation de divers objets est souvent utilisée pour indiquer l'ordre dans lequel ils sont disposés. Par exemple, les maisons de chaque rue sont numérotées. Dans la bibliothèque, les abonnements des lecteurs sont numérotés puis classés par ordre de numéros attribués dans des fiches spéciales.

Dans une caisse d'épargne, en utilisant le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement retrouver ce compte et voir quel dépôt s'y trouve. Laissez le compte n° 1 contenir un dépôt de 1 roubles, le compte n° 2 contient un dépôt de 2 roubles, etc. séquence de nombres
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une N
où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé à un nombre a n.

Également étudié en mathématiques séquences de nombres infinies :
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ... .
Le nombre un 1 s'appelle premier terme de la suite, numéro un 2 - deuxième terme de la suite, numéro un 3 - troisième terme de la suite etc.
Le nombre a n s'appelle nième (énième) membre de la séquence, et l'entier naturel n est son nombre.

Par exemple, dans la suite de carrés d'entiers naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 = 1 est le premier terme de la suite ; et n = n 2 est nième mandat séquences ; a n+1 = (n + 1) 2 est le (n + 1)ème (n plus premier) terme de la séquence. Souvent, une séquence peut être spécifiée par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) définit la séquence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progression arithmétique

La durée de l'année est d'environ 365 jours. Une valeur plus précise est \(365\frac(1)(4)\) jours, donc tous les quatre ans, une erreur d'un jour s'accumule.

Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté toutes les quatre années et l’année prolongée est appelée année bissextile.

Par exemple, au troisième millénaire années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Dans cette séquence, chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre 4. De telles séquences sont appelées progressions arithmétiques.

Définition.
La suite de nombres a 1, a 2, a 3, ..., an n, ... est appelée progression arithmétique, si pour tout naturel n l'égalité
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
où d est un nombre.

De cette formule, il résulte que a n+1 - a n = d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.

Par définition d'une progression arithmétique on a :
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
où
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), où \(n>1 \)

Ainsi, chaque terme d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses deux termes adjacents. Ceci explique le nom de progression « arithmétique ».

Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés à l'aide de la formule récurrente a n+1 = a n + d. De cette façon, il n'est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression, cependant, par exemple, un 100 nécessitera déjà beaucoup de calculs. Généralement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de la progression arithmétique
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Du tout,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
parce que nième mandat la progression arithmétique s'obtient à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d.
Cette formule s'appelle formule pour le nième terme d'une progression arithmétique.

Somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Trouvez la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100.
Écrivons ce montant de deux manières :
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Additionnons ces égalités terme par terme :
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Cette somme comporte 100 termes
Par conséquent, 2S = 101 * 100, donc S = 101 * 50 = 5050.

Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire
une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n , ...
Soit S n la somme des n premiers termes de cette progression :
S n = une 1 , une 2 , une 3 , ..., une n
Alors la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est égale à
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Puisque \(a_n=a_1+(n-1)d\), alors en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver somme des n premiers termes d'une progression arithmétique:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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Oui, oui : la progression arithmétique n'est pas un jouet pour vous :)

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : SOOOOO !) savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence reste constante. Dans le troisième cas, il n’y a aucune racine. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que ordonné séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : le dernier exemple peut sembler trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout dépend ici uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques : (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Cela ressemblera à ceci :

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme on le voit, dans tout trois cas la différence s’est en fait avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est ça! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est aussi simple que de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est ça! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

La solution entière minimale de cette inégalité est le nombre 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à une stricte inégalité, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

Termes d'une progression arithmétique sur la droite numérique

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et notons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Les termes de la progression se situent à la même distance du centre

Qu’est-ce que cela signifie pour nous ? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Jetez un oeil :

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Puisque ces nombres sont membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : l'élément central $x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Il s'est avéré classique équation quadratique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse : 1 ; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

En général, en résolvant les derniers problèmes, nous sommes tombés sur un autre fait intéressant, qu'il faut également rappeler :

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l’avenir, comprendre cet énoncé nous permettra de « construire » littéralement les progressions nécessaires en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à nouveau à l'axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Il y a 6 éléments marqués sur la droite numérique

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple :

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à partir de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), alors les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Des indentations égales donnent des quantités égales

Comprendre ce fait nous permettra de résoudre les problèmes d'une manière fondamentalement plus haut niveau difficultés que celles que nous avons évoquées ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : j’ai pris le multiplicateur total de 11 sur la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches vers le haut :

calendrier fonction quadratique- parabole

Veuillez noter: valeur minimale cette parabole prend $((d)_(0))$ en son sommet en abscisse. Bien entendu, on peut calculer cette abscisse par schéma standard(il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet recherché se situe sur l'axe de symétrie du parabole, donc le point $((d) _(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L'abscisse est donc égale à la moyenne arithmétique des nombres −66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si on ne peut actuellement pas obtenir $y$ à partir des nombres $x$ et $z$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Un problème encore plus complexe, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais considérer quelques points relativement tâches simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tout est pareil :

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.

Quelle est l’essence principale de la formule ?

Cette formule permet de trouver n'importe lequel PAR SON NUMÉRO" n" .

Bien sûr, il faut aussi connaître le premier terme un 1 et différence de progression d eh bien, sans ces paramètres, vous ne pouvez pas écrire une progression spécifique.

Mémoriser (ou mémoriser) cette formule ne suffit pas. Vous devez comprendre son essence et appliquer la formule à divers problèmes. Et aussi de ne pas oublier au bon moment, oui...) Comment n'oublie pas- Je ne sais pas. Mais comment se souvenir Si nécessaire, je vous conseillerai certainement. Pour ceux qui terminent la leçon jusqu'à la fin.)

Regardons donc la formule du nième terme d'une progression arithmétique.

Qu'est-ce qu'une formule en général ? Au fait, jetez-y un œil si vous ne l’avez pas lu. Tout y est simple. Reste à savoir ce que c'est nième mandat.

Progression dans vue générale peut s'écrire sous la forme d'une série de nombres :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- désigne le premier terme d'une progression arithmétique, un 3- troisième membre, un 4- le quatrième, et ainsi de suite. Si le cinquième mandat nous intéresse, disons que nous travaillons avec un 5, si cent vingtième - s un 120.

Comment pouvons-nous le définir en termes généraux ? n'importe lequel terme d'une progression arithmétique, avec n'importe lequel nombre? Très simple ! Comme ça:

un

C'est ça nième terme d'une progression arithmétique. La lettre n masque tous les numéros de membre à la fois : 1, 2, 3, 4, etc.

Et que nous apporte un tel record ? Pensez-y, au lieu d'un numéro, ils ont écrit une lettre...

Cette notation nous donne un outil puissant pour travailler avec la progression arithmétique. Utiliser la notation un, on peut trouver rapidement n'importe lequel membre n'importe lequel progression arithmétique. Et résolvez un tas d’autres problèmes de progression. Vous verrez par vous-même plus loin.

Dans la formule du nième terme d'une progression arithmétique :

une n = une 1 + (n-1)d

un 1- le premier terme d'une progression arithmétique ;

n- numéro de membre.

Liaisons de formule paramètres clés toute progression : un ; un 1 ; d Et n. Tous les problèmes de progression tournent autour de ces paramètres.

La formule du nième terme peut également être utilisée pour écrire une progression spécifique. Par exemple, le problème peut dire que la progression est spécifiée par la condition :

une n = 5 + (n-1) 2.

Un tel problème peut être une impasse... Il n'y a ni série ni différence... Mais, en comparant la condition avec la formule, il est facile de comprendre que dans cette progression un 1 = 5 et d = 2.

Et ça peut être encore pire !) Si on prend la même condition : une n = 5 + (n-1) 2, Oui, ouvrir les parenthèses et en apporter des similaires ? On obtient une nouvelle formule :

une n = 3 + 2n.

Ce Pas général, mais pour une progression spécifique. C’est là que se cache l’écueil. Certains pensent que le premier terme est un trois. Bien qu'en réalité le premier terme soit cinq... Un peu plus bas nous travaillerons avec une telle formule modifiée.

Dans les problèmes de progression, il existe une autre notation - un n+1. Il s’agit, comme vous l’avez deviné, du terme « n plus premier » de la progression. Sa signification est simple et inoffensive.) C'est un membre de la progression dont le nombre est supérieur au nombre n de un. Par exemple, si dans un problème nous prenons un cinquième mandat alors un n+1 sera le sixième membre. Et ainsi de suite.

Le plus souvent, la désignation un n+1 trouvé dans les formules de récurrence. N'ayez pas peur de ce mot effrayant !) C'est juste une façon d'exprimer un membre d'une progression arithmétique à travers le précédent. Disons qu'on nous donne une progression arithmétique sous cette forme, en utilisant une formule récurrente :

un n+1 = un n +3

une 2 = une 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Du quatrième au troisième, du cinquième au quatrième, et ainsi de suite. Comment peut-on compter immédiatement, disons, le vingtième mandat ? un 20? Mais il n'y a pas moyen !) Jusqu'à ce qu'on connaisse le 19e mandat, on ne peut pas compter le 20e. C'est la différence fondamentale entre la formule récurrente et la formule du nième terme. Œuvres récurrentes uniquement à travers précédent terme, et la formule du nième terme passe par d'abord et permet tout de suite trouver n'importe quel membre par son numéro. Sans calculer toute la série de nombres dans l’ordre.

Dans une progression arithmétique, il est facile de transformer une formule récurrente en une formule régulière. Comptez une paire de termes consécutifs, calculez la différence d, trouver, si nécessaire, le premier terme un 1, écrivez la formule sous sa forme habituelle et travaillez avec. De telles tâches sont souvent rencontrées à l'Académie nationale des sciences.

Application de la formule au nième terme d'une progression arithmétique.

Examinons d’abord l’application directe de la formule. A la fin de la leçon précédente, il y a eu un problème :

Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.

Ce problème peut être résolu sans aucune formule, simplement en se basant sur la signification d'une progression arithmétique. Ajoutez et ajoutez... Une heure ou deux.)

Et selon la formule, la solution prendra moins d'une minute. Vous pouvez le chronométrer.) Décidons.

Les conditions fournissent toutes les données d'utilisation de la formule : une 1 =3, d=1/6. Reste à savoir ce qui est égal n. Pas de question ! Nous devons trouver un 121. Nous écrivons donc :

S'il vous plaît, faites attention ! Au lieu d'un index n un nombre précis est apparu : 121. Ce qui est tout à fait logique.) Nous nous intéressons au membre de la progression arithmétique numéro cent vingt et un. Ce sera le nôtre n. C'est le sens n= 121 nous le substituerons plus loin dans la formule, entre parenthèses. Nous substituons tous les nombres dans la formule et calculons :

une 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

C'est ça. Tout aussi rapidement, on pourrait trouver le cinq cent dixième terme, et le mille troisième, n'importe lequel. On met à la place n le numéro souhaité dans l'index à côté de la lettre " un" et entre parenthèses, et on compte.

Je vous rappelle l'essentiel : cette formule permet de trouver n'importe lequel terme de progression arithmétique PAR SON NUMÉRO" n" .

Résolvons le problème d'une manière plus astucieuse. Rencontrons-nous au problème suivant :

Trouver le premier terme de la progression arithmétique (a n), si a 17 =-2 ; d=-0,5.

Si vous rencontrez des difficultés, je vous expliquerai la première étape. Écrivez la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Oui, oui. Notez avec vos mains, directement dans votre cahier :

une n = une 1 + (n-1)d

Et maintenant, en regardant les lettres de la formule, nous comprenons de quelles données nous disposons et qu'est-ce qui manque ? Disponible d=-0,5, il y a un dix-septième membre... C'est ça ? Si vous pensez que c'est ça, alors vous ne résoudrez pas le problème, oui...

Nous avons encore un numéro n! En état un 17 =-2 caché deux paramètres. C'est à la fois la valeur du dix-septième terme (-2) et son nombre (17). Ceux. n = 17. Cette « bagatelle » échappe souvent à la tête, et sans elle (sans la « bagatelle », pas la tête !) le problème ne peut pas être résolu. Bien que... et sans tête aussi.)

Maintenant, nous pouvons simplement substituer bêtement nos données dans la formule :

un 17 = un 1 + (17-1) · (-0,5)

Oh oui, un 17 nous savons qu'il fait -2. Bon, remplaçons :

-2 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

C'est essentiellement tout. Il reste à exprimer le premier terme de la progression arithmétique à partir de la formule et à le calculer. La réponse sera : un 1 = 6.

Cette technique - écrire une formule et simplement remplacer des données connues - est d'une grande aide dans des tâches simples. Bon bien sûr, il faut être capable d'exprimer une variable à partir d'une formule, mais que faire !? Sans cette compétence, les mathématiques ne pourraient pas être étudiées du tout...

Un autre casse-tête populaire :

Trouver la différence de la progression arithmétique (a n), si a 1 =2 ; un 15 =12.

Que faisons-nous ? Vous serez surpris, nous écrivons la formule !)

une n = une 1 + (n-1)d

Considérons ce que nous savons : un 1 =2; un 15 =12 ; et (je soulignerai particulièrement !) n=15. N'hésitez pas à remplacer ceci dans la formule :

12=2 + (15-1)d

Nous faisons le calcul.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

C'est la bonne réponse.

Ainsi, les tâches pour un n, un 1 Et d décidé. Il ne reste plus qu'à apprendre à trouver le numéro :

Le nombre 99 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 12 ; d = 3. Trouvez le numéro de ce membre.

On substitue les quantités que nous connaissons dans la formule du nième terme :

une n = 12 + (n-1) 3

À première vue, il y a ici deux quantités inconnues : un n et n. Mais un- c'est un membre de la progression avec un numéro n...Et on connaît ce membre de la progression ! Il est 99. Nous ne connaissons pas son numéro. n, C'est donc ce numéro que vous devez trouver. On substitue le terme de la progression 99 dans la formule :

99 = 12 + (n-1) 3

On exprime à partir de la formule n, pensons-nous. Nous obtenons la réponse : n=30.

Et maintenant un problème sur le même sujet, mais en plus créatif) :

Déterminez si le nombre 117 fait partie de la progression arithmétique (a n) :

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Écrivons à nouveau la formule. Quoi, il n'y a pas de paramètres ? Hm... Pourquoi on nous donne des yeux ?) Voyons-nous le premier terme de la progression ? Nous voyons. C'est -3,6. Vous pouvez écrire en toute sécurité : une 1 = -3,6. Différence d pouvez-vous déterminer à partir d'une série ? C’est facile si vous savez quelle est la différence entre une progression arithmétique :

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Nous avons donc fait la chose la plus simple. Il ne reste plus qu'à composer avec le numéro inconnu n et l'incompréhensible nombre 117. Dans le problème précédent, au moins on savait que c'était le terme de la progression qui était donné. Mais ici on ne sait même pas... Que faire !? Eh bien, comment être, comment être... Allumez vos capacités créatives !)

Nous supposer ce 117 est, après tout, un membre de notre progression. Avec un numéro inconnu n. Et, comme dans le problème précédent, essayons de trouver ce numéro. Ceux. nous écrivons la formule (oui, oui !)) et substituons nos nombres :

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Encore une fois, nous exprimons à partir de la formulen, on compte et on obtient :

Oups ! Le numéro s'est avéré fractionnaire! Cent un et demi. Et les nombres fractionnaires en progressions cela n'arrive pas. Quelle conclusion peut-on tirer ? Oui! Numéro 117 n'est-ce pas membre de notre progression. C'est quelque part entre les cent unième et cent deuxième termes. Si le nombre s'est avéré naturel, c'est-à-dire est un entier positif, alors le nombre serait membre de la progression avec le nombre trouvé. Et dans notre cas, la réponse au problème sera : Non.

Une tâche basée sur une version réelle du GIA :

Une progression arithmétique est donnée par la condition :

une n = -4 + 6,8n

Trouvez les premier et dixième termes de la progression.

Ici, la progression se déroule d'une manière inhabituelle. Une sorte de formule... Cela arrive.) Cependant, cette formule (comme je l'ai écrit ci-dessus) - aussi la formule du nième terme d'une progression arithmétique ! Elle permet également trouver n'importe quel membre de la progression par son numéro.

Nous recherchons le premier membre. Celui qui pense. que le premier terme est moins quatre est une erreur fatale !) Parce que la formule du problème est modifiée. Le premier terme de la progression arithmétique caché. C'est bon, nous allons le trouver maintenant.)

Comme dans les problèmes précédents, nous substituons n=1 dans cette formule :

une 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ici! Le premier terme est 2,8, pas -4 !

On cherche le dixième terme de la même manière :

une 10 = -4 + 6,8 10 = 64

C'est ça.

Et maintenant, pour ceux qui ont lu ces lignes, le bonus promis.)

Supposons que, dans une situation de combat difficile de l'examen d'État ou de l'examen d'État unifié, vous ayez oublié la formule utile pour le nième terme d'une progression arithmétique. Je me souviens de quelque chose, mais d'une manière ou d'une autre, de manière incertaine... Ou n là, ou n+1, ou n-1... Comment être !?

Calme! Cette formule est facile à dériver. Pas très strictement, mais par souci de confiance et la bonne décision certainement assez !) Pour tirer une conclusion, il suffit de rappeler le sens élémentaire d'une progression arithmétique et de disposer de quelques minutes de temps. Il vous suffit de faire un dessin. Pour plus de clarté.

Tracez une droite numérique et marquez la première dessus. deuxième, troisième, etc. membres. Et on note la différence d entre les membres. Comme ça:

Nous regardons l'image et réfléchissons : à quoi est égal le deuxième terme ? Deuxième un d:

un 2 =un 1 + 1 d

Quel est le troisième terme ? Troisième le terme est égal au premier terme plus deux d.

un 3 =un 1 + 2 d

Comprenez-vous ? Ce n'est pas pour rien que je souligne quelques mots en gras. Bon, encore une étape).

Quel est le quatrième terme ? Quatrième le terme est égal au premier terme plus trois d.

un 4 =un 1 + 3 d

Il est temps de réaliser que le nombre de lacunes, c'est-à-dire d, Toujours un de moins que le numéro du membre que vous recherchez n. C'est-à-dire au nombre n, nombre d'espaces volonté n-1. La formule sera donc (sans variations !) :

une n = une 1 + (n-1)d

En général, les images visuelles sont très utiles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Ne négligez pas les photos. Mais s'il est difficile de faire un dessin, alors... seulement une formule !) De plus, la formule du nième terme permet de connecter tout l'arsenal puissant des mathématiques à la solution - équations, inégalités, systèmes, etc. Vous ne pouvez pas insérer une image dans l'équation...

Tâches pour une solution indépendante.

Pour s'échauffer :

1. En progression arithmétique (a n) a 2 =3 ; une 5 =5,1. Trouvez un 3 .

Indice : d'après l'image, le problème peut être résolu en 20 secondes... D'après la formule, cela s'avère plus difficile. Mais pour maîtriser la formule, c'est plus utile.) Dans la section 555, ce problème est résolu en utilisant à la fois l'image et la formule. Sentez la différence !)

Et ce n'est plus un échauffement.)

2. En progression arithmétique (a n) a 85 =19,1 ; a 236 =49, 3. Trouvez a 3 .

Quoi, tu ne veux pas faire de dessin ?) Bien sûr ! Mieux selon la formule, oui...

3. La progression arithmétique est donnée par la condition :un 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez le cent vingt-cinquième terme de cette progression.

Dans cette tâche, la progression est précisée de manière récurrente. Mais en comptant jusqu'au cent vingt-cinquième mandat... Tout le monde n'est pas capable d'un tel exploit.) Mais la formule du nième mandat est à la portée de tous !

4. Étant donné une progression arithmétique (a n) :

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trouver le numéro du plus petit terme positif de la progression.

5. D'après les conditions de la tâche 4, trouver la somme des plus petits termes positifs et des plus grands termes négatifs de la progression.

6. Le produit des cinquième et douzième termes d'une progression arithmétique croissante est égal à -2,5 et la somme des troisième et onzième termes est égale à zéro. Trouvez un 14 .

Ce n’est pas la tâche la plus simple, oui...) La méthode du « bout des doigts » ne fonctionnera pas ici. Vous devrez écrire des formules et résoudre des équations.

Réponses (en désarroi) :

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Est-ce que ça a marché ? C'est sympa !)

Tout ne fonctionne pas ? Cela arrive. À propos, il y a un point subtil dans la dernière tâche. Il faudra faire preuve de prudence lors de la lecture du problème. Et la logique.

La solution à tous ces problèmes est discutée en détail dans la section 555. Et l'élément de fantaisie pour le quatrième, et le point subtil pour le sixième, et les approches générales pour résoudre tout problème impliquant la formule du nième terme - tout est décrit. Je le recommande.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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