اگر دایره شماره واحد را روی آن قرار دهید صفحه مختصات، سپس مختصات را می توان برای امتیازات آن یافت. دایره عددی به گونه ای قرار گرفته است که مرکز آن با نقطه مبدا صفحه ، یعنی نقطه O (0؛ 0) همزمان شود.

معمولاً روی دایره شماره واحد ، نقاط مربوط به مبدا دایره مشخص می شوند

• چهارم - 0 یا 2π ، π / 2 ، π ، (2π) / 3 ،
• اواسط چهارم - π / 4 ، (3π) / 4 ، (5π) / 4 ، (7π) / 4 ،
• یک چهارم - π / 6 ، π / 3 ، (2π) / 3 ، (5π) / 6 ، (7π) / 6 ، (4π) / 3 ، (5π) / 3 ، (11π) / 6.

در صفحه مختصات با محل فوق دایره واحد روی آن ، می توانید مختصات مربوط به این نقاط دایره را پیدا کنید.

مختصات انتهای محله ها بسیار آسان پیدا می شود. در نقطه 0 دایره ، مختصات x 1 است و y برابر 0 است. می توان آن را به صورت A (0) \u003d A (1؛ 0) نشان داد.

پایان سه ماهه اول در محور مثبت قرار خواهد گرفت. بنابراین ، B (π / 2) \u003d B (0 ؛ 1).

پایان سه ماهه دوم در نیمه محوری منفی است: C (π) \u003d C (-1؛ 0).

پایان سه ماهه سوم: D ((2π) / 3) \u003d D (0؛ -1).

اما مختصات نقاط میانی محله ها را چگونه پیدا می کنید؟ برای این کار آنها می سازند راست گوشه... هیپوتنوز آن قطعه ای از مرکز دایره (یا مبدا) تا نقطه میانی ربع دایره است. این شعاع دایره است. از آنجا که دایره واحد است ، hypotenuse برابر 1 است. بعد ، عمود از نقطه دایره به هر محور رسم می شود. بگذارید به سمت محور x باشد. یک مثلث قائم الزاویه ظاهر می شود ، طول پاهای آن مختصات x و y نقطه دایره است.

دایره ربع 90 درجه است. و نیم ربع 45º است. از آنجا که هیپوتنوز به نقطه اواسط یک چهارم کشیده می شود ، زاویه بین هیپوتنوز و پایه امتداد یافته از مبدا 45 درجه است. اما مجموع زاویه های هر مثلث 180 درجه است. بنابراین ، زاویه بین هیپوتنوز و پای دیگر نیز 45º است. به نظر می رسد یک مثلث مستطیل متقارن است.

از قضیه فیثاغورث معادله x 2 + y 2 \u003d 1 2 را بدست می آوریم. از آنجا که x \u003d y و 1 2 \u003d 1 ، معادله به x 2 + x 2 \u003d 1 ساده می شود. با حل آن ، x \u003d √½ \u003d 1 / √2 \u003d √2 / 2 بدست می آید.

بنابراین ، مختصات نقطه M 1 (π / 4) \u003d M 1 (√2 / 2 ؛ √2 / 2) است.

در مختصات نقاط میانه های چهارم دیگر ، فقط علائم تغییر می کنند و ماژول ها مقادیر ثابت می مانند ، زیرا مثلث قائم الزاویه فقط وارونه می شود. ما گرفتیم:
M 2 ((3π) / 4) \u003d M 2 (-√2 / 2 ؛ √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) \u003d M 3 (-√2 / 2 ؛ -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) \u003d M 4 (√2 / 2 ؛ -√2 / 2)

هنگام تعیین مختصات قسمتهای سوم چهارم دایره ، یک مثلث قائم الزاویه نیز ساخته می شود. اگر نقطه π / 6 را بگیریم و عمود بر محور x بکشیم ، آنگاه زاویه بین هیپوتنوز و پایه خوابیده روی محور x 30 درجه خواهد بود. مشخص است که پایی که در خلاف زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتنوز است. از این رو ، مختصات y را پیدا کردیم ، برابر است با.

با دانستن طول هایپوتنوز و یکی از پاها ، با توجه به قضیه فیثاغورث ، پای دیگری پیدا می کنیم:
x 2 + (½) 2 \u003d 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d
x \u003d √3 / 2

بنابراین ، T 1 (π / 6) \u003d T 1 (√3 / 2 ؛ ½).

برای نقطه سوم سوم سه ماهه اول (π / 3) بهتر است عمود بر محور به محور y رسم شود. سپس زاویه در مبدا نیز 30 درجه خواهد بود. در اینجا ، مختصات x برابر با be خواهد بود ، و y ، به ترتیب ، √3 / 2: T 2 (π / 3) \u003d T 2 (½ ؛ √3 / 2).

برای سایر نقاط در سه ماهه سوم ، علائم و ترتیب مقادیر مختصات تغییر می کند. تمام نقاطی که به محور x نزدیکتر هستند دارای مدول مختص x x3 / 2 خواهند بود. آن نقاطی که نزدیکتر به محور y باشند مقدار مطلق آنها y3 / 2 خواهد بود.
T 3 ((2π) / 3) \u003d T 3 (-½ ؛ √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) \u003d T 4 (-√3 / 2 ؛ ½)
T 5 ((7π) / 6) \u003d T 5 (-√3 / 2 ؛ -½)
T 6 ((4π) / 3) \u003d T 6 (-½ ؛ -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) \u003d T 7 (½ ؛ -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) \u003d T 8 (√3 / 2 ؛ -½)

ریاضیات یک علم پیچیده است. با مطالعه آن ، نه تنها باید مثالها و مشکلات را حل کنید ، بلکه باید با اشکال مختلف و حتی هواپیماها کار کنید. یکی از مواردی که در ریاضیات بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد سیستم مختصات صفحه است. کار درست کودکان بیش از یک سال با او آموزش داده شده اند. بنابراین ، مهم است که بدانید چیست و چگونه به درستی با آن کار کنید.

بیایید ببینیم چه چیزی را تشکیل می دهد این سیستم، چه اعمالی را می توان با کمک آن انجام داد ، و همچنین به ویژگی ها و ویژگی های اصلی آن پی برد.

تعریف مفهوم

صفحه مختصات صفحه ای است که یک سیستم مختصات خاص بر روی آن تعریف شده است. چنین صفحه ای توسط دو خط مستقیم که از زاویه قائم با هم تلاقی می کنند مشخص می شود. مبدا مختصات در نقطه تقاطع این خطوط است. هر نقطه از صفحه مختصات توسط یک جفت عدد به نام مختصات مشخص می شود.

در یک دوره ریاضیات مدرسه ، دانش آموزان باید کاملاً با یک سیستم مختصات کار کنند - شکل ها و نقاطی را روی آن بسازند ، مشخص کنند مختصات خاص متعلق به کدام صفحه است و همچنین مختصات یک نقطه را تعیین کرده و آنها را بنویسید یا نام ببرید. بنابراین ، بیایید با جزئیات بیشتر در مورد تمام ویژگی های مختصات صحبت کنیم. اما ابتدا بیایید تاریخچه خلقت را لمس کنیم و سپس در مورد نحوه کار در صفحه مختصات صحبت خواهیم کرد.

مرجع تاریخچه

ایده هایی برای ایجاد یک سیستم مختصات قبلاً در زمان بطلمیوس بود. حتی در آن زمان ، ستاره شناسان و ریاضیدانان در فکر این بودند که چگونه یاد بگیرند که چگونه یک نقطه را در هواپیما تنظیم کنند. متأسفانه ، در آن زمان هنوز هیچ سیستم مختصات شناخته شده ای وجود نداشت و دانشمندان مجبور بودند از سیستم های دیگری استفاده کنند.

در ابتدا ، آنها با تعیین عرض و طول جغرافیایی نقاطی را تعیین می کنند. برای مدت طولانی این یکی از پرکاربردترین روشها برای نقشه برداری از اطلاعات بود. اما در سال 1637 ، رنه دكارت سیستم مختصات خود را ایجاد كرد كه بعداً به نام "دكارتین" نامگذاری شد.

قبلاً در اواخر هفدهم که در. مفهوم "صفحه مختصات" به طور گسترده ای در دنیای ریاضیات مورد استفاده قرار گرفته است. علی رغم اینکه چندین قرن از ایجاد این سیستم می گذرد ، هنوز از این سیستم در ریاضیات و حتی زندگی به طور گسترده ای استفاده می شود.

مثالهای صفحه را هماهنگ کنید

قبل از صحبت در مورد تئوری ، در اینجا چند نمونه گویای صفحه مختصات آورده شده است تا بتوانید آن را تصور کنید. سیستم مختصات در درجه اول در شطرنج استفاده می شود. در صفحه ، هر مربع مختصات خاص خود را دارد - مختصات یک حرف ، دیجیتال دوم. با کمک آن می توانید موقعیت یک قطعه خاص را روی تخته تعیین کنید.

دومین مثال برجسته محبوب بسیاری از بازی های "Sea Sea" است. به یاد داشته باشید که چگونه هنگام بازی ، مختصات را به عنوان مثال ، B3 نامگذاری می کنید ، بنابراین دقیقاً مشخص می کنید که کجا را هدف بگیرید. در همان زمان ، با قرار دادن کشتی ها ، نقاطی را روی صفحه مختصات تنظیم می کنید.

این سیستم مختصات نه تنها در ریاضیات ، بازیهای منطقی ، بلکه در امور نظامی ، نجوم ، فیزیک و بسیاری از علوم نیز کاربرد گسترده ای دارد.

محورهای هماهنگ

همانطور که قبلاً ذکر شد ، دو محور در سیستم مختصات از هم تفکیک می شوند. بیایید کمی در مورد آنها صحبت کنیم ، زیرا آنها از اهمیت قابل توجهی برخوردار هستند.

محور اول ، ابسیسا ، افقی است. به عنوان ( گاو) محور دوم مختصات است ، که به طور عمودی از طریق نقطه مرجع اجرا می شود و به عنوان ( اوه) این دو محور هستند که سیستم مختصات را تشکیل می دهند ، هواپیما را به چهار چهارم تقسیم می کنند. مبدا در محل تقاطع این دو محور است و مقدار را می گیرد 0 ... فقط اگر صفحه با دو محور تقاطع عمود و با داشتن یک نقطه مرجع تشکیل شده باشد ، یک صفحه مختصات است.

همچنین توجه داشته باشید که هر یک از محورها جهت خاص خود را دارند. معمولاً هنگام ساخت یک سیستم مختصات معمولاً نشان دادن جهت محور به شکل پیکان است. علاوه بر این ، هنگام ساخت یک صفحه مختصات ، هر یک از محورها امضا می شود.

یک چهارم

حال بیایید چند کلمه در مورد چنین مفهومی به عنوان یک چهارم صفحه مختصات بگوییم. هواپیما توسط دو محور به چهار چهارم تقسیم می شود. هر کدام از آنها شماره خاص خود را دارند ، در حالی که شماره گذاری هواپیماها در خلاف جهت عقربه های ساعت است.

هر یک از محله ها ویژگی های خاص خود را دارد. بنابراین ، در سه ماهه اول abscissa و مختصات مثبت هستند ، در سه ماهه دوم abscissa منفی است ، مختصات مثبت است ، در سوم هر دو abscissa و مختصات منفی ، در چهارم abscissa مثبت است و مختصات منفی است

با یادآوری این ویژگی ها ، به راحتی می توانید تعیین کنید که این یا آن نقطه به کدام یک از ربع ها تعلق دارد. علاوه بر این ، در مواردی که مجبور به انجام محاسبات با استفاده از سیستم دکارتی هستید ، این اطلاعات می تواند برای شما مفید باشد.

کار با هواپیمای مختصات

وقتی مفهوم هواپیما را فهمیدیم و در مورد محله های آن صحبت کردیم ، می توانیم به سراغ مشکلی مانند کار با این سیستم برویم و همچنین در مورد چگونگی اعمال نقاط و مختصات ارقام روی آن صحبت کنیم. در صفحه مختصات ، این کار به همان سختی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست.

اول از همه ، سیستم خود ساخته شده است ، تمام مشخصات مهم بر روی آن اعمال می شود. سپس ما مستقیماً با نقاط یا اشکال کار می کنیم. در این حالت ، حتی هنگام ساختن شکل ها ، ابتدا نقاطی روی صفحه ترسیم می شوند و سپس شکل ها رسم می شوند.

قوانین ساخت هواپیما

اگر تصمیم دارید علامت گذاری اشکال و نقاط را روی کاغذ شروع کنید ، به یک صفحه مختصات نیاز دارید. مختصات نقاط به آن اعمال می شود. برای ساخت صفحه مختصات فقط به خط کش و خودکار یا مداد نیاز دارید. ابتدا محور افقی ابسیسا ، سپس مختصر - مختص ترسیم می شود. لازم به یادآوری است که محورها از زاویه قائم تلاقی می کنند.

بعد مورد اجباری علامت گذاری است. در هر یک از محورها در هر دو جهت ، واحدها - بخش ها علامت گذاری شده و امضا می شوند. این کار به این منظور انجام می شود که سپس بتوانید با حداکثر راحتی با هواپیما کار کنید.

نکته را علامت گذاری کنید

حال بیایید در مورد نحوه رسم مختصات نقاط در صفحه مختصات صحبت کنیم. این اصول اولیه ای است که باید برای قرار دادن موفقیت آمیز انواع اشکال در صفحه و حتی علامت گذاری معادلات بدانید.

هنگام ترسیم نقاط ، به یاد داشته باشید که چگونه مختصات آنها را به درستی ثبت کنید. بنابراین ، معمولاً دادن یک دوره ، دو عدد در براکت نوشته می شود. عدد اول نشان دهنده مختصات نقطه در امتداد محور ابسیسا است ، شماره دوم - در امتداد محور مختصات.

نکته باید به این شکل ساخته شود. ابتدا روی محور علامت گذاری کنید گاو نقطه را تنظیم کنید ، سپس نقطه را روی محور مشخص کنید اوه... بعد ، از این نامگذاری ها خطوط خیالی بکشید و محل تقاطع آنها را پیدا کنید - این نقطه داده شده خواهد بود.

فقط باید آن را علامت گذاری کنید و امضا کنید. همانطور که می بینید ، همه چیز کاملاً ساده است و به مهارت خاصی احتیاج ندارد.

شکل را قرار دهید

حال بیایید به س questionالی مانند ساخت ارقام در صفحه مختصات برویم. برای ساختن هر شکلی در صفحه مختصات ، باید بدانید که چگونه نقاط را روی آن قرار دهید. اگر می دانید چطور این کار را انجام دهید ، قرار دادن شکل در صفحه کار چندان دشواری نیست.

اول از همه ، شما به مختصات نقاط شکل نیاز دارید. طبق آنها است که ما مختصات انتخاب شده توسط شما را روی سیستم مختصات خود اعمال خواهیم کرد. یک مستطیل ، مثلث و دایره را ترسیم کنید.

بیایید با یک مستطیل شروع کنیم. کاربرد آن بسیار آسان است. ابتدا چهار نقطه در صفحه ترسیم می شود که گوشه های مستطیل را نشان می دهد. سپس تمام نقاط به صورت سری با یکدیگر متصل می شوند.

رسم مثلث تفاوتی ندارد. تنها نکته این است که دارای سه گوشه است ، به این معنی که سه نقطه بر صفحه اعمال می شود ، رئوس آن را نشان می دهد.

در مورد دایره ، در اینجا باید مختصات دو نقطه را بدانید. اولین نقطه مرکز دایره است ، دوم نقطه ای است که شعاع آن را نشان می دهد. این دو نقطه در هواپیما ترسیم شده اند. سپس قطب نما گرفته می شود ، فاصله بین دو نقطه اندازه گیری می شود. نقطه قطب نما در نقطه مرکزی قرار می گیرد و یک دایره توصیف می شود.

همانطور که می بینید ، هیچ چیز پیچیده ای نیز در اینجا وجود ندارد ، نکته اصلی این است که شما همیشه یک خط کش و قطب نما در دست دارید.

اکنون می دانید که چگونه مختصات اشکال را رسم کنید. در صفحه مختصات انجام این کار آنقدرها هم دشوار نیست که در نگاه اول به نظر برسد.

یافته ها

بنابراین ، ما با شما یکی از جالب ترین و اساسی ترین مفاهیم ریاضیات را در نظر گرفته ایم که هر دانش آموز باید با آن کنار بیاید.

ما فهمیدیم که صفحه مختصات صفحه ای است که از تقاطع دو محور تشکیل شده است. با کمک آن می توانید مختصات نقاط را تنظیم کنید ، اشکال را روی آن اعمال کنید. هواپیما به چهارم تقسیم می شود که هر یک از ویژگی های خاص خود را دارند.

مهارت اصلی که باید هنگام کار با صفحه مختصات ایجاد شود ، توانایی به درستی اعمال نقاط مشخص روی آن است. برای این کار باید بدانید مکان صحیح محورها ، ویژگی های چهارم و همچنین قوانینی که مختصات نقاط توسط آنها تنظیم می شود.

ما امیدواریم که اطلاعات ارائه شده توسط ما در دسترس و قابل درک باشد ، همچنین برای شما مفید باشد و به شما در درک بهتر این موضوع کمک کند.

یک سیستم مختصات مستطیل شکل در یک صفحه با دو خط مستقیم عمود بر هم مشخص می شود. خطوط مستقیم را محور مختصات می نامند (یا محورهای مختصات) نقطه تلاقی این خطوط مبدا نامیده می شود و با حرف O نشان داده می شود.

معمولاً یکی از خطوط مستقیم افقی است ، دیگری نیز عمودی است. خط افقی به عنوان محور x (یا Ox) تعیین می شود و به آن محور abscissa می گویند ، خط عمودی محور y (Oy) است که محور مختصات نامیده می شود. کل سیستم مختصات xOy تعیین شده است.

نقطه O هر یک از محورها را به دو نیم محور تقسیم می کند ، یکی مثبت ارزیابی می شود (با فلش نشان داده می شود) ، دیگری منفی است.

به هر نقطه F صفحه یک جفت عدد اختصاص داده شده است (x؛ y) - مختصات آن.

مختصات x را abscissa می نامند. برابر است با Ox گرفته شده با علامت مناسب.

مختصات y مختصات نامیده می شود و برابر است با فاصله از نقطه F تا محور Oy (با علامت مناسب).

فاصله محورها معمولاً (و نه همیشه) در یک واحد واحد اندازه گیری می شوند.

نقاط سمت راست محور y دارای انشعابات مثبت هستند. برای نقاطی که در سمت چپ محور مختصات قرار دارند ، فرسوده ها منفی هستند. برای هر نقطه از محور Oy ، مختصات x آن صفر است.

نقاط با یک مختصر مثبت در بالای محور x قرار دارند ، با یک منفی در زیر. اگر یک نقطه در محور Ox قرار داشته باشد ، مختصات y آن صفر است.

محورهای مختصات صفحه را به چهار قسمت تقسیم می کنند که به آنها کوارتر مختصات گفته می شود (یا زاویه مختصات یا ربع).

1 ربع مختصات در گوشه بالا سمت راست صفحه مختصات xOy واقع شده است. هر دو مختصات نقاط واقع در سه ماهه اول مثبت هستند.

انتقال از یک چهارم به مرحله دیگر خلاف جهت عقربه های ساعت است.

2 ربع مختصات واقع در گوشه بالا سمت چپ امتیازات در سه ماهه دوم دارای یک خلاصه منفی و یک ترتیب مثبت است.

سه ماهه مختصات در ربع پایین سمت چپ صفحه xOy قرار دارد. هر دو مختصات نقاط متعلق به زاویه مختصات III منفی هستند.

4 ربع مختصات گوشه پایین سمت راست صفحه مختصات است. هر نقطه از سه ماهه چهارم دارای یک مختصات اول مثبت و یک دوم منفی است.

مثالی از محل قرارگیری نقاط در سیستم مختصات مستطیلی: