بخش های سایت
انتخاب سردبیر:
- شش مثال از یک رویکرد شایسته برای انحطاط اعداد
- جملات شاعرانه چهره زمستانی برای کودکان
- درس زبان روسی "علامت نرم بعد از خش خش اسم"
- درخت سخاوتمند (مثل) چگونه می توان با یک پایان خوش برای افسانه درخت سخاوتمند رسید
- طرح درس در مورد دنیای اطراف ما با موضوع "چه زمانی تابستان خواهد آمد؟
- آسیای شرقی: کشورها، جمعیت، زبان، مذهب، تاریخ، مخالف نظریه های شبه علمی تقسیم نژادهای بشری به پایین و بالاتر، حقیقت را به اثبات رساند.
- طبقه بندی دسته بندی های مناسب برای خدمت سربازی
- مال اکلوژن و ارتش مال اکلوژن در ارتش پذیرفته نمی شود
- چرا خواب مادر مرده را زنده می بینید: تعبیر کتاب های رویایی
- متولدین فروردین تحت چه علائم زودیاک هستند؟
تبلیغات
| پیشرفت حسابی نظریه تفصیلی با مثال (2019). فرمول برای ترم n یک پیشرفت حسابی |
|
ماتریس A -1 ماتریس معکوس نسبت به ماتریس A نامیده می شود اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد. هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس آنلاین می‌توانید مکمل‌های جبری، ماتریس A T انتقال یافته، ماتریس متحد و ماتریس معکوس را بیابید. تصمیم گیری مستقیماً در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش در قالب ورد و اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید دستورالعمل ها برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را مشخص کرد. بعد، ماتریس A را در کادر محاوره ای جدید پر کنید. همچنین به ماتریس معکوس با استفاده از روش جردنو-گاوس مراجعه کنید الگوریتم یافتن ماتریس معکوس
مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به شکل زیر بنویسیم: |
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
سپس ماتریس معکوسرا می توان به صورت زیر نوشت:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
الگوریتم دیگری برای یافتن ماتریس معکوس
اجازه دهید طرح دیگری برای یافتن ماتریس معکوس ارائه کنیم.- تعیین کننده یک ماتریس مربع داده شده A را پیدا کنید.
- ما مکمل های جبری را برای تمام عناصر ماتریس A پیدا می کنیم.
- اضافات جبری عناصر ردیف را به ستون ها می نویسیم (جابه جایی).
- هر عنصر ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس A تقسیم می کنیم.
مورد خاص: معکوس ماتریس هویت E، ماتریس هویت E است.
به عنوان مثال، دنباله \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... یک تصاعد حسابی است زیرا هر یک عنصر بعدیبا قبلی سه تفاوت دارد (با اضافه کردن سه می توان از قبلی به دست آورد):
در این پیشرفت، تفاوت \(d\) مثبت است (برابر با \(3\)) و بنابراین هر جمله بعدی از جمله قبلی بیشتر است. چنین پیشرفت هایی نامیده می شود افزایش می یابد.
با این حال، \(d\) نیز می تواند باشد عدد منفی. به عنوان مثال، در پیشروی حسابی \(16\); \(10\)؛ \(4\); \(-2\); \(-8\)... اختلاف پیشرفت \(d\) برابر با منهای شش است.
و در این صورت هر عنصر بعدی کوچکتر از عنصر قبلی خواهد بود. این پیشرفت ها نامیده می شوند در حال کاهش است.
نماد پیشرفت حسابی
پیشرفت با یک حرف کوچک لاتین نشان داده می شود.
اعدادی که یک پیشروی را تشکیل می دهند نامیده می شوند اعضا(یا عناصر).
آنها با همان حرف به عنوان یک پیشرفت حسابی نشان داده می شوند، اما با یک شاخص عددی برابر با تعداد عنصر به ترتیب.
به عنوان مثال، پیشروی حسابی \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) از عناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) و غیره.
به عبارت دیگر، برای پیشرفت \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
حل مسائل پیشروی حسابی
در اصل، اطلاعات ارائه شده در بالا برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی (از جمله موارد ارائه شده در OGE) کافی است.
مثال (OGE).
پیشروی حسابی با شرایط \(b_1=7; d=4\) مشخص می شود. \(b_5\) را پیدا کنید.
راه حل:
پاسخ: \(b_5=23\)
مثال (OGE).
سه جمله اول یک پیشروی حسابی آورده شده است: \(62; 49; 36…\) مقدار اولین جمله منفی این پیشرفت را بیابید.
راه حل:
|
اولین عناصر دنباله به ما داده شده است و می دانیم که این یک پیشرفت حسابی است. یعنی هر عنصر با همسایه خود به همان تعداد متفاوت است. بیایید با کم کردن عنصر قبلی از عنصر بعدی دریابیم که کدام یک: \(d=49-62=-13\). |
|
|
اکنون می توانیم پیشرفت خود را به عنصر (اولین منفی) مورد نیاز خود بازگردانیم. |
|
|
آماده است. میتونی جواب بنویسی |
پاسخ: \(-3\)
مثال (OGE).
با توجه به چندین عنصر متوالی یک پیشروی حسابی: \(…5; x; 10; 12.5...\) مقدار عنصر مشخص شده با حرف \(x\) را بیابید.
راه حل:
|
|
برای پیدا کردن \(x\)، باید بدانیم که عنصر بعدی چقدر با عنصر قبلی تفاوت دارد، به عبارت دیگر، تفاوت پیشرفت. بیایید آن را از دو عنصر مجاور شناخته شده پیدا کنیم: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
و اکنون به راحتی می‌توانیم آنچه را که به دنبالش هستیم پیدا کنیم: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
آماده است. میتونی جواب بنویسی |
پاسخ: \(7,5\).
مثال (OGE).
پیشروی حسابی با شرایط زیر تعریف می شود: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) مجموع شش جمله اول این پیشرفت را بیابید.
راه حل:
|
ما باید مجموع شش ترم اول پیشرفت را پیدا کنیم. اما ما معانی آنها را نمی دانیم. بنابراین، ابتدا مقادیر را یک به یک با استفاده از آنچه به ما داده شده محاسبه می کنیم: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
مقدار مورد نیاز پیدا شده است. |
پاسخ: \(S_6=9\).
مثال (OGE).
در پیشروی حسابی \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). تفاوت این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل:
پاسخ: \(d=7\).
فرمول های مهم برای پیشرفت حسابی
همانطور که می بینید، بسیاری از مسائل مربوط به پیشرفت حسابی را می توان به سادگی با درک نکته اصلی حل کرد - اینکه یک پیشروی حسابی زنجیره ای از اعداد است و هر عنصر بعدی در این زنجیره با اضافه کردن همان عدد به عدد قبلی به دست می آید. تفاوت پیشرفت).
با این حال، گاهی اوقات موقعیت هایی وجود دارد که تصمیم گیری "سر به سر" بسیار ناخوشایند است. به عنوان مثال، تصور کنید که در اولین مثال ما نیاز داریم نه عنصر پنجم \(b_5\)، بلکه سیصد و هشتاد و ششمین \(b_(386)\ را پیدا کنیم. آیا باید چهار \(385\) بار اضافه کنیم؟ یا تصور کنید که در مثال ماقبل آخر باید مجموع هفتاد و سه عنصر اول را پیدا کنید. از شمردن خسته میشی...
بنابراین، در چنین مواردی، آنها مسائل را "سر به سر" حل نمی کنند، بلکه از فرمول های ویژه ای استفاده می کنند که برای پیشرفت حسابی به دست آمده است. و اصلی ترین آنها فرمول nامین ترم پیشرفت و فرمول مجموع \(n\) اولین جمله ها هستند.
فرمول \(n\)امین عبارت: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، که در آن \(a_1\) اولین جمله پیشرفت است.
\(n\) - تعداد عنصر مورد نیاز.
\(a_n\) - مدت پیشرفت با عدد \(n\).
این فرمول به ما اجازه می دهد تا به سرعت حتی عنصر سه صدم یا میلیونم را پیدا کنیم، تنها با دانستن اولین و تفاوت پیشرفت.
مثال.
پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) را پیدا کنید.
راه حل:
پاسخ: \(b_(246)=1850\).
فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، که در آن
\(a_n\) - آخرین ترم جمع شده؛
مثال (OGE).
پیشروی حسابی با شرایط \(a_n=3.4n-0.6\) مشخص می شود. مجموع اولین \(25\) عبارت های این پیشرفت را بیابید.
راه حل:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
برای محاسبه مجموع بیست و پنج جمله اول باید ارزش جمله اول و بیست و پنجم را بدانیم. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
حالا بیایید عبارت بیست و پنجم را با جایگزین کردن بیست و پنج به جای \(n\) پیدا کنیم. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
خوب حالا به راحتی می توانیم مقدار مورد نیاز را محاسبه کنیم. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
پاسخ آماده است. |
پاسخ: \(S_(25)=1090\).
برای مجموع \(n\) جمله های اول، می توانید فرمول دیگری دریافت کنید: فقط باید \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) به جای \(a_n\) فرمول آن را جایگزین کنید \(a_n=a_1+(n-1)d\). دریافت می کنیم:
فرمول مجموع n عبارت اول: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، جایی که
\(S_n\) - مجموع مورد نیاز \(n\) عناصر اول.
\(a_1\) - اولین ترم جمع شده؛
\(d\) - تفاوت پیشرفت؛
\(n\) - تعداد عناصر در مجموع.
مثال.
مجموع اولین ترم های \(33\)-ex پیشروی حسابی را بیابید: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
راه حل:
پاسخ: \(S_(33)=-231\).
مسائل پیچیده تر پیشرفت حسابی
اکنون شما تمام اطلاعات مورد نیاز برای حل تقریباً هر مشکل پیشروی حسابی را دارید. بیایید موضوع را با در نظر گرفتن مسائلی به پایان برسانیم که در آنها نه تنها باید فرمول ها را اعمال کنید، بلکه کمی فکر کنید (در ریاضیات این می تواند مفید باشد ☺)
مثال (OGE).
مجموع تمام عبارات منفی پیشرفت را بیابید: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
راه حل:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
کار بسیار شبیه به کار قبلی است. ما شروع به حل یک چیز می کنیم: ابتدا \(d\) را پیدا می کنیم. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
حالا می‌خواهم \(d\) را در فرمول جمع... جایگزین کنم و اینجا ظاهر می‌شود تفاوت ظریف کوچک- ما \(n\) را نمی دانیم. به عبارت دیگر، ما نمی دانیم که چند عبارت باید اضافه شود. چگونه متوجه شویم؟ بیایید فکر کنیم. وقتی به اولین عنصر مثبت رسیدیم اضافه کردن عناصر را متوقف خواهیم کرد. یعنی باید تعداد این عنصر را دریابید. چگونه؟ بیایید فرمول محاسبه هر عنصر یک پیشرفت حسابی را بنویسیم: \(a_n=a_1+(n-1)d\) برای مورد خود. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
ما باید \(a_n\) را بزرگتر از صفر کنیم. بیایید دریابیم که در چه زمانی \(n\) این اتفاق خواهد افتاد. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
هر دو طرف نابرابری را بر \(0.3\) تقسیم می کنیم. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
منهای یک را منتقل می کنیم، فراموش نمی کنیم که علائم را تغییر دهیم |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
بیا حساب کنیم... |
|
|
\(n>65,333…\) |
... و معلوم می شود که اولین عنصر مثبت دارای عدد \(66\) خواهد بود. بر این اساس، آخرین منفی دارای \(n=65\) است. در هر صورت، بیایید این را بررسی کنیم. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
بنابراین باید اولین عناصر \(65\) را اضافه کنیم. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
پاسخ آماده است. |
پاسخ: \(S_(65)=-630.5\).
مثال (OGE).
پیشروی حسابی با شرایط مشخص می شود: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). حاصل جمع عنصر \(26\)th تا عنصر \(42\) را بیابید.
راه حل:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
در این مشکل شما همچنین باید مجموع عناصر را پیدا کنید، اما نه از اول، بلکه از \(26\)th. برای چنین موردی فرمولی نداریم. چگونه تصمیم بگیریم؟ |
|
|
برای پیشرفت \(a_1=-33\)، و تفاوت \(d=4\) (در آخر، ما چهار عنصر را به عنصر قبلی اضافه می کنیم تا عنصر بعدی را پیدا کنیم). با دانستن این موضوع، مجموع اولین عناصر \(42\)-y را پیدا می کنیم. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
اکنون مجموع اولین عناصر \(25\). |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
و در نهایت پاسخ را محاسبه می کنیم. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
پاسخ: \(S=1683\).
برای پیشروی حسابی چندین فرمول دیگر وجود دارد که در این مقاله به دلیل کاربرد عملی کم آنها را در نظر نگرفتیم. با این حال، شما به راحتی می توانید آنها را پیدا کنید.
ماشین حساب آنلاین.
حل یک پیشرفت حسابی
داده شده: a n، d، n
پیدا کنید: a 1
این برنامه ریاضی \(a_1\) یک پیشرفت حسابی را بر اساس اعداد مشخص شده توسط کاربر \(a_n, d\) و \(n\) پیدا می کند.
اعداد \(a_n\) و \(d\) را می توان نه تنها به صورت اعداد صحیح، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد. علاوه بر این، عدد کسریرا می توان به عنوان کسر اعشاری (\(2.5\)) و به عنوان وارد کرد کسر مشترک(\(-5\frac(2)(7)\)).
این برنامه نه تنها پاسخ مشکل را می دهد، بلکه روند یافتن راه حل را نیز نمایش می دهد.
این ماشین حساب آنلاین ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟مشق شب
در ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.
به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.
اگر با قوانین درج اعداد آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.
قوانین وارد کردن اعداد
اعداد \(a_n\) و \(d\) را می توان نه تنها به صورت اعداد صحیح، بلکه به صورت کسری نیز مشخص کرد.
عدد \(n\) فقط می تواند یک عدد صحیح مثبت باشد.
قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
اجزای صحیح و کسری در کسرهای اعشاری را می توان با نقطه یا کاما از هم جدا کرد. برای مثال می توانید وارد شویداعشاری
بنابراین 2.5 یا بیشتر 2.5
قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.
هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
ورودی:
نتیجه: \(-\frac(2)(3)\)
کل بخشبا آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی:
نتیجه: \(-1\frac(2)(3)\)
مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
چون افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...
اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکنید مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.
بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:
کمی تئوری
دنباله اعداد
در تمرین روزمره، اغلب از شماره گذاری اشیاء مختلف برای نشان دادن ترتیب چیدمان آنها استفاده می شود. به عنوان مثال، خانه های هر خیابان شماره گذاری شده اند. در کتابخانه، اشتراک های خواننده شماره گذاری می شود و سپس به ترتیب شماره های اختصاص داده شده در فایل های کارت مخصوص مرتب می شود.
در یک پس انداز با استفاده از شماره حساب شخصی سپرده گذار می توانید به راحتی این حساب را پیدا کنید و ببینید چه سپرده ای در آن وجود دارد. اجازه دهید حساب شماره 1 حاوی سپرده a1 روبل باشد، حساب شماره 2 حاوی سپرده a2 روبل و غیره باشد. دنباله اعداد
a 1، a 2، a 3، ...، a N
که در آن N تعداد تمام حساب ها است. در اینجا هر عدد طبیعی n از 1 تا N با عدد a n مرتبط است.
همچنین در ریاضیات تحصیل کرده است دنباله های اعداد بی نهایت:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
عدد a 1 نامیده می شود اولین ترم دنباله، شماره a 2 - ترم دوم دنباله، شماره a 3 - ترم سوم دنبالهو غیره
عدد a n نامیده می شود نهمین (نهمین) عضو دنبالهو عدد طبیعی n آن است شماره.
به عنوان مثال، در دنباله مربع های اعداد طبیعی 1، 4، 9، 16، 25، ...، n 2، (n + 1) 2، ... و 1 = 1 جمله اول دنباله است. و n = n 2 است ترم نهمدنباله ها a n+1 = (n + 1) 2 (n + 1)امین (n به علاوه اول) جمله دنباله است. اغلب یک دنباله را می توان با فرمول n ام آن مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) دنباله \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3), \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n), \dots
پیشرفت حسابی
طول سال تقریباً 365 روز است. مقدار دقیق تر \(365\frac(1)(4)\) روز است، بنابراین هر چهار سال یک خطای یک روزه جمع می شود.
برای محاسبه این خطا به هر سال چهارم یک روز اضافه می شود و سال تمدید شده سال کبیسه نامیده می شود.
مثلاً در هزاره سوم سال های کبیسهسال های 2004، 2008، 2012، 2016، ... .
در این دنباله، هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی است که به همان عدد 4 اضافه می شود. چنین دنباله هایی نامیده می شوند. پیشرفت های حسابی.
تعریف.
دنباله اعداد a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... نامیده می شود پیشرفت حسابی، اگر برای همه n برابری طبیعی است
\(a_(n+1) = a_n+d، \)
جایی که d مقداری است.
از این فرمول نتیجه می شود که a n+1 - a n = d. عدد d را تفاضل می گویند پیشرفت حسابی.
با تعریف پیشروی حسابی داریم:
\(a_(n+1)=a_n+d، \quad a_(n-1)=a_n-d، \)
کجا
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)، جایی که \(n>1 \)
بنابراین، هر جمله از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی دو جمله مجاور آن. این نام پیشرفت "حساب" را توضیح می دهد.
توجه داشته باشید که اگر 1 و d داده شوند، می‌توان با استفاده از فرمول تکرارشونده a n+1 = a n + d، باقی‌مانده‌ی پیشرفت حسابی را محاسبه کرد. به این ترتیب محاسبه چند ترم اول پیشرفت کار دشواری نیست، با این حال، برای مثال، یک 100 قبلاً به محاسبات زیادی نیاز دارد. به طور معمول، فرمول n ام برای این مورد استفاده می شود. با تعریف پیشروی حسابی
\(a_2=a_1+d، \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d، \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
و غیره
اصلا،
\(a_n=a_1+(n-1)d، \)
چون ترم نهمیک پیشروی حسابی از جمله اول با جمع (n-1) ضربدر عدد d به دست می آید.
این فرمول نامیده می شود فرمول nامین ترم یک پیشرفت حسابی.
مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی
مجموع تمام اعداد طبیعی از 1 تا 100 را پیدا کنید.
بیایید این مقدار را به دو صورت بنویسیم:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
بیایید این برابری ها را ترم به ترم اضافه کنیم:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
این جمع دارای 100 عبارت است
بنابراین، 2S = 101 * 100، بنابراین S = 101 * 50 = 5050.
اجازه دهید اکنون یک پیشرفت حسابی دلخواه را در نظر بگیریم
a 1، a 2، a 3، ...، a n، ...
فرض کنید S n حاصل جمع n جمله اول این پیشرفت باشد:
S n = a 1، a 2، a 3، ...، a n
سپس مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی برابر است با
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
از آنجایی که \(a_n=a_1+(n-1)d\)، سپس با جایگزینی n در این فرمول، فرمول دیگری برای یافتن دریافت می کنیم. مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما بازیچه نیست :) خوب، دوستان، اگر شما در حال خواندن این متن هستید، پس مدرک داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعاً (نه، مانند آن: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با مقدمه های طولانی عذاب نمی دهم و مستقیماً می روم سر اصل مطلب.
ابتدا چند مثال. بیایید به چندین مجموعه از اعداد نگاه کنیم:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. یعنی: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.
خودت قضاوت کن اولین مجموعه به سادگی اعداد متوالی است که هر کدام یک عدد بیشتر از مجموعه قبلی است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر پنج است، اما این تفاوت هنوز ثابت است. در مورد سوم، کلاً ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. و در این مورد، هر عنصر بعدی به سادگی با $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).
بنابراین: همه این دنباله ها را پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:
تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان میزان با اعداد قبلی تفاوت داشته باشد، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.
نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.
و فقط چند نکته مهم اولاً، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود دستور داددنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. اعداد را نمی توان دوباره مرتب کرد یا تعویض کرد.
ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی را در روح بنویسید (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - این قبلاً یک پیشرفت نامحدود است. به نظر می رسد بیضی بعد از چهار نشان می دهد که تعداد کمی دیگر در راه است. برای مثال بی نهایت زیاد.
من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها می تواند افزایش یا کاهش یابد. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:
تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:
- اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
- اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد، کاهش می یابد.
علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکراری تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).
فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:
- اگر $d \gt 0$ باشد، پیشرفت افزایش می یابد.
- اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
- در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.
بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی که در بالا ارائه شده است محاسبه کنیم. برای این کار کافی است هر دو عنصر مجاور (مثلاً اول و دوم) را بردارید و عدد سمت چپ را از عدد سمت راست کم کنید. به این صورت خواهد بود:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
همانطور که می بینیم، در همه سه موردتفاوت در واقع منفی شد. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، وقت آن است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.
شرایط پیشرفت و فرمول عود
از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:
\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))... \راست\)\]
عناصر منفرد این مجموعه را اعضای یک پیشروی می نامند. آنها با یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.
علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، شرایط همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
به طور خلاصه، برای یافتن ترم $n$th یک پیشروی، باید عبارت $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. این فرمول تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را فقط با دانستن شماره قبلی (و در واقع همه موارد قبلی) پیدا کنید. این بسیار ناخوشایند است، بنابراین یک فرمول حیله گر تری وجود دارد که هر گونه محاسبات را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]
احتمالا قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و کتاب های مشکل ارائه دهند. و در هر کتاب ریاضی منطقی یکی از اولین هاست.
با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.
وظیفه شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.
راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]
پاسخ: (8؛ 3؛ -2)
همین! لطفا توجه داشته باشید: پیشرفت ما در حال کاهش است.
البته، $n=1$ نمی تواند جایگزین شود - اولین عبارت از قبل برای ما شناخته شده است. با این حال، با جایگزینی وحدت، ما متقاعد شدیم که حتی برای اولین ترم فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.
وظیفه شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن مساوی 40- و جملۀ هفدهم آن برابر با 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.
راه حل. بیایید شرط مشکل را با عبارات آشنا بنویسیم:
\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان(تراز) \راست.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]
من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. حال توجه داشته باشیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (از آنجایی که سیستم داریم حق انجام این کار را داریم)، به این نتیجه می رسیم:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]
به همین راحتی می توان تفاوت پیشرفت را پیدا کرد! تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد پیدا شده را با هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:
\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]
حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]
آماده! مشکل حل شده است.
پاسخ: (34-؛ 35-؛ 36-)
به ویژگی جالب پیشروی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]
ساده اما خیلی دارایی مفید، که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال واضح از این موضوع وجود دارد:
وظیفه شماره 3. جمله پنجم یک پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. جمله پانزدهم این پیشرفت را پیدا کنید.
راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]
اما با شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، که از آن داریم:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]
پاسخ: 20.4
همین! ما نیازی به ایجاد سیستم معادلات و محاسبه اولین جمله و تفاوت نداشتیم - همه چیز فقط در چند خط حل شد.
اکنون بیایید به نوع دیگری از مشکل نگاه کنیم - جستجوی عبارات منفی و مثبت یک پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر یک پیشرفت افزایش یابد و اولین عبارت آن منفی باشد، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.
در عین حال، همیشه نمی‌توان این لحظه را با مرور متوالی عناصر به صورت «سر به سر» پیدا کرد. اغلب، مسائل به گونه‌ای نوشته می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین ورق کاغذ را می‌گیرد - در حالی که پاسخ را پیدا می‌کنیم به سادگی می‌خوابیم. بنابراین بیایید سعی کنیم این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.
وظیفه شماره 4. چند جمله منفی در پیشروی حسابی 38.5- وجود دارد. −35.8; ...؟
راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، از جایی که بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:
توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت افزایش می یابد. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.
بیایید سعی کنیم دریابیم که منفی بودن عبارات چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) باقی می ماند:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]
خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، ما فقط به مقادیر صحیح عدد راضی هستیم (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است. .
وظیفه شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.
این دقیقاً همان مشکل قبلی است، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:
علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را از طریق اول و تفاوت را با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]
اکنون به قیاس با کار قبلی پیش می رویم. بیایید دریابیم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ فلش راست ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]
حداقل راه حل عدد صحیح برای این نابرابری عدد 56 است.
لطفاً توجه داشته باشید: در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید منجر شد، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.
اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را مطالعه کنیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر می شود.
میانگین حسابی و تورفتگی مساوی
بیایید چندین ترم متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیریم. بیایید سعی کنیم آنها را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم:
شرایط یک تصاعد حسابی روی خط اعدادمن به طور خاص عبارات دلخواه را علامت گذاری کردم $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$، و نه برخی از $((a)_(1)) ،\ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قانونی که اکنون در مورد آن به شما خواهم گفت برای هر "بخش" یکسان عمل می کند.
و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول تکرارشونده را به خاطر بسپاریم و آن را برای تمام عبارات علامت گذاری شده بنویسیم:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]
با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]
پس چی؟ و این واقعیت که عبارات $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) $ قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ در همان فاصله برابر با $2d$. ما می‌توانیم تا بی نهایت ادامه دهیم، اما معنی به خوبی توسط تصویر نشان داده شده است
شرایط پیشرفت در همان فاصله از مرکز قرار دارد این برای ما چه معنایی دارد؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، $((a)_(n))$ را می توان یافت:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
ما یک جمله عالی به دست آورده ایم: هر جمله یک پیشرفت حسابی با میانگین حسابی عبارت های مجاور آن برابر است! علاوه بر این: می‌توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ قدم برداریم - و فرمول همچنان درست خواهد بود:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از مسائل به طور خاص برای استفاده از میانگین حسابی طراحی شده اند. نگاهی بیندازید:
وظیفه شماره 6. تمام مقادیر $x$ را پیدا کنید که برای آنها اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ عبارت های متوالی هستند. یک پیشرفت حسابی (به ترتیب نشان داده شده).
راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]
کلاسیک شد معادله درجه دوم. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.
پاسخ: −3; 2.
وظیفه شماره 7. مقادیر $$ را بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشروی حسابی را تشکیل می دهند (به ترتیب).
راه حل. اجازه دهید دوباره عبارت میانی را از طریق میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان کنیم:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]
دوباره معادله درجه دوم. و دوباره دو ریشه وجود دارد: $x=6$ و $x=1$.
پاسخ: 1; 6.
اگر در روند حل یک مشکل با تعدادی اعداد وحشیانه مواجه شدید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، تکنیک فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا مشکل را به درستی حل کرده ایم؟
فرض کنید در مسئله شماره 6 پاسخ های -3 و 2 را دریافت کردیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. بیایید $x=-3$ را جایگزین کنیم:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]
ما اعداد -54 را بدست آوردیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]
باز هم یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل شد. کسانی که مایل هستند می توانند مشکل دوم را خودشان بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: همه چیز در آنجا نیز درست است.
به طور کلی در حین حل آخرین مشکلات به مشکل دیگری برخوردیم واقعیت جالب، که همچنین باید به خاطر داشت:
اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین حسابی اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.
در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین «ساختی»، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً بحث شد ناشی می شود.
گروه بندی و جمع بندی عناصر
بیایید دوباره به محور اعداد برگردیم. اجازه دهید در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر را دارد:
6 عنصر در خط اعداد مشخص شده استبیایید سعی کنیم "دم سمت چپ" را از طریق $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را از طریق $((a)_(k))$ و $d$ بیان کنیم. خیلی ساده است:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]
اکنون توجه داشته باشید که مقادیر زیر برابر است:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]
به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را به عنوان شروع در نظر بگیریم که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند و سپس شروع به گام برداشتن از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) کنیم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به وضوح به صورت گرافیکی نشان داد:
تورفتگی های مساوی مقادیر مساوی را نشان می دهند درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلات را به طور اساسی بیشتر حل کنیم سطح بالامشکلاتی نسبت به مواردی که در بالا در نظر گرفتیم. مثلاً اینها:
وظیفه شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.
راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]
بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]
برای کسانی که در مخزن هستند: من ضریب کلی 11 را از براکت دوم برداشتم. بنابراین، محصول مورد نیاز یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر براکت ها را گسترش دهیم، دریافت می کنیم:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
همانطور که می بینید، ضریب بالاترین عبارت 11 است - این است عدد مثبت، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا روبرو هستیم:
برنامه تابع درجه دوم- سهمی
لطفا توجه داشته باشید: حداقل مقداراین سهمی $((d)_(0))$ را در رأس خود با آبسیسا می گیرد. البته می توانیم این آبسیسا را بر اساس محاسبه کنیم طرح استاندارد(فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما بسیار منطقی تر است که توجه داشته باشیم که راس مورد نظر روی محور تقارن قرار دارد. سهمی، بنابراین نقطه $((d) _(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی فاصله دارد:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]
به همین دلیل است که من عجله خاصی برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی آنها، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
عدد کشف شده چه چیزی به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را به خود می گیرد (به هر حال، ما هرگز $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این مورد از ما لازم نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشروی اصلی است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم.
پاسخ: -36
وظیفه شماره 9. بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ سه عدد درج کنید تا همراه با این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.
راه حل. در اصل، ما باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص باشد. بیایید اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهیم:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $y$ را از اعداد $x$ و $z$ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. بیایید میانگین حسابی را به خاطر بسپاریم:
اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ قرار دارد که به تازگی پیدا کردیم. به همین دلیل است
با استفاده از استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:
آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.
پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
وظیفه شماره 10. بین اعداد 2 و 42 چند عدد درج کنید که به همراه این اعداد یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند، اگر می دانید مجموع اعداد اول، دوم و آخر اعداد درج شده 56 است.
راه حل. یک مشکل حتی پیچیده تر، که، با این حال، مطابق با همان طرح قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد باید درج شود. بنابراین، برای قطعیت فرض می کنیم که پس از درج همه چیز دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نیاز را می توان به شکل زیر نشان داد:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 در لبه ها یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
اما سپس عبارت نوشته شده در بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]
با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]
تنها چیزی که باقی می ماند یافتن شرایط باقی مانده است:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]
بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7. 12; 17; 22; 27; 32; 37.
پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
مشکلات کلمه با پیشرفت
در پایان، من می خواهم چند مورد را نسبتاً در نظر بگیرم کارهای ساده. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضیات می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده را نخوانده‌اند، این مشکلات ممکن است سخت به نظر برسند. با این وجود، اینها انواع مشکلاتی هستند که در OGE و آزمون دولتی واحد در ریاضیات ظاهر می شوند، بنابراین توصیه می کنم با آنها آشنا شوید.
وظیفه شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیم در ماه نوامبر چند قسمت تولید کرد؟
راه حل. بدیهی است که تعداد قسمت‌های فهرست‌شده بر اساس ماه نشان‌دهنده یک پیشرفت محاسباتی فزاینده است. علاوه بر این:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]
نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
بنابراین در آبان ماه 202 قطعه تولید خواهد شد.
کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و در هر ماه بعد 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟
راه حل. همه چیز یکسان است:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$
دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.
خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، من عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانید با خیال راحت به درس بعدی بروید، جایی که ما فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.
ماهیت اصلی فرمول چیست؟
این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او " n" .
البته باید ترم اول را هم بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.
حفظ کردن این فرمول کافی نیست. شما باید ماهیت آن را درک کنید و فرمول را در مسائل مختلف اعمال کنید. و همچنین در لحظه مناسب فراموش نکنیم، بله...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. اما چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت لزوم حتما به شما توصیه می کنم. برای کسانی که درس را تا پایان کامل می کنند.)
بنابراین، بیایید به فرمول ترم n یک پیشروی حسابی نگاه کنیم.
به طور کلی فرمول چیست؟ به هر حال، اگر آن را نخوانده اید، نگاهی بیندازید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چیست ترم نهم
پیشرفت در نمای کلیرا می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم، یک 4- چهارم، و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم یک 120.
چگونه می توانیم آن را به صورت کلی تعریف کنیم؟ هرعبارت یک پیشرفت حسابی، با هرشماره؟ خیلی ساده! مثل این:
a n
این است نهمین ترم یک پیشرفت حسابی.حرف n همه اعداد اعضا را به طور همزمان پنهان می کند: 1، 2، 3، 4 و غیره.
و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد یک حرف نوشتند...
این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و یک سری مشکلات پیشرفت دیگر را حل کنید. خودت بیشتر میبینی
در فرمول ترم n یک پیشرفت حسابی:
| a n = a 1 + (n-1)d |
یک 1- اولین ترم یک پیشرفت حسابی؛
n- شماره عضو
فرمول متصل می شود پارامترهای کلیدیهر گونه پیشرفت: a n ; a 1 ; دو n. تمام مشکلات پیشرفت حول این پارامترها می چرخد.
از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، مشکل ممکن است بگوید که پیشرفت با شرط مشخص شده است:
a n = 5 + (n-1) 2.
چنین مشکلی می تواند بن بست باشد... نه سری است و نه تفاوت... اما با مقایسه شرط با فرمول به راحتی می توان فهمید که در این پیشروی a 1 = 5 و d = 2.
و حتی می تواند بدتر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، پرانتز را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:
a n = 3 + 2n.
این فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. اینجاست که دام در کمین است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگرچه در واقع اولین ترم پنج است ... کمی پایین تر با چنین فرمول اصلاح شده ای کار خواهیم کرد.
در مشکلات پیشرفت یک نماد دیگر وجود دارد - یک n+1. همانطور که حدس زدید، این عبارت "n به علاوه اول" پیشرفت است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشروی است که تعداد آن از عدد n در یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما را a nترم پنجم پس از آن یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و امثال آن.
اغلب تعیین یک n+1در فرمول های عود یافت می شود. از این کلمه ترسناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان عضوی از یک پیشروی حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از یک فرمول تکراری، یک پیشرفت حسابی در این شکل به ما داده می شود:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. چگونه می توانیم فوراً مثلاً ترم بیستم را بشماریم؟ یک 20? اما هیچ راهی وجود ندارد!) تا زمانی که ترم 19 را پیدا نکنیم، نمی توانیم 20 را بشماریم. این تفاوت اساسی بین فرمول مکرر و فرمول ترم n است. مکرر فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n از طریق است اولو اجازه می دهد بلافاصلههر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون محاسبه کل سری اعداد به ترتیب.
در یک پیشرفت حسابی، تبدیل فرمول تکراری به یک فرمول معمولی آسان است. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمولش بنویسید و با آن کار کنید. در آکادمی علوم دولتی، اغلب با چنین وظایفی مواجه می‌شویم.
استفاده از فرمول برای ترم n یک پیشروی حسابی.
ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:
یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.
این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای یک پیشرفت حسابی حل کرد. اضافه کنید و اضافه کنید... یکی دو ساعت.)
و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) بیایید تصمیم بگیریم.
شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 = 3، d = 1/6.باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی برابر است nسوالی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. پس می نویسیم:
لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مندیم. شماره یکصد و بیست و یکاین مال ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. همه اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
همین. به همان سرعتی که می‌توان کلمه پانصد و دهم و هزار و سوم را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " یک"و در پرانتز، و ما شمارش می کنیم.
بگذارید این نکته را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هرترم پیشروی حسابی با شماره او " n" .
بیایید مشکل را به روشی زیرکانه تر حل کنیم. اجازه دهید با مشکل زیر مواجه شویم:
جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بیابید، اگر a 17 =-2; d=-0.5.
اگر مشکلی دارید قدم اول را به شما می گویم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله، بله. با دستانتان درست در دفترچه یادداشت کنید:
| a n = a 1 + (n-1)d |
و اکنون، با نگاهی به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ موجود است d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد... همین است؟ اگر فکر می کنید همین است، پس مشکل را حل نمی کنید، بله...
ما هنوز یک شماره داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو پارامتراین هم مقدار جمله هفدهم (2-) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «ریزه کاری» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. گرچه... و بدون سر هم.)
اکنون می‌توانیم به سادگی داده‌های خود را با فرمول جایگزین کنیم:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
اوه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید جایگزین کنیم:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
اساساً همین است. باقی مانده است که جمله اول پیشروی حسابی را از فرمول بیان کنیم و آن را محاسبه کنیم. پاسخ این خواهد بود: a 1 = 6.
این تکنیک - نوشتن یک فرمول و به سادگی جایگزینی داده های شناخته شده - کمک بزرگی در کارهای ساده است. خب البته باید بتوانید یک متغیر را از فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت ممکن است اصلا ریاضی نخوانید...
یک پازل محبوب دیگر:
تفاوت پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 1 =2; a 15 = 12.
ما چه کار می کنیم؟ تعجب خواهید کرد، ما در حال نوشتن فرمول هستیم!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
بیایید آنچه را که می دانیم در نظر بگیریم: a 1 = 2; a 15 = 12; و (به ویژه برجسته می کنم!) n=15. با خیال راحت این را در فرمول جایگزین کنید:
12=2 + (15-1) روز
ما حساب را انجام می دهیم.)
12=2 + 14 روز
د=10/14 = 5/7
این پاسخ صحیح است.
بنابراین، وظایف برای a n، a 1و دتصمیم گرفت. تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:
عدد 99 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است که a 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.
ما مقادیر شناخته شده را در فرمول n ام جایگزین می کنیم:
a n = 12 + (n-1) 3
در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nاما a n- این برخی از اعضای پیشرفت با یک عدد است n...و ما این عضو پیشرفت را می شناسیم! 99 است. ما شماره اش را نمی دانیم. nبنابراین این شماره همان چیزی است که باید پیدا کنید. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین می کنیم:
99 = 12 + (n-1) 3
از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.
و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):
تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است یا خیر:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم... چرا به ما چشم می دهند؟) ترم اول پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 = -3.6.تفاوت دآیا می توانید از سریال بگویید؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
بنابراین، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم ... چه باید کرد!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)
ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله، بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:
اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت اتفاق نمی افتدچه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ بله! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین ترم صد و اول و صد و دوم است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. یک عدد صحیح مثبت است، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ مشکل این خواهد بود: خیر
وظیفه ای بر اساس نسخه واقعی GIA:
پیشروی حسابی با شرط زیر داده می شود:
a n = -4 + 6.8n
عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.
در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول nامین ترم یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.
ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه می شود!) زیرا فرمول موجود در مسئله اصلاح شده است. عبارت اول از پیشروی حسابی در آن پنهان شده است.اشکالی ندارد، اکنون آن را پیدا خواهیم کرد.)
درست مانند مشکلات قبلی، جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!
ما برای ترم دهم به همین ترتیب جستجو می کنیم:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
همین.
و اکنون، برای کسانی که این خطوط را خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)
فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار آزمون دولتی یا یکپارچه آزمون دولتی، فرمول مفید ترم n یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. من چیزی را به یاد می آورم، اما به نحوی نامطمئن... یا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟
آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. نه خیلی سخت، اما برای اطمینان و تصمیم درستقطعاً کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای وضوح.
یک خط اعداد بکشید و اولین مورد را روی آن علامت بزنید. دوم، سوم و غیره اعضا و ما تفاوت را یادداشت می کنیم دبین اعضا مثل این:
ما به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: عبارت دوم برابر با چه چیزی است؟ دوم یکی د:
الف 2 =a 1 + 1 د
ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.
الف 3 =a 1 + 2 د
آیا آن را می گیرید؟ بیهوده نیست که برخی کلمات را برجسته می کنم به صورت پررنگ. خوب، یک قدم دیگر).
ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.
الف 4 =a 1 + 3 د
وقت آن رسیده است که متوجه شویم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی به عدد n، تعداد فضاهاخواهد شد n-1.بنابراین، فرمول (بدون تغییرات!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر ترسیم یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید تصویری را در معادله وارد کنید ...
وظایف برای راه حل مستقل.
برای گرم کردن:
1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 را پیدا کنید.
نکته: با توجه به تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل با استفاده از تصویر و فرمول حل شده است. تفاوت را احساس کنید!)
و این دیگر گرم کردن نیست.)
2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 =19.1; a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.
چه، شما نمی خواهید یک نقاشی بکشید؟) البته! طبق فرمول بهتره، بله...
3. پیشروی حسابی با شرط داده می شود:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشرفت را بیابید.
در این کار، پیشرفت به صورت تکراری مشخص می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه توانایی چنین شاهکاری را ندارند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!
4. با توجه به پیشرفت حسابی (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.
5. با توجه به شرایط تکلیف 4، مجموع کوچکترین مثبت و بزرگترین جملات منفی پیشروی را پیدا کنید.
6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک پیشروی حسابی فزاینده برابر با 2.5- و مجموع جمله های سوم و یازدهم برابر با صفر است. 14 را پیدا کنید.
ساده ترین کار نیست، بله...) روش "نوک انگشت" در اینجا کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.
پاسخ ها (به هم ریخته):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
کار کرد؟ خوب است!)
همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، یک نکته ظریف در آخرین کار وجود دارد. هنگام خواندن مشکل دقت لازم است. و منطق.
راه حل همه این مسائل به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و نکته ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی که شامل فرمول n ام است - همه چیز شرح داده شده است. من آن را توصیه می کنم.
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
| بخوانید: |
|---|
جدید
- جملات شاعرانه چهره زمستانی برای کودکان
- درس زبان روسی "علامت نرم بعد از خش خش اسم"
- درخت سخاوتمند (مثل) چگونه می توان با یک پایان خوش برای افسانه درخت سخاوتمند رسید
- طرح درس در مورد دنیای اطراف ما با موضوع "چه زمانی تابستان خواهد آمد؟
- آسیای شرقی: کشورها، جمعیت، زبان، مذهب، تاریخ، مخالف نظریه های شبه علمی تقسیم نژادهای بشری به پایین و بالاتر، حقیقت را به اثبات رساند.
- طبقه بندی دسته بندی های مناسب برای خدمت سربازی
- مال اکلوژن و ارتش مال اکلوژن در ارتش پذیرفته نمی شود
- چرا خواب مادر مرده را زنده می بینید: تعبیر کتاب های رویایی
- متولدین فروردین تحت چه علائم زودیاک هستند؟
- چرا خواب طوفان روی امواج دریا را می بینید؟
