یک مثال ماتریسی را معکوس کنید. وجود و منحصر به فرد بودن تعریف ماتریس معکوس

تعریف 1:یک ماتریس اگر تعیین کننده آن صفر باشد منفرد نامیده می شود. تعریف 2:یک ماتریس در صورتی غیر مفرد نامیده می شود که تعیین کننده آن برابر با صفر نباشد. ماتریس "A" نامیده می شود ماتریس معکوس، اگر شرط A*A-1 = A-1 *A = E (ماتریس واحد) برآورده شود. یک ماتریس مربع فقط در صورتی معکوس است که غیر مفرد باشد. طرحی برای محاسبه ماتریس معکوس: 1) تعیین کننده ماتریس A را محاسبه کنید اگر ∆ A = 0، پس ماتریس معکوس وجود ندارد. 2) تمام مکمل های جبری ماتریس "A" را بیابید. 3) ایجاد یک ماتریس از اضافات جبری (Aij) 4) ماتریس متمم های جبری (Aij )T را جابجا کنید 5) ماتریس انتقال یافته را در معکوس دترمینان این ماتریس ضرب کنید. 6) بررسی را انجام دهید: در نگاه اول ممکن است پیچیده به نظر برسد، اما در واقع همه چیز بسیار ساده است. همه راه حل ها مبتنی بر عملیات ساده حسابی هستند، نکته اصلی هنگام حل این است که با علائم "-" و "+" اشتباه نگیرید و آنها را از دست ندهید. حالا بیایید با محاسبه ماتریس معکوس یک مسئله عملی را حل کنیم. وظیفه: ماتریس معکوس "A" که در تصویر زیر نشان داده شده است را بیابید: ما همه چیز را دقیقاً همانطور که در طرح محاسبه ماتریس معکوس نشان داده شده است حل می کنیم. 1. اولین کاری که باید انجام دهید این است که تعیین کننده ماتریس A را پیدا کنید: توضیح: ما تعیین کننده خود را با استفاده از توابع اصلی آن ساده کرده ایم. ابتدا عناصر خط اول را در یک عدد ضرب به خط دوم و سوم اضافه کردیم. ثانیاً ستون 2 و 3 دترمینان را تغییر دادیم و با توجه به خصوصیات آن علامت جلوی آن را تغییر دادیم. ثالثاً ضریب مشترک (-1) خط دوم را خارج کردیم و به این ترتیب علامت را دوباره تغییر دادیم و مثبت شد. ما همچنین خط 3 را به همان روشی که در همان ابتدای مثال بود ساده کردیم. ما یک دترمین مثلثی داریم که عناصر آن زیر قطر برابر با صفر و با خاصیت 7 برابر است با حاصلضرب عناصر قطری. در نهایت ما گرفتیم ∆ A = 26، بنابراین ماتریس معکوس وجود دارد. A11 = 1*(3+1) = 4 A12 = -1*(9+2) = -11 A13 = 1 * 1 = 1 A21 = -1*(-6) = 6 A22 = 1 * (3-0) = 3 A23 = -1*(1+4) = -5 A31 = 1*2 = 2 A32 = -1*(-1) = -1 A33 = 1+(1+6) = 7 3. مرحله بعدی کامپایل یک ماتریس از اضافات حاصل است: 5. این ماتریس را در معکوس دترمینان ضرب کنید، یعنی در 1/26: 6. اکنون فقط باید بررسی کنیم: در طول آزمایش، ما یک ماتریس هویت دریافت کردیم، بنابراین، راه حل کاملاً درست انجام شد. 2 روش برای محاسبه ماتریس معکوس. 1. تبدیل ماتریس ابتدایی 2. ماتریس معکوس از طریق مبدل ابتدایی. تبدیل ماتریس ابتدایی شامل: 1. ضرب رشته در عددی که برابر با صفر نباشد. 2. به هر خطی سطر دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید. 3. ردیف های ماتریس را عوض کنید. 4. با اعمال زنجیره ای از تبدیل های ابتدایی، ماتریس دیگری به دست می آوریم. الف -1 = ? 1. (اِ|اِ) ~ (اِ|ا -1 ) 2.A -1 * A = E بیایید به این نگاه کنیم مثال عملیبا اعداد واقعی ورزش:ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل: بیایید بررسی کنیم: توضیح مختصری در مورد راه حل: ابتدا ردیف های 1 و 2 ماتریس را دوباره مرتب کردیم، سپس ردیف اول را در (-1) ضرب کردیم. بعد از آن سطر اول را در (2-) ضرب کرده و با سطر دوم ماتریس اضافه می کنیم. سپس خط 2 را در 1/4 ضرب کردیم. مرحله نهایی تبدیل، ضرب خط دوم در 2 و جمع کردن آن با خط اول بود. در نتیجه، ما یک ماتریس هویت در سمت چپ داریم، بنابراین، ماتریس معکوس، ماتریس سمت راست است. پس از بررسی، متقاعد شدیم که تصمیم درست بوده است. همانطور که می بینید، محاسبه ماتریس معکوس بسیار ساده است. در پایان این سخنرانی، من نیز می خواهم زمان کمی را به ویژگی های چنین ماتریسی اختصاص دهم. پیدا کردن ماتریس معکوس در این مقاله با مفهوم ماتریس معکوس، خواص و روش های یافتن آن آشنا می شویم. اجازه دهید در حل مثال هایی که در آنها لازم است یک ماتریس معکوس برای یک مورد داده شده بسازیم، با جزئیات صحبت کنیم. پیمایش صفحه. ماتریس معکوس - تعریف. یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از متمم های جبری. ویژگی های یک ماتریس معکوس یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش گاوس-جردن. یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی. ماتریس معکوس - تعریف. مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی که تعیین کننده آنها غیر صفر است، یعنی برای ماتریس های مربع غیر منفرد معرفی شده است. تعریف. ماتریسمعکوس یک ماتریس نامیده می شود، که اگر تساوی ها درست باشند، تعیین کننده آن با صفر متفاوت است ، کجا E- ماتریس سفارش واحد nدر n. یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک ماتریس از متمم های جبری. چگونه ماتریس معکوس را برای یک مورد معین پیدا کنیم؟ ابتدا به مفاهیم نیاز داریم ماتریس جابجا شده، ماتریس مینور و مکمل جبری یک عنصر ماتریس. تعریف. جزئیkth سفارش دهیدماتریس ها الفسفارش دهید متردر nتعیین کننده ماتریس ترتیب است کدر ک، که از عناصر ماتریس به دست می آید الفواقع در انتخاب شده است کخطوط و کستون ها ( کاز کوچکترین عدد تجاوز نمی کند متریا n). جزئی (n-1)thنظم، که از عناصر تمام ردیف ها تشکیل شده است به جز i-th، و تمام ستون ها به جز jth، ماتریس مربع الفسفارش دهید nدر nبیایید آن را به عنوان . به عبارت دیگر، مینور از یک ماتریس مربع به دست می آید الفسفارش دهید nدر nبا خط زدن عناصر i-thخطوط و jthستون مثلاً بنویسیم، جزئی 2منظور که از ماتریس به دست می آید انتخاب عناصر ردیف های دوم، سوم و ستون های اول، سوم . ما مینور را نیز نشان خواهیم داد که از ماتریس به دست می آید با خط زدن خط دوم و ستون سوم . اجازه دهید ساخت این خردسالان را نشان دهیم: و . تعریف. متمم جبریعنصر یک ماتریس مربع جزئی نامیده می شود (n-1)thمنظور که از ماتریس به دست می آید الف، خط زدن عناصر آن i-thخطوط و jthستون ضرب در . متمم جبری یک عنصر را به صورت . بنابراین، . به عنوان مثال، برای ماتریس مکمل جبری یک عنصر است. ثانیاً ما به دو خاصیت دترمینانت نیاز خواهیم داشت که در بخش به آنها پرداختیم محاسبه دترمینان یک ماتریس: بر اساس این ویژگی های تعیین کننده، تعریف عملیات ضرب یک ماتریس در یک عددو مفهوم ماتریس معکوس درست است: ، جایی که یک ماتریس جابجا شده است که عناصر آن مکمل های جبری هستند. ماتریس در واقع معکوس ماتریس است الف، از آنجایی که برابری ها برآورده می شوند . بیایید آن را نشان دهیم بیایید آهنگسازی کنیم الگوریتم برای یافتن ماتریس معکوسبا استفاده از برابری . بیایید به الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با استفاده از یک مثال نگاه کنیم. مثال. با توجه به یک ماتریس . ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل. بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم الف، تجزیه آن به عناصر ستون سوم: دترمینان غیر صفر است، بنابراین ماتریس الفبرگشت پذیر بیایید ماتریسی از اضافات جبری را پیدا کنیم: به همین دلیل است بیایید ماتریس را از جمع های جبری جابه جا کنیم: اکنون ماتریس معکوس را به عنوان پیدا می کنیم : بیایید نتیجه را بررسی کنیم: برابری ها راضی هستند، بنابراین، ماتریس معکوس به درستی یافت می شود. ویژگی های یک ماتریس معکوس مفهوم ماتریس معکوس، برابری ، تعاریف عملیات روی ماتریس ها و ویژگی های تعیین کننده یک ماتریس توجیه موارد زیر را ممکن می سازد. خواص ماتریس معکوس: یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی. بیایید راه دیگری را برای یافتن ماتریس معکوس برای یک ماتریس مربع در نظر بگیریم الفسفارش دهید nدر n. این روش بر اساس راه حل است nسیستم های معادلات جبری ناهمگن خطی با nناشناخته متغیرهای مجهول در این سیستم معادلات، عناصر ماتریس معکوس هستند. ایده بسیار ساده است. اجازه دهید ماتریس معکوس را به صورت نشان دهیم X، یعنی . از آنجایی که طبق تعریف ماتریس معکوس، پس با معادل سازی عناصر مربوطه توسط ستون، به دست می آوریم nسیستم ها معادلات خطی آنها را به هر طریقی حل می کنیم و از مقادیر یافت شده یک ماتریس معکوس تشکیل می دهیم. بیایید با یک مثال به این روش نگاه کنیم. مثال. با توجه به یک ماتریس . ماتریس معکوس را پیدا کنید. راه حل. قبول کنیم . تساوی سه سیستم معادلات جبری ناهمگن خطی را به ما می دهد: در صورت لزوم راه حل این سیستم ها را شرح نمی دهیم، به بخش مراجعه کنید حل سیستم معادلات جبری خطی. از اولین سیستم معادلات ما، از دوم - ، از سوم - . بنابراین، ماتریس معکوس مورد نیاز شکل دارد . توصیه می کنیم آن را بررسی کنید تا مطمئن شوید نتیجه درست است. بیایید خلاصه کنیم. ما به مفهوم ماتریس معکوس، خواص آن و سه روش برای یافتن آن نگاه کردیم. نمونه ای از راه حل ها با استفاده از روش ماتریس معکوس وظیفه 1. SLAE را با استفاده از روش ماتریس معکوس حل کنید. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4 شروع فرم پایان فرم راه حل. بیایید ماتریس را به شکل بنویسیم: بردار B: B T = (1،2،3،4) تعیین کننده اصلی جزئی برای (1،1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 جزئی برای (2،1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 جزئی برای (3،1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 جزئی برای (4،1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 تعیین کننده جزئی ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3 ماتریس جابجا شدهجمع های جبری ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 ماتریس معکوس بردار نتایج X X = A -1 ∙ B X T = (2،-1،-0.33،1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1 همچنین ببینید حل SLAEها با استفاده از روش ماتریس معکوسآنلاین برای انجام این کار، داده های خود را وارد کنید و راه حلی با نظرات دقیق دریافت کنید. وظیفه 2. سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. محلول حاصل را بررسی کنید. راه حل:xml:xls مثال 2. سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. راه حل:xml:xls مثال. یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول داده شده است. مورد نیاز: 1) با استفاده از راه حل آن را پیدا کنید فرمول های کرامر; 2) سیستم را به صورت ماتریس بنویسید و آن را با استفاده از حساب ماتریسی حل کنید. توصیه های روشی. پس از حل به روش کرامر، دکمه "حل به روش ماتریس معکوس برای داده های منبع" را پیدا کنید. راه حل مناسب را دریافت خواهید کرد. بنابراین، دیگر نیازی به پر کردن اطلاعات نخواهید داشت. راه حل. اجازه دهید ماتریس ضرایب مجهولات را با A نشان دهیم. X - ماتریس-ستون مجهولات؛ ب - ماتریس-ستون اعضای آزاد: بردار B: B T =(4,-3,-3) با در نظر گرفتن این نمادها، این سیستم معادلات شکل ماتریس زیر را به خود می گیرد: A*X = B. اگر ماتریس A غیر مفرد باشد (تعیین کننده آن غیر صفر است. سپس دارای یک ماتریس معکوس A -1 است که هر دو طرف معادله را در A -1 ضرب می کنیم: A -1 *A*X = A -1 *B، A -1 *A=E. نمادگذاری ماتریسی راه حل برای یک سیستم معادلات خطی. برای یافتن راه حل برای سیستم معادلات، باید ماتریس معکوس A -1 را محاسبه کرد. اگر تعیین کننده ماتریس A غیر صفر باشد، سیستم راه حلی خواهد داشت. بیایید تعیین کننده اصلی را پیدا کنیم. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 بنابراین، تعیین کننده 14 ≠ 0، پس ما ادامه راه حل برای این کار، ماتریس معکوس را از طریق جمع های جبری پیدا می کنیم. اجازه دهید یک ماتریس غیر تکی A داشته باشیم: متمم های جبری را محاسبه می کنیم. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1،1،2) x 1 = -14 / 14 = - 1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 معاینه. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 سند:xml:xls پاسخ: -1,1,2.

پیدا کردن ماتریس معکوس- مشکلی که اغلب با دو روش حل می شود:

• روش اضافات جبری که مستلزم یافتن تعیین کننده ها و جابجایی ماتریس ها است.
• روش گاوسی حذف مجهولات، که مستلزم انجام تبدیل های ابتدایی ماتریس ها (افزودن سطرها، ضرب سطرها در همان تعداد و غیره) است.

برای کسانی که به ویژه کنجکاو هستند، روش های دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال، روش تبدیل های خطی. در این درس سه روش و الگوریتم ذکر شده را برای یافتن ماتریس معکوس با استفاده از این روش ها تحلیل خواهیم کرد.

ماتریس معکوس الف، چنین ماتریسی نامیده می شود

الف
. (1)

ماتریس معکوس ، که باید برای یک ماتریس مربع مشخص پیدا شود الف، چنین ماتریسی نامیده می شود

حاصل ضرب آن ماتریس ها الفدر سمت راست ماتریس هویت است، یعنی.
. (1)

ماتریس هویت یک ماتریس مورب است که در آن همه عناصر مورب برابر با یک هستند.

قضیه.برای هر ماتریس مربع غیرمفرد (غیر منحط، غیر مفرد)، می توان یک ماتریس معکوس پیدا کرد و فقط یک. برای یک ماتریس مربع خاص (منحط، منفرد)، ماتریس معکوس وجود ندارد.

ماتریس مربع نامیده می شود خاص نیست(یا غیر منحط, غیر مفرد، اگر تعیین کننده آن صفر نباشد و خاص(یا منحط, مفرد) اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

معکوس یک ماتریس را فقط برای یک ماتریس مربع می توان یافت. به طور طبیعی، ماتریس معکوس نیز مربع و به همان ترتیب ماتریس داده شده خواهد بود. ماتریسی که می توان برای آن ماتریس معکوس پیدا کرد، ماتریس معکوس نامیده می شود.

برای ماتریس معکوس یک قیاس مرتبط با معکوس یک عدد وجود دارد. برای هر عدد الف، برابر با صفر نیست، چنین عددی وجود دارد بکه کار الفو ببرابر یک: ab= 1. شماره بمعکوس یک عدد نامیده می شود ب. به عنوان مثال، برای عدد 7، متقابل 1/7 است، زیرا 7*1/7=1 است.

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش جمع های جبری (ماتریس متحد)

برای یک ماتریس مربع غیر منفرد الفمعکوس ماتریس است

تعیین کننده ماتریس کجاست الف، a یک ماتریس است که با ماتریس متحد شده است الف.

متحد با ماتریس مربع الفماتریسی از همان ترتیب است که عناصر آن مکمل های جبری عناصر متناظر تعیین کننده ماتریس هستند که نسبت به ماتریس A جابجا شده اند. بنابراین، اگر

که

و

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش جمع جبری

1. تعیین کننده این ماتریس را پیدا کنید الف. اگر دترمینان برابر با صفر باشد، یافتن ماتریس معکوس متوقف می شود، زیرا ماتریس مفرد است و معکوس آن وجود ندارد.

2. ماتریس جابجا شده با توجه به را پیدا کنید الف.

3. عناصر ماتریس اتحاد را به عنوان مکمل های جبری ماریتس موجود در مرحله 2 محاسبه کنید.

4. اعمال فرمول (2): معکوس دترمینان ماتریس را ضرب کنید الف، به ماتریس اتحاد یافت شده در مرحله 4.

5. نتیجه به دست آمده در مرحله 4 را با ضرب این ماتریس بررسی کنید الفبه ماتریس معکوس اگر حاصل ضرب این ماتریس ها برابر با ماتریس هویت باشد، ماتریس معکوس به درستی پیدا شده است. در غیر این صورت، فرآیند حل را دوباره شروع کنید.

مثال 1.برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

راه حل. برای پیدا کردن ماتریس معکوس، باید تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید الف. با قانون مثلث ها می یابیم:

بنابراین، ماتریس الف– غیر مفرد (غیر منحط، غیر مفرد) و برای آن معکوس وجود دارد.

بیایید یک ماتریس مرتبط با این ماتریس پیدا کنیم الف.

بیایید ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس را پیدا کنیم الف:

ما عناصر ماتریس متحد را به عنوان مکمل های جبری ماتریس جابجا شده با توجه به ماتریس محاسبه می کنیم. الف:

بنابراین، ماتریس با ماتریس متحد شد الف، فرم را دارد

نظر دهید.ترتیب محاسبه عناصر و انتقال ماتریس ممکن است متفاوت باشد. ابتدا می توانید مکمل های جبری ماتریس را محاسبه کنید الف، و سپس ماتریس متمم جبری را جابجا کنید. نتیجه باید همان عناصر ماتریس اتحاد باشد.

با استفاده از فرمول (2)، ماتریس را معکوس به ماتریس می یابیم الف:

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش حذف مجهول گاوسی

اولین قدم برای یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش حذف گاوسی، اختصاص دادن به ماتریس است. الفماتریس هویت از همان ترتیب، آنها را با یک نوار عمودی جدا می کند. ما یک ماتریس دوگانه خواهیم داشت. بیایید هر دو طرف این ماتریس را در ضرب کنیم، سپس به دست می آوریم

,

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس با استفاده از روش حذف مجهول گاوسی

1. به ماتریس الفیک ماتریس هویت با همان ترتیب اختصاص دهید.

2. ماتریس دوگانه حاصل را طوری تبدیل کنید که در سمت چپ ماتریس واحد و سپس در سمت راست به جای ماتریس هویت، به طور خودکار یک ماتریس معکوس دریافت کنید. ماتریس الفدر سمت چپ با تبدیل های ماتریس ابتدایی به ماتریس هویت تبدیل می شود.

2. اگر در فرآیند تبدیل ماتریس الفدر ماتریس هویت فقط صفرها در هر سطر یا هر ستون وجود خواهد داشت، سپس تعیین کننده ماتریس برابر با صفر است و در نتیجه ماتریس الفمفرد خواهد بود و ماتریس معکوس ندارد. در این حالت، تعیین بیشتر ماتریس معکوس متوقف می شود.

مثال 2.برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

و آن را طوری تبدیل می کنیم که در سمت چپ ماتریس هویت به دست می آید. ما تحول را آغاز می کنیم.

سطر اول ماتریس چپ و راست را در (-3) ضرب می کنیم و به ردیف دوم اضافه می کنیم و سپس ردیف اول را در (4-) ضرب می کنیم و به ردیف سوم اضافه می کنیم، سپس به دست می آید.

.

به طوری که در صورت امکان وجود ندارد اعداد کسریدر طول تبدیل های بعدی، ابتدا یک واحد در ردیف دوم در سمت چپ ماتریس دوگانه ایجاد می کنیم. برای این کار خط دوم را در 2 ضرب کرده و خط سوم را از آن کم می کنیم سپس به دست می آوریم

.

سطر اول را با خط دوم جمع می کنیم و سپس خط دوم را در (9-) ضرب می کنیم و با خط سوم جمع می کنیم. سپس می گیریم

.

سپس خط سوم را بر 8 تقسیم کنید

.

خط سوم را در 2 ضرب کنید و به خط دوم اضافه کنید. معلوم می شود:

.

بیایید خط دوم و سوم را با هم عوض کنیم، سپس در نهایت می‌گیریم:

.

می بینیم که در سمت چپ ماتریس هویت داریم، بنابراین در سمت راست ماتریس معکوس داریم. بدین ترتیب:

.

می توانید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی در ماتریس معکوس یافت شده بررسی کنید:

نتیجه باید یک ماتریس معکوس باشد.

مثال 3.برای ماتریس

ماتریس معکوس را پیدا کنید

راه حل. کامپایل یک ماتریس دوگانه

و ما آن را متحول خواهیم کرد.

خط اول را در 3 و دومی را در 2 ضرب می کنیم و از دومی کم می کنیم و سپس خط اول را در 5 و سومی را در 2 ضرب می کنیم و از خط سوم کم می کنیم سپس به دست می آید.

.

خط اول را در 2 ضرب می کنیم و به دومی اضافه می کنیم و دومی را از خط سوم کم می کنیم و به دست می آوریم.

.

می بینیم که در خط سوم سمت چپ همه عناصر برابر با صفر هستند. بنابراین، ماتریس منفرد است و ماتریس معکوس ندارد. ما دیگر یافتن ماریتس معکوس را متوقف می کنیم.

جبر ماتریسی - ماتریس معکوس

ماتریس معکوس

ماتریس معکوسماتریسی است که وقتی در سمت راست و چپ در یک ماتریس معین ضرب شود، ماتریس هویت به دست می‌آید.
اجازه دهید ماتریس معکوس ماتریس را نشان دهیم الفاز طریق ، سپس طبق تعریف بدست می آوریم:

کجا E- ماتریس هویت
ماتریس مربعتماس گرفت خاص نیست (غیر منحط) اگر تعیین کننده آن صفر نباشد. در غیر این صورت نامیده می شود خاص (منحط) یا مفرد.

قضیه بر این اساس است: هر ماتریس غیر مفرد یک ماتریس معکوس دارد.

عملیات یافتن ماتریس معکوس نامیده می شود درخواست تجدید نظرماتریس ها بیایید الگوریتم وارونگی ماتریس را در نظر بگیریم. اجازه دهید یک ماتریس غیر مفرد داده شود n- مرتبه:

جایی که Δ = det الف ≠ 0.

جمع جبری یک عنصرماتریس ها n- مرتبه الفتعیین کننده ماتریس گرفته شده با علامت معین نامیده می شود ( n-1) مرتبه ای که با حذف به دست می آید من-مین خط و jستون ماتریس ام الف:

بیایید به اصطلاح ایجاد کنیم پیوست شده استماتریس:

مکمل های جبری عناصر مربوطه ماتریس کجا هستند الف.
توجه داشته باشید که جمع های جبری عناصر ردیف ماتریس الفدر ستون های مربوطه ماتریس قرار می گیرند Ã ، یعنی ماتریس در همان زمان جابجا می شود.
با تقسیم تمام عناصر ماتریس Ã توسط Δ - مقدار تعیین کننده ماتریس الف، ماتریس معکوس را در نتیجه بدست می آوریم:

بیایید ردیف را یادداشت کنیم خواص ویژهماتریس معکوس:
1) برای یک ماتریس معین الفماتریس معکوس آن تنها است؛
2) اگر ماتریس معکوس وجود داشته باشد، پس سمت راست معکوسو سمت چپ معکوسماتریس ها با آن منطبق هستند.
3) یک ماتریس مربع منفرد (مفرد) ماتریس معکوس ندارد.

ویژگی های اساسی یک ماتریس معکوس:
1) تعیین کننده ماتریس معکوس و تعیین کننده ماتریس اصلی متقابل هستند.
2) ماتریس معکوس حاصل ضرب ماتریس های مربع برابر است با حاصلضرب ماتریس معکوس عوامل به ترتیب معکوس:

3) ماتریس معکوس انتقالی برابر با ماتریس معکوس ماتریس انتقال داده شده است:

مثال معکوس ماتریس داده شده را محاسبه کنید.

مشابه معکوس در بسیاری از خواص.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

✪ نحوه پیدا کردن معکوس یک ماتریس - bezbotvy

✪ ماتریس معکوس (2 راه برای پیدا کردن)

✪ ماتریس معکوس شماره 1

✪ 2015/01/28. ماتریس معکوس 3x3

✪ 2015/01/27. ماتریس معکوس 2x2

زیرنویس

ویژگی های یک ماتریس معکوس

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))، کجا det (\displaystyle \\det)تعیین کننده را نشان می دهد.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))برای دو ماتریس معکوس مربع A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))، کجا (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))نشان دهنده یک ماتریس جابجا شده است.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))برای هر ضریب k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• اگر حل یک سیستم معادلات خطی ضروری باشد، (b بردار غیر صفر است) که در آن x (\displaystyle x)بردار مورد نظر است و اگر A - 1 (\displaystyle A^(-1))وجود دارد، پس x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). در غیر این صورت یا ابعاد فضای حل بزرگتر از صفر است یا اصلاً جوابی وجود ندارد.

روشهای یافتن ماتریس معکوس

اگر ماتریس معکوس باشد، برای یافتن ماتریس معکوس می توانید از یکی از روش های زیر استفاده کنید:

روشهای دقیق (مستقیم).

روش گاوس-اردن

بیایید دو ماتریس را در نظر بگیریم: الفو مجرد E. بیایید ماتریس را ارائه دهیم الفبه ماتریس هویت با استفاده از روش گاوس-جردن، اعمال تبدیل در طول سطرها (شما همچنین می توانید تبدیلات را در طول ستون ها اعمال کنید، اما نه مخلوط). پس از اعمال هر عملیات بر روی ماتریس اول، همان عملیات را بر روی ماتریس دوم اعمال کنید. هنگامی که تبدیل ماتریس اول به واحد تکمیل شد، ماتریس دوم برابر خواهد بود A-1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، ماتریس اول در سمت چپ در یکی از ماتریس های ابتدایی ضرب می شود. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(ماتریس ترابری یا مورب با ماتریس های روی مورب اصلی، به جز یک موقعیت):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end (bmatrix))).

ماتریس دوم پس از اعمال تمامی عملیات برابر خواهد بود با Λ (\displaystyle \Lambda)یعنی مورد نظر خواهد بود. پیچیدگی الگوریتم - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

با استفاده از ماتریس متمم جبری

ماتریس معکوس ماتریس A (\displaystyle A)، را می توان در فرم نشان داد

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

کجا adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- ماتریس الحاقی؛

پیچیدگی الگوریتم به پیچیدگی الگوریتم برای محاسبه تعیین کننده O det بستگی دارد و برابر با O(n²)·O det است.

با استفاده از تجزیه LU/LUP

معادله ماتریسی A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))برای ماتریس معکوس X (\displaystyle X)را می توان به عنوان یک مجموعه در نظر گرفت n (\displaystyle n)سیستم های فرم A x = b (\displaystyle Ax=b). بیایید نشان دهیم من (\displaystyle i)ستون هفتم ماتریس X (\displaystyle X)از طریق X i (\displaystyle X_(i)); سپس A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)، چون من (\displaystyle i)ستون هفتم ماتریس I n (\displaystyle I_(n))بردار واحد است e i (\displaystyle e_(i)). به عبارت دیگر، یافتن ماتریس معکوس به حل n معادله با ماتریس یکسان و ضلع های مختلف سمت راست ختم می شود. پس از انجام تجزیه LUP (زمان O(n³))، حل هر یک از n معادله به زمان O(n²) نیاز دارد، بنابراین این بخش از کار نیز به زمان O(n³) نیاز دارد.

اگر ماتریس A غیر مفرد باشد، تجزیه LUP را می توان برای آن محاسبه کرد P A = L U (\displaystyle PA=LU). اجازه دهید P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). سپس از خواص ماتریس معکوس می توانیم بنویسیم: D = U - 1 L - 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). اگر این تساوی را در U و L ضرب کنید، می توانید دو برابری فرم به دست آورید U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))و D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). اولین مورد از این تساوی ها سیستمی از معادلات خطی n² است n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))که اضلاع سمت راست از آن مشخص است (از خواص ماتریس های مثلثی). دومی نیز سیستمی از معادلات خطی n² را نشان می دهد n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))که اضلاع سمت راست از آن مشخص است (همچنین از خواص ماتریس های مثلثی). آنها با هم سیستمی از برابری های n² را نشان می دهند. با استفاده از این برابری‌ها، می‌توانیم به صورت بازگشتی همه عناصر n² ماتریس D را تعیین کنیم. سپس از برابری (PA) -1 = A -1 P -1 = B -1 = D. برابری را بدست می‌آوریم. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

در مورد استفاده از تجزیه LU، هیچ جایگشتی برای ستون های ماتریس D مورد نیاز نیست، اما راه حل ممکن است واگرا شود حتی اگر ماتریس A غیر منفرد باشد.

پیچیدگی الگوریتم O(n³) است.

روش های تکراری

روش های شولتز

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\جمع _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\پایان(موارد)))

تخمین خطا

انتخاب یک تقریب اولیه

مشکل انتخاب تقریب اولیه در فرآیندهای وارونگی ماتریس تکراری در نظر گرفته شده در اینجا به ما اجازه نمی دهد که آنها را به عنوان روش های جهانی مستقلی که با روش های وارونگی مستقیم بر اساس، به عنوان مثال، بر تجزیه LU ماتریس ها رقابت می کنند، در نظر بگیریم. توصیه هایی برای انتخاب وجود دارد U 0 (\displaystyle U_(0))، حصول اطمینان از تحقق شرط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (شعاع طیفی ماتریس کمتر از وحدت است) که برای همگرایی فرآیند لازم و کافی است. با این حال، در این مورد، اولا، لازم است که از بالا تخمینی برای طیف ماتریس معکوس A یا ماتریس بدانیم. A A T (\displaystyle AA^(T))(یعنی اگر A یک ماتریس قطعی مثبت متقارن باشد و ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \بتا)، سپس می توانید بگیرید U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), کجا ; اگر A یک ماتریس غیرمفرد دلخواه باشد و ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta)، سپس ایمان می آورند U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T))، جایی که همچنین α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\راست)); البته می توانید شرایط را ساده کنید و از این واقعیت استفاده کنید ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k)))، قرار دادن U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ثانیاً، هنگام تعیین ماتریس اولیه به این ترتیب، هیچ تضمینی وجود ندارد ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)کوچک خواهد بود (شاید حتی معلوم شود ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)، و مرتبه بالای نرخ همگرایی فوراً آشکار نخواهد شد.

نمونه ها

ماتریس 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) وارونگی یک ماتریس 2x2 فقط در شرایطی امکان پذیر است که.

 

---

a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0)
بخوانید: آیا اخراج زن بیوه با فرزند امکان پذیر است؟ درمان آسیب به مخاط رکتوم تقریباً دچار پارگی رکتوم شده است تاریخ سدوم و عمورا روح القدس - چرا به آن نیاز داریم روح القدس در علم مسیحی کیست؟