VENE FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM

Föderaalse osariigi autonoomne haridusasutus

kõrgem erialane haridus

"Uurali föderaalülikool sai nime Venemaa esimese presidendi B. N. Jeltsini järgi"

Raadioelektroonika ja infotehnoloogia instituut - RTF

Osakond Automatiseerimine ja infotehnoloogia

Splaini interpoleerimine

Distsipliini "Numbrilised meetodid" käsitleva LABORETÖÖ METODOLOOGILISED JUHISED

Koostanud vanemõpetaja I. A. Selivanova.

SPLINE INTERPOLATION: Metoodilised juhised distsipliini "Numbrilised meetodid" praktiliste harjutuste jaoks

Juhend on mõeldud kõikide haridusvormide õpilastele suunal 230100 - "Informaatika ja arvutitehnika".

Ó FGAOU VPO "UrFU sai nime Venemaa esimese presidendi B. N. Jeltsini järgi", 2011

1. INTERPOLEERIMINE SPLINES. 4

1.1. Kuubilised splainid. 4

1.2. Splaini märkimise erivorm. 5

1.3. Ruutpiirkonnad. 13

1.4. Harjutusülesanne. kaheksateist

1.5. Töövalikud. 19

Viited 21

1. Interpolatsioon splainide abil.

Juhtudel, kui intervall [ a,b], kuhu soovite funktsiooni asendada f(x) on suur, saate rakendada spline -interpolatsiooni.

1.1. Kuubilised splainid.

Interpolatsioonikiirused 3. järjekorras on funktsioonid, mis koosnevad polünoomide osadest 3 th tellida. Liidese sõlmedes on tagatud funktsiooni järjepidevus, selle esimene ja teine ​​tuletis. Lähendusfunktsioon koosneb reeglina sama väikese astme eraldiseisvatest polünoomidest, millest igaüks on määratletud oma segmendi osas.

Lase segmendil [ a, b] tegelik telg x antakse ruudustik, mille sõlmedes väärtused
funktsioone f(x). See on vajalik segmendile ehitamiseks [ a, b] pideva splaini funktsioon S(x), mis vastab järgmistele tingimustele:

Vajaliku splaini konstrueerimiseks peate leidma koefitsiendid
polünoomid
,i=1,… n, st. 4 n tundmatud koefitsiendid, mis rahuldavad 4 n-2 võrrandid (1), (2), (3). Et võrrandisüsteem saaks lahenduse, lisatakse kaks täiendavat (piir) tingimust. Kasutatakse kolme tüüpi piiritingimusi:

Tingimused 1, 2, 3 ja üks tingimustest 4, 5, 6 moodustavad tellimuse SLAE 4 n. Süsteemi saab lahendada Gaussi meetodil. Valides aga kuuppolünoomi jaoks spetsiaalse märke, saab oluliselt vähendada lahendatava võrrandisüsteemi järjekorda.

1.2. Splaini märkimise erivorm.

Mõelge segmendile
... Tutvustame järgmisi muutujate märkeid:

Siin
- segmendi pikkus
,

,
- abimuutujad,

x- segmendi vahepunkt
.

Millal x läbib kõik intervallis olevad väärtused
, muutuja varieerub vahemikus 0 kuni 1 ja
jääb vahemikku 1 kuni 0.

Olgu kuuppolünoom
segmendi peal
paistab nagu:

Muutujad ja
määratakse kindlaks konkreetse interpolatsioonisegmendi suhtes.

Leidke splaini väärtus
segmendi otstes
... Punkt
on segmendi algustäht
, seega =0,
= 1 ja vastavalt punktile 3.8:
.

Lõigu lõpus
=1,
= 0 ja
.

Intervallide jaoks
punkt
on seega lõplik =1,
= 0 ja valemist (9) saame:
... Seega funktsiooni järjepidevuse tingimus S(x) kuuppolünoomide ristmikel olenemata arvude  i valikust.

Koefitsientide  i määramiseks i=0,… n me eristame (8) kaks korda keeruka funktsioonina x... Siis

Määratleme splaini teised tuletised
ja
:

Polünoomi jaoks
punkt on interpolatsioonisegmendi algus ja =0,
= 1, seega

Punktidest (15) ja (16) järeldub, et segmendil [ a,b] kolmanda järgu polünoomide tükkidest "liimitud" splainifunktsioonil on pidev teise järgu tuletis.

Funktsiooni esimese tuletise järjepidevuse saavutamiseks S(x), eeldame interpolatsiooni sisemistes sõlmedes tingimuse täitmist:

Loodusliku kuuplihase jaoks
Seetõttu on võrrandisüsteem järgmine:

ja võrrandisüsteem (17) on järgmine:

Näide.

Esialgsed andmed:

Asenda funktsioon
interpolatsiooni kuup -splaini, mille väärtused antud sõlmpunktides (vt tabel) langevad kokku funktsiooni väärtustega samades punktides. Kaaluge erinevaid piiritingimusi.

Arvutame funktsiooni väärtuse sõlmpunktides. Selleks asendame tabeli väärtused antud funktsiooniga.

Erinevate piiritingimuste (4), (5), (6) puhul leiame kuuplihaste koefitsiendid.

1. Mõelge esimestele piiritingimustele.

Meie puhul n=3,
,
,
... Leidma
kasutame võrrandisüsteemi (3.18):

Arvutame ja kasutades valemeid (7) ja (11):

Asenda saadud väärtused võrrandisüsteemi:

.

Süsteemi lahendus:

Võttes arvesse esimesi piiritingimusi, on splaini koefitsiendid järgmised:

Kaaluge splaini koefitsientide määratlust, võttes arvesse piiritingimusi (3.5):

Leidke funktsiooni tuletis
:

Arvutame
ja
:

Asendame võrrandisüsteemis (21) väärtused ja :

Valemi (20) abil määratleme  0 ja  3:

Võttes arvesse konkreetseid väärtusi:

ja koefitsientide vektor:

Arvutame kuupilise splaini S (x) väärtused interpolatsioonisegmentide keskpunktides.

Segmendi keskpunkt:

Kuupilise splaini väärtuse arvutamiseks interpolatsioonisegmentide keskpunktides kasutame valemeid (7) ja (9).

3.1.

Leia ja
:

Valemis (3.9) asendame koefitsiendid

3.2.

Leia ja
:

, piiritingimuste (4), (5), (6) puhul:

3.3.

Leia ja
:

Valemis (9) asendame koefitsiendid
, piiritingimuste (4), (5), (6) puhul:

Teeme tabeli:

Sõna spline (ingliskeelne sõna "spline") tähendab paindlikku joonlauda, ​​mida kasutatakse sujuvate kõverate joonistamiseks läbi tasapinna määratud punktide. Selle universaalse tüki kuju igal segmendil kirjeldab kuubiline parabool. Killusid kasutatakse laialdaselt insenerirakendustes, eriti arvutigraafikas. Niisiis, igaühe kohta i-kolmas segment [ x i –1 , x i], ma = 1, 2,…, N, lahendust otsitakse kolmanda astme polünoomi kujul:

S i(x)= a i + b i(x - x i)+ c i(x–x i) 2 /2+ d i(x - x i) 3 /6

Tundmatud koefitsiendid a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., N, leiame:

Interpoleerimistingimused: S i(x i)= f i, i = 1, 2,..., N;S 1 (x 0)= f 0 ,

Järjepidevuse funktsioon S i(x i– 1 ) = S i– 1 (x i –1), ma = 2, 3,..., N,

Esimese ja teise tuletisinstrumendi järjepidevus:

S / i(x i– 1)=S / i– 1 (x i –1), S // i(x i –1)= S // i –1 (x i –1), ma = 2, 3,..., N.

Arvestades seda, et määrata 4 N tundmatu, saame süsteemi 4 N- 2 võrrandit:

a i = f i, i = 1, 2,..., N,

b i h i - c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6= f i - f i –1 , ma = 1, 2,..., N,

b i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2, ma = 2, 3,..., N,

d i h i = c i - c i– 1 , ma = 2, 3,..., N.

kus h i = x i - x i– 1. Puuduvad kaks võrrandit tuletatakse lisatingimustest: S //(a)= S //(b)=0. Seda saab näidata sel juhul. Tundmatuid saab süsteemist välja jätta b i, d i, olles süsteemi kätte saanud N + 1 lineaarvõrrand (SLAE) koefitsientide määramiseks c i:

c 0 = 0, c N = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , ma = 1, 2,…, N–1. (1)

Pärast seda arvutatakse koefitsiendid b i, d i:

, ma = 1, 2,..., N. (2)

Pideva ruudustiku korral h i = h see võrrandisüsteem on lihtsustatud.

Sellel SLAE -l on tridiagonaalne maatriks ja see lahendatakse pühkimismeetodiga.

Koefitsiendid määratakse valemite abil:

Väärtuse arvutamiseks S(x) segmendi suvalises punktis z∈[a, b] on vaja lahendada koefitsientide võrrandisüsteem c i, i = 1,2,…, N–1, siis leidke kõik koefitsiendid b i, d i. Lisaks on vaja kindlaks määrata, millise intervalliga [ x i 0, x i 0-1] tabab seda punkti ja numbrit teades ma 0, arvutage splaini ja selle tuletiste väärtus mingis punktis z

S(z)= a i 0 + b i 0 (z - x i 0)+ c i 0 (z - x i 0) 2 /2+ d i 0 (z - x i 0) 3 /6

S /(z)= b i 0 + c i 0 (z - x i 0)+ d i 0 (z - x i 0) 2 /2, S //(z)= c i 0 + d i 0 (z - x i 0).

Funktsiooni väärtused punktides 0,25 ja 0,8 on vaja arvutada spline -interpolatsiooni abil.

Meie puhul: h i = 1/4 ,.

Kirjutame välja võrrandisüsteemi, et teha kindlaks:

Selle lineaarvõrrandite süsteemi lahendades saame :.

Mõelge punktile 0.25, mis kuulub esimesse segmenti, s.t. ... Seetõttu saame

Mõelge punktile 0.8, mis kuulub neljandasse segmenti, s.t. ...

Seega

Globaalne interpoleerimine

Millal globaalne interpoleerimine kogu intervallist leitakse üks polünoom [ a, b], st konstrueeritakse polünoom, mida kasutatakse funktsiooni f (x) interpoleerimiseks kogu argumendi x variatsioonivahemiku jooksul. Otsime interpoleerivat funktsiooni polünoomi (polünoomi) kujul m-Kolmas aste P m(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +… + A m x m. Milline on polünoomi aste kõigi interpoleerimistingimuste rahuldamiseks? Oletame, et on antud kaks punkti: ( x 0 , f 0) ja ( x 1 , f 1), st. N = 1. Nende punktide kaudu saab tõmmata ühe sirge joone, s.t. interpoleerimisfunktsioon on esimese astme polünoom P 1 (x)= a 0 + a 1 x. Läbi kolme punkti (N = 2) saab joonistada parabooli P 2 (x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 jne. Sel viisil arutledes võime eeldada, et nõutaval polünoomil peab olema kraad N .

Selle tõestamiseks kirjutame üles koefitsientide võrrandisüsteemi. Süsteemi võrrandid on igaühe interpoleerimise tingimused x = x i:

See süsteem on soovitud koefitsientide suhtes lineaarne a 0 , a 1 , a 2 , …,a N. On teada, et SLAE -l on lahendus, kui selle determinant on null. Antud süsteemi määraja

kannab nime Vandermonde määraja... Matemaatilise analüüsi käigus on teada, et see pole null, kui x k≠x m(st kõik interpoleerimissõlmed on erinevad). Seega on tõestatud, et süsteemil on lahendus.

Oleme seda koefitsientide leidmiseks näidanud
a 0 , a 1 , a 2 , …,a N on vaja lahendada SLAE, mis on keeruline ülesanne. Kuid polünoomi ehitamiseks on veel üks viis N-Kolmas aste, mis ei nõua sellise süsteemi lahendamist.

Lagrange'i polünoom

Otsime lahendust vormis , kus l i(z) – aluse polünoomid N-aste, mille puhul tingimus on täidetud: ... Kontrollime, et kui sellised polünoomid on konstrueeritud, siis L N (x) vastab interpoleerimise tingimustele:

Kuidas konstrueerida põhilisi polünoome? Me määratleme

, ma = 0, 1,..., N.

Sellest on lihtne aru saada

Funktsioon l i(z) on polünoom N-Kolmas kraad alates z ja selle jaoks on täidetud põhilised tingimused:

0, i ≠ k ;, st. k = 1,…, i-1 või k = i + 1,…, N.

Seega õnnestus meil lahendada interpoleeriva polünoomi konstrueerimise probleem N– kraadi ja selleks ei ole SLAE lahendamine vajalik. Lagrange'i polünoomi saab kirjutada kompaktse valemina: . Selle valemi viga saab hinnata, kui algne funktsioon g(x) omab tuletisi kuni N + 1 tellimus:

Sellest valemist järeldub, et meetodi viga sõltub funktsiooni omadustest g(x), samuti interpolatsioonisõlmede asukohast ja punktist z. Arvutatud katsed näitavad seda Lagrange'i polünoomil on väikeste vigade puhul väike viga N<20 ... Suuremate jaoks N viga hakkab kasvama, mis näitab, et Lagrange'i meetod ei lähene (st selle viga ei vähene suurenedes N).

Vaatleme erijuhtumeid. Olgu N = 1, st. funktsiooni väärtused on antud ainult kahes punktis. Siis on peamised polünoomid järgmised:

, st. saame valemid tükkide kaupa lineaarse interpolatsiooni jaoks.

Olgu N = 2. Siis:

Selle tulemusena saime valemid nn ruut- või paraboolne interpoleerimine.

Näide: Mõne funktsiooni väärtused on toodud:

See on vajalik funktsiooni väärtuse leidmiseks z = 1, kasutades Lgrange interpolatsiooni polünoomi. Ad hoc N= 3, s.t. Lagrange'i polünoom on kolmanda järgu. Arvutame aluse polünoomide väärtused z=1:

Empiiriliste valemite valik

Funktsioonide interpoleerimisel kasutasime interpolatsiooni polünoomi väärtuste ja antud funktsiooni võrdsuse tingimust interpolatsioonisõlmedes. Kui lähteandmed saadakse eksperimentaalsete mõõtmiste tulemusena, pole täpse vaste nõue vajalik, kuna andmeid ei saada täpselt. Sellistel juhtudel saab nõuda ainult ligikaudset interpoleerimistingimuste täitmist. See tingimus tähendab, et interpoleerimisfunktsioon F (x) läbib mitte täpselt antud punkte, vaid mõnes nende naabruses, nagu näiteks joonisel fig.

Siis räägi empiiriliste valemite valik... Empiirilise valemi koostamine koosneb kahest etapist6, mille käigus valitakse tundmatuid parameetreid sisaldava valemi vorm ja määratakse nende parameetrite mõnes mõttes parim. Valemi vorm on mõnikord teada füüsilistest kaalutlustest (elastse keskkonna puhul pinge ja deformatsiooni vaheline seos) või valitud geomeetriliste kaalutluste põhjal: katsepunktid joonistatakse graafikule ja sõltuvuse üldist vormi saab ligikaudselt ära arvata. saadud kõver koos tuntud funktsioonide graafikutega. Siin määrab edu suuresti uurija kogemus ja intuitsioon.

Praktika jaoks on oluline funktsiooni lähendamine polünoomide abil, s.t. ...

Pärast empiirilise sõltuvuse tüübi valimist määratakse empiirilistele andmetele läheduse aste kasutades arvutatud ja katseandmete kõrvalekallete ruutude minimaalne summa.

Vähim ruudu meetod

Laske esialgsetel andmetel x i, f i, i = 1,…, N (parem on nummerdamist alustada ühega), valitakse empiirilise sõltuvuse tüüp: tundmatute koefitsientidega. Kirjutame empiirilise valemi ja antud katseandmete vaheliste kõrvalekallete ruutude summa:

Parameetrid leitakse funktsiooni miinimumi tingimusest ... See on vähimruutude meetod (OLS).

On teada, et miinimumpunktis on kõik w osalised tuletised võrdsed nulliga:

(1)

Vaatleme OLS -i rakendamist konkreetsel juhul, mida praktikas laialdaselt kasutatakse. Empiirilise funktsioonina kaaluge polünoomi

Valem (1) kõrvalekallete ruutude summa määramiseks on järgmine:

Arvutame tuletised:

Võrreldes need avaldised nulliga ja kogudes tundmatute koefitsiendid, saame järgmise lineaarvõrrandite süsteemi.

Olgu toodud funktsioonide väärtuste tabel y i sõlmedes NS 0 < х 1 < ... < х п Tähistama h i = x i - x i -1 , i= 1, 2, ... , NS.

Spline- sujuv kõver, mis läbib etteantud punkte ( x i, y i), ma = 0, 1, ... , NS. Splaini interpoleerimine seisneb selles, et igal segmendil [ x i -1 , x i] kasutatakse teatud astme polünoomi. Kõige sagedamini kasutatav kolmanda astme polünoom, harvemini - teine ​​või neljas. Sel juhul kasutatakse polünoomide koefitsientide määramiseks tuletisinstrumentide järjepidevuse tingimusi interpolatsioonisõlmedes.

Kuubilise splaini interpoleerimine on kohalik interpolatsioon, kui iga segmendi kohta [ x i -1 , x i], ma = 1, 2, ... , NS kasutatakse kuupkõverat, mis vastab teatud sujuvustingimustele, nimelt funktsiooni enda ja selle esimese ja teise tuletise järjepidevusele sõlmpunktides. Kuupfunktsiooni kasutamine on ajendatud järgmistest kaalutlustest. Kui eeldame, et interpolatsioonikõver vastab elastsele joonlauale, mis on fikseeritud punktides ( x i, y i), siis materjalide vastupidavuse kursusest on teada, et see kõver on määratletud diferentsiaalvõrrandi lahendusena f(IV) ( x) = 0 segmendil [ x i -1 , x i] (esitluse lihtsuse huvides ei võta me arvesse füüsiliste mõõtmetega seotud küsimusi). Sellise võrrandi üldine lahendus on kolmanda astme suvaliste koefitsientidega polünoom, mille saab mugavalt vormis kirjutada
S i(x) = ja mina + b i(NS - x i -1) +koos i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 naela NS £ x i, ma = 1, 2, ... , NS.(4.32)

Funktsiooni koefitsiendid S i(x) määratakse funktsiooni järjepidevuse tingimuste ning selle esimese ja teise derivaadi sisesõlmedes x i,i= 1, 2,..., NS - 1.

Valemitest (4.32) koos NS = x i-1 saame

S i(x i- 1) = y i -1 = a i, ma = 1, 2,..., NS,(4.33)

ja kl NS = x i

S i(x i) = ja mina + b i h i +koos i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., n.

Interpolatsioonifunktsiooni järjepidevuse tingimused on kirjutatud vormis S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , n- 1 ning tingimustest (4.33) ja (4.34) järeldub, et need on täidetud.

Leidke funktsiooni tuletised S i(x):

S "i(x) =b i + 2koos i(NS - x i -1) + 3di(NS – x i -1) 2 ,

S "i(x) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

Kell x = x i-1, meil on S "i(x i -1) = b i, S " (x i -1) = 2koos i ja kl NS = x i saada

S "i(x i) = b i+ 2koos i h i+ 3dih i 2 , S " (x i) = 2i + -ga 6d i h i.

Tuletisinstrumentide järjepidevuse tingimused viivad võrranditeni

S "i(x i) =S "i +1 (x i) Þ b i+ 2koos i h i+ 3dih i 2 = b i +1 ,

i= l, 2, ..., NS - 1. (4.35)

S "i (x i) = S "i +1 (x i) Þ 2 i + -ga 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2, ..., n- 1. (4.36)

Kokku on meil 4 n- 2 võrrandit 4 määramiseks n teadmata. Veel kahe võrrandi saamiseks kasutatakse täiendavaid piirtingimusi, näiteks interpolatsioonikõvera nullkõveruse nõuet lõpp -punktides, see tähendab teise derivaadi võrdsust nulliga segmendi otstes [ a, b]a = NS 0 , b= x n:

S " 1 (x 0) = 2c 1 = 0 koos 1 = 0,

S "n(x n) = 2koos n + 6d n h n = 0 Þ koos n + 3d n h n = 0. (4.37)

Võrrandisüsteemi (4.33) - (4.37) saab lihtsustada ja saada splaini koefitsientide arvutamiseks korduvaid valemeid.

Tingimusest (4.33) on meil koefitsientide arvutamiseks selged valemid a i:

a i = y i -1 , ma = 1,..., n. (4.38)

Lubage meil väljendada d iüle c i kasutades (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,n; .

Me panime koos n+1 = 0, siis d i saame ühe valemi:

, i = 1, 2,...,n. (4.39)

Asendavad väljendid ja mina ja d i võrdsusesse (4.34):

, i= 1, 2,..., n.

ja väljendada b i, üle koos i:

, i= 1, 2,..., n. (4.40)

Välistame võrranditest (4.35) koefitsiendid b i ja d i kasutades (4.39) ja (4.40):

i= 1, 2,..., n -1.

Seega saame võrrandisüsteemi määramiseks koos i:

Võrrandisüsteemi (4.41) saab ümber kirjutada järgmiselt

Märkimist tutvustatakse siin

, i =1, 2,..., n- 1.

Lahendame võrrandisüsteemi (4.42) pühkimismeetodil. Alates esimesest võrrandist väljendame koos 2 läbi koos 3:

c 2 = a 2 c 3 + b 2 ,,. (4.43)

Asenda (4.43) teise võrrandiga (4.42):

h 2 (a 2 c 3 + b 2) + 2 ( h 2 + h 3)c 3 + h 3 c 4 = g 2 ,

ja väljendada koos 3 läbi koos 4:

koos 3 = a 3 koos 4 + b 3, (4,44)

Eeldades et koos i-1 = a i -1 c i+ b i-1 -st i-saame võrrandi (4.42)

c i= a mina koos i -ga+1 + b i

, i = 3,..., n- 1, a n= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= a mina koos i -ga+1 + b i, i= n, n -1,..., 2, (4.48)

c 1 = 0.

3. Koefitsientide arvutamine ja mina, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., n.

4. Funktsiooni väärtuse arvutamine splaini abil. Selleks leidke selline väärtus i et muutuja antud väärtus NS kuulub segmenti [ x i -1 , x i] ja arvuta

S i(x) = ja mina + b i(NS - x i -1) +koos i(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Kuubilise splaini interpoleerimine

Kuubiline interpolatsioonispiraal, mis vastab antud funktsioonile f (x) ja antud sõlmedele x i, on funktsioon S (x), mis vastab järgmistele tingimustele:

1. Igal segmendil, i = 1, 2, ..., N, on funktsioon S (x) kolmanda astme polünoom,

2. Funktsioon S (x), samuti selle esimene ja teine ​​tuletis on intervallil pidevad,

3. S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

Igal intervallil, i = 1, 2, ..., N, otsime funktsiooni S (x) = S i (x) kolmanda astme polünoomi kujul:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 x x x x,

kus a i, b i, c i, d i - koefitsiendid, mis määratakse kõigi n elementaarsegmendi kohta. Et algebraliste võrrandite süsteem saaks lahenduse, peab võrrandite arv olema täpselt võrdne tundmatute arvuga. Seetõttu peame saama 4n võrrandid.

Esimesed 2n võrrandid saame tingimusest, et funktsiooni S (x) graafik peab läbima etteantud punktid, s.t.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Neid tingimusi saab kirjutada järgmiselt:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Järgmised 2n - 2 võrrandid tulenevad esimese ja teise tuletise järjepidevuse tingimusest interpolatsioonisõlmedes, see tähendab kõvera sujuvuse tingimusest kõikides punktides.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Võrdsustades igas sisesõlmes x = x i nende tuletisinstrumentide väärtused, mis on arvutatud sõlmest vasakule ja paremale, saame (võttes arvesse h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

kui x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

Selles etapis on meil 4n tundmatut ja 4n - 2 võrrandit. Seetõttu on vaja leida veel kaks võrrandit.

Otsade vaba kinnitamise korral saab joone kumerust nendes punktides võrdsustada nulliga. Otste nullkõveruse tingimustest järeldub, et teised tuletisinstrumendid on nendes punktides võrdsed nulliga:

S 1 (x 0) = 0 ja S n (x n) = 0,

c i = 0 ja 2 c n + 6 d n h n = 0.

Võrrandid moodustavad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi 4n koefitsientide määramiseks: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, ..., N).

Selle süsteemi saab viia mugavamale vormile. Kõik koefitsiendid a i leitakse tingimusest korraga.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Asendades saame:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Välistame võrrandist koefitsiendid b i ja d i. Lõpuks saame järgmise võrrandisüsteemi ainult i -ga koefitsientide jaoks:

c 1 = 0 ja c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Kasutades leitud koefitsiente i -ga, on lihtne arvutada d i, b i.

Integraalide arvutamine Monte Carlo meetodil

See tarkvaratoode rakendab võimalust seada integreerimispiirkonnale täiendavaid piiranguid kahe kahemõõtmelise splinepinna abil (3. mõõtme integreerimiseks) ...

Funktsioonide interpoleerimine

Olgu antud funktsiooni f (xi) = yi () väärtuste tabel, milles need asuvad argumendi väärtuste kasvavas järjekorras: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Splaini interpoleerimine

Splaini interpoleerimine

Splaini interpoleerimine

Tutvume programmi algoritmiga. 1. Arvutame väärtused ja 2. Nende väärtuste põhjal arvutame pühkimiskoefitsiendid ja o. 3. Saadud andmete põhjal arvutame koefitsiendid 4 ...

Tehniliste objektide matemaatiline modelleerimine

MathCADi sisseehitatud funktsioonid võimaldavad teil interpolatsiooni ajal katsepunktide kaudu joonistada erineva keerukusega kõveraid. Lineaarne interpoleerimine ...

Funktsioonide lähendamise meetodid

Igal segmendil on interpolatsiooni polünoom võrdne konstandiga, nimelt funktsiooni vasakule või paremale väärtusele. Vasaku tükkide kaupa lineaarse interpolatsiooni korral F (x) = fi-1, kui xi-1? X

Funktsioonide lähendamise meetodid

Igal intervallil on funktsioon lineaarne Fi (x) = kix + li. Koefitsientide väärtused leitakse segmendi otstes olevate interpoleerimistingimuste täitmisest: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. Saame võrrandisüsteemi: kixi-1 + li = fi-1, kixi + li = fi, kust leiame ki = li = fii- kixi ...

Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamise meetodid. Interpoleerimine

Interpolatsiooniprobleemi avaldus. Intervallil on antud punktide süsteem (interpolatsioonisõlmed) xi, i = 0,1,…, N; a? x mina? b ja tundmatu funktsiooni väärtused nendes sõlmedes fn i = 0,1,2,…, N. Saate määrata järgmised ülesanded: 1) Funktsiooni F (x) konstrueerimine ...

Diferentsiaalvõrrandi lahendamise protsessi kirjeldava matemaatilise mudeli koostamine

3.1 Lagrange'i interpolatsiooni polünoomi ülesehitamine ja väärtuste kondenseerumine Ilmselge viis selle probleemi lahendamiseks on ѓ (x) väärtuste arvutamine funktsiooni ѓ analüütiliste väärtuste abil. Selleks - esialgse info kohaselt ...

Kui need on kraadid (1, x, x2, ..., xn), siis räägime algebralisest interpoleerimisest ja funktsiooni nimetatakse interpolatsiooni polünoomiks ja tähistatakse järgmiselt: (4) Kui () (5), siis saame konstrueerida interpolatsiooni polünoom astmega n ja pealegi ainult üks ...

Sujuvate funktsioonide interpoleerimise praktiline rakendamine

Vaatleme komplekti elementide interpoleerimise näidet. Lihtsuse ja lühiduse huvides võtke = [- 1; 1] ,. Laske punktidel ja olge omavahel erinevad. Esitame järgmise probleemi: (12) konstrueerime nendele tingimustele vastava polünoomi ...

Numbriliste meetodite rakendamine matemaatiliste ülesannete lahendamiseks

Numbrilised meetodid

Niisiis, nagu eespool mainitud, on interpoleerimise ülesanne leida selline polünoom, mille graafik läbib etteantud punktid. Funktsioon y = f (x) antakse tabeli abil (tabel 1) ...

Numbrilised meetodid matemaatiliste ülesannete lahendamiseks