Kombinatoorse analüüsi elemendid

Ühendused. Tühi A a 1 , a 2, a 3 …a n A m (m alates n ühendused alates n elemendid m

Permutatsioonid. Tühi A- komplekt, mis koosneb piiratud hulgast elementidest a 1 , a 2, a 3 …a n... Komplekti erinevatest elementidest A rühmi saab moodustada. Kui igas rühmas on sama arv elemente m (m alates n), siis nad ütlevad, et moodustavad ühendused alates n elemendid m kõigis. Ühendusi on kolme tüüpi: paigutus, kombinatsioonid ja permutatsioonid.

Majutus.Ühendused, millest igaüks sisaldab m mitmesugused elemendid ( m < n) võetud n komplekti elemendid A, mis erinevad üksteisest kas elementide koostise või nende järjekorra järgi paigutused alates n elemendid m kõigis. Selliste paigutuste arvu näitab sümbol

Teoreem 1. N elemendi kõigi erinevate permutatsioonide arv on

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n!

Teoreem 2. Kõigi paigutuste arv n elemendid m arvutatakse valemiga:

Kombinatsioonid. Ühendused millest igaüks sisaldab m mitmesugused elemendid ( m < n) võetud n komplekti elemendid A nimetatakse üksteisest vähemalt ühe elemendi (ainult kompositsiooni) järgi kombinatsioone alates n elemendid m kõigis. Selliste kombinatsioonide arvu näitab sümbol

Teoreem 3. Kõikide n -elementide kombinatsioonide arv m -ga määratakse järgmise valemi abil:

Mõnikord kasutatakse paigutuste arvu registreerimiseks järgmist valemit:

Tõenäosusteooria olemus ja tingimused.

Tõenäosusteooria

Juhuslik nähtus -

ainult

TV. toetab matemaatilist ja rakenduslikku statistikat, mida kasutatakse tootmise korraldamise planeerimisel jne.

Tõenäosusteooria põhimõisted.

Tõenäosusteooria on olemas matemaatiline teadus, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid.

Juhuslik nähtus - see on selline nähtus, et sama katse korduva reprodutseerimise korral kulgeb iga kord mõnevõrra erinevalt.

Tõenäosusteooria meetodid on loomulikult kohandatud ainult massjuhuslike nähtuste uurimiseks; need ei võimalda ennustada üksiku juhusliku nähtuse tulemust, vaid võimaldavad ennustada homogeensete juhuslike sündmuste massi keskmist kogutulemust.

Tõenäosusteoorias test on tavaks nimetada katset, mida (vähemalt teoreetiliselt) saab teha samadel tingimustel piiramatul arvul kordi.

Iga testi tulemust või tulemust nimetatakse sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Sündmusi tähistame tähtedega A, B, C.

Sündmuste tüübid:

usaldusväärne sündmus- sündmus, mis kindlasti juhtub kogemuse tulemusena.

võimatu sündmus- sündmus, mida kogemuse tagajärjel juhtuda ei saa.

juhuslik sündmus- sündmus, mis võib teatud kogemuses esineda või mitte. Sündmuste võrdsus

Tõenäosus arenguid A(tähistama P (A) A(tähistama m (A)), N neid. P (A)= m (A) / N.

Tõenäosusruum.

Tõenäosusruum Kas matemaatiline mudel juhusliku katse (katse) kohta A.N. Kolmogorov. Tõenäosusruum sisaldab kogu teavet juhusliku katse omaduste kohta, mis on vajalik selle matemaatiliseks analüüsiks tõenäosusteooria abil. Kõik tõenäosusteooria probleemid lahendatakse teatud tõenäosusruumi raames, mis on esialgu täielikult määratletud. Matemaatilise statistika valdkonda kuuluvad probleemid, mille puhul tõenäosusruum pole täielikult määratletud ja puuduv teave tuleks hankida vaatluste tulemuste põhjal.

Tõenäosusruum on määratletud komponentide (sümbolite) kolmikuga (Ω, S, P), kus Ω on elementaarsündmuste ruum

Sündmuste S-∂ (sigma) -algebra, P-tõenäosus, Ω-usaldusväärne sündmus, elementaarsete tulemuste ruumi Ω alamhulkade S-süsteem.

5. 5. Tõenäosuse otsene arvutamine.

Tõenäosuse klassikaline määratlus kontseptsiooni põhjal sündmuste võrdsust .

Sündmuste võrdsus tähendab, et pole põhjust eelistada üht neist teisele.

Mõelge testile, mille tulemuseks võib olla sündmus A... Iga tulemus, milles sündmus aset leiab A kutsutakse soodne sündmus A.

Tõenäosus arenguid A(tähistama P (A)) on sündmusele soodsate tulemuste arvu suhe A(tähistama m (A)), kõigi uuringutulemuste arvule - N neid. P (A)= m (A) / N.

Tõenäosuse klassikaline määratlus tähendab järgmist: omadused :

Iga sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele.

Tõestus... Sellest ajast alates jagades kõik ebavõrdsuse osad N, saame

Kust klassikalise tõenäosusdefinitsiooni kohaselt sellest järeldub

Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

Võimatu sündmuse tõenäosus on null

6. 6. Tõenäosuse liitmise teoreemid.

Kui A ja B on vastuolus, siis P (A + B) = P (A) + P (B)

Kui A ja В on vastandlikud sündmused, siis

Sigma algebra elementi nimetatakse edaspidi juhuslikuks sündmuseks.

Täitke sündmuste rühm

Täielik sündmuste rühm on täielik alamhulkade rühm, millest igaüks on sündmus. Kogu rühma sündmused on väidetavalt elementaarsete tulemuste ruumi osa.

Lõplikult lisav funktsioon

Las olla A – algebra. Funktsioon , mis kaardistab algebra reaalarvude hulgaga

nimetatakse lõplikult aditiivseks, kui tegemist on mõne lõplikult paariliselt kokkusobimatute sündmuste komplektiga

Loendus-lisandfunktsioon

Las olla F- algebra või sigma-algebra. Funktsioon

nimetatakse loendatavalt additiivseks, kui see on lõplikult aditiivne ja mis tahes loendatavate paaridevaheliste ebajärjekindlate sündmuste kogumi jaoks

Mõõdik on sigmaalgebrale määratletud mittenegatiivne loendatav liitfunktsioon, mis vastab tingimusele

Lõplik meede

Mõõda nimetatakse lõplikuks, kui

Tõenäosus

Tõenäosus (tõenäosusmõõt) P see on selline meede, et

Nüüdsest lõpetame tõenäosuse mõõtmise protsendina ja hakkame seda mõõtma reaalarvudega 0 kuni 1.

nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks

Tõenäosusruum

Tõenäosusruum on kolme objekti kogum - elementaarsete tulemuste ruum, sündmuste sigmaalgebra ja tõenäosus.

See on juhusliku nähtuse või objekti matemaatiline mudel.

Tõenäosusruumi määratlemise paradoks

Tuleme tagasi tõenäosusteooria probleemi algse sõnastuse juurde. Meie eesmärk oli ehitada juhusliku nähtuse matemaatiline mudel, mis aitaks kvantifitseerida juhuslike sündmuste tõenäosusi. Samas on tõenäosusruumi konstrueerimiseks vaja määrata tõenäosus, s.t. tundub olevat just see, mida me otsime (?).

Selle paradoksi lahendus on see, et tõenäosuse täielik määratlemine funktsioonina kõigil elementidel F, tavaliselt piisab, kui küsida seda ainult mõne sündmuse kohta F, mille tõenäosust on meil lihtne määrata , ja seejärel, kasutades selle loendatavat lisandlikkust, arvutage mis tahes elemendi kohta F.

Sõltumatud üritused

Iseseisvus on tõenäosusteoorias oluline mõiste.

Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuks, kui

neid. nende sündmuste samaaegse esinemise tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste korrutisega.

Loendatava või piiratud hulga sündmusi nimetatakse sõltumatuteks paarikaupa, kui mõni neist on sõltumatute sündmuste paar

Kokku

Loendatava või piiratud hulga sündmusi nimetatakse kokkuvõttes sõltumatuteks, kui nende piiratud alamhulga samaaegse esinemise tõenäosus on võrdne selle alamhulga sündmuste tõenäosuste korrutisega.

On selge, et kokkuvõttes sõltumatud sündmused on sõltumatud ja paarikaupa. Vastupidine pole tõsi.

Tingimuslik tõenäosus

Sündmuse A tingimuslik tõenäosus eeldusel, et sündmus B on toimunud, on väärtus

Siiani määratleme tingimusliku tõenäosuse ainult sündmuste B puhul, mille tõenäosus ei ole null.

Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis

Omadused ja teoreemid

Tõenäosuse lihtsamad omadused

Sündmused moodustuvad täis grupp kui vähemalt üks neist ilmneb tingimata katse tulemusena ja on paaride kaupa kokkusobimatud.

Oletame sündmust A võib esineda ainult koos ühega mitmest paariliselt kokkusobimatust sündmusest, mis moodustavad terve rühma. Helistame sündmustele ( i= 1, 2,…, n) hüpoteesid täiendav kogemus (a priori). Sündmuse A esinemise tõenäosus määratakse valemiga täielik tõenäosus :

Näide 16. Urne on kolm. Esimene urn sisaldab 5 valget ja 3 musta palli, teine ​​4 valget ja 4 musta palli ning kolmas 8 valget palli. Üks urnidest valitakse juhuslikult (see võib näiteks tähendada, et valik tehakse abikurnist, kus on kolm palli nummerdatud 1, 2 ja 3). Sellest urnist tõmmatakse juhuslikult pall. Kui suur on tõenäosus, et ta osutub mustaks?

Lahendus. Sündmus A- must pall eemaldatakse. Kui oleks teada, millisest urnist pall välja tõmmati, saaks soovitud tõenäosuse arvutada tõenäosuse klassikalise määratluse järgi. Tutvustame eeldusi (hüpoteese) selle kohta, milline urn palli väljavõtmiseks valitakse.

Palli saab välja võtta kas esimesest urnist (hüpotees) või teisest (hüpotees) või kolmandast (hüpotees). Kuna urnide valimiseks on võrdsed võimalused, siis .

Sellest järeldub, et

Näide 17. Elektrilampe toodetakse kolmes tehases. Esimene tehas toodab 30% elektrilampide koguarvust, teine ​​- 25%,
ja kolmas on ülejäänud. Esimese tehase tooted sisaldavad 1%defektseid lambipirne, teine ​​- 1,5%, kolmas - 2%. Kauplus võtab vastu tooteid kõigist kolmest tehasest. Kui suur on tõenäosus, et poest ostetud lamp on vigane?

Lahendus. Tuleb teha eeldusi, millises tehases lambipirn toodeti. Seda teades leiame tõenäosuse, et ta on vigane. Tutvustame sündmuste märkeid: A- ostetud lambipirn osutus vigaseks, - lambi valmistas esimene tehas, - lambi tegi teine ​​taim,
- lampi toodab kolmas tehas.

Vajaliku tõenäosuse leiame kogu tõenäosuse valemi abil:

Bayesi valem.

Laskma olema täielik rühm paariliselt kokkusobimatuid sündmusi (hüpoteese). A- juhuslik sündmus. Siis,

Viimast valemit, mis võimaldab pärast testitulemuse teatavaks saamist hüpoteeside tõenäosusi üle hinnata, mille tagajärjel sündmus A tekkis, nimetatakse Bayesi valem .

Näide 18. Keskmiselt 50% haigusega patsientidest satuvad erihaiglasse TO, 30% - haigusega L, 20 % –
haigusega M... Haiguse täieliku ravi tõenäosus K haiguste puhul võrdub 0,7 L ja M need tõenäosused on vastavalt 0,8 ja 0,9. Haiglasse sattunud patsient lasti tervena välja. Leidke tõenäosus, et sellel patsiendil oli tervislik seisund K.

Lahendus. Tutvustame hüpoteese: - patsient kannatas haiguse all TO L- patsient kannatas haiguse all M.

Siis, probleemi tingimuse järgi, on meil. Tutvustame sündmust A- haiglasse lastud patsient lasti tervena välja. Tingimuste järgi

Kogu tõenäosuse valemiga saame:

Bayesi valemi järgi.

Tõenäosusruum

Esimesed tõenäosusteooria teoreetilised tulemused hõlmavad

keskpaigaks ja kuuluvad B. Pascalile, P. Fermale, H. Huygensile, J. Bernoullile. See teooria võlgneb oma edu 18. sajandil ja 19. sajandi alguses A. Moivre, P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson, A. Legendre. Olulisi edusamme tõenäosusteoorias saavutati 19. sajandi lõpus ja 20. sajandi alguses L. Boltzmanni, P. Tšebõševi, A. Lyapunovi, A. Markovi, E. Boreli jt töödes. Kuid isegi 20. sajandi alguseks. sajandil range ja järjekindel teooria. Ainult aksiomaatiline lähenemine võimaldas seda saavutada. Esimest korda tegi teooria aksiomaatilise konstruktsiooni 1917. aastal S.N. Bernstein, kes põhines oma konstruktsioonidel juhuslike sündmuste võrdlemisel nende tõenäosuse osas. See lähenemisviis ei ole aga edasi arenenud. Viljakamaks osutus A. N. Kolmogorovi 1920. aastatel välja töötatud aksiomaatiline lähenemine, mis põhineb hulgateoorial ja mõõtmisteoorial. Kolmogorovi aksiomaatikas ei ole juhusliku sündmuse mõiste vastupidiselt klassikalisele lähenemisele esialgne, vaid on elementaarsemate mõistete tagajärg. Kolmogorovi lähtekohaks on elementaarsündmuste hulk (ruum) W (tulemusruum, prooviruum). Selle ruumi elementide olemus pole oluline.

Kui A, B, C Î W, on järgmised hulgateoorias kehtestatud seosed ilmsed:

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

kus üleval olev riba tähistab täiendit W -s; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC), A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

siin Æ tähistab tühja komplekti, s.t. võimatu sündmus.

Kolmogorovi aksiomaatikas käsitletakse hulga W alamhulkade teatud süsteemi U, mille elemente nimetatakse juhuslikeks sündmusteks. Süsteem U vastab järgmistele nõuetele: kui komplekti W alamhulgad A ja B on kaasatud süsteemi U, siis sisaldab see süsteem ka komplekti A È B, A Ç B, A ja B; hulk W. ise on samuti süsteemi U. Sellist hulgade süsteemi nimetatakse hulgade (Boole'i) algebraks.

Ilmselt järeldub hulkade algebra määratlusest, et tühi hulk Æ kuulub samuti perekonda U. Seega on hulkade (st juhuslike sündmuste kogum) algebra suletute, ristumiste ja täiendite moodustamise osas suletud ning seetõttu ei välju juhuslike sündmuste elementaarsed toimingud juhuslike sündmuste hulgast U .

Enamiku rakenduste puhul on vaja nõuda, et hulkade U perekond ei sisaldaks ainult hulga W alamhulkade lõplikke summasid ja lõikumiskohti, vaid ka loendatavaid summasid ja ristmikke. See viib meid s-algebra määratluseni.

Määratlus 1.1. S-algebra on komplekti W alamhulkade (U) perekond, mis on suletud täiendite, loendatavate summade ja loendatavate ristmike moodustamise toimingutega.

On selge, et iga s-algebra sisaldab komplekti W ennast ja tühja komplekti. Kui on antud hulga W alamhulkade suvaline perekond U, nimetatakse väikseimat kõiki perekonna U kogumeid sisaldavat s-algebrat perekonna U tekitatud s-algebraks.

Suurim s-algebra sisaldab kõiki s-i alamhulki; see on kasulik diskreetsetes ruumides W, kus tõenäosus määratakse tavaliselt hulga W kõigi alamhulkade jaoks. Üldisemates ruumides on aga tõenäosuse määramine kas võimatu või ebasoovitav (tõenäosuse definitsioon on toodud allpool) kõigi alamhulkade jaoks. S-algebra teine ​​äärmuslik määratlus on s-algebra, mis koosneb ainult hulgast W. ja tühjast hulgast Æ.

W valiku ja U alamhulkade s-algebra näitena kaaluge mängu, kus osalejad viskavad kuuele näole täringut numbritega 1 kuni 6. Iga täringuviske puhul ainult kuus olekud realiseeruvad: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 ja w 6, mille i-ndaks tähendab i-punktide saamist. Juhuslike sündmuste perekond U koosneb 2 6 = 64 elemendist, mis koosnevad kõikidest võimalikest kombinatsioonidest w i: w 1,…, w 6; (w 1, w 6), ..., (w 5, w 6); (w 1, w 2, w 3), ..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6).

Juhuslikud sündmused, s.t. sageli tähistame s-algebra U elemente tähtedega A, B, ... Kui kaks juhuslikku sündmust A ja B ei sisalda samu elemente w i ÎW, siis nimetame neid kokkusobimatuteks. Sündmusi A ja A nimetatakse vastupidisteks (teises märgistuses võime A asemel panna CA). Nüüd saame liikuda tõenäosuse mõiste määratlemise juurde.

Definitsioon 1.2. Hulga W alamhulkade s-algebra U tõenäosusmõõt P on hulgafunktsioon P, mis vastab järgmistele nõuetele:

1) P (A) ³ 0; AU;

, st. millel on loendatava aditiivsuse omadus, kus A k on U -st vastastikku eraldatud hulgad.

Seega, olenemata prooviruumist W, omistame tõenäosused ainult mõne s-algebra U hulkadele ja need tõenäosused määratakse nende kogumite mõõtme P väärtusega.

Seega on juhuslike sündmuste uurimisel tekkivate probleemide puhul esialgne mõiste prooviruum s, kus ühel või teisel viisil valitakse s-algebra, mille puhul tõenäosusmõõt P on juba määratud. Seetõttu saame anda järgmine määratlus

Mõiste 1.3. Tõenäosusruum on kolmik (W, U, P), mis koosneb prooviruumist W, selle alamhulkade s-algebrast U ja tõenäosusmõõdust P, mis on määratletud U-l.

Praktikas võib esineda probleeme, mille korral U -st juhuslikele sündmustele määratakse erinevad tõenäosused. Näiteks sümmeetrilise täringu puhul on loomulik panna:

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

ja kui luu on asümmeetriline, siis võivad järgmised tõenäosused osutuda tegelikkusele sobivamaks: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

Põhimõtteliselt käsitleme hulki W, mis on piiratud dimensioonilise Eukleidese ruumi R n alamhulgad. Tõenäosusteooria põhiobjektiks on juhuslikud muutujad, s.t. mõned funktsioonid on määratletud näidisruumis W. Meie esimene ülesanne on piirata funktsioonide klassi, mida me töötame. Soovitav on valida selline funktsioonide klass, mille standardoperatsioone sellest klassist eriti ei järeldataks, nii et ei saaks tuletada näiteks punktpiiride võtmise toiminguid, funktsioonide koostist jne. sellest klassist.

Määratlus 1.4. Funktsioonide B väikseim klass, mis on suletud piirini jõudmise suhtes (st kui ¦ 1, ¦ 2, ... kuuluvad klassi B ja kõigi x puhul on piir ¦ (x) = lim¦ n (x) eksisteerib, siis ¦ (x) kuulub B), mis sisaldab kõiki pidevaid funktsioone, nimetatakse Baire klassiks.

Sellest määratlusest järeldub, et kahe Baire -funktsiooni summa, erinevus, korrutis, projektsioon, koostis on jällegi Baire -funktsioonid, s.t. iga Baire -funktsiooni funktsioon on jällegi Baire -funktsioon. Tuleb välja, et kui piirdume kitsamate funktsioonide klassidega, siis ei saa teooriat tugevdada ega lihtsustada.

Üldjuhul juhuslikud muutujad, s.t. funktsioonid X = U (х), kus XÎWÌR n, tuleks määratleda nii, et sündmustel (X £ t) mis tahes t puhul oleks teatud tõenäosus, s.t. nii et hulgad (X £ t) kuuluvad perekonda U, mille elementide jaoks on tõenäosused P määratletud, st nii et määratakse väärtused P (X £ t). See viib meid järgmise funktsiooni määratavuse määratluseni perekonna U suhtes.

Mõiste 1.5. Reaalset funktsiooni U (x), xÎW nimetatakse U-mõõdetavaks, kui mis tahes reaalse t puhul on nende punktide kogum xÎW, mille puhul U (x) £ t kuulub perekonda U.

Kuna s-algebra U on täiendite võtmise ajal suletud, saab mõõdetavuse määratluses ebavõrdsuse £ asendada mis tahes ebavõrdsusega ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Nagu juba märgitud, saab s-algebra valida üsna suvaliselt ja eelkõige järgmiselt: esiteks määratakse ruumile WÎR n n-mõõtmelised intervallid, seejärel hulgade algebra toiminguid kasutades nendest intervallidest saab üles ehitada keerukama struktuuri ja moodustada komplektide perekondi. Kõigi võimalike perekondade hulgast saab valida ühe, mis sisaldab kõiki W. avatud alamhulki. Sarnane konstruktsioon annab järgmise määratluse.

Määratlus 1.6. Väikseimat s-algebra U b, mis sisaldab kõiki avatud (ja seega ka kõiki suletud) alamhulki hulgaga WÌ R n, nimetatakse Boreli s-algebraks ja selle hulkasid nimetatakse Boreliks.

Selgub, et Beriani funktsioonide klass B on identne funktsioonide klassiga, mida saab mõõta Boreli hulga s-algebra U b suhtes.

Nüüd saame selgelt määratleda juhusliku muutuja mõiste ja selle jaotuse tõenäosusfunktsiooni.

Mõiste 1.7. Juhuslik muutuja X on reaalfunktsioon X = U (x), xÎW, mõõdetav tõenäosusruumi määratluses sisalduva s-algebra U suhtes.

Määratlus 1.8. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon on funktsioon F (t) = P (X £ t), mis määrab tõenäosuse, et juhuslik muutuja X ei ületa väärtust t.

Antud jaotusfunktsiooni F korral saab tõenäosusmõõtme koostada unikaalselt ja vastupidi.

Kaaluge põhilisi tõenäosusseadusi, kasutades lõpliku hulga W. näidet. Olgu A, BÌ W. Kui A ja B sisaldavad ühiseid elemente, s.t. AB¹0, siis võime kirjutada: A + B = A + (B-AB) ja B = AB + (B-AB), kus paremal küljel on eraldatud hulgad (st kokkusobimatud sündmused) ja seetõttu additiivsuse omaduse tõenäosusmõõdu järgi: P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB); siit järgneb suvaliste sündmuste tõenäosuste summa valem: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Kui sündmuse A tõenäosuse arvutamisel ei seata tingimusi, nimetatakse tõenäosust P (A) tingimusteta. Kui sündmus A realiseerub näiteks eeldusel, et sündmus B on realiseeritud, siis räägivad nad tingimuslikust tõenäosusest, tähistades seda sümboliga P (A / B). Tõenäosuse aksiomaatilises teoorias eeldatakse definitsiooni kohaselt järgmist:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

Selle määratluse intuitiivselt selgeks tegemiseks kaaluge näiteks järgmist olukorda. Olgu kastis k paberitükki, mis on tähistatud A -tähega, r paberitükki, mis on tähistatud tähega B, m paberitükki, mis on tähistatud tähtedega AB ja n tühja paberitükki. Kokku on paberitükke p = k + r + n + m. Ja üks kord paberitükk teise järel lasta karbist välja tõmmata ja pärast iga väljatõmbamist märgitakse välja võetud paberitüüp ja pannakse see tagasi kasti. Väga paljude selliste testide tulemused registreeritakse. Tingimuslik tõenäosus P (A / B) tähendab, et sündmust A käsitletakse ainult seoses sündmuse B rakendamisega. Antud näite puhul tähendab see, et on vaja lugeda AB -tähe ja tähega välja tõmmatud paberite arvu B ja jagage esimene number esimese ja teise numbri summaga. Piisavalt suure arvu testide korral kaldub see suhe numbrile, mis määrab tingimusliku tõenäosuse P (A / B). Sama näitab ka teiste paberitükkide arv

Suhte arvutamine

veendume, et see langeb täpselt kokku tõenäosuse P (A / B) eelnevalt arvutatud väärtusega. Seega saame

P (A B) = P (A / B) P (B).

Tehes sarnaseid arutlusi, vahetades A ja B, saame

P (A B) = P (B / A) P (A)

Võrdsus

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

nimetatakse tõenäosuste korrutamise teoreemiks.

Vaadeldav näide võimaldab meil ka selgelt kontrollida järgmise võrdsuse kehtivust A B¹ jaoks:

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A B).

Näide 1.1. Laske täringut visata kaks korda ja on vaja kindlaks teha väljalangemise tõenäosus P (A / B) 10 punkti ulatuses, kui esimene viske on 4.

Teise kuue rulli võimalus on 1/6. Seega

Näide 1.2. Olgu 6 urni:

urn tüüp А 1 - kaks valget ja üks must kuul, urn tüüp А 2 - kaks valget ja kaks musta palli, urnitüübis А 3 - kaks musta ja üks valge kuul. On 1 urnitüüpi А 1, 2 urnitüüpi А 2 ja 3 urnitüüpi А 3. Juhuslikult valitakse urn ja sellest pall. Kui suur on tõenäosus, et see pall on valge? Tähistame B -ga valge palli väljatõmbamise sündmust.

Probleemi lahendamiseks oletame, et mõni sündmus B realiseerub ainult koos ühega n sobimatust sündmusest A1, ..., ja n, s.t. В =, kus sündmused BA i ja BA j erinevate indeksitega i ja j ei ühildu. Tõenäosuse P aditiivsuse omadusest järeldub:

Asendades siin sõltuvuse (1.1), saame

seda valemit nimetatakse kogutõenäosuse valemiks. Viimase näite lahendamiseks kasutame kogu tõenäosuse valemit. Kuna valget palli (sündmus B) saab võtta ühest kolmest urnist (sündmused A1, A2, A3), siis saame kirjutada

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Kogu tõenäosuse valem annab

Arvutame sellesse valemisse lisatud tõenäosused. Tõenäosus, et pall võetakse A1 tüüpi urnilt, on ilmselgelt võrdne P (A1) = 1/6, A2 tüüpi urni puhul: P (A2) = 2/6 == 1/3 ja urnist tüüpi A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. Kui pall on võetud A1 tüüpi urnist, siis P (B / A 1) = 2/3, kui A2 tüüpi urni puhul, siis P (B / A 2) = 1/2 ja kui urn tüüpi A3, siis P (B / A 3) = 1/3. Seega,

P (B) = (1/6) (2/Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Tingimuslik tõenäosus P (B / A) omab kõiki tõenäosuse omadusi P (B / A) ³0, B (B / B) = 1 ja P (B / A) on liitlik.

Niivõrd kui

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

siis sellest järeldub, et kui A ei sõltu B -st, st kui

P (A / B) = P (A),

siis B ei sõltu A -st, s.t. P (B / A) = P (B).

Seega on sõltumatute sündmuste korral korrutusteoreem kõige lihtsamal kujul:

P (A B) = P (A) P (B) (1.3)

Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis on ka kõik järgmised sündmuste paarid sõltumatud: (A, B), (A, B), (A, B). Veendume näiteks, et kui A ja B on sõltumatud, siis nii A kui ka B. tingimused P (B / A) = P (B), järgneb: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Sündmused võivad olla paarisõltumatud, kuid võivad kokkuvõttes sõltuda. Sellega seoses tutvustatakse ka vastastikuse sõltumatuse mõistet: sündmusi А 1, ..., А n nimetatakse vastastikku sõltumatuks, kui indeksite 1,2, ..., n võrdsuse mis tahes alamhulga Е puhul

Praktikas on sageli vaja hinnata hüpoteeside tõenäosust pärast mõne testi läbiviimist. Olgu näiteks sündmus B realiseeritav ainult ühe sobimatute sündmustega A1, ..., Ja n, s.t. ja lase sündmusel B. See on vajalik tingimuse alusel hüpoteesi (sündmuse) A i tõenäosuse leidmiseks

mis juhtus. Korrutusteoreemist

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

Võttes arvesse P (B) kogutõenäosuse valemit, tähendab see

Neid valemeid nimetatakse Bayesi valemiteks.

Näide 1.3. Oletame, et näites 1.2 tõmmatakse valge pall välja ja tuleb kindlaks teha, kui suur on tõenäosus, et see võetakse 3. tüüpi urni juurest.

Tõenäosused ja reeglid nendega tegelemiseks. Uuritud juhusliku katse mehhanismi täielikuks kirjeldamiseks ei piisa ainult elementaarsündmuste ruumi täpsustamisest. Ilmselt peaksime koos uuritava juhusliku katse kõigi võimalike tulemuste loetlemisega teadma ka seda, kui sageli võivad teatud elementaarsed sündmused selliste katsete pikas reas esineda. Tõepoolest, tagasi pöördudes näiteks näidete juurde, on lihtne ette kujutada, et iga punktis kirjeldatud kirjelduse raames

nendes elementaarsündmuste ruumides võime arvestada lõpmatu hulga juhuslike katsetega, mille mehhanism erineb oluliselt. Niisiis, näidete 4.1–4.3 puhul on meil samade elementaarsete tulemuste esinemissagedus oluliselt erinev, kui kasutame erinevaid hetki ja täringud (sümmeetrilised, kergelt nihutatud raskuskesega, tugevalt nihutatud raskuskeskmega jne). Näidetes 4.4–4.7 näidatakse defektsete toodete esinemissagedust, kontrollitud partiides defektsete toodetega saastumise olemust ja automaatsete liinimasinate teatud arvu tõrgete esinemissagedus sõltub uuritava toodangu tehnoloogiliste seadmete tasemest: sama elementaarsündmuste ruumi korral on "heade" elementaarsete tulemuste esinemissagedus tootmises suurem kõrgem tehnoloogia tase.

Juhusliku katse täieliku ja täieliku matemaatilise teooria (tõenäosusteooria) ehitamiseks (diskreetsel juhul) tuleb lisaks juhusliku katse, elementaarse tulemuse ja juhusliku sündmuse juba kasutusele võetud algkontseptsioonidele varuda veel üks esialgne eeldus (aksioom), mis eeldab elementaarsündmuste tõenäosuste olemasolu (mis vastavad teatud normaliseerimisele) ja mis tahes juhusliku sündmuse tõenäosuse määramine.

Aksioom. Iga elementaarsündmuste ruumi Q element vastab mõnele selle toimumise tõenäosuse mitte -negatiivsele numbrilisele tunnusele, mida nimetatakse sündmuse tõenäosuseks ja

(sellest järeldub eelkõige, et kõigile).

Sündmuse tõenäosuse määramine. Mis tahes sündmuse A tõenäosus on määratletud kui kõigi sündmuse A moodustavate elementaarsündmuste tõenäosuste summa, st kui kasutate sümboolikat sündmuse A tõenäosuse tähistamiseks, siis

Sellest ja (4.2) järeldub kohe, et pealegi on usaldusväärse sündmuse tõenäosus alati olemas

on võrdne ühega ja võimatu sündmuse tõenäosus on null. Kõik muud tõenäosuste ja sündmustega toimingute mõisted ja reeglid tuletatakse juba ülaltoodud neljast esialgsest määratlusest (juhuslik eksperiment, elementaarne tulemus, juhuslik sündmus ja selle tõenäosus) ning ühest aksioomist.

Seega on uuritud juhusliku katse mehhanismi ammendavaks kirjeldamiseks (diskreetsel juhul) vaja täpsustada kõigi võimalike elementaarsete tulemuste piiratud või loendatav kogum Q ja määrata igale elementaarsele tulemusele teatud mitte-negatiivne (mitte rohkem kui üks) arvnäitaja, mida tõlgendatakse tulemuse tõenäosusena, ja kehtestatud kirjavahetuse tüüp peab vastama normaliseerimisnõudele (4.2).

Tõenäosuslik ruum on just see mõiste, mis vormistab sellise juhusliku katse mehhanismi kirjelduse. Tõenäosusliku ruumi määramine tähendab elementaarsündmuste ruumi Q seadmist ja selles ülaltoodud tüübivastavuse määratlemist

Ilmselgelt saab tüüpi (4.4) vastavust täpsustada mitmel viisil: kasutades tabeleid, graafikuid, analüütilisi valemeid ja lõpuks algoritmiliselt.

Kuidas ehitada uuritud tegelikule tingimuste kompleksile vastav tõenäosusruum? Reeglina ei ole raskusi juhusliku katse, elementaarsündmuse, elementaarsündmuste ruumi ja diskreetsel juhul igasuguse konkreetse sisuga laguneva juhusliku sündmuse mõistete täitmisega. Kuid lahendatavate probleemi konkreetsete tingimuste põhjal ei ole nii lihtne määrata üksikute elementaarsündmuste tõenäosusi! Sel eesmärgil kasutatakse ühte järgmistest kolmest meetodist.

A priori lähenemisviis tõenäosuste arvutamiseks koosneb teoreetilisest, spekulatiivsest analüüsist konkreetse juhusliku katse eritingimuste kohta (enne katset ennast). See esialgne analüüs võimaldab paljudes olukordades soovitud tõenäosuste määramise meetodit teoreetiliselt põhjendada. Näiteks juhul, kui ruumi kõik võimalik

elementaarsed tulemused koosnevad piiratud hulgast N elemendist ja uuritava juhusliku katse tegemise tingimused on sellised, et iga N elementaartulemuse rakendamise tõenäosus tundub meile võrdne (sellises olukorras leiame end sümmeetrilise mündi viskamisel, õigete täringute viskamisel, juhuslikult mängukaardi tõmbamisel hästi segatud tekilt jne). Aksioomi (4.2) kohaselt on iga elementaarsündmuse tõenäosus antud juhul võrdne MN -ga. See võimaldab teil saada lihtsa retsepti mis tahes sündmuse tõenäosuse arvutamiseks: kui sündmus A sisaldab elementaarsündmusi, siis vastavalt definitsioonile (4.3)

Valemi (4.3) tähendus on see, et sündmuse tõenäosust teatud olukordade klassis saab määratleda kui soodsate tulemuste (st sellesse sündmusse kaasatud elementaarsete tulemuste) arvu ja kõigi võimalike tulemuste arvu suhet ( tõenäosuse nn klassikaline määratlus). Kaasaegses tõlgenduses ei ole valem (4.3) tõenäosuse määratlus: see on rakendatav ainult erijuhul, kui kõik elementaarsed tulemused on võrdselt tõenäolised.

Tõenäosuste arvutamise tagantjärele kasutatav lähenemine algab sisuliselt tõenäosuse määratlusest, mis on vastu võetud nn tõenäosuse sageduskontseptsiooniga (selle mõiste kohta vt lähemalt näiteks artiklit,). Selle kontseptsiooni kohaselt määratletakse tõenäosus tulemuse c suhtelise esinemissageduse piirina juhuslike katsete koguarvu piiramatu suurenemise protsessis, s.t.

kus on juhuslike katsete arv (läbi viidud juhuslike katsete koguarvust), milles registreeriti elementaarsündmuse esinemine. Sellest tulenevalt tehakse tõenäosuste praktiliseks (ligikaudseks) määramiseks ettepanek võtta suhtelised sagedused sündmuse esinemine ω piisavalt pika aja jooksul

hulk juhuslikke katseid See tõenäosuste arvutamise meetod ei ole vastuolus tõenäosusteooria tänapäevase (aksiomaatilise) kontseptsiooniga, kuna viimane on üles ehitatud nii, et mis tahes sündmuse objektiivse tõenäosuse empiiriline (või valikuline) analoog A on selle sündmuse esinemissagedus sõltumatute testide seerias. Tõenäosuste definitsioonid osutuvad nende kahe mõiste puhul erinevaks: vastavalt sagedusmõistele ei ole tõenäosus objektiivne, eksisteerinud enne kogemust, uuritava nähtuse omadus, vaid ilmneb ainult seoses katse või vaatlusega; see toob kaasa teoreetiliste (tõsi, uuritava nähtuse "olemasolu" tegeliku tingimuste kompleksi tõttu), tõenäosuslike omaduste ja nende empiiriliste (selektiivsete) analoogide segu. Nagu G. Kramer kirjutab, „võib tõenäosuse täpsustatud definitsiooni võrrelda näiteks geomeetrilise punkti määratlusega kui lõpmatult väheneva suurusega kriiditäppide piirina, kuid tänapäevane aksiomaatiline geomeetria sellist määratlust kasutusele ei võta” () . Me ei peatu siin tõenäosuse sagedusmõiste matemaatilistel puudustel. Märgime ainult põhilisi raskusi arvutustehnika rakendamisel ligikaudsete väärtuste saamiseks suhteliste sageduste abil. Esiteks, juhusliku katse tingimuste muutmata jätmine (st statistilise kogumi tingimuste säilitamine), mille puhul eeldatakse tendentsi püsiväärtuse ümber rühmitatavatest suhtelistest sagedustest osutub kehtivaks, neid ei saa lõputult ja suure täpsusega toetada. Seetõttu ei ole tõenäosuste hindamiseks suhtelisi sagedusi kasutades

on mõttekas võtta liiga pikki seeriaid (st liiga suuri) ja seetõttu ei saa muide täpne üleminek piirini (4.5) olla päris mõttekas. Teiseks, olukordades, kus meil on piisavalt palju võimalikke elementaarseid tulemusi (ja need võivad moodustada lõpmatu ja isegi, nagu on märgitud punktis 4.1, pideva kogumi), on meil võimalik isegi suvaliselt pikk juhuslike katsete seeria tulemused, mida meie katse käigus pole kunagi realiseeritud; ja ülejäänud võimalike tulemuste puhul on suhteliste sageduste abil saadud tõenäosuste ligikaudsed väärtused nendes tingimustes äärmiselt ebausaldusväärsed.

Posterioorse mudeli lähenemisviis tõenäosuste seadmiseks, mis vastavad konkreetselt uuritud tegelikule tingimuste kompleksile, on praegu ehk praktikas kõige levinum ja mugavam. Selle lähenemisviisi loogika on järgmine. Ühelt poolt a priori lähenemisviisi raames, see tähendab hüpoteetiliste reaalsete tingimuste komplekside spetsiifilisuse võimalike variantide teoreetilise ja spekulatiivse analüüsi raames, mudeli tõenäosusruumide komplekt (binoomne, Poisson, normaalne, eksponentsiaalne jne, vt § 6.1). Teisest küljest on uurijal piiratud arvu juhuslike katsete tulemused. Lisaks kohandab uurija spetsiaalsete matemaatiliste ja statistiliste tehnikate abil (mis põhinevad tundmatute parameetrite statistilise hindamise ja hüpoteeside statistilise testimise meetoditel) 8. ja 9. peatükis) tõenäosusruumide hüpoteetilisi mudeleid. vaatlustulemused, mis tal on (peegeldades uuritud tegeliku reaalsuse eripära) ja jätab edasiseks kasutamiseks ainult selle mudeli või need mudelid, mis ei ole nende tulemustega vastuolus ja vastavad neile mõnes mõttes kõige paremini.

Kirjeldagem nüüd toimingute põhireegleid koos sündmuste tõenäosustega, mis on ülaltoodud määratluste ja aksioomide tagajärjed.

Sündmuste summa tõenäosus (tõenäosuste liitmise teoreem). Sõnastame ja tõestame reegli kahe sündmuse summa tõenäosuse arvutamiseks. Selleks jagame iga elementaarsündmuste komplekti,

sündmuse komponendid kaheks osaks:

Kui ühendab kõik elementaarsündmused ω, mis on kaasatud, kuid ei kuulu sellesse, koosneb kõigist neist elementaarsündmustest, mis on samaaegselt lisatud definitsiooni (4.3) ja sündmuste korrutise määratlusesse, meil on:

Samal ajal on meil vastavalt sündmuste summa määratlusele ja punktiga (4.3)

Lehtedest (4.6), (4.7) ja (4.8) saame tõenäosuste liitmise valemi (kahe sündmuse puhul):

Tõenäosuste lisamise valemit (4.9) saab üldistada suvalise hulga terminite puhul (vt nt 183, lk 105):

kus "lisandused" arvutatakse vormi tõenäosuste summa kujul

pealegi tehakse summeerimine paremal küljel muidugi tingimusel, et kõik on erinevad. Erijuhul, kui meile huvi pakkuv süsteem koosneb ainult kokkusobimatutest sündmustest, on kõik vormi tooted

on tühjad (või võimatud) sündmused ja vastavalt sellele annab valem (4.9)

Sündmuste korrutise tõenäosus (tõenäosuste korrutamise teoreem). Tingimuslik tõenäosus.

Vaatleme olukordi, kus teatud sündmuse ettemääratud tingimus või fikseerimine, mis on juba toimunud, jätab võimalike loetelust välja mõned analüüsitud tõenäosusruumi elementaarsed sündmused. Niisiis, analüüsides N masstoodangu komplekti, mis sisaldab esimese, teise, kolmanda ja neljanda klassi tooteid, kaalume tõenäosusruumi, millel on vastavalt elementaarsed tulemused ja nende tõenäosused (siin tähendab juhtumit, kui toode, mis on võetud juhuslikult komplekt osutus sortideks). Oletame, et toodete sorteerimise tingimused on sellised, et mingis etapis on esimese klassi tooted üldisest elanikkonnast eraldatud ja kõik tõenäolised järeldused (ja eelkõige erinevate sündmuste tõenäosuste arvutamine), mille peame koostama trimmitud populatsioonile, mis koosneb ainult teise, kolmanda ja neljanda klassi toodetest. Sellistel juhtudel on tavaks rääkida tingimuslikest tõenäosustest, see tähendab tõenäosustest, mis on arvutatud teatud juba toimunud sündmuse tingimustel. Sellisel juhul on selline realiseeritud sündmus sündmus, see tähendab, et mis tahes juhuslikult ekstraheeritud tootest koosnev sündmus on kas teine, kolmas või neljas klass. Seega, kui meid huvitab sündmuse A tingimusliku tõenäosuse arvutamine (eeldusel, et sündmus B on juba toimunud), näiteks selles, et juhuslikult ekstraheeritud toode osutub teise või kolmanda klassi tooteks, siis ilmselt , selle tingimusliku tõenäosuse (me tähistame seda) saab määrata järgmise seose abil:

Nagu sellest näitest on lihtne aru saada, on tingimuslike tõenäosuste arvutamine sisuliselt üleminek teisele, kärbitud antud tingimusega Elementaarsündmuste ruumis, kui kärbitud ruumis olevate elementaarsündmuste tõenäosuste suhe jääb samaks nagu algses (laiemas), kuid kõik need on normaliseeritud (jagatud), nii et normaliseerimisnõue (4.2) on ka uues tõenäosusruumis täidetud. Loomulikult ei saaks sisse viia tingimuslike tõenäosustega terminoloogiat, vaid lihtsalt kasutada uues ruumis tavaliste ("tingimusteta") tõenäosuste aparaati. Kirjutamine "vana" ruumi tõenäosuste mõttes on kasulik neil juhtudel, kui vastavalt konkreetse probleemi tingimustele peame alati meeles pidama elementaarsündmuste esialgse, laiema ruumi olemasolu.

Saame tingimusliku tõenäosuse valemi üldjuhul. Olgu B sündmus (mitte tühi), N juba toimunuks loetud ("tingimus"), sündmus, mille tingimuslik tõenäosus tuleb arvutada. Elementaarsündmuste Q uus (kärbitud) ruum koosneb ainult B -s sisalduvatest elementaarsündmustest ja seetõttu määravad nende tõenäosused (normaliseerimistingimusega) seosed

Definitsiooni järgi on tõenäosus sündmuse A tõenäosus "kärbitud" tõenäosusruumis ja seega vastavalt punktidele 4.3 ja 4.10

või mis on sama,

Samaväärseid valemeid (4.11) ja (4.11 ") nimetatakse tavaliselt vastavalt tingimusliku tõenäosuse valemiks ja tõenäosuste korrutamise reegliks.

Rõhutame veel kord, et erinevate sündmuste tingimuslike tõenäosuste arvestamine sama tingimusega B on samaväärne tavaliste tõenäosuste arvestamisega teises (kärbitud) elementaarsündmuste ruumis, arvutades valemi (4.10) abil ümber elementaarsündmuste vastavad tõenäosused. Seetõttu jäävad kõik tõenäosustega toimingute üldteoreemid ja reeglid tingimuslike tõenäosuste puhul kehtima, kui need tingimuslikud tõenäosused võetakse samadel tingimustel.

Sündmuste sõltumatus.

Kahte sündmust A ja B nimetatakse sõltumatuks, kui

Sellise määratluse loomulikkuse selgitamiseks pöördume tõenäosuste korrutamise teoreemi (4.11) juurde ja vaatame, millistes olukordades (4.12) sellest järeldub. Ilmselt võib see juhtuda siis, kui tingimuslik tõenäosus on võrdne vastava tingimusteta tõenäosusega, st jämedalt öeldes, kui teadmine, et sündmus on aset leidnud, ei mõjuta sündmuse A toimumise tõenäosuse hindamist.

Sõltumatuse definitsiooni laiendamine rohkem kui kahe sündmusega süsteemile on järgmine. Sündmusi nimetatakse vastastikku sõltumatuteks, kui need on paarid, kolmikud, neljakordsed jne. sellest sündmuste komplektist võetud sündmuste korral kehtivad järgmised korrutamisreeglid:

Ilmselgelt tähendab esimene rida

(k kombinatsioonide arv kahe võrra) võrrandid, teises - ja nii edasi. Kokkuvõttes ühendab seega (4.13) tingimused. Samal ajal on esimese rea tingimused piisavad, et tagada nende sündmuste paariline sõltumatus. Ja kuigi sündmuste süsteemi paariline ja vastastikune sõltumatus ei ole rangelt võttes ühesugused, on nende erinevus pigem teoreetiline kui praktiline huvi: praktiliselt olulisi näiteid paarisõltumatute sündmuste kohta, mis ei ole vastastikku sõltumatud, ilmselt ei eksisteeri.

Sündmuste sõltumatuse omadus hõlbustab oluliselt uuritavate sündmuste süsteemiga seotud erinevate tõenäosuste analüüsi. Piisab sellest, kui öelda, et kui üldjuhul kirjeldada süsteemisündmuste kõigi võimalike kombinatsioonide tõenäosusi, on vaja täpsustada 2 tõenäosust, siis nende sündmuste vastastikuse sõltumatuse korral piisab vaid k tõenäosusest

Sõltumatuid sündmusi kohtab uuritud reaalsuses väga sageli, need viiakse läbi katsetes (vaatlustes), mis viiakse läbi üksteisest sõltumatult tavapärases füüsilises mõttes.

See on nelja järjestikuse täringuviske tulemuste sõltumatuse omadus, mis võimaldas (abiga (4.13)) hõlpsalt arvutada kukkumise (mitte ühelgi neist visetest) kuue tõenäosust punkti 2.2.1. Tõepoolest, olles tähistanud sündmust, et kuus ei visanud välja (see võimalus tuleneb otseselt asjaolust, et sündmused kokku kurnavad kogu elementaarsündmuste ruumi ja ei lõiku paarikaupa), s.t.

Edasi, kasutades tõenäosuste liitmise teoreemi (seoses ebajärjekindlate sündmustega, mis on sündmused) ja arvutades iga toote tõenäosuse tõenäosuste korrutise valemi (4.1 D) abil, saame (4.14).

Bayesi valem.

Kõigepealt pöördume järgmise probleemi poole. Laos on kolme tehase toodetud seadmed: 20% laos olevatest seadmetest on tehas nr 1, 50% - tehas nr 2 ja 30% - tehas # 3. Tõenäosus, et seade vajab remonti garantiiaja jooksul on toodete puhul iga tehas vastavalt 0,2; 0,1; 0.3. Laost võetud seadmel puudus tehase märgistus ja see vajas remonti (garantiiajal). Millisest taimest see seade tõenäoliselt valmistati? Mis see tõenäosus on? Kui nimetame sündmuse, mis seisneb selles, et kogemata laost võetud seade osutus tootmiseks

Asendades (4.16) ja (4.17) (4.15), saame

Selle valemi abil on nõutavaid tõenäosusi lihtne arvutada:

Järelikult valmistati ebakvaliteetne seade tõenäoliselt tehases nr 3.

Valemi (4.18) tõestamine sündmuste täieliku süsteemi korral, mis koosneb suvalisest sündmuste arvust k, kordab täpselt valemi (4.18) tõestust. Selles üldises vormis valem

mida tavaliselt nimetatakse Bayesi valemiks.