Üksnes täpsetel faktidel põhinevaid põhjendusi ja nendel faktidel põhinevaid täpseid järeldusi nimetatakse rangeteks kaalutlusteks. Juhul kui otsuste tegemiseks on vaja kasutada ebakindlaid fakte, muutub range põhjendus sobimatuks. Seetõttu peetakse mis tahes eksperdisüsteemi üheks tugevuseks selle võimet kujundada ebakindluse tingimustes sama edukalt arutluskäiku kui inimeksperdid. Selline arutluskäik on lõdva iseloomuga. Võite ohutult rääkida kohalolekust hägune loogika.

Ebakindlus ja selle tulemusena võib hägust loogikat pidada otsuse tegemiseks ebapiisavaks teabeks. Ebakindlusest saab probleem, sest see võib takistada parima lahenduse loomist ja isegi põhjustada halva lahenduse leidmise. Tuleb märkida, et reaalajas leitud kvaliteetset lahendust peetakse sageli vastuvõetavamaks kui paremat lahendust, mille arvutamine võtab palju aega. Näiteks võib täiendavate uuringutega ravi viivitamine põhjustada patsiendi surma ilma abi ootamata.

Ebakindluse põhjuseks on mitmesuguste vigade olemasolu teabes. Lihtsustatud klassifikatsioon neid vigu saab jagada järgmisteks tüüpideks:

• teabe mitmetähenduslikkus, mille esinemine on tingitud asjaolust, et mõnda teavet saab tõlgendada erineval viisil;
• teabe puudulikkusega seotud teabe puudulikkus;
• andmete kasutamisest tingitud teabe ebapiisavus ei vasta tegelikule olukorrale (võimalikud põhjused on subjektiivsed vead: valed, valeinfo, seadmete rike);
• mõõtmisvead, mis tekivad andmete kvantitatiivse esitamise kriteeriumide õigsuse ja täpsuse nõuete mittejärgimise tõttu;
• juhuslikud vead, mille avaldumine on andmete juhuslikud kõikumised nende keskmise väärtuse suhtes (põhjuseks võib olla: seadmete ebausaldusväärsus, Browni liikumine, termilised efektid jne).

Praeguseks on välja töötatud märkimisväärne hulk määramatuse teooriaid, mille käigus püütakse kõrvaldada mõned või isegi kõik vead ja anda usaldusväärseid järeldusi ebakindluse tingimustes. Praktikas on enim kasutatud teooriaid, mis põhinevad tõenäosuse klassikalisel määratlusel ja tagantjärele.

Üks vanimaid ja olulisemaid vahendeid tehisintellekti probleemide lahendamiseks on tõenäosus. Tõenäosus on kvantitatiivne viis ebakindluse arvestamiseks. Klassikaline tõenäosus pärineb teooriast, mille esitasid esmakordselt Pascal ja Fermat 1654. aastal. Sellest ajast alates on tehtud palju tööd tõenäosuse uurimisel ja arvukate tõenäosusrakenduste rakendamisel teaduses, tehnoloogias, ettevõtluses, majanduses ja muudes valdkondades.

Klassikaline tõenäosus

Klassikaline tõenäosus nimetatakse ka a priori tõenäosuseks, kuna selle määratlus viitab ideaalsetele süsteemidele. Mõiste "eelnev" tähistab tõenäosust, mis on määratud "sündmustele", arvestamata paljusid reaalses maailmas toimuvaid tegureid. A priori tõenäosuse mõiste kehtib sündmuste kohta, mis toimuvad ideaalsetes süsteemides, mis on altid kulumisele või teiste süsteemide mõjule. Ideaalses süsteemis toimub mis tahes sündmuste toimumine samamoodi, muutes nende analüüsi palju lihtsamaks.

Klassikalise tõenäosuse (P) põhivalem on määratletud järgmiselt.

Selles valemis W on oodatavate sündmuste arv ja N- võrdse tõenäosusega sündmuste koguarv, mis on katse või testi võimalikud tulemused. Näiteks kuuepoolse täringu mis tahes näo saamise tõenäosus on 1/6 ja 52 erinevat kaarti sisaldavast pakist mis tahes kaardi tõmbamine on 1/52.

Tõenäosusteooria aksioomid

Ametliku tõenäosusteooria saab luua kolme aksioomi põhjal:

Ülaltoodud aksioomid võimaldasid panna aluse tõenäosusteooriale, kuid nad ei arvesta sündmuste toimumise tõenäosust reaalsetes - mitteideaalsetes süsteemides. Vastupidiselt a priori lähenemisele reaalsetes süsteemides mõne sündmuse tõenäosuse määramiseks P (E), kasutatakse katse tõenäosuse määramise meetodit sagedusjaotuse piirina:

Tagumine tõenäosus

Selles valemis f (E) tähistab vaheliste sündmuste esinemissagedust Nüldiste tulemuste vaatluste arv. Seda tüüpi tõenäosust nimetatakse ka tagumine tõenäosus, st. tõenäosus määratakse "pärast sündmusi". Tagumise tõenäosuse määramise aluseks on sündmuse esinemissageduse mõõtmine suure hulga testide ajal. Näiteks krediidivõimelise pangakliendi sotsiaalse tüübi määratlus, mis põhineb empiirilisel kogemusel.

Sündmused, mis ei välista üksteist, võivad üksteist mõjutada. Sellised sündmused liigitatakse keerukateks. Keeruliste sündmuste tõenäosust saab arvutada, analüüsides vastavaid prooviruume. Neid prooviruume saab esitada Venni diagrammide abil, nagu on näidatud joonisel fig. 1

Joonis 1 Näidisruum kaheks üksteist välistavaks sündmuseks

Sündmuse A esinemise tõenäosust, mille määramisel võetakse arvesse asjaolu, et sündmus B on toimunud, nimetatakse tingimuslikuks tõenäosuseks ja seda tähistatakse P (A | B)... Tingimuslik tõenäosus on määratletud järgmiselt:

Eelnev tõenäosus

Selles valemis on tõenäosus P (B) ei tohiks olla null ja see on eelnev tõenäosus, mis määratakse enne muu lisateabe teatavaks tegemist. Eelnev tõenäosus seda, mida kasutatakse seoses tingimusliku tõenäosuse kasutamisega, nimetatakse mõnikord absoluutseks tõenäosuseks.

On probleem, mis on sisuliselt vastupidine tingimusliku tõenäosuse arvutamise probleemile. See seisneb pöördtõenäosuse määramises, mis näitab eelmise sündmuse tõenäosust, võttes arvesse neid sündmusi, mis toimusid tulevikus. Praktikas kohtab seda tüüpi tõenäosust üsna sageli, näiteks meditsiinilise diagnostika või seadmete diagnostika ajal, mille käigus tuvastatakse teatud sümptomid, ja ülesanne on leida võimalik põhjus.

Selle probleemi lahendamiseks kasutame Bayesi teoreem, nime saanud 18. sajandi Briti matemaatiku Thomas Bayesi järgi. Bayesi teooriat kasutatakse tänapäeval laialdaselt majandus- ja sotsiaalteaduste otsustuspuude analüüsimisel. Bayesi lahenduste otsingut kasutatakse ka PROSPECTORi ekspertsüsteemis, kui tehakse kindlaks paljutõotavad alad maavarade uurimiseks. Süsteem PROSPECTOR saavutas laialdase populaarsuse esimese eksperdisüsteemina, mille abil avastati väärtuslik molübdeenimaardla, mis läks maksma 100 miljonit dollarit.

C7 Selles kaasaegses vormis sõnastas Bayesi teoreemi tegelikult Laplace. Probleemi sõnastus kuulub Thomas Bayesile. Ta sõnastas selle tuntud Bernoulli probleemi pöördvõrdelisena. Kui Bernoulli otsis mündiviskamise "kõvera" erinevate tulemuste tõenäosust, siis Bayes püüdis vastupidi mündiviskamise empiiriliselt täheldatud tulemuste põhjal kindlaks teha selle "kõveruse" astet. Tema lahenduses puudus eelnev tõenäosus.

Kuigi reegel tundub väga lihtne, osutub selle rakendamine praktikas keeruliseks, kuna tagantjärele tõenäosused (või isegi lihtsustatud otsustusfunktsioonide väärtused) on teadmata. Nende väärtusi saab hinnata. Bayesi teoreemi kohaselt saab a posteriori tõenäosusi väljendada aprioorsete tõenäosuste ja tihedusfunktsioonide abil valemiga P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Su P xI C,

Hinnates MDA meetodil klassifitseerimise tulemusi, näeme olulist osa ekslike otsuste pankrotistunud ettevõtete jaoks (grupp 1) - üks neist oleks saanud laenu. Ebaselge positsiooniga ettevõtteid (2. rühm) on raske õigesti klassifitseerida, sest lõpuks võivad nad langeda 1. või 3. rühma. Asja ei saa parandada, viies eelmised tõenäosused vastavusse panga ideedega ettevõtte tõenäosuse kohta erinevatesse gruppidesse kuuluda. Prognoosi õigsuse üldine näitaja oli vaid 56,6% ja 1. rühmast oli õigesti klassifitseeritud ainult 30%.

Käimasolevate protsesside keerukuse ja samaaegsuse tõttu on põhjuslikel seostel põhinevatel mudelitel piiratud rakendamisvõimalused, äsja toimuvad sündmused muudavad pidevalt kõigi muutujate (nii mudelisse kaasatud kui ka mitte) spetsifikatsioone ja väärtusi a priori tõenäosused ja maksete summad erinevate strateegiate jaoks on väga ebakindlad ja kõikuvad kiiresti koos majanduskasvu, intressimäärade, vahetuskursside ja mittelaenavate tehingute kasumlikkuse muutustega (näiteks kui muutuvad tegevus- ja vahendustasud).

Kuna reaalses olukorras on võimatu ette teada, milline osa juhuslikus valimis esindatud ettevõtetest läheb aasta jooksul pankrotti, ning kuna kahe vaatlusaluse mudeli autorid, nagu võib oletada, seadsid jagamistasemed mõned konkreetsed eeldused pankroti varasemate tõenäosuste ja vigade maksumuse kohta lihtsustasime võrdlusmenetlust ja võtsime kasutusele suhtelised eraldavad tasemed. Teisisõnu pidasime iga mudeli puhul pankrotisignaalideks mudeli järgmise aasta signaalide alumist 10%. Tegelikult tähendab see lähenemine eelmises testis kokku 10% eelnevat pankrotitõenäosust ja pankrotisignaalide arvu ja reaalsete pankrotide suhet, mis määratakse optimeerimiskünnise abil. Lisaks on selle meetodi eeliseks see, et see minimeerib moonutusi, mis tulenevad suurest viivitusest Altmani Z-skoori avaldamise ja katse läbiviimise vahel. Selle aja keskmised näitajad võivad olla muutunud ja seetõttu tundub ettevõtete jagunemine tugevateks ja nõrkadeks teatud proportsiooni alusel usaldusväärsem. Tabel 9.2 näitab katse tulemusi, millega prognoositi pankrotti järgmiseks aastaks, näidates iga mudeli viga.

Võttes faktilise tõenäosuse, hinnake filiaali avamise korral oodatavat kasumit.

Tähistame A. -ga sündmust, mis q 6 [

Oletame näiteks, et on valitud järgmised parameetrid: kapitaliinvesteeringute väärtus, tegevuskulude väärtus ja valmistoodangu hind, mis võivad vastavalt võtta väärtusi Кb К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2 , Цз- Kõik need väärtused vastavad mõnele a priori tõenäosusele, näiteks Кь Эь Ts on tõenäosus pt = 0,1, K2, A2, Ts2 korral on tõenäosus p2 = 0,8 ja K3, E3, Ts3 - p3 = 0,1.

Olgu a priori tõenäosus saada projekteerimisprotsessi lõpus tehniline lahendus, mis vastab

Kui mängijal 2 on mängus D rohkem kui üks strateegia ja nende kasutamise eelnevad tõenäosused ei ole mängijale 1 teada või pole isegi mõtet nendest tõenäosustest rääkida, siis on kõik, mis äsja öeldud, kohaldamatu.

Nagu varem nägime, sõltuvad eelmiste tõenäosuste p ja q muutused signaali häälestamisest.

Siit järeldub, et kui meil on riskineutraalne üksus, kes usub, et ostuoptsioon on väärtusega C tõenäosusega tg ja j tõenäosusega (1 - tg), arvutab see üksus jooksva optsiooni hinna täielikult kooskõlas meie võrrandiga ... Pange tähele, et me ei eeldanud kunagi, et on olemas a priori tõenäosus konkreetse aktsia hinna ja vastavalt ka tulevase optsiooni hindamiseks. Seda lähenemist nimetatakse riskineutraalseks hindamiseks.

Las m (

(7.53) parempoolne külg ei ole tihedus selle õiges tähenduses, kuna selle integraal pole määratletud; sellegipoolest, parameetrite tagumise jaotuse tiheduse arvutamisel Bayesi valemi abil, tekivad formaalsed raskused ( 7.53) kas ei teki või saab neist kergesti üle ... Nagu näeme allpool jaotises 7.3.2, on valik (7.53) analüütiliselt mugav ja tundub, et see peegeldab hästi parameetrite jaotuse a priori teadmiste täielikku puudumist. Siiski peidab see tegelikult väga tugevaid eeldusi, et parameetrite vahel pole korrelatsiooni (mitte segi ajada parameetrite väärtuste hinnangute korrelatsiooniga, mis sõltub regressorite jaotusest ja a väärtusest), tühine a a priori tõenäosus, et parameetrite vektor asub mis tahes antud piiratud mahus, olenemata selle väärtusest jne. See toob mõnikord kaasa tõsiseid raskusi Bayesi hinnangu tõlgendamisel.

Mõelge Bayesi teoreemi sisule veidi teisest vaatenurgast. Selleks paneme kirja kõik oma katse võimalikud tulemused. Sümbolid Н0, h tähendavad tulemust, münt ei ole kaetud ja selle ülemine külg on vapp. "

Ma olen nagu V2i, siis on määratud tulemuse tõenäosus Va X x1 / 2 = 1 / 4- Allpool on loetletud kõik tulemused ja nende eelnevad tõenäosused

Niisiis, mündi ja stantsiga näites on P (Ha) eelnev tõenäosus, P (Na K) on tagumine tõenäosus ja P (H Ha) on tõenäosus.

Kui nüüd saab eelneva tõenäosuse P (H0) võtta võrdseks kas 1 või 0, siis öeldakse, et otsustaja

Kujutage nüüd ette, et eksperimenteerija pakub otsustajale täiesti usaldusväärset (või täielikku) teavet selle kohta, millist konkreetset objekti see ei hõlma. Otsustaja peab aga maksma sellise täiesti usaldusväärse teabe edastamise teenuse eest enne selle teabe saamist. Milline oleks sellise teabe väärtus? Ta võib vaadata ette ja küsida endalt, mida ta teeb vastuseks igale võimalikule sõnumile, mida antud teenus võib pakkuda, ning arvutada oma sissetuleku saadud vastuste põhjal. Selle sissetuleku kaalumine võimalike sõnumite a priori tõenäosuse abil võimaldaks tal hinnata eeldatava sissetuleku suurust, kui ta maksaks enne täielikku saamist teatud summa täiesti usaldusväärse teabe eest. Kuna see eeldatav sissetulek oleks üle 0,5 dollari ehk see, mida ta eeldab ainuüksi a priori teabe põhjal, oleks sissetulekute kasv maksimaalne summa, mille tal oleks mõistlik infoteenuse eest maksta.

Ettevõte peab täna või homme ostma suure hulga kaupu. Täna on toote hind 14,5 dollarit ühiku kohta. Ettevõtte sõnul on homme selle hind kas 10 või 20 dollarit võrdse tõenäosusega. Olgu x homse hinna märk, siis eelnevad tõenäosused on

Viimases etapis kontrollitakse turutingimuste esinemise a priori tõenäosuste valiku usaldusväärsust ja arvutatakse nende tõenäosuste täpsustamisest saadav eeldatav kasulikkus. Selleks ehitatakse otsustuspuu. Kui tekib vajadus täiendavate turu -uuringute järele, on soovitatav peatada valitud toote rakendamine uue toote puhul, kuni saadakse usaldusväärsemad tulemused.

Ettevõtte turunduspraktikas on sageli vaja parema otsuse tegemiseks võrrelda osalise (puuduliku) teabe hankimise kulusid ja uue lisateabe hankimise kulusid. Juht (otsustaja) peab hindama, mil määral lisateabest saadav kasu katab selle saamise kulud. Sel juhul saab rakendada Bayesi otsusteooriat. Esialgsed andmed on turuseisundi Z tekkimise varasemad tõenäosused P (Sk) ja tingimuslikud tõenäosused P (Z Sk), eeldusel, et eeldatakse oleku 5A tekkimist. Uue teabe saamisel arvutatakse iga strateegia eeldatav kasulikkus ja seejärel valitakse oodatava kasulikkuse maksimaalse väärtusega strateegia. Uue teabe abil saab otsustaja parandada eelnevaid tõenäosusi P (Sk) ja see on otsuste tegemisel väga oluline.

Nüüd on soovitav teada, milline on objektiivse oleku Sk ilmumise tõenäosus uue teabe saamisel. Seega on vaja leida P (Sk Z), kus k, q = 1, n. See on tingimuslik tõenäosus ja see on korrigeeritud eelnev tõenäosus. P (Sk Z) arvutamiseks kasutame Bayesi valemit

Niisiis, saime täpsustatud a priori tõenäosused objektiivsete turutingimuste ilmnemiseks. Kogu arvutusprotsess ja saadud tulemused on toodud tabelis. 9.11 ja 9.12.

Bayesi lähenemisviisi (6.47) kasutamine eeldab teadmisi a priori tõenäosustest ja tõenäosusjaotuse tihedustest.

Kasutades AGC -st saadud objektide numbrilisi omadusi, viisime läbi standardse lineaarse mitmekordse diskrimineeriva analüüsi, mille elemendi kuulumise tõenäosus oli sama (võrdne 33%-ga). rühmad. 41% juhtumite koguarvust oli õigesti klassifitseeritud ja see on pisut parem kui 33% täpsus, mis saadakse, kui objekt määratakse juhuslikult ühte või teise rühma. Tab. Allpool on toodud valesti klassifitseerimise tabel, mida nimetatakse ka veamaatriksiks.

Järgmine väljakutse on testimise standardi väljatöötamine. Enamikul juhtudel võetakse MDA mudelite hindamiseks vähe proove ja see suurendab tõenäosust, et mudel sobib testiandmetega liiga tihedalt. Valimites on tavaliselt võrdne osa pankrotis ja pankrotis mitteolevaid ettevõtteid ning andmed ise vastavad reeglina intensiivse pankroti perioodidele. Sellest järeldub, et usaldusväärsed on ainult uute andmete mudeli hindamise tulemused. Laualt. 9.1 on näha, et isegi kõige soodsamate uute andmetega testide puhul (kui kõik näited on võetud samast ajavahemikust ja pealegi on need tööstusharude ja ettevõtte suuruse poolest homogeensed) on kvaliteet kehvem kui proovidel, mida kasutati mudeli parameetrite määramiseks. Kuna praktikas ei saa klassifitseerimismudelite kasutajad mudelit häälestada muude eelnevate pankrotivõimaluste, ettevõtte suuruse või tööstusharu tõenäosusega, võib mudeli tegelik kvaliteet olla veelgi halvem. Kvaliteet võib halveneda ka seetõttu, et MDA mudelite testimiseks kasutatud proovides on vähe ettevõtteid, mis pole pankrotti läinud, kuid on ohus. Kui selliseid ettevõtteid on vaid neli või viis, kes jäävad riskirühma, moonutab see riskantsete ettevõtete tegelikku osa ning seetõttu alahinnatakse II tüüpi vigade esinemissagedust.

Võrdlusse kaasatud MDA meetodid arvutati ja optimeeriti valesignaali määra 10 1 alusel koos mõningate eelmiste tõenäosuste ja veakuludega. Tahaksin eelkriteeriumina kasutada vähem kui 10%potentsiaalsete pankrotistujate arvu elanikkonnas, kuid see ei ole hästi kooskõlas mudelite parameetritega. Samuti on see vastuolus praktikaga, kus künnise alandamine alla 10 protsendi ei toonud kaasa pankrotti. Niisiis, kui valesignaalide osakaalu vähendati 7%-le, lõpetas Taffleri Z-skaala pankrotide tuvastamise ja Datastreami mudel sattus selle takistuse juurde umbes 8%. Seevastu närvivõrk tunnistas kahte pankrotijuhtu allapoole 4,5%jagavat taset, s.t. võrk on võimeline töötama keskkonnas, kus ühe õige pankroti tuvastamise kohta on ainult viis valesignaali. See näitaja on võrreldav parimate tulemustega, mida MDA mudelid saavad palju vähem nõudlikel järeltestidel. Sellest järeldub kaks: esiteks on närvimudelid krediidisektoris usaldusväärne klassifitseerimismeetod ja teiseks võib börsihinna kasutamine sihtmuutujana koolitustel osutuda tulusamaks kui pankroti / ellujäämise näitaja ise. Aktsia hind kajastab-

Ch. Kirjeldage tulevaste sündmuste eelistuste (kaalude) skaleerimise meetodeid, eelistuste astme kvantitatiivseid hinnanguid ja saame arvutada mis tahes proovitulemuse tingimusteta tõenäosuse

I. Tingimuslikud tõenäosused. Aprioorsed ja tagumised tõenäosused. 3

II. Sõltumatud sündmused. 5

III Statistiliste hüpoteeside testimine. Statistiline usaldusväärsus. 7

IV. Chi-ruudu testi kasutamine 19

1. Sageduste ja tõenäosuste hulga erinevuse usaldusväärsuse määramine. 19

2. Mitme sageduskomplekti erinevuse usaldusväärsuse määramine. 26

V ISESEISEV MISSIOON 33

Õppetund number 2

1. Tingimuslikud tõenäosused. A priori ja tagantjärele tõenäosused.

Juhusliku suuruse määravad kolm objekti: elementaarsündmuste kogum, sündmuste kogum ja sündmuste tõenäosus. Väärtusi, mida juhuslik muutuja saab võtta, nimetatakse elementaarsed sündmused. Elementaarsündmuste kogumeid nimetatakse sündmused... Numbriliste ja muude mitte väga keeruliste juhuslike muutujate puhul on iga elementaarsündmuste kogum sündmus.

Võtame näite: viskame täringut.

Põhisündmusi on kokku 6: "punkt", "2 punkti", "3 punkti" ... "6 punkti". Sündmus - mis tahes elementaarsündmuste kogum, näiteks „isegi“ on elementaarsündmuste summa „2 punkti“, „4 punkti“ ja „6 punkti“.

Mis tahes elementaarsündmuse P (A) tõenäosus on 1/6:

sündmuse tõenäosus on selles sisalduvate elementaarsündmuste arv jagatuna 6 -ga.

Üsna sageli on lisaks teadaolevale sündmuse tõenäosusele mõni lisateave, mis seda tõenäosust muudab. Näiteks patsientide surm. haiglasse viidud ägeda veritseva maohaavandiga, on umbes 10%. Kui patsient on aga üle 80 aasta vana, on see suremus 30%.

Selliste olukordade kirjeldamiseks kasutatakse nn tingimuslikud tõenäosused... Need on tähistatud kui P (A / B) ja loevad "sündmuse A tõenäosust, kui sündmus B". Tingimusliku tõenäosuse arvutamiseks kasutatakse järgmist valemit:

Tuleme tagasi eelmise näite juurde:

Olgu ägeda veritseva maohaavandiga haiglasse lastud patsientidest 20% üle 80 -aastased patsiendid. Pealegi on kõigi patsientide hulgas üle 80 -aastaste surnud patsientide osakaal 6% (tuletage meelde, et kõigi surmade osakaal on 10%). Sel juhul

Tingimuslike tõenäosuste määratlemisel kasutatakse termineid a priori(sõna otseses mõttes - enne kogemust) ja a posteriori(sõna otseses mõttes - pärast kogemust) tõenäosused.

Tingimuslikke tõenäosusi kasutades saab ühe tõenäosuse põhjal arvutada teisi, näiteks sündmuse ja tingimuse vahetamiseks.

Vaatleme seda tehnikat reumaatilise haiguse (reumaatilise palaviku) riski ja ühe antigeeni vahelise seose analüüsimise näitel, mis on selle riskitegur.

Reuma esinemissagedus on umbes 1%. Määratleme reuma esinemise R +-ks, samas kui P (R +) = 0,01.

Antigeeni olemasolu tähistatakse kui A +. Seda leidub 95% -l reumahaigetest ja 6% -l ilma reumatita. Meie tähistuses on need järgmised: tingimuslikud tõenäosused P (A + / R +) = 0,95 ja P (A + / R -) = 0,06.

Nende kolme tõenäosuse põhjal määrame järjestikku muud tõenäosused.

Esiteks, kui reuma esinemissagedus on P (R +) = 0,01, siis haigestumise tõenäosus on P (R -) = 1 -P (R +) = 0,99.

Tingimusliku tõenäosuse valemist leiame, et

P (A +ja R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095 ehk 0,95% elanikkonnast kannatab samaaegselt reuma all ja neil on antigeen.

Samamoodi

P (A + ja R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594 ehk 5,94% elanikkonnast kannab antigeeni, kuid ei saa reumat.

Kuna kõigil, kellel on antigeen, on kas reuma või nad ei haigestu (kuid mitte mõlemad korraga), siis kahe viimase tõenäosuse summa annab antigeeni ülekande sageduse kogu populatsioonis:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Seega on antigeenita inimeste osakaal võrdne

P (A -) = 1- P (A +) = 0,9311

Kuna reuma esinemissagedus on 1%ning antigeeni ja reumaga inimeste osakaal on 0,95%, on reumaatiliste ja antigeenita inimeste osakaal võrdne:

P (A - ja R +) = P (R +) - P (A +ja R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Nüüd liigume vastupidises suunas, liikudes sündmuste tõenäosustest ja nende kombinatsioonidest tingimuslike tõenäosusteni. Esialgse tingimusliku tõenäosuse valemi kohaselt P (A + / R +) = P (R +ja A +) / P (A +) = 0,0095 / 0,06890,1339 ehk ligikaudu 13,8% antigeeni kandvatest inimestest haigestub reuma . Kuna kogu elanikkonna esinemissagedus on vaid 1%, suurendab antigeeni avastamise fakt reuma tõenäosust 14 korda.

Sarnaselt vähendavad reuma haigestumise tõenäosust P (R + / A -) = P (R + ja A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,93110,000054, see tähendab, et asjaolu, et testimisel ei tuvastatud antigeeni 19 korda.

Vormindame selle ülesande Exceli arvutustabelis:

Näete tabeli loomise protsessi picture2 \ p2-1.gif

Juhuslikku sündmust hinnatakse numbriga, mis määrab selle sündmuse avaldumise intensiivsuse. Seda numbrit nimetatakse tõenäosus arenguid P () ... Elementaarsündmuse tõenäosus on ... Sündmuse tõenäosus on objektiivsuse astme, selle sündmuse võimalikkuse numbriline mõõt. Mida suurem on tõenäosus, seda tõenäolisem on sündmus.

Iga sündmus, mis vastab kogu tulemuste ruumile S kutsutakse usutav sündmus, st. selline sündmus, mis katse tulemusena peab ilmtingimata aset leidma (näiteks suvalise arvu punktide kukkumine täringul 1 -lt 6 -le). Kui sündmus ei kuulu komplekti S, siis arvestatakse võimatu(näiteks täringul arvu punktide arv, mis on suurem kui 6). Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, teatud sündmuse tõenäosus on 1. Kõigi teiste sündmuste tõenäosus on 0 kuni 1.

Arengud E ja nimetatakse vastupidine, kui E tuleb siis, kui ei tule ... Näiteks üritus E- "paarisarvulise arvu kaotamine", siis sündmus - "paaritu arvu punktide kaotus." Kaks sündmust E 1 ja E 2 nimetatakse ebajärjekindel kui mõlema sündmuse puhul pole ühist tulemust.

Juhuslike sündmuste tõenäosuste määramiseks kasutatakse otseseid või kaudseid meetodeid. Tõenäosuse otsearvutamisel eristatakse aprioorset ja a posteriori arvutuskava, millal teha vaatlusi (katseid) või a priori loendada katsete arvu m milles sündmus avaldus, ja tehtud katsete koguarv n... Kaudsed meetodid põhinevad aksiomaatilisel teoorial. Kuna sündmused on määratletud kogumitena, saab nendega teha kõiki hulgateoreetilisi toiminguid. Hulgateooria, funktsionaalse analüüsi pakkus välja akadeemik A.N. Kolmogorov ja moodustas aksiomaatilise tõenäosusteooria aluse. Siin on tõenäosuste aksioomid.

AksioomMina. Sündmuse väliF(S) on hulkade algebra.

See aksioom viitab analoogiale hulgateooria ja tõenäosusteooria vahel.

AksioomII. Igale komplektilealatesF(S) tegelik arv P (), mida nimetatakse sündmuse tõenäosuseks:

tingimusel S 1 S 2 =  (ebajärjekindlate sündmuste puhul S 1 ja S 2 ) või paljude ebajärjekindlate sündmuste puhul

kus N- põhisündmuste arv (võimalikud tulemused).

Juhusliku sündmuse tõenäosus

kus - elementaarsündmuste tõenäosused kaasatud alamhulka .

Näide 1.1. Määrake täringut visates igast numbrist välja kukkumise, paarisarvust, arvust välja kukkumise tõenäosus 4 .

Lahendus... Iga arvu hulgast välja langemise tõenäosus

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Paarisarvu saamise tõenäosus, s.t.
={2, 4, 6}, põhineb (1.6) P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Arvu saamise tõenäosus  4 , st.
= {4, 5, 6 } ,

P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Eneseõppe ülesanded

1. Korvis on 20 valget, 30 musta ja 50 punast palli. Määrake tõenäosus, et esimene korvist välja võetud pall on valge; must; punane.

2. Õpilasrühmas on 12 poissi ja 10 tüdrukut. Kui suur on tõenäosus, et tõenäosusteooria seminaril puudub: 1) noormees; 2) tüdruk; 3) kaks poissi?

3. Aasta jooksul eristati 51 päeva selle poolest, et neil päevil sadas (või sadas lund). Milline on tõenäosus, et riskite vihma (või lumega) vahele jääda: 1) tööle minek; 2) 5 päeva matkamine?

4. Tehke selle ülesande teemal probleem ja lahendage see.

1.1.3. Tagumise tõenäosuse määramine (statistiline tõenäosus või sagedus

juhuslik sündmus)

A priori tõenäosuse määramisel eeldati, et on võrdselt tõenäolised. See pole kaugeltki alati tõsi, sagedamini juhtub seda
kl
... Eeldus
toob kaasa vea a priori definitsioonis P ( ) vastavalt kehtestatud skeemile. Määramiseks , ja üldiselt P ( ) viia läbi sihipäraseid teste. Selliste testide läbiviimisel (näiteks katsetulemused näidetes 1.2, 1.3) erinevates tingimustes, erinevates tingimustes, mõjudes, põhjuslikes tegurites, s.t. erinevates juhtumid, erinev tulemusi(uuritava objekti teabe erinevad ilmingud.) Iga testitulemus vastab ühele elemendile või üks alamhulk rahvahulgad S.Kui määratlete m soodsate sündmuste arvuna A selle tulemusena saadud tulemusi n testid, tagumine tõenäosus (juhusliku sündmuse statistiline tõenäosus või sagedus A)

Põhineb suurte arvude seadusel  A

neid. katsete arvu suurenemisega kaldub juhusliku sündmuse (a posteriori ehk statistiline tõenäosus) esinemissagedus selle sündmuse tõenäosusele.

Näide 1.2. Juhtumite skeemi järgi on tõenäosus mündiviskele pead saada 0,5. Pärast iga katseseeriat on vaja münti 10, 20, 30 ... korda pöörata ja määrata sabade juhusliku sündmuse sagedus.

Lahendus... K. Poisson viskas münti 24 000 korda, 11 998 sabaga. Seejärel valemi (1.7) järgi sabade saamise tõenäosus

.

Eneseõppe ülesanded

Põhineb suurel statistilisel materjalil ( n  ), saadi vene tähestiku üksikute tähtede ja tühiku () ilmumise tõenäosuste väärtused tekstides, mis on toodud tabelis 1.1.

Tabel 1.1. Tähestiku tähtede ilmumise tõenäosus tekstis

Võtke leht mis tahes tekstist ja määrake sellel lehel erinevate tähtede esinemissagedus. Suurendage testide mahtu kahele lehele. Võrrelge saadud tulemusi tabeli andmetega. Tehke järeldus.

Sihtmärke tulistades saadi järgmine tulemus (vt tabel 1.2).

Tabel 1.2. Sihtmärgi pildistamise tulemus

Kui suur on tõenäosus, et sihtmärk oleks tabatud esimesest lasust, kui see oleks väiksem kui kümme, üheksa jne?

3. Planeerige ja viige läbi sarnaseid teste teiste ürituste jaoks. Esitage nende tulemused.