Arvutuspraktikas tuleb sageli tegeleda funktsioonidega, mis on antud nende väärtuste tabelite jaoks mõne piiratud väärtuste jaoks NS : .

Probleemi lahendamise protsessis on vaja kasutada väärtusi
argumendi vaheväärtuste jaoks. Sel juhul konstrueeritakse arvutuste jaoks piisavalt lihtne funktsioon Ф (x), mis antud punktides x 0 , x 1 , ..., x n , nimetatakse interpoleerimissõlmedeks, võtab väärtused ja määratluse domeeni kuuluvas segmendi (x 0, x n) muudes punktides
, tähistab ligikaudu funktsiooni
erineva täpsusega.

Probleemi lahendamisel sel juhul funktsiooni asemel
toimige funktsiooniga Ф (x). Sellise funktsiooni Ф (x) konstrueerimise probleemi nimetatakse interpolatsiooniprobleemiks. Kõige sagedamini otsitakse interpoleerimisfunktsiooni Ф (x) algebralise polünoomi kujul.

1. Interpolatsiooni polünoom

Iga funktsiooni jaoks
määratletud [ a, b] ja mis tahes sõlmede komplekt x 0 , x 1 , ..., x n (x i
[a, b], x i x j minu jaoks j) maksimaalselt n -astmeliste algebraliste polünoomide hulgas on unikaalne interpoleeriv polünoom Ф (x), mille saab kirjutada kujul:

, (3.1)

kus
- astme n polünoom, millel on järgmine omadus:

Interpolatsiooni polünoomi puhul polünoom
paistab nagu:

See polünoom (3.1) lahendab interpoleerimisülesande ja seda nimetatakse Lagrange'i interpolatsiooni polünoomiks.

Näiteks kaaluge vormi funktsiooni
intervalli kohta
esitatud tabelina.

Funktsiooni väärtus tuleb määrata punktis x-2.5. Selleks kasutame Lagrange'i polünoomi. Valemite (3.1 ja 3.3) põhjal kirjutame selle polünoomi selgesõnalisel kujul:

(3.4).

Seejärel, asendades meie tabeli algväärtused valemiga (3.4), saame

Tulemus on teooriaga kooskõlas, s.t. ...

1. Lagrange'i interpoleerimise valem

Lagrange interpolatsiooni polünoomi saab kirjutada erineval kujul:

(3.5)

Polünoomi kirjutamine kujul (3.5) on programmeerimiseks mugavam.

Interpoleerimisülesande lahendamisel kvantiteet n nimetatakse interpoleeriva polünoomi järjekorraks. Lisaks, nagu nähtub valemitest (3.1) ja (3.5), on interpolatsioonisõlmede arv alati võrdne n + 1 ja tähendus x, mille jaoks väärtus
, peab asuma interpolatsioonisõlmede määratluspiirkonnas neid.

. (3.6)

Mõnel praktilisel juhul on teada kogu interpolatsioonisõlmede arv m võib olla suurem kui interpoleeriva polünoomi järjekord n.

Sellisel juhul tuleb enne valemile (3.5) vastava interpoleerimisprotseduuri rakendamist kindlaks määrata need interpoleerimissõlmed, mille puhul tingimus (3.6) kehtib. Tuleb meeles pidada, et väikseim viga saavutatakse väärtuse leidmisel x interpoleerimisala keskel. Selle tagamiseks pakutakse välja järgmine protseduur:

Interpoleerimise põhieesmärk on tabelis esitatud funktsiooni väärtuste arvutamine mittesõlmeliste (vahepealsete) argumentide väärtuste jaoks, seetõttu nimetatakse interpoleerimist sageli "ridade vaheliste tabelite lugemise kunstiks".

Lagrange'i polünoom

Lagrangi interpolatsiooni polünoom- minimaalse astme polünoom, mis võtab etteantud väärtused antud punktide kogumis. Sest n+ 1 paar numbreid, kus kõik x i erinev, on ainult üks polünoom L(x) kraadi enam ei ole n, milleks L(x i) = y i .

Lihtsamal juhul ( n= 1) on lineaarne polünoom, mille graaf on sirgjoon, mis läbib kahte etteantud punkti.

Määratlus

See näide näitab nelja punkti (-9,5), (-4,2), (-1, -2) ja (7,9) Lagrange'i interpolatsiooni polünoomi, samuti polünoome y j l j (x), millest igaüks läbib ühe valitud punkti ja ülejäänud osas on väärtus null x i

Laske funktsioonil f(x) väärtused on teada y j = f(x j) mõnes punktis. Siis saame selle funktsiooni interpoleerida kui

Eriti,

Integraalide väärtused l j ei sõltu f(x) ja neid saab järjestust teades ette arvutada x i .

Interpolatsioonisõlmede ühtlase jaotuse korral piki segmenti

Sel juhul saame väljendada x i läbi kauguse interpolatsioonisõlmede h ja lähtepunkti vahel x 0 :

ning seetõttu

Asendades need avaldised põhipolünoomi valemisse ja võttes lugeja ja nimetaja korrutusmärkide jaoks h välja, saame

Nüüd saate sisestada muutuja asendamise

ja saada polünoom y mis on ehitatud ainult täisarvulise aritmeetika abil. Selle lähenemisviisi puuduseks on lugeja ja nimetaja faktoorne keerukus, mis nõuab algoritmide kasutamist numbrite mitmebaidise esitamisega.

Välised lingid

Wikimedia Foundation. 2010.

Vaadake, mis on "Lagrange'i polünoom" teistes sõnastikes:

Antud funktsiooni f (x) interpoleeriva n -astme polünoomi (Lagrange'i interpolatsiooni polünoom) kirjutamise vorm. Sõlmedel x 0, x1, ..., xn: Juhul, kui xi väärtused on võrdsel kaugusel, on, kasutades märget (x x0) / h = t valemit (1) ... ... Matemaatika entsüklopeedia

Matemaatikas on ühe muutujaga polünoomid või polünoomid vormi funktsioonid, kus ci on fikseeritud koefitsiendid ja x on muutuja. Polünoomid moodustavad elementaarsete funktsioonide ühe olulisema klassi. Polünoomvõrrandite ja nende lahenduste uurimine ... ... Vikipeedia

Arvutusmatemaatikas on Bernsteini polünoomid algebralised polünoomid, mis on põhiliste Bernsteini polünoomide lineaarsed kombinatsioonid. Stabiilne algoritm polünoomide arvutamiseks Bernsteini kujul on algoritm ... ... Wikipedia

Minimaalse astme polünoom, mis võtab etteantud väärtused antud punktide kogumis. Numbripaaride puhul, kus kõik on erinevad, on maksimaalselt üks astme polünoom, mille jaoks. Lihtsamal juhul (... Vikipeedia

Lagrange'i interpolatsiooni polünoom on minimaalse astme polünoom, mis võtab etteantud väärtused antud punktide komplektis. N + 1 arvpaari puhul, kus kõik xi on erinevad, on ainulaadne polünoom L (x), mille aste on maksimaalselt n, mille puhul L (xi) = yi. ... ... Wikipedia

Lagrange'i interpolatsiooni polünoom on minimaalse astme polünoom, mis võtab etteantud väärtused antud punktide komplektis. N + 1 arvpaari puhul, kus kõik xi on erinevad, on ainulaadne polünoom L (x), mille aste on maksimaalselt n, mille puhul L (xi) = yi. ... ... Wikipedia

Funktsiooni kohta vt: Interpolant. Interpoleerimine arvutusmatemaatikas on meetod koguse vaheväärtuste leidmiseks olemasolevast teadaolevate väärtuste eraldiseisvast komplektist. Paljud neist, kes seisavad silmitsi teaduslike ja tehniliste arvutustega, on sageli ... Vikipeedia

Funktsiooni kohta vt: Interpolant. Interpolatsioon, interpoleerimine arvutusmatemaatikas on meetod koguse vaheväärtuste leidmiseks olemasolevast teadaolevate väärtuste eraldiseisvast komplektist. Paljud neist, kes puutuvad kokku teadusliku ja ... ... Vikipeediaga

Ehitame vormis interpolatsiooni polünoomi

kus on kõige rohkem astme polünoome NS, millel on järgmine omadus:

Tõepoolest, sel juhul polünoom (4.9) igas sõlmes x j, j = 0,1, ... n, on võrdne funktsiooni vastava väärtusega y j, st. on interpoleerimine.

Konstrueerime sellised polünoomid. Kuna x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n puhul saame tegureerida järgmiselt

kus c on konstant. Tingimusest saame selle

Interpolatsiooni polünoom (4.1), mis on kirjutatud vormis

nimetatakse Lagrange'i interpolatsiooni polünoomiks.

Funktsiooni ligikaudne väärtus punktis x * Lagrange'i polünoomi abil arvutatuna on jääkviga (4.8). Kui funktsiooni väärtused y i interpolatsioonisõlmedes x i on määratud ligikaudu sama absoluutse veaga, siis arvutatakse täpse väärtuse asemel ligikaudne väärtus ja

kus on Lagrange'i interpolatsiooni polünoomi arvutuslik absoluutviga. Lõpuks on meil järgmine hinnang ligikaudse väärtuse koguvea kohta.

Eelkõige saavad vormi esimese ja teise astme Lagrange'i polünoomid

ja nende koguvead punktis x *

Sama interpolatsiooni polünoomi (4.1) kirjutamiseks on ka teisi vorme, näiteks allpool käsitletud eraldatud erinevustega Newtoni interpoleerimisvalem ja selle variandid. Täpsete arvutuste jaoks väärtused Pn (x *) saadakse samadest sõlmedest konstrueeritud erinevate interpoleerimisvalemite abil. Arvutusvea olemasolu põhjustab nende valemite abil saadud väärtuste erinevuse. Polünoomi kirjutamine Lagrange'i kujul viib reeglina väiksema arvutusveani.

Valemite kasutamine interpoleerimisest tulenevate vigade hindamiseks sõltub probleemi sõnastusest. Näiteks kui sõlmede arv on teada ja funktsioon on määratud piisavalt suure arvu õigete märkidega, siis arvutamise probleem f (x *) võimalikult suure täpsusega. Kui vastupidi, õigete märkide arv on väike ja sõlmede arv on suur, siis arvutamise probleem f (x *) täpsusega, mida funktsiooni tabeli väärtus võimaldab, ning selle probleemi lahendamiseks võib olla vajalik nii tabeli haruldus kui ka tihendamine.

§4.3. Eraldatud erinevused ja nende omadused.

Jagatud erinevuse mõiste on tuletisinstrumendi üldistatud mõiste. Olgu funktsioonide väärtused f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Eraldatud esimese järgu erinevused määratakse võrdsustega

eraldatud teise järgu erinevustega - võrdsused,

ja eraldatud erinevused k-järjekord määratakse järgmise rekursiivse valemi abil:

Jaotatud erinevused paigutatakse tavaliselt järgmisesse tabelisse:

Mõelge eraldatud erinevuste järgmistele omadustele.

1. Kõigi tellimuste jagatud erinevused on lineaarsed väärtuste kombinatsioonid f (x i), st. kehtib järgmine valem:

Tõestame selle valemi kehtivust erinevuste järjekorras esilekutsumisega. Esimese järgu erinevuste jaoks

Valem (4.12) kehtib. Oletame nüüd, et see kehtib kõigi tellimuste erinevuste korral.

Seejärel vastavalt punktidele 4.11 ja (4.12) järjekorra erinevustele k = n + 1 meil on

Mõisted, mis sisaldavad f (x 0) ja f (x n +1), omama vajalikku vormi. Mõelge sisaldavatele terminitele f (x i), i = 1, 2, ..., n... Selliseid termineid on kaks - esimesest ja teisest summast:

neid. valem (4.12) kehtib tellimuste erinevuse kohta k = n + 1, tõend on läbi.

2. Jagatud erinevus on selle argumentide x 0, x 1,… x n sümmeetriline funktsioon (st see ei muutu ühegi permutatsiooni korral):

See omadus tuleneb otseselt võrdsusest (4.12).

3. Lihtne jagatud erinevuse suhe f ja tuletis f (n) (x) annab järgmise teoreemi.

Las sõlmed x 0, x 1, ... x n kuuluvad segmenti ja funktsiooni f (x) sellel segmendil on järjekorra pidev tuletis NS... Siis on punkt xÎ, mida

Tõestame kõigepealt seose paikapidavust

(4.12) kohaselt on avaldis nurksulgudes

f.

Ülejäänud osa (4.14) võrdlus avaldisega (4.7) R n (x) = f (x) -L n (x) saame (4.13), teoreem on tõestatud.

Sellest teoreemist järeldub lihtne järeldus. Polünoomi jaoks NS-kolmas aste

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

järjekorra tuletis NS ilmselgelt on

ja suhe (4.13) annab jagatud erinevuse jaoks väärtuse

Niisiis, iga astme polünoom NS eraldatud järjekorra erinevused NS on võrdsed konstantse väärtusega - koefitsient polünoomi kõrgeimal astmel. Kõrgemate tellimuste eraldatud erinevused
(rohkem NS) on ilmselgelt võrdsed nulliga. See järeldus kehtib siiski ainult siis, kui eraldatud erinevuste puhul pole arvutusviga.

§4.4. Interpolatsioon Newtoni polünoom eraldatud erinevustega

Kirjutame Lagrange interpolatsiooni polünoomi järgmisel kujul:

kus L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Lagrange'i interpolatsiooni astme polünoom k sõlmede poolt ehitatud x 0, x 1, ..., x k... Siis on astme polünoom k mille juured on punktid x 0, x 1, ..., x k -1... Seetõttu saab seda faktoriseerida

kus A k on konstant.

Vastavalt punktile 4.14 saame

Võrreldes (4.16) ja (4.17) saame, et (4.15) on ka vormis

mida nimetatakse Newtoni eraldatud erinevustega interpolatsiooni polünoomiks.

Seda tüüpi interpoleerimispolünoomi märkimine on kirjeldavam (ühe sõlme lisamine vastab ühe termini välimusele) ja võimaldab paremini jälgida konstrueeritud konstruktsioonide analoogiat matemaatilise analüüsi põhikonstruktsioonidega.

Newtoni interpolatsiooni polünoomi jääkviga väljendatakse valemiga (4.8), kuid selle, võttes arvesse (4.13), saab kirjutada ka teisel kujul

neid. jääkviga saab hinnata polünoomi esimese tagasilükatud termini mooduli järgi N n (x *).

Arvutusviga N n (x *) määratakse eraldatud erinevuste vigade põhjal. Interpoleeritud väärtusele lähimad interpoleerimissõlmed x *, avaldab suuremat mõju interpolatsiooni polünoomile, mis asub kaugemal - vähem. Seetõttu on soovitav võimaluse korral x 0 ja x 1 tule kohale x * interpolatsioonisõlmed ja sooritage nendes sõlmedes kõigepealt lineaarne interpoleerimine. Seejärel tõmmake järk -järgult ligi järgmised sõlmed, et need oleksid võimalikult sümmeetrilised x * kuni järgmine termin absoluutväärtuses on väiksem kui selles sisalduva jagatud erinevuse absoluutviga.

Lase segmendil edasi funktsiooni y = f (x) on tabelisse seatud, s.t. (x i, y i), (i = 0,1, .., n), kus y i = f (x i). Seda funktsiooni nimetatakse " võrk».

Probleemi sõnastamine: leida algebraline polünoom (polünoom):

kraad mitte kõrgem n selline, et

L n (x i) = y i, kl ma = 0,1, .., n,(5.6)

neid. millel on antud sõlmed x mina, (i=0,1,..,n) samad väärtused, mis ruudustiku funktsioonil kl=f (x).

Polünoom ise L n (x) helistas interpolatsiooni polünoom, ja ülesanne on polünoomi interpolatsioon .

Leidke polünoom L n (x)- see tähendab leida selle koefitsiendid a 0 , a 1 ,…, A n. Selleks on olemas n + 1 tingimus (5.6), mis on kirjutatud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi kujul tundmatute suhtes a mina,(i=0, 1,…,n):

kus x mina ja y mina ( i=0,1,…,n) - argumendi ja funktsiooni tabeli väärtused.

Algebra kursusest on teada, et selle süsteemi determinant, mida nimetatakse Vandermonde determinandiks:

mitte null ja seetõttu on süsteemil (5.7) olemas ainuke otsus.

Olles kindlaks määranud koefitsiendid a 0 , a 1 ,…, A n, lahendussüsteem (5.7), saame nn Lagrange'i interpolatsiooni polünoom funktsiooni jaoks f (x):

(5.8)

mida saab kirjutada järgmiselt:

On tõestatud, et antud n Funktsiooni +1 väärtusi saab joonistada ainus Lagrange'i interpolatsiooni polünoom(5.8).

Praktikas on Lagrange'i interpolatsiooni polünoomid esimese ( n = 1) ja teine ​​( n = 2) kraadi.

Kell n = 1 teave interpoleeritud funktsiooni kohta y = f (x) on seatud kahte punkti: (x 0 , y 0 ) ja (x 1 , y 1 ), ja Lagrange'i polünoomil on vorm

Sest n = 2 Lagrange'i polünoom on konstrueeritud kolmepunktilisest tabelist

Lahendus: Asendame lähteandmed valemiga (5.8). Saadud Lagrange'i polünoomi aste ei ole kõrgem kui kolmas, kuna funktsiooni määravad neli väärtust:

Kasutades Lagrange'i interpolatsiooni polünoomi, leiate funktsiooni väärtuse mis tahes vahepunktist, näiteks NS=4:

= 43

Lagrange'i interpolatsiooni polünoomid kasutatakse lõplike elementide meetod, kasutatakse laialdaselt ehitusprobleemide lahendamisel.

Tuntud on ka teised interpoleerimisvalemid, näiteks Newtoni interpoleerimisvalem kasutatakse interpoleerimiseks võrdsete vahedega sõlmede või interpoleeriva polünoomi korral Hermita.

Splaini interpoleerimine... Suure hulga interpolatsioonisõlmede kasutamisel kasutatakse spetsiaalset tehnikat - tükkide kaupa polünoomi interpolatsioon kui funktsiooni interpoleerib astme polünoom T mis tahes külgnevate võrgusõlmede vahel.

Funktsioonide ruutkeskmine lähendamine

Probleemi sõnastamine

Rms lähendamine funktsioonid on teine ​​lähenemisviis funktsioonide lähendamiseks analüütiliste avaldiste saamiseks. Selliste probleemide eripäraks on asjaolu, et esialgsed andmed teatud seaduspärasuste ülesehitamiseks on ilmselgelt olemas ligikaudne iseloom.

Need andmed saadakse mingisuguse katse tulemusena või mingi arvutusprotsessi tulemusena. Seega sisaldavad need andmed katsevigu (mõõteseadmete ja tingimuste vead, juhuslikud vead jne) või ümardamisvigu.

Oletame, et mõnda nähtust või protsessi uuritakse. Üldiselt võib uurimisobjekti kujutada joonisel näidatud küberneetiline süsteem ("must kast").

Muutuja NS On sõltumatu juhitav muutuja (sisendparameeter).

Muutuja Y Kas uurimisobjekti reaktsioon (vastus) sisendparameetri mõjule. See on sõltuv muutuja.

Oletame, et selle katse tulemuste töötlemisel leiti teatud funktsionaalne sõltuvus y = f (x) sõltumatu muutuja vahel NS ja sõltuv muutuja kl. See sõltuvus on esitatud tabeli kujul. 5.1 väärtused x i, y i (i=1,2,…, N), mis on saadud katse käigus.

Tabel 5.1

Kui analüütilise funktsiooni avaldis y = f (x) on tundmatu või väga raske, siis tekib probleem funktsiooni leidmisel y = j (NS), mille väärtused x = x i, võib -olla natuke teistmoodi katseandmetest y mina, (i=1,..,n). Seega lähendab funktsioon uuritud sõltuvust y = j (NS) segmendis [ x 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Ligikaudne funktsioon y = j (NS) helistas empiiriline valem (EF) või regressioonivõrrand (RR).

Empiirilised valemid ei pretendeeri loodusseadustele, vaid on ainult hüpoteesid, mis kirjeldavad katseandmeid enam -vähem adekvaatselt. Nende tähtsus on aga väga suur. Teaduse ajaloos on juhtumeid, kus saadud edukas empiiriline valem viis suurte teaduslike avastusteni.

Empiiriline valem on piisav kui seda saab kasutada uuritava objekti kirjeldamiseks harjutamiseks piisava täpsusega.

Milleks see sõltuvus on?

Kui leitakse lähendus (5.9), on võimalik:

Tehke ennustus uuritava objekti käitumise kohta väljaspool segmenti ( ekstrapoleerimine );

Valige optimaalne uuritava protsessi arengusuund.

Regressioonivõrrand võib olla erineva vormi ja erineva keerukusega, sõltuvalt uuritava objekti omadustest ja nõutavast esituse täpsusest.

Geomeetriliselt regressioonivõrrandi koostamise probleem seisneb kõvera joonistamises L: y = j (NS) « võimalikult lähedal»Katsepunktide süsteemi kõrval M i (x i, y i), i = 1,2, .., n antud tabel. 5.1 (joonis 5.2).

Regressioonivõrrandi ülesehitus (empiiriline funktsioon) koosneb kahest etapist:

1. üldvaate valik regressioonivõrrandid,

2. selle parameetrite määratlemine.

Edukas valik regressioonivõrrand sõltub suuresti eksperimenteerija kogemusest, protsessi või nähtuse uurimisest.

Regressioonivõrrandiks valitakse sageli polünoom (polünoom):

Teine ülesanne, parameetrite leidmine regressioonivõrrandid lahendatakse tavaliste meetoditega, näiteks vähimruutude meetod(OLS), mida kasutatakse laialdaselt vaatluste või katsete põhjal mis tahes mustri uurimisel.

Selle meetodi väljatöötamine on seotud mineviku kuulsate matemaatikute nimedega - K. Gauss ja A. Legendre.

Vähim ruudu meetod

Oletame, et katse tulemused on esitatud tabeli kujul. 5.1. Ja regressioonivõrrand on kirjutatud kujul (5.11), s.t. sõltub ( m+1) parameeter

Need parameetrid määravad regressioonivõrrandi graafiku asukoha katsepunktide suhtes M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Joonis 5.2).

Need parameetrid pole aga ainulaadselt määratletud. Parameetrid tuleb valida nii, et regressioonivõrrandi graafik asuks " võimalikult lähedal»Nende katsepunktide süsteemile.

Tutvustame kontseptsiooni kõrvalekalded regressioonivõrrandi (5.11) väärtused tabeli väärtusest y i eest x i : , ma = 1,2, .., n.

Kaaluge kõrvalekallete ruutude summa, mis sõltub( m+1) parameeter

OLSi andmetel parimad koefitsiendid a i(i=0,1,..,m) on need, mis minimeerivad kõrvalekallete ruutude summa, s.t. funktsiooni.

Kasutades funktsiooni ekstreemumi jaoks vajalikud tingimused mitu muutujat, saame nn normaalne süsteem tundmatute koefitsientide määramiseks :

Lähendamisfunktsiooni (5.11) jaoks on süsteem (5.14) tundmatute lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Võimalikud on juhtumid:

1. Kui, siis on lõpmatult palju polünoome (5.11), mis funktsiooni (5.13) minimeerivad.

2. Kui m = n–1, siis on ainult üks polünoomi (5.11) minimeerimisfunktsioon (5.13).

Vähem m, seda lihtsam on empiiriline valem, kuid see pole alati parem. Tuleb meeles pidada, et sellest tulenev empiiriline valem peaks olema piisav uuritav objekt.