Me ütlesime, et teist järku algebraline kõver määratakse teise astme algebralise võrrandiga NS ja juures... Üldkujul on selline võrrand kirjutatud kujul

A NS 2 + B hu+ C juures 2 + D x+ E y+ F = 0, (6)

pealegi А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (st samal ajal ei kao arvud А, В, С). Tingimused A NS 2, B hu, KOOS juures 2 nimetatakse võrrandi vanemateks liikmeteks, arvuks

helistas diskrimineeriv sellest võrrandist. Nimetatakse võrrandit (6). üldvõrrand teise järgu kõver.

Varem käsitletud kõverate jaoks on meil:

Ellips: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

ring NS 2 + juures 2 = a 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - a 2, d = 1> 0;

Hüperbool: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Parabool: juures 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Nimetatakse võrrandiga (6) antud kõveraid keskne kõverad, kui d¹0. Kui d> 0, siis kõver elliptilised tüüp, kui d<0, то кривая hüperboolne tüüp. Kõverad, mille puhul d = 0 on kõverad paraboolne tüüp.

On tõestatud, et teise järgu rida in ükskõik milline Descartes'i koordinaatsüsteem on antud teist järku algebralise võrrandiga. Ainult ühes süsteemis on võrrand keerulise kujuga (näiteks (6)), teises aga lihtsam, näiteks (5). Seetõttu on mugav käsitleda koordinaatsüsteemi, milles uuritav kõver on kirjutatud kõige lihtsama (näiteks kanoonilise) võrrandiga. Üleminekut ühest koordinaatsüsteemist, kus kõver on antud kujul (6) võrrandiga teise, kus selle võrrandil on lihtsam kuju, nimetatakse koordinaatide teisendus.

Vaatleme koordinaatide teisenduste peamisi tüüpe.

I. Kanna transformatsiooni koordinaatteljed (koos suuna säilitamisega). Olgu algses koordinaatsüsteemis XOU punktil M koordinaadid ( NS, juuresNS¢, juures¢). Jooniselt on näha, et punkti M koordinaadid erinevates süsteemides on omavahel seotud suhetega

(7) või (8).

Valemeid (7) ja (8) nimetatakse koordinaatide teisendusvalemiteks.

II. Rotatsiooni teisendus koordinaatteljed nurga a all. Kui punktil M on koordinaadid ( NS, juures) ja uues koordinaatsüsteemis XO ¢ Y on sellel koordinaadid ( NS¢, juures¢). Seejärel väljendatakse seos nende koordinaatide vahel valemitega

, (9)

või

Koordinaate teisendades saab võrrandi (6) taandada ühele järgmistest kanooniline võrrandid.

1) - ellips,

2) - hüperbool,

3) juures 2 = 2px, NS 2 = 2RU- parabool

4) a 2 NS 2 – b 2 y 2 = 0 – lõikuvate sirgjoonte paar (joonis A)

5) y 2 – a 2 = 0 – paralleelsete sirgjoonte paar (joonis B)

6) x 2 –a 2 = 0 – paralleelsete sirgjoonte paar (joonis C)

7) y 2 = 0 – kattuvad sirged (OX-telg)

8) x 2 = 0 – kattuvad sirged (OU-telg)

9) a 2 NS 2 + b 2 y 2 = 0 – punkt (0, 0)

10) kujuteldav ellips

11) a 2 + a 2 = 0 - mõtteliste joonte paar

12) x 2 + a 2 = 0 on kujuteldavate joonte paar.

Kõik need võrrandid on teist järku joone võrrandid. Nimetatakse sirgeid, mis on määratletud võrranditega 4–12 degenereerunud teist järku kõverad.

Vaatleme näiteid kõvera üldvõrrandi kanooniliseks vormiks teisendamiseks.

1) 9NS 2 + 4juures 2 – 54NS + 8juures+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4juures 2 + 8juures) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(juures 2 + 2juures+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(juures+ 1) = 36, Þ

.

Panime NS¢ = NS – 3, juures¢ = juures+ 1, saame ellipsi kanoonilise võrrandi ... Võrdsus NS¢ = NS – 3, juures¢ = juures+ 1 määratlevad koordinaatsüsteemi punkti (3, –1) ülekande teisenduse. Olles konstrueerinud vana ja uue koordinaatsüsteemi, pole seda ellipsit raske joonistada.

2) 3juures 2 +4NS– 12juures+8 = 0. Teisendame:

(3juures 2 – 12juures)+ 4 NS+8 = 0

3(juures 2 – 4juures+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(juures – 2) 2 = – (NS – 1) .

Panime NS¢ = NS – 1, juures¢ = juures- 2, saame parabooli võrrandi juures¢ 2 = - NS¢. Valitud asendus vastab koordinaatsüsteemi ülekandmisele punkti O ¢ (1,2).

Selles artiklis vaatleme tasapinna sirgjoone üldist võrrandit. Toome näiteid sirge üldvõrrandi koostamise kohta, kui on teada selle sirge kaks punkti või kui on teada selle sirge üks punkt ja normaalvektor. Tutvustame meetodeid võrrandi teisendamiseks üldkujul kanooniliseks ja parameetriliseks vormiks.

Olgu antud suvaline Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy... Mõelge esimese astme võrrandile või lineaarvõrrandile:

kus A, B, C- mõned konstandid ja vähemalt üks element A ja B nullist erinev.

Näitame, et tasapinna lineaarvõrrand määratleb sirge. Tõestame järgmise teoreemi.

Teoreem 1. Tasapinnal asuvas suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saab iga sirge määrata lineaarvõrrandiga. Ja vastupidi, iga lineaarvõrrand (1) suvalises tasapinnalises ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratleb sirge.

Tõestus. Piisab tõestada, et joon L on määratud ühe Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi lineaarvõrrandiga, kuna siis määratakse see lineaarvõrrandiga ja mis tahes Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku korral.

Olgu tasapinnal antud sirge L... Valime koordinaatide süsteemi nii, et telg Ox langes kokku sirgjoonega L ja telg Oy oli sellega risti. Siis sirgjoone võrrand L toimub järgmisel kujul:

Kõik punktid sirgel L vastab lineaarvõrrandile (2) ja kõik väljaspool seda sirget asuvad punktid ei vasta võrrandile (2). Teoreemi esimene osa on tõestatud.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja lineaarvõrrand (1), kus vähemalt üks elementidest A ja B nullist erinev. Leiame nende punktide asukohad, mille koordinaadid rahuldavad võrrandit (1). Kuna vähemalt üks koefitsientidest A ja B erineb nullist, siis on võrrandil (1) vähemalt üks lahend M(x 0 ,y 0). (Näiteks selleks A≠ 0, punkt M 0 (−C/A, 0) kuulub antud punktide asukohta). Asendades need koordinaadid punktis (1), saame identiteedi

Lahutame identiteedi (3) väärtusest (1):

Ilmselt on võrrand (4) samaväärne võrrandiga (1). Seetõttu piisab, kui tõestada, et (4) defineerib mingi sirge.

Kuna me käsitleme Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, järeldub võrdsusest (4), et vektor komponentidega ( x − x 0 , y − y 0) on vektori suhtes ortogonaalne n koordinaatidega ( A, B}.

Mõelge mõnele sirgjoonele L punkti läbimine M 0 (x 0 , y 0) ja risti vektoriga n(Joonis 1). Olgu punkt M(x, y) kuulub sirgele L... Siis vektor koordinaatidega x − x 0 , y − y 0 risti n ja võrrand (4) on täidetud (vektorite skalaarkorrutis). n ja on võrdne nulliga). Tagasi, kui punkt M(x, y) ei asu sirgel L, siis vektor koordinaatidega x − x 0 , y − y 0 ei ole vektori suhtes ortogonaalne n ja võrrand (4) ei ole täidetud. Teoreem on tõestatud.

Tõestus. Kuna sirged (5) ja (6) määratlevad sama sirge, siis normaalvektorid n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) on kollineaarsed. Kuna vektorid n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, siis on arv olemas λ , mida n 2 =n 1 λ ... Seega on meil: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ ... Tõestame seda C 2 =C 1 λ ... Ilmselgelt on kattuvatel joontel ühine punkt M 0 (x 0 , y 0). Võrrandi (5) korrutamine λ ja lahutades sellest võrrandi (6), saame:

Kuna avaldistest (7) on täidetud kaks esimest võrdsust, siis C 1 λ −C 2 = 0. Need. C 2 =C 1 λ ... Märkus on tõestatud.

Pange tähele, et võrrand (4) määratleb punkti läbiva sirge võrrandi M 0 (x 0 , y 0) ja millel on normaalvektor n={A, B). Seega, kui on teada sirge normaalvektor ja sellele sirgele kuuluv punkt, siis saab võrrandi (4) abil koostada sirge üldvõrrandi.

Näide 1. Sirge läbib punkti M= (4, −1) ja sellel on normaalvektor n= (3, 5). Koostage sirge üldvõrrand.

Lahendus. Meil on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B= 5. Sirge üldvõrrandi koostamiseks asendame need väärtused võrrandiga (4):

Vastus:

Vektor on sirgjoonega paralleelne L ja on seetõttu risti sirge normaalvektori suhtes L... Koostame sirge normaalvektori L, võttes arvesse, et vektorite skalaarkorrutis n ja on võrdne nulliga. Võime kirja panna näiteks n={1,−3}.

Sirge üldvõrrandi koostamiseks kasutame valemit (4). Asendage punktis (4) punkti koordinaadid M 1 (võime võtta ka punkti koordinaadid M 2) ja normaalvektor n:

Punktide koordinaatide asendamine M 1 ja M 2 punktis (9) saame veenduda, et võrrandiga (9) antud sirge läbib neid punkte.

Vastus:

Lahutage (10) väärtusest (1):

Oleme saanud sirge kanoonilise võrrandi. Vektor q={−B, A) on sirge (12) suunav vektor.

Vaadake pöördteisendust.

Näide 3. Tasapinnal olev sirgjoon on esitatud järgmise üldvõrrandiga:

Liigutage teist liiget paremale ja jagage võrrandi mõlemad pooled 2 · 5-ga.

Teist järku kõver- punktide asukoht tasapinnal, ristkülikukujulised koordinaadid

mis vastavad järgmise vormi võrrandile:

milles vähemalt üks koefitsientidest a 11, a 12, a 22 ei ole null.

Teist järku kõverate invariandid.

Kõvera kuju sõltub 4 allpool toodud invariandist:

Koordinaatsüsteemi pöörlemis- ja translatsiooniinvariandid:

Invariant koordinaatsüsteemi pöörlemise suhtes ( poolinvariantne):

Teist järku kõverate uurimiseks kaaluge toodet A*C.

Kindral teist järku kõvera võrrand näeb välja selline:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Kui A * C> 0 elliptiline tüüp... Igasugune elliptiline

võrrand on kas tavalise ellipsi või degenereerunud ellipsi (punkti) võrrand või kujuteldav võrrand

ellips (sel juhul ei määratle võrrand tasapinnal ühtki geomeetrilist kujutist);

Kui A*C< 0 , siis võtab võrrand võrrandi kuju hüperboolne tüüp... Igasugune hüperboolne

võrrand väljendab kas lihtsat hüperbooli või degenereerunud hüperbooli (kaks lõikuvat sirget);

Kui A * C = 0, siis ei ole teist järku rida keskne. Seda tüüpi võrrandeid nimetatakse

võrrandid paraboolne tüüp ja väljendage tasapinnal kas lihtsat parabooli või 2 paralleelset

(kas langevad kokku) sirgjooned või ei väljenda tasapinnal ühtegi geomeetrilist kujutist;

Kui A * C ≠ 0, on teist järku kõver

Tasapinna teist järku kõvera üldvõrrand on:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ei + F = 0, (39)

kus A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R... See määratleb kõik võimalikud koonilised lõigud, mis paiknevad tasapinnal meelevaldselt.

Võrrandi (39) kordajatest moodustame kaks determinanti:

Helistas võrrandi diskriminant(39) ja - võrrandi juhtliikmete diskriminant. Kui 0, võrrand (39) määrab:> 0 - ellips;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Üldvõrrandist (39) saate minna üle kanoonilisele võrrandile, kui välistada lineaar- ja ristliikmed, vahetades üle uuele koordinaatsüsteemile, mis langeb kokku joonise sümmeetriatelgedega. Asenda (39) x peal x + a ja y peal y + b, kus a, b mõned konstandid. Kirjutame välja saadud koefitsiendid jaoks NS ja y ja võrdsusta need 0-ga

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Selle tulemusena on võrrand (39) järgmine:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

kus koefitsiendid A, B, C pole muutunud, aga F= /. Võrrandisüsteemi (41) lahendus määrab joonise sümmeetriakeskme koordinaadid:

Kui B= 0, siis a = -D/A, b = -E/C ja on mugav välja jätta (39) lineaarsed liikmed täiuslikuks ruuduks taandamise meetodil:

Ax 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

Võrrandis (42) pöörame koordinaate nurga a (38) võrra. Kirjutame saadud koefitsiendi välja ristliikmes xy ja võrdsusta see 0-ga

xy = 0. (44)

Tingimus (44) määrab koordinaattelgede vajaliku pöördenurga, kuni need langevad kokku joonise sümmeetriatelgedega, ja võtab järgmise kuju:

Võrrand (42) on järgmisel kujul:

A+ X 2 + C + Y 2 + F = 0 (46)

millest on lihtne üle minna kõvera kanoonilisele võrrandile:

Koefitsiendid A + , C Tingimusel (45) saab + esitada lisaruutvõrrandi juurtena:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Selle tulemusena määrati joonise sümmeetriatelgede asukoht ja suund, selle pooltelg:

ja seda saab konstrueerida geomeetriliselt.

Juhul = 0 on meil parabool. Kui selle sümmeetriatelg on paralleelne teljega Oh, siis taandatakse võrrand järgmisele kujule:

kui ei, siis vormile:

kus sulgudes olevad avaldised, mis on võrdsustatud 0-ga, määravad uute koordinaatide telgede read:,.

Tüüpiülesannete lahendamine

Näide 15. 2. võrrand x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 kanoonilisele vormile ja koostage kõver.

Lahendus. B= 0, = -72 0, = 6> 0 ellips.

Teeme taandamise täielikuks ruuduks:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Sümmeetriakoordinaatide keskpunkt (1; -1), lineaarne teisendus X = x - 1, Y = y+ 1 toob võrrandi kanoonilisele kujule.

Näide 16. 2. võrrand xy = a 2 kanoonilisele vormile ja koostage kõver.

Lahendus. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Koordinaatsüsteemi kese on kõvera sümmeetria keskpunktis; võrrandis pole lineaarseid termineid. Pöörame telgi läbi nurga a. Valemi (45) järgi on meil tg2a = B/(A - C) =, st. a = 45 °. Kanoonilise võrrandi (46) koefitsiendid A + , C+ määratakse võrrandiga (48): t 2 = 1 või t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, st.
X 2 - Y 2 = a 2 või. Seega võrrand 2 hu = a 2 kirjeldab hüperbooli sümmeetriakesega (0; 0). Sümmeetriateljed paiknevad piki koordinaatnurkade poolitajaid, koordinaatteljed on asümptoodid, hüperbooli poolteljed on võrdsed a.y - 9 = 0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3x 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Loome tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja arvestame teise astme üldvõrrandit

milles
.

Nimetatakse kõigi tasandi punktide hulk, mille koordinaadid vastavad võrrandile (8.4.1). kõverad (rida) teine ​​järjekord.

Iga teist järku kõvera jaoks on olemas ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mida nimetatakse kanooniliseks ja milles selle kõvera võrrandil on üks järgmistest vormidest:

1)
(ellips);

2)
(kujuteldav ellips);

3)
(mõeldud ristuvate joonte paar);

4)
(hüperbool);

5)
(ristuvate joonte paar);

6)
(parabool);

7)
(paar paralleelset sirget);

8)
(paar mõttelist paralleelset sirget);

9)
(paar kokkulangevaid sirgeid).

Nimetatakse võrrandeid 1) –9). teist järku kõverate kanoonilised võrrandid.

Teist järku kõvera võrrandi kanooniliseks vormiks taandamise probleemi lahendus hõlmab kõvera kanoonilise võrrandi ja kanoonilise koordinaatsüsteemi leidmist. Kanoniseerimine võimaldab arvutada kõvera parameetreid ja määrata selle asukoha algse koordinaatsüsteemi suhtes. Üleminek algsest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist
kanoonilisele
teostatakse algse koordinaatsüsteemi telgede pööramisega ümber punkti O mingi nurga  ja sellele järgneva koordinaatsüsteemi paralleeltranslatsiooni võrra.

Teist järku kõvera invariantide järgi(8.4.1) nimetatakse selliseid võrrandi koefitsientide funktsioone, mille väärtused ühest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise sama süsteemi üleminekul ei muutu.

Teist järku kõvera (8.4.1) korral koordinaatide ruutude koefitsientide summa

,

determinant, mis koosneb koefitsientidest kõige kõrgematel tingimustel

ja kolmandat järku determinant

on invariandid.

Invariantide s, ,  väärtust saab kasutada teist järku kõvera tüübi määramiseks ja kanoonilise võrrandi koostamiseks (tabel 8.1).

Tabel 8.1

Teist järku kõverate klassifitseerimine invariantide alusel

Vaatame lähemalt ellipsi, hüperbooli ja parabooli.

Ellips(joon. 8.1) nimetatakse tasandi punktide asukohaks, mille puhul on kahe fikseeritud punkti kauguste summa
see lennuk, nn ellipsi kolded, on konstantne väärtus (suurem kui fookuste vaheline kaugus). See ei välista ellipsi fookuste kokkulangevust. Kui fookused ühtivad, on ellips ring.

Ellipsi punkti ja selle fookuste kauguste poolsummat tähistatakse tähisega a, pool fookuste vahelisest kaugusest - koos... Kui tasapinna ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on valitud nii, et ellipsi fookused asuvad teljel Ox sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, siis selles koordinaatsüsteemis on ellips antud võrrandiga

, (8.4.2)

helistas kanooniline ellipsi võrrand, kus
.

Riis. 8.1

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi määratud valiku korral on ellips sümmeetriline koordinaatide telgede ja lähtepunkti suhtes. Ellipsi sümmeetriateljed kutsuvad seda teljed ja sümmeetriakese - ellipsi keskpunkt... Samal ajal nimetatakse numbreid 2 sageli ellipsi telgedeks. a ja 2 b ja numbrid a ja b – suur ja pool-minoortelg vastavalt.

Ellipsi ja tema telgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tipud... Ellipsi tippudel on koordinaadid ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Ekstsentrilisuse ellips helistas numbrile

. (8.4.3)

Alates 0  c < a, ellipsi ekstsentrilisus 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Seega on näha, et ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi kuju: mida lähemal  nullile, seda rohkem näeb ellips välja nagu ring;  suurenemisega muutub ellips piklikumaks.

Las olla
- suvaline ellipsi punkt,
ja
- kaugus punktist M enne trikke F 1 ja F 2 vastavalt. Numbrid r 1 ja r 2 kutsutakse fookuspunkti raadiused M ellips ja arvutatakse valemitega

Koolijuhatajad muud kui ring ellips kanoonilise võrrandiga (8.4.2) on kaks sirget

.

Ellipsi suund asub väljaspool ellipsi (joonis 8.1).

Fookusraadiuse suhe punktidMellipsist kauguseni  see ellips (fookus ja suund loetakse sobivaks, kui need asuvad ellipsi keskpunktiga samal küljel).

Hüperbool(joon. 8.2) nimetatakse tasandi punktide asukohaks, mille puhul kahe fikseeritud punkti kauguste erinevuse moodul ja see lennuk, nn hüperbooli fookused, on konstantne väärtus (ei ole võrdne nulliga ja väiksem kui fookuste vaheline kaugus).

Olgu fookuste vaheline kaugus 2 koos, ja näidatud kauguse erinevuse moodul on 2 a... Valime ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi samamoodi nagu ellipsi jaoks. Selles koordinaatsüsteemis on hüperbool antud võrrandiga

, (8.4.4)

helistas kanooniline hüperbooli võrrand, kus
.

Riis. 8.2

Selle ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku korral on koordinaatteljed hüperbooli sümmeetriateljed ja alguspunkt selle sümmeetriakese. Hüperbooli sümmeetriateljed kutsuvad seda teljed, ja sümmeetriakese on hüperbooli keskpunkt... Ristkülik külgedega 2 a ja 2 b asub nagu näidatud joonisel fig. 8.2 kutsutakse hüperbooli põhiristkülik... Numbrid 2 a ja 2 b Kas hüperbooli teljed ja numbrid a ja b- teda poolvõllid... Jooned, mis on põhiristkülikuvormi diagonaalide jätkuks hüperbooli asümptoodid

.

Hüperbooli ja telje lõikepunktid Ox kutsutakse hüperbooli tipud... Hüperbooli tippudel on koordinaadid ( a, 0), (–a, 0).

Hüperbooli ekstsentrilisus helistas numbrile

. (8.4.5)

Niivõrd kui koos > a, hüperbooli ekstsentrilisus > 1. Kirjutame võrdsuse (8.4.5) ümber kujul

.

Seega on näha, et ekstsentrilisus iseloomustab põhiristküliku kuju ja seega ka hüperbooli enda kuju: mida väiksem , seda rohkem venib põhiristkülik ja pärast seda hüperbool ise piki telge. Ox.

Las olla
- hüperbooli suvaline punkt,
ja
- kaugus punktist M enne trikke F 1 ja F 2 vastavalt. Numbrid r 1 ja r 2 kutsutakse fookuspunkti raadiused M hüperbool ja arvutatakse valemitega

Koolijuhatajad hüperbool kanoonilise võrrandiga (8.4.4) on kaks rida

.

Hüperbooli suunad lõikuvad põhiristkülikuga ja läbivad hüperbooli keskpunkti ja vastava tipu vahelt (joonis 8.2).

O fookusraadiuse suhe punktidM hüperbool kauguseni sellest punktist vastavale fookusele koolijuhataja võrdub ekstsentrilisusega sellest hüperboolist (fookus ja suund loetakse sobivaks, kui need asuvad hüperbooli keskpunktiga samal küljel).

Parabool(joon. 8.3) nimetatakse tasandi punktide asukohaks, mille kaugus mõnest fikseeritud punktist F (fookuse parabool) on võrdne kaugusega mingi kindla sirgjooneni ( parabooli suund), mis asub samuti vaatlusalusel tasapinnal.

Valime alguse O ristkülikukujuline koordinaatsüsteem lõigu keskel [ FD], mis on perpendikulaar fookusest väljas F sihikule (eeldatakse, et fookus ei kuulu sihikusse) ja teljele Ox ja Oy otse, nagu on näidatud joonisel fig. 8.3. Olgu lõigu pikkus [ FD] on võrdne lk... Seejärel valitud koordinaatsüsteemis
ja kanooniline parabooli võrrand on vorm

. (8.4.6)

Kogus lk helistas parabooli parameeter.

Paraboolil on sümmeetriatelg, mida nimetatakse parabooli telg... Parabooli ja tema telje lõikepunkti nimetatakse parabooli tipp... Kui parabool on antud selle kanoonilise võrrandiga (8.4.6), siis on parabooli telg telg Ox... Ilmselgelt on lähtepunkt parabooli tipp.

Näide 1. Punkt A= (2, –1) kuulub ellipsi, punkti juurde F= (1, 0) on selle fookus, mis vastab F suund on antud võrrandiga
... Võrdsusta see ellips.

Lahendus. Eeldame, et koordinaatsüsteem on ristkülikukujuline. Siis vahemaa punktist A direktori juurde
vastavalt seosele (8.1.8), milles


, võrdub

.

Kaugus punktist A keskenduda F võrdub

,

mis võimaldab määrata ellipsi ekstsentrilisust

.

Las olla M = (x, y) on ellipsi suvaline punkt. Siis vahemaa
punktist M direktori juurde
valemiga (8.1.8) on võrdne

ja vahemaa punktist M keskenduda F võrdub

.

Kuna ellipsi mis tahes punkti puhul on suhe on konstantne väärtus, mis on võrdne ellipsi ekstsentrilisusega, seega on meil

,

Näide 2. Kõver on antud võrrandiga

ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Leidke selle kõvera kanooniline koordinaatsüsteem ja kanooniline võrrand. Määrake kõvera tüüp.

Lahendus. Ruutvorm
on maatriks

.

Sellele iseloomulik polünoom

on juured  1 = 4 ja  2 = 9. Seetõttu maatriksi omavektorite ortonormaalses baasis A vaadeldaval ruutkujul on kanooniline vorm

.

Jätkame muutujate ortogonaalse teisenduse maatriksi konstrueerimisega, mis taandab vaadeldava ruutvormi näidatud kanooniliseks vormiks. Selleks konstrueerime homogeensetele võrrandisüsteemidele fundamentaalsed lahendussüsteemid
ja ortonormaliseerige need.

Kell
sellel süsteemil on vorm

Selle üldine lahendus on
... Siin on üks vaba muutuja. Seetõttu koosneb otsuste põhisüsteem ühest vektorist, näiteks vektorist
... Normaliseerides saame vektori

.

Kell
konstrueerida ka vektor

.

Vektorid ja on juba ortogonaalsed, kuna need viitavad sümmeetrilise maatriksi erinevatele omaväärtustele A... Need moodustavad antud ruutvormi kanoonilise ortonormaalse aluse. Nõutav ortogonaalmaatriks (rotatsioonimaatriks) konstrueeritakse nende koordinaatide veergudest

.

Kontrollime maatriksi leidmise õigsust R valemi järgi
, kus
- ruutvormi maatriks aluses
:

Maatriks Rõigesti leitud.

Teeme muutujate teisenduse

ja kirjutage selle kõvera võrrand uude ristkülikukujulisse koordinaatsüsteemi vanade kesk- ja suunavektoritega
:

kus
.

Sai ellipsi kanoonilise võrrandi

.

Tulenevalt asjaolust, et saadud ristkülikukujuliste koordinaatide teisendus määratakse valemitega

,

,

kanooniline koordinaatsüsteem
on algus
ja suunavad vektorid
.

Näide 3. Invariantide teooria abil määrake kõvera tüüp ja kirjutage kanooniline võrrand

Lahendus. Niivõrd kui

,

vastavalt tabelile. 8.1 järeldame, et tegemist on hüperbooliga.

Kuna s = 0, siis ruutkujulise maatriksi iseloomulik polünoom

Selle juured
ja
võimaldab teil kirjutada kõvera kanoonilise võrrandi

kus KOOS leitakse seisundist

,

.

Otsitud kõvera kanooniline võrrand

.

Selle lõigu ülesannetes koordinaadidx, yeeldatakse, et need on ristkülikukujulised.

8.4.1. Ellipside jaoks
ja
leia:

a) poolteljed;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) suundvõrrandid.

8.4.2. Koostage ellipsi võrrandid, teades selle fookust
vastab direktorile x= 8 ja ekstsentrilisus ... Leidke ellipsi teine ​​fookus ja teine ​​suund.

8.4.3. Võrdsustage ellips, mille fookused on koordinaatidel (1, 0) ja (0, 1) ning mille peatelg on kaks.

8.4.4. Antud hüperbool
... Leia:

a) poolteljed a ja b;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) asümptootide võrrandid;

e) suundvõrrandid.

8.4.5. Antud hüperbool
... Leia:

a) poolteljed a ja b;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) asümptootide võrrandid;

e) suundvõrrandid.

8.4.6. Punkt
kuulub hüperbooli hulka, mille fookus on
, ja vastav suund on antud võrrandiga
... Võrdlege selle hüperbooliga.

8.4.7. Võrdsusta parabool, kui selle fookus on antud
ja õppealajuhataja
.

8.4.8. Arvestades parabooli tippu
ja suundvõrrand
... Võrdsusta see parabool.

8.4.9. Võrdsustage parabool, mille fookus on punktis

ja suund on antud võrrandiga
.

8.4.10. Võrdsustage teist järku kõver, teades selle ekstsentrilisust
, keskenduda
ja vastav direktor
.

8.4.11. Määrake teist järku kõvera tüüp, kirjutage selle kanooniline võrrand ja leidke kanooniline koordinaatsüsteem:

G)
;

8.4.12.

on ellips. Leidke selle ellipsi pooltelgede pikkused ja ekstsentrilisus, keskpunkti ja fookuste koordinaadid, koostage telgede ja suuna võrrandid.

8.4.13. Tõesta, et võrrandiga antud teist järku kõver

on hüperbool. Leidke selle hüperbooli pooltelgede pikkused ja ekstsentrilisus, keskpunkti ja fookuste koordinaadid, koostage telgede, suundade ja asümptoodide võrrandid.

8.4.14. Tõesta, et võrrandiga antud teist järku kõver

,

on parabool. Leidke selle parabooli parameeter, tippude koordinaadid ja fookus, koostage telje ja suuna võrrandid.

8.4.15. Viige kõik järgmised võrrandid kanoonilisele kujule. Joonistage joonisele vastav teist järku kõver algse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes:

8.4.16. Invariantide teooria abil määrake kõvera tüüp ja kirjutage kanooniline võrrand.