Maatriksi ridade (veergude) elementaarsed teisendused tähendavad järgmisi toiminguid:

1. Kahe rea (veeru) ümberpaigutamine.
2. Rea (veeru) kõigi elementide korrutamine mingi arvuga $ a \ neq 0 $.
3. Ühe rea (veeru) kõigi elementide summa teise rea (veeru) vastavate elementidega, korrutatuna mõne reaalarvuga.

Kui rakendame maatriksi $ A $ ridadele või veergudele mingit elementaarset teisendust, saame uue maatriksi $ B $. Sel juhul $ \ helis (A) = \ helis (B) $, st. elementaarteisendused ei muuda maatriksi auastet.

Kui $ \ ring A = \ ring B $, siis kutsutakse välja maatriksid $ A $ ja $ B $ samaväärne... Fakt, et maatriks $ A $ on samaväärne maatriksiga $ B $, on kirjutatud kujul $ A \ sim B $.

Sageli kasutatakse järgmist tähistust: $ A \ paremnool B $, mis tähendab, et maatriks $ B $ saadakse maatriksist $ A $ kasutades mõnda elementaarset teisendust.

Auastme leidmisel Gaussi meetodi abil saate töötada nii ridade kui ka veergudega. Stringidega on mugavam töötada, seetõttu tehakse selle lehe näidetes teisendusi maatriksstringidel.

Pange tähele, et transponeerimine ei muuda maatriksi auastet, st. $ \ helises (A) = \ helises (A ^ T) $. Mõnel juhul on seda atribuuti mugav kasutada (vt näide nr 3), kuna vajaduse korral on ridu lihtne teha veergudeks ja vastupidi.

Algoritmi lühikirjeldus

Tutvustame mõnda terminit. Nulljoon- string, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga. Nullist erinev string- string, mille vähemalt üks element on nullist erinev. Juhtiv element nullist erinevat stringi nimetatakse selle esimeseks (lugedes vasakult paremale) nullist erinevaks elemendiks. Näiteks real $ (0; 0; 5; -9; 0) $ on juhtiv element kolmas element (see võrdub 5-ga).

Mis tahes nullmaatriksi auaste on 0, seega käsitleme muid maatriksiid peale nulli. Maatriksteisenduste lõppeesmärk on muuta see astmeliseks. Astmelise maatriksi järk on võrdne nullist erinevate ridade arvuga.

Vaadeldav meetod maatriksi auastme leidmiseks koosneb mitmest etapist. Esimene samm kasutab esimest rida, teine ​​samm kasutab teist jne. Kui praeguses etapis kasutatava rea ​​alla jääb ainult null rida või pole ridu üldse, siis algoritm peatub, kuna tulemuseks olev maatriks on astmeline.

Nüüd pöördume nende stringide teisenduste poole, mis sooritatakse algoritmi igal etapil. Oletame, et praeguse rea all, mida peame selles etapis kasutama, on nullist erinevad read, kus $ k $ on aktiivse rea juhtelemendi number ja $ k _ (\ min) $ on väikseim ridadest. nende ridade juhtelementide numbrid, mis asuvad praegusest reast allpool ...

• Kui $ k \ lt (k _ (\ min)) $, siis minge algoritmi järgmise sammu juurde, st. järgmise rea kasutamiseks.
• Kui $ k = k _ (\ min) $, nullime nende aluseks olevate ridade pöördelementid, mille pöördnumber on $ k _ (\ min) $. Kui ilmub null rida, siis kanname need maatriksi alumisse ossa. Seejärel liigume algoritmi järgmise sammu juurde.
• Kui $ k \ gt (k _ (\ min)) $, siis vahetame praeguse rea ühega allolevatest ridadest, mille pivoti number on $ k _ (\ min) $. Pärast seda nullime nende aluseks olevate ridade pöördeelemendid, mille pöördenumbriks on $ k _ (\ min) $. Kui selliseid ridu pole, minge algoritmi järgmise sammu juurde. Kui ilmub null rida, siis kanname need maatriksi alumisse ossa.

Kuidas täpselt pöördeelemendid nullitakse, kaalume praktikas. Tähed $ r $ (sõnast "rida") tähistavad ridu: $ r_1 $ on esimene rida, $ r_2 $ on teine ​​rida jne. Tähed $ c $ (sõnast "veerg") tähistavad veerge: $ c_1 $ - esimene veerg, $ c_2 $ - teine ​​veerg ja nii edasi.

Selle lehe näidetes kasutan praeguse rea pöördnumbri tähistamiseks $ k $ ja praeguse rea all olevate ridade väikseima pöördnumbri tähistamiseks kasutatakse $ k _ (\ min) $.

Näide # 1

Leidke maatriksi auaste $ A = \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (massiivi) \ paremale) $.

Esimene samm

Esimeses etapis töötame esimese reaga. Antud maatriksi esimeses reas on juhtelemendiks esimene element, st. esimese rea pöördenumber $ k = 1 $. Vaatame esimese rea all olevaid ridu. Nende ridade juhtivad elemendid on nummerdatud 4, 1, 1 ja 1. Väikseim neist numbritest on $ k _ (\ min) = 1 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, siis nullime nende aluseks olevate ridade pivot-elemendid, mille pöördenumber on $ k _ (\ min) $. Teisisõnu peate kolmanda, neljanda ja viienda rea ​​juhtivad elemendid nullima.

Põhimõtteliselt võite jätkata ülaltoodud elementide nullimist, kuid nende nullimiseks tehtud konversioonide puhul on mugav, kui kasutatud stringi juhtiv element on üks. See pole vajalik, kuid teeb arvutused väga lihtsaks. Meil on esimese rea juhtelemendiks number -2. "Ebamugava" numbri asendamiseks ühega (või numbriga (-1) on mitu võimalust). Võite näiteks korrutada esimese rea 2-ga ja seejärel lahutada esimesest reast viienda. Või võite lihtsalt esimese ja kolmanda veeru vahetada. Pärast veergude # 1 ja # 3 ümberkorraldamist saame uue maatriksi, mis on samaväärne antud maatriksiga $ A $:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (massiiv) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ algus (massiiv) (ccccc) \ paksus kirjas (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normroheline (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Esimese rea juhtiv element on üks. Esimese rea pöördenumber ei ole muutunud: $ k = 1 $. Esimese all olevate ridade juhtivate elementide numbrid on järgmised: 4, 1, 2, 1. Väikseim arv on $ k _ (\ min) = 1 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, nullime nende aluseks olevate ridade pöördeelemendid, mille pöördenumbriks on $ k _ (\ min) $. See tähendab, et peate kolmanda ja viienda rea ​​juhtivad elemendid nullima. Need elemendid on esile tõstetud sinise ja rohelisega.

Vajalike elementide nullimiseks teeme maatriksi ridadega toiminguid. Kirjutan need toimingud eraldi:

$$ \ algus (joondatud) & r_3- \ frac (\ normsinine (-5)) (\ paksus kirjas (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normroheline (1) ) ( \ paksus kirjas (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ lõpp (joondatud) $$

Kirje $ r_3 + 5r_1 $ tähendab, et esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna viiega, on lisatud kolmanda rea ​​elementidele. Tulemus kirjutatakse uues maatriksis kolmanda rea ​​asemele. Kui sellise operatsiooni suulise sooritamisega tekivad raskused, saab seda toimingut teha eraldi:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = ( - 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

Toiming $ r_5-r_1 $ on sarnane. Stringiteisenduste tulemusena saame järgmise maatriksi:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (massiivi) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ fantoom (0) \\ r_5 -r_1 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (massiiv) \ eks) $$

Siinkohal võib esimese sammu lugeda lõpetatuks. Kuna esimese rea all on nullist erinevad read, peate tööd jätkama. Ainus hoiatus: saadud maatriksi kolmandas reas jagatakse kõik elemendid täielikult 2-ga. Arvude vähendamiseks ja arvutuste lihtsustamiseks korrutame kolmanda rea ​​elemendid väärtusega $ \ frac (1) (2) $ ja seejärel jätkake teise sammuga:

$$ \ vasak (\ begin (massiiv) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Teine samm

Teises etapis töötame teise reaga. Maatriksi teises reas on juhtiv element neljas, s.o. teise rea pöördenumber $ k = 4 $. Vaatame teise rea all olevaid jooni. Nende ridade juhtivad elemendid on nummerdatud 2, 2 ja 2. Väikseim neist numbritest on $ k _ (\ min) = 2 $. Kuna $ k \ gt (k _ (\ min)) $, siis peate praeguse teise rea vahetama ühega neist ridadest, mille pöördenumber on $ k _ (\ min) $. Teisisõnu peate muutma teist rida kolmanda, neljanda või viiendaga. Valin viienda rea ​​(see väldib murdude tekkimist), st. vahetage viies ja teine ​​rida:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (massiivi) \ right) \ overset (r_2 \ vasakparemnool (r_5)) (\ sim) \ vasak (\ algus (massiiv) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normroheline (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Vaatame uuesti teist rida. Nüüd on juhtiv element teine ​​element (see on punasega esile tõstetud), st. $ k = 2 $. Aluseks olevate ridade (st numbrite 2, 2 ja 4) pöördearvudest väikseim on $ k _ (\ min) = 2 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, nullime nende aluseks olevate ridade pöördelemendid, mille pöördnumber on $ k _ (\ min) $. See tähendab, et peate nullima kolmanda ja neljanda rea ​​juhtivad elemendid. Need elemendid on esile tõstetud sinise ja rohelisega.

Pange tähele, et eelmises etapis muudeti 1 praeguse rea pivotiks, kasutades veeru permutatsiooni. Seda tehti fraktsioonidega töötamise vältimiseks. Ka siin saab teise rea pivoti asemele ühe panna: näiteks vahetades teist ja neljandat veergu. Seda me siiski ei tee, kuna murde niikuinii ei teki. Toimingud stringidega on järgmised:

$$ \ algus (joondatud) & r_3- \ frac (\ normsinine (2)) (\ paksus kirjas (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normroheline (6)) (\ paksus kirjas (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ lõpp (joondatud) $$

Näidatud toiminguid tehes jõuame järgmise maatriksini:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ lõpp (massiiv ) \ õige) $$

Teine samm on läbi. Kuna teise rea all on nullist erinevad read, jätkame kolmanda sammuga.

Kolmas samm

Kolmandas etapis töötame kolmanda reaga. Maatriksi kolmandas reas on juhtiv element neljas, s.t. kolmanda rea ​​pöördenumber $ k = 4 $. Vaatame kolmanda rea ​​all olevaid ridu. Nende ridade juhtivad elemendid on nummerdatud 4 ja 4, millest väikseim on $ k _ (\ min) = 4 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, nullime nende aluseks olevate ridade pöördeelemendid, mille pöördenumbriks on $ k _ (\ min) $. See tähendab, et peate neljanda ja viienda rea ​​juhtivad elemendid nullima. Sel eesmärgil tehtavad ümberkujundamised on täiesti sarnased varem tehtud muudatustega:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ lõpp (massiivi) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasakule (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (massiiv) \ right) $ $

Kolmanda rea ​​all on ainult null rida. See tähendab, et teisendamine on lõpule viidud. Oleme viinud maatriksi astmelisele kujule. Kuna redutseeritud maatriks sisaldab kolme nullist erinevat rida, on selle järjestus 3. Järelikult on ka algmaatriksi auaste kolm, st $ \ helistas A = 3 $. Täielik lahendus ilma selgitusteta on:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (massiiv) \ right) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3 + 4 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (massiiv) \ paremale) \ alusta (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (massiiv) \ parem) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ vasak (\ begin (massiiv) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (massiivi) \ right) \ begin (massiivi) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim $$ $$ \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ lõpp (massiivi) \ paremale) \ algus (massiivi) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Vastus: $ \ helistas A = 3 $.

Näide nr 2

Leidke maatriksi auaste $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ lõpp (massiiv) \ parem) $.

See maatriks ei ole null, mis tähendab, et selle aste on suurem kui null. Liigume edasi algoritmi esimese sammu juurde.

Esimene samm

Esimeses etapis töötame esimese reaga. Antud maatriksi esimeses reas on juhtelemendiks esimene element, st. esimese rea pöördenumber $ k = 1 $. Vaatame esimese rea all olevaid ridu. Juhtelemendid nendel ridadel on nummerdatud 1-ga, st. Alusjoonte väikseim pöörde arv on $ k _ (\ min) = 1 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, on vaja nullida nende aluseks olevate ridade pöördelementid, mille pöördnumber on $ k _ (\ min) $. Teisisõnu peate teise, kolmanda ja neljanda rea ​​juhtelemendid nullima.

Arvutuste mugavuse huvides teeme esimese rea juhtiva elemendi. Eelmises näites vahetasime selleks veerud, kuid selle maatriksiga see toiming ei tööta - selles maatriksis pole ühega võrdseid elemente. Teeme ühe abitoimingu: $ r_1-5r_2 $. Siis on esimese rea pöördepunkt 1.

$$ \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (massiiv) \ parem) \ begin (massiiv) (l) r_1-5r_2 \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ lõpp (massiivi) \ parem) $$

Esimese rea juhtiv element on üks. Nullime aluseks olevate ridade juhtelemendid:

$$ \ vasak (\ begin (massiiv) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (massiiv) \ parem) \ begin (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Esimene samm on läbi. Kuna esimese rea all on nullist erinevad read, peate tööd jätkama.

Teine samm

Teises etapis töötame teise reaga. Maatriksi teises reas on juhtivaks elemendiks teine, s.t. teise rea pöördenumber $ k = 2 $. Juhtelementidel allolevatel ridadel on sama number 2, seega $ k _ (\ min) = 2 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, nullime nende aluseks olevate ridade pöördeelemendid, mille pöördenumbriks on $ k _ (\ min) $. See tähendab, et peate nullima kolmanda ja neljanda rea ​​juhtivad elemendid.

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Ilmus nulljoon. Paneme selle maatriksi alumisse ossa:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (massiiv) \ parem) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ left (\ begin (massiiv) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Teine samm on läbi. Pange tähele, et meil on juba astmeline maatriks. Siiski saame oma algoritmi ametlikult lõpetada. Kuna teise rea all on nullist erinevad read, tuleks minna kolmandale sammule ja töötada kolmanda reaga, kuid kolmanda rea ​​all pole nullist erinevaid ridu. Seetõttu on teisendamine lõppenud.

Muide, saadud maatriks on trapetsikujuline. Trapetsikujuline maatriks on astmelise maatriksi erijuhtum.

Kuna see maatriks sisaldab kolme nullist erinevat rida, on selle järjestus 3. Järelikult on ka algmaatriksi auaste kolm, see tähendab, $ \ helistas (A) = 3 $. Täielik lahendus ilma selgituseta on:

$$ \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) r_1-5r_2 \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (massiiv) \ right) \ begin (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ lõpp (massiiv) \ sim $$ $$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ lõpp (massiivi) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ lõpp (massiivi) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (massiivi) \ right) \ overset (r_3 \ vasakparemnool (r_4)) ( \ sim ) \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Vastus: $ \ helistas A = 3 $.

Näide nr 3

Leidke maatriksi auaste $ A = \ left (\ begin (massiivi) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $.

Mõnikord on lahendamise käigus mugav maatriksit üle kanda. Kuna transponeeritud maatriksi auaste on võrdne algmaatriksi auastmega, on selline toiming üsna vastuvõetav. See näide käsitleb just sellist juhtumit. Teisenduste ajal ilmuvad kaks identset stringi $ (0; \; 1; \; - 2) $ (esimene ja neljas). Põhimõtteliselt saate teha toimingu $ r_4-r_1 $, siis neljas rida nullitakse, kuid see pikendab lahendust ainult ühe kirje võrra, nii et me ei teosta neljandat rida nullimist.

$$ \ vasakule (\ algus (massiiv) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ lõpp (massiiv) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ fantoom (0) \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) \ sim $$ $$ \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) (cccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ lõpp (massiivi) \ right) \ overset (r_1 \ vasakparemnool (r_2)) (\ sim) \ vasak (\ algus () massiiv) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (massiivi) \ right) \ alga (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ lõpp (massiiv) \ sim $$ $$ \ vasak (\ algus (massiivne) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (massiiv) \ parem) \ begin (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (massiiv) \ sim \ left (\ begin (massiiv) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Teisendatud maatriksi auaste on 2, seega on algmaatriksi auaste $ \ ring (A) = 2 $. Põhimõtteliselt oli võimalik auaste leida ilma maatriksit transponeerimata: vahetada esimene rida teise, kolmanda või viiendaga ja jätkata tavalisi teisendusi ridadega. Maatriksi astmelisele vormile redutseerimise meetod võimaldab lahendusprotsessi variatsioone.

Vastus: $ \ helistas A = 2 $.

Näide nr 4

Leidke maatriksi auaste $ A = \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ lõpp (massiiv) \ parem) $.

See maatriks ei ole null, st. tema auaste on suurem kui null. Liigume edasi algoritmi esimese sammu juurde.

Esimene samm

Esimeses etapis töötame esimese reaga. Antud maatriksi esimeses reas on juhtelemendiks teine, s.o. esimese rea pöördnumber $ k = 2 $. Mõelge esimese rea all olevatele ridadele. Juhtelemendid nendel ridadel on nummerdatud 3-ga, st. aluseks olevate ridade väikseim pöörde arv on $ k _ (\ min) = 3 $. Kuna $ k \ lt (k _ (\ min)) $, jätkame algoritmi järgmise sammuga.

Teine samm

Teises etapis töötame teise reaga. Teises reas on juhtiv element kolmas, st. teise rea pöördenumber $ k = 3 $. Teise rea all on ainult üks kolmas rida, mille pöörde arv on 3, seega $ k _ (\ min) = 3 $. Kuna $ k = k _ (\ min) $, nullime kolmanda rea ​​juhtiva elemendi:

$$ \ vasakule (\ algus (massiivi) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ lõpp (massiivi ) \ paremale) \ algus (massiiv) (l) \ fantoom (0) \\ \ fantoom (0) \\ r_3-2r_2 \ lõpp (massiiv) \ sim \ vasak (\ algus (massiiv) ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (massiivi) \ õige) $$

Sai astmelise maatriksi. Teisendatud maatriksi aste ja seega ka algmaatriksi aste on 3.

Vastus: $ \ helistas A = 3 $.

Näide nr 5

Leidke maatriksi auaste $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ End (massiivi) \ paremale) $.

Mõnikord on võimalik taandada maatriks astmeliseks maatriksiks, kasutades ainult ühte ridade või veergude permutatsiooni. Seda juhtub muidugi üliharva, kuid edukas ümberkorraldamine võib lahendust oluliselt lihtsustada.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (massiiv ) \ right) \ overset (r_1 \ vasakparemnool (r_3)) (\ sim) \ left (\ begin (massiivi) (cccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (massiivi) \ right) \ overset (c_1 \ vasakparemnool (c_4)) (\ sim) \ left (\ algus (massiivi) (cccc ) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ lõpp (massiiv) \ parem) $$

Maatriks on taandatud astmeliseks, $ \ helin (A) = 3 $.

Vastus: $ \ helistas A = 3 $.

Selles artiklis käsitletakse sellist mõistet nagu maatriksi auaste ja vajalikke lisamõisteid. Toome näiteid ja tõendeid maatriksi auastme leidmise kohta ning räägime teile ka, mis on maatriks-moll ja miks see nii oluline on.

Väikemaatriks

Maatriksi auastme mõistmiseks on vaja mõista sellist mõistet nagu maatriksi moll.

Definitsioon 1

Alaealinek-nda järgu maatriks on suurusjärgus k × k ruutmaatriksi determinant, mis koosneb maatriksi A elementidest, mis asuvad eelnevalt valitud k-ridades ja k-veergudes, säilitades samal ajal maatriksi A elementide asukoha.

Lihtsamalt öeldes, kui maatriksist A kustutame (pk) ridu ja (nk) veerge ning nendest allesjäänud elementidest koostame maatriksi, säilitades maatriksi A elementide paigutuse, siis on saadud maatriksi determinant maatriksi A k-järgu moll.

Näitest järeldub, et maatriksi A esimest järku minoorid on maatriksi elemendid ise.

Teise järgu alaealiste kohta on mitmeid näiteid. Valime kaks rida ja kaks veergu. Näiteks 1. ja 2. rida, 3. ja 4. veerg.

Selle elementide valiku korral on teisejärguline minoor - 1 3 0 2 = ( - 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Teine maatriksi A teist järku moll on 0 0 1 1 = 0

Toome illustratsiooni maatriksi A teist järku minooride ehitusest:

Kolmandat järku molli saadakse maatriksi A kolmanda veeru kustutamisel:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × ( - 1) + 3 × 1 × ( - 4) - 3 × 1 × ( - 1) - 0 × 1 × 0 – 0 × 2 × (– 4) = – 9

Illustratsioon selle kohta, kuidas saadakse maatriksi A 3. järku moll:

Antud maatriksi puhul pole 3. järgust kõrgemaid alaealisi, sest

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Mitu alaealist järjestust k on maatriksi A korral p × n?

Alaealiste arv arvutatakse järgmise valemi abil:

C p k × C n k, kus e e C p k = p! k! (p - k)! ja C n k = n! k! (n - k)! - kombinatsioonide arv vastavalt p-st k-ni, n-st k-ni.

Kui oleme otsustanud, millised on maatriksi A alaealised, võime jätkata maatriksi A auastme määramist.

Maatriksiaste: leidmise meetodid

Maatriksi auaste - maatriksi kõrgeim järjekord peale nulli.

Nimetus 1

Aste (A), Rg (A), Rang (A).

Maatriksi auastme ja maatriksi minoori määratlusest selgub, et nullmaatriksi auaste on null ja nullmaatriksi auaste on nullist erinev.

Maatriksi auastme leidmine definitsiooni järgi

Alaealiste loendamine - maatriksi järgu määramisel põhinev meetod.

Toimingute algoritm alaealiste loendamise teel :

On vaja leida järjestusmaatriksi A aste lk× n... Kui on vähemalt üks nullist erinev element, on maatriksi auaste vähemalt võrdne ühega ( aastast on 1. järku moll, mis ei võrdu nulliga).

Sellele järgneb teise järgu alaealiste loend. Kui kõik teise järgu alaealised on võrdsed nulliga, siis auaste võrdub ühega. Kui on vähemalt üks nullist erinev 2. järku moll, tuleb minna 3. järgu alaealiste loendisse ja maatriksi auaste on sel juhul võrdne vähemalt kahega.

Sarnaselt toimime ka kolmanda järgu auastmega: kui kõik maatriksi alaealised on võrdsed nulliga, siis võrdub auaste kahega. Kui on vähemalt üks nullist erinev kolmanda järgu alamoor, siis on maatriksi auaste vähemalt kolm. Ja nii edasi, analoogia põhjal.

Näide 2

Leidke maatriksi auaste:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Kuna maatriks on nullist erinev, on selle auaste vähemalt võrdne ühega.

2. järku moll - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 on nullist erinev. Siit järeldub, et maatriksi A aste on vähemalt kaks.

Kordame 3. järgu alaealisi: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5-3)! = 10 tükki.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = ( - 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + ( - 1) × 2 × 3 - ( - 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1- 1- 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11- (- 2) × 6 × 4- (- 1) × 2 × 1 - ( - 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × ( - 7) + ( - 1) × ( - 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - ( - 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, seega on maatriksi auaste võrdne kahega.

Vastus : Auaste (A) = 2.

Maatriksi auastme leidmine ääristavate alaealiste meetodil

Piirialaealiste meetod - meetod, mis võimaldab saada tulemuse väiksema arvutustööga.

Silmitsi alaealisega - moll M ok (k + 1) - maatriksi A järg, mis piirneb maatriksi A järgu k minoorse M-ga, kui maatriksile M ok vastav maatriks "sisaldab" maatriksile vastavat maatriksit. alaealine M.

Lihtsamalt öeldes, piiritletud mollile M vastav maatriks saadakse piirnevale mollile M o k vastavalt maatriksilt, kustutades ühe rea ja ühe veeru elemendid.

Näide 3

Leidke maatriksi auaste:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Auastme leidmiseks võtame 2. järku molli М = 2 - 1 4 1

Kirjutame üles kõik piirnevad alaealised:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Alaealiste piiritlemise meetodi põhjendamiseks esitame teoreemi, mille sõnastamine ei vaja tõestusalust.

1. teoreem

Kui kõik maatriksi A k-ndat järku minoorset järgu p võrra n-ga piirnevad mollid on võrdsed nulliga, siis kõik maatriksi A järgu mollid (k + 1) on võrdsed nulliga.

Toimingute algoritm :

Maatriksi auastme leidmiseks ei ole vaja itereerida kõiki alaealisi, piisab, kui vaadata piirnevaid.

Kui piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste null. Kui on vähemalt üks alaealine, mis ei ole võrdne nulliga, siis käsitleme piirnevaid alaealisi.

Kui need kõik on nullid, on aste (A) kaks. Kui on vähemalt üks nullist erinev piirnev alaealine, siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Ja nii edasi, sarnasel viisil.

Näide 4

Leia maatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Kuidas lahendada?

Kuna maatriksi A element a 11 ei ole võrdne nulliga, siis võtame 1. järku molli. Hakkame otsima nullist erineva piiriga molli:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Leidsime piirneva 2. järku molli, mis ei ole võrdne nulliga 2 0 4 1.

Kordame üle piirnevad alaealised - (neid on (4 - 2) × (5 - 2) = 6 tükki).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Vastus : Aste (A) = 2.

Maatriksi järgu leidmine Gaussi meetodil (kasutades elementaarteisendusi)

Tuletagem meelde, mis on elementaarsed teisendused.

Elementaarsed teisendused:

• maatriksi ridade (veergude) ümberpaigutamise teel;
• korrutades maatriksi mis tahes rea (veeru) kõik elemendid suvalise nullist erineva arvuga k;

lisades mis tahes rea (veeru) elementidele maatriksi teisele reale (veerule) vastavad elemendid, mis korrutatakse suvalise arvuga k.

Definitsioon 5

Maatriksi järgu leidmine Gaussi meetodil - maatriksite samaväärsuse teoorial põhinev meetod: kui maatriksist A saadakse maatriksist A lõpliku arvu elementaarteisenduste abil, siis Aste (A) = Aste (B).

Selle väite kehtivus tuleneb maatriksi definitsioonist:

• maatriksi ridade või veergude permutatsiooni korral muudab selle determinant märki. Kui see on võrdne nulliga, jääb see ridade või veergude ümberkorraldamisel võrdseks nulliga;
• kui maatriksi mis tahes rea (veeru) kõik elemendid korrutatakse suvalise arvuga k, mis ei ole võrdne nulliga, on saadud maatriksi determinant võrdne algmaatriksi determinandiga, mis korrutatakse poolt k;

maatriksi teatud rea või veeru elementidele liitmisel teise rea või veeru vastavad elemendid, mis korrutatakse arvuga k, ei muuda selle determinanti.

Elementaarteisenduste meetodi olemus : vähendada maatriksit, mille auaste leitakse, trapetsikujuliseks, kasutades elementaarseid teisendusi.

Milleks?

Seda tüüpi maatriksite järjestust on üsna lihtne leida. See võrdub ridade arvuga, mis sisaldavad vähemalt ühte nullist erinevat elementi. Ja kuna auaste elementaarsete teisenduste ajal ei muutu, on see maatriksi auaste.

Illustreerime seda protsessi:

• ristkülikukujuliste maatriksite A puhul, mille ridade arv on suurem kui veergude arv:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 mn - 01 0 n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 + 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• ristkülikukujuliste maatriksite A korral p p n võrra, mille ridade arv on väiksem kui veergude arv:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 pp + 0 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• ruudukujuliste maatriksite A järjekorras n x:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 miljardit 0 - 0 0 n , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 1 kk +0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Näide 5

Leidke maatriksi A auaste elementaarsete teisenduste abil:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Kuidas lahendada?

Kuna element a 11 on nullist erinev, on vaja maatriksi A esimese rea elemendid korrutada 1 a 11 = 1 2-ga:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Lisage 2. rea elementidele 1. rea vastavad elemendid, mis korrutatakse (-3) -ga. 3. rea elementidele lisage 1. rea elemendid, mis korrutatakse (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1)- 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5)- 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5)- 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) on nullist erinev, seega korrutame maatriksi A 2. rea elemendid A (2)-ga 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Saadud maatriksi 3. rea elementidele lisage 2. rea vastavad elemendid, mis korrutatakse 3 2-ga;
• 4. rea elementide juurde - 2. rea elemendid, mis korrutatakse 9 2-ga;
• 5. rea elementide juurde - 2. rea elemendid, mis korrutatakse 3 2-ga.

Kõik rea elemendid on nullid. Seega oleme elementaarteisenduste abil viinud maatriksi trapetsikujulisele kujule, millest on näha, et R a n k (A (4)) = 2. Sellest järeldub, et ka algse maatriksi auaste on võrdne kahega.

Kommenteeri

Kui teete elementaarseid teisendusi, pole ligikaudsed väärtused lubatud!

Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter

Definitsioon. Maatriksi auastme järgi on maksimaalne lineaarselt sõltumatute joonte arv, mida peetakse vektoriteks.

1. teoreem maatriksi astme kohta. Maatriksi auastme järgi on maatriksi nullist erineva minoori maksimaalne järjekord.

Alaealise mõistet oleme determinantide tunnis juba analüüsinud ja nüüd üldistame seda. Võtame maatriksisse mõned read ja mõned veerud ning see "mõned" peaks olema väiksem kui maatriksi ridade ja veergude arv ning ridade ja veergude puhul peaks see "mõned" olema sama arv. Siis mõne rea ja mitme veeru ristumiskohas on meie algsest maatriksist madalama järgu maatriks. Selle maatriksi determinandiks on k-ndat järku minoor, kui mainitud "mõned" (ridade ja veergude arv) on tähistatud k-ga.

Definitsioon. Alaealine ( r+1) järjekord, mille sees asub valitud alaealine r-ndat järjekorda nimetatakse antud molli jaoks piiritlemiseks.

Kaks kõige sagedamini kasutatavat meetodit on maatriksi auastme leidmine... seda alaealistega piirnemise viis ja elementaarteisenduste meetod(Gaussi meetodil).

Alaealistega piirneva meetodi puhul kasutatakse järgmist teoreemi.

Teoreem 2 maatriksi auastmes. Kui maatriksi elementidest on võimalik koostada molli r-th järk, mis ei ole võrdne nulliga, siis on maatriksi auaste r.

Elementaarteisenduste meetodis kasutatakse järgmist omadust:

Kui elementaarteisendustega saadakse trapetsikujuline maatriks, mis on samaväärne algse maatriksiga, siis selle maatriksi auaste on selles olevate ridade arv, välja arvatud read, mis koosnevad täielikult nullidest.

Maatriksi auastme leidmine ääristavate alaealiste meetodil

Piirnev alaealine on antud alaealise suhtes kõrgema järgu alaealine, kui see kõrgema järgu alaealine sisaldab seda alaealist.

Näiteks maatriksit arvestades

Võtame alaealise

piirnevad järgmised alaealised:

Algoritm maatriksi astme leidmiseks järgmiseks.

1. Leia teist järku nullist erineva alaealised. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, võrdub maatriksi auaste ühega ( r =1 ).

2. Kui on vähemalt üks teist järku moll, mis ei ole võrdne nulliga, siis koostage piirnevad kolmanda järgu mollid. Kui kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne kahega ( r =2 ).

3. Kui vähemalt üks kolmandat järku piirnevatest alaealistest ei ole võrdne nulliga, siis moodustame piirnevad alaealised. Kui kõik neljanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste kolm ( r =2 ).

4. Jätkake nii kaua, kuni maatriksi suurus seda võimaldab.

Näide 1. Leidke maatriksi auaste

.

Lahendus. Teise järgu alaealine .

Me raamime selle. Seal on neli piirnevat alaealist:

,

,

Seega on kõik kolmandat järku piirnevad alaealised võrdsed nulliga, seetõttu on selle maatriksi auaste võrdne kahega ( r =2 ).

Näide 2. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 1, kuna selle maatriksi kõik teise järgu alaealised on võrdsed nulliga (selles, nagu kahel järgneval näitel alaealistega piirnevatel juhtudel, kutsutakse kalleid õpilasi ise veenduma, kasutades võib-olla determinantide arvutamise reegleid) ja esimest järku alaealiste hulgas, st maatriksi elementide hulgas, ei ole nulliga võrdsed.

Näide 3. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi teist järku minor, kõigis selle maatriksi kolmanda järgu minorid on võrdsed nulliga. Seetõttu on selle maatriksi auaste kaks.

Näide 4. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 3, kuna selle maatriksi ainus kolmanda järgu moll on 3.

Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil (Gaussi meetod)

Juba näites 1 on näha, et maatriksi auastme määramise probleem alaealiste piiritlemise meetodil nõuab suure hulga determinantide arvutamist. Siiski on viis arvutusmahtu minimeerida. See meetod põhineb elementaarmaatriksteisenduste kasutamisel ja seda nimetatakse ka Gaussi meetodiks.

Elementaarse maatriksi teisendusi mõistetakse järgmiste toimingutena:

1) maatriksi mis tahes rea või veeru korrutamine nullist erineva arvuga;

2) maatriksi mis tahes rea või veeru elementidele teise rea või veeru vastavate elementide lisamine sama arvuga korrutatuna;

3) maatriksi kahe rea või veeru vahetamine;

4) nulljoonte eemaldamine, st need, mille kõik elemendid on nulliga võrdsed;

5) kõigi proportsionaalsete ridade, välja arvatud ühe, kustutamine.

Teoreem. Elementaarne teisendus ei muuda maatriksi auastet. Teisisõnu, kui me kasutame maatriksist elementaarseid teisendusi A läks maatriksisse B, siis.

Read (veerud). Mitu rida (veergu) nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ühtegi neist ei saa lineaarselt teistega väljendada. Reasüsteemi auaste on alati võrdne veerusüsteemi auastmega ja seda arvu nimetatakse maatriksi auastmeks.

Maatriksi auaste on selle maatriksi kõigi võimalike nullist erineva alajärgu kõrgeim. Mis tahes suurusega nullmaatriksi auaste on null. Kui kõik teist järku alaealised on nullid, siis on auaste üks jne.

Maatriksi järjestus on pildi mõõde dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operaatorinimi (im) (A))) lineaarne operaator, millele maatriks vastab.

Tavaliselt maatriksi auaste A (\ displaystyle A) tähistatud helistas ⁡ A (\ displaystyle \ operaatorinimi (helistas) A), r ⁡ A (\ kuvastiil \ operaatorinimi (r) A), rg ⁡ A (\ kuvastiil \ operaatorinimi (rg) A) või auaste ⁡ A (\ kuvastiil \ operaatorinimi (aste) A)... Viimane variant on tüüpiline inglise keelele, kaks esimest aga saksa, prantsuse ja paljude muude keelte jaoks.

Kollegiaalne YouTube

• 1 / 5

  Laskma olla ristkülikukujuline maatriks.

  Siis definitsiooni järgi maatriksi auaste A (\ displaystyle A) on:

  Teoreem (järkude määratluse õigsuse kohta). Las kõik maatriksi alaealised A m × n (\ displaystyle A_ (m \ korda n)) tellida k (\ displaystyle k) võrdne nulliga ( M k = 0 (\ displaystyle M_ (k) = 0)). Siis ∀ M k + 1 = 0 (\ kuvastiil \ kõigi M_ jaoks (k + 1) = 0) kui need on olemas.

  Seotud määratlused

  Omadused

  • Teoreem (peamise molli kohta): Las olla r = helin ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ operaatorinimi (heli) A, M_ (r))- maatriksi põhimoll A (\ displaystyle A), siis:
  • Tagajärjed:
  • Teoreem (järgu invariantsuse kohta elementaarteisenduste korral): Tutvustame üksteisest elementaarteisendustega saadud maatriksite tähistust. Siis vastab tõele järgmine väide: Kui A ∼ B (\ kuvastiil A \ sim B), siis on nende auastmed võrdsed.
  • Kroneckeri – Capelli teoreem: Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi astmega. Eriti:
    • Süsteemi peamiste muutujate arv on võrdne süsteemi auastmega.
    • Ühine süsteem määratakse (selle lahendus on unikaalne), kui süsteemi auaste on võrdne kõigi selle muutujate arvuga.
  • Sylvesteri ebavõrdsus: Kui A ja B suuruse maatriksid m x n ja n x k, siis
  helistas ⁡ A B ≥ helises

  See on järgmise ebavõrdsuse erijuhtum.

  • Frobeniuse ebavõrdsus: Kui AB, BC, ABC on hästi määratletud, siis
  helistas ⁡ A B C ≥ helin ⁡ A B + helin ⁡ B C - helin ⁡ B (\ kuvastiil \ operaatorinimi (helin) ABC \ geq \ operaatorinimi (heli) AB + \ operaatorinimi (heli) BC- \ operaatorinimi (heli) B)

  Maatriksi lineaarne teisendus ja järk

  Las olla A (\ displaystyle A)- suurusmaatriks m × n (\ displaystyle m \ korda n)üle põllu C (\ kuvastiil C)(või R (\ displaystyle R)). Las olla T (\ kuvastiil T)- vastav lineaarne teisendus A (\ displaystyle A) standardsel alusel; see tähendab et T (x) = A x (\ kuvastiil T (x) = telg). Maatriksi auaste A (\ displaystyle A) on teisenduse väärtusvahemiku mõõde T (\ kuvastiil T).

  Meetodid

  Maatriksi auastme leidmiseks on mitu meetodit:

  • Elementaarne teisendusmeetod
  Maatriksi järjestus võrdub nullist erinevate ridade arvuga maatriksis pärast selle taandamist astmeliseks vormiks, kasutades maatriksi ridade elementaarseid teisendusi.
  • Piirialaealiste meetod
  Laske maatriks sisse A (\ displaystyle A) leiti nullist erinev alaealine k (\ displaystyle k)- järjekorras M (\ displaystyle M)... Võtke arvesse kõiki alaealisi (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-järjekord, sealhulgas (piirnev) alaealine M (\ displaystyle M); kui need kõik on võrdsed nulliga, siis on maatriksi auaste k (\ displaystyle k)... Vastasel juhul on piirnevate alaealiste seas nullist erinev ja kogu protseduur kordub.

  Mis tahes maatriks A tellida m × n saab vaadata kogumikuna m rea vektorid või n veeruvektorid.

  Auastme järgi maatriksid A tellida m × n on lineaarselt sõltumatute veeruvektorite või reavektorite maksimaalne arv.

  Kui maatriksi auaste A on võrdne r, siis on kirjutatud:

  Maatriksi auastme leidmine

  Las olla A suvalise järjestuse maatriks m× n... Maatriksi auastme leidmiseks A rakendage sellele Gaussi elimineerimismeetodit.

  Pange tähele, et kui mõnes välistamise etapis on pöördepunkt võrdne nulliga, siis vahetame selle rea joonega, mille pöördepunkt on nullist erinev. Kui selgub, et sellist rida pole, siis minge järgmisesse veergu jne.

  Pärast Gaussi elimineerimise otsest liigutust saame maatriksi, mille põhidiagonaali all olevad elemendid on võrdsed nulliga. Lisaks võivad olla nulljoone vektorid.

  Nulliväliste ridade vektorite arv on maatriksi auaste A.

  Vaatleme seda kõike lihtsate näidetega.

  Näide 1.

  Korrutades esimese rea 4-ga ja lisades teisele reale ja korrutades esimese rea 2-ga ja lisades kolmandale reale, saame:

  

  Teine rida korrutatakse -1-ga ja lisatakse kolmandale reale:

  

  Saime kaks nullist erinevat rida ja seetõttu on maatriksi auaste 2.

  Näide 2.

  Leidke järgmise maatriksi auaste:

  

  Korrutage esimene rida -2-ga ja lisage teisele reale. Samamoodi nullime esimese veeru kolmanda ja neljanda rea ​​elemendid:

  

  Nulli teise veeru kolmanda ja neljanda rea ​​elemendid, lisades vastavad read teisele reale korrutatuna -1-ga.