Kümnendarv murdosa- mitmekesisus murdosad, mille nimetajas on "ümmargune" number: 10, 100, 1000 jne, näiteks murdosa 5/10 on kümnendkohaga 0,5. Sellest põhimõttest lähtudes murdosa saab esindada vormi kümnendarv murdosad.

Juhised

Oletame, et peate alluma vormi kümnendarv murdosa 18/25.
Kõigepealt peate veenduma, et nimetajas kuvatakse üks "ümmargustest" numbritest: 100, 1000 jne. Selleks tuleb nimetaja korrutada 4. Aga nii lugeja kui nimetaja tuleb korrutada 4 -ga.

Korrutades lugeja ja nimetaja murdosad 18/25 x 4 on 72/100. See murdosa kümnendkohaga vormi seega: 0,72.

Murd on matemaatikas ratsionaalne arv, mis võrdub ühe või mitme osaga, milleks see on jagatud. Sel juhul peab murdosa kirje sisaldama märget kahe numbri kohta: üks neist näitab täpselt, mitmeks murdosaks ühik selle murdosa loomisel jagati, ja teine ​​- kui paljud neist murdudest sisaldavad murdarvu. Kui need kaks numbrit kirjutatakse lugeja ja nimetajaga, mis on eraldatud ribaga, siis nimetatakse seda vormingut "tavaliseks" murdosaks. Siiski on murdude kirjutamiseks veel üks vorming, mida nimetatakse "kümnendkohaks".

Numbrite kirjutamise kolmekorruseline vorm, milles nimetaja asub lugeja kohal ja nende vahel on ka eraldusjoon, ei ole alati mugav. Eriti hakkas see ebamugavus avalduma personaalarvutite massilise levitamisega. Murdude esitamise kümnendkoha vormil puudub see puudus - lugejat ei pea selles märkima, kuna see on määratluse järgi alati võrdne kümnega negatiivses astmes. Seetõttu saab murdarvu kirjutada ühele reale, kuigi selle pikkus on enamikul juhtudel palju suurem kui vastava tavalise murru pikkus.

Teine eelis numbrite kirjutamisel kümnendvormingus on see, et neid on üksteisega palju lihtsam võrrelda. Kuna kahe sellise numbri iga numbri nimetaja on sama, piisab vastavate numbrite ainult kahe numbri võrdlemisest, samas kui tavaliste murdude võrdlemisel tuleb arvesse võtta nii lugejat kui ka nimetajat. See eelis on oluline mitte ainult inimestele, vaid ka arvutitele - numbrite võrdlemine kümnendvormingus on üsna lihtne programmeerida.

Liitmiseks, korrutamiseks ja muudeks matemaatilisteks toiminguteks on sajandeid vanad reeglid, mis võimaldavad teha arvutusi paberil või peas arvudega kümnendmurdude kujul. See on selle vormi teine ​​eelis tavaliste murdude ees. Kuigi arvutitehnoloogia arenedes muutub see kalkulaator isegi kellal olles vähem märgatavaks.

Murtarvude kirjutamise kümnendvormingu kirjeldatud eelised näitavad, et selle peamine eesmärk on lihtsustada tööd matemaatiliste väärtustega. Sellel vormingul on ka puudusi - näiteks kümnendmurru perioodiliste murdude kirjutamiseks tuleb sulgudes lisada ka arv ja kümnendvormingus irratsionaalsetel numbritel on alati ligikaudne väärtus. Kuid praegusel inimeste ja nende tehnoloogiate arengutasemel on seda palju mugavam kasutada kui tavalist murdarvude salvestamise vormingut.

Kümnendmurd on murd, mille nimetajaks on naturaalarv 10. Näiteks murdarv. Selle murru saab kirjutada järgmisel kujul: kirjutada lugeja numbrid stringina ja eraldada komaga. õige nii palju, kui nimetajas on nulle, nimelt:

Sellises kirjes moodustavad koma vasakul asuvad numbrid kogu osa ja koma paremal asuvad numbrid moodustavad selle kümnendmurru murdosa.

Olgu p / q mis tahes positiivne ratsionaalne arv. Aritmeetikast on jagamisprotsess hästi teada, mis võimaldab numbrit esitada kümnendmurrana. Jagamisprotsessi olemus on see, et kõigepealt leidke suurim täisarv, mitu korda q sisaldub p -s; kui p on q kordne, siis siin lõpeb jagunemisprotsess. Vastasel juhul kuvatakse ülejäänud osa. Seejärel leiavad nad, mitu kümnendikku q -st selles jäägis sisalduvad, ja selles etapis võib protsess lõppeda või ilmub uus jääk. Viimasel juhul leiavad nad, mitu sajandikku q -st selles sisaldub jne.

Kui nimetajal q pole muid algtegureid peale 2 või 5, siis pärast piiratud arvu samme on jääk null, jagamisprotsess lõpeb ja see tavaline murdosa muutub lõplikuks kümnendmurruks. Tõepoolest, sel juhul saate alati valida täisarvu nii, et pärast antud murru lugeja ja nimetaja korrutamist sellega saate võrdse murru, milles nimetaja tähistab kümne loomulikku võimsust. Selline on näiteks murdosa

mida saab esitada järgmiselt:

Kuid ilma neid teisendusi tegemata, lugedes lugeja nimetajaga, saab lugeja sama tulemuse:

Kui taandamatu murru nimetajal on vähemalt üks algjagaja peale 2 või 5, siis q -ga jagamise protsess ei lõpe kunagi (ükski järgnevatest jääkidest ei kao).

Pärast jagamise läbiviimist leiame

Selles näites saadud tulemuse registreerimiseks lisatakse sulgudesse perioodiliselt korduvad numbrid 0 ja 6:

Selle näite ja muude sarnaste juhtumite korral ei anna jagamistoiming lõpptulemust kümnendkohana. Kümnendmurru mõiste üldistades võib siiski öelda, et jagatist 965/132 tähistab lõpmatu perioodiline murd. Korduvaid numbreid 06 nimetatakse selle murru perioodiks ja nende arvu, mis on meiega võrdne näiteks on perioodi pikkus.

Murru perioodilisuse nähtuse põhjuse mõistmiseks analüüsime näiteks jagamise protsessi 7 -ga. Kui jagamist ei teostata täielikult, ilmub jääk, millel võib olla ainult üks järgmistest väärtustest : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ja igal järgneval etapil on ülejäänud osas jälle üks neist kuuest väärtusest. Seetõttu kohtame hiljemalt seitsmendal etapil paratamatult ühte jääkväärtustest, mis on juba varem ilmnenud.Sellest hetkest omandab jagamisprotsess perioodilise iseloomu. Nii jääkide kui ka jagatise väärtusi korratakse perioodiliselt. See arutluskäik kehtib kõigi teiste jagajate puhul.

Seega on iga tavaline murdosa piiratud või lõpmatu perioodiline kümnendmurd. On tähelepanuväärne, et vastupidi, mis tahes perioodilist kümnendmurdu saab esitada tavalise murdarvuna. Näitame, kuidas seda toimingut teostatakse. Sel juhul kasutatakse lõpmatult väheneva geomeetrilise progressiooni summa valemit (lk 92).

võib mõista järgmiselt:

siin moodustavad paremal pool olevad terminid teisest alates lõpmatu geomeetrilise progressiooni koos nimetaja ja esimese terminiga

Kasutades valemit (92.2):

On selge, et sama protsess võimaldab iga lõpmatut perioodilist murru kujutada tavalise murru kujul (ja nagu võib näidata, täpselt seda, millest jagamisprotsessis on antud lõpmatu perioodiline murdosa saadud). Siiski on üks erand. Arvestage murdosa

ja rakendage sellele tavaliseks fraktsiooniks teisendamise protsessi:

Jõudsime numbrini 1/2, mida esindab lõplik kümnendmurd

Sarnane tulemus saadakse alati, kui antud lõpmatu murdosa periood on vormis (9). Seetõttu tuvastame sellised numbripaarid nagu näiteks

Mõnikord on kasulik lubada ka vormi märkeid

esindades vormiliselt lõplikke kümnendmurde lõpmatusena perioodiga (0).

Kõik, mis on öeldud tavalise murru teisendamise kohta kümnendperioodiliseks murdosaks ja vastupidi, kehtib positiivsete ratsionaalsete arvude kohta. Negatiivse arvu korral saate teha kahte asja.

1) Võtke negatiivne positiivne arv, teisendage see kümnendmurruks ja pange selle ette miinusmärk. Näiteks - 5/3 eest saame

2) See negatiivne ratsionaalne arv esitatakse täisarvulise osa (negatiivne) ja murdosa (mitte-negatiivne) summana ning teisendatakse ainult see arvu murdosa kümnendmurruks. Näiteks:

Nende negatiivsete täisarvude ja lõpliku või lõpmatu kümnendmurru summana esitatud numbrite kirjutamiseks kasutatakse järgmist tähist (negatiivse arvu kirjutamise kunstlik vorm):

Siin ei asetata miinusmärki mitte kogu murru ette, vaid selle täisosa kohale, rõhutamaks, et ainult täisarv on negatiivne ja komale järgnev murdosa on positiivne.

See märge loob positiivsete ja negatiivsete kümnendmurdude tähistamisel ühtsuse ja seda kasutatakse tulevikus kümnendlogaritmide teoorias (lk 28). Harjutamiseks soovitame lugejal kontrollida näidetes üleminekut ühelt kirjelt teisele:

Nüüd võime sõnastada lõpliku järelduse: mis tahes ratsionaalset arvu saab esitada lõpmatu kümnendperioodilise murdosaga ja vastupidi, iga selline murd määratleb ratsionaalse arvu. Lõplik kümnendmurd võimaldab ka kahte märkimisvormi lõpmatu kümnendmurru kujul: punktiga (0) ja punktiga (9).

Juba põhikoolis seisavad õpilased silmitsi murdudega. Ja siis ilmuvad nad igasse teemasse. Nende numbritega toiminguid on võimatu unustada. Seetõttu peate teadma kogu teavet tavaliste ja kümnendmurdude kohta. Need mõisted on lihtsad, peamine on mõista kõike järjekorras.

Milleks on fraktsioonid?

Maailm meie ümber koosneb tervetest objektidest. Seetõttu pole aktsiaid vaja. Kuid igapäevaelu sunnib inimesi pidevalt esemete ja asjade osadega tööle.

Näiteks šokolaadil on mitu viilu. Mõelge olukorrale, kus selle plaat koosneb kaheteistkümnest ristkülikust. Kui jagate selle kaheks, saate 6 osa. Ta jaguneb hästi kolmeks. Kuid viis ei saa anda tervet hulka šokolaadiviile.

Muide, need viilud on juba murdosad. Ja nende edasine jagamine toob kaasa keerukamate numbrite ilmumise.

Mis on murdosa?

See on number, mis koosneb ühe osast. Väliselt näeb see välja nagu kaks numbrit, mis on eraldatud horisontaalse või kaldus joonega. Seda omadust nimetatakse murdosa. Ülaosas (vasakul) kirjutatud numbrit nimetatakse lugejaks. Alumine (paremal) on nimetaja.

Tegelikult osutub murdarv jagunemismärgiks. See tähendab, et lugejat võib nimetada jagatavaks ja nimetajat jagajaks.

Mis fraktsioonid on olemas?

Matemaatikas on neid ainult kahte tüüpi: tavalised ja kümnendmurrud. Kooliõpilased tutvuvad algklassides esimesega, nimetades neid lihtsalt "murdudeks". Teine tunnustab 5. klassis. Siis ilmuvad need nimed.

Tavalised murrud on kõik need, mis on kirjutatud kahe numbrina, mis on eraldatud ribaga. Näiteks 4/7. Kümnendkoht on arv, milles murdarvul on positsiooniline märge ja see eraldatakse tervikust komaga. Näiteks 4.7. Õpilastel peab olema selge, et kaks näidet on täiesti erinevad numbrid.

Iga murdosa saab kirjutada kümnendkohana. See väide kehtib peaaegu alati vastupidises suunas. On reegleid, mis võimaldavad kirjutada kümnendmurru tavalise murruga.

Millised on seda tüüpi murdude alamliigid?

Parem on alustada kronoloogilises järjekorras, kui neid uuritakse. Murded on esikohal. Nende hulgas võib eristada 5 alamliiki.

Õige. Selle lugeja on alati nimetajast väiksem.

Vale. Selle lugeja on nimetajaga võrdne või võrdne.

Lühendatud / taandamatu. See võib olla nii õige kui ka vale. Oluline on see, kas nimetajaga lugejal on ühised tegurid. Kui on, siis peaksid nad jagama murdosa mõlemad osad, see tähendab, et seda vähendada.

Segatud. Täisarv määratakse selle tavalisele õigele (valele) murdosale. Pealegi seisab see alati vasakul.

Komposiit. See on moodustatud kahest üksteisest eraldatud fraktsioonist. See tähendab, et selles on korraga kolm murdosa.

Kümnendmurde on ainult kahte tüüpi:

lõplik, see tähendab see, kus murdosa on piiratud (sellel on lõpp);

lõpmatu - arv, mille numbrid pärast koma ei lõpe (neid saab kirjutada lõputult).

Kuidas teisendada kümnendarv murdarvuks?

Kui see on piiratud arv, siis rakendatakse reeglil põhinevat seost - nagu kuulen, nii ka kirjutan. See tähendab, et peate selle õigesti lugema ja üles kirjutama, kuid ilma komaga, kuid murdosaga.

Vihjeks nõutava nimetaja kohta peate meeles pidama, et see on alati üks ja mitu nulli. Viimaseid tuleb kirjutada nii palju, kui kõnealuse numbri murdosas on numbreid.

Kuidas teisendada kümnendmurrud tavalisteks murdosadeks, kui nende täisarv puudub, see tähendab võrdub nulliga? Näiteks 0,9 või 0,05. Pärast määratud reegli rakendamist selgub, et peate kirjutama null täisarvu. Kuid seda pole näidatud. Jääb kirja panna ainult murdosad. Esimesel numbril on nimetaja 10, teisel - 100. See tähendab, et antud näidetes on numbrid: 9/10, 5/100. Veelgi enam, selgub, et viimast saab vähendada 5 võrra. Seetõttu tuleb selle tulemuseks kirjutada 1/20.

Kuidas teha kümnendarvust tavalist murdosa, kui selle täisarv on nullist erinev? Näiteks 5.23 või 13.00108. Mõlemas näites loetakse täisarv ja kirjutatakse selle väärtus. Esimesel juhul on see 5, teisel - 13. Siis peate minema murdosa juurde. Nad peaksid tegema sama toimingu. Esimesel numbril on 23/100, teisel - 108/100000. Teist väärtust tuleb uuesti lühendada. Vastus on järgmine segafraktsioon: 5 23/100 ja 13 27/25000.

Kuidas teisendada lõpmatu kümnendmurd murdosaks?

Kui see pole perioodiline, siis selline toiming ebaõnnestub. See asjaolu on tingitud asjaolust, et iga kümnendmurr tõlgitakse alati lõplikuks või perioodiliseks.

Ainuke asi, mida saate sellise murdosaga teha, on selle ümardamine. Kuid siis on kümnendarv ligikaudu võrdne selle lõpmatuga. Selle saab juba tavaliseks muuta. Kuid vastupidine protsess: kümnendkohaks teisendamine - ei anna kunagi algväärtust. See tähendab, et lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei saa tavalisteks teisendada. Seda tuleb meeles pidada.

Kuidas kirjutada lõpmatu perioodiline murd tavaliseks murruks?

Nendes numbrites ilmub pärast koma alati alati üks või mitu numbrit, mida korratakse. Neid nimetatakse perioodiks. Näiteks 0,3 (3). Siin "3" perioodil. Neid klassifitseeritakse ratsionaalseteks, kuna neid saab murdeks muuta.

Need, kes on kohanud perioodilisi fraktsioone, teavad, et need võivad olla puhtad või segatud. Esimesel juhul algab periood kohe komaga. Teises algab murdarv mõne numbriga ja seejärel algab kordus.

Reegel, mille järgi peate kirjutama lõpmatu kümnendkoha tavalise murru kujul, on näidatud kahte tüüpi numbrite puhul erinev. Puhtade perioodiliste murdude kirjutamine tavalistega on üsna lihtne. Nagu viimaste puhul, tuleb need ka teisendada: kirjutage punkt lugejasse ja nimetajaks on number 9, mida korratakse nii mitu korda, kui periood sisaldab.

Näiteks 0, (5). Numbril ei ole täisarvu osa, seega peate kohe alustama murdosaga. Kirjutage lugejasse 5 ja nimetajasse üks, st vastus on murdosa 5/9.

Reegel, kuidas kirjutada ühine kümnendkoha perioodiline murd, mis on segatud.

Vaadake perioodi pikkust. Nii paljud 9 saavad nimetaja.

Kirjutage nimetaja: kõigepealt üheksa, seejärel nullid.

Lugeja määramiseks peate kirjutama kahe numbri erinevuse. Kõik numbrid pärast koma ja koos punktiga vähendatakse. Lahutatud - see on ilma punktita.

Näiteks 0,5 (8) - kirjutage perioodiline kümnendmurd tavaliseks. Enne perioodi on murdosa üks number. Nii et null on üks. Samuti on perioodil ainult üks number - 8. See tähendab, et neid on ainult üks. See tähendab, et nimetajasse peate kirjutama 90.

Lugeja määramiseks 58 -st peate lahutama 5. Selgub 53. Näiteks tuleb vastuseks kirjutada 53/90.

Kuidas teisendatakse murrud kümnendkohtadeks?

Lihtsaim variant osutub arvuks, mille nimetaja on 10, 100 jne. Seejärel visatakse nimetaja lihtsalt kõrvale ja koma pannakse murdosa ja täisarvu vahele.

On olukordi, kus nimetaja muutub kergesti 10, 100 jne. Näiteks numbrid 5, 20, 25. Piisab, kui korrutada need vastavalt 2, 5 ja 4 -ga. Korrutama peaks ainult nimetaja, aga ka lugeja sama numbriga.

Kõigil muudel juhtudel tuleb kasuks lihtne reegel: jaga lugeja nimetajaga. Sellisel juhul saate vastuste saamiseks kaks võimalust: lõplik või perioodiline kümnendmurd.

Tegevused tavaliste murdudega

Liitmine ja lahutamine

Õpilased õpivad neid tundma enne teisi. Pealegi on fraktsioonidel esmalt samad nimetajad ja siis on need erinevad. Üldised reeglid saab sellises plaanis kokku võtta.

Leidke nimetajate vähim ühine kordaja.

Kirjutage kõikide tavaliste murdude juurde täiendavad tegurid.

Korrutage lugejad ja nimetajad nende jaoks määratud teguritega.

Liitke (lahutage) murdude lugejad ja jätke ühine nimetaja muutmata.

Kui vähendatud arvu lugeja on väiksem kui lahutatud, siis peate välja selgitama, kas meil on segaarv või tavaline murd.

Esimesel juhul peate kogu osast võtma ühe ühiku. Lisage nimetaja murdosa lugejale. Ja siis tehke lahutamine.

Teises on vaja rakendada reeglit, et väiksemast arvust lahutatakse suurem. See tähendab, et lahutamise moodul lahutatakse lahutatava moodulist ja vastuseks panna märk "-".

Vaadake hoolikalt liitmise (lahutamise) tulemust. Kui saate vale murdosa, peaks see valima kogu osa. See tähendab, et jagage lugeja nimetajaga.

Korrutamine ja jagamine

Murdmurde ei pea nende täitmiseks viima ühisnimetajasse. Nii on lihtsam järgida. Kuid nad peavad siiski reegleid järgima.

Tavaliste murdude korrutamisel peate arvestama lugejate ja nimetajate arvudega. Kui mõnel lugejal ja nimetajal on ühine tegur, saab need tühistada.

Korrutage lugejad.

Korruta nimetajad.

Kui saate tühistatava murdosa, siis peaks seda uuesti lihtsustama.

Jagades tuleb esmalt asendada jagamine korrutisega ja jagaja (teine ​​murd) vastastikusega (vahetada lugeja ja nimetaja).

Seejärel jätkake korrutamisega (alates punktist 1).

Ülesannete puhul, kus peate korrutama (jagama) täisarvuga, kirjutatakse viimane valesti murdosana. See tähendab, et nimetajaga 1. Seejärel jätkake ülalkirjeldatud viisil.



Kümnendtoimingud

Liitmine ja lahutamine

Loomulikult saate kümnendkoha alati murdarvuks muuta. Ja tegutseda juba kirjeldatud plaani järgi. Kuid mõnikord on mugavam tegutseda ilma selle tõlketa. Siis on nende liitmise ja lahutamise reeglid täpselt samad.

Võrdsustage numbrite arv arvu murdosas, st pärast koma. Lisage sellele puuduv arv nulle.

Kirjutage murrud nii, et koma oleks koma all.

Liitke (lahutage) looduslike arvudena.

Eemaldage koma.

Korrutamine ja jagamine

Oluline on, et te ei pea siia nulle lisama. Murdmoodulid tuleb jätta nii, nagu need on näites toodud. Ja siis mine plaani järgi.

Korrutamiseks peate murdosad üksteise alla kirjutama, jättes komad tähelepanuta.

Korruta naturaalarvudena.

Sisestage vastusesse koma, lugedes vastuse paremast otsast nii palju numbreid kui neid on mõlema teguri murdosades.

Jagamiseks peate esmalt jagaja teisendama: muutma selle naturaalarvuks. See tähendab, et korrutage see 10, 100 jne, sõltuvalt sellest, kui palju numbreid on jagaja murdosas.

Korrutage dividend sama numbriga.

Jagage kümnendarv arvulise arvuga.

Pange vastusesse koma hetkel, kui kogu osa jagamine lõpeb.



Mis siis, kui ühes näites on mõlemat tüüpi murde?

Jah, matemaatikas on sageli näiteid, kus peate tegema toiminguid tavaliste ja kümnendmurdudega. Selliste ülesannete puhul on kaks võimalikku lahendust. Peate numbrid objektiivselt kaaluma ja valima parima.

Esimene viis: esindage tavalist kümnendkohta

See sobib, kui jagamisel või tõlkimisel saadakse piiratud murrud. Kui vähemalt üks number annab perioodilise osa, on see tehnika keelatud. Seega, isegi kui teile ei meeldi töötada tavaliste murdudega, peate need kokku lugema.

Teine viis: kirjutage kümnendmurrud tavalistega

See tehnika osutub mugavaks, kui koma järel olevas osas on 1-2 numbrit. Kui neid on rohkem, võib välja tulla väga suur tavaline murdosa ja kümnendmärgid võimaldavad teil ülesannet kiiremini ja hõlpsamini kokku lugeda. Seetõttu peate alati ülesannet kainelt hindama ja valima lihtsaima lahenduse meetodi.

Selles artiklis analüüsime, kuidas tavaliste murdude teisendamine kümnendmurdudeks ja kaaluge ka vastupidist protsessi - kümnendmurdude teisendamist murdudeks. Siin räägime murdarvude ümberpööramise reeglitest ja anname tüüpilistele näidetele üksikasjalikud lahendused.

Lehe navigeerimine.

Murdarvude teisendamine kümnendmurdudeks

Tähistame järjestust, milles me tegeleme tavaliste murdude teisendamine kümnendmurdudeks.

Esiteks vaatame, kuidas esitada tavalisi murdeid nimetajatega 10, 100, 1000, ... kümnendmurdudena. See on tingitud asjaolust, et kümnendmurrud on sisuliselt kompaktne vorm harilike murdude kirjutamiseks nimetajatega 10, 100,….

Pärast seda läheme kaugemale ja näitame, kuidas iga tavalist murru (mitte ainult nimetajatega 10, 100, ...) saab kirjutada kümnendmurruks. See tavaliste murdude ümberpööramise viis annab nii piiratud kümnendmurde kui ka lõpmatuid perioodilisi kümnendmurde.

Nüüd räägime kõigest järjekorras.

Ühiste murdude teisendamine nimetajatega 10, 100, ... kümnendmurdudeks

Mõned tavalised tavalised murrud vajavad enne kümnendmurdudeks teisendamist eelnevat ettevalmistamist. See kehtib tavaliste murdude kohta, mille lugeja numbrite arv on väiksem kui nimetaja nullide arv. Näiteks tuleb kõigepealt valmistada fraktsioon 2/100 komakohaks muundamiseks ja fraktsioon 9/10 ei vaja ettevalmistamist.

Tavaliste harilike murdude "eeltöötlus" kümnendmurdudeks teisendamiseks seisneb lugejas vasakule sellise arvu nullide lisamises, nii et sealsete numbrite koguarv võrdub nimetaja nullide arvuga. Näiteks pärast nullide lisamist näeb murdosa välja.

Pärast õige lihtmurru ettevalmistamist võite hakata seda teisendama kümnendmurruks.

Anname reegel tavalise murdosa, mille nimetaja on 10 või 100 või 1000, teisendamiseks kümnendmurruks... See koosneb kolmest etapist:

• kirjutada 0;
• pärast seda paneme koma;
• kirjutame lugeja numbrist üles (koos lisatud nullidega, kui need liitsime).

Vaatleme selle reegli rakendamist näidete lahendamisel.

Näide.

Teisendage tavaline murdosa 37/100 kümnendkohaks.

Lahendus.

Nimetaja sisaldab arvu 100, mis sisaldab kahte nulli. Lugeja sisaldab numbrit 37, see sisaldab kahte numbrit, seetõttu ei pea seda murdosa komakohaks teisendamiseks ette valmistama.

Nüüd kirjutame üles 0, paneme kümnendkoha ja kirjutame lugeja numbrist 37 ning saame kümnendmurru 0,37.

Vastus:

0,37 .

Arvutitega 10, 100, ... tavaliste tavaliste murdude teisendamiseks kümnendmurrudeks kinnistame oskusi, analüüsime teise näite lahendust.

Näide.

Kirjutage kümnendmurruks õige murd 107/10 000 000.

Lahendus.

Lugeja numbrite arv on 3 ja nimetajate arv on 7, nii et see tavaline murd vajab kümnendkohaks teisendamiseks ettevalmistamist. Peame lugejas vasakule lisama 7-3 = 4 nulli, nii et sealsete numbrite koguarv võrduks nimetaja nullide arvuga. Võtame vastu.

Jääb alles soovitud kümnendmurru koostamine. Selleks kirjutame esiteks 0, teiseks paneme koma ja kolmandaks kirjutame lugeja numbrid koos nullidega 0000107, mille tulemuseks on kümnendmurd 0,0000107.

Vastus:

0,0000107 .

Ebakorrapärased murrud ei vaja kümnendkohtadeks teisendamisel ettevalmistamist. Tuleb järgida järgmist reeglid ebaühtlaste harilike murdude teisendamiseks nimetajatega 10, 100, ... kümnendmurdudeks:

• kirjutage lugeja number üles;
• eraldame kümnendkoha nii palju numbreid paremale, kui algse murru nimetajas on nulle.

Analüüsime selle reegli rakendamist näite lahendamisel.

Näide.

Teisendage ebaregulaarne ühisosa 56 888 038 009/100 000 kümnendmurruks.

Lahendus.

Esiteks kirjutame numbri üles lugejast 56888038009 ja teiseks eraldame kümnendkoha 5 numbrit paremale, kuna algse murru nimetajas on 5 nulli. Selle tulemusena on meil kümnendmurd 568 880,38009.

Vastus:

568 880,38009 .

Segaarvu teisendamiseks kümnendmurruks, mille murdosa nimetaja on arv 10 või 100 või 1000, ..., saate segatud arvu teisendada valeks ühismurruks, mille järel saadud murdosa saab teisendada kümnendmurruks. Kuid võite kasutada ka järgmist reegel murdarvude nimetajaga 10, 100 või 1000, ... teisendamiseks kümnendmurdudeks:

• vajadusel teostame esialgse segaarvu murdosa "eelvalmistamise", lisades lugejasse nõutud arvu nulle vasakule;
• kirjutame üles kogu algse segaarvu osa;
• pane koma;
• kirjutame numbri lugejast koos lisatud nullidega.

Vaatleme näidet, mille lahendamisel teeme kõik vajalikud toimingud, et segarvu esitada kümnendmurrana.

Näide.

Teisendage segaarv kümnendkohaks.

Lahendus.

Murdosa osa nimetajas on 4 nulli, lugejas on number 17, mis koosneb kahest numbrist, seetõttu peame lugejas vasakule lisama kaks nulli, nii et seal olevate numbrite arv võrdub nullide arv nimetajas. Seda tehes on lugejaks 0017.

Nüüd kirjutame kogu algse numbri osa, st numbri 23, paneme kümnendkoha, mille järel kirjutame lugeja numbri koos lisatud nullidega, st 0017, ja saame soovitud kümnendmurd 23,0017.

Kirjutame lühidalt kogu lahenduse: .

Kahtlemata oli võimalik esmalt seganumbrit esitada sobimatu murdarvuna ja seejärel teisendada see kümnendmurruks. Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja selline :.

Vastus:

23,0017 .

Tavaliste murdude teisendamine lõplikeks ja lõpmatuteks perioodilisteks kümnendmurdudeks

Mitte ainult tavalisi murdeid nimetajatega 10, 100, ..., vaid tavalisi murdeid teiste nimetajatega saab teisendada kümnendmurruks. Nüüd selgitame välja, kuidas seda tehakse.

Mõnel juhul on algne ühisosa kergesti taandatav üheks nimetajaks 10, 100 või 1000, ... (vt hariliku murdosa taandamine uueks nimetajaks), mille järel pole raske esitada saadud murd kümnendmurruna. Näiteks on ilmne, et murdosa 2/5 saab taandada murdosaks nimetajaga 10, selleks peate lugeja ja nimetaja korrutama 2 -ga, mis annab murru 4/10, mis vastavalt eelmises lõigus käsitletud reegleid saab hõlpsasti teisendada kümnendmurruks 0, 4.

Muudel juhtudel peate tavalise murru teisendamiseks kümnendkohaks kasutama teist meetodit, millele me nüüd pöördume.

Tavalise murru teisendamiseks kümnendmurruks jagatakse murru lugeja nimetajaga, lugeja asendatakse eelnevalt võrdse kümnendmurruga, mis on suvalise arvu nullidega pärast koma (me rääkisime sellest jaotises võrdne ja ebavõrdsed kümnendmurrud). Sel juhul jagatakse jagamine samamoodi nagu jagamist loomulike arvude veeruga ja jagatis pannakse kümnendkoht, kui dividendi täisarvu jagamine lõpeb. Kõik see selgub allpool toodud näidete lahendustest.

Näide.

Teisendage harilik murdosa 621/4 kümnendkohaks.

Lahendus.

Esitame numbri lugejas 621 kümnendmurruna, lisades pärast seda kümnendkoha ja mõned nullid. Alustuseks lisame 2 numbrit 0, hiljem saame vajadusel alati nulle lisada. Seega on meil 621,00.

Nüüd teeme veergude jagamise 621 000 4 -ga. Esimesed kolm sammu ei erine looduslike numbrite veeruga jagamisest, pärast neid jõuame järgmisele pildile:

Niisiis jõudsime dividendi kümnendkohani ja ülejäänud osa on null. Sel juhul paneme jagatis kümnendkoha ja jätkame jagamist veeruga, pöörates tähelepanu komadele:

See lõpetab jagamise ja selle tulemusena saime kümnendmurru 155,25, mis vastab algsele tavalisele murrule.

Vastus:

155,25 .

Materjali konsolideerimiseks kaaluge veel ühe näite lahendust.

Näide.

Teisendage murdarv 21/800 kümnendkohaks.

Lahendus.

Selle hariliku murru teisendamiseks kümnendkohaks jagame kümnendmurru veeruga 21 000 ... 800 -ga. Pärast esimest sammu peame panema jagatisesse komakoha ja jätkama jagamist:

Lõpuks saime ülejäänud 0, siin on lõpule viidud tavalise murru 21/400 muundamine kümnendmurruks ja jõudsime kümnendmurru 0,02625 juurde.

Vastus:

0,02625 .

Võib juhtuda, et jagades lugeja tavalise murru nimetajaga, ei saa me ikkagi ülejäänud 0. Sellistel juhtudel saab jagamist jätkata nii kaua, kui soovite. Kuid alates teatud sammust korratakse ülejääke perioodiliselt ja korratakse ka jagatises olevaid numbreid. See tähendab, et algmurd teisendatakse lõpmatuks perioodiliseks kümnendmurraks. Näitame seda näitega.

Näide.

Kirjutage murdosa 19/44 kümnendmurruks.

Lahendus.

Tavalise murru teisendamiseks kümnendkohani teeme veeru jagamise:

Juba praegu on selge, et jagamise ajal hakkasid ülejäänud 8 ja 36 korduma, jagatises aga korduvad numbrid 1 ja 8. Seega teisendatakse algne tavaline murdosa 19/44 perioodiliseks kümnendmurruks 0,43181818 ... = 0,43 (18).

Vastus:

0,43(18) .

Selle lõigu lõpus selgitame välja, milliseid tavalisi murdeid saab teisendada kümnendmurdudeks ja milliseid - ainult perioodilisteks.

Olgu meie ees taandamatu harilik murd (kui murd on tühistatav, siis teeme kõigepealt murdosa vähendamise) ja peame välja selgitama, milliseks kümnendmurruks saab selle teisendada - lõplikuks või perioodiliseks.

On selge, et kui tavalise murru saab taandada üheks nimetajaks 10, 100, 1000, ..., siis saab saadud murdosa hõlpsasti teisendada eelmises lõigus käsitletud reeglite järgi lõplikuks kümnendmurruks. Aga nimetajatele 10, 100, 1000 jne. kaugel kõigist tavalistest murdudest on antud. Sellisteks nimetajateks saab taandada vaid murdosi, mille nimetajateks on vähemalt üks arvudest 10, 100, ... Ja millised arvud võivad olla 10, 100, ... jagajad? Numbrid 10, 100,… võimaldavad meil sellele küsimusele vastata ja need on järgmised: 10 = 2, 5, 100 = 2, 5, 5, 1000 = 2, 2, 2, 5, 5, 5 ,…. Sellest järeldub, et jagajad on 10, 100, 1000 jne. saab olla ainult numbreid, mille algtegurid sisaldavad ainult numbreid 2 ja (või) 5.

Nüüd saame teha üldise järelduse tavaliste murdude teisendamise kohta kümnendmurdudeks:

• kui nimetaja laiendamisel algteguriteks on ainult arvud 2 ja (või) 5, siis saab selle murdosa teisendada kümnendmurruks;
• kui nimetaja laiendamisel on lisaks kahele ja viiendale ka teisi algarvu, siis teisendatakse see murd lõpmatuks kümnendperioodiks.

Näide.

Ilma tavalisi murruid kümnendkohaks teisendamata öelge mulle, milliseid murdeid 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 saab teisendada kümnendmurruks ja milliseid - ainult perioodiliseks.

Lahendus.

Nimetaja 47/20 peamine tegur on 20 = 2,2,5. See laiend sisaldab ainult kahte ja viit, nii et selle murdosa saab vähendada üheks nimetajaks 10, 100, 1000, ... (antud näites nimetajaks 100), seega saab selle teisendada kümnendmurruks .

Murru 7/12 nimetaja algtegur on 12 = 2,2,3. Kuna see fraktsioon sisaldab algtegurit 3 peale 2 ja 5, ei saa seda murru esitada lõpliku kümnendmurruna, vaid selle saab teisendada perioodiliseks kümnendmurruks.

Fraktsioon 21/56 on kokkutõmbuv, pärast kokkutõmbumist võtab see vormi 3/8. Nimetaja faktoriseerimine algteguriteks sisaldab kolme tegurit, mis on võrdsed 2 -ga, seetõttu saab tavalise murru 3/8 ja seega sellega võrdse murru 21/56 teisendada kümnendmurruks.

Lõpuks on murdosa 31/17 nimetaja laiend 17 ise, seetõttu ei saa seda murdosa teisendada lõplikuks kümnendmurruks, vaid selle saab muuta lõpmatuks perioodiliseks murdosaks.

Vastus:

47/20 ja 21/56 saab teisendada lõpliku kümnendkohani ning 7/12 ja 31/17 ainult perioodiliseks.

Murrud ei muundu lõpmatuteks mitteperioodilisteks kümnendkohtadeks

Eelmises lõigus esitatud teave tekitab küsimuse: "Kas murru lugeja jagamisel nimetajaga saame lõpmatu mitteperioodilise murru?"

Vastus on ei. Tavalise murru tõlkimisel saate kas lõpliku kümnendmurru või lõpmatu perioodilise kümnendmurru. Selgitame, miks see nii on.

Jäägiga jagamise teoreemi põhjal on selge, et jääk on alati väiksem kui jagaja, see tähendab, et kui me jagame mõne täisarvu täisarvuga q, siis saab jääk olla ainult üks arvudest 0, 1, 2,… , q - 1. Sellest järeldub, et pärast hariliku murru lugeja täisarvulise osa veeruga jagamist nimetaja q võrra mitte rohkem kui q sammuga tekib üks kahest järgmisest olukorrast:

• või saame jäägi 0, siis jagamine lõpeb ja saame lõpliku kümnendmurru;
• või saame ülejäägi, mis on juba varem ilmunud, pärast mida hakkavad jäägid korduma nagu eelmises näites (kuna kui võrdsed arvud jagatakse q -ga, saadakse võrdsed jäägid, mis tuleneb juba mainitud jagatavuse teoreemist), saadakse lõpmatu perioodiline kümnendmurd.

Muid valikuid ei saa olla, seetõttu ei saa tavalise murru kümnendmurruks teisendamisel saada lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu.

Selles lõigus toodud põhjendustest järeldub ka, et kümnendmurru perioodi pikkus on alati väiksem kui vastava hariliku murru nimetaja väärtus.

Kümnendmurdude teisendamine murdudeks

Nüüd mõtleme välja, kuidas teisendada kümnendmurd tavaliseks. Alustame teisendades lõplikud kümnendmurrud murdosadeks. Pärast seda kaaluge lõpmatu perioodilise kümnendmurru ümberpööramise meetodit. Kokkuvõtteks võib öelda, et lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru teisendamine tavalisteks murdudeks on võimatu.

Lõpliku kümnendkoha teisendamine murdosadeks

Tavalise murru saamine, mis on kirjutatud lõpliku kümnendmurru kujul, on üsna lihtne. Reegel lõpliku kümnendkoha murdosadeks teisendamiseks koosneb kolmest etapist:

• esmalt kirjuta lugejasse kümnendmurd, lugedes eelnevalt koma ja kõik vasakul olevad nullid, kui neid on;
• teiseks, kirjuta nimetajasse ühik ja lisa sellele nii palju nulle kui algses kümnendmurrus pärast koma on numbreid;
• kolmandaks, vajadusel teostada saadud fraktsiooni vähendamine.

Vaatleme näidete lahendusi.

Näide.

Teisendage kümnendarv 3.025 murdosaks.

Lahendus.

Kui eemaldame kümnendkoha algsest kümnendmurust, saame numbri 3 025. Vasakul pole nulle, mille me ära viskaksime. Niisiis, soovitud murru lugejasse kirjutage 3 025.

Kirjutame nimetaja nimesse 1 ja lisame sellele paremal 3 nulli, kuna algses kümnendmurrus pärast koma on 3 numbrit.

Nii saime tavalise murru 3 025/1000. Selle murdosa saab tühistada 25 võrra, saame .

Vastus:

.

Näide.

Teisendage kümnendmurd 0,0017 tavaliseks.

Lahendus.

Ilma kümnendkohata näeb esialgne kümnendmurd välja 00017, nullid vasakule langetades saame numbri 17, mis on soovitud tavalise murru lugeja.

Kirjutame nimetajasse nelja nulliga ühiku, kuna algses kümnendmurrus pärast koma on 4 numbrit.

Selle tulemusena on meil tavaline osa 17/10 000. See murd on taandamatu ja kümnendmurru teisendamine tavaliseks on lõppenud.

Vastus:

.

Kui algse lõpliku kümnendmurru täisarv on nullist erinev, saab selle kohe teisendada segaarvuks, möödudes tavalisest murdosast. Anname reegel lõpliku kümnendkoha teisendamiseks segaarvuks:

• arv kümnendkohani tuleb kirjutada soovitud segaarvu täisarvuna;
• murdarvu lugejasse peate kirjutama algse kümnendmurru murdosast saadud arvu pärast seda, kui olete kõik nullid vasakult maha lasknud;
• murdosa osa nimetajasse peate kirjutama numbri 1, millele lisate paremale nii palju nulle, kui on koma pärast algset kümnendmurdu;
• vajadusel vähendage saadud segaarvu murdosa.

Vaatame näidet kümnendkoha teisendamiseks segaarvuks.

Näide.

Saada kümnendarv 152.06005 segaarvuna

Ratsionaalse arvu m / n kirjutamiseks kümnendmurruks peate lugeja jagama nimetajaga. Sel juhul kirjutatakse jagatis lõpliku või lõpmatu kümnendmurruga.

Kirjutage antud arv kümnendmurruks.

Lahendus. Jagage veerus iga murru lugeja nimetajaga: a) jagage 6 25 -ga; b) jagage 2 3 -ga; v) jagage 1 2 -ga ja määrake saadud murd ühele - kogu selle segaarvu osa.

Taandamatud harilikud murrud, mille nimetajad ei sisalda muid algtegureid, v.a 2 ja 5 , kirjutatakse viimase kümnendmurruna.

V näide 1 millal a) nimetaja 25 = 5 · 5; millal v) nimetaja on 2, seega saime lõplikud kümnendkohad 0,24 ja 1,5. Millal b) nimetaja on 3, seega ei saa tulemust kirjutada lõpliku kümnendmuruna.

Kas on võimalik ilma veergudeks jagamata muuta kümnendmurruks selline tavaline murd, mille nimetaja ei sisalda muid tegureid kui 2 ja 5? Mõelgem välja! Millist murdosa nimetatakse kümnendkohaks ja see kirjutatakse ilma murruta? Vastus: murd nimetajaga 10; 100; 1000 jne. Ja kõik need numbrid on toode võrdne"kahekesi" ja "viiekesi". Tegelikult: 10 = 2 · 5; 100 = 2 5 2 5; 1000 = 2 5 2 5 2 5 jne.

Järelikult tuleb taandamatu hariliku murdosa nimetaja esitada kahe- ja viiekordse korrutisena ning seejärel korrutada 2 -ga ja (või) 5 -ga, nii et kahe- ja viiesed muutuksid võrdseks. Siis on murdosa nimetaja 10 või 100 või 1000 jne. Et murdosa väärtus ei muutuks, korrutame murru lugeja sama arvuga, millega nimetaja korrutati.

Esitage kümnendkohana järgmised murded:

Lahendus. Kõik need fraktsioonid on taandamatud. Jagame iga murdosa nimetaja algteguriteks.

20 = 2 2 5. Järeldus: üks "viis" on puudu.

8 = 2 2 2. Järeldus: kolm "viit" on puudu.

25 = 55. Järeldus: kaks "kahekesi" on puudu.

Kommenteeri. Praktikas ei kasuta nad sageli nimetaja faktoriseerimist, vaid esitavad endale lihtsalt küsimuse: kui palju tuleks nimetajat korrutada, et tulemuseks oleks nullidega ühik (10 või 100 või 1000 jne). Ja siis lugeja korrutatakse sama numbriga.

Niisiis, juhul a)(näide 2) arvust 20 saate 100 korrutades 5 -ga, seega peate lugeja ja nimetaja korrutama 5 -ga.

Millal b)(näide 2) arvust 8 arv 100 ei tööta, kuid number 1000 korrutatakse 125. Nii murru lugeja (3) kui ka nimetaja (8) korrutatakse 125 -ga.

Millal v)(näide 2) 25 -st saate 100, kui korrutada 4 -ga. See tähendab, et lugeja 8 tuleb korrutada 4 -ga.

Nimetatakse lõpmatut kümnendmurdu, milles ühte või mitut numbrit korratakse alati samas järjestuses perioodiline kümnendmurd. Korduvate numbrite kogumit nimetatakse selle murru perioodiks. Lühiduse huvides registreeritakse murdosa periood üks kord, lisades selle sulgudesse.

Millal b)(näide 1) korduv number on üks ja võrdne 6. Seetõttu kirjutatakse meie tulemus 0,66 ... nii: 0, (6). Loe: null punkti, kuus perioodi.

Kui koma ja esimese perioodi vahel on üks või mitu kordumatut numbrit, siis nimetatakse sellist perioodilist murru perioodiliseks murdosaks.

Taandamatu tavaline murdosa, mille nimetaja on koos teistega kordaja sisaldab tegurit 2 või 5 , muutub segatud perioodiline murdosa.

Kirjutage numbrid kümnendmurruks.