Definitsioon. Mood M 0 diskreetset juhuslikku suurust nimetatakse selle kõige tõenäolisemaks väärtuseks. Pideva juhusliku suuruse puhul on režiim juhusliku suuruse väärtus, mille juures on jaotustihedusel maksimum.

Kui diskreetse juhusliku suuruse jaotuspolügoonil või pideva juhusliku suuruse jaotuskõveral on kaks või enam maksimumi, siis sellist jaotust nimetatakse bimodaalne või multimodaalne.

Kui jaotusel on miinimum, kuid ei ole maksimumi, siis seda kutsutakse antimodaalne.

Definitsioon. Mediaan Juhusliku suuruse X M D nimetatakse selle väärtuseks, mille suhtes on võrdselt tõenäoline juhusliku suuruse suurema või väiksema väärtuse saamine.

Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala poole võrra.

Pange tähele, et kui jaotus on unimodaalne, siis moodus ja mediaan langevad kokku matemaatilise ootusega.

Definitsioon. Lähtepunkt tellida k juhusliku muutuja X matemaatiliseks ootuseks nimetatakse suuruse X k .

Diskreetse juhusliku suuruse korral:.

.

Esimese järgu algmoment on võrdne matemaatilise ootusega.

Definitsioon. Keskpunkt tellida k juhuslikku muutujat X nimetatakse väärtuse matemaatiliseks ootuseks

Diskreetse juhusliku muutuja jaoks: .

Pideva juhusliku muutuja jaoks: .

Esimest järku keskmoment on alati null ja teist järku keskmoment on võrdne dispersiooniga. Kolmanda järku keskmoment iseloomustab jaotuse asümmeetriat.

Definitsioon. Nimetatakse kolmanda järgu keskmomendi ja kolmanda astme standardhälbe suhet asümmeetria koefitsient.

Definitsioon. Jaotuse tippsuse ja tasasuse iseloomustamiseks kasutatakse suurust nn kurtosis.

Lisaks vaadeldavatele kogustele kasutatakse ka nn absoluutmomente:

Absoluutne lähtepunkt:.

Absoluutne keskpunkt: .

Kvantiil mis vastab antud tõenäosuse tasemele R, nimetatakse selliseks väärtuseks, mille juures jaotusfunktsioon omandab väärtuse, mis on võrdne R, st. kus R- etteantud tõenäosustase.

Teisisõnu kvantiil on juhusliku suuruse väärtus, mille juures

Tõenäosus R, protsendina antud, annab vastavale kvantilile nime, näiteks nimetatakse seda 40% kvantiiliks.

20. Sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus ja dispersioon sõltumatutes katsetes.

Definitsioon. Matemaatiline ootus pidevat juhuslikku muutujat X, mille võimalikud väärtused kuuluvad intervalli, nimetatakse kindlaks integraaliks

Kui arvestada juhusliku suuruse võimalikke väärtusi kogu arvteljel, siis leitakse matemaatiline ootus valemiga:

Sel juhul eeldatakse muidugi, et vale integraal koondub.

Matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on selle võimalike väärtuste korrutised vastavate tõenäosustega:

M(NS) =NS 1 R 1 +NS 2 R 2 + … +NS NS R NS . (7.1)

Kui juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv on lõpmatu, siis
kui saadud jada läheneb absoluutselt.

Märkus 1. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmine, kuna see on ligikaudu võrdne suure hulga katsete juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega.

Märkus 2. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim.

Märkus 3. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on pole juhus(pidev. Järgnevalt näeme, et sama kehtib ka pidevate juhuslike muutujate kohta.

Matemaatilise ootuse omadused.

Konstandi matemaatiline ootus on võrdne kõige konstantsemaga:

M(KOOS) =KOOS.(7.2)

Tõestus. Arvestades KOOS diskreetse juhusliku muutujana, millel on ainult üks väärtus KOOS tõenäosusega R= 1, siis M(KOOS) =KOOS 1 = KOOS.

Konstantse teguri võib matemaatilise ootuse märgist välja võtta:

M(SH) =CM(NS). (7.3)

Tõestus. Kui juhuslik suurus NS antud jaotusseeriaga

seejärel jaotusseeria jaoks SH paistab nagu:

Siis M(SH) =Cx 1 R 1 +Cx 2 R 2 + … +Cx NS R NS =KOOS(NS 1 R 1 +NS 2 R 2 + … +NS NS R NS) =CM(NS).

Matemaatiline ootus pidevat juhuslikku muutujat nimetatakse

(7.13)

Märkus 1. Pideva juhusliku suuruse dispersiooni üldine definitsioon on sama, mis diskreetse (def. 7.5) ja selle arvutamise valem on järgmine:

(7.14)

Standardhälve arvutatakse valemiga (7.12).

Märkus 2. Kui pideva juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused ei ületa intervalli [ a, b], siis arvutatakse nendes piirides integraalid valemites (7.13) ja (7.14).

Teoreem. Sündmuse esinemiste arvu dispersioon sõltumatutes katsetes on võrdne katsete arvu korrutisega sündmuse toimumise ja mittetoimumise tõenäosusega ühes katses:.

Tõestus. Laskma olema sündmuse esinemiste arv sõltumatutes katsetes. See on võrdne sündmuse esinemiste summaga igas katses:. Kuna testid on sõltumatud, siis juhuslikud muutujad - on seega sõltumatud.

Nagu ülal näidatud, ja.

Siis samal ajal .

Sel juhul, nagu varem mainitud, standardhälve.

58. Asümmeetria ja kurtoosi koefitsiendid.

Jaotuse kesksed hetked

Variatsiooni olemuse edasiseks uurimiseks kasutatakse atribuudi individuaalsete väärtuste erinevate kõrvalekallete keskmisi väärtusi selle aritmeetilisest keskmisest. Neid näitajaid nimetatakse fookuspunktid hälbete suurendamise astmele vastavad järjestuse jaotused või lihtsalt hetked.

Jaotusvormi näitajad

Jaotuse asümmeetria

Pearsoni eksponent sõltub asümmeetria astmest jaotusrea keskosas ja asümmeetria indeks, mis põhineb kolmandat järku momendil, tunnuse äärmuslikest väärtustest.

Asümmeetria olulisuse hindamine

Asümmeetria olulisuse hindamiseks arvutatakse asümmeetriakordaja keskmine ruutviga

Kui suhtumine mille väärtus on suurem kui 2, siis näitab see asümmeetria olulist olemust

Jaotuskurtoos

Kurtoosi indikaator
kujutab empiirilise jaotuse tipu kõrvalekallet üles või alla ("jahedus") normaaljaotuse kõvera tipust, AGA! Jaotusgraafik võib tunduda meelevaldselt järsk, sõltuvalt tunnuse variatsiooni tugevusest: mida nõrgem on variatsioon, seda järsem on jaotuskõver antud skaalal. Rääkimata tõsiasjast, et abstsisstelgede ja ordinaattelgede skaalasid muutes saab igasuguse jaotuse kunstlikult “järsuks” ja “tasaseks” muuta. Et näidata, millest jaotuse kurtoos koosneb, ja selle õigesti tõlgendamiseks on vaja võrrelda sama variatsioonitugevusega (sama σ väärtus) ja erinevate kurtoosiindeksitega seeriaid. Et mitte segi ajada kurtoosi asümmeetriaga, peavad kõik võrreldavad read olema sümmeetrilised. See võrdlus on näidatud joonisel fig.

Kuna normaaljaotuse kurtoos on 3, arvutatakse kurtoosiindeks valemiga

Kurtoosi olulisuse hindamine

Kurtoosi olulisuse hindamiseks arvutatakse selle ruutkeskmise vea näitaja

Kui suhtumine mille väärtus on suurem kui 3, siis näitab see ületamise olulist olemust

Asümmeetria koefitsient näitab jaotusrea "viltust" keskpunkti suhtes:

kus on kolmanda järku keskmoment;

- standardhälbe kuup.

Selle arvutusmeetodi puhul: kui jaotus on parempoolne (positiivne asümmeetria), kui jaotus on vasakpoolne (negatiivne asümmeetria)

Lisaks keskmomendile saab asümmeetriat arvutada režiimi või mediaani abil:

või (6,69)

Selle arvutusmeetodi puhul: kui jaotuses on parempoolne (positiivne asümmeetria), kui jaotuses on vasakpoolne (negatiivne asümmeetria) (joonis 4).

Riis. 4. Asümmeetrilised jaotused

Väärtust, mis näitab jaotuse "järsust" nimetatakse kurtosis:

Kui jaotuses on tipptase - kurtoos on positiivne, kui jaotuses on lamedus - kurtoos on negatiivne (joon. 5).

Riis. 5. Liigne levitamine

Näide 5. Lammaste arvukuse kohta rajooni taludes on andmed (tabel 9).

1. Keskmine lammaste arv leibkonna kohta.

3. Mediaan.

4. Variatsiooninäitajad

dispersioon;

· standardhälve;

· variatsioonikordaja.

5. Asümmeetria ja kurtoosi näitajad.

Lahendus.

1. Kuna agregaadi optsioonide väärtust korratakse mitu korda, keskmise väärtuse arvutamiseks teatud sagedusega, kasutame kaalutud aritmeetilise keskmise valemit:

2. See rida on diskreetne, nii et režiim on kõrgeima sagedusega valik -.

3. See jada on paaris, sel juhul leitakse diskreetse jada mediaan valemiga:

See tähendab, et pooltes uuritud populatsiooni leibkondades on lammaste arv kuni 4,75 tuhat pead. ja poole rohkem kui see number.

4. Variatsiooninäitajate arvutamiseks koostame tabeli 10, milles arvutame hälbed, nende hälvete ruudud, arvutus võib toimuda nii liht- kui ka kaalutud arvutusvalemite abil (näites kasutame lihtsat üks):

Tabel 10

Arvutame dispersiooni:

Arvutame standardhälbe:

Arvutame variatsioonikoefitsiendi:

5. Asümmeetria ja kurtoosi näitajate arvutamiseks koostame tabeli 11, milles arvutame,,

Tabel 11

Jaotuse asümmeetria on võrdne:

See tähendab, et täheldatakse vasakpoolset asümmeetriat, kuna seda kinnitab arvutus vastavalt valemile:

Sel juhul, mis selle valemi puhul näitab ka vasakpoolset asümmeetriat

Jaotuse kurtoos on võrdne:

Meie puhul on kurtoos negatiivne, see tähendab, et täheldatakse tasasust.

Näide 6... Farmi kohta on toodud andmed töötajate palkade kohta (tab. 12)

Lahendus.

Intervalli variatsiooniseeria jaoks arvutatakse režiim järgmise valemiga:

kus modaalne intervall - kõrgeima sagedusega intervall, meie puhul 3600-3800, sagedusega

Modaalintervalli minimaalne piir (3600);

Modaalintervalli väärtus (200);

modaalintervallile eelneva intervalli sagedus (25);

järgmise modaalintervalli sagedus (29);

Modaalse intervalli sagedus (68).

Tabel 12

Intervalli variatsioonirea puhul arvutatakse mediaan järgmise valemiga:

kus keskmine intervall see on intervall, mille kumulatiivne (akumuleeritud) sagedus on võrdne või suurem kui pool sageduste summast, meie näites on see 3600-3800.

Mediaanintervalli minimaalne piir (3600);

Mediaanintervalli väärtus (200);

jada sageduste summa (154);

Kogunenud sageduste summa, kõik mediaanile eelnevad intervallid (57);

Kas mediaanintervalli sagedus (68).

Näide 7.Ühe piirkonna kolme farmi kohta on teave tootmise kapitalimahukuse kohta (põhivara kulude arv valmistatud toodete 1 rubla kohta): I - 1,29 rubla, II - 1,32 rubla, III - 1,27 rubla. On vaja arvutada keskmine kapitalimahukus.

Lahendus... Kuna kapitali intensiivsus on kapitali käibe pöördnäitaja, kasutame lihtsat harmoonilise keskmise valemit.

Näide 8.Ühe piirkonna kolme talu kohta on andmed teravilja kogusaagi ja keskmise saagikuse kohta (tabel 13).

Lahendus... Keskmise saagikuse arvutamine aritmeetilise keskmise järgi on võimatu, kuna puudub informatsioon külvipindade arvu kohta, mistõttu kasutame harmoonilise kaalutud keskmise valemit:

Näide 9. Andmed on üksikute põllulappide kartuli keskmise saagi ja küngaste arvu kohta (tabel 14)

Tabel 14

Rühmitame andmed (tabel 15):

Tabel 15

Kruntide rühmitamine vastavalt "umbrohutõrje arvule"

1. Arvutame valimi summaarse dispersiooni (tabel 16).

2.6 Asümmeetria ja kurtoos

Matemaatilises statistikas kasutatakse juhusliku suuruse tõenäosustiheduse geomeetrilise kuju väljaselgitamiseks kahte kolmanda ja neljanda järgu keskmomentidega seotud arvtunnust.

Definitsioon 2.22 Valimi kaldsuse koefitsientx 1 , x 2 , …, x n on arv, mis võrdub kolmanda järgu keskse diskreetimismomendi ja standardhälbe kuubi suhtega S:

Alates ja , siis asümmeetriakordaja väljendatakse keskmomentide kaudu järgmise valemiga:

See annab valemi, mis väljendab asümmeetriakordajat algmomentide kaudu:

mis hõlbustab praktilisi arvutusi.

Vastav teoreetiline karakteristik tutvustatakse teoreetiliste punktide abil.

Definitsioon 2.23 Juhusliku suuruse asümmeetriakordajaXhelistas numbrilevõrdne kolmanda järku keskmomendi suhtegastandardhälbe kuubi juurde:

Kui juhuslikul suurusel X on matemaatilise ootuse μ suhtes sümmeetriline jaotus, siis on selle teoreetiline kaldsuse koefitsient 0, kui tõenäosusjaotus on asümmeetriline, siis on kaldsuse koefitsient nullist erinev. Kalduskoefitsiendi positiivne väärtus näitab, et suurem osa juhusliku suuruse väärtustest asub matemaatilisest ootusest paremal, see tähendab, et tõenäosustiheduse kõvera parempoolne haru on piklikum kui vasak. Kalduskoefitsiendi negatiivne väärtus näitab, et kõvera pikem osa asub vasakul. Seda väidet illustreerib järgmine joonis.

Joonis 2.1 – Positiivne ja negatiivne asümmeetria

distributsioonid

Näide 2.29 Leiame asümmeetria näidiskoefitsiendi vastavalt stressiolukordade uuringule näitest 2.28.

Kasutades eelnevalt arvutatud kesksete proovivõtumomentide väärtusi, saame

.

Ümardatud = 0,07. Kalduskoefitsiendi leitud nullist erinev väärtus näitab jaotuse kaldsust keskmise suhtes. Positiivne väärtus näitab, et tõenäosustiheduse kõvera pikem haru on paremal.

Juhusliku suuruse väärtuste jaotuse tunnuseid selle modaalväärtuse X režiimide ümber iseloomustab järgmine konstant.

Definitsioon 2.24 Kurtoosi proovide võtminex 1 , x 2 , …, x nhelistas numbrile , võrdne

,

kus- neljanda järgu selektiivne keskmoment,

S 4 - standardi neljas astekõrvalekaldedS.

Kurtoosi teoreetiline kontseptsioon on analoogne selektiivse kurtoosiga.

Definitsioon 2.25 Juhusliku muutuja kurtoosi järgiXhelistas numbrile e, võrdne

,

kus– neljanda järgu teoreetiline keskpunkt,

–standardhälbe neljas aste.

Kurtoosi tähendus e iseloomustab jaotustiheduse kõvera tipu suhtelist järsust maksimumpunkti ümber. Kui kurtosis on positiivne arv, siis on vastav jaotuskõver teravama tipuga. Negatiivse kurtoosiga jaotus on siledama ja lamedama ülaosaga. Järgmine joonis illustreerib võimalikke juhtumeid.

Joonis 2.2 - Kurtoosi positiivsete, null- ja negatiivsete väärtustega jaotused

Asümmeetria arvutatakse SKOS funktsiooni abil. Selle argumendiks on andmetega lahtrite vahemik, näiteks = RMS (A1: A100), kui andmed sisalduvad lahtrite vahemikus A1 kuni A100.

Kurtoosi arvutab funktsioon EXCESS, mille argumendiks on arvandmed, mis on reeglina määratud lahtrite intervalli kujul, näiteks: = EXCESS (A1: A100).

§2.3. Analüüsi tööriist Kirjeldav statistika

V Excel analüüsivahendi abil on võimalik arvutada kõik proovi punktkarakteristikud korraga Kirjeldav statistika mis sisaldub Analüüsi pakett.

Kirjeldav statistika loob andmestiku põhistatistika tabeli. See tabel sisaldab järgmisi omadusi: keskmine, standardviga, dispersioon, standardhälve, mood, mediaan, intervalli variatsiooni vahemik, maksimaalsed ja minimaalsed väärtused, kalduvus, kurtoos, populatsiooni suurus, kõigi populatsiooni elementide summa, usaldusvahemik (usaldusväärsuse tase) ). Tööriist Kirjeldav statistika lihtsustab oluliselt statistilist analüüsi, kuna kaob vajadus kutsuda iga funktsiooni statistiliste omaduste arvutamiseks eraldi.

Selleks, et helistada Kirjeldav statistika, järgmine:

1) menüüs Teenindus vali meeskond Andmete analüüs;

2) nimekirjas Analüüsi tööriistad Dialoogikast Andmete analüüs vali tööriist Kirjeldav statistika ja vajutage OKEI.

Aknas Kirjeldav statistika vajalik:

· grupis Sisendandmed põllul Sisestusintervall määrake andmeid sisaldavate lahtrite vahemik;

Kui sisestusvahemiku esimene rida sisaldab veeru pealkirja, siis sisse väljale Sildid esimesel real märkige ruut;

· grupis Väljundi valikud aktiveerige lüliti (märkige ruut) Kokkuvõtlik statistika kui vajate omaduste täielikku loendit;

Aktiveerige lüliti Usaldusväärsuse tase ja näidata usaldusväärsust protsentides, kui on vaja arvutada usaldusvahemik (vaikimisi on usaldusväärsus 95%). Vajutage OKEI.

Selle tulemusel kuvatakse ülaltoodud statistiliste omaduste arvutatud väärtustega tabel. Käivitage käsk kohe, ilma selle tabeli valikut tühjendamata Vorming® Veerg® Automaatne sobituslaius.

Dialoogiboksi vaade Kirjeldav statistika:

Praktilised ülesanded

2.1. Põhiliste punktide statistika arvutamine standardfunktsioonide abil Excel

Sama voltmeeter mõõtis vooluringi pinget 25 korda. Katsete tulemusena saadi järgmised pinge väärtused voltides:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Leidke keskmine, valimi ja korrigeeritud dispersioon, standardhälve, vahemik, moodus, mediaan. Kontrollige kõrvalekallet normaaljaotusest, arvutades kaldsuse ja kurtoosi.

Selle ülesande täitmiseks täitke järgmised sammud.

1. Sisestage oma katse tulemused veergu A.

2. Lahtrisse B1 sisestage "Keskmine", lahtrisse B2 - "Valitud dispersioon", lahtrisse B3 - "Standardhälve", lahtrisse B4 - "Parandatud dispersioon", lahtrisse B5 - "Korrigeeritud standardhälve", lahtrisse B6 - "Maksimaalne". , B7-s - "Minimaalne", B8-s - "Variatsioonivahemik", B9-s - "Režiim", B10-s - "Mediaan", B11-s - "Asümmeetria", B12-s - "Liigne".

3. Joondage selle veeru laius Automaatne sobitamine laius.

4. Valige lahter C1 ja klõpsake valemiribal märgiga "=" nuppu. Kasutades Funktsioonide viisardid kategoorias Statistiline leidke funktsioon AVERAGE, seejärel tõstke esile andmelahtrite vahemik ja vajutage OKEI.

5. Valige lahter C2 ja klõpsake valemiribal märgil =. Kasutades Funktsioonide viisardid kategoorias Statistiline leidke funktsioon VARP, seejärel tõstke esile andmelahtrite vahemik ja vajutage OKEI.

6. Ülejäänud karakteristikute arvutamiseks tehke enda jaoks sama.

7. Lahtri C8 variatsioonivahemiku arvutamiseks sisestage valem: = C6-C7.

8. Lisage oma tabeli ette üks rida, kuhu tippige vastavate veergude pealkirjad: "Tulemuste nimetus" ja "Arvväärtused".