Вторият знак за равенство на триъгълниците

Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

MN = PR N = R M = P

Както при доказателството на първия критерий, трябва да се уверите дали това е достатъчно за равенството на триъгълниците, могат ли те да бъдат напълно съвместими?

1. Тъй като MN = PR, тези сегменти се подравняват, ако крайните им точки са подравнени.

2. Тъй като N = R и M = P, лъчите \ (MK \) и \ (NK \) ще бъдат наслагвани съответно върху лъчите \ (PT \) и \ (RT \).

3. Ако лъчите съвпадат, тогава техните точки на пресичане \ (K \) и \ (T \) съвпадат.

4. Всички върхове на триъгълниците са подравнени, тоест Δ MNK и Δ PRT са напълно подравнени, което означава, че са равни.

Третият знак за равенство на триъгълниците

Ако три страни на един триъгълник съответно са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

MN = PR KN = TR MK = PT

Отново ще се опитаме да комбинираме триъгълниците Δ MNK и Δ PRT чрез суперпозиция и да се уверим, че съответно равни страни гарантират равенството на съответните ъгли на тези триъгълници и те напълно ще съвпадат.

Нека комбинираме например еднакви сегменти \ (MK \) и \ (PT \). Да приемем, че точките \ (N \) и \ (R \) не съвпадат.

Нека \ (O \) е средната точка на сегмента \ (NR \). Според тази информация MN = PR, KN = TR. Триъгълниците \ (MNR \) и \ (KNR \) са равнобедрени с обща основа \ (NR \).

Следователно техните медиани \ (MO \) и \ (KO \) са височини, което означава, че са перпендикулярни на \ (NR \). Правите \ (MO \) и \ (KO \) не съвпадат, тъй като точките \ (M \), \ (K \), \ (O \) не лежат на една права линия. Но през точката \ (O \) на правата линия \ (NR \) можете да начертаете само една права линия, перпендикулярна на нея. Стигнахме до противоречие.

Доказано е, че върховете \ (N \) и \ (R \) трябва да съвпадат.

Третият знак ни позволява да наречем триъгълник много силна, стабилна фигура, понякога казват това триъгълник - твърда фигура ... Ако дължините на страните не се променят, тогава и ъглите не се променят. Например, четириъгълник няма такова свойство. Следователно различни опори и укрепления са направени триъгълни.

Но един вид стабилност, стабилност и съвършенство на броя \ (3 \) хора се оценяват и отделят от дълго време.

Приказките говорят за това.

Там срещаме Три мечки, три ветра, три прасенца, трима другари, трима братя, трима късметлии, трима занаятчии, трима царевича, трима приятели, трима героя "и др.

Дават се „три опита“, „три съвета“, „три инструкции“, „три срещи“, „три желания“ са изпълнени, трябва да издържите „три дни“, „три нощи“, „три години“, отидете през „три държави“, „Три царства на подземния свят“, издържат „трите изпитания“, преплуват „трите морета“.

Казват, че два триъгълника са равни, ако могат да се припокриват. Фигура 1 показва равни триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1. Всеки от тези триъгълници може да се наслагва върху другия, така че да са напълно подравнени, тоест върховете и страните им ще бъдат съчетани по двойки. Ясно е, че ъглите на тези триъгълници ще бъдат съчетани по двойки.

По този начин, ако два триъгълника са равни, тогава елементите (т.е. страните и ъглите) на един триъгълник са съответно равни на елементите на другия триъгълник. Отбележи, че в равни триъгълници срещу съответно равни страни(т.е. припокриване) имат равни ъгли,и обратно: равни страни лежат срещу съответно равни ъгли.

Така, например, в равни триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, показани на фигура 1, срещу съответно равни страни AB и A 1 B 1 има равни ъгли C и C 1. Равенството на триъгълниците ABC и А 1 В 1 С 1 ще се обозначи, както следва: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1. Оказва се, че равенството на два триъгълника може да бъде установено чрез сравняване на някои от техните елементи.

Теорема 1. Първият знак за равенство на триъгълниците.Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на двете страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (фиг. 2).

Доказателство. Да разгледаме триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, за които AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (виж фиг. 2). Нека докажем, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1.

Тъй като ∠ A = ∠ A 1, тогава триъгълникът ABC може да се наслагва върху триъгълника A 1 B 1 C 1, така че върхът A да е подравнен с върха A1, а страните AB и AC са насложени съответно върху лъчите A 1 B 1 и A 1 C 1. Тъй като AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, тогава страната AB ще бъде подравнена със страната A 1 B 1 и страната AC - със страната A 1 C 1; по -специално точки B и B 1, C и C 1 ще бъдат комбинирани. Следователно страните BC и B 1 C 1 ще бъдат комбинирани. И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, което означава, че са равни.

Теорема 2 се доказва по подобен начин чрез метода на суперпозицията.

Теорема 2. Вторият знак за равенство на триъгълниците.Ако една страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни (фиг. 34).

Коментирайте. Теорема 2 се използва за установяване на теорема 3.

Теорема 3. Сумата от всеки два вътрешни ъгъла на триъгълник е по -малка от 180 °.

Теорема 4 следва от последната теорема.

Теорема 4. Външен ъгълтриъгълник, по -голям от всеки вътрешен ъгълне в непосредствена близост до него.

Теорема 5. Третият знак за равенство на триъгълниците.Ако три страни на един триъгълник съответно са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни ().

Пример 1.В триъгълници ABC и DEF (фиг. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 см. Сравнете триъгълниците ABC и DEF. Какъв е ъгълът в триъгълника DEF равен на ъгъла V?

Решение. Тези триъгълници са равни в първия атрибут. Ъгълът F на триъгълника DEF е равен на ъгъла B на триъгълника ABC, тъй като тези ъгли лежат срещу съответните равни страни DE и AC.

Пример 2.Сегменти AB и CD (фиг. 5) се пресичат в точка O, която е средата на всеки от тях. Какво е крак BD, ако крак AC е 6 m?

Решение. Триъгълниците AOC и BOD са равни (според първия критерий): ∠ AOC = ∠ BOD (вертикално), AO = OB, CO = OD (по условие).
Равенството на тези триъгълници предполага равенството на техните страни, тоест AC = BD. Но тъй като според условието AC = 6 m, тогава BD = 6 m.

Има три знака за равенство за два триъгълника. В тази статия ще ги разгледаме под формата на теореми, както и ще предоставим техните доказателства. За да направите това, не забравяйте, че цифрите ще бъдат равни в случай, когато са напълно наслагвани една върху друга.

Първият знак

Теорема 1

Два триъгълника ще бъдат равни, ако двете страни и ъгълът между тях на един от триъгълниците са равни на две страни, а ъгълът, лежащ между тях в другата.

Доказателство.

Да разгледаме два триъгълника $ ABC $ и $ A "B" C "$, в които $ AB = A" B "$, $ AC = A" C "$ и $ ∠A = ∠A" $ (фиг. 1).

Нека съпоставим височините на $ A $ и $ A "$ на тези триъгълници. Тъй като ъглите при тези върхове са равни помежду си, страните $ AB $ и $ AC $ ще се припокриват съответно на лъчите $ A" B "$ и $ A" C "$. Тъй като тези страни са двойки равни, страните $ AB $ и $ AC $ съответно съвпадат със страните $ A" B "$ и $ A" C "$ и следователно върховете $ B $ и $ B "$, $ C $ и $ C" $ ще съвпадат.

Следователно, страна BC ще съвпада напълно със страна $ B "C" $. Това означава, че триъгълниците напълно ще се припокриват, което означава тяхното равенство.

Теоремата е доказана.

Втори знак

Теорема 2

Два триъгълника ще бъдат равни, ако два ъгъла и общата им страна на един от триъгълниците са равни на два ъгъла, а общата им страна в другия.

Доказателство.

Да разгледаме два триъгълника $ ABC $ и $ A "B" C "$, в които $ AC = A" C "$ и $ ∠A = ∠A" $, $ ∠C = ∠C "$ (фиг. 2).

Нека комбинираме страните $ AC $ и $ A "C" $ на тези триъгълници, така че височините на $ B $ и $ B "$ да лежат от едната му страна. Тъй като ъглите по тези страни са по двойки равни на една на друга, страните $ AB $ и $ BC $ ще се наслагват съответно върху лъчите $ A "B" $ и $ B "C" $. Следователно както точката $ B $, така и точката $ B "$ ще бъдат пресечните точки на подравнените лъчи (тоест например лъчите $ AB $ и $ BC $). Тъй като лъчите могат да имат само една точка на пресичане, точката $ B $ ще съвпада с точката $ B "$. Това означава, че триъгълниците ще се припокриват напълно, което означава, че те са равни.

Теоремата е доказана.

Трети знак

Теорема 3

Два триъгълника са равни, ако три страни на един от триъгълниците са равни на три страни в другия.

Доказателство.

Да разгледаме два триъгълника $ ABC $ и $ A "B" C "$, в които $ AC = A" C "$, $ AB = A" B "$ и $ BC = B" C "$ (фиг. 3).

Доказателство.

Нека комбинираме страните $ AC $ и $ A "C" $ на тези триъгълници, така че височините на $ B $ и $ B "$ да лежат на противоположните му страни. След това ще разгледаме три различни случая на полученото подреждане на тези върхове. в снимките.

Първи случай:

Тъй като $ AB = A "B" $, равенството $ ∠ABB "= ∠AB" B $ ще бъде вярно. По същия начин $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Тогава като сума получаваме $ ∠B = ∠B "$

Втори случай:

Тъй като $ AB = A "B" $, равенството $ ∠ABB "= ∠AB" B $ ще бъде вярно. По същия начин $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Тогава, за разлика, получаваме $ ∠B = ∠B "$

Следователно по теорема 1 тези триъгълници са равни.

Трети случай:

Тъй като $ BC = B "C" $, тогава равенството $ ∠ABC = ∠AB "C $

Следователно по теорема 1 тези триъгълници са равни.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи

Пример 1

Докажете равенството на триъгълниците на снимката по -долу

Третият критерий за равенство на триъгълниците от три страни е формулиран като теорема.

Теорема : Ако три страни на един триъгълник съответно са равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Доказателство.помислете за ΔABC и ΔA 1 B 1 C 1, в които AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Нека докажем, че ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Нека ABC и A 1 B 1 C 1 са триъгълници с AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Нека наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1, така че върхът A да съвпада с A 1, а върховете B и B 1 и върховете C и C 1 са на противоположните страни на правата A 1 B 1. Възможни са три случая: 1) лъч С 1 С преминава вътре в ъгъла А 1 С 1 В 1 (фиг. А)); 2) лъч С 1 С съвпада с една от страните на този ъгъл (фиг. В)); лъч С 1 С преминава извън ъгъла А 1 С 1 В 1 (фиг. в)). Нека разгледаме първия случай. Тъй като по условие на теоремата страните AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 са равни, триъгълниците A 1 C 1 C и B 1 C 1 C са равнобедрени. По теоремата за свойството на ъглите равнобедрен триъгълник Ll = l2, l3 = l4, следователно lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1. И така, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = lC 1. Следователно триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни по първия знак за равенство на триъгълниците.

Писане на дъската:

Дадено:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1

Докажи:ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Доказателство.Налагаме ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1, така че A → A 1, и B → B 1, и C и C 1 са на противоположните страни на правите A 1 B 1. Нека разгледаме един случай. лъч С 1 С преминава вътре в РА 1 С 1 В 1 (фиг. а)).

АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - е равно. L> ll = l2, l3 = l4 (според ъглите на sv-wu, равни на Δ), l> lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1 ═> AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = РС 1 ═>

ΔABC = ΔА 1 В 1 С 1 според първия знак за равенство на триъгълниците.

2. Ромб. Определение, свойства, знаци.

Ромбът е вид четириъгълник.

Определение: Ромб се нарича паралелограм, в който всички страни са равни.

Фигурата показва паралелограм ABCD с AB = BC = CD = DA. По дефиниция този паралелограм е ромб. AC и BD са диагоналите на ромба. Тъй като ромбът е паралелограм, всички свойства и атрибути на паралелограма са валидни за него.

Имоти:

1) В ромб противоположните ъгли са равни (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) Диагоналите на ромба са наполовина от точката на пресичане. (BО = ОD, AО = ОС)

3) Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни, а ъглите му са наполовина. (AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO) ( специална собственост)

4) Сумата от ъглите, съседни на едната страна, е 180 0 (РА + РВ = РС + РD = РВ + РC = РА + РD = 180 0)

знаци ромб:

1) Ако диагоналите на паралелограма са взаимно перпендикулярни, тогава този паралелограм е ромб

2) Ако диагоналът на паралелограма раздели ъглите му наполовина, тогава този паралелограм е ромб.

3) ако всички страни на паралелограма са равни, то това е ромб.

Писане на дъската.

Имоти:

1) РA = РC, РB = РD 2) ВО = ОД, АО = ОС

3) AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO

4) РА + РВ = РС + РД = РВ + РС = РА + РД = 180 0

Обратните твърдения са знаци ромб:

1 ) Ако ABСD - успореден -m, и AS DB, тогава - ABСD - ромб.

2) Ако ABСD е успоредно -m, а AC и DB са бисектриси, тогава - ABСD е ромб.

3) Ако ABСD е успореден и АС = DB и BC = AD, тогава - ABСD е ромб.

Задача.