Урок номер 4

Тема: „Описателна статистика. Индикатори за разнообразието на чертата в съвкупност "

Основните критерии за разнообразие на даден признак в статистическата популация са: граница, амплитуда, средна стойност стандартно отклонение, коефициент на трептене и коефициент на вариация. В предишния урок беше обсъдено, че средните стойности дават само обобщаваща характеристика на изследваната черта в съвкупност и не отчитат стойностите на отделните му варианти: минималните и максималните стойности, над средните, под средното и т.н.

Пример. Средни стойности на две различни числови поредици: -100; -двадесет; 100; 20 и 0,1; -0,2; 0,1 са абсолютно еднакви и равниО.Въпреки това, диапазоните на разсейване на тези последователности на относителната средна стойност са много различни.

Определянето на изброените критерии за разнообразие на даден признак се извършва преди всичко, като се вземе предвид неговата стойност за отделни елементи от статистическата съвкупност.

Индикаторите за измерване на вариацията на даден признак са абсолютени роднина... Абсолютните показатели за вариация включват: диапазон на вариация, граница, стандартно отклонение, дисперсия. Коефициентът на вариация и коефициентът на трептене се отнасят до относителните мерки за вариация.

Лимит (lim) -това е критерий, който се определя от екстремните стойности на варианта във вариационния ред. С други думи, този критерий е ограничен до минималните и максималните стойности на характеристиката:

амплитуда (Am)или диапазон от вариации -това е разликата между екстремните варианти. Изчисляването на този критерий се извършва чрез изваждане на неговата минимална стойност от максималната стойност на характеристиката, което ни позволява да оценим степента на вариация на опцията:

Недостатъкът на границата и амплитудата като критерий за вариабилност е, че те напълно зависят от екстремните стойности на чертата във вариационния ред. В този случай колебанията в стойностите на характеристиката в рамките на серията не се вземат предвид.

Най-пълната характеристика на разнообразието на даден признак в статистическата популация е дадена от стандартно отклонение(сигма), което е обща мярка за отклонението на вариант от неговата средна стойност. Стандартното отклонение често се нарича стандартно отклонение.

Стандартното отклонение се основава на сравнението на всяка опция със средноаритметичната стойност на дадена популация. Тъй като в съвкупността винаги ще има опции както по-малко, така и повече от него, сумата от отклоненията, които имат знак "", ще се изплати от сумата от отклоненията, които имат знак "", т.е. сумата от всички отклонения е нула. За да се избегне влиянието на знаците на разликите, се вземат отклонения от средноаритметичната квадратура, т.е. ... Сумата от квадратите на отклоненията не е нула. За да получите коефициент, който може да измерва променливостта, вземете средната стойност на сбора от квадрати - тази стойност се нарича дисперсия:

От гледна точка на значението, дисперсията е средният квадрат на отклоненията на отделните стойности на даден признак от неговата средна стойност. Дисперсия – квадратът на стандартното отклонение.

Дисперсията е измерение (именувано). Така че, ако вариантите на числови серии са изразени в метри, тогава дисперсията дава квадратни метри; ако опциите са изразени в килограми, тогава дисперсията дава квадрата на тази мярка (kg 2) и т.н.

Стандартно отклонение- корен квадратен от дисперсия:

, след това при изчисляване на дисперсията и стандартното отклонение в знаменателя на дроба вместое необходимо да се постави.

Изчисляването на стандартното отклонение може да бъде разделено на шест етапа, които трябва да се извършват в определена последователност:

Прилагане на стандартното отклонение:

а) да се прецени променливостта на поредицата от вариации и сравнителна оценка на типичността (представителността) на средноаритметичните стойности. Това е необходимо при диференциална диагностика при определяне на стабилността на характеристиките.

б) да се реконструира вариационният ред, т.е. възстановяване на неговата честотна характеристика въз основа на три сигма правила. В интервала (M ± 3σ) 99,7% от всички варианти на поредицата се намират в интервала (M ± 2σ) - 95,5% и в интервала (M ± 1σ) - 68,3% редов вариант(Фиг. 1).

в) за идентифициране на опцията "pop-up".

г) да се определят параметрите на нормата и патологията с помощта на сигма оценки

д) за изчисляване на коефициента на вариация

е) за изчисляване на средната грешка на средноаритметичната стойност.

За характеризиране на всяка обща популация, която иманормален тип разпределение , достатъчно е да знаете два параметъра: средноаритметичната стойност и стандартното отклонение.

Фигура 1. Правилото на трите сигма

Пример.

В педиатрията стандартното отклонение се използва за оценка на физическото развитие на децата чрез сравняване на данните на конкретно дете със съответните стандартни показатели. Като стандарт се приемат средноаритметичните показатели за физическото развитие на здрави деца. Сравнението на показателите със стандартите се извършва по специални таблици, в които стандартите са дадени заедно със съответните им сигма скали. Счита се, че ако показателят за физическото развитие на детето е в рамките на стандарта (средноаритметично) ± σ, тогава физическо развитиедетето (според този показател) отговаря на нормата. Ако индикаторът е в рамките на стандарта ± 2σ, тогава има леко отклонение от нормата. Ако индикаторът надхвърли тези граници, тогава физическото развитие на детето се различава рязко от нормата (възможна е патология).

Освен показателите за вариация, изразени в абсолютни стойности, статистическото изследване използва показатели за вариация, изразени в относителни стойности. Коефициент на трептене -това е съотношението на диапазона на вариация към средната стойност на чертата. Коефициентът на вариация -е съотношението на стандартното отклонение към средно аритметичнознак. Обикновено тези стойности се изразяват като процент.

Формули за изчисляване на относителните индекси на вариация:

От горните формули се вижда, че колкото по-голям е коефициентът V близо до нула, толкова по-малко е вариацията в стойностите на характеристиката. Колкото повече V, толкова по-променлив е знакът.

В статистическата практика най-често се използва коефициентът на вариация. Използва се не само за сравнителна оценка на вариациите, но и за характеризиране на хомогенността на популацията. Популацията се счита за хомогенна, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% (за разпределения, близки до нормалното). Аритметично, съотношението на σ и средноаритметичното елиминира влиянието абсолютна стойностот тези характеристики, а процентът прави коефициента на вариация безразмерна (неназована) стойност.

Получената стойност на коефициента на вариация се оценява в съответствие с приблизителните градации на степента на разнообразие на признака:

Слаба - до 10%

Средно - 10 - 20%

Силен - повече от 20%

Използването на коефициента на вариация е препоръчително в случаите, когато е необходимо да се сравнят характеристики, които са различни по размер и размери.

Разликата между коефициента на вариация и други критерии за разсейване ясно показва пример.

маса 1

Съставът на работниците в промишлено предприятие

Въз основа на дадените в примера статистически характеристики може да се заключи, че възрастовият състав и образователното ниво на служителите на предприятието са относително хомогенни с ниска професионална стабилност на изследвания контингент. Лесно е да се види, че опитът да се преценят тези социални тенденции чрез стандартното отклонение би довел до погрешно заключение, а опитът да се сравнят пълномощията „трудов стаж“ и „възраст“ с идентификационните данни „образование“ обикновено би бил неправилен поради на хетерогенността на тези характеристики.

Медиана и процентили

За ординални (ранг) разпределения, където критерият за средата на поредицата е медианата, стандартното отклонение и дисперсията не могат да служат като характеристики на варианта на разсейване.

Същото важи и за сериите с отворени вариации. Това обстоятелство се дължи на факта, че отклоненията, по които се изчисляват дисперсията и σ, се отчитат от средноаритметичната стойност, която не се изчислява в отворени вариационни серии и в поредицата от разпределения на качествените признаци. Следователно, за кратко описание на разпределенията, се използва друг параметър на разсейване - квантил(синоним - "нерцентил"), подходящ за описание на качествени и количествени характеристики във всяка форма на тяхното разпространение. Този параметър може да се използва и за преобразуване на количествени характеристики в качествени. В този случай такива оценки се задават в зависимост от това кой ред на квантила съответства на конкретна опция.

В практиката на биомедицинските изследвания най-често се използват следните квантили:

е медианата;

, - квартили (четвъртини), където е долният квартил, – горен квартил.

Квантилите разделят областта на възможна вариация на вариант в серия от вариации на определени интервали. Медианата (квантил) е вариант, който е в средата на вариационния ред и разделя тази серия наполовина, на две равни части ( 0,5 и 0,5 ). Квартилът разделя серията на четири части: първата част (долен квартил) са опциите, които разделят опциите, чиито числови стойности не надвишават 25% от максимално възможния в тази серия, квартилът разделя опциите с числова стойност до 50% от максимално възможния. Горният квартил () разделя опциите до 75% от максимално възможните стойности.

В случай на асиметрично разпределение променлива спрямо средноаритметичната стойност, медианата и квартилите се използват за нейното характеризиране.В този случай се използва следната форма за показване на средната стойност - аз (;). Например, изследваният признак - "периодът, в който детето е започнало да ходи самостоятелно" - в изследваната група има асиметрично разпределение. В същото време долният квартил () съответства на началото на ходене - 9,5 месеца, медианата - 11 месеца, а горният квартил () - 12 месеца. Съответно, характеристиката на средния тренд на посочения знак ще бъде представена като 11 (9,5; 12) месеца.

Оценка на статистическата значимост на резултатите от изследването

Под статистическа значимост на данните се разбира степента, в която те съответстват на показаната реалност, т.е. статистически значими данни са тези, които не изкривяват и отразяват правилно обективната реалност.

Да се ​​оцени статистическата значимост на резултатите от изследването означава да се определи с каква вероятност е възможно да се прехвърлят резултатите, получени върху извадковата съвкупност към цялата генерална съвкупност. Оценяването на статистическата значимост е необходимо, за да се разбере каква част от явлението може да се прецени за явлението като цяло и неговите закономерности.

Оценката на статистическата значимост на резултатите от изследването се състои от:

1. грешки в представителността (грешки на средните и относителните стойности) - м;

2. доверителни граници на средни или относителни стойности;

3. достоверността на разликата между средните или относителните стойности според критерия T.

Стандартна грешка на средната аритметикаили грешка в представителносттахарактеризира колебанията в средната стойност. Трябва да се отбележи, че колкото по-голям е размерът на извадката, толкова по-малък е разпределението на средните стойности. Стандартната грешка на средната стойност се изчислява по формулата:

В съвременната научна литература средноаритметичната стойност се записва заедно с грешката на представителността:

или заедно със стандартното отклонение:

Като пример разгледайте данните за 1500 градски поликлиники в страната (общо население). Средният брой на обслужваните пациенти в една поликлиника е 18150 души. Случаен избор на 10% от обектите (150 поликлиники) дава среден брой пациенти, равен на 20051 души. Грешката на извадката, очевидно свързана с факта, че не всички 1500 поликлиники са включени в извадката, е равна на разликата между тези средни - общата средна стойност ( Мген) и средна проба ( Мизберете). Ако формираме друга извадка със същия размер от нашата обща съвкупност, тя ще даде различен размер на грешката. Всички тези извадкови средни за достатъчно големи проби се разпределят нормално около общата средна стойност за достатъчно големи проби. Голям бройповторения на вземане на проби от същия брой обекти от общата съвкупност. Стандартна грешка на средната стойност ме неизбежното разсейване на извадковите средни около общата средна стойност.

В случай, че резултатите от изследването са представени в относителни стойности (например проценти) - се изчислява споделете стандартна грешка:

където P е индикаторът в%, n е броят на наблюденията.

Резултатът се показва като (P ± m)%. Например,процентът на възстановяване сред пациентите е (95,2 ± 2,5)%.

В случай, че броят на елементите в популацията, след това при изчисляване на стандартните грешки на средната и фракцията в знаменателя на дроба вместое необходимо да се постави.

За нормално разпределение (разпределението на средните стойности на извадката е нормално) се знае колко от популацията попада в рамките на всеки интервал около средната стойност. В частност:

На практика проблемът е, че не познаваме характеристиките на генералната съвкупност, а извадката е направена именно с цел оценката им. Това означава, че ако направим проби с еднакъв размер нот общата съвкупност, то в 68,3% от случаите интервалът ще съдържа стойността М(ще е в интервала в 95,5% от случаите и в интервала в 99,7% от случаите).

Тъй като действително е направена само една извадка, това твърдение се формулира по отношение на вероятността: с вероятност от 68,3% средната стойност на даден признак в общата съвкупност е затворена в интервал, с вероятност 95,5% - в интервала и др.

На практика около стойността на извадката се изгражда интервал, който при дадена (достатъчно висока) вероятност - ниво на увереност -Ще „покрие“ истинската стойност на този параметър в общата популация. Този интервал се нарича доверителен интервал.

Вероятност за довериеП – това е степента на увереност, че доверителният интервал действително ще съдържа истинската (неизвестна) стойност на параметъра в общата съвкупност.

Например, ако нивото на доверие Ре равно на 90%, това означава, че 90 проби от 100 ще дадат правилна оценка на параметъра в общата съвкупност. Съответно вероятността от грешка, т.е. неправилната оценка на общата средна стойност за извадката е равна в проценти на:. За този пример това означава, че 10 проби от 100 ще дадат неправилна оценка.

Очевидно степента на доверие (ниво на доверие) зависи от размера на интервала: колкото по-широк е интервалът, толкова по-висока е увереността, че неизвестна стойност за общата съвкупност ще попадне в него. На практика, за да се конструира доверителния интервал, се взема поне двойна грешка на извадката, за да се осигури достоверност от най-малко 95,5%.

Определянето на границите на доверие на средните и относителните стойности ви позволява да намерите двете им екстремни стойности - минималната възможна и максимално възможната, в рамките на които може да се намери изследвания показател в цялата обща съвкупност. Въз основа на това, граници на доверие (или доверителен интервал)- това са границите на средни или относителни стойности, надхвърлянето на които поради случайни флуктуации има незначителна вероятност.

Доверителният интервал може да бъде пренаписан като:, където T- критерий за доверие.

Границите на доверие на средноаритметичната стойност в общата съвкупност се определят по формулата:

М ген = М изберете + т м М

за относителната стойност:

Р ген = П изберете + т м Р

където М гени Р ген- средни и относителни стойности за общата съвкупност; М изберетеи Р изберете- стойностите на средните и относителните стойности, получени върху извадковата съвкупност; м Ми м П- грешки на средни и относителни стойности; T- критерий за доверие (критерий за точност, който се задава при планиране на изследване и може да бъде равен на 2 или 3); т ме доверителният интервал или Δ е пределната грешка на индикатора, получен в извадковото изследване.

Трябва да се отбележи, че стойността на критерия Tдо известна степен свързана с вероятността за безгрешна прогноза (p), изразена в%. Избира се от самия изследовател, ръководен от необходимостта да се получи резултат с необходимата степен на точност. Така че, за вероятността за прогноза без грешки от 95,5%, стойността на критерия Tе 2, за 99,7% - 3.

Дадените оценки на доверителния интервал са приемливи само за статистически популации с над 30 наблюдения.При по-малък размер на популацията (малки извадки) се използват специални таблици за определяне на t критерия. В тези таблици желаната стойност е в пресечната точка на линията, съответстваща на размера на популацията (n-1)и колона, съответстваща на нивото на вероятност за безпогрешна прогноза (95,5%; 99,7%), избрана от изследователя. В медицинските изследвания, когато се установяват граници на доверие за всеки индикатор, вероятността за прогноза без грешки се приема като 95,5% или повече. Това означава, че стойността на показателя, получена върху извадковата съвкупност, трябва да се намери в общата съвкупност в поне 95,5% от случаите.

Въпроси по темата на урока:

Релевантността на индикаторите за разнообразието на дадена характеристика в статистическата съвкупност.

Обща характеристика на абсолютните показатели на вариация.

Стандартно отклонение, изчисление, приложение.

Относителни показатели за вариация.

Средна, квартилна оценка.

Оценка на статистическата значимост на резултатите от изследването.

Стандартна грешка на средната аритметична, формула за изчисление, пример за използване.

Изчисляване на дела и неговата стандартна грешка.

Концепция за ниво на доверие, пример за употреба.

10. Концепцията за доверителния интервал, неговото приложение.

Тестови задачи по темата с примерни отговори:

1. АБСОЛЮТНИТЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЗА ВАРИАЦИЯ, СВЪРЗАНИ С

1) коефициент на вариация

2) коефициент на трептене

4) медиана

2. ОТНОСИТЕЛНИ ПОКАЗАТЕЛИ ЗА ВАРИАЦИЯ, СВЪРЗАНИ С

1) дисперсия

4) коефициент на вариация

3. КРИТЕРИЙ, КОИТО СЕ ОПРЕДЕЛЯ ОТ ЕКСТРЕМНИТЕ СТОЙНОСТИ ВАРИАНТ В ДИАПАЗОН НА ВАРИАЦИЯ

2) амплитуда

3) дисперсия

4) коефициент на вариация

4. РАЗЛИКАТА НА ЕКСТРЕМНИТЕ ВАРИАНТИ Е

2) амплитуда

3) среден стандартно отклонение

4) коефициент на вариация

5. СРЕДНИЯТ КВАДРАТ НА ОТКЛЮЧЕНИЯТА НА ИНДИВИДУАЛНИТЕ СТОЙНОСТИ НА ХАРАКТЕРА ОТ СРЕДНИТЕ ГО СТОЙНОСТИ Е

1) коефициент на трептене

2) медиана

3) дисперсия

6. ВРЪЗКА НА СКОРОСТТА НА ВАРИАЦИЯ КЪМ СРЕДНАТА СИГНАЛНА СТОЙНОСТ Е

1) коефициент на вариация

2) стандартно отклонение

4) коефициент на трептене

7. ОТНОШЕНИЕТО НА СРЕДНОТО КВАДРАТНО ОТКЛЮЧЕНИЕ КЪМ СРЕДНАТА СИГНАЛНА СТОЙНОСТ Е

1) дисперсия

2) коефициент на вариация

3) коефициент на трептене

4) амплитуда

8. ОПЦИЯ, КОЙТО Е В СРЕДАТА НА ВАРИАЦИОННИЯ ОБХВАТ И ГО ДЕЛИ НА ДВЕ РАВНИ ЧАСТИ - ТОВА Е

1) медиана

3) амплитуда

9. В МЕДИЦИНСКИ ИЗСЛЕДВАНИЯ, ПРИ УСТАНОВЯВАНЕ НА КОНФИДЕНЦИАЛНИ ГРАНИЦИ ЗА КОИТО И ИНДИКАТОР, СЕ ПРИЕМА ВЕРОЯТНОСТТА ЗА ПРОГНОЗА БЕЗ ГРЕШКИ

10. АКО 90 ПРОБИ ОТ 100 ПРЕДОСТАВЯТ ТОЧНАТА ОЦЕНКА НА ПАРАМЕТЪРА ОБЩО, ТОВА ОЗНАЧАВА, ЧЕ ДОВЕРИЕТО ПРАВЕН

11. В СЛУЧАЙ, АКО 10 ПРОБИ ОТ 100 ДАДАТ НЕТОЧНА ОЦЕНКА, ВЕРОЯТНОСТТА ЗА ГРЕШКА Е РАВНА

12. ГРАНИЦИ НА СРЕДНИ ИЛИ ОТНОСИТЕЛНИ СТОЙНОСТИ, ИЗВЪН КОИТО ПОРАДИ СЛУЧАЙНИ ВИБРАЦИИ ИМА НЕЗНАЧИТЕЛНА ВЕРОЯТНОСТ Е

1) доверителен интервал

2) амплитуда

4) коефициент на вариация

13. МАЛКА ПРОБРА Е ТАЗИ КОЛЕКЦИЯ, В КОЯТО

1) n е по-малко или равно на 100

2) n е по-малко или равно на 30

3) n е по-малко или равно на 40

4) n е близо до 0

14. ЗА 95% ВЕРОЯТНОСТ ЗА ПРОГНОЗИРАНЕ БЕЗ ГРЕШКИ СТОЙНОСТ НА ПРОГНОЗИРАНЕ TПРАВИ

15. ЗА 99% ВЕРОЯТНОСТ ЗА КРИТЕРИЙ ЗА ПРОГНОЗНА СТОЙНОСТ БЕЗ ГРЕШКИ TПРАВИ

16. ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ, БЛИЗКИ ДО НОРМАЛНОТО, СЪБИРАНЕТО СЕ СЧИТА ЗА РАВНОМНО, ОСВЕН АКО КОЕФИЦИЕНТЪТ НА ВАРИАЦИЯ НЕ НАДВИШАВА

17. ВАРИАНТНИ ОПЦИИ ЗА РАЗДЕЛЯНЕ, КОИТО ЦИФРОВИТЕ СТОЙНОСТИ НЕ ПРЕДВИШАВАТ 25% ОТ МАКСИМАЛНО ВЪЗМОЖНИТЕ В ТОЗИ ДИАПАЗОН Е

2) долен квартил

3) горен квартил

4) квартил

18. ДАННИ, КОИТО НЕ ИЗкривяват и ОТРАЗЯВАТ ПРАВИЛНО ОБЕКТИВНАТА РЕАЛНОСТ, СЕ НАР.

1) невъзможно

2) еднакво възможно

3) надежден

4) произволен

19. СПОРЕД ПРАВИЛОТО "ТРИ СИГМА", С НОРМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКАТА В ГРАНИЦИТЕ
ЩЕ СЕ НАМЕРИ

1) 68,3% опция

Стандартното отклонение е класически индикатор за волатилност от описателната статистика.

Стандартно отклонение, стандартно отклонение, RMSD, извадково стандартно отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) – много често срещан индикатор за дисперсия в описателната статистика. Но тъй като техническият анализ е подобен на статистиката, този индикатор може (и трябва) да се използва в техническия анализ за откриване на степента на дисперсия на цената на анализирания инструмент във времето. Означава се с гръцкия символ Sigma "σ".

Благодарим на Карлам Гаус и Пиърсън, че ни дадоха възможността да използваме стандартното отклонение.

Използвайки стандартно отклонение в техническия анализ, обръщаме това Коефициент на разсейване" v „Индикатор за волатилност“, Запазване на значението, но промяна на термините.

Какво е стандартното отклонение

Но в допълнение към междинните спомагателни изчисления, стандартното отклонение е напълно приемливо за самостоятелно изчисляванеи приложения в техническия анализ. Както отбеляза запален читател на нашето списание за репей, „ Все още не разбирам защо RMS не е включен в набора от стандартни индикатори на вътрешните дилинг центрове«.

Наистина ли, стандартното отклонение може да измерва волатилността на инструмента по класически и "чист" начин... За съжаление този индикатор не е толкова често срещан при анализа на ценни книжа.

Прилагане на стандартното отклонение

Ръчното изчисляване на стандартното отклонение не е много интересноно полезно за опит. Стандартното отклонение може да бъде изразенопо формулата STD = √ [(∑ (xx) 2) / n], която звучи като корен на сумата от квадратите на разликите между елементите в извадката и средната, разделена на броя на елементите в извадката .

Ако броят на елементите в извадката надвишава 30, тогава знаменателят на фракцията под корена приема стойността n-1. В противен случай се използва n.

Стъпка по стъпка изчисляване на стандартното отклонение:

1. изчислете средноаритметичната стойност на извадката от данни
2. извадете тази средна стойност от всеки елемент от извадката
3. всички получени разлики са на квадрат
4. сумирайте всички получени квадрати
5. разделете получената сума на броя на елементите в извадката (или на n-1, ако n> 30)
6. изчислете квадратния корен от полученото частно (нареч дисперсия)

Най-съвършената характеристика на вариацията е стандартното отклонение, което се нарича стандарт (или стандартно отклонение). Стандартно отклонение() е равно на квадратния корен от средния квадрат на отклоненията на отделните стойности на характеристиката от средната аритметична:

Стандартното отклонение е просто:

Претегленото стандартно отклонение се използва за групирани данни:

Между средното квадратично и стандартното линейно отклонение при нормални условия на разпределение има следната връзка: ~ 1.25.

Стандартното отклонение, което е основна абсолютна мярка за вариация, се използва за определяне на стойностите на ординатите на кривата на нормалното разпределение, при изчисления, свързани с организиране на наблюдение на извадката и установяване на точността на характеристиките на пробата, както и при оценка на граници на вариация на даден признак в хомогенна популация.

Дисперсия, нейните видове, стандартно отклонение.

Дисперсия на произволна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна променлива, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратенна дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартно отклонение.

Пълна дисперсия (σ 2) измерва вариацията на даден признак в съвкупността под влиянието на всички фактори, които са причинили тази вариация. В същото време, благодарение на метода на групиране, е възможно да се изолират и измерват вариациите, дължащи се на групиращия признак, и вариацията, възникваща под влиянието на неотчетени фактори.

Междугрупова дисперсия (σ 2 mg) характеризира систематичните вариации, т.е. разликите в стойността на изследваната черта, които възникват под влиянието на черта - фактор, лежащ в основата на групирането.

Стандартно отклонение(синоними: стандартно отклонение, стандартно отклонение, стандартно отклонение; подобни термини: стандартно отклонение, стандартно разпределение) - в теорията на вероятностите и статистиката, най-често срещаният индикатор за дисперсия на стойностите на произволна променлива спрямо нейното математическо очакване. При ограничени масиви от извадки от стойности вместо математическото очакване се използва средноаритметичната стойност на популацията от извадки.

Стандартното отклонение се измерва в мерни единици на самата случайна променлива и се използва за изчисляване на стандартната грешка на средноаритметичната стойност, при конструиране на доверителни интервали, при статистическо тестване на хипотези, при измерване на линейната връзка между случайни променливи... Дефиниран като корен квадратен от дисперсията на произволната променлива.

Стандартно отклонение:

Стандартно отклонение(оценка на стандартното отклонение на произволна променлива хспрямо неговото математическо очакване, базирано на безпристрастна оценка на неговата дисперсия):

къде е дисперсията; - ити елемент от извадката; - размер на извадката; - средноаритметично на извадката:

Трябва да се отбележи, че и двете оценки са предубедени. V общ случайневъзможно е да се направи безпристрастна оценка. Въпреки това, оценката, базирана на оценката на безпристрастната дисперсия, е последователна.

Същност, обхват и процедура за определяне на мода и медиана.

В допълнение към средните по степенен закон в статистиката за относителните характеристики на величината на променливия атрибут и вътрешна структураредовете на разпределение използват структурни средни стойности, които са представени основно мода и медиана.

мода- това е най-често срещаният вариант на реда. Модата се използва например при определяне на размера на дрехите, обувките, които са най-търсени сред клиентите. Режимът за дискретната серия е този с най-висока честота. Когато изчислявате режима за серия от вариации на интервал, първо трябва да определите модалния интервал (по максималната честота), а след това - стойността на модалната стойност на характеристиката по формулата:

- - модна стойност

- - долната граница на модалния интервал

- - стойността на интервала

- - честотата на модалния интервал

- е честотата на интервала, предхождащ модалния

- е честотата на интервала след модалния

Медиана -това е стойността на чертата, която е в основата на класираната серия и разделя тази серия на две равни части.

За да определите медианата в дискретна серия при наличие на честоти, първо изчислете полусумата от честоти и след това определете каква стойност на варианта пада върху нея. (Ако сортираната серия съдържа нечетен брой характеристики, тогава средният брой се изчислява по формулата:

M e = (n (брой характеристики в съвкупността) + 1) / 2,

в случай на четен брой признаци, медианата ще бъде равна на средната стойност на двата признака в средата на реда).

При изчисляване медианиза серия от вариация на интервала първо определете медианния интервал, в който се намира медианата, а след това стойността на медианата, като използвате формулата:

- - необходимата медиана

- - долната граница на интервала, който съдържа медианата

- - стойността на интервала

- - сумата от честотите или броя на членовете на серията

Сумата от натрупаните честоти на интервалите, предхождащи медианата

- - честота на средния интервал

Пример... Намерете мода и медиана.

Решение:
V този примермодалният интервал е във възрастовата група 25-30 години, тъй като този интервал е с най-висока честота (1054).

Нека изчислим величината на режима:

Това означава, че модалната възраст на студентите е 27 години.

Изчисляваме медианата... Медианният интервал е във възрастовата група 25-30 години, тъй като в рамките на този интервал има вариант, който разделя населението на две равни части (Σf i / 2 = 3462/2 = 1731). След това заместваме необходимите числови данни във формулата и получаваме средната стойност:

Това означава, че едната половина от учениците са на възраст под 27,4 години, а другата над 27,4 години.

В допълнение към режима и медианата, могат да се използват индикатори като квартили, разделящи класираната серия на 4 равни части, децили- 10 части и процентили - на 100 части.

Концепцията за селективното наблюдение и неговия обхват.

Селективно наблюдениесе прилага при прилагането на непрекъснато наблюдение физически невъзможнопоради голямо количество данни, или икономически непрактично... Физическата невъзможност възниква например при изучаване на пътнически потоци, пазарни цени, семейни бюджети. Икономическата нецелесъобразност възниква при оценка на качеството на стоките, свързани с тяхното унищожаване, например дегустация, тестване на тухли за здравина и др.

Избраните за наблюдение статистически единици представляват извадкова съвкупност или извадка, а целият им масив - генералната съвкупност (ГС). В този случай броят на единиците в извадката означава н, а в цялата ХС - н... Поведение n/Nнаречен относителен размер или фракция на пробата.

Качеството на резултатите от наблюдението на пробата зависи от представителността на извадката, тоест от това колко представителна е тя в HS. За да се гарантира представителността на извадката, е необходимо да се наблюдава произволен избор на единици, което приема, че включването на HS единица в извадката не може да бъде повлияно от друг фактор, различен от случая.

Съществува 4 начина за произволен изборкъм извадката:

1. Всъщност произволноселекция или „метод на лото“, когато на статистическите количества се присвояват поредни номера, въведени върху определени артикули (например бурета), които след това се смесват в контейнер (например в торба) и се избират на случаен принцип. На практика този метод се осъществява с помощта на генератор произволни числаили математически таблици на произволни числа.
2. Механичниизбор, според който всеки ( N/n) -та стойност на генералната съвкупност. Например, ако съдържа 100 000 стойности и искате да изберете 1 000, тогава всеки 100 000 / 1000 = 100-та стойност ще бъде включен в извадката. Освен това, ако не са класирани, тогава първият се избира на случаен принцип от първите сто, а числата на останалите ще бъдат със сто повече. Например, ако единица # 19 се оказа първата, тогава следващата трябва да бъде # 119, след това # 219, след това # 319 и т.н. Ако единиците от общата съвкупност се класират, тогава първо се избира # 50, след това # 150, след това # 250 и т.н.
3. Извършва се избор на стойности от хетерогенен набор от данни стратифицирани(стратифициран) начин, когато генералната съвкупност е предварително разделена на хомогенни групи, към които се прилага случаен или механичен подбор.
4. Специален начин за вземане на проби е сериенселекция, при която произволно или механично се избират не отделни количества, а техни серии (поредици от някое число до някое в ред), в рамките на които се извършва непрекъснато наблюдение.

Качеството на извадковите наблюдения също зависи от тип проба: повтореноили неповторими.

В повторен подборСтатистическите величини, попаднали в извадката или техните серии след използване, се връщат в общата съвкупност, като има шанс да попаднат в нова извадка. Освен това всички стойности на общата съвкупност имат еднаква вероятност да бъдат включени в извадката.

Избор без повторениеозначава, че статистическите количества, включени в извадката или техните серии след използване, не се връщат в общата съвкупност и следователно за останалите количества от последната вероятността да попаднат в следващата извадка се увеличава.

Многократното вземане на проби дава по-точни резултати, поради което се използва по-често. Но има ситуации, когато не може да се приложи (проучване на пътническите потоци, потребителското търсене и т.н.) и след това се извършва повторен подбор.

Гранична извадкова грешка на наблюдение, средна извадкова грешка, ред на тяхното изчисляване.

Нека разгледаме подробно изброените по-горе методи за формиране на извадковата съвкупност и грешките, които възникват в този случай. представителност .
Всъщност произволноизвадката се основава на случаен избор на единици от генералната съвкупност без никакви систематични елементи. Технически правилният произволен избор се извършва чрез теглене на жребий (например теглене на лотария) или според таблица с произволни числа.

Всъщност произволната селекция "в чист вид" рядко се използва в практиката на селективното наблюдение, но е първоначалната сред другите видове селекция, която реализира основните принципи на селективното наблюдение. Нека разгледаме някои въпроси от теорията на метода на извадката и формулата за грешка за проста произволна извадка.

Грешка при наблюдение на пробае разликата между стойността на параметъра в общата съвкупност и стойността му, изчислена от резултатите от извадково наблюдение. За средна количествена характеристика се определя грешката на извадката

Индикаторът се нарича пределна грешка на извадката.
Средната извадка е случайна променлива, която може да приеме различни значенияв зависимост от това кои единици са включени в извадката. Следователно грешките при извадката също са случайни стойности и могат да приемат различни стойности. Следователно средната стойност на възможни грешки - средна грешка на извадкатакоето зависи от:

Размер на извадката: колкото по-голямо е числото, толкова по-ниска е стойността на средната грешка;

Степента на промяна на изследваната черта: колкото по-малка е дисперсията на чертата и следователно дисперсията, толкова по-малка е средната грешка на извадката.

В произволен повторен изборсредната грешка се изчислява:
.
На практика общата дисперсия не е точно известна, но в теория на вероятноститедоказа това
.
Тъй като стойността за достатъчно голямо n е близка до 1, можем да приемем, че. Тогава средната грешка на извадката може да се изчисли:
.
Но в случаи на малка извадка (за n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

В произволна неповторяема извадкададените формули се коригират със стойността. Тогава средната грешка на неповтарящата се извадка е:
и .
Защото винаги е по-малко, тогава множителят () винаги е по-малък от 1. Това означава, че средната грешка при неповтаряща се селекция винаги е по-малка, отколкото при повтаряща се.
Механично вземане на пробиизползва се, когато генералната съвкупност е подредена по някакъв начин (например азбучни списъци с избиратели, телефонни номера, номера на къщи, апартаменти). Изборът на единици се извършва на определен интервал, който е равен на реципрочната стойност на процента от извадката. И така, с извадка от 2% се избират всеки 50 единици = 1 / 0,02, с 5% всеки 1 / 0,05 = 20 единици от общата съвкупност.

Началото се избира по различни начини: произволно, от средата на интервала, с промяна в началото. Основното тук е да се избегнат системни грешки. Например при 5% проба, ако 13 е избрано като първа единица, тогава следващите 33, 53, 73 и т.н.

По отношение на точността механичният подбор е близък до самото произволно вземане на проби. Следователно, за да се определи средната грешка на механичното вземане на проби, се използват формулите за правилен случаен подбор.

В типичен избор изследваната популация предварително се разделя на еднородни групи от един и същи тип. Например при анкетиране на предприятия това могат да бъдат отрасли, подсектори, при изследване на населението – региони, социални или възрастови групи. След това се извършва независим подбор от всяка група механично или по чисто случаен начин.

Типичното вземане на проби дава по-точни резултати от другите методи. Типизирането на генералната съвкупност гарантира, че всяка типологична група е представена в извадката, което дава възможност да се изключи влиянието на междугруповата дисперсия върху средната грешка на извадката. Следователно, при намиране на грешката на типична извадка според правилото за добавяне на дисперсии (), е необходимо да се вземе предвид само средната стойност на груповите дисперсии. Тогава средната грешка на извадката:
при повторен подбор
,
с избор без повторение
,
където е средната стойност на вътрешногруповите дисперсии в извадката.

Сериен (или вложен) избор се прилага в случаите, когато генералната съвкупност е разделена на серии или групи преди началото на извадковото изследване. Тези серии могат да бъдат опаковки на готови продукти, студентски групи, бригади. Сериите за изследване се избират механично или по чисто случаен начин, като в рамките на серията се извършва непрекъснато изследване на единици. Следователно средната грешка на извадката зависи само от междугруповата (межсерийната) дисперсия, която се изчислява по формулата:

където r е броят на избраните серии;
- средна стойност от i-та серия.

Средната грешка на серийната извадка се изчислява:

при повторен подбор:
,
с избор без повторение:
,
където R е общият брой на сериите.

Комбиниранизборе комбинация от разглежданите методи за подбор.

Средната грешка на извадката за всеки метод на подбор зависи главно от абсолютния размер на извадката и в по-малка степен от процента на извадката. Да предположим, че в първия случай са извършени 225 наблюдения от обща съвкупност от 4500 единици, а във втория - от 225 000 единици. Отклоненията и в двата случая са равни на 25. Тогава, в първия случай, при 5% извадка, грешката на извадката ще бъде:

Във втория случай, с 0,1% избор, той ще бъде равен на:

Поради това, с намаляване на процента на пробата с 50 пъти, грешката на извадката се увеличава незначително, тъй като размерът на пробата не се променя.
Да предположим, че размерът на извадката е увеличен до 625 наблюдения. В този случай грешката в извадката е:

Увеличаването на извадката с коефициент 2,8 при същия размер на генералната съвкупност намалява размера на грешката на извадката с повече от 1,6 пъти.

Методи и начини за формиране на извадка.

В статистиката се използват различни методи за формиране на извадкови набори, които се определят от целите на изследването и зависят от спецификата на обекта на изследване.

Основното условие за провеждане на извадково изследване е да се предотврати възникването на системни грешки, произтичащи от нарушаване на принципа на равните възможности всяка единица от генералната съвкупност да бъде включена в извадката. Предотвратяването на системни грешки се постига в резултат на използването на научно обосновани методи за формиране на извадкова съвкупност.

Има следните начини за избор на единици от общата съвкупност:

1) индивидуален подбор - в извадката се избират отделни единици;

2) групов подбор - в извадката попадат качествено хомогенни групи или серии от изследваните единици;

3) комбинираният подбор е комбинация от индивидуален и групов подбор.
Методите за подбор се определят от правилата за формиране на извадковата съвкупност.

Пробата може да бъде:

• правилно случайносе състои в това, че извадковата съвкупност се формира в резултат на случаен (непреднамерен) подбор на отделни единици от генералната съвкупност. В този случай броят на единиците, избрани за извадката, обикновено се определя въз основа на приетата част от извадката. Пропорцията на извадката е съотношението на броя на единиците в извадката n към броя на единиците в генералната съвкупност N, т.е.

• механиченсе състои в това, че подборът на единици в извадковата съвкупност се извършва от генералната съвкупност, разделена на равни интервали (групи). Освен това размерът на интервала в общата съвкупност е равен на реципрочната част на извадката. И така, при 2% проба се избира всяка 50-та единица (1: 0,02), с 5% проба всяка 20-та единица (1: 0,05) и т.н. По този начин, в съответствие с приетия дял на подбора, генералната съвкупност е като че ли механично разделена на групи с еднакъв размер. От всяка група се избира само една единица.
• типичен -при което генералната съвкупност първо се разделя на хомогенни типични групи. След това от всяка типична група се прави индивидуален подбор на единици чрез произволно или механично вземане на проби в извадковата съвкупност. Важна характеристика на типичната извадка е, че тя дава по-точни резултати в сравнение с други методи за подбор на единици в извадката;
• сериен- при които генералната съвкупност е разделена на групи с еднакъв размер - серии. За извадката се избират серии. В рамките на серията се извършва непрекъснато наблюдение на единиците, включени в серията;
• комбинирани- пробата може да бъде двуетапна. В този случай общото население първо се разделя на групи. След това се избират групите, а в рамките на последните се избират отделните единици.

В статистиката се разграничават следните методи за избор на единици в извадка:

• единичен етапвземане на проби - всяка избрана единица веднага се изследва по зададен критерий (правилно произволно и серийно вземане на проби);
• многостепеннаизвадка – подборът се извършва от генералната съвкупност на отделните групи, а отделните единици се избират от групите (типична извадка с механичен метод за подбор на единици в извадковата съвкупност).

Освен това се прави разлика между:

• повторен подбор- по схемата на върнатата топка. Освен това всяка единица или серия, попаднали в извадката, се връщат в общата съвкупност и следователно има шанс да попаднат отново в извадката;
• неповтарящ се избор- по схемата на невърната топка. Той има по-точни резултати със същия размер на пробата.

Определяне на необходимия размер на извадката (с помощта на таблицата на студента).

Един от научните принципи в теорията на извадката е да се осигури достатъчен брой извадени единици. Теоретично необходимостта от спазване на този принцип е представена в доказателствата на пределните теореми на теорията на вероятностите, които позволяват да се установи какъв обем единици трябва да бъде избран от генералната съвкупност, за да бъде достатъчен и да осигури представителност на извадката.

Намаляването на стандартната грешка на извадката и, следователно, увеличаването на точността на оценката винаги е свързано с увеличаване на размера на извадката, следователно, още на етапа на организиране на наблюдение на извадката, е необходимо да се реши въпросът какъв трябва да бъде размерът на извадковата съвкупност, за да се осигури необходимата точност на резултатите от наблюдението. Изчисляването на необходимия размер на извадката се изгражда с помощта на формули, извлечени от формулите за пределните грешки на извадката (A), съответстващи на определен вид и метод на подбор. И така, за произволен повторен размер на извадката (n) имаме:

Същността на тази формула е, че при произволен повторен избор на необходимия размер, размерът на извадката е право пропорционален на квадрата на коефициента на доверие (t2)и дисперсията на вариационния признак (? 2) и е обратно пропорционална на квадрата на пределната грешка на извадката (? 2). По-специално, с удвояване на пределната грешка, необходимият размер на извадката може да бъде намален с коефициент четири. От трите параметъра два (t и?) се задават от изследователя.

В този случай изследователят продължаваот целите на извадковото изследване, то трябва да реши въпроса: в каква количествена комбинация е по-добре да се включат тези параметри, за да се осигури оптимален вариант? В единия случай той може да бъде по-доволен от надеждността на получените резултати (t), отколкото от мярка за точност (?), В другия - обратното. По-трудно е да се разреши проблемът по отношение на стойността на пределната грешка на извадката, тъй като изследователят няма този индикатор на етапа на проектиране на наблюдение на извадката, следователно на практика е обичайно да се задава пределната грешка на извадката, като правило в рамките на до 10% от очакваното средно ниво на характеристиката. Установяването на предполагаема средна стойност може да се подхожда по различни начини: като се използват данни от подобни предишни проучвания или се използват данни от рамка за извадка и се прави малка пробна извадка.

При проектирането на извадково наблюдение е най-трудно да се установи третият параметър във формула (5.2) – дисперсията на извадковата съвкупност. В този случай е необходимо да се използва цялата информация, налична на изследователя, получена в предишни подобни и пилотни проучвания.

Въпросът за дефиниранетонеобходимият размер на извадката е сложен, ако извадковото изследване включва изследване на няколко характеристики на единиците за подбор. В този случай средните нива на всяка от характеристиките и тяхното изменение по правило са различни и следователно е възможно да се реши въпросът за дисперсията на коя от характеристиките да се даде предпочитание, само като се вземе предвид цел и цели на изследването.

При проектирането на извадково наблюдение се приема предварително определена стойност на допустимата грешка на извадката в съответствие със задачите на конкретно изследване и вероятността за заключения въз основа на резултатите от наблюдението.

Като цяло, формулата за пределната грешка на средната извадка дава възможност да се определи:

Размерът на възможните отклонения на показателите на генералната съвкупност от показателите на извадковата съвкупност;

Необходимият размер на извадката, осигуряващ необходимата точност, при която границите на възможна грешка не надвишават определена определена стойност;

Вероятността грешката в извадката да има определена граница.

t разпределение на студентав теорията на вероятностите, това е еднопараметърно семейство от абсолютно непрекъснати разпределения.

Поредица от динамика (интервал, момент), затваряне на редове от динамика.

Редове от динамика- това са стойностите на статистическите показатели, които са представени в определен хронологичен ред.

Всеки времеви ред съдържа два компонента:

1) показатели за периоди от време (години, тримесечия, месеци, дни или дати);

2) показатели, характеризиращи изследвания обект за периоди от време или за съответните дати, които се наричат ​​нива на поредицата.

Нивата на серията са изразеникакто абсолютни, така и средни или относителни стойности. В зависимост от естеството на показателите се изграждат динамични серии от абсолютни, относителни и средни стойности. Поредици от динамика от относителни и средни стойности се изграждат на базата на изведени серии от абсолютни стойности. Разграничаване между интервални и моментни серии от динамика.

Динамични интервални сериисъдържа стойностите на показателите за конкретни периоди от време. В интервалната серия нивата могат да бъдат сумирани, като се получи обемът на явлението за по-дълъг период или така наречените кумулативни суми.

Серия с динамичен въртящ моментотразява стойностите на индикаторите в определен момент от време (дата на времето). В сериите от моменти изследователят може да се интересува само от разликата на явленията, отразяваща промяната в нивото на поредицата между определени дати, тъй като сборът от нивата тук няма реално съдържание. Тук не се изчисляват натрупаните суми.

Най-важното условие за правилното изграждане на времеви редове е съпоставимостта на нивата на редовете, принадлежащи към различни периоди. Нивата трябва да бъдат представени в хомогенни количества, а различните части на явлението да са еднакво изчерпателни.

Да сеза да се избегне изкривяване на реалната динамика, при статистическото изследване се извършват предварителни изчисления (затваряне на поредицата от динамика), които предхождат статистическия анализ на времевите редове. Под затваряне на поредицата от динамика се разбира обединяването на две или повече серии в един ред, чиито нива се изчисляват по различни методики или не отговарят на териториални граници и т.н. Сближаването на сериите от динамика може също да означава привеждане на абсолютните нива на поредицата от динамика към обща база, което елиминира несравнимостта на нивата на поредицата от динамика.

Концепцията за съпоставимост на сериите от динамика, коефициенти, растеж и темпове на растеж.

Редове от динамикаПредставлява поредица от статистически показатели, характеризиращи развитието на природните и социални явления във времето. Статистическите компилации, публикувани от Госкомстат на Русия, съдържат голям брой серии от динамики в табличен вид. Поредицата от динамика позволява да се разкрият закономерностите на развитие на изследваните явления.

Серията от динамика съдържа два вида индикатори. Индикатори за време(години, тримесечия, месеци и т.н.) или точки във времето (в началото на годината, в началото на всеки месец и т.н.). Индикатори на ниво ред... Индикаторите за нивата на серията от динамика могат да бъдат изразени в абсолютни стойности (производство на продукт в тонове или рубли), относителни стойности (дял на градското население в%) и средни стойности (средни заплати на работници в индустрията по години и др.). В табличен вид динамичният ред съдържа две колони или два реда.

Правилното изграждане на поредицата от динамика предполага изпълнението на редица изисквания:

1. всички показатели на редица динамики трябва да бъдат научно обосновани, надеждни;
2. показателите на редица динамики трябва да бъдат съпоставими във времето, т.е. трябва да се изчисляват за същите периоди от време или за едни и същи дати;
3. индикаторите за редица динамики трябва да бъдат сравними в цялата територия;
4. показателите на редица динамики трябва да бъдат съпоставими по съдържание, т.е. изчислява се по единна методика, по същия начин;
5. индикаторите за редица динамики трябва да бъдат сравними за целия диапазон на разглежданите ферми. Всички показатели на редица динамики трябва да бъдат дадени в едни и същи мерни единици.

Статистически показателиможе да характеризира или резултатите от изследвания процес за определен период от време, или състоянието на изследваното явление в определен момент от време, т.е. индикаторите могат да бъдат интервални (периодични) и моментни. Съответно първоначалната серия от динамика може да бъде или интервална, или моментна. Моментната поредица от динамика от своя страна може да бъде с равни и неравни интервали от време.

Оригиналната серия от динамика може да бъде трансформирана в серия от средни стойности и серия от относителни стойности (верижни и основни). Такива серии от динамика се наричат ​​производни серии от динамика.

Методиката за изчисляване на средното ниво в динамиката е различна, поради вида на динамиката. Използвайки примери, ще разгледаме видовете серии от динамика и формули за изчисляване на средното ниво.

Абсолютни печалби (Δy) показват колко единици се е променило следващото ниво от поредицата в сравнение с предишното (колона 3. - верижни абсолютни приращения) или в сравнение с първоначалното ниво (колона 4. - основни абсолютни приращения). Формулите за изчисление могат да бъдат написани, както следва:

С намаляване на абсолютните стойности на серията ще има съответно "намаляване", "намаляване".

Показателите за абсолютен растеж показват, че например през 1998 г. производството на продукт "А" се е увеличило с 4 хил. тона в сравнение с 1997 г. и с 34 хил. тона в сравнение с 1994 г.; за останалите години виж таблицата. 11,5 гр 3 и 4.

Темп на растежпоказва колко пъти нивото на поредицата се е променило в сравнение с предишното (колона 5 - верижни коефициенти на растеж или спад) или в сравнение с първоначалното ниво (колона 6 - основни коефициенти на растеж или спад). Формулите за изчисление могат да бъдат написани, както следва:

Темпи на растежпоказват колко процента е следващото ниво от поредицата в сравнение с предишното (колона 7 - темпове на растеж на веригата) или в сравнение с първоначалното ниво (колона 8 - основни темпове на растеж). Формулите за изчисление могат да бъдат написани, както следва:

Така, например, през 1997 г. обемът на производството на продукт "А" в сравнение с 1996 г. възлиза на 105,5% (

Темпове на растежпоказват с колко процента се е увеличило нивото на отчетния период в сравнение с предходния (колона 9 - верижни темпове на растеж) или в сравнение с първоначалното ниво (колона 10 - основни темпове на растеж). Формулите за изчисление могат да бъдат написани, както следва:

T pr = T p - 100% или T pr = абсолютно увеличение / ниво от предходния период * 100%

Така например през 1996 г., в сравнение с 1995 г., продукт "А" е произведен с 3,8% (103,8% - 100%) или (8: 210) x 100%, а в сравнение с 1994 г. - с 9% (109% - 100%).

Ако абсолютните нива в ред намаляват, тогава процентът ще бъде по-малък от 100% и съответно ще има темп на спад (темп на растеж със знак минус).

Абсолютна стойност от 1% печалба(колона 11) показва колко единици трябва да бъдат произведени за даден период, за да се увеличи нивото от предходния период с 1%. В нашия пример през 1995 г. е необходимо да се произведат 2,0 хил. тона, а през 1998 г. - 2,3 хил. тона, т.е. много по-голям.

Има два начина за определяне на величината на абсолютната стойност на увеличение от 1%:

Разделете нивото от предходния период на 100;

Разделете абсолютните нараствания на веригата на съответните скорости на растеж на веригата.

Абсолютна стойност на 1% печалба =

В динамиката, особено за дълъг период, е важен съвместен анализ на темповете на растеж със съдържанието на всеки процент на увеличение или намаляване.

Обърнете внимание, че разглежданият метод за анализ на серията от динамика е приложим както за сериите от динамики, чиито нива са изразени в абсолютни стойности (t, хиляди рубли, брой служители и т.н.), така и за серията на динамиката, чиито нива се изразяват с относителни показатели (% скрап,% пепелност на въглищата и др.) или средни стойности (среден добив в центнери/ха, средни заплати и др.).

Наред с разглежданите аналитични показатели, изчислени за всяка година в сравнение с предишното или първоначалното ниво, при анализиране на серията от динамика е необходимо да се изчислят средните аналитични показатели за периода: средното ниво на серията, средното годишно абсолютно увеличение (намаляване) и средногодишния темп на прираст и темп на растеж.

Методите за изчисляване на средното ниво на серия от динамика бяха обсъдени по-горе. В интервалната серия от динамика, която разглеждаме, средното ниво на серията се изчислява с помощта на простата средноаритметична формула:

Средногодишно производство на продукт за 1994-1998г възлиза на 218,4 хил. тона.

Средният годишен абсолютен растеж също се изчислява с помощта на простата средноаритметична формула:

Годишните абсолютни прирасти варират през годините от 4 до 12 хиляди тона (виж колона 3), а средногодишното увеличение на производството за периода 1995 - 1998 г. възлиза на 8,5 хиляди тона.

Методите за изчисляване на средния темп на растеж и средния темп на растеж изискват по-подробно разглеждане. Нека ги разгледаме, като използваме примера на годишните показатели на серийното ниво, показани в таблицата.

Средното ниво на редица динамики.

Поредица от динамика (или времеви серии)са числовите стойности на определена статистика в последователни моменти или периоди от време (т.е. подредени в хронологичен ред).

Наричат ​​се числените стойности на един или друг статистически индикатор, които съставляват поредица от динамика нива наи обикновено се обозначава с буквата г... Първи член на поредицата y 1наречен начален или изходна линияи последният y n - финалът... Моментите или периодите от време, за които се отнасят нивата, са обозначени чрез T.

Серията от динамика, като правило, се представя под формата на таблица или графика, а времевата скала се начертава по оста на абсцисата T, а по оста на ординатите - скалата на нивата на поредицата г.

Средни показатели на редица динамики

Всеки ред от динамика може да се разглежда като един вид съвкупност нвариращи във времето показатели, които могат да се обобщят като средни стойности. Такива обобщени (средни) показатели са особено необходими, когато се сравняват промените в конкретен индикатор в различни периоди, в различни държави и т.н.

Обобщена характеристика на редица динамики може да бъде предимно средно ниво на реда... Методът за изчисляване на средното ниво зависи от това дали е моментна серия или интервална (периодна) серия.

Кога интервална поредицата, нейното средно ниво се определя по формулата на проста средноаритметична стойност от нивата на редицата, т.е.

=
Ако има моментред, съдържащ ннива ( y1, y2,…, yn) с равни интервали между датите (моменти във времето), тогава такава серия може лесно да се преобразува в серия от средни стойности. В този случай индикаторът (нивото) в началото на всеки период е едновременно индикатор в края на предходния период. Тогава средната стойност на индикатора за всеки период (интервал между датите) може да се изчисли като полусума от стойности вв началото и в края на периода, т.е. как . Броят на тези средни стойности ще бъде. Както бе споменато по-рано, за серията от средни стойности средното ниво се изчислява от средноаритметичната стойност.

Следователно можем да напишем:
.
След преобразуване на числителя получаваме:
,

където Y1и Yn- първото и последното ниво на реда; Yi- междинни нива.

Тази средна стойност е известна в статистиката като средно хронологичноза моментна серия. Той получи това име от думата "cronos" (време, лат.), тъй като се изчислява от показатели, които се променят с течение на времето.

В случай на неравностойнона интервали между дати, хронологичната средна за моментната серия може да се изчисли като средноаритметична стойност на средните стойности на нивата за всяка двойка моменти, претеглени от разстоянието (интервали от време) между датите, т.е.
.
В такъв случайприема се, че в интервалите между датите нивата са придобили различни стойности, а ние сме от двете известни ( йии yi + 1) определяме средните стойности, от които след това изчисляваме общата средна стойност за целия анализиран период.
Ако се приеме, че всяка стойност йиостава непроменен до следващия (i + 1)- този момент, т.е. точната дата на промяната в нивата е известна, тогава изчислението може да се извърши по формулата на средноаритметичната претеглена:
,

където е времето, през което нивото е останало непроменено.

В допълнение към средното ниво в серията от динамика се изчисляват и други средни показатели - средната промяна в нивата на серията (по основни и верижни методи), средната скорост на изменение.

Изходното ниво означава абсолютна промянае частното от последната основна абсолютна промяна, разделено на броя на промените. Това е

Верига означава абсолютна промяна нивата на серия е частното от разделянето на сумата от всички абсолютни промени във веригата на броя на промените, т.е.

Знакът на средните абсолютни промени се използва и за преценка на естеството на промяната в явлението средно: растеж, спад или стабилност.

От правилото за контрол на основните и верижните абсолютни промени следва, че основната и верижната средна промяна трябва да са равни.

Наред със средната абсолютна промяна, относителната средна стойност също се изчислява с помощта на основни и верижни методи.

Изходна средна относителна промянаопределя се по формулата:

Верига означава относителна промянаопределя се по формулата:

Естествено, базовите и верижните средни относителни промени трябва да са еднакви и като се съпоставят със стойността на критерия 1, се прави извод за естеството на промяната на явлението средно: растеж, спад или стабилност.
Чрез изваждане на 1 от базовата или верижната средна стойност на относителната промяна, съответното среден темп на промяна, по чийто признак също може да се съди за характера на изменението в изследваното явление, отразено от дадения ред от динамика.

Сезонни колебания и индекси на сезонност.

Сезонните колебания са устойчиви вътрешногодишни колебания.

Основният принцип за постигане на максимален ефект е максимизиране на приходите и минимизиране на разходите. Чрез изучаване на сезонните флуктуации, проблемът за максималното уравнение се решава на всяко ниво от годината.

При изучаване на сезонните колебания се решават две взаимосвързани задачи:

1. Разкриване на спецификата на развитието на явлението във вътрешногодишната динамика;

2. Измерване на сезонните колебания с изграждане на сезонен вълнов модел;

За измерване на сезонните колебания, пуйките обикновено се изчисляват за сезонност. Като цяло те се определят от съотношението на изходните уравнения на редица динамики към теоретичните уравнения, които служат за база за сравнение.

Тъй като случайните отклонения се наслагват върху сезонните колебания, индексите на сезонността се осредняват, за да се елиминират.

В този случай за всеки период от годишния цикъл се определят обобщените показатели под формата на средни сезонни индекси:

Средните индекси на сезонните колебания са освободени от влиянието на случайни отклонения на основната тенденция на развитие.

В зависимост от естеството на тенденцията, формулата за средния индекс на сезонност може да приеме следните форми:

1.За поредицата от вътрешногодишна динамика с ясно изразена основна тенденция на развитие:

2. За поредицата от вътрешногодишна динамика, при която няма нарастваща или намаляваща тенденция или е незначителна:

Къде е общата средна стойност;

Методи за анализ на основната тенденция.

Развитието на явленията във времето се влияе от различни по характер и сила на въздействие фактори. Някои от тях имат произволен характер, други имат почти постоянно въздействие и формират определена тенденция на развитие в редиците на динамиката.

Важна задача на статистиката е да идентифицира в серията динамиката на тенденцията, освободена от действието на различни случайни фактори. За целта поредицата от динамика се обработва чрез методите на консолидиране на интервали, плъзгаща се средна и аналитично подравняване и др.

Метод на интервално загрубяванена базата на разширяване на периоди от време, към които принадлежат нивата на редица динамики, т.е. е замяната на данни, свързани с малки периоди от време, с данни от по-големи периоди. Особено ефективен е, когато началните нива на серията са за кратки периоди от време. Например, редове с индикатори, свързани с ежедневни събития, се заменят с редове, свързани със седмични, месечни и т.н. Това ще ви позволи да покажете по-ясно "Ос на развитие на феномена"... Средната стойност, изчислена за увеличените интервали, дава възможност да се идентифицира посоката и естеството (ускоряване или забавяне на растежа) на основната тенденция на развитие.

Метод на подвижна среднае подобен на предишния, но в този случай действителните нива се заменят със средните нива, изчислени за последователно движещи се (плъзгащи се) увеличени интервали, покриващи мнива на поредицата.

Напримерако приемем m = 3,след това първо се изчислява средната стойност на първите три нива от поредицата, след това - от същия брой нива, но започвайки от второто последователно, след това - започвайки от третото и т.н. По този начин средната стойност сякаш се "плъзга" по редица динамики, движейки се с един период. Изчислено от мчленовете пълзящи средни се отнасят до средата (центъра) на всеки интервал.

Този метод елиминира само случайни колебания. Ако поредицата има сезонна вълна, тя ще се запази след изглаждане по метода на пълзящата средна.

Аналитично подравняване. За да се елиминират случайни колебания и да се идентифицира тенденция, се прилага подравняването на нивата на серията по аналитични формули (или аналитично подравняване). Същността му се състои в замяната на емпиричните (действителни) нива с теоретични, които се изчисляват по определено уравнение, прието като математически тренд модел, където теоретичните нива се разглеждат като функция на времето:. В този случай всяко действително ниво се разглежда като сбор от два компонента:, където е систематичният компонент и се изразява с определено уравнение, и е произволна променлива, причиняваща колебания около тренда.

Задачата за аналитично подравняване се свежда до следното:

1. Определяне въз основа на реални данни на вида хипотетична функция, която може най-адекватно да отрази тенденцията на развитие на изследвания индикатор.

2. Намиране на параметрите на посочената функция (уравнение) от емпирични данни

3. Изчисляване по намереното уравнение на теоретичните (подравнени) нива.

Изборът на определена функция по правило се извършва въз основа на графично представяне на емпирични данни.

Като модели се използват регресионни уравнения, чиито параметри се изчисляват по метода на най-малките квадрати

По-долу са най-често използваните регресионни уравнения за изравняване на времеви редове, посочващи кои тенденции на развитие са най-подходящи.

За намиране на параметрите на горните уравнения има специални алгоритми и компютърни програми. По-специално, за да се намерят параметрите на уравнението на права линия, може да се използва следният алгоритъм:

Ако периодите или моментите от време са номерирани така, че да се окаже St = 0, тогава горните алгоритми ще бъдат значително опростени и ще се превърнат в

Подравнените нива на графиката ще бъдат разположени на една права линия, минаваща на най-близкото разстояние до действителните нива на този времеви ред. Сумата от квадратите на отклоненията е отражение на влиянието на случайни фактори.

С негова помощ изчисляваме средната (стандартна) грешка на уравнението:

Тук n е броят на наблюденията, а m е броят на параметрите в уравнението (имаме два от тях - b 1 и b 0).

Основната тенденция (тенденция) показва как системните фактори влияят на нивата на редица динамики, а колебанията на нивата около тренда () служи като мярка за въздействието на остатъчни фактори.

За да се оцени качеството на използвания модел на времеви ред, той също се използва F тест на Фишер... Това е съотношението на две вариации, а именно съотношението на дисперсията, причинена от регресията, т.е. изследвания фактор, към дисперсията, причинена от случайни причини, т.е. остатъчна дисперсия:

В разширен вид формулата за този критерий може да бъде представена, както следва:

където n е броят на наблюденията, т.е. брой нива в ред,

m е броят на параметрите в уравнението, y е действителното ниво на серията,

Подравнено ниво на ред - ниво среден ред.

По-успешният модел от другите може да не винаги е достатъчно задоволителен. Той може да бъде разпознат като такъв само ако неговият критерий F пресича известната критична граница. Тази граница се задава с помощта на таблиците за разпределение на F.

Същност и класификация на индексите.

Индексът в статистиката се разбира като относителен индикатор, характеризиращ промяната в величината на дадено явление във времето, пространството или в сравнение с всеки стандарт.

Основният елемент на съотношението на индекса е индексираната стойност. Индексираната стойност се разбира като стойността на атрибута на статистическата съвкупност, промяната в която е обект на изследване.

Има три основни задачи с индекси:

1) оценка на промените в комплексно явление;

2) определяне на влиянието на отделните фактори върху изменението на комплексно явление;

3) сравнение на величината на някое явление с величината на миналия период, величината за друга територия, както и със стандарти, планове, прогнози.

Индексите се класифицират по 3 критерия:

2) по степента на обхват на елементите на населението;

3) според методите за изчисляване на общите индекси.

По съдържаниена индексирани стойности, индексите се разделят на индекси на количествени (обемни) показатели и индекси на качествени показатели. Индекси на количествени показатели - индекси на физическия обем на промишленото производство, физическия обем на продажбите, числеността на персонала и др. Индекси на качествените показатели - индекси на цени, производствени разходи, производителност на труда, средна работна заплата и др.

Според степента на обхват на единиците от населението индексите се разделят на два класа: индивидуални и общи. За да ги характеризираме, ние въвеждаме следните конвенции, възприети в практиката на използване на индексния метод:

q- количеството (обем) на всеки продукт в натурален израз ; Р- единична цена; z- себестойност на единица продукция; T- времето, прекарано за производството на единица продукция (интензивност на труда) ; w- производство на продукти в стойностно изражение за единица време; v- производство на продукти в натура за единица време; T- общото прекарано време или броя на служителите.

За да се разграничи към кой период или обект принадлежат индексираните стойности, обичайно е да се поставят индекси в долния десен ъгъл след съответния символ. Така, например, в индексите на динамиката, като правило, за сравняваните (текущи, отчетни) периоди се използва индексът 1, а за периодите, с които се прави сравнението,

Индивидуални индексислужат за характеризиране на промените в отделни елементи на сложно явление (например промяна в обема на продукцията на един вид продукт). Те представляват относителните стойности на динамиката, изпълнението на задълженията, сравнението на индексираните стойности.

Определя се индивидуалният индекс на физическия обем на продукцията

От аналитична гледна точка, цитираните индивидуални индекси на динамика са подобни на коефициентите (темпите) на растеж и характеризират промяната в индексираната стойност през текущия период спрямо базовата линия, тоест показват колко пъти е имало увеличен (намалял) или колко процента е растежът (намаляването). Стойностите на индекса се изразяват в коефициенти или проценти.

Общ (обобщен) указателотразява промяната във всички елементи на едно сложно явление.

Агрегиран индексе основната форма на индекса. Нарича се съвкупност, защото неговият числител и знаменател са набор от "агрегат"

Средни индекси, тяхното определение.

В допълнение към агрегираните индекси, статистиката използва другата си форма – среднопретеглени индекси. Към тях се прибягва, когато наличната информация не позволява да се изчисли общият агрегиран индекс. Така че, ако няма данни за цените, но има информация за себестойността на продуктите през текущия период и са известни индивидуални ценови индекси за всеки продукт, тогава общият индекс на цените не може да се определи като съвкупност, но е възможно да се изчислете го като средната стойност на отделните. По същия начин, ако количествата на произведените отделни видове продукти не са известни, но са известни индивидуалните индекси и себестойността на продуктите за базовия период, тогава общият индекс на физическия обем на производството може да се определи като среднопретеглена .

Среден индекс -това еиндекс, изчислен като средна стойност на отделните индекси. Съвкупният индекс е основната форма на общия индекс, така че средният индекс трябва да бъде същият като обобщения индекс. При изчисляване на средните стойности се използват две форми на средни стойности: аритметична и хармонична.

Средноаритметичният индекс е идентичен с агрегирания индекс, ако теглата на отделните индекси са членовете на знаменателя на агрегатния индекс. Само в този случай стойността на индекса, изчислена по формулата на средноаритметичната стойност, ще бъде равна на агрегирания индекс.

За да се изчисли просто геометричната средна, се използва формулата:

Геометрично претеглено

За да се определи геометричната претеглена средна стойност, се прилага формулата:

Средните диаметри на колела, тръби, средните страни на квадратите се определят с помощта на средния квадрат.

RMS стойностите се използват за изчисляване на някои показатели, например коефициент на вариация, който характеризира ритъма на производство. Тук стандартното отклонение от планираната продукция за определен период се определя по следната формула:

Тези стойности характеризират точно промяната в икономическите показатели в сравнение с тяхната базова стойност, взета в нейната средна стойност.

Квадратично просто

Средният квадратен прост се изчислява по формулата:

Претеглен квадрат

Средно претегленият квадрат е:

22. Абсолютните показатели за вариация включват:

диапазон на вариации

средно линейно отклонение

дисперсия

стандартно отклонение

Вариант на люлеене (r)

Вариант на плъзганее разликата между максималните и минималните стойности на характеристиката

Той показва границите, в които се променя стойността на даден признак в изследваната популация.

Трудов стаж на петима кандидати в предишна работа е: 2,3,4,7 и 9 години. Решение: диапазон на вариация = 9 - 2 = 7 години.

За обобщена характеристика на разликите в стойностите на характеристиката се изчисляват средните показатели на вариация, като се вземат предвид отклоненията от средната аритметична стойност. Разликата се приема като отклонение от средната стойност.

В същото време, за да се избегне сумата от отклоненията на вариантите на признака от средната стойност (нулево свойство на средната стойност), е необходимо или да не се вземат предвид признаците на отклонение, т.е. да се вземе тази сума по модул , или квадратура на отклоненията до нула.

Средно линейно и квадратно отклонение

Средно линейно отклонение- това е средноаритметичната стойност на абсолютните отклонения на отделните стойности на атрибута от средната.

Средното линейно отклонение е просто:

Трудов стаж на петима кандидати в предишна работа е: 2,3,4,7 и 9 години.

В нашия пример: години;

Отговор: 2,4 години.

Претеглено средно линейно отклонениесе отнася за групирани данни:

Средното линейно отклонение, поради своята конвенционалност, се използва на практика сравнително рядко (по-специално, за характеризиране на изпълнението на договорните задължения за еднородност на доставката; при анализа на качеството на продукта, като се вземат предвид технологичните характеристики на производството).

Стандартно отклонение

Най-съвършената характеристика на вариацията е стандартното отклонение, което се нарича стандарт (или стандартно отклонение). Стандартно отклонение() е равно на квадратния корен от средния квадрат на отклоненията на отделните стойности на атрибута от средноаритметичната:

Стандартното отклонение е просто:

Претегленото стандартно отклонение се използва за групирани данни:

Между средното квадратично и стандартното линейно отклонение при нормални условия на разпределение има следната връзка: ~ 1.25.

Стандартното отклонение, което е основна абсолютна мярка за вариация, се използва за определяне на стойностите на ординатите на кривата на нормалното разпределение, при изчисления, свързани с организиране на наблюдение на извадката и установяване на точността на характеристиките на пробата, както и при оценка на граници на вариация на даден признак в хомогенна популация.

Стойностите, получени от опит, неизбежно съдържат грешки поради голямо разнообразие от причини. Сред тях трябва да се прави разлика между системни и случайни грешки. Системните грешки са причинени от причини, които действат по много определен начин и винаги могат да бъдат отстранени или точно взети предвид. Случайните грешки са причинени от много голям брой отделни причини, които не могат да бъдат точно отчетени и действат във всяко отделно измерение по различни начини. Тези грешки не могат да бъдат напълно изключени; те могат да се вземат предвид само средно, за което е необходимо да се познават законите, които управляват случайните грешки.

Ще означим измерената стойност с A, а случайната грешка при измерването на x. Тъй като грешката x може да приеме всякакви стойности, тя е непрекъсната случайна променлива, която се характеризира напълно със собствен закон за разпределение.

Най-простата и най-точно отразяваща реалността (в преобладаващото мнозинство от случаите) е т.нар. нормално разпределение на грешките:

Този закон за разпределение може да бъде получен от различни теоретични предпоставки, по-специално от изискването най-вероятната стойност на неизвестна величина, за която редица стойности се получават чрез директно измерване със същата степен на точност, е аритметиката средна стойност на тези стойности. Количеството 2 се нарича дисперсияна този нормален закон.

Средно аритметично

Определяне на дисперсията от експериментални данни. Ако за която и да е величина A директно измерване получи n стойности a i със същата степен на точност и ако грешките на количество A са подчинени на нормалния закон за разпределение, тогава най-вероятната стойност на A ще бъде средно аритметично:

а - средноаритметично,

a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Отклонението на наблюдаваната стойност (за всяко наблюдение) a i на стойността A от средноаритметично: a i - a.

За да определите дисперсията на нормалното разпределение на грешките в този случай, използвайте формулата:

2 - дисперсия,
а - средноаритметично,
n е броят на измерванията на параметъра,

Стандартно отклонение

Стандартно отклонениепоказва абсолютното отклонение на измерените стойности от средноаритметично... Според формулата за мярка за точност на линейна комбинация средно квадратна грешкасредноаритметичната стойност се определя по формулата:

, където

а - средноаритметично,
n е броят на измерванията на параметъра,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Коефициентът на вариация

Коефициентът на вариацияхарактеризира относителната мярка на отклонението на измерените стойности от средноаритметично:

, където

V е коефициентът на вариация,
- стандартно отклонение,
а - средно аритметично.

Колкото по-голяма е стойността коефициент на вариация, толкова по-голям е разпределението и по-малко еднородност на изследваните стойности. Ако коефициентът на вариацияпо-малко от 10%, тогава променливостта на вариационния ред се счита за незначителна, от 10% до 20% се отнася за средната стойност, повече от 20% и по-малко от 33% за значителна и ако коефициентът на вариациянадвишава 33%, това показва хетерогенността на информацията и необходимостта от изключване на най-големите и най-малките стойности.

Средно линейно отклонение

Един от показателите за обхвата и интензивността на вариацията - средно линейно отклонение(среден модул на отклонение) от средноаритметичната стойност. Средно линейно отклонениеизчислено по формулата:

, където

_
а - средно линейно отклонение,
а - средноаритметично,
n е броят на измерванията на параметъра,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

За да проверите съответствието на изследваните стойности със закона за нормалното разпределение, приложете съотношението индекс на асиметрияна неговата грешка и отношение скорост на ексцесна неговата грешка.

Индекс на асиметрия

Индекс на асиметрия(A) и неговата грешка (m a) се изчислява по следните формули:

, където

А - индикатор за асиметрия,
- стандартно отклонение,
а - средноаритметично,
n е броят на измерванията на параметъра,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Индикатор за ексцезия

Индикатор за ексцезия(E) и неговата грешка (m e) се изчислява по следните формули:

, където