При изучаване на стереометрията една от основните теми е „Цилиндър“. Страничната площ на повърхността се счита, ако не за основна, то за важна формула при решаване на геометрични задачи. Важно е обаче да запомните определенията, които ще ви помогнат да се ориентирате в примерите и при доказване на различни теореми.

Концепция на цилиндъра

Има няколко определения, които трябва да се разгледат първо. Едва след изучаването им може да се започне да се разглежда въпросът за формулата за площта на страничната повърхност на цилиндър. Други изрази могат да бъдат изчислени въз основа на този запис.

• Под цилиндрична повърхност се разбира равнина, описана от образуваща, движеща се и оставаща успоредна на дадена посока, плъзгаща се по съществуваща крива.
• Съществува и второ определение: цилиндрична повърхност се формира от набор от успоредни прави линии, пресичащи дадена крива.
• Генераторът обикновено се нарича височина на цилиндъра. Когато го преместите около ос, минаваща през центъра на основата, получавате определеното геометрично тяло.
• Ос означава права линия, минаваща през двете основи на фигурата.
• Цилиндърът е стереометрично тяло, ограничено от пресичащи се странични повърхности и 2 успоредни равнини.

Има разновидности на тази триизмерна фигура:

1. Под кръгъл се разбира цилиндър, чийто водач е кръг. Основните му компоненти са радиусът на основата и образуващата. Последното е равно на височината на фигурата.
2. Има прав цилиндър. Името си е получило поради перпендикулярността на образуващата към основите на фигурата.
3. Третият тип е скосен цилиндър. В учебниците можете да намерите и другото му име „кръгъл цилиндър със скосена основа“. Тази форма се определя от радиуса на основата, минималната и максималната височина.
4. Равностранен цилиндър се разбира като тяло с еднаква височина и диаметър на кръгла равнина.

Символи

Традиционно основните "компоненти" на цилиндъра обикновено се наричат, както следва:

• Базов радиус - R (той също замества същия размер на стереометричната фигура).
• Формативен - Л.
• Височина - H.
• Площта на основата е S основна (с други думи, необходимо е да се намери посоченият параметър на кръга).
• Височините на скосения цилиндър - h 1, h 2 (минимум и максимум).
• Страничната повърхност е S страна (ако я разширите, ще получите вид правоъгълник).
• Обемът на стереометричната фигура е V.
• Обща площ - S.

Стереометрична форма "Компоненти"

Когато се изследва цилиндър, страничната повърхност играе важна роля. Това се дължи на факта, че тази формула е включена в няколко други, по-сложни. Следователно трябва да сте добре запознати с теория.

Основните компоненти на фигурата са:

1. Странична повърхност. Както знаете, той се получава поради движението на генератора по дадена крива.
2. Общата повърхност включва съществуващите основи и страничната равнина.
3. Сечението на цилиндър, като правило, е правоъгълник, разположен успоредно на оста на фигурата. В противен случай се нарича самолет. Оказва се, че дължината и ширината са и компонентите на други фигури. Така че, конвенционално дължините на секциите са генератори. Ширина - паралелни акорди на стереометрична фигура.
4. Аксиален разрез означава разположението на равнината през центъра на тялото.
5. И накрая, окончателно определение. Допирателна равнина е равнина, преминаваща през образуващата цилиндър и под прав ъгъл спрямо аксиалното сечение. В този случай трябва да е изпълнено едно условие. Посочената генератриса трябва да влезе в равнината на аксиалното сечение.

Основни формули за работа с цилиндър

За да се отговори на въпроса как да се намери площта на цилиндъра, е необходимо да се проучат основните „компоненти“ на стереометричната фигура и формулите за намирането им.

Тези формули се различават по това, че първите изрази са дадени за надвесен цилиндър, а след това - за прав.

Примери с разглобен разтвор

Трябва да знаете площта на страничната повърхност на цилиндъра. Като се има предвид диагоналът на участъка AC \u003d 8 cm (и е аксиален). При контакт с генератора се оказва< ACD = 30°

Решение. Тъй като стойностите на диагонала и ъгъла са известни, тогава в този случай:

• CD \u003d AC * cos 30 °.

Коментирайте. Триъгълник ACD, в конкретен пример, правоъгълна. Това означава, че коефициентът на CD и AC \u003d косинус на присъстващия ъгъл. Стойност тригонометрични функции можете да намерите в специална таблица.

По същия начин можете да намерите стойността на AD:

• AD \u003d AC * sin 30 °

Сега е необходимо да се изчисли желаният резултат съгласно следната формулировка: площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на два пъти резултата от умножаването на "pi", радиуса на фигурата и нейната височина. Трябва да се използва друга формула: площта на основата на цилиндъра. Той е равен на резултата от умножаването на "pi" по квадрата на радиуса. И накрая, последната формула: цялата зона повърхност. Тя е равна на сумата от предишните две области.

Дадени са цилиндри. Техният обем \u003d 128 * n cm³. Кой цилиндър има най-малката обща повърхност?

Решение. Първо трябва да използвате формулите за намиране на обема на фигурата и нейната височина.

Тъй като общата площ на цилиндъра е известна от теорията, е необходимо да се приложи неговата формула.

Ако разгледаме получената формула като функция от площта на цилиндъра, тогава минималният "индикатор" ще бъде достигнат в екстремната точка. За да получите последната стойност, трябва да използвате диференциация.

Формулите могат да бъдат разгледани в специална таблица за намиране на производни. В бъдеще намереният резултат се приравнява на нула и се намира решението на уравнението.

Отговор: S min ще бъде достигнат при h \u003d 1/32 cm, R \u003d 64 cm.

Дадена е стереометрична фигура - цилиндър и разрез. Последното се извършва по такъв начин, че да е успоредно на оста на стереометричното тяло. Цилиндърът има следните параметри: VK \u003d 17 см, h \u003d 15 см, R \u003d 5 см. Необходимо е да се намери разстоянието между участъка и оста.

Тъй като напречното сечение на цилиндъра се разбира като VSCM, т.е.правоъгълник, тогава неговата страна е BM \u003d h. Необходимо е да се вземе предвид спиралата. Триъгълникът е правоъгълен. Въз основа на това твърдение можем да изведем правилното предположение, че MK \u003d BC.

VK² \u003d VM² + MK²

MK² \u003d VK² - VM²

MK² \u003d 17² - 15²

Следователно можем да заключим, че MK \u003d BC \u003d 8 cm.

Следващата стъпка е да изрежете основата на фигурата. Необходимо е да се разгледа получената равнина.

AD е диаметърът на стереометричната фигура. Той е успореден на раздела, споменат в декларацията за проблема.

BC - права линия, разположена в равнината на съществуващия правоъгълник.

ABCD е трапец. В конкретен случай се счита за равнобедрен, тъй като около него е описан кръг.

Ако откриете височината на получения трапец, можете да получите отговора, поставен в началото на проблема. А именно: намиране на разстоянието между оста и начертания участък.

За това е необходимо да се намерят стойностите на AD и OC.

Отговор: участъкът се намира на 3 см от оста.

Задачи за консолидиране на материала

Даден цилиндър. В следващото решение се използва страничната повърхност. Известни са и други параметри. Площта на основата е Q, площта на аксиалното сечение е M. Необходимо е да се намери S. С други думи, общата площ на цилиндъра.

Даден цилиндър. Страничната повърхност трябва да бъде намерена в една от стъпките за решаване на проблема. Известно е, че височината \u003d 4 см, радиусът \u003d 2 см. Необходимо е да се намери общата площ на стереометричната фигура.

Има много задачи, свързани с цилиндър. Те трябва да намерят радиуса и височината на тялото или вида на сечението му. Освен това понякога трябва да изчислите площта на цилиндъра и неговия обем.

Кое тяло е цилиндър?

Знам училищна програма кръговият, т.е. като такъв в основата, се изучава цилиндър. Но елипсовидният външен вид на тази фигура също се отличава. От името става ясно, че основата му ще бъде елипса или овал.

Цилиндърът има две основи. Те са равни помежду си и са свързани чрез отсечки от линии, които съответстват на съответните базови точки. Те се наричат \u200b\u200bобразуващи цилиндъра. Всички генератори са успоредни един на друг и равни. Именно те изграждат страничната повърхност на тялото.

IN общ случай цилиндърът е наклонено тяло. Ако генераторите правят прав ъгъл с основите, те вече говорят за права фигура.

Интересното е, че кръгъл цилиндър е тяло на революцията. Получава се чрез завъртане на правоъгълник около едната му страна.

Основните елементи на цилиндъра

Основните елементи на цилиндъра са както следва.

1. Височина. Това е най-краткото разстояние между основите на цилиндъра. Ако е права, тогава височината съвпада с образуващата.
2. Радиус. Същата като тази, която може да бъде нарисувана в основата.
3. Оста. Това е права линия, която съдържа центровете на двете бази. Оста винаги е успоредна на всички генератори. В прав цилиндър той е перпендикулярен на основите.
4. Аксиално сечение. Образува се, когато равнината, която съдържа оста, пресича цилиндъра.
5. Допирателна равнина. Той преминава през една от образуващите и е перпендикулярен на аксиалното сечение, което се изтегля през тази образуваща.

Как е свързан цилиндърът с вписана или описана около него призма?

Понякога има проблеми, при които е необходимо да се изчисли площта на цилиндъра и са известни някои елементи от призмата, свързани с него. Как се отнасят тези цифри?

Ако в цилиндър е вписана призма, то нейните основи са равни полигони. Освен това те са вписани в съответните основи на цилиндрите. Страничните ръбове на призмата съвпадат с образуващите.

Описаната призма има правилни многоъгълници в основите. Те са описани около кръговете на цилиндъра, които са неговите основи. Плоскостите, които съдържат челата на призмата, се допират до цилиндъра по техните генерации.

За площта на страничната повърхност и основата за прав кръгъл цилиндър

Ако развиете страничната повърхност, ще получите правоъгълник. Страните му ще съвпадат с образуващата и обиколката на основата. Следователно страничната площ на цилиндъра ще бъде равна на произведението на тези две стойности. Ако запишете формулата, ще получите следното:

S страна \u003d l * n,

където n е генераторът, l е обиколката.

Освен това последният параметър се изчислява по формулата:

l \u003d 2 π * r,

тук r е радиусът на окръжността, π е числото "pi", равно на 3.14.

Тъй като основата е кръг, нейната площ се изчислява, като се използва следният израз:

S основно \u003d π * r 2.

За площта на цялата повърхност на прав кръгъл цилиндър

Тъй като се формира от две основи и странична повърхност, трябва да добавите тези три стойности. Тоест, общата площ на цилиндъра ще бъде изчислена по формулата:

S етаж \u003d 2 π * r * n + 2 π * r 2.

Често се пише в различна форма:

S етаж \u003d 2 π * r (n + r).

За областите на наклонен кръгъл цилиндър

Що се отнася до основите, всички формули са еднакви, защото те все още са кръгове. Но страничната повърхност вече не дава правоъгълник.

За да изчислите площта на страничната повърхност на наклонен цилиндър, ще трябва да умножите стойностите на образуващата и периметъра на участъка, които ще бъдат перпендикулярни на избраната образуваща.

Формулата изглежда така:

S страна \u003d x * P,

където x е дължината на образуващата цилиндър, P е периметърът на сечението.

Между другото, по-добре е да изберете раздел, така че да образува елипса. Тогава изчисленията на нейния периметър ще бъдат опростени. Дължината на елипсата се изчислява с помощта на формула, която дава приблизителен отговор. Но често е достатъчно за задачите на училищния курс:

l \u003d π * (a + b),

където "a" и "b" са полуосите на елипсата, т.е. разстоянието от центъра до най-близките и най-отдалечените точки.

Площта на цялата повърхност трябва да се изчисли, като се използва следният израз:

S етаж \u003d 2 π * r 2 + x * R.

На какво са равни някои секции на прав кръгъл цилиндър?

Когато участъкът премине през оста, тогава неговата площ се определя като произведение на образуващата и диаметъра на основата. Това се дължи на факта, че изглежда като правоъгълник, чиито страни съвпадат с посочените елементи.

За да намерите площта на напречното сечение на цилиндър, който е успореден на аксиалния, ще ви трябва и формула за правоъгълник. В тази ситуация едната му страна все още ще съвпада с височината, а другата е равна на хордата на основата. Последното съвпада с линията на сечението в основата.

Когато участъкът е перпендикулярен на оста, тогава изглежда като кръг. Освен това площта му е същата като в основата на фигурата.

Възможно е и пресичане под определен ъгъл спрямо оста. След това в раздела се получава овал или част от него.

Примери за задачи

Задача номер 1. Като се има предвид прав цилиндър, чиято основна площ е 12,56 cm 2. Необходимо е да се изчисли общата площ на цилиндъра, ако височината му е 3 cm.

Решение. Необходимо е да се използва формулата за общата площ на кръгъл прав цилиндър. Но липсват данни, а именно базовият радиус. Но площта на кръга е известна. Лесно е да се изчисли радиусът от него.

Оказва се, че е равен на квадратния корен от коефициента, който се получава чрез разделяне на площта на основата на pi. След разделяне на 12,56 на 3,14 излиза 4. Корен квадратен от 4 е 2. Следователно радиусът ще има точно тази стойност.

Отговор: S етаж \u003d 50,24 cm 2.

Задача номер 2. Цилиндър с радиус 5 cm се пресича от равнина, успоредна на оста. Разстоянието от участъка до оста е 3 см. Височината на цилиндъра е 4 см. Необходимо е да се намери площта на участъка.

Решение. Формата на секцията е правоъгълна. Едната му страна съвпада с височината на цилиндъра, а другата е равна на хордата. Ако първата стойност е известна, тогава трябва да се намери втората.

За това трябва да се направи допълнителна конструкция. Начертайте два сегмента в основата. И двамата ще започнат в центъра на кръга. Първият ще завърши в центъра на хордата и ще бъде равен на известното разстояние до оста. Вторият е в края на акорда.

Ще получите правоъгълен триъгълник. В нея са известни хипотенузата и един от краката. Хипотенузата съвпада с радиуса. Вторият крак е равен на половината от акорда. Неизвестният крак, умножен по 2, ще даде желаната дължина на акорда. Нека изчислим стойността му.

За да намерите непознатия крак, трябва да карете хипотенузата и известния катет, да извадите втория от първия и да извлечете квадратния корен. Квадратите са равни на 25 и 9. Разликата им е 16. След извличане на квадратния корен остава 4. Това е необходимият крак.

Акордът ще бъде 4 * 2 \u003d 8 (см). Сега можете да изчислите площта на напречното сечение: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Отговор: S сечение е равно на 32 cm 2.

Задача номер 3. Необходимо е да се изчисли площта на аксиалното сечение на цилиндъра. Известно е, че в него е вписан куб с ръб 10 см.

Решение. Аксиалният разрез на цилиндъра съвпада с правоъгълника, който преминава през четирите върха на куба и съдържа диагоналите на неговите основи. Страната на куба е образуващата цилиндър, а диагоналът на основата съвпада с диаметъра. Продуктът на тези две стойности ще даде площта, която трябва да знаете в проблема.

За да намерите диаметъра, трябва да използвате знанието, че в основата на куба има квадрат, а диагоналът му образува равностранен правоъгълен триъгълник. Нейната хипотенуза е желаният диагонал на фигурата.

За да го изчислите, ви е необходима формулата на питагорейската теорема. Трябва да изравните страната на куба на квадрат, да го умножите по 2 и да извлечете квадратния корен. Десет до втора степен е сто. Умножено по 2 - двеста. Квадратният корен от 200 е 10√2.

Разрезът отново е правоъгълник със страни 10 и 10√2. Площта му може лесно да бъде изчислена чрез умножаване на тези стойности.

Отговор. S разрез \u003d 100√2 cm 2.

Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на правоъгълника, чиято основа е равна на 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра з, т.е. 2π rh.

Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2 + 2π rh \u003d 2π r(r+ з).

Площта на страничната повърхност на цилиндъра се приема като сканиране страничната му повърхност.

Следователно площта на страничната повърхност на прав кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) И се изчислява по формулата

S b.ts. \u003d 2πRH, (1)

Ако добавим областите на двете му основи към площта на страничната повърхност на цилиндъра, тогава получаваме площта на общата повърхност на цилиндъра

S пълен \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Прав обем на цилиндъра

където Q е основната площ, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като площта на основата на цилиндъра е Q, има последователности от описани и вписани полигони с области Q н и Q ' н такъв, че

\\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q н \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ' н \u003d Q.

Нека да конструираме последователност от призми, чиито основи са гореописаните и вписани полигони, а страничните ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Обемите им се намират по формулите

V н \u003d Q н H и V ' н \u003d Q ' н H.

Следователно,

V \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q н H \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ’ н H \u003d QH.

Последствие.
Обемът на прав кръгъл цилиндър се изчислява по формулата

V \u003d π R 2 H

където R е радиусът на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като основата на кръгъл цилиндър е окръжност с радиус R, тогава Q \u003d π R 2 и следователно

Телата на революцията, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.

Ако при проблем на изпита по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера - считайте се за късметлия.

Приложете формули за обем и повърхност за цилиндър, конус и топка. Всички те са в нашата таблица. Научавам наизуст. Тук започват знанията за стереометрията.

Понякога е добра идея да нарисувате изглед отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.

2. Колко пъти обемът на конус, описан за правилна четириъгълна пирамида, е по-голям от обема на конус, вписан в тази пирамида?

Това е просто - нарисувайте изглед отдолу. Виждаме, че радиусът по-голям кръг пъти по-голям от по-малкия радиус. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.

Друг важен момент... Не забравяйте, че в задачите на част Б опции за изпита по математика отговорът се записва като цяло число или окончателно десетична... Следователно не трябва да има никакъв или във вашия отговор в част Б. Не е нужно да замествате приблизителната стойност на числото! Трябва да се намали с всички средства! За това при някои проблеми задачата е формулирана, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на“.

Къде другаде се прилагат формулите за обема и повърхността на въртящите се тела? Разбира се, в проблем C2 (16). Ще ви разкажем и за това.

Цилиндърът (произлиза от гръцкия език, от думите "валяк", "валяк") е геометрично тяло, което е ограничено навън от повърхност, наречена цилиндрична, и две равнини. Тези равнини пресичат повърхността на фигурата и са успоредни една на друга.

Цилиндрична повърхност е повърхност, която се получава от права линия в пространството. Тези движения са такива, че избраната точка от тази права линия се движи по плоска крива. Такава права линия се нарича генерация, а извита линия се нарича водач.

Цилиндърът се състои от двойка основи и страна цилиндрична повърхност... Има няколко вида цилиндри:

1. Кръгъл, прав цилиндър. За такъв цилиндър основата и водачът са перпендикулярни на образуващата линия и има

2. Наклонен цилиндър. Неговият ъгъл между генериращата линия и основата не е правилен.

3. Цилиндър с различна форма. Хиперболични, елиптични, параболични и други.

Площта на цилиндъра, както и общата площ на всеки цилиндър, се намира чрез добавяне на областите на основите на тази фигура и площта на страничната повърхност.

Формулата за изчисляване на общата площ на цилиндър за кръгъл, прав цилиндър:

Sp \u003d 2p Rh + 2p R2 \u003d 2p R (h + R).

Площта на страничната повърхност е малко по-трудна от площта на цилиндъра като цяло; тя се изчислява чрез умножаване на дължината на генериращата линия по периметъра на участъка, образуван от равнината, която е перпендикулярна към генериращата линия.

Даден цилиндър за кръгъл, прав цилиндър се разпознава от разгъването на този обект.

Плоският модел е правоъгълник, който има височина h и дължина P, която се равнява на периметъра на основата.

Оттук следва, че страничната площ на цилиндъра е еднаква площ почистване и може да се изчисли по тази формула:

Ако вземем кръгъл, прав цилиндър, тогава за него:

P \u003d 2p R и Sb \u003d 2p Rh.

Ако цилиндърът е наклонен, тогава площта на страничната повърхност трябва да бъде равна на произведението на дължината на нейната образуваща линия и периметъра на участъка, който е перпендикулярен на тази образуваща линия.

За съжаление, няма проста формула за изразяване на страничната повърхност на наклонения цилиндър по отношение на височината му и параметрите на основата му.

За да изчислите цилиндъра, трябва да знаете няколко факта. Ако участък с равнината му пресича основите, тогава такъв участък винаги е правоъгълник. Но тези правоъгълници ще бъдат различни, в зависимост от позицията на секцията. Едната от страните на аксиалния разрез на фигурата, която е перпендикулярна на основите, е равна на височината, а другата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра. И площта на такъв участък, съответно, е равна на произведението на едната страна на правоъгълника на другата, перпендикулярна на първата, или произведението на височината на тази фигура на диаметъра на нейната основа.

Ако участъкът е перпендикулярен на основите на фигурата, но не минава през оста на въртене, тогава площта на този участък ще бъде равна на произведението на височината на този цилиндър и определена хорда. За да получите акорд, трябва да изградите кръг в основата на цилиндъра, да начертаете радиус и да начертаете разстоянието, на което се намира секцията. И от тази точка трябва да нарисувате перпендикуляри на радиуса от пресечната точка с окръжността. Точките на пресичане са свързани с центъра. А основата на триъгълника е желаната, която се търси, звучи по следния начин: "Сборът от квадратите на два катета е равен на хипотенузата на квадрат":

C2 \u003d A2 + B2.

Ако участъкът не докосва основата на цилиндъра, а самият цилиндър е кръгъл и прав, тогава площта на този участък се намира като площ на кръг.

Площта на кръга е:

S env. \u003d 2п R2.

За да намерите R, трябва да разделите дължината му C на 2n:

R \u003d C \\ 2п, където n е числото pi, математическа константа, изчислена за работа с данните на кръга и равна на 3.14.