İhtiyacınız olursa bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır bir fonksiyonun limitini hesaplamak. programı çözüm sınırları Sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda yol gösteriyor açıklamalarla ayrıntılı çözüm yani Limit hesaplama sürecini görüntüler.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar Testlere ve sınavlara hazırlıkta, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi

matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Limiti hesapla
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.

Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir. Lütfen bekleyin

saniye... çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Fonksiyonun x->x 0'daki limiti

f(x) fonksiyonu bir X kümesi üzerinde tanımlansın ve \(x_0 \X\'te \) veya \(x_0 \X'te değil\) noktası olsun

X'ten x 0'dan farklı bir noktalar dizisi alalım:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*'a yakınsıyor. Bu dizinin noktalarındaki fonksiyon değerleri de sayısal bir dizi oluşturur
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir.

Tanım. A sayısına, x argümanının x 0'dan farklı değerlerinin herhangi bir dizisi (1) için ise, x = x 0 noktasında (veya x -> x 0'da) f(x) fonksiyonunun limiti denir. x 0'a yakınsayan değer fonksiyonunun karşılık gelen dizisi (2), A sayısına yakınsar.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında yalnızca bir limiti olabilir. Bu, dizinin şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
(f(x n))'nin tek limiti vardır.

Bir fonksiyonun limitinin başka bir tanımı daha vardır.

Tanım Herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir \(\delta > 0\) sayısı varsa, A sayısına f(x) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki limiti denir; öyle ki tüm \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), eşitsizliği karşılayan \(|x-x_0| Mantıksal semboller kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Eşitsizliklerin \(x \neq x_0) olduğuna dikkat edin , \; |x-x_0| İlk tanım sayı dizisinin limiti kavramına dayanmaktadır, bu nedenle genellikle “diziler dilinde” tanımı olarak adlandırılır. \(\varepsilon - \delta \)”.
Bir fonksiyonun limitinin bu iki tanımı eşdeğerdir ve belirli bir problemi çözmek için hangisinin daha uygun olduğuna bağlı olarak ikisinden birini kullanabilirsiniz.

Bir fonksiyonun limitinin “diziler dilinde” tanımına, Heine'e göre bir fonksiyonun limitinin tanımı ve “\(\varepsilon - dilinde) bir fonksiyonun limitinin tanımına da denildiğine dikkat edin. \delta \)” aynı zamanda Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımı olarak da adlandırılır.

Fonksiyonun x->x 0 - ve x->x 0 +'daki limiti

Aşağıda bir fonksiyonun aşağıdaki şekilde tanımlanan tek taraflı limit kavramlarını kullanacağız.

Tanım A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki sağ (sol) limiti denir; eğer x n elemanları x 0'dan büyük (küçük) olan herhangi bir dizi (1) x 0'a yakınsarsa, karşılık gelen dizi (2) A'ya yakınsar.

Sembolik olarak şöyle yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Bir fonksiyonun tek taraflı limitlerinin eşdeğer bir tanımını “\(\varepsilon - \delta \) dilinde” verebiliriz:

Tanım herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(\delta > 0\) mevcutsa ve tüm x'leri tatmin edecek şekilde bir A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında sağ (sol) limiti denir. eşitsizlikler \(x_0 Sembolik girdiler:

Bazı açıklayıcı örneklere bakalım.

x bir sayı olsun değişken miktar, X değişimin alanıdır. X'e ait her x sayısı belli bir y sayısıyla ilişkilendiriliyorsa, X kümesi üzerinde bir fonksiyonun tanımlı olduğunu söylerler ve y = f(x) yazarlar.
X'i ayarlayın bu durumda- iki parçadan oluşan bir uçak koordinat eksenleri– 0X ve 0Y. Örneğin y = x 2 fonksiyonunu tanımlayalım. 0X ve 0Y eksenleri X'i oluşturur - değişim alanı. Şekil, fonksiyonun nasıl davrandığını açıkça göstermektedir. Bu durumda y = x 2 fonksiyonunun X kümesinde tanımlı olduğunu söylüyorlar.

Bir fonksiyonun tüm kısmi değerlerinin Y kümesine f(x) değerler kümesi denir. Başka bir deyişle değerler kümesi, fonksiyonun tanımlandığı 0Y ekseni boyunca aralıktır. Gösterilen parabol açıkça f(x) > 0 olduğunu göstermektedir, çünkü x2 > 0. Dolayısıyla değerlerin aralığı olacaktır. Birçok değere 0Y ile bakıyoruz.

Tüm x'lerin kümesine f(x)'in tanım kümesi denir. Birçok tanıma 0X ile bakıyoruz ve bizim durumumuzda kabul edilebilir değer aralığı [-; +]

Bir a noktasına (a ait veya X), eğer a noktasının herhangi bir komşuluğunda X kümesinin a'dan farklı noktaları varsa, X kümesinin sınır noktası olarak adlandırılır.

Bir fonksiyonun limitinin ne olduğunu anlamanın zamanı geldi mi?

x, a sayısına doğru yönelirken fonksiyonun yöneldiği saf b'ye denir fonksiyonun sınırı. Bu şu şekilde yazılmıştır:

Örneğin f(x) = x 2. Fonksiyonun x 2'de neye eğilimli olduğunu (eşit olmadığını) bulmamız gerekiyor. İlk önce limiti yazıyoruz:

Grafiğe bakalım.

0X ekseni üzerindeki 2 noktasından geçerek 0Y eksenine paralel bir çizgi çizelim. Grafiğimizle (2;4) noktasında kesişecektir. Bu noktadan 0Y eksenine bir dikme bırakalım ve 4 noktasına gelelim. Fonksiyonumuz x 2'de bunu hedefliyor. Şimdi 2 değerini f(x) fonksiyonunda yerine koyarsak cevap aynı olacaktır.

Şimdi devam etmeden önce limitlerin hesaplanması, temel tanımları tanıtalım.

19. yüzyılda Fransız matematikçi Augustin Louis Cauchy tarafından tanıtıldı.

Diyelim ki f(x) fonksiyonu x = A noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlı, ancak f(A) değerinin tanımlanması kesinlikle gerekli değil.

O halde Cauchy'nin tanımına göre, fonksiyonun sınırı Her C > 0 için bir D > 0 sayısı varsa f(x), x'in A'ya yöneldiği belirli bir B sayısı olacaktır;

Onlar. x A'daki f(x) fonksiyonu B limitiyle sınırlıysa, bu şu şekilde yazılır:

Sıra sınırı keyfi olarak küçük olan herhangi bir sayı için belirli bir A sayısı çağrılır. pozitif sayı> 0'da, n > N durumundaki tüm değerlerin eşitsizliği karşıladığı bir N sayısı vardır

Bu sınır şuna benziyor.

Limiti olan bir diziye yakınsak, değilse ıraksak diyeceğiz.

Daha önce fark ettiğiniz gibi, limitler, değişken için bazı koşulların yazıldığı lim simgesiyle gösterilir ve ardından fonksiyonun kendisi yazılır. Böyle bir küme “bir fonksiyonun limiti...” olarak okunacaktır. Örneğin:

- x 1'e doğru giderken fonksiyonun limiti.

"1'e yaklaşıyor" ifadesi, x'in art arda 1'e sonsuz yaklaşan değerleri alması anlamına gelir.

Artık bu sınırı hesaplamak için x yerine 1 değerini koymanın yeterli olduğu açıkça ortaya çıkıyor:

Spesifik ek olarak sayısal değer x sonsuza doğru yönelebilir. Örneğin:

X ifadesi, x'in sürekli arttığını ve sınırsız olarak sonsuza yaklaştığını ifade eder. Bu nedenle, x yerine sonsuzluğu koyarsak, 1-x fonksiyonunun ters işaretle yöneleceği açık hale gelir:

Böylece, limitlerin hesaplanması spesifik değerini veya limitle sınırlanan fonksiyonun düştüğü belirli bir alanı bulmaktan ibarettir.

Yukarıdakilere dayanarak, limitleri hesaplarken birkaç kuralın kullanılmasının önemli olduğu anlaşılmaktadır:

Anlamak sınırın özü ve temel kurallar sınır hesaplamaları, bunları nasıl çözeceğiniz konusunda önemli bilgiler edineceksiniz. Herhangi bir sınır size zorluk çıkarıyorsa, yorumlara yazın, size kesinlikle yardımcı olacağız.

Not: Hukuk, çatışmalara ve diğer yaşam zorluklarına yardımcı olan hukuk bilimidir.

Limit teorisi- matematiksel analizin bazılarının ustalaşabileceği, bazılarının ise limitleri hesaplamada zorluk çekebileceği bölümlerden biri. Düzinelerce teknik olduğundan sınırları bulma sorunu oldukça geneldir. çözüm sınırları çeşitli türler. Aynı limitler hem L'Hopital kuralı kullanılarak hem de kuralsız olarak bulunabilir. Bir dizi sonsuz küçük fonksiyonun programlanması, istenen sonucu hızlı bir şekilde elde etmenize olanak sağlar. Herhangi bir karmaşıklıktaki bir fonksiyonun sınırını bulmanızı sağlayan bir dizi teknik ve püf noktası vardır. Bu yazıda pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız. Burada limitin teorisini ve tanımını vermeyeceğiz; internette bunun tartışıldığı birçok kaynak var. Bu nedenle pratik hesaplamalara geçelim, burada "Bilmiyorum! Yapamam! Bize öğretilmedi!"

İkame yöntemini kullanarak limitlerin hesaplanması

Örnek 1. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Çözüm: Bu tür örnekler teorik olarak olağan ikame yöntemi kullanılarak hesaplanabilir.

Sınır 18/11'dir.
Bu limitlerin karmaşık veya akıllıca hiçbir yanı yoktur; değeri yerine koyduk, hesapladık ve cevap olarak limiti yazdık. Ancak bu sınırlara dayanarak herkese öncelikle değeri fonksiyonun yerine koymaları gerektiği öğretilir. Dahası, sonsuzluk, belirsizlik ve benzeri kavramların ortaya çıkmasıyla sınırlar daha karmaşık hale gelir.

Sonsuzun sonsuzluğa bölümü gibi belirsizlik içeren bir sınır. Belirsizliği Açıklama Teknikleri

Örnek 2. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuz).
Çözüm: Polinom formunun bir polinoma bölünmesiyle elde edilen bir limit verilir ve değişken sonsuza eğilimlidir.

Limitleri bulmak için değişkenin bulunması gereken değeri basitçe değiştirmek işe yaramayacaktır, sonsuzun sonsuzluğa bölünmesi şeklindeki belirsizliği elde ederiz.
Limit teorisine göre limit hesaplama algoritması pay veya paydadaki “x”in en büyük gücünü bulmaktır. Daha sonra pay ve payda basitleştirilir ve fonksiyonun limiti bulunur.

Değişken sonsuza yaklaştığında değer sıfıra yöneldiğinden, bunlar ihmal edilir veya son ifadeye sıfır şeklinde yazılır.

Pratikten hemen sonra hesaplamalarda ipucu olan iki sonuç elde edebilirsiniz. Bir değişken sonsuza doğru gidiyorsa ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, o zaman limit sonsuza eşittir. Aksi takdirde, paydadaki polinom paydakinden daha yüksek mertebedeyse limit sıfırdır.
Limit şu formüllerle yazılabilir:

Kesirsiz sıradan bir alan şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, limiti sonsuza eşittir.

Bir sonraki limit türü sıfıra yakın fonksiyonların davranışıyla ilgilidir.

Örnek 3. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Çözüm: Burada polinomun baş faktörünü çıkarmaya gerek yok. Tam tersi, pay ve paydanın en küçük kuvvetini bulup limitini hesaplamanız gerekiyor.

Değer x^2; Değişken sıfıra yaklaştığında x sıfıra yönelir. Bu nedenle ihmal edilirler, dolayısıyla şunu elde ederiz.

sınırın 2,5 olduğunu.

Artık biliyorsun bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur Formda, değişken sonsuza veya 0'a eğilimliyse bir polinomu bir polinoma bölün. Ancak bu, örneklerin yalnızca küçük ve kolay bir kısmıdır. Aşağıdaki materyalden öğreneceksiniz Bir fonksiyonun limitlerindeki belirsizliklerin nasıl ortaya çıkarılacağı.

0/0 tipi belirsizlikle limit ve hesaplama yöntemleri

Sıfıra bölünemez kuralını herkes hemen hatırlar. Ancak bu bağlamda limitler teorisi sonsuz küçük fonksiyonları ima eder.
Netlik sağlamak için birkaç örneğe bakalım.

Örnek 4. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Çözüm: x = -1 değişkeninin değerini paydaya yazarsak sıfır olur, payda da aynı şeyi elde ederiz. Yani elimizde formun belirsizliği 0/0.
Böyle bir belirsizlikle başa çıkmak basittir: Polinomu çarpanlarına ayırmanız veya daha doğrusu fonksiyonu sıfıra çeviren faktörü seçmeniz gerekir.

Genişletmeden sonra fonksiyonun limiti şu şekilde yazılabilir:

Bir fonksiyonun limitini hesaplamanın tüm yöntemi budur. Polinom formunun bir polinoma bölünen bir limiti varsa aynısını yaparız.

Örnek 5. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Çözüm: Doğrudan ikame gösterileri
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
elimizde ne var tip 0/0 belirsizlik.
Polinomları tekilliği ortaya çıkaran faktöre bölelim


2. dereceden polinomların yani “ikinci dereceden denklemler” tipinin diskriminant yoluyla çözülmesi gerektiğini öğreten öğretmenler var. Ancak gerçek uygulama bunun daha uzun ve daha kafa karıştırıcı olduğunu gösteriyor, bu nedenle belirtilen algoritmanın sınırları dahilindeki özelliklerden kurtulun. Böylece fonksiyonu forma yazıyoruz asal faktörler ve sınıra kadar hesaplayın

Gördüğünüz gibi bu limitlerin hesaplanmasında karmaşık bir şey yok. Limitleri çalıştığınızda, polinomları nasıl böleceğinizi bilirsiniz, en azından zaten geçmiş olmanız gereken programa göre.
Görevler arasında tip 0/0 belirsizlik Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gereken bazıları vardır. Ancak bunları bilmiyorsanız, bir polinomu bir tek terime bölerek istediğiniz formülü elde edebilirsiniz.

Örnek 6. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Çözüm: 0/0 türünde bir belirsizliğimiz var. Payda kısaltılmış çarpma formülünü kullanıyoruz

ve gerekli limiti hesaplayın

Belirsizliği eşleniğiyle çarparak ortaya çıkarma yöntemi

Yöntem belirsizliğin oluşturulduğu limitlere uygulanır irrasyonel fonksiyonlar. Hesaplama noktasında pay veya payda sıfıra döner ve sınırın nasıl bulunacağı bilinmemektedir.

Örnek 7. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Çözüm: Değişkeni limit formülünde temsil edelim

Yerine koyarken 0/0 tipinde bir belirsizlik elde ederiz.
Limitler teorisine göre bu özelliği atlamanın yolu irrasyonel ifadeyi eşleniğiyle çarpmaktır. İfadenin değişmemesini sağlamak için paydanın aynı değere bölünmesi gerekir

Kareler farkı kuralını kullanarak payı basitleştirir ve fonksiyonun limitini hesaplarız.

Limitte tekilliği oluşturan terimleri sadeleştiriyoruz ve ikame işlemini gerçekleştiriyoruz

Örnek 8. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Çözüm: Doğrudan ikame, limitin 0/0 şeklinde bir tekilliğe sahip olduğunu gösterir.

Genişletmek için payın eşleniğiyle çarpıp bölüyoruz

Kareler farkını yazıyoruz

Tekilliği ortaya koyan terimleri basitleştiriyoruz ve fonksiyonun limitini buluyoruz

Örnek 9. Bir fonksiyonun limitini bulma
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Çözüm: Formülde ikiyi yerine koyarız

Aldık belirsizlik 0/0.
Payda eşlenik ifadeyle çarpılmalı ve payda ikinci dereceden denklem tekillik dikkate alınarak çözülmeli veya çarpanlara ayrılmalıdır. 2'nin bir kök olduğu bilindiğinden ikinci kökü Vieta teoremini kullanarak buluyoruz.

Böylece payı formda yazıyoruz

ve onu limitin yerine koy

Kareler farkını azaltarak pay ve paydadaki tekilliklerden kurtuluruz

Bu sayede birçok örnekte tekilliklerden kurtulabilirsiniz ve yerine koyma sırasında belirli bir kök farkının sıfıra dönüştüğü her yerde uygulamaya dikkat edilmelidir. Diğer limit türleri endişe verici üstel fonksiyonlar, sonsuz küçük fonksiyonlar, logaritmalar, özel limitler ve diğer teknikler. Ancak bunu limitlerle ilgili aşağıda listelenen makalelerden okuyabilirsiniz.

Limitler teorisi matematiksel analizin dallarından biridir. Çeşitli türlerdeki limitleri çözmek için düzinelerce yöntem olduğundan, limitleri çözme sorunu oldukça kapsamlıdır. Bunu veya bu sınırı çözmenize izin veren düzinelerce nüans ve püf noktası var. Yine de pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız.

Limit kavramıyla başlayalım. Ama önce kısa bir tane tarihsel arka plan. 19. yüzyılda matan kavramının pek çok kavramına kesin tanımlar veren ve temellerini atan Fransız Augustin Louis Cauchy yaşadı. Bu saygın matematikçinin, çok sayıda matematiksel analiz teoremini kanıtladığı ve bir teoremin diğerinden daha öldürücü olduğu için tüm fizik ve matematik bölümü öğrencilerinin kabuslarında olduğunu, öyle olduğunu ve olacağını söylemek gerekir. Bu bağlamda, henüz dikkate almayacağız Cauchy limitinin belirlenmesi, ama iki şey yapmaya çalışalım:

1. Limitin ne olduğunu anlayın.
2. Ana limit türlerini çözmeyi öğrenin.

Bazı bilimsel olmayan açıklamalar için özür diliyorum, malzemenin bir çaydanlık için bile anlaşılır olması önemli ki aslında projenin amacı da bu.

Peki sınır nedir?

Ve neden tüylü büyükanneye bir örnek....

Herhangi bir limit üç bölümden oluşur:

1) İyi bilinen limit simgesi.
2) Bu durumda limit simgesinin altındaki girişler. Girişte "X bire eğilimlidir" yazıyor. Çoğu zaman - tam olarak, pratikte "X" yerine başka değişkenler olmasına rağmen. Pratik görevlerde, birinin yeri kesinlikle herhangi bir sayı olabileceği gibi sonsuzluk () da olabilir.
3) Bu durumda limit işaretinin altındaki fonksiyonlar.

Kaydın kendisi şu şekilde okunur: "x birliğe doğru giderken bir fonksiyonun limiti."

Bir sonraki önemli soruya bakalım - “x” ifadesi ne anlama geliyor? çabalıyor birine"? Peki "çabalamak" ne anlama geliyor?
Limit kavramı tabiri caizse bir kavramdır, dinamik. Bir dizi oluşturalım: önce , sonra , , …, , ….
Yani “x” ifadesi çabalıyor bire” şu şekilde anlaşılmalıdır: “x” sürekli olarak değerleri alır birliğe sonsuz derecede yakın olan ve pratik olarak onunla örtüşen.

Yukarıdaki örnek nasıl çözülür? Yukarıdakilere dayanarak, limit işaretinin altındaki fonksiyona bir tane koymanız yeterlidir:

Yani ilk kural: Herhangi bir limit verildiğinde, ilk önce sayıyı fonksiyona yerleştirmeye çalışırız..

En basit sınırı düşündük, ancak bunlar pratikte de ortaya çıkıyor ve çok da nadir değil!

Sonsuzlukla örnek:

Ne olduğunu bulalım mı? Sınırsız arttığında durum budur: önce, sonra, sonra, sonra vb. sonsuza kadar.

Şu anda fonksiyona ne olacak?
, , , …

Yani: eğer ise fonksiyon eksi sonsuza doğru yönelir:

Kabaca söylemek gerekirse, ilk kuralımıza göre fonksiyonda “X” yerine sonsuzluğu koyarız ve cevabı alırız.

Sonsuzluğa başka bir örnek:

Tekrar sonsuza kadar artırmaya başlıyoruz ve fonksiyonun davranışına bakıyoruz:

Sonuç: fonksiyon sınırsız arttığında:

Ve bir dizi örnek daha:

Lütfen aşağıdakileri kendiniz zihinsel olarak analiz etmeye çalışın ve en basit sınır türlerini hatırlayın:

, , , , , , , , ,
Herhangi bir yerde şüpheniz varsa, bir hesap makinesi alıp biraz pratik yapabilirsiniz.
Bu durumda , , dizisini oluşturmaya çalışın . Eğer öyleyse , , .

! Not: Açıkçası, birkaç sayıdan oluşan diziler oluşturmaya yönelik bu yaklaşım yanlıştır, ancak en basit örnekleri anlamak için oldukça uygundur.

Ayrıca şu hususa da dikkat edin. Üstte büyük bir sayıyla, hatta bir milyonla bir sınır verilse bile: yine de aynıdır. çünkü er ya da geç "X" o kadar devasa değerler almaya başlayacak ki, bir milyon karşılaştırıldığında gerçek bir mikrop olacak.

Yukarıdakilerden neyi hatırlamanız ve anlamanız gerekiyor?

1) Herhangi bir limit verildiğinde, önce sayıyı fonksiyonda yerine koymaya çalışırız.

2) Aşağıdaki gibi en basit sınırları anlamalı ve hemen çözmelisiniz: . . . vesaire.

Üstelik limitin çok iyi bir geometrik anlamı var. Konuyu daha iyi anlamak için okumanızı tavsiye ederim. metodolojik materyal Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bu makaleyi okuduktan sonra, yalnızca limitin ne olduğunu anlamakla kalmayacak, aynı zamanda genel olarak bir fonksiyonun limitinin ne olduğuyla ilgili ilginç durumları da öğreneceksiniz. mevcut değil!

Uygulamada maalesef çok az hediye var. Bu nedenle daha karmaşık sınırları dikkate almaya geçiyoruz. Bu arada bu konu hakkında yoğun kurs pdf formatında, özellikle hazırlanmak için ÇOK az zamanınız varsa kullanışlıdır. Ancak site materyalleri elbette daha kötü değil:

Şimdi fonksiyon, payı ve paydası polinomlar içeren bir kesir olduğunda limit grubunu ele alacağız.

Örnek:

Limiti hesapla

Kuralımıza göre fonksiyonun yerine sonsuzluğu koymaya çalışacağız. En üstte ne elde ederiz? Sonsuzluk. Peki aşağıda ne olur? Ayrıca sonsuzluk. Böylece tür belirsizliği denilen şeyle karşı karşıyayız. İnsan bunu düşünebilir ve cevap hazırdır, ancak genel durum Durum hiç de böyle değil ve şimdi ele alacağımız bazı çözümleri uygulamanız gerekiyor.

Bu tür limitler nasıl çözülür?

İlk önce paya bakıyoruz ve en yüksek gücü buluyoruz:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve en yüksek kuvvetini de buluyoruz:

Paydanın en yüksek derecesi ikidir.

Daha sonra pay ve paydanın en yüksek kuvvetini seçiyoruz: bu örnekteçakışırlar ve ikiye eşittirler.

Yani çözüm yöntemi şu şekildedir: Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı en büyük kuvvete bölmek gerekir.

İşte cevap, hiç de sonsuzluk değil.

Bir kararın tasarımında temel olarak önemli olan nedir?

Öncelikle varsa belirsizliği belirtiyoruz.

İkinci olarak ara açıklamalar için çözüme ara verilmesi tavsiye edilir. Ben genelde işaretini kullanıyorum, herhangi bir matematiksel anlamı yok ama çözümün ara bir açıklama için kesintiye uğradığı anlamına geliyor.

Üçüncüsü, limitte neyin nereye gittiğini işaretlemeniz tavsiye edilir. İş elle hazırlandığında bunu şu şekilde yapmak daha uygundur:

Notlar için basit bir kalem kullanmak daha iyidir.

Elbette bunların hiçbirini yapmanıza gerek yok ama o zaman belki öğretmen çözümdeki eksiklikleri işaret edecek veya sormaya başlayacaktır. ek sorular görevde. İhtiyacın var mı?

Örnek 2

Sınırı bulun
Yine pay ve paydada en yüksek dereceyi buluyoruz:

Payda maksimum derece: 3
Paydadaki maksimum derece: 4
Seçmek en büyük değer, bu durumda dört.
Algoritmamıza göre belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölüyoruz.
Tam kayıt görevler şöyle görünebilir:

Pay ve paydayı şuna bölün:

Örnek 3

Sınırı bulun
Paydaki maksimum “X” derecesi: 2
Paydadaki “X”in maksimum derecesi: 1 (şu şekilde yazılabilir)
Belirsizliği ortaya çıkarmak için pay ve paydayı 'ye bölmek gerekir. Nihai çözüm şöyle görünebilir:

Pay ve paydayı şuna bölün:

Gösterim sıfıra bölmek anlamına gelmez (sıfıra bölemezsiniz), sonsuz küçük bir sayıya bölmek anlamına gelir.

Böylece tür belirsizliğini açığa çıkararak şunları yapabiliriz: son sayı, sıfır veya sonsuz.

Tür belirsizliği ve bunları çözme yöntemi ile sınırlar

Bir sonraki limit grubu, az önce ele alınan limitlere bir şekilde benzer: pay ve payda polinomlar içerir, ancak "x" artık sonsuza gitme eğiliminde değildir, ancak sonlu sayı.

Örnek 4

Limiti çöz
Öncelikle kesrin yerine -1 koymayı deneyelim:

Bu durumda belirsizlik adı verilen durum elde edilir.

Genel kural : pay ve payda polinomlar içeriyorsa ve formda belirsizlik varsa, bunu açıklayın pay ve paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Bunu yapmak için çoğunlukla ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve/veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanız gerekir. Bunları unuttuysanız sayfayı ziyaret edin Matematiksel formüller ve tablolar ve öğretim materyalini okuyun Sıcak formüller okul kursu matematikçiler. Bu arada, yazdırmak en iyisidir; çok sık gereklidir ve bilgiler kağıttan daha iyi emilir.

O halde hadi limitimizi çözelim

Pay ve paydayı çarpanlarına ayırın

Payı çarpanlara ayırmak için ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir:

İlk önce diskriminantı buluyoruz:

Ve bunun karekökü: .

Diskriminant büyükse, örneğin 361, bir hesap makinesi kullanırız, çıkarma işlevi karekök en basit hesap makinesinde mevcuttur.

! Kök tamamen çıkarılmazsa (görünüşe göre kesirli sayı virgülle), diskriminantın yanlış hesaplanmış olması veya görevde bir yazım hatası olması çok muhtemeldir.

Daha sonra kökleri buluyoruz:

Böylece:

Tüm. Pay çarpanlara ayrılmıştır.

Payda. Payda zaten en basit faktördür ve onu basitleştirmenin bir yolu yoktur.

Açıkçası, şu şekilde kısaltılabilir:

Şimdi limit işaretinin altında kalan ifadeyi -1 ile değiştiriyoruz:

Doğal olarak deneme çalışması Bir test veya sınav sırasında çözüm asla bu kadar ayrıntılı yazılmaz. Son versiyonda tasarım şöyle görünmelidir:

Payı çarpanlarına ayıralım.

Örnek 5

Limiti hesapla

İlk olarak çözümün “bitiş” versiyonu

Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.

Pay:
Payda:



,

Bu örnekte önemli olan nedir?
Öncelikle payın nasıl ortaya çıktığını iyi anlamalısınız, önce parantezlerden 2'yi çıkardık, sonra kareler farkı formülünü kullandık. Bilmeniz ve görmeniz gereken formül budur.

Tavsiye: Bir limitte (neredeyse her türden) bir sayıyı parantezlerden çıkarmak mümkünse, o zaman bunu her zaman yaparız.
Ayrıca bu sayıların sınır simgesinin ötesine taşınması tavsiye edilir.. Ne için? Evet, sırf yolumuza çıkmasınlar diye. Önemli olan daha sonra çözüm sırasında bu sayıları kaybetmemek.

Lütfen çözümün son aşamasında limit simgesinden ikisini ve ardından eksiyi çıkardığımı unutmayın.

! Önemli
Çözüm sırasında tip parçası çok sık ortaya çıkıyor. Bu oranı azaltınyasak . Öncelikle payın veya paydanın işaretini değiştirmeniz gerekir (parantez içine -1 koyun).
yani limit hesaplanırken dikkate alınan bir eksi işareti belirir ve onu kaybetmeye hiç gerek yoktur.

Genel olarak, bu tür limitleri bulurken çoğunlukla iki çözümü çözmemiz gerektiğini fark ettim. ikinci dereceden denklemler yani hem pay hem de payda kare trinomialler içerir.

Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpma yöntemi

Formun belirsizliğini dikkate almaya devam ediyoruz

Bir sonraki limit türü önceki türe benzer. Tek şey polinomlara ek olarak kökleri de ekleyeceğiz.

Örnek 6

Sınırı bulun

Karar vermeye başlayalım.

İlk önce limit işaretinin altındaki ifadeye 3'ü koymaya çalışıyoruz
Bir kez daha tekrar ediyorum - HERHANGİ bir limit için yapmanız gereken ilk şey budur. Bu eylem genellikle zihinsel olarak veya taslak halinde gerçekleştirilir.

Ortadan kaldırılması gereken bir form belirsizliği elde edildi.

Muhtemelen fark ettiğiniz gibi payımız kök farkını içermektedir. Ve matematikte mümkünse köklerden kurtulmak gelenekseldir. Ne için? Ve onlarsız hayat daha kolaydır.

Dizilerin ve fonksiyonların limiti kavramları. Bir dizinin limitinin bulunması gerektiğinde şu şekilde yazılır: lim xn=a. Böyle bir dizi dizisinde xn a'ya, n ise sonsuza doğru yönelir. Sıra genellikle bir seri olarak temsil edilir, örneğin:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Diziler artan ve azalan olarak ikiye ayrılır. Örneğin:
xn=n^2 - artan dizi
yn=1/n - dizi
Örneğin, xn=1/n^ dizisinin limiti:
lim 1/n^2=0

x→∞
n→∞ olduğundan bu limit sıfıra eşittir ve 1/n^2 dizisi sıfıra yönelir.

Tipik olarak, değişken bir x miktarı sonlu bir a sınırına doğru yönelir ve x sürekli olarak a'ya yaklaşır ve a miktarı sabittir. Bu şu şekilde yazılır: limx =a, n de sıfıra ya da sonsuza yönelebilir. Limitinin sonsuza doğru yöneldiği sonsuz fonksiyon vardır. Diğer durumlarda, örneğin fonksiyon bir treni yavaşlatırken limit sıfıra yönelir.
Limitlerin bir takım özellikleri vardır. Tipik olarak herhangi bir fonksiyonun yalnızca bir sınırı vardır. Bu limitin ana özelliğidir. Diğerleri aşağıda listelenmiştir:
* Tutar limiti limitlerin toplamına eşittir:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Ürün limiti limitlerin çarpımına eşittir:
lim(xy)=lim x*lim y
* Bölümün limiti limitlerin bölümüne eşittir:
lim(x/y)=lim x/lim y
*Sabit faktör limit işaretinin dışına alınır:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ olan bir 1 /x fonksiyonu verildiğinde limiti sıfırdır. Eğer x→0 ise böyle bir fonksiyonun limiti ∞'dur.
İçin trigonometrik fonksiyonlar bu kurallardandır. Çünkü günah fonksiyonu x sıfıra yaklaştığında her zaman birliğe yönelir, özdeşlik onun için geçerlidir:
lim günah x/x=1

Bir dizi fonksiyonda, limitleri hesaplarken belirsizliğin ortaya çıktığı, limitin hesaplanamadığı bir durum olan fonksiyonlar vardır. Bu durumdan çıkmanın tek yolu L'Hopital'dir. İki tür belirsizlik vardır:
*formun belirsizliği 0/0
*formun belirsizliği ∞/∞
Örneğin, aşağıdaki biçimde bir limit verilmiştir: lim f(x)/l(x) ve f(x0)=l(x0)=0. Bu durumda 0/0 formunda bir belirsizlik ortaya çıkar. Böyle bir sorunu çözmek için her iki fonksiyonun türevi alınır ve ardından sonucun limiti bulunur. 0/0 tipi belirsizlikler için limit:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0'da)
Aynı kural ∞/∞ tipindeki belirsizlikler için de geçerlidir. Ancak bu durumda şu eşitlik doğrudur: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital kuralını kullanarak belirsizliklerin ortaya çıktığı herhangi bir limitin değerini bulabilirsiniz. Bunun için bir önkoşul

hacim - türevleri bulurken hata yok. Yani örneğin (x^2)" fonksiyonunun türevi 2x'e eşittir. Buradan şu sonuca varabiliriz:
f"(x)=nx^(n-1)