Excel'de ortalama değeri bulmak için (sayısal, metinsel, yüzde veya başka bir değer olması fark etmez) birçok fonksiyon vardır. Ve her birinin kendine has özellikleri ve avantajları vardır. Gerçekten de, bu görevde belirli koşullar belirlenebilir.

Örneğin, Excel'deki bir dizi sayının ortalama değerleri, istatistiksel işlevler kullanılarak hesaplanır. Ayrıca kendi formülünüzü manuel olarak da girebilirsiniz. Çeşitli seçenekleri ele alalım.

Sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?

Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplayın ve toplamı sayıya bölün. Örneğin, bir öğrencinin bilgisayar bilimlerindeki notları: 3, 4, 3, 5, 5. Çeyrek ötesine geçenler: 4. Aritmetik ortalamayı şu formülle bulduk: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Excel işlevleriyle hızlı bir şekilde nasıl yapılır? Örneğin, diziyi alın rastgele sayılarÇizgide:

Veya: hücreyi etkinleştirin ve formülü manuel olarak girin: = ORTALAMA (A1: A8).

Şimdi ORTALAMA işlevinin başka neler yapabileceğini görelim.

İlk iki ve son üç sayının aritmetik ortalamasını bulun. Formül: = ORTALAMA (A1: B1; F1: H1). Sonuç:

Koşullara göre ortalama

Aritmetik ortalamayı bulma koşulu, sayısal bir ölçüt veya bir metin ölçütü olabilir. Fonksiyonu kullanacağız: = AVERAGEIF ().

ortalamayı bul aritmetik sayılar 10'dan büyük veya ona eşit olan.

fonksiyon: = EĞERORTALAMA (A1: A8, "> = 10")

Üçüncü bağımsız değişken - "Ortalama aralığı" - atlanır. İlk olarak, isteğe bağlıdır. İkinci olarak, program tarafından analiz edilen aralık YALNIZCA Sayısal değerler... İlk bağımsız değişkende belirtilen hücreler, ikinci bağımsız değişkende belirtilen koşul tarafından aranacaktır.

Dikkat! Arama kriteri hücrede belirtilebilir. Ve formülde ona bir bağlantı yapın.

Metin ölçütüne göre sayıların ortalama değerini bulalım. Örneğin, "masalar" ürününün ortalama satışları.

İşlev şöyle görünecektir: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Aralık - ürün adlarını içeren bir sütun. Arama kriteri, "tablolar" kelimesine sahip bir hücreye bağlantıdır (A7 bağlantısı yerine "tablolar" kelimesini ekleyebilirsiniz). Ortalama aralığı - ortalamayı hesaplamak için verilerin alınacağı hücreler.

Fonksiyonun hesaplanması sonucunda aşağıdaki değeri elde ederiz:

Dikkat! Bir metin kriteri (koşul) için ortalama aralığı belirtilmelidir.

Excel'de ağırlıklı ortalama fiyat nasıl hesaplanır?

Ağırlıklı ortalama fiyatı nasıl öğrendik?

Formül: = TOPLA (C2: C12; B2: B12) / TOPLA (C2: C12).

SUMPRODUCT formülünü kullanarak, tüm mal miktarının satışından sonraki toplam geliri buluruz. Ve SUM işlevi, malların miktarını özetler. Ürünün satışından elde edilen toplam geliri, ürünün toplam adet sayısına bölerek ağırlıklı ortalama fiyatı bulduk. Bu gösterge, her fiyatın "ağırlığını" hesaba katar. Değerlerin toplam kütlesindeki payı.

Standart sapma: Excel'de formül

Genel popülasyon ve örneklem için standart sapma arasında ayrım yapın. İlk durumda, köküdür. genel varyans... İkincisinde, örnek varyansından.

Bu istatistiği hesaplamak için bir varyans formülü derlenir. Kök ondan çıkarılır. Ancak Excel'in standart sapmayı bulmak için hazır bir işlevi vardır.

Standart sapma, orijinal verilerin ölçeğine bağlıdır. Bu, analiz edilen aralığın varyasyonunun mecazi bir temsili için yeterli değildir. Varyasyon katsayısı, göreli veri varyansı seviyesini elde etmek için hesaplanır:

standart sapma / aritmetik ortalama

Excel'deki formül şöyle görünür:

STDEVP (değer aralığı) / ORTALAMA (değer aralığı).

Varyasyon katsayısı yüzde olarak hesaplanır. Bu nedenle, hücrede yüzde biçimini ayarladık.

Matematik ve istatistikte ortalama aritmetik (veya kolayca ortalama) sayı kümesi, bu kümedeki tüm sayıların toplamının sayılarına bölümüdür. Aritmetik ortalama, özellikle yaygın ve en yaygın bir temsildir. ortalama boyut.

İhtiyacın olacak

• Matematik bilgisi.

Talimatlar

1. Dört sayı kümesi verilsin. keşfetmek gerekiyor ortalama anlam bu kit. Bunu yapmak için önce tüm bu sayıların toplamını buluruz. Bu sayılar 1, 3, 8, 7 olabilir. Toplamları S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19'a eşittir. Sayı kümesi aynı işaretli sayılardan oluşmalıdır, aksi takdirde ortalama değeri hesaplamanın anlamı kayıp.

2. Ortalama anlam sayılar kümesi, S sayılarının toplamının bu sayıların sayısına bölünmesine eşittir. Yani, ortaya çıkıyor ortalama anlam eşittir: 19/4 = 4.75.

3. Bir küme için, yalnızca algılamaya da izin verilir. ortalama aritmetik, aynı zamanda ortalama geometrik. Birkaç normal gerçek sayının geometrik ortalaması, çarpımlarının değişmemesi için bu sayılardan herhangi birinin yerine geçmesine izin verilen bir sayıdır. Geometrik ortalama G şu formülle bulunur: Bir sayı kümesinin çarpımının N'inci kökü, burada N kümedeki sayıların sayısıdır. Aynı sayı kümesine bakalım: 1, 3, 8, 7. Onları bulun. ortalama geometrik. Bunu yapmak için ürünü sayalım: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Şimdi 168 sayısından 4. derecenin kökünü çıkarmanız gerekiyor: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Böylece ortalama geometrik sayılar kümesi 3.61'dir.

Ortalama toplamda geometrik, aritmetik ortalamadan daha az kullanılır, ancak zamanla değişen göstergelerin ortalama değerini hesaplarken yararlı olabilir (bireysel çalışanın maaşı, performans göstergelerinin dinamikleri vb.).

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesap makinesi

Talimatlar

1. Bir sayı dizisinin geometrik ortalamasını bulmak için önce tüm bu sayıları çarpmanız gerekir. Diyelim ki size beş gösterge verildi: 12, 3, 6, 9 ve 4. Tüm bu sayıları çarpalım: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Şimdi, ortaya çıkan sayıdan, gücün kökünü çıkarmanız gerekiyor, sayıya eşit satır öğeleri. Bizim durumumuzda, bir mühendislik hesap makinesi kullanarak 7776 sayısından beşinci kökü çıkarmak gerekli olacaktır. Bu işlemden sonra elde edilen sayı bu durumda 6 numara - ilk sayı grubu için geometrik ortalama olacaktır.

3. Elinizde bir mühendislik hesap makinesi yoksa, Excel'deki SRGEOM işlevinin desteğiyle veya özellikle geometrik ortalama değerleri hesaplamak için hazırlanmış çevrimiçi hesaplayıcılardan birini kullanarak bir dizi sayının geometrik ortalamasını hesaplayabilirsiniz.

Not!
2 sayı için her birinin geometrik ortalamasını bulmanız gerekiyorsa, mühendislik hesaplayıcısına ihtiyacınız yoktur: 2. derecenin kökünü çıkarın ( Kare kök) en sıradan hesap makinesinin yardımıyla herhangi bir sayıdan izin verilir.

faydalı tavsiye
Aritmetik ortalamanın aksine, geometrik ortalama, incelenen gösterge setindeki bireysel değerler arasındaki büyük sapmalardan ve dalgalanmalardan çok fazla etkilenmez.

Ortalama anlam, bir dizi sayının harmanlanmasından biridir. Bu sayı kümesindeki en büyük ve en küçük değerlerle tanımlanan aralığın dışında olamayacak bir sayıyı temsil eder. Ortalama aritmetik anlam, özellikle yaygın olarak kullanılan bir ortalama çeşididir.

Talimatlar

1. Aritmetik ortalamayı elde etmek için kümedeki tüm sayıları toplayın ve terim sayısına bölün. Belirli hesaplama koşullarına bağlı olarak, sayıların her birini kümedeki değer sayısına bölmek ve toplamı toplamak bazen daha kolaydır.

2. Örneğin, aritmetik ortalamayı kafanızda hesaplamak mümkün değilse, Windows hesap makinesini kullanın. Program başlatma iletişim kutusunun desteğiyle açılmasına izin verilir. Bunu yapmak için "kısayol tuşlarına" WIN + R basın veya "Başlat" düğmesine tıklayın ve ana menüde "Çalıştır" komutunu seçin. Ardından giriş alanına calc yazın ve klavyede Enter'a basın veya "Tamam" düğmesini tıklayın. Aynısı ana menüden de yapılabilir - açın, "Tüm programlar" bölümüne ve "Tipik" bölümlere gidin ve "Hesap Makinesi" satırını seçin.

3. Setteki tüm sayıları, hepsinden sonra (sonuncusu hariç) klavyedeki "Artı" tuşuna basarak veya hesap makinesi arayüzünde ilgili düğmeye tıklayarak adım adım girin. Hem klavyeden hem de arayüzdeki ilgili düğmelere tıklayarak sayıların girilmesine de izin verilir.

4. Kümenin son değerini girdikten sonra eğik çizgi tuşuna (eğik çizgi) basın veya hesap makinesi arayüzünde bu simgeye tıklayın ve dizideki sayı sayısını yazın. Ardından eşittir işaretine basın, hesap makinesi aritmetik ortalamayı hesaplayacak ve gösterecektir.

5. Aynı amaç için Microsoft Excel elektronik tablo düzenleyicisinin kullanılmasına izin verilir. Bu durumda, düzenleyiciyi başlatın ve bitişik hücrelere sayı dizisinin tüm değerlerini girin. Tüm sayıyı girdikten sonra Enter'a veya aşağı veya sağ ok tuşuna basarsanız, düzenleyicinin kendisi giriş odağını bitişik hücreye taşır.

6. Girilen tüm değerleri seçin ve editör penceresinin sol alt köşesinde (durum çubuğunda) seçilen hücreler için aritmetik ortalama değeri göreceksiniz.

7. Yalnızca aritmetik ortalamayı görmekle yetinmiyorsanız, son girilen sayının yanındaki hücreye tıklayın. Açılır listeyi "Ana" sekmesindeki "Düzenle" komut grubundaki Yunanca sigma (Σ) harfiyle genişletin. " satırını seçin Ortalama»Ve editör, seçilen hücredeki aritmetik ortalamayı hesaplamak için gerekli formülü ekleyecektir. Enter tuşuna basın ve değer hesaplanacaktır.

Aritmetik ortalama, matematik ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Birkaç değerin aritmetik ortalamasını bulmak çok kolaydır, ancak her görevin gerçekleştirmeyi bilmek için kendi nüansları vardır. doğru hesaplamalar ilkel olarak gerekli.

aritmetik ne demek

Aritmetik ortalama, her bir ilk sayı dizisi için ortalama değeri belirler. Başka bir deyişle, belirli bir sayı kümesinden, tüm öğeler için matematiksel karşılaştırması tüm öğelerle yaklaşık olarak eşit olan evrensel bir değer seçilir. Aritmetik ortalama, tercihen mali ve istatistiksel raporların hazırlanmasında veya sahip olunan benzer becerilerin nicel sonuçlarının hesaplanmasında kullanılır.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur

Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını bulmak, bu değerlerin cebirsel toplamını belirlemekle başlamalıdır. Örneğin, dizi 23, 43, 10, 74 ve 34 sayılarını içeriyorsa, bunların cebirsel toplamı 184 olacaktır. Yazarken aritmetik ortalama harfle gösterilir? (mu) veya x (bir çubuklu x). daha uzak cebirsel toplam dizideki sayı sayısına bölünmelidir. Söz konusu örnekte beş sayı vardı, bu nedenle aritmetik ortalama 184/5'e eşit olacak ve 36.8 olacaktır.

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

Dizi negatif sayılar içeriyorsa, benzer bir algoritma kullanılarak aritmetik ortalama bulunur. Fark, yalnızca programlama ortamında hesaplama yaparken veya görevde ek veriler varsa. Bu durumlarda aritmetik ortalamanın bulunması çeşitli işaretlerüç adıma iner: 1. Genel aritmetik ortalamayı standart bir şekilde bulma; 2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma 3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması Eylemlerin her birinin sonuçları virgülle ayrılmış olarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

Bir sayı dizisi ondalık kesirlerle temsil ediliyorsa, çözüm tam sayıların aritmetik ortalamasını hesaplama yöntemiyle gerçekleştirilir, ancak sonucun doğruluğu için sorunun gereksinimlerine göre toplam azaltılır.Doğal kesirler ile çalışırken , dizideki sayıların sayısıyla çarpılan ortak bir paydaya indirgenmelidirler. Sonucun payı, ilk kesirli elemanların verilen paylarının toplamı olacaktır.

Ortalama geometrik sayılar sadece sayıların mutlak değerine değil, aynı zamanda sayılarına da bağlıdır. Sayıların geometrik ortalamasını ve aritmetik ortalamasını karıştırmak imkansızdır, çünkü bunlar farklı metodolojilere göre bulunur. Bu durumda, geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçük veya ona eşittir.

İhtiyacın olacak

• Mühendislik hesap makinesi.

Talimatlar

1. Genel olarak, sayıların geometrik ortalamasının, bu sayıların çarpılması ve onlardan sayıların sayısına karşılık gelen gücün kökünün çıkarılmasıyla bulunduğunu düşünün. Örneğin, beş sayının geometrik ortalamasını bulmak gerekiyorsa, üründen beşinci kökü çıkarmak gerekecektir.

2. 2 sayının geometrik ortalamasını bulmak için temel kuralı kullanın. Ürünlerini bulun ve ardından sayının iki olduğu gerçeğinden, kökün derecesine karşılık gelen karekökü çıkarın. Örneğin 16 ve 4 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için 16 4 = 64 çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayıdan karekökü çıkarın? 64 = 8. Bu istenen değer olacaktır. Lütfen bu 2 sayının aritmetik ortalamasının daha büyük ve 10'a eşit olduğuna dikkat edin. Kök tam olarak çıkarılmamışsa, toplamı gerekli sıraya yuvarlayın.

3. 2'den fazla sayının geometrik ortalamasını bulmak için de temel kuralı kullanın. Bunu yapmak için, geometrik ortalamasını bulmanız gereken tüm sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan üründen, sayıların sayısına eşit olan gücün kökünü çıkarın. Örneğin 2, 4 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulmak için çarpımlarını bulun. 2 4 64 = 512. 3 sayının geometrik ortalamasının toplamını bulmak gerektiğinden, üçüncü derecenin kökünü üründen çıkarın. Bunu sözlü olarak yapmak zordur, bu nedenle bir mühendislik hesap makinesi kullanın. Bunu yapmak için “x ^ y” düğmesi vardır. 512 numarasını çevirin, "x ^ y" düğmesine basın, ardından 3 sayısını çevirin ve "1 / x" düğmesine basın, 1/3 değerini bulmak için "=" düğmesine basın. 512'yi üçüncü kuvvetin köküne tekabül eden 1/3 kuvvetine yükseltmenin sonucunu elde ederiz. 512 ^ 1/3 = 8 olsun. Bu, 2.4 ve 64'ün geometrik ortalamasıdır.

4. Bir mühendislik hesap makinesi desteği ile farklı bir yöntemle geometrik ortalamayı bulmak mümkündür. Klavyedeki günlük düğmesini bulun. Daha sonra tüm sayıların logaritmasını alın, toplamlarını bulun ve sayıların sayısına bölün. Ortaya çıkan sayıdan antilogaritmayı alın. Bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır. Örneğin, aynı sayıların 2, 4 ve 64'ün geometrik ortalamasını bulmak için hesap makinesinde bir dizi işlem yapın. 2 numarayı çevirin, ardından günlük düğmesine basın, “+” düğmesine basın, 4 numarayı çevirin ve günlük ve “+” düğmesine tekrar basın, 64'ü çevirin, günlük ve “=” tuşlarına basın. Sonuç, 2, 4 ve 64 sayılarının ondalık logaritmalarının toplamına eşit bir sayı olacaktır. Ortaya çıkan sayıyı, geometrik ortalamanın arandığı sayıların sayısı olduğu gerçeğinden 3'e bölün. Toplamdan, büyük/küçük harf düğmesini değiştirerek antilogaritmayı alın ve aynı günlük anahtarını kullanın. Sonuç, istenen geometrik ortalama olan 8 sayısıdır.

Not!
Ortalama değer, kümedeki en büyük sayıdan büyük ve en küçüğünden küçük olamaz.

faydalı tavsiye
Matematiksel istatistikte ortalama değere matematiksel beklenti denir.

Disipline göre: İstatistik

Seçenek numarası 2

İstatistiklerde kullanılan ortalamalar

Giriş ……………………………………………………………………… .3

teorik görev

İstatistikte ortalama değer, özü ve kullanım koşulları.

1.1. Ortalama büyüklüğün özü ve kullanım koşulları ………… .4

1.2. Ortalama değer türleri ……………………………………………… 8

pratik görev

Görev 1,2,3 …………………………………………………………………… 14

Sonuç …………………………………………………………………… .21

Kullanılan literatür listesi …………………………………………… ... 23

Tanıtım

Bu Ölçek teorik ve pratik olmak üzere iki bölümden oluşur. Teorik bölümde, özünü ve kullanım koşullarını belirlemek ve ayrıca ortalama türlerini ve hesaplama yöntemlerini vurgulamak için ortalama gibi önemli bir istatistiksel kategori ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

İstatistikler, bildiğiniz gibi, toplu sosyo-ekonomik olayları inceler. Bu fenomenlerin her biri, aynı özelliğin farklı bir nicel ifadesine sahip olabilir. Örneğin, aynı meslekteki işçilerin ücretleri veya aynı ürün için piyasadaki fiyatlar vb. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Herhangi bir değişken (nicel olarak değişen) özellik grubunu incelemek için istatistikler ortalamaları kullanır.

orta esans

Ortalama değer, değişen bir özelliğe göre aynı tipteki bir dizi olgunun genelleştirici nicel bir özelliğidir. Ekonomik uygulamada, ortalamalar olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Ortalama değerin en önemli özelliği, kümenin bireysel birimlerindeki niceliksel farklılıklarına rağmen, tüm kümedeki belirli bir özelliğin değerini bir sayı ile temsil etmesi ve incelenen tüm birimlerde var olan geneli ifade etmesidir. Ayarlamak. Böylece, nüfusun bir biriminin özellikleri aracılığıyla, tüm nüfusu bir bütün olarak karakterize eder.

Ortalama değerler, büyük sayılar yasası ile ilişkilidir. Bu bağlantının özü, ortalama alma sırasında, büyük sayılar yasasının etkisinden dolayı bireysel değerlerin rastgele sapmalarının birbirini iptal etmesi ve ortalamada, ana gelişme eğilimi, gerekliliği ve düzenliliği olduğu gerçeğinde yatmaktadır. açıklığa kavuşmuş. Ortalamalar, farklı sayıda birime sahip popülasyonlarla ilgili göstergeleri karşılaştırmanıza olanak tanır.

Ekonomide piyasa ilişkilerinin gelişiminin modern koşullarında, ortalamalar, sosyo-ekonomik fenomenlerin nesnel yasalarını incelemek için bir araç görevi görür. Ancak, içinde ekonomik analiz sadece ortalama göstergelerle sınırlandırılamaz, çünkü genel olumlu ortalamaların arkasında hem bireysel ekonomik varlıkların faaliyetlerindeki büyük ciddi eksiklikleri hem de yeni, ilerici olanın filizlerini gizleyebilir. Örneğin, nüfusun gelire göre dağılımı, yeni nüfusun oluşumunu belirlemeyi mümkün kılar. sosyal gruplar... Bu nedenle, ortalama istatistiksel verilerle birlikte, nüfusun bireysel birimlerinin özelliklerini dikkate almak gerekir.

Ortalama değer, incelenen fenomeni etkileyen tüm faktörlerin sonucudur. Yani, ortalama değerler hesaplanırken, rastgele (tedirgin edici, bireysel) faktörlerin etkisi iptal edilir ve böylece incelenen fenomenin doğasında bulunan düzenliliği belirlemek mümkündür. Adolphe Quetelet, ortalama değerler yönteminin öneminin, tekten genele, tesadüfiden düzenliye geçiş olasılığında yattığını ve ortalama değerlerin varlığının bir nesnel gerçeklik kategorisi olduğunu vurguladı.

İstatistik, kitle olaylarını ve süreçlerini inceler. Bu fenomenlerin her biri, hem tüm küme için ortak hem de özel, bireysel özelliklere sahiptir. Bireysel fenomenler arasındaki ayrım, varyasyon olarak adlandırılır. Kitle fenomenlerinin bir başka özelliği, bireysel fenomenlerin özelliklerine doğal olarak yakın olmalarıdır. Bu nedenle, bir kümenin öğelerinin etkileşimi, özelliklerinin en azından bir kısmındaki varyasyonun sınırlandırılmasına yol açar. Bu eğilim nesnel olarak mevcuttur. Nedeni onun nesnelliğinde yatıyor en geniş uygulama pratikte ve teoride ortalamalar.

İstatistiklerdeki ortalama değere, belirli bir yer ve zaman koşullarında bir olgunun tipik seviyesini karakterize eden ve niteliksel olarak homojen bir popülasyonun birimi başına değişken bir özelliğin değerini yansıtan genelleştirici bir gösterge denir.

Ekonomik uygulamada, ortalamalar olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Ortalamalar yöntemini kullanarak istatistik birçok sorunu çözer.

Ortalamaların temel anlamı, onların genelleme işlevinde yatar, yani birçok farklı bireysel değerler tüm fenomenleri karakterize eden ortalama bir değere sahip bir özellik.

Ortalama, bir özelliğin niteliksel olarak homojen değerlerini özetliyorsa, belirli bir popülasyondaki bir özelliğin tipik bir özelliğidir.

Bununla birlikte, belirli bir özellik için homojen popülasyonlardaki ortalama değerlerin rolünü yalnızca tipik özelliklerin karakteristiğine indirgemek yanlıştır. Uygulamada, modern istatistikler çok daha sık, açıkça homojen fenomenleri genelleştiren ortalamaları kullanır.

Kişi başına düşen milli gelirin ortalama değeri, ülke genelinde ortalama tahıl mahsulü verimi, çeşitli gıda ürünlerinin ortalama tüketimi - bunlar, tek bir ulusal ekonomik sistem olarak devletin özellikleridir, bunlar sözde sistem ortalamalarıdır. .

Sistem ortalamaları, aynı anda var olan hem uzaysal hem de nesne sistemlerini (durum, endüstri, bölge, Dünya gezegeni, vb.) karakterize edebilir ve dinamik sistemler zaman içinde uzatılır (yıl, on yıl, mevsim, vb.).

Ortalamanın en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimlerinde bulunan geneli yansıtmasıdır. Nüfusun bireysel birimlerinin öznitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olanlar olabilen birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin, bir şirketin hisse senedi fiyatı bir bütün olarak onun tarafından belirlenir. Finansal durum... Aynı zamanda, belirli günlerde ve belirli borsalarda bu paylar, mevcut koşullar nedeniyle daha yüksek veya daha düşük bir oranda satılabilir. Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin etkisinin neden olduğu popülasyonun bireysel birimlerinin öznitelik değerlerindeki sapmaları iptal etmesi ve ana eylemin neden olduğu değişiklikleri dikkate alması gerçeğinde yatmaktadır. faktörler. Bu, ortalamanın özelliğin tipik seviyesini yansıtmasını ve bireysel birimlerde bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasını sağlar.

Ortalamanın hesaplanması yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama incelenen popülasyonun tüm birimleri için tipik (tipik) olan ortak olanı yansıtır, aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını göz ardı eder. Her fenomende ve gelişiminde şans ve gerekliliğin bir bileşimi vardır.

Ortalama, gerçekleştiği koşullardaki sürecin düzenliliklerinin özet bir özelliğidir.

Her ortalama, herhangi bir kriter için çalışılan popülasyonu karakterize eder, ancak herhangi bir popülasyonu karakterize etmek, tipik özelliklerini ve nitel özelliklerini tanımlamak için bir ortalama göstergeler sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle, sosyo-ekonomik olayların incelenmesi için yerel istatistik uygulamasında, kural olarak, bir ortalama göstergeler sistemi hesaplanır. Bu nedenle, örneğin, ortalama ücretin göstergesi, ortalama çıktı, sermaye-emek oranı ve güç-emek oranı, işin mekanizasyon derecesi ve otomasyonu vb. göstergeleri ile birlikte değerlendirilir.

Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır. Bu nedenle, sosyo-ekonomik analizde kullanılan belirli bir gösterge için, ortalamanın yalnızca bir gerçek değeri aşağıdakilere dayalı olarak hesaplanabilir: bilimsel yol hesaplama.

Ortalama değer, niceliksel olarak değişen bazı özelliklere göre aynı türdeki fenomenlerin bütününü karakterize eden en önemli genelleştirici istatistiksel göstergelerden biridir. İstatistikteki ortalamalar, niceliksel olarak değişen bir niteliğe göre sosyal fenomenlerin tipik karakteristik boyutlarını ifade eden sayılar, genelleştirici göstergelerdir.

Ortalama türleri

Ortalama değerlerin türleri, öncelikle hangi özelliğin, özelliğin bireysel değerlerinin ilk değişen kütlesinin hangi parametresinin değişmeden tutulması gerektiğine göre farklılık gösterir.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, toplamdaki bir özelliğin toplam miktarının değişmeden kaldığını hesaplarken, bir özelliğin böyle bir ortalama değeridir. Aksi takdirde, aritmetik ortalamanın ortalama terim olduğunu söyleyebiliriz. Bunu hesaplarken, bir özelliğin toplam hacmi, popülasyonun tüm birimleri arasında zihinsel olarak eşit olarak dağıtılır.

Aritmetik ortalama, ortalama özniteliğin (x) değerleri ve özniteliğin (f) belirli bir değerine sahip popülasyonun birimlerinin sayısı biliniyorsa kullanılır.

Aritmetik ortalama basit ve ağırlıklıdır.

basit aritmetik ortalama

x özniteliğinin her bir değeri bir kez meydana gelirse, yani basit kullanılır. her x için özniteliğin değeri f = 1 veya ilk veriler sıralanmamışsa ve özniteliğin belirli değerlerine sahip kaç birimin olduğu bilinmiyor.

Basit aritmetik ortalama formülü şu şekildedir.

İstatistiksel toplamların birimlerinin özellikleri anlamlarında farklıdır, örneğin, herhangi bir işletmenin aynı mesleğindeki işçilerin ücretleri aynı süre için aynı değildir, aynı ürünler için piyasadaki fiyatlar farklıdır. , bölgedeki çiftliklerdeki tarımsal ürünlerin verimi vb. Bu nedenle, incelenen tüm birim setinin karakteristik özelliğinin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer – belirli bir nicel özelliğin bireysel değer kümesinin genelleştirici bir özelliğidir.

Nicel bir kriter tarafından incelenen toplam, bireysel değerlerden oluşur; gibi etkilenirler ortak nedenler ve bireysel koşullar. Ortalama olarak, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları söndürülür. Bireysel değerler kümesinin bir fonksiyonu olan ortalama, tüm kümeyi tek bir değer olarak temsil eder ve tüm birimlerinde var olan ortak olanı yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ikincil... Örneğin, belirli bir meslek grubunun (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanının ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, nitelikleri, hizmet süreleri, aylık çalışma süreleri ve daha birçok faktördeki farklılık nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama seviye, ücret seviyesini etkileyen ana faktörleri yansıtır ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıklar karşılıklı olarak dengelenir. Ortalama ücret, belirli bir işçi türü için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, verilen popülasyonun niteliksel olarak nasıl homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Bütünlük onlardan oluşuyorsa ayrı parçalar, tipik gruplara ayrılmalıdır (hastanedeki ortalama sıcaklık).

Heterojen popülasyonlar için karakteristik olarak kullanılan araçlara denir. sistem ortalamaları... Örneğin, kişi başına düşen ortalama gayri safi yurtiçi hasıla (GSYİH), ortalama tüketim farklı gruplar tek bir ekonomik sistem olarak devletin genelleştirici özelliklerini temsil eden kişi başı mal ve benzeri diğer miktarlar.

Ortalama, yeterince büyük sayıda birimden oluşan popülasyonlar için hesaplanmalıdır. Bu koşula uygunluk, büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları karşılıklı olarak iptal edilir.

Ortalama türleri ve nasıl hesaplanacağı

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ekonomik içeriği ve ilk veriler tarafından belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalaması alınmış özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleme veya genellikle adlandırıldığı gibi, belirleyici gösterge, ortalama gösterge ile ilişkilidir. Örneğin, yolun ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama hızlarıyla değiştirirken, kat edilen toplam mesafe değişmemelidir. araç aynı zamanda; bir işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama bir ücretle değiştirirken ücretler maaş bordrosu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin doğasına bağlı olarak, göstergenin incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En yaygın olarak kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, kök-ortalama-kare ve kübik ortalamadır.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir Güç yasası ortalamalar ve genel formülle birleştirilir:
,
araştırılan özelliğin ortalama değeri nerede;
m - ortalamanın derecesinin göstergesi;
- ortalaması alınmış özelliğin mevcut değeri (varyant);
n, özelliklerin sayısıdır.
Üs m'nin değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç araçları türleri ayırt edilir:
m = -1'de - ortalama harmonik;
m = 0 - geometrik ortalama;
m = 1 için - aritmetik ortalama;
m = 2 için - kök-ortalama-kare;
m = 3 ile - ortalama kübik.
Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, yukarıdaki formülde m üssü ne kadar büyükse, daha fazla değer ortalama boyut:
.
Kuvvet yasasının bu özelliğine, üssünde bir artışla artış anlamına gelen belirleyici fonksiyon denir. majör ortalamalar kuralı.
İşaretli ortalamaların her biri iki şekilde olabilir: basit ve ağırlıklı.
Basit orta şekil ortalama birincil (gruplandırılmamış) verilerden hesaplandığında kullanılır. Ağırlıklı form- ikincil (gruplandırılmış) veriler için ortalama hesaplanırken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi, değişken özelliğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalamanın türü belirtilmemişse, aritmetik ortalamanın ima edildiğine dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şudur:

basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere göre formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değer ile karakterize edilen gözlem biriminin sıra sayısıdır;
N, gözlem birimlerinin sayısıdır (nüfus büyüklüğü).
Örnek."İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması" dersinde, 10 kişilik bir ekibin iş deneyiminin gözlemlenmesinin sonuçları dikkate alındı. Tugay çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplayalım. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Aritmetik ortalama asal formülüne göre, aşağıdakiler de hesaplanır kronolojik ortalamalar karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Örnek.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den olarak gerçekleşti. ikinci 54, üçüncü 65 ve dördüncü 58 gün için birimler. birimler Ortalama üç aylık ciro (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 den. birimler
Kronolojik seride moment göstergeleri verilirse, ortalama hesaplanırken, dönemin başında ve sonunda değerlerin yarı toplamları ile değiştirilirler.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
n, kaç kez
Verilerin karakteristik değerlere göre gruplandırılması durumunda (yani, ayrık bir varyasyon dağılım serisi oluşturulur) aritmetik ağırlıklı ortalama sayısı (k) önemli olan, özniteliğin belirli değerlerinin gözlem frekansları veya frekansları kullanılarak hesaplanır. daha az sayı gözlemler (N).
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i - varyasyon serisinin grup numarası.
a olduğundan, pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
ve
Örnek. Gruplandırılmış satır için çalışan ekiplerin ortalama kıdemlerini hesaplayalım.
a) frekansları kullanarak:

b) frekansları kullanarak:

Verilerin aralıklara göre gruplandırılması durumunda , yani aralık dağılım serisi şeklinde sunulur, aritmetik ortalama hesaplanırken, aralığın ortası, bu aralıktaki popülasyon birimlerinin tek tip bir dağılımı varsayımına dayanarak öznitelik değeri olarak alınır. Hesaplama aşağıdaki formüllere göre yapılır:
ve
aralığın ortası nerede:,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (bu aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırı ile çakışması şartıyla).

Örnek. 30 işçinin yıllık ücretlerine ilişkin çalışmanın sonuçlarına dayanarak oluşturulan aralıklı varyasyon serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım ("İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması" dersine bakın).
Tablo 1 - Aralıklı varyasyon dağılımı serisi.

grivnası veya grivnası
İlk veriler ve aralık varyasyon serileri temelinde hesaplanan aritmetik ortalamalar, öznitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda aritmetik ağırlıklı ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların orta noktaları değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı bir hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamasından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır.
1. Varyantın ortalamadan sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:
.
2. Varyantın tüm değerleri A değeri kadar artar veya azalırsa, ortalama değer de aynı A değeri kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B kat artırılır veya azaltılırsa, ortalama değer de aynı sayıda artar veya azalır:
veya
4. Varyantın ürünlerinin frekanslara göre toplamı, frekansların toplamına göre ortalama değerin ürününe eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, aritmetik ortalama değişmez:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, ağırlıklı aritmetik ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak hesaplamayı kolaylaştırır.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısı kadar, sonra B katı kadar azaltıldığını varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın orta değeri A olarak ve aralığın değeri (eşit aralıklı satırlar için) B olarak seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, bu nedenle bu ortalamayı hesaplama yöntemine denir. yol B ohm koşullu sıfırdan sayma veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümden sonra, varyantları eşit olan dağılımın yeni bir varyasyon serisini elde ederiz. Onların aritmetik ortalaması denir ilk sipariş anı, formül ile ifade edilir ve aritmetik ortalamanın ikinci ve üçüncü özelliklerine göre, orijinal seçeneklerin ortalamasına eşittir, önce A, sonra B çarpı, yani.
Almak gerçek ortalama(ilk serinin ortalaması), ilk derecenin anını B ile çarpmanız ve A eklemeniz gerekir:

Moment yöntemiyle aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 - İşletme mağazası çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İlk siparişin anını bulun ... Ardından, A = 17.5 ve B = 5 olduğunu bilerek, atölye çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz:
yıllar

ortalama harmonik
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekansının bilindiği durumlarda bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgiler, popülasyonun x bireysel varyantları için f frekanslarını içermiyor, ancak bunların çarpımı olarak sunuluyorsa, formül uygulanır. ortalama harmonik ağırlıklı... Ortalamayı hesaplamak için nerede olduğunu gösterelim. Bu ifadeleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde yerine koyarak, harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz:
,
i (i = 1,2, ..., k) sayısı ile aralıktaki gösterge özelliğinin değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerede.

Bu nedenle, ortalama harmonik, seçeneklerin kendilerinin toplamaya tabi olmadığı, ancak karşılıklı değerlerinin olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda, yani. ters özniteliğin bireysel değerleri bir kez oluşur, uygulanır ortalama harmonik basit:
,
her seferinde bir kez meydana gelen zıt işaretin bireysel varyantları nerede;
N, seçeneklerin sayısıdır.
Popülasyonun iki bölümü için harmonik ortalamalar varsa ve harmonik ortalamalar varsa, tüm popülasyon için toplam ortalama şu formülle hesaplanır:

ve aradı grup ortalamalarından ağırlıklı harmonik ortalama.

Örnek. Döviz alım satımı sırasında, çalışmanın ilk saatinde üç işlem sonuçlandırıldı. Grivnası satış tutarı ve ABD dolarına göre Grivnası döviz kuruna ilişkin veriler tabloda verilmiştir. 3 (sütun 2 ve 3). Ticaretin ilk saati için Grivnasının ABD doları karşısındaki ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 - Döviz ticaretinin seyrine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivna miktarının aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranı ile belirlenir. Grivnası satışının toplam tutarı tablonun 2. sütunundan bilinir ve her işlemde satın alınan dolar sayısı Grivnası satış tutarının oranına bölünerek belirlenir (4. sütun). Toplamda üç işlemde 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için ortalama Grivnası döviz kurunun
.
Ortaya çıkan değer gerçektir, çünkü işlemlerde gerçek Grivnası döviz kurları ile değiştirilmesi Grivnası satışlarının toplam tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: Milyon UAH.
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanılmışsa, yani. Grivnası, ardından döviz kuru üzerinden 22 milyon dolarlık satın alma. 110,66 milyon Grivnası harcamak gerekir ki bu gerçeğe uymaz.

geometrik ortalama
Geometrik ortalama, fenomenlerin dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme oranını belirlemenizi sağlar. Geometrik ortalamayı hesaplarken, özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak, zincir miktarları şeklinde inşa edilen göreceli dinamik göstergelerini temsil eder.
Basit geometrik ortalama şu formülle hesaplanır:
,
işin işareti nerede,
N, ortalama değerlerin sayısıdır.
Örnek. 4 yıl boyunca kayıtlı suç sayısı, 1. - 1.08 kat, 2. - 1.1 kat, 3. - 1.18 kat ve 4. - 1.12 kat olmak üzere 1.57 kat arttı. O zaman suç sayısının ortalama yıllık büyüme oranı:, yani. kayıtlı suçların sayısı yılda ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96