Modül, herkesin duymuş gibi göründüğü şeylerden biridir, ancak gerçekte kimse normal olarak anlayamaz. Bu nedenle, bugün modüllerle denklemlerin çözümüne adanmış büyük bir ders olacaktır.

Hemen söyleyeceğim: Ders basit olacak. Ve genel olarak, modüller genellikle nispeten basittir. "Evet, elbette, basit! Ondan bir beynim var! " - Birçok öğrenci söyleyecek, ancak tüm bu beyin molaları, çoğu insanın kafada hiçbir bilgisi yok, ancak bir çeşit saçmadır. Ve bu dersin amacı boku bilgiye dönüştürmektir. :)

Biraz teori

O zaman hadi gidelim. En önemli şeyle başlayalım: modül nedir? Size sayının modülünün sadece aynı sayı olduğunu, ancak "eksi" işareti olmadan alındığımı hatırlatayım. Bunlar., Örneğin, $ \\ Sol | -5 \\ sağ | \u003d 5 $. Veya $ \\ Sol | -129.5 \\ sağ | \u003d 129,5 $.

Yani her şey basit mi? Evet, sadece. Ve sonra pozitif bir numaranın modülü eşittir? Daha kolaydır: Pozitif sayının modülü bu numaraya eşittir: $ \\ Sol | 5 \\ sağ | \u003d 5 $; $ \\ Sol | 129.5 \\ sağ | \u003d 129,5 $ vb.

Meraklı bir şey ortaya çıktı: farklı sayılar Aynı modülü olabilir. Örneğin: $ \\ Sol | -5 \\ sağ | \u003d \\ Sol | 5 \\ sağ | \u003d 5 $; $ \\ Sol | -129.5 \\ sağ | \u003d \\ Sol | 129.5 \\ sağ | \u003d 129,5 $. Aynı modüllere sahip olan sayılar için ne olduğunu görmek kolaydır: Bu sayılar tam tersidir. Böylece, ters sayıların modüllerinin eşit olduğuna dikkat ediyoruz:

\\ [\\ Sol | -A \\ sağ | \u003d \\ Sol | a \\ sağ | \\]

Bir diğeri Önemli gerçek: modül asla negatif değildir. Ne kadar sayıda olursa olsun - en azından pozitif, hatta negatif - modülü her zaman pozitif (veya aşırı durum sıfırında) ortaya çıkıyor. Bu nedenle modülün genellikle sayının mutlak değeri olarak adlandırılır.

Ek olarak, modül tanımını pozitif için birleştirirseniz ve negatif sayı, Tüm numaralar için modülün küresel tanımını alacağım. Yani: Numaranın modülü bu numaraya eşittir, numara pozitifse (veya sıfır) veya sayı negatifse, ters sayıya eşittir. Bir formül olarak yazabilirsiniz:

Ayrıca sıfır bir modül var, ancak her zaman sıfırdır. Ek olarak, sıfır, tersi olmayan tek sayıdır.

Böylece, eğer Fonksiyonu düşünürsek Y \u003d \\ Sol | X \\ sağ | $ ve zamanını çizmeye çalışın, o zaman böyle bir "DANK" olacaktır:

Modülün takvimi ve denklemi çözme örneği

Bu resimden derhal $ \\ Sol | -M \\ sağ | \u003d \\ Sol | M \\ sağ | $ ve modülün programı asla abscissa ekseninin altına düşmez. Ancak bu, hepsi değil: Kırmızı çizgi doğrudan işaretlenmiş $ y \u003d a $, bir $ ile birlikte bize iki kök verdi: $ ((x) _ (1)) $ ve $ (x (x (x) ) _ (2)) $, ancak daha sonra konuşacağız. :)

Tamamen cebirsel tanımın yanı sıra bir geometrik var. Sayısal bir doğrudan iki nokta olduğunu varsayalım: $ ((x) _ (1)) $ ve $ ((x) _ (2)) $. Bu durumda, ekspresyon $ \\ Sol | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ sağ | $, belirtilen noktalar arasındaki sadece bir mesafedir. Veya lütfen, lütfen bu noktaları bağlayan segmentin uzunluğu:

Bu tanım aynı zamanda modülün her zaman net olmadığını da takip eder. Ama yeterli tanımlar ve teori - şimdiki denklemlere döneceğiz. :)

Temel Formül

İyi, tanımı ile çözüldü. Ama bu kolaylaştırmadı. Bu modülü içeren denklemleri nasıl çözebilirsiniz?

Sakin, sadece sakin. En basit şeylerle başlayalım. Böyle bir şey düşünün:

\\ [\\ Sol | X \\ sağ | \u003d 3 \\]

Öyleyse, $ x $ modül 3'tür. $ X $ ne olabilir? Tanımdan yargılamak, tam olarak x \u003d $ 3 ayarlarız. Gerçekten mi:

\\ [\\ Sol | 3 \\ sağ | \u003d 3 \\]

Başka sayı var mı? Kapak bu ipucu gibi görünüyor. Örneğin, $ x \u003d -3 $ - Onun için de $ \\ Sol | -3 \\ sağ | \u003d 3 $, yani. Gerekli eşitlik yapılır.

Öyleyse belki arama yaparsanız, daha fazla sayı bulacağız mı? Ancak karalama: Daha fazla sayı yok. $ \\ Sol denklem | X \\ sağ | \u003d 3 dolar sadece iki kök var: $ x \u003d 3 ve $ x \u003d -3 $.

Şimdi biraz zorlaştırın. $ F \\ Sol (x \\ sağ) $ f \\ sola (x \\ sağ) $ 'a modülün işareti ile donatılsın keyfi $ a $. Denklemi elde ediyoruz:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d a \\]

Peki, bunu nasıl çözebilirim? Size hatırlatmama izin verin: $ F \\ Sol (x \\ right) $ keyfi bir işlevdir, $ a $ - herhangi bir sayı. Şunlar. Genellikle herkes! Örneğin:

\\ [\\ Sol | 2x + 1 \\ sağ | \u003d 5 \\]

\\ [\\ Sol | 10x-5 \\ sağ | \u003d -65 \\]

İkinci denkleme dikkat edin. Hemen onun hakkında söyleyebilirsin: kökleri yok. Neden? Bu doğrudur: çünkü modülün hiçbir zaman olumsuz bir sayıya eşit olmasını gerektirir, çünkü modülün her zaman olumlu ya da aşırı derecede sıfır olduğunu biliyoruz.

Ancak ilk denklem ile her şey daha eğlenceli. İki seçenek vardır: modülün işareti altında pozitif bir ifade ve ardından $ \\ Sol | 2x + 1 \\ sağ | \u003d 2x + $ 1 veya bu ifade yine de negatif ve ardından $ \\ Sol | 2x + 1 \\ sağ | \u003d - \\ Sol (2x + 1 \\ sağ) \u003d - 2x-1 $. İlk durumda, denklemimiz yeniden yazacak:

\\ [\\ Sol | 2x + 1 \\ sağ | \u003d 5 \\ raaltrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

Ve birdenbire, 2x + 1 $ submodulic ekspresyonunun gerçekten olumlu olduğu ortaya çıktı - 5 numaraya eşittir. Bu denklemi sakince çözebiliriz - elde edilen kök bir cevap parçası olacaktır:

Özellikle inanılmaz, orijinal denklemde bulunan köklerin yerini almaya çalışabilir ve pozitif bir sayının modülün altında olduğundan emin olun.

Şimdi olumsuz bir alt kayıklık durumunu analiz edeceğiz:

\\ [\\ sol \\ (\\ başlar (hizala) \\ \\ sol | 2x + 1 \\ sağ | \u003d 5 \\\\ \\ \\ end (hizala) \\ sağ. \\ rigureRrow -2x-1 \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

OPA! Yine her şey açıktır: 2x + 1 \\ lt 0 $, ve bunun sonucunda 2x + 1 \u003d -5 $ - aslında, bu ifadeyi aldık. daha az sıfır. Elde edilen denklemi çözüyoruz, halihazırda kök bizi karşılayacağını bilerek:

Toplam yine iki cevap aldık: $ x \u003d 2 $ ve $ x \u003d 3 $. Evet, hesaplamaların hacmi çok basit bir denklemden biraz daha fazla olduğu ortaya çıktı. X \\ sağ | \u003d 3 $, ancak temel olarak değişmedi. Bu yüzden belki bir tür var evrensel algoritma?

Evet, böyle bir algoritma var. Ve şimdi ayırt edeceğiz.

Modül işaretinden kurtulma

Bir Denklem Verelim $ \\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d A $ ve $ A \\ GE $ 0 (Aksi takdirde, zaten bildiğimiz gibi, kök yoktur). Ardından, modülün işaretinden aşağıdaki kurala göre kurtulabilirsiniz:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d a \\ raularrow f \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ pm a \\]

Böylece, bir modül ile denklemimiz iki, ancak zaten bir modül olmadan bozulur. Bütün teknoloji! Birkaç denklemi çözmeye çalışalım. Böyle bir şekilde başlayalım

\\ [\\ Sol | 5x + 4 \\ sağ | \u003d 10 \\ rigureRrow 5X + 4 \u003d \\ PM 10 \\]

Ayrı ayrı, bir düzine sağa yerleştirildiğinde ve ayrı olarak - eksi ile birlikte olduğunu düşünüyoruz. Sahibiz:

\\ [\\ başlar (hizalayın) ve 5x + 4 \u003d 10 \\ rigureRrow 5x \u003d 6 \\ raidarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1.2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ raularrow 5x \u003d -14 \\ raularrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\ ucu (hizala) \\]

Bu kadar! İki kök aldı: $ x \u003d 1,2 $ ve $ x \u003d -2.8 $. Tüm karar kelimenin tam anlamıyla iki satırdı.

Tamam, bir soru değil, ciddi bir şekilde daha ciddi bir şeye bakalım:

\\ [\\ Sol | 7-5x \\ sağ | \u003d 13 \\]

Yine modülü bir artı ve eksi ile ortaya koyuyor:

\\ [\\ başlar (hizalama) & 7-5x \u003d 13 \\ rurnolurrow -5x \u003d 6 \\ raularrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1.2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ raaltrow -5x \u003d -20 \\ rightarrow x \u003d 4. \\\\ ucu (hizala) \\]

Yine birkaç satır - ve cevap hazır! Dediğim gibi, modüllerde karmaşık bir şey yoktur. Sadece birkaç kuralları hatırlamanız gerekir. Bu nedenle, daha ileri gidiyoruz ve daha karmaşık görevlerle devam ediyoruz.

Vaka Değişkeni Doğru

Şimdi böyle bir denklemi düşünün:

\\ [\\ Sol | 3x-2 \\ sağ | \u003d 2x \\]

Bu denklem temelde önceki tümlerinden farklıdır. Daha mı? Ve 2x $ ekspresyonunun eşitlik hakkına değer olduğu gerçeği - ve biz önceden bilemiyoruz, olumlu ya da olumsuz.

Bu durumda nasılsın? İlk olarak, bir kez ve her şey için anlamak gerekir. denklemin sağ kısmı negatifse, denklem kökleri olmaz - Modülün negatif bir numaraya eşit olamayacağını zaten biliyoruz.

Ve ikincisi, parçanın sağlığı hala pozitifse (veya sıfıra eşit), daha önce olduğu gibi hareket edebilirsiniz: sadece modülü "artı" işareti ile ayrı ayrı açın - "eksi" işareti ile .

Böylece, keyfi işlevler için bir kural oluştururuz $ F \\ Sol (x \\ sağ) $ ve $ G \\ Sol (x \\ sağ) $:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d g \\ sol (x \\ sağ) \\ raularrow \\ sol \\ (\\ başlar (hizalama) & f \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ \\ pm g \\ sol (x \\ sağ ), \\\\ ve g \\ sol (x \\ sağ) \\ GE 0. \\\\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Denklemimize referansla, biz:

\\ [\\ Sol | 3x-2 \\ sağ | \u003d 2x \\ radı \\ sol \\ (\\ başlar (hizalayın) ve 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ GE 0. \\\\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Peki, 2x $ 'lık talep eden 0 dolarlık bir şekilde idare edeceğiz. Sonunda, ilk denklemden aldığımız kökleri aptalca yerine getirebilir ve kontrol edebilirsiniz: Eşitsizlik gerçekleştirilir veya değil.

Bu nedenle, denklemin kendisi çözmektedir:

\\ [\\ başlar (hizalayın) ve 3x-2 \u003d 2 \\ rurnolrow 3x \u003d 4 \\ rigurewrow x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ raularrow 3x \u003d 0 \\ raularrow x \u003d 0. \\\\ ucu (hizala) \\]

Ne tür bu iki kökler, 2x \\ GE 0 $ gereksinimini ne kadar tatmin ediyor? Evet ikiside! Bu nedenle, iki sayı yanıt olarak gidecektir: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ ve $ x \u003d 0 $. Bütün çözüm bu. :)

Öğrencilerden birinin zaten kaçmaya başladığından şüpheleniyorum? Daha da karmaşık denklemi düşünün:

\\ [\\ Sol | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ sağ | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Vekil olarak görünmesine rağmen, aslında bu, "modülün eşittir" ile aynı denklemidir:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d G \\ Sol (x \\ sağ) \\]

Ve aynı şekilde çözüldü:

\\ [\\ Sol | ((x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + X \\ sağ | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ raularrow \\ sol \\ (\\ başlar (hizalayın) ve ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ sol (x - ((x) ^ (3)) \\ sağ), \\\\ ve x - (( x) ^ (3)) \\ GE 0. \\ \\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Eşitsizlik ile, daha sonra anlayacağız - bir çeşit kötüdür (aslında basit, ama buna karar vermeyeceğiz). Elde edilen denklemlerle uğraşmak daha iyi olsa da. İlk durumu düşünün - bu, modülün bir artı işareti ile ortaya çıktığında:

\\ [(x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Burada, herkesin solda toplanması, benzerlerini getirmesi ve ne olduğunu görmesi gerektiği açık değildir. Ve şöyle çıkıyor:

\\ [\\ başlar (hizalama) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ ve 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\ ucu (hizala) \\]

Braket başına toplam çarpan ((x) ^ (2)) $ 'a katlanır ve çok basit bir denklem elde ediyoruz:

\\ [((x) ^ (2)) \\ sol (2x-3 \\ sağ) \u003d 0 \\ raularrow \\ sol [\\ başlar (hizalama) & (((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ ve 2x-3 \u003d 0 \\\\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ QUAD ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

Burada, orijinal polinomu çarpanlara yerleştirdiğimiz önemli mülkiyetten faydalandık: iş, faktörlerden en az biri sıfır olduğunda, sıfıra eşittir.

Şimdi, modül "eksi" işareti ile açıklandığında elde edilen ikinci denklemle aynı şeyi anlıyoruz:

\\ [\\ başlar (hizalama) ε ((x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ sol (x - (x) ^ (3)) \\ sağ) ; \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ sol (-3x + 2 \\ sağ) \u003d 0. \\\\ ucu (hizala) \\]

Yine aynı şey: İş, çarpıcılardan en az birine eşitse, sıfıra eşittir. Sahibiz:

\\ [\\ sola [\\ başlar (hizalayın) & x \u003d 0 \\\\ \\ ~3x + 2 \u003d 0 \\\\ \\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Üç kökümüz var: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1.5 $ ve $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Peki bu setten nihai cevapta ne gidecek? Bunu yapmak için, eşitsizlik biçiminde ek bir kısıtlama yaptığımızı unutmayın:

Bu gereksinimi nasıl dikkate alınır? Evet, biz sadece bulundu kökleri değiştirir ve kontrol edin: eşitsizlik bu $ x $ veya değil gerçekleştirilir. Sahibiz:

\\ [\\ başlar (hizalayın) & x \u003d 0 \\ raidarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ GE 0; \\\\ & x \u003d 1.5 \\ raularrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1.5 - (((1.5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ raularrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ GE 0; \\\\ ucu (hizala) \\]

Böylece, $ X \u003d 1,5 $ kökü bizden memnun değil. Ve cevabında sadece iki kök gidecek:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ \\ QUAD ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Gördüğünüz gibi, bu durumda bile, karmaşık bir şey yok - modüller olan denklemler her zaman algoritmaya göre çözülür. Sadece polinomlar ve eşitsizliklerde iyi baş etmek gereklidir. Bu nedenle, daha karmaşık görevlere dönüyoruz - kimsenin değil, iki modül olmayacak.

İki modül ile denklemler

Şimdiye kadar, sadece en çok çalıştık. basit denklemler - Bir modül ve başka bir şey vardı. Bu "başka bir şey", bir başkasına eşitsizliğin başka bir bölümüne, modülden uzakta gönderildik, böylece sonunda her şey Type $ \\ sola denklemine yapıldı. F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d g \\ sol (x \\ sağ) $ veya daha da basit $ \\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d A $.

Fakat Çocuk Yuvası Sonunda - bir şey daha ciddi bir şey düşünmenin zamanı geldi. Bu türün denklemleriyle başlayalım:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d \\ Sol | G \\ sol (x \\ sağ) \\ sağ | \\]

"Modül modülünün bu denklemi modülüne eşittir". Prensip Önemli bir nokta Diğer terimler ve çarpmaların olmamasıdır: soldaki sadece bir modül, sağdaki başka bir modül - ve başka bir şey yok.

Birisi şimdi bu tür denklemlerin şu ana kadar çalıştığımızdan daha karmaşık olduğunu düşünecek. Ancak hayır: bu denklemler daha kolay çözüldü. İşte formül:

\\ [\\ Sol | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d \\ Sol | G \\ sol (x \\ sağ) \\ sağ | \\ raidarrow f \\ sol (x \\ sağ) \u003d \\ pm g \\ sol (x \\ sağ) \\]

Her şey! Submoduli ifadelerini basitçe bir artı-eksi işareti koyarak onlardan önce bir artı. Ve sonra elde edilen iki denklemi çözün - ve kökleri hazır! Ek kısıtlamalar yok, eşitsizlik, vb. Her şey çok basit.

Bu göreve karar vermeye çalışalım:

\\ [\\ Sol | 2x + 3 \\ sağ | \u003d \\ Sol | 2x-7 \\ sağ | \\]

İlköğretim Watson! Modülleri ortaya çıkarın:

\\ [\\ Sol | 2x + 3 \\ sağ | \u003d \\ Sol | 2x-7 \\ sağ | \\ raidarrow 2x + 3 \u003d \\ PM \\ Sol (2x-7 \\ sağ) \\]

Her durumda ayrı ayrı düşünün:

\\ [\\ başlar (hizalayın) ve 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ rurderRrow 3 \u003d -7 \\ raularrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ Sol (2x-7 \\ sağ) \\ raidarrow 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\ ucu (hizala) \\]

İlk denklemde kök yok. Çünkü ne zaman 3 $ \u003d -7 $? $ X $ değerinde? "Başka nafig $ x $? Sigara içtin mi? Hiçbir yerde orada $ x $ yok. "Deyin. Ve haklı olacaksın. $ X $ değişkenine bağlı olmayan eşitlik elde ettik ve aynı zamanda eşitliğin kendisi yanlıştır. Bu yüzden kök yok. :)

İkinci denklemle, her şey biraz daha ilginç, ama aynı zamanda çok, çok basit:

Gördüğümüz gibi, her şey tam anlamıyla birkaç satırda karar verdi - biz doğrusal denklemden başka beklemedik. :)

Sonuç olarak, son cevap: $ x \u003d 1 $.

Nasıl? Karmaşık? Tabii ki değil. Başka bir şey deneyelim:

\\ [\\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ sağ | \\]

Yine biz type $ \\ sola denklemimiz var. F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d \\ Sol | G \\ sol (x \\ sağ) \\ sağ | $. Bu nedenle, hemen yeniden yazın, modül işareti açın:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ \\ Sol (x-1 \\ sağ) \\]

Belki birileri soracak: "Hey, ne saçmalık için? Neden "artı-eksi" doğru ifadede duruyor, soldan değil mi? " Sakince, şimdi her şeyi açıklayacağım. Gerçekten de, iyi durumda, denklemimizi aşağıdaki gibi yeniden yazmak zorunda kaldık:

Ardından, parantezleri açığa çıkarmanız, tüm bileşenleri eşitlik işaretinden bir yönde aktarmanız gerekir (çünkü denklemin her iki durumda da, kare olacaktır), kökleri bulmak için iyi olur. Ancak katılıyorum: "Plus-eksi" üç terimin önündeki durduğunda (özellikle bu terimlerden biri kare bir ifadedir), "Plus-eksi" sadece ikisinden önce durduğunda durumdan ziyade daha zor görünüyor. terimler.

Ancak hiçbir şey orijinal denklemi yeniden yazmamızı önleyemez:

\\ [\\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ sağ | \\ raularrow \\ Sol | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ sağ | \u003d \\ Sol | X-1 \\ sağ | \\]

Ne oldu? Evet, özel bir şey yok: Sadece sol ve sağ tarafı değiştirdi. Sonunda hayatı biraz basitleştiren bir önemsememek. :)

Genel olarak, bu denklemi, artı ve eksi ile seçenekler göz önüne alındığında, bu denklemi çözeriz:

\\ [\\ başlar (hizalama) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ raularrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ sol (x - 1 \\ sağ) \\ raularrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\ ucu (hizala) \\]

İlk denklemin bir root $ x \u003d 3 ve $ x \u003d 1 $ var. İkincisi genellikle kesin bir karedir:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ sol (x-1 \\ sağ)) ^ (2)) \\]

Bu nedenle, tek köke var: $ x \u003d 1 $. Ama bu köke daha önce daha önce aldık. Böylece, sadece iki sayı nihai cevaba gider:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3; \\ QUAD ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Görev tamamlandı! Raflardan alabilir ve ezmeyi yapabilirsiniz. 2, ortalamanın var. :)

Önemli Not. Aynı köklerin varlığı farklı versiyonlar Modülün açılması, ilk polinomların çarpanlara reddedildiği anlamına gelir ve bu faktörler arasında mutlaka ortak olanıdır. Gerçekten mi:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ sağ |; \\\\ & \\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | \\ Sol (x-1 \\ \\ sağ) \\ Sol (x-2 \\ sağ) \\ sağ |. \\\\ ucu (hizala) \\]

Modülün özelliklerinden biri: $ \\ Sol | A \\ CDOT B \\ Right | \u003d \\ Sol | A \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | B \\ sağ | $ (yani, çalışmanın modülü modüllerin ürününe eşittir), bu nedenle başlangıç \u200b\u200bdenklemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\\ [\\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | X-1 \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | X-2 \\ sağ | \\]

Gördüğünüz gibi, gerçekten ortak bir faktörümüz vardı. Şimdi, bir yandan tüm modülleri toplarsanız, bu çarpanı braket için yapabilirsiniz:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d \\ Sol | X-1 \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | X-2 \\ sağ |; \\\\ & \\ Sol | X-1 \\ sağ | - \\ Sol | X-1 \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | X-2 \\ sağ | \u003d 0; \\\\ & \\ Sol | X - 1 \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol (1- \\ Sol | X-2 \\ sağ | \\ sağ) \u003d 0. \\\\ ucu (hizala) \\]

Şimdi, işin sıfır olduğunu hatırlıyorum, çarpıcılardan en az birinin sıfır olduğunda:

\\ [\\ Sola [\\ başladı (Hizala) & \\ Sol | X-1 \\ sağ | \u003d 0, \\\\ & \\ Sol | X-2 \\ sağ | \u003d 1. \\\\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Böylece, iki modül ile ilk denklem, dersin başında konuştuğumuz en basit iki denklemeye indirgenmiştir. Bu tür denklemler kelimenin tam anlamıyla birkaç satırda çözülür. :)

Bu açıklama gereksiz yere karmaşık görünebilir ve uygulamada uygulanabilir görünebilir. Ancak, gerçekte çok daha fazlasını karşılayabilirsiniz karmaşık görevlerbugün söküldüğümüzden daha fazla. Bunlarda, modüller polinomlar, aritmetik kökler, logaritmalar vb. İle birleştirilebilir. Ve bu gibi durumlarda, parantez arkasında bir şeyler yaparak genel denklem derecesini azaltma yeteneği, bu arada çok ve çok olabilir. :)

Şimdi ilk bakışta getirilen başka bir denklemi sökmek istiyorum. Birçok öğrenci tarafından "dışarı çıkar" - modüllerde iyi anlaşıldıklarına inananlar bile.

Bununla birlikte, bu denklem daha önce düşündüğümüzden daha kolaydır. Ve nedenini anlarsanız, denklemleri modüllerle hızlı bir şekilde çözmek için başka bir resepsiyon alın.

Yani, denklem:

\\ [\\ Sol | x - ((x) ^ (3)) \\ sağ | + \\ Sol | ((x) ^ (2)) + X-2 \\ sağ | \u003d 0 \\]

Hayır, bu bir yazım hatası değil: modüller arasında artı. Ve $ X $ toplamı iki modülün sıfır olduğunu bulmamız gerekiyor. :)

Sorun nedir? Ve sorun, her bir modülün pozitif bir sayı olması veya aşırı durumlarda sıfır olmasıdır. Ve iki pozitif sayı katlanırsa ne olacak? Açıkçası, tekrar pozitif bir numara:

\\ [\\ başlar (hizalayın) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ ve 0.004 + 0.0001 \u003d 0.0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\ \\ ucu (hizala) \\]

Son satır fikri zorlayabilir: Sadece modüllerin toplamı sıfır olduğunda - bu, her modül sıfır ise:

\\ [\\ Sol | x - ((x) ^ (3)) \\ sağ | + \\ Sol | ((x) ^ (2)) + X-2 \\ sağ | \u003d 0 \\ raularrow \\ sol \\ (\\ başlar (Hizala) \\ Sol | x - ((x) ^ (3)) \\ sağ | \u003d 0, \\ \\ \\ sol | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ sağ | \u003d 0. \\\\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Ve modül sıfır olduğunda? Sadece bir durumda - Submodule ifadesi sıfır olduğunda:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ raularrow \\ sol (x + 2 \\ sağ) \\ sol (x-1 \\ sağ) \u003d 0 \\ raularrow \\ sol [\\ başlar (hizalayın) ve X \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\ \\ ucu (hizala) \\ sağ. \\]

Böylece, ilk modülün sıfırlandığı üç noktamız var: 0, 1 ve -1; İkinci modülün sıfırlandığı iki nokta yanı sıra -2 ve eğer. Bununla birlikte, aynı anda sıfırlanacak her iki modüle ihtiyacımız var, bu nedenle bulunan sayılar arasında, her iki sette de dahil olanları seçmeniz gerekir. . Açıkçası, böyle bir sayı sadece bir şeydir: $ x \u003d 1 $ son cevaptır.

Bölme yöntemi

Peki, bir sürü görevi düşündük ve birçok teknik okuduk. Hepsi bu mu düşünüyorsun? Ve işte değil! Şimdi son resepsiyona bakacağız - ve aynı zamanda en önemli olanı. Bir modülle denklemleri bölmekle ilgili olacaktır. Ne hakkında konuşacağız? Biraz geri dönelim ve basit bir denklemi düşünelim. Örneğin, bu:

\\ [\\ Sol | 3x-5 \\ sağ | \u003d 5-3x \\]

Prensip olarak, böyle bir denklemin nasıl çözüleceğini zaten biliyoruz, çünkü type type \\ LOFT 'ın standart tasarımıdır | F \\ Sol (x \\ sağ) \\ sağ | \u003d g \\ sol (x \\ sağ) $. Ama hadi bu denklemden biraz farklı bir açıyla bakalım. Daha kesin olarak, ifadeyi modülün işareti altındaki düşünün. Size herhangi bir sayı modülünün numaraya eşit olabileceğini ve belki de bu numaranın tam tersini olduğunu hatırlatayım:

\\ [\\ Sol | a \\ sağ | \u003d \\ sol \\ (\\ başlar (hizalayın) ve A, \\ QUAD A \\ GE 0, \\\\ \\ a, \\ \\ \\ lt 0. \\\\ \\ end (hizala) \\ sağ. \\]

Aslında, bu belirsizlikte, tüm problem şudur: Modülün altındaki sayı (değişkene bağlıdır), biz net değiliz - pozitif veya negatif.

Ancak, başlangıçta bu numaranın olumlu olmasını gerektirirse? Örneğin, 3x-5 $ \\ gt 0 $ talep edeceğiz - bu durumda, modül işareti altında pozitif bir sayı elde etmeyi garanti ediyoruz ve bu modülden tamamen kurtulabilirsiniz:

Böylece, denklemimiz kolayca çözülecek olan bir doğrusal dönüşecektir:

TRUE, tüm bu yansımalar sadece 3x-5 \\ gt 0 $ şartlarında mantıklı geliyor - bu gereksinimi, modülü benzersiz bir şekilde ortaya çıkarmak için tanıttık. Bu nedenle, bu durumda $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ 'a bulunduralım ve kontrol edelim:

Doların belirtilen değeri ile gereksinimimizin yapılması gerektiği, çünkü İfade sıfır olduğu ortaya çıktı ve kesinlikle daha sıfır olmasına ihtiyacımız var. Üzüntü. :(

Ama korkunç bir şey yok! Sonuçta, 3x-5 \\ lt 0 $ daha var. Dahası: Ayrıca 3x-5 $ \u003d 0 $ bir olgu vardır - ayrıca dikkate alınması gerekir, aksi takdirde karar eksik olacaktır. Öyleyse 3x-5 \\ lt 0 $ durumunu düşünün:

Açıkçası, modül eksi işareti ile ortaya çıkacak. Fakat tuhaf bir durum ortaya çıkar: Hem solda hem de aynı ifade, ilk denklemde sağda izlenecek:

İlginç, bu tür $ x $ ekspresyon $ 5-3x $, 5-3x $ 'lık ekspresyona eşit olacak mı? Bu tür denklemlerden, kaptanın kanıtları bile tükürük tarafından bastırılır, ancak biliyoruz: bu denklem bir kimlik, yani. Değişkenin herhangi bir değerleri için geçerlidir!

Ve bu, $ x $ ayarlayacağımız anlamına gelir. Ancak, bir sınırımız var:

Başka bir deyişle, cevap biraz ayrı bir sayı olmayacak, ancak bir aralık:

Sonunda, başka bir olgu göz önünde bulundurular: 3x-5 \u003d 0 $. Her şey basittir: modülün altında sıfır olacaktır ve sıfır modül de sıfırdır (doğrudan tanımdan olmalıdır):

Ama sonra ilk denklem $ \\ Sol | 3x-5 \\ sağ | \u003d 5-3x $ aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

3x-5 \\ gt 0 $ durumunu düşündüğümüzde bu kökü daha yüksekti. Dahası, bu kök bir denklemin bir çözümüdür 3x-5 \u003d 0 $, modülü sıfırlamak için kendimizin ve girdiğimiz kısıtlamadır. :)

Böylece, aralığa ek olarak, bize ve bu aralığın sonunda yatan numaraya da bakacağız:

Toplam Final Cevabı: $ x \\ in \\ sol (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ right] $. Bu tür bir saçmalıkta, bir modül denklemi ile oldukça basit (aslında doğrusal) yanıt olarak böyle bir saçmalık görmek için çok aşina değil Doğru mu? İyi, alışın: Modülün karmaşıklığında, bu tür denklemlerdeki cevapların tamamen öngörülemez olabilir.

Diğerlerinden çok daha önemli: Bir modülle bir denklemi çözen evrensel algoritma sadece söküşümüz! Ve bu algoritma aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Denklemde bulunan her bir modülü sıfıra eşitlemek için. Birkaç denklem elde ediyoruz;
2. Tüm bu denklemleri çözün ve kökleri sayısal bir satırda işaretleyin. Sonuç olarak, düz çizgi birkaç aralıklarla kırılır, her birinin tüm modüllerinin açıkça ortaya çıktığında;
3. Her aralık için başlangıç \u200b\u200bdenklemini çözün ve alınan yanıtları birleştirin.

Bu kadar! Sadece bir soru var: 1. adımda elde edilen kökleri nereye verilir? Diyelim ki iki kökümüz var: $ x \u003d 1 $ ve $ x \u003d 5 dolar. 3 parça için sayısal bir çizgiyi kıracaklar:

Peki, aralıklar nelerdir? Üçleri açıktır:

1. En soldaki: $ x \\ lt 1 $ - Birimin kendisi aralığa dahil edilmez;
2. Merkezi: $ 1 \\ LE X \\ LT $ 5 - İşte aralığın birimidir, ancak beş içermez;
3. En Doğru: $ x \\ GE $ 5 - FIFRY SADECE buraya girer!

Sanırım kalıbı zaten anladın. Her aralık sol ucunu içerir ve sağa dahil değildir.

İlk bakışta, böyle bir kayıt rahatsız edici, mantıksız ve genel olarak bir tür çılgınca görünebilir. Ama inan bana: Küçük bir egzersiz yaptıktan sonra, bu yaklaşımın en güvenilir olduğunu ve açıkça modülleri açıkça ifşa edilmeyeceğini göreceksiniz. Böyle bir şemayı her zaman düşünmekten daha iyi kullanmak daha iyidir: Sol / sağ uçu geçerli aralığa veya bir sonraki içinde "geçerken" verin.

Bu yazıda detaylı olarak analiz edeceğiz bir numaranın mutlak değeri. Biz Dadim farklı tanımlar Numaranın modülü, gösterimi tanıtıyor ve grafik çizimler veriyoruz. Düşünmek Çeşitli örnekler Numaranın modülünü tanıma göre favuran. Bundan sonra, modülün temel özelliklerini listeleyip haklı çıkaracağız. Makalenin sonunda, entegre sayı modülünün nasıl belirlendiğinden bahsedelim.

Gezinme sayfası.

Modül Numarası - Tanım, Tanım ve Örnekler

İlk tanıtmak sayı modülü atama. A sayısının modülü, bu, Sol ve Sayı'nın solunda, modül işaretini oluşturan dikey çizgiler koyacağımız gibi kaydedilir. Birkaç örnek veriyoruz. Örneğin, bir modül -7 olarak yazılabilir; 4,125 modülü olarak yazılır ve modül görünümün görünümüne sahiptir.

Modülün aşağıdaki tanımı, birçok geçerli numaranın bileşeni olarak, ve sonuçlarını ve sonuçlarını ve irrasyonel sayıları ifade eder. Entegre sayı modülü hakkında konuşacağız.

Tanım.

Modül sayısı A. - Bu, eğer bir pozitif sayı veya numara ise, birinin birinin kendisidir. ters sayı A, a, a \u003d 0 ise, negatif bir sayı ise veya 0 ise.

Numaranın modülünün sesli tanımı genellikle aşağıdaki formda yazılır. , bu kayıt, eğer A \u003d 0 ise, eğer A \u003d 0 ise,<0 .

Kayıt daha kompakt formda sunulabilir. . Bu kayıt, eğer (A, 0'dan büyük veya eşittir) ve<0 .

Ayrıca bir rekor var . Burada, bir \u003d 0 olduğunda ayrı ayrı açıklanmalıdır. Bu durumda, biz var, ancak -0 \u003d 0, sıfır, kendisinin tersi olan sayı olarak kabul edilir.

Buraya numaranın modülünü bulma örnekleri Seslendirilmiş tanımı yardımı ile. Örneğin, 15 numaraların modüllerini buluruz ve. Bulma ile başlayalım. 15 numara pozitif olduğundan, modülü çok sayıya eşittir, yani. Ve sayının modülü nedir? Negatif sayı olduğundan, modülü numaranın karşısındaki sayıya eşittir, yani, numara . Böylece, .

Bu paragrafın sonucunda, modül bulunduğunda pratikte uygulanacak çok uygun bir sonucu sunuyoruz. Modül numarasının tanımından numara modülü, işareti hariç modülün işaretinin altındaki sayıya eşittir.Ve yukarıda tartışılan örneklerden, bu çok net bir şekilde görünür. Sesli ifade, numara modülünün henüz ne denir olduğunu açıklar. mutlak sayı sayısı. Böylece sayının modülü ve sayının mutlak değeri aynıdır.

Uzaklık olarak modül numarası

Geometrik olarak modül numaraları olarak yorumlanabilir mesafe. Buraya mesafe boyunca sayının modülünün tanımı.

Tanım.

Modül sayısı A. - Bu, referansın başlangıcından koordinat üzerindeki referansın başından itibaren, A numarasına karşılık gelen noktaya kadar.

Bu tanım, birinci paragrafta verilen sayının modülünün tanımı ile tutarlıdır. Bu anı açıklayalım. Referansın başlangıcından itibaren, bu numaraya eşit olan pozitif bir sayıya karşılık gelen noktaya kadar. Sıfır, referansın başlangıcına karşılık gelir, bu nedenle referansın başlangıcından koordinat 0 ile noktaya kadar olan mesafe sıfırdır (tek bir birim segmenti ertelemek için gerekli değildir ve bir tür ünite segmentini oluşturan tek bir bölüm koordinat 0 ile noktaya kadar). Referansın başlangıcından olumsuz bir koordinata sahip bir noktaya kadar olan mesafe, bu noktanın tam tersi koordinatına eşittir, çünkü orijinden gelen mesafeye koordinatı ters sayı olan noktaya eşittir.

Örneğin, 9 numaralı modül 9'dur, çünkü referansın başlangıcından koordinat 9 ile noktaya kadar olan mesafe dokuza eşittir. Bir örnek verelim. Koordinatla olan nokta -3.25, o noktadan 3.25'lik bir mesafeden .

Numaranın modülünün sesli tanımı, iki numaralı fark modülünün belirlenmesinde özel bir durumdur.

Tanım.

İki sayının farkının modülü A ve B, koordinatın noktaları ile Koordinatlar A ve B ile eşittir.

Yani, koordinatın doğrudan A (A) ve B (B) noktalarının varsa, A noktasından B'ye olan mesafenin, A ve B arasındaki farkın farkına eşittir. Bir nokta olarak bir noktaya gelince (referans başlangıcı), o zaman bu öğenin başlangıcında verilen sayının modülünün tanımını elde ederiz.

Bir aritmetik kare kökü ile sayının modülünün tanımı

Bazen buluşmak modülün bir aritmetik kare kökü aracılığıyla tanımı.

Örneğin, -30 modüllerini ve bu tanım temelinde sayılarını hesaplayın. Sahibiz. Benzer şekilde, üçte iki modülü hesaplayın: .

Bir aritmetik kare kökü olan sayının modülünün belirlenmesi, bu makalenin ilk paragrafında verilen tanımla da tutarlıdır. Göster. -A - negatif numarasıyla pozitif bir sayı olsun. Sonra ve Eğer A \u003d 0 ise .

Modülün Özellikleri

Modül, bir dizi karakteristik sonuçta doğaldır - modülün Özellikleri. Şimdi ana ve en sık kullanılanları vereceğiz. Bu özellikleri haklı çıkarırken, rakamın modülünün tanımı ile mesafe boyunca güveneceğiz.

Modülün en belirgin özelliklerinden başlayalım - numara modülü negatif bir sayı olamaz.. Alfabent formunda, bu özellik, herhangi bir sayı için bir türün manzarasına sahiptir. Bu özellik, doğrulaması çok kolaydır: Numaranın modülü mesafedir ve mesafe negatif bir sayı ile ifade edilemez.

Modülün bir sonraki özelliğine gidin. Numaranın modülü sıfır ise ve yalnızca bu sayı sıfır ise. Sıfır modülü, tanımı gereği sıfırdır. Sıfır referansın başlangıcına karşılık gelir, Koordinatın doğrudan sıfırında başka bir nokta eşleşmez, çünkü her gerçek sayı doğrudan koordinattaki tek noktaya uygun olarak konur. Aynı sebepten dolayı, sıfır dışındaki herhangi bir sayı referansın başlangıcından başka bir noktaya karşılık gelir. Ve referansın başlangıcından O nokta dışındaki herhangi bir noktaya kadar olan mesafe sıfır değildir, çünkü iki nokta arasındaki mesafe sıfır ise ve yalnızca bu noktalar çakışırsa. Yukarıdaki argümanlar, yalnızca sıfır modülün sıfır olduğunu kanıtlar.

Devam et. Ters sayılar, herhangi bir sayı için, yani eşit modüllere sahiptir. Aslında, koordinat doğrudan koordinatları üzerindeki iki nokta, referansın başlangıcından itibaren aynı mesafededir, daha sonra zıt sayıların modülleri eşittir.

Modülün aşağıdaki özellikleri: İki sayının çalışmasının modülü, bu sayıların modüllerinin ürününe eşittir., yani. Tanım olarak, A ve B sayıların ürününün modülü, eğerse, A ve B veya - (· b) ise A · B'dir. Gerçek sayıların çarpımı kurallarından, A ve B sayılarının modüllerinin ürününün, söz konusu olan mülkü kanıtlarsa, A · B veya - (· B) değerine eşittir.

B açısından A bölümünden kısmi modül, modülün A bölümünden B sayısının modülünden özelliğe eşittir., yani. Modülün bu özelliğini haklı çıkarın. Özel, işin işe eşit olduğundan, o zaman. Önceki mülkün erdemiyle . Sadece sayının modülünün tanımı için geçerli olan eşitlikten yararlanmak için kalır.

Modülün aşağıdaki özelliği eşitsizlik biçiminde yazılmıştır: , A, B ve C - keyfi geçerli numaralar. Kaydedilen eşitsizlikten başka bir şey değil Üçgenin eşitsizliği. Böylece açık hale gelir, bir (A), B (B), C (C), doğrudan koordinatta puan alır ve bir düz çizgide yatan köşeleri olan dejenere üçgen ABC'yi göz önünde bulundurun. Farkın tanımı gereği modül AB'nin segmentinin uzunluğuna, AU'nun segmentinin uzunluğu ve St.'nin segmentinin uzunluğuna eşittir. Üçgenin herhangi bir tarafının uzunluğu, diğer iki tarafın uzunluğunun toplamını aşmadığından, adil eşitsizliktir. Bu nedenle, eşitsizlik doğrudur.

Sadece kanıtlanmış eşitsizlik formda çok daha yaygındır . Kaydedilen eşitsizlikler genellikle ifadeyle bir modülün ayrı bir özelliği olarak kabul edilir: " İki sayının miktarı, bu sayıların modüllerinin toplamını aşmamaktadır." Ancak eşitsizlik, eğer içine -b koymak yerine, eğer içine eşitsizlikten doğrudan takip etmelidir ve C \u003d 0.

Karmaşık sayı modülü

Dadim entegre sayı modülünün tanımı. Bize verelim karmaşık sayı, X ve Y'nin bu karmaşık numaranın Z'nin gerçek ve hayali kısımları olan bazı geçerli sayılar olan bir cebirsel formda kaydedildi, ve - hayali birim.

Öğrenciler için en zor konulardan biri, modül işareti altında bir değişken içeren denklemlerin çözümüdür. Bağlı olanla bir başlangıç \u200b\u200biçin çözelim mi? Örneğin, neden, çoğu çocuk kare denklemleri fındık gibi tıklıyor ve bir modül olarak en karmaşık konseptten çok uzakta çok fazla sorun var mı?

Bence, tüm bu zorluklar, denklemleri bir modülle çözmek için net bir şekilde formüle edilmiş kuralların bulunmaması ile ilişkilidir. Yani, çözme ikinci dereceden denklemÖğrenci, ilk önce ayrımcılığın formülünü ve ardından kare denkleminin köklerinin formülünü tam olarak ne gerekli olduğunu biliyor. Ve modül denklemde karşılanırsa? Denklemin modül işareti altında bilinmeyen bir yerde bulunduğunda gerekli eylem planını açıkça tanımlamaya çalışacağız. Her durumda birkaç örnek veriyoruz.

Ama ilk hatırla modülün tanımı. Yani, modül numarası a. eğer bu numara olarak adlandırılır a. Saygısız I. -a.Eğer sayı a. Daha az sıfır. Bunu böyle yazabilirsin:

| A | \u003d a ≥ 0 ve | a | \u003d - eğer bir< 0

Modülün geometrik duygusu hakkında konuşan her gerçek sayının, sayısal eksende belirli bir noktaya karşılık geldiği unutulmamalıdır. peopen. Böylece, sayısının modül veya mutlak değeri, sayısal eksenlerin geri sayımının başlamasından önce bu noktadan itibaren mesafedir. Mesafe her zaman pozitif bir sayı verilir. Böylece, herhangi bir negatif sayının modülü pozitif sayıdır. Bu arada, bu aşamada bile, birçok öğrenci kafası karışmaya başlar. Modül eksik bir sayı olabilir, ancak modülün uygulanmasının sonucu her zaman bir sayı pozitiftir.

Şimdi doğrudan çözme denklemlerine geçiyoruz.

1. Tipin denklemini göz önünde bulundurun | x | \u003d C, burada C geçerli bir sayıdır. Bu denklem modülü tanımlanarak çözülebilir.

Tüm gerçek sayılar üç gruba ayrılacak: daha sıfır, sıfırdan az olanlar ve üçüncü grup 0 numaradır. Bir şema şeklinde bir çözüm yazıyoruz:

(± c, eğer\u003e 0 ise

Eğer | x | \u003d C, x \u003d (0, c \u003d 0 ise

(eğer varsa kök yok< 0

1) | x | \u003d 5, çünkü 5\u003e 0, sonra x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, çünkü -beş< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, sonra x \u003d 0.

2. Denklemi görüntüleyin | F (x) | \u003d B, burada B\u003e 0. Bu denklemi çözmek için, modülden kurtulmak gerekir. Bunu yapıyoruz: f (x) \u003d B veya f (x) \u003d -b. Şimdi, elde edilen denklemlerin her birini çözmek gerekir. İlk denklemde B< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, çünkü 4\u003e 0, sonra

x + 2 \u003d 4 veya x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, çünkü 11\u003e 0, sonra

x 2 - 5 \u003d 11 veya x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 kök yok

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, çünkü -sekiz< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Denklemi göster | F (x) | \u003d G (x). Modül anlamında, böyle bir denklemin sağ tarafı sıfırdan büyükse veya eşitse, yani, yani. G (x) ≥ 0. Sonra yapacağız:

f (x) \u003d g (x)veya f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Bu denklemin bir kökü olacak, eğer 5x 10 ≥ 0 ise, bu tür denklemlerin yalvarmasıdır.

1. OD 5x - 10 ≥ 0

2. Çözüm:

2x - 1 \u003d 5x - 10 veya 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. OD birleştirin. Ve karar veriyoruz:

Kök x \u003d 11/7 OD üzerinde uygun değil, 2'den az ve x \u003d 3 bu durumu yerine getirir.

Cevap: x \u003d 3

2) | X - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. OD 1 - x 2 ≥ 0 Bu eşitsizlik aralıklarla çözülür:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Çözüm:

x - 1 \u003d 1 - x 2 veya x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 veya x \u003d 1 x \u003d 0 veya x \u003d 1

3. Kararı ve OD'yi birleştiriyoruz:

Sadece X \u003d 1 ve X \u003d 0 kökleri uygundur.

Cevap: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Denklemi görüntüleme | F (x) | \u003d | G (x) |. Böyle bir denklem, F (x) \u003d g (x) veya f (x) \u003d -g (x) iki bir sonraki denklemeye eşdeğerdir.

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Bu denklem, aşağıdakilere eşdeğerdir:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 veya x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 veya x \u003d 4 x \u003d 2 veya x \u003d 1

Cevap: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Değiştirme ile çözülen denklemler (değişken değiştirme). Bu çözüm, açıklamanın en kolay yoludur. Özel örnek. Öyleyse, modülle kare denkleminin:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0 x 2 \u003d | x modülünün özellikleri ile | 2, böylece denklem tekrar yazılabilir:

| X | 2 - 6 | X | + 5 \u003d 0. Biz değiştireceğiz | x | \u003d T ≥ 0, sonra bizde olacağız:

t 2 - 6T + 5 \u003d 0 Bu denklemin çözülmesi, t \u003d 1 veya t \u003d 5.'yu elde ediyoruz. Değiştirmeye dönelim:

| X | \u003d 1 veya | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Cevap: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Başka bir örneği düşünün:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Modülün özellikleri ile x 2 \u003d | x | 2, bu nedenle

| X | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Biz değiştireceğiz | x | \u003d T ≥ 0, sonra:

t 2 + T - 2 \u003d 0. Bu denklemi çözmek, elde ettik, t \u003d -2 veya t \u003d 1. Değiştirmeye geri dönelim:

| X | \u003d -2 veya | x | \u003d 1.

Kök yok x \u003d ± 1

Cevap: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Başka bir denklem türü - "karmaşık" bir modülle denklemler. Bu tür denklemler arasında "modülün modüllerinin" olduğu denklemler içerir. Bu türün denklemleri, modülün özelliklerini uygulayarak çözülebilir.

1) | 3 - | X || \u003d 4. İkinci tip denklemlerde olduğu gibi hareket edeceğiz. Çünkü 4\u003e 0, sonra iki denklem elde ediyoruz:

3 - | x | \u003d 4 veya 3 - | x | \u003d -4.

Şimdi her denklem modülünde X, sonra | x | \u003d -1 veya | x | \u003d 7.

Elde edilen denklemlerin her birini çözüyoruz. İlk denklemde kök yok, çünkü -bir< 0, а во втором x = ±7.

Cevap x \u003d -7, x \u003d 7'dir.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Bu denklemi aynı şekilde çözüyoruz:

3 + | x + 1 | \u003d 5 veya 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 veya x + 1 \u003d -2. Kök yok.

Cevap: x \u003d -3, x \u003d 1.

Ayrıca denklemleri bir modülle çözmek için evrensel bir çözüm vardır. Bu aralık yöntemidir. Ancak gelecekte düşüneceğiz.

blog.set, malzeme referansının orijinal kaynağın tam veya kısmi kopyalanmasıyla gereklidir.

Bir numaranın mutlak değeri a. - Bu, koordinatların başlangıcından noktaya kadar olan mesafedir. FAKAT(a.).

Bu tanımını anlamak için, değişken yerine ikame ediyoruz a. Herhangi bir sayı, Örnek 3 ve tekrar okumaya çalışın:

Bir numaranın mutlak değeri 3 - Bu, koordinatların başlangıcından noktaya kadar olan mesafedir. FAKAT(3 ).

Modülün normal mesafeden başka bir şey olmadığı açıktır. Koordinatların başından itibaren mesafeyi A noktasına () görmeye çalışalım. 3 )

Koordinatların başlamasına kadar bir noktaya kadar ( 3 ) Eşit olarak 3 (üç birim veya üç adım).

Numaranın modülü iki dikey çizgiyi gösterir, örneğin:

3 numaralı modülü aşağıdaki gibi gösterilir: | 3 |

4 numarasının modülü aşağıdaki gibi belirtilmiştir: | 4 |

5 numaralı modülü aşağıdaki gibidir: | 5 |

Bir numara 3 modül arıyorduk ve 3'e eşit olduğunu ve aşağı doğru yazdığını öğrendik:

Gibi okuyor: "Üç zamanlı modül üç"

Şimdi -3 modülünü bulmaya çalışalım. Yine, tanımına geri dönüyoruz ve içinde -3 sayısını değiştiriyoruz. Sadece bir nokta yerine A. Yeni bir nokta kullanıyoruz B.. Nokta A. Biz zaten ilk örnekte kullandık.

Modül numarası - 3 Koordinatların başlangıcından noktaya kadar mesafeyi arayın. B.(—3 ).

Bir noktadan diğerine olan mesafe olumsuz olamaz. Bu nedenle, herhangi bir negatif sayının modülü, mesafe olan negatif olmayacaktır. -3 modülü numarası 3 olacaktır. Kökenden B (-3) noktasına olan mesafe ayrıca üç ünitedir:

Gibi okuyor: "Eksi üç sayısının modülü üç"

0 numarasının modülü 0, koordinat 0 ile olan nokta olarak, koordinatların başlangıcıyla çakışıyor, yani. Koordinatların başlangıcından noktaya kadar olan mesafe O (0) Eşit derecede sıfır:

"Sıfır modülü sıfır"

Sonuçları çiziyoruz:

• Numara modülü negatif olamaz;
• Olumlu bir sayı ve sıfır için, modül sayıya eşittir ve negatif için - ters sayı;
• Karşıt sayılar eşit modüllere sahiptir.

Karşıt sayılar

Sadece adlandırılan işaretlerle farklı sayılar karşısında. Örneğin, -2 ve 2 numaraları terstir. Sadece işaretler üzerinde farklılık gösterirler. -2 eksi işareti sayısında, ve 2 bir artı işaretidir, ancak bunu görmüyoruz, çünkü daha önce söylediğimiz gibi, geleneğe göre yazmayın.

Zıt sayıların daha fazla örneği:

Karşıt sayılar eşit modüllere sahiptir. Örneğin, -2 ve 2 için modülleri bulun

Şekil, koordinatların başlangıcından sonraki mesafenin noktalara olduğunu gösterir. A (-2) ve B (2) Eşit derecede iki adımda eşit.

Dersi sevdin mi?
Katılın yeni Grup Vkontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başla

Ve bu tür kurallara uygun olarak hesaplanır:

Kısa kayıt için geçerlidir | A |. Yani, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100, vb.

Herhangi bir büyüklük h. Oldukça doğru bir değere karşılık gelir | h.| .. Ve anlam kimlik w.= |h.| Setler w. bazısı gibi argüman fonksiyonu h..

Zamanlamakbu fonksiyonlar Aşağıda sunulmuştur.

İçin x. > 0 |x.| = x., ve için x.< 0 |x.|= -x.; Bu bağlamda, yı \u003d | x.| için x.\u003e 0 düz ile kombine y \u003d x.(ilk koordinat açısının bisektörü) ve ne zaman h.< 0 - с прямой y \u003d -kh.(İkinci koordinat açısının bisektörü).

Bireysel denklemler işareti altındaki bilinmeyenleri ekleyin modül.

Bu tür denklemlerin keyfi örnekleri - | h.— 1| = 2, |6 — 2h.| =3h.+ 1, vb.

Denklemler Çözmebilinmeyen bir numaranın mutlak değerinin eşit olması durumunda, modülün işareti altında bilinmeyen içerir. pozitif sayı A, o zaman bu x sayısı eşit veya a veya a.

Örneğin: Eğer | h.| \u003d 10, sonra veya h.\u003d 10 veya h. = -10.

Düşünmek bireysel denklemlerin çözümü.

Denklemin çözümünü analiz eder | h.- 1| = 2.

Modülü açacağız Sonra fark h.- 1 veya + 2'ye eşit olabilir veya - 2. Eğer x - 1 \u003d 2, o zaman h. \u003d 3; Eğer h. - 1 \u003d - 2, sonra h. \u003d - 1. Biz bir trafo alıyoruz ve bu değerlerin her ikisinin de denklemi tatmin ettiğini elde ediyoruz.

Cevap.Belirtilen denklemde iki kök vardır: x. 1 = 3, x. 2 = - 1.

Analiz etmek Çözüm denklemi | 6 — 2h.| = 3h.+ 1.

Sonra modül Açıklamalarıalıyoruz: ya da 6 - 2 h.= 3h.+ 1 veya 6 - 2 h.= - (3h.+ 1).

İlk durumda h. \u003d 1 ve ikinci h.= - 7.

Kontrol. İçin h.= 1 |6 — 2h.| = |4| = 4, 3x. + 1 \u003d 4; Mahkemeden takip ediyor h. = 1 - koren bbu denklemler.

İçin x. = - 7 |6 — 2x.| = |20| = 20, 3x.+ 1 \u003d - 20; 20 ≠ -20'den beri, o zaman h. \u003d - 7 bu denklemin kökü değil.

Cevap. W.denklemler tek köktir: h. = 1.

Bu tür denklemler Çözünür ve Grafik.

Öyleyse karar ver Örneğin, grafiksel denklem | x- 1| = 2.

Başlangıçta inşaatı yürütmek fonksiyon grafikleri w. = |x.- 1 |. İlk önce bir program işlevi çizin w.=x- 1:

Bunun bu kısmı grafikhangi eksenin üzerinde bulunur h. Değişmeyeceğiz. Onun için h. - 1\u003e 0 ve bu nedenle | h.-1|=h.-1.

Eksen altında bulunan grafiğin bir parçası h.tasvir eden simetrik Bu eksen ile ilgili olarak. Bu bölümden beri h. - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x - bir). Sonuç olarak oluşturuldu hat (katı çizgi) ve olacak grafik grafiği y \u003d | h.—1|.

Bu çizgi ile kesişiyor düz w. \u003d 2 iki noktada: M1 Abscissa -1 ve m2 ile ABSCISSA 3. ve, buna göre denklem | h.- 1 | \u003d 2 iki kök olacak: h. 1 = - 1, h. 2 = 3.