Adi diferansiyel denklem bağımsız değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen fonksiyonunu ve çeşitli mertebelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) bağlayan denkleme denir.

diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesi olarak adlandırılır.

Adi denklemlere ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenir. Bunlar bağımsız değişkenleri birbirine bağlayan denklemler, bu değişkenlerin bilinmeyen fonksiyonu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevleridir. Ama sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle, kısalık için "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Örnekleri diferansiyel denklemler:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü mertebeden, denklem (2) üçüncü mertebeden, denklem (3) ve (4) ikinci mertebeden ve denklem (5) birinci mertebedendir.

diferansiyel denklem n-th mertebesi açıkça bir fonksiyon içermek zorunda değildir, birinciden tüm türevlerine n-inci dereceden ve bağımsız değişken. Açıkça bazı derecelerin türevlerini, bir fonksiyonu, bağımsız bir değişkeni içermeyebilir.

Örneğin, (1) denkleminde, fonksiyonun yanı sıra üçüncü ve ikinci derecelerin türevleri açıkça yoktur; (2) denkleminde - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; (4) denkleminde - bağımsız bir değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Sadece denklem (3) tüm türevleri, fonksiyonu ve bağımsız değişkeni açıkça içerir.

Diferansiyel denklemi çözerek herhangi bir işlev denir y = f(x), bir denklemde ikame edildiğinde, bir özdeşlik haline gelir.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma işlemine denir. bütünleştirme.

Örnek 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Karar. Bu denklemi formda yazalım. Çözüm, fonksiyonu türevine göre bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi başlangıç ​​işlevi, örneğin, tersi türevidir.

işte bu verilen bir diferansiyel denklemin çözümü ... İçinde değişen C, çeşitli çözümler alacağız. Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu bulduk.

diferansiyel denklemin genel çözümü n-inci sıra, bilinmeyen bir işleve göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümüdür: n bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin özel bir çözümü ile çözümüne, keyfi sabitlere belirli sayısal değerlerin verildiği denir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve özel çözümünü bulun. .

Karar. Denklemin her iki tarafını da diferansiyel denklemin mertebesi kadar integral alalım.

,

.

Sonuç olarak, genel bir çözüm bulduk -

üçüncü dereceden verilen diferansiyel denklem.

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulacağız. Bunu yapmak için, keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirin ve elde edin.

.

Diferansiyel denkleme ek olarak, formda bir başlangıç ​​koşulu verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu ... Değerler ve denklemin genel çözümüne ikame edilir ve keyfi bir sabitin değeri bulunur. C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C... Cauchy probleminin çözümü budur.

Örnek 3.Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini koşul altında çözün.

Karar. Başlangıç ​​koşulundaki değerleri genel çözüme yerleştirelim y = 3, x= 1.

Verilen bir birinci mertebeden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

En basitleri bile olsa, diferansiyel denklemleri çözmek, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere türev alma ve integral alma konusunda iyi beceriler gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Karar. Denklem öyle bir şekilde yazılmıştır ki, hemen her iki tarafını da entegre edebilirsiniz.

.

Değişken değişikliği (ikame) ile entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. İzin ver o zaman.

alınması zorunludur dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir işlevin farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü x ve karmaşık bir işlev var ("elma" - özüt kare kök veya, aynı olan - "yarım" gücüne yükseltme ve "kıyma" kökün altındaki ifadedir):

İntegrali bulun:

Değişkene geri dönmek x, şunu elde ederiz:

.

Bu, birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemleri çözmek için sadece yüksek matematiğin önceki bölümlerinden gelen beceriler değil, aynı zamanda ilköğretim, yani okul matematiğinden beceriler de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. x... Okul tezgahından unutulmayan (ancak, nasıl birileri) orantı hakkında bilgi, bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.

Diferansiyel Denklemler (DE). Bu iki kelime genellikle sıradan bir insanı korkutur. Diferansiyel denklemler, birçok öğrenciye aşırı ve öğrenmesi zor bir şey gibi görünüyor. Uuuuuuu ... diferansiyel denklemler, tüm bunlardan nasıl kurtulabilirim?!

Bu görüş ve bu tutum temelde yanlıştır, çünkü aslında DİFERANSİYEL DENKLEMLER BASİT VE HİÇ EĞLENCELİDİR... Diferansiyel denklemleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için neleri bilmeniz ve bilmeniz gerekir? Diffura'yı başarılı bir şekilde incelemek için, bütünleştirme ve farklılaştırma konusunda iyi olmalısınız. Konular ne kadar iyi çalışılırsa Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi ve belirsiz integral, diferansiyel denklemleri anlamak o kadar kolay olacaktır. Daha fazlasını söyleyeceğim, eğer az ya da çok iyi entegrasyon becerileriniz varsa, konu pratikte ustalaşmıştır! Daha fazla integral farklı şekiller nasıl karar vereceğini biliyorsun - çok daha iyi. Neden? Çünkü çok entegre etmek zorundasın. Ve ayırt et. Ayrıca şiddetle tavsiye ederim bulmayı öğren örtük fonksiyonun türevi.

Vakaların %95'inde kontrol işleri 3 tür birinci mertebeden diferansiyel denklem vardır: bu derste ele alacağımız ayrılabilir değişkenli denklemler; homojen denklemler ve lineer homojen olmayan denklemler... Difüzyona yeni başlayanlar için dersleri bu sırayla okumanızı tavsiye ederim. Daha da nadir türde diferansiyel denklemler vardır: toplam diferansiyel denklemler, Bernoulli denklemleri ve diğerleri. Son iki türden en önemlisi, toplam diferansiyel denklemlerdir, çünkü bu diferansiyel denkleme ek olarak yeni materyal- kısmi entegrasyon.

Önce normal denklemleri hatırlayalım. Değişkenler ve sayılar içerirler. En basit örnek:. Sıradan bir denklemi çözmek ne anlama gelir? bulmak demektir bir sürü sayı bu denklemi sağlayan Çocuk denkleminin tek bir kökü olduğunu görmek kolaydır:. Eğlenmek için bir kontrol yapalım, bulunan kökü denklemimizin yerine koyalım:

- doğru eşitlik elde edilir, yani çözüm doğru bulunur.

Farklılıklar benzer!

diferansiyel denklem birinci derece, içerir:
1) bağımsız değişken;
2) bağımlı değişken (fonksiyon);
3) fonksiyonun birinci türevi:.

Bazı durumlarda, birinci dereceden denklemde "x" veya (ve) "oyun" eksik olabilir - önemli yani DU'da oldu birinci türev ve sahip değil daha yüksek siparişlerin türevleri - vb.

Ne demek ? Bir diferansiyel denklemi çözmek, bulmak demektir birçok fonksiyon bu denklemi sağlayan Bu işlev kümesine denir diferansiyel denklemin genel çözümü.

örnek 1

Diferansiyel denklemi çöz

Tam mühimmat yükü. Herhangi bir birinci dereceden diferansiyel denklemi çözmeye nereden başlamalı?

Her şeyden önce, türevi biraz farklı bir biçimde yeniden yazmanız gerekir. Türev için hantal gösterimi hatırlıyoruz:. Birçoğunuz için türevin bu şekilde tanımlanması muhtemelen saçma ve gereksiz görünüyordu, ancak yayılmada kural budur!

Böylece, ilk aşamada türevi ihtiyacımız olan biçimde yeniden yazıyoruz:

ikinci aşamada her zaman bakalım mümkün mü değişkenleri bölmek? Değişkenleri bölmek ne anlama geliyor? Kabaca konuşma, sol tarafta ayrılmamız gerek sadece "oyuncular", fakat sağ tarafta düzenlemek sadece "x"... Değişkenlerin ayrılması "okul" manipülasyonları kullanılarak gerçekleştirilir: parantezler, terimlerin bir işaret değişikliği ile bölümden bölüme aktarılması, orantı kuralına göre faktörlerin bölümden bölüme aktarılması, vb.

Farklılıklar ve düşmanlıklarda tam teşekküllü çarpanlar ve aktif katılımcılar. İncelenen örnekte, orantı kuralına göre çarpanlar atılarak değişkenler kolayca ayrılır:

Değişkenler ayrılır. Sol tarafta sadece "igroki", sağ tarafta sadece "X" var.

Sonraki aşama - diferansiyel denklemi entegre etme... Çok basit, her iki tarafa da integraller asıyoruz:

Tabii ki, integraller alınmalıdır. İÇİNDE bu durum bunlar tablo halindedir:

Hatırladığımız gibi, herhangi bir ters türev için bir sabit atanır. Burada iki tane integral var, ancak sabiti bir kez yazmanız yeterli. Neredeyse her zaman sağ tarafa atfedilir.

Kesin konuşmak gerekirse, integraller alındıktan sonra diferansiyel denklem çözülmüş kabul edilir. Tek şey "oyunumuz"un "x" ile ifade edilmemesi, yani çözüm sunulmasıdır. örtük olarak form. Diferansiyel denklemin örtük biçimdeki çözümüne denir. diferansiyel denklemin genel integrali... Yani genel bir integraldir.

Şimdi genel bir çözüm bulmaya çalışmanız gerekiyor, yani işlevi açıkça temsil etmeye çalışın.

Lütfen ilk tekniği hatırlayın, bu çok yaygındır ve pratik alıştırmalarda sıklıkla kullanılır. Entegrasyondan sonra logaritma sağ tarafta göründüğünde, sabiti logaritmanın altına da yazmak neredeyse her zaman amaca uygundur.

yani yerine girişler genellikle yazılır .

İşte aynı tam teşekküllü sabit. Bu neden gerekli? Ve "oyunu" ifade etmeyi kolaylaştırmak için. Logaritmaların okul özelliğini kullanıyoruz: ... Bu durumda:

Artık logaritmalar ve modüller ile kullanılabilir temiz bir vicdan her iki parçadan da çıkarın:

İşlev açıkça sunulur. Genel çözüm bu.

Birçok özellik diferansiyel denklemin genel bir çözümüdür.

Sabit vererek Farklı anlamlar, sınırsızca alabilirsin özel çözümler diferansiyel denklem. Herhangi bir işlev, vb. diferansiyel denklemi sağlayacaktır.

Genel çözüm bazen şu şekilde adlandırılır: fonksiyon ailesi... İÇİNDE bu örnek ortak karar Doğrusal fonksiyonlar ailesi veya daha doğrusu doğrudan oranlar ailesidir.

Birçok diferansiyel denklemin test edilmesi oldukça kolaydır. Bu çok basit bir şekilde yapılır, bulunan çözümü alırız ve türevi buluruz:

Çözümümüzü ve bulunan türevi orijinal denklemde yerine koyarız:

- doğru eşitlik elde edilir, yani çözüm doğru bulunur. Başka bir deyişle, genel çözüm denklemi sağlar.

İlk örneği iyice çiğnedikten sonra, diferansiyel denklemler hakkında birkaç naif soruyu cevaplamak uygun olur.

1)Bu örnekte, değişkenleri bölmeyi başardık:. Bu her zaman yapılabilir mi? Hayır her zaman değil. Ve daha sıklıkla, değişkenler bölünemez. Örneğin, homojen birinci dereceden denklemler, önce değiştirmelisiniz. Diğer denklem türlerinde, örneğin, lineer homojen olmayan birinci dereceden bir denklemde, kullanmanız gerekiyor çeşitli teknikler ve ortak bir çözüm bulma yöntemleri. Birinci derste ele aldığımız ayrılabilir denklemler, diferansiyel denklemlerin en basit türüdür.

2) Bir diferansiyel denklemi entegre etmek her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. Entegre edilemeyen "süslü" bir denklem bulmak çok kolaydır, ayrıca önemsiz olmayan integraller vardır. Ancak bu tür DE'ler yaklaşık olarak özel yöntemler kullanılarak çözülebilir. D'Alembert ve Cauchy garantisi. ... ugh, lurkmore.ru sadece çok okuyun.

3) Bu örnekte, genel bir integral şeklinde bir çözüm elde ettik. ... Genel bir integralden genel bir çözüm bulmak, yani "oyunu" açık bir biçimde ifade etmek her zaman mümkün müdür? Hayır her zaman değil. Örneğin: . Peki, "oyunu" nasıl ifade edebilirim?! Bu gibi durumlarda cevap genel integral olarak yazılmalıdır. Ek olarak, bazen genel bir çözüm bulunabilir, ancak o kadar hantal ve beceriksizce yazılmıştır ki, cevabı genel bir integral şeklinde bırakmak daha iyidir.

Acele etmeyelim. Başka bir basit uzaktan kumanda ve bir tipik çözüm daha.

Örnek 2

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun

Koşul olarak, bulmanız gerekir özel çözüm DE başlangıç ​​koşulunu sağlıyor. Sorunun bu formülasyonu da denir Cauchy sorunu.

İlk olarak, genel bir çözüm buluyoruz. Denklemde “x” değişkeni yok ama bu kafa karıştırıcı olmamalı, asıl mesele birinci türevi içermesi.

türevi yeniden yazıyoruz istenilen form:

Açıkçası, değişkenler ayrılabilir, erkekler sola, kızlar sağa:

Denklemi entegre ediyoruz:

Genel integral elde edilir. Burada bir üst simge yıldız ile bir sabit çizdim, gerçek şu ki çok yakında başka bir sabite dönüşecek.

Şimdi genel integrali genel bir çözüme dönüştürmeye çalışıyoruz ("oyunu" açıkça ifade edin). Eski, güzel okulu hatırlıyoruz: ... Bu durumda:

Göstergedeki sabit bir şekilde koşer olmayan görünüyor, bu nedenle genellikle cennetten dünyaya indirilir. Ayrıntılı olarak, böyle olur. Power özelliğini kullanarak fonksiyonu aşağıdaki gibi yeniden yazarız:

Eğer bir sabit ise, o zaman aynı zamanda bir harfle ifade ettiğimiz bir sabittir:

Bir sabitin "kaymasını" hatırlayın, bu, diferansiyel denklemleri çözerken sıklıkla kullanılan ikinci tekniktir.

Yani genel çözüm:. Böyle güzel bir üstel fonksiyonlar ailesi.

Son aşamada, verilen başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözüm bulunması gerekir. Bu da kolay.

Görev nedir? almak gerekli böyle Belirtilen başlangıç ​​koşulunu sağlamak için sabitin değeri.

Farklı şekillerde tasarlayabilirsiniz, ancak belki de en anlaşılır olanı öyle olacaktır. Genel çözümde, "x" yerine sıfırı ve "oyun" yerine ikiyi değiştiririz:



yani

Standart tasarım versiyonu:

Bulunan sabit değeri genel çözümle değiştiririz:
- ihtiyacımız olan özel çözüm bu.

Hadi kontrol edelim. Özel bir çözümün doğrulanması iki aşamadan oluşur.

İlk olarak, bulunan özel çözümün gerçekten başlangıç ​​koşulunu karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek gerekir. "x" yerine sıfırı koyarız ve ne olduğunu görürüz:
- evet, gerçekten, bir iki elde edilir, bu, başlangıç ​​koşulunun yerine getirildiği anlamına gelir.

İkinci aşama zaten tanıdık. Elde edilen özel çözümü alıyoruz ve türevi buluyoruz:

Orijinal denklemde değiştirin:

- doğru eşitlik elde edilir.

Sonuç: belirli bir çözüm doğru bulundu.

Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 3

Diferansiyel denklemi çöz

Karar: Türevi ihtiyacımız olan formda yeniden yazıyoruz:

Değişkenlerin bölünüp bölünemeyeceğini değerlendirmek? Yapabilmek. İkinci terimi bir işaret değişikliği ile sağ tarafa aktarıyoruz:

Ve çarpanları orantı kuralına göre atıyoruz:

Değişkenler ayrılır, her iki parçayı da entegre ederiz:

Seni uyarmalıyım, yargı günü geliyor. eğer iyi çalışmadıysan belirsiz integraller, birkaç örnek çözdünüz, o zaman gidecek hiçbir yer yok - şimdi onlara hakim olmanız gerekecek.

Sol tarafın integralini bulmak kolaydır, derste ele aldığımız standart tekniği kullanarak kotanjantın integralini ele alabiliriz. Entegrasyon trigonometrik fonksiyonlar Geçen yıl:

Sağ tarafta logaritmayı aldık, ilk teknik tavsiyeme göre bu durumda sabitin logaritmanın altına da yazılması gerekiyor.

Şimdi genel integrali sadeleştirmeye çalışıyoruz. Aynı logaritmalara sahip olduğumuz için onlardan kurtulmak oldukça mümkün (ve gerekli). Logaritmaları mümkün olduğunca paketliyoruz. Paketleme üç özellik kullanılarak gerçekleştirilir:

Lütfen bu üç formülü kendinize yeniden yazın. çalışma kitabı, yayılmaları çözerken, çok sık kullanılırlar.

Çözümü ayrıntılı olarak yazacağım:

Paketleme tamamlandı, logaritmaları kaldırıyoruz:

"Oyun"u ifade edebilir misiniz? Yapabilmek. Her iki tarafın karesi alınmalıdır. Ama bunu yapmana gerek yok.

Üçüncü teknik tavsiye: Genel bir çözüm elde etmek için bir güce yükseltmeniz veya kök çıkarmanız gerekiyorsa, o zaman Çoğu durumda kişi bu eylemlerden kaçınmalı ve cevabı genel bir integral şeklinde bırakmalıdır. Gerçek şu ki, genel çözüm iddialı ve korkunç görünecek - büyük kökler, işaretler.

Bu nedenle, cevabı genel bir integral şeklinde yazıyoruz. iyi ton formdaki genel integrali temsil ettiği kabul edilir, yani sağ tarafta, mümkünse sadece bir sabit bırakın. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak profesörü memnun etmek her zaman faydalıdır ;-)

Cevap: genel integral:

Not:herhangi bir denklemin genel integrali birden fazla şekilde yazılabilir. Dolayısıyla, sonucunuz daha önce bilinen cevapla örtüşmüyorsa bu, denklemi yanlış çözdüğünüz anlamına gelmez.

Genel integral de oldukça kolay kontrol edilir, asıl şey bulabilmektir. örtük bir fonksiyonun türevleri... Cevabı ayırt etmek:

Her iki terimi de şu şekilde çarparız:

Ve bölüyoruz:

Tam olarak orijinal diferansiyel denklem elde edilir, yani genel integral doğru bulunur.

Örnek 4

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun. Kontrol.

Bu bir örnek bağımsız karar... Cauchy probleminin iki aşamadan oluştuğunu hatırlatmama izin verin:
1) Genel bir çözüm bulmak.
2) Özel bir çözüm bulmak.

Kontrol ayrıca iki aşamada gerçekleştirilir (ayrıca Örnek 2 örneğine bakın), ihtiyacınız olan:
1) Bulunan özel çözümün başlangıç ​​koşulunu gerçekten sağladığından emin olun.
2) Özel çözümün genellikle diferansiyel denklemi sağladığını kontrol edin.

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Örnek 5

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun başlangıç ​​koşulunun sağlanması. Kontrol.

Karar:İlk önce genel çözümü buluyoruz, bu denklem zaten hazır diferansiyeller içeriyor ve bu nedenle çözüm basitleştirildi. Değişkenleri ayırma:

Denklemi entegre ediyoruz:

Soldaki integral tablo, sağdaki integral ise fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getirme yöntemiyle:

Genel integral elde edildi, genel çözümü başarılı bir şekilde ifade etmek mümkün mü? Yapabilmek. Logaritmaları asıyoruz:

(Umarım herkes dönüşümü anlar, böyle şeyler zaten bilinmeli)

Yani genel çözüm:

Verilen başlangıç ​​koşuluna karşılık gelen özel bir çözüm bulalım. Genel çözümde, "x" yerine sıfırı ve "oyun" yerine ikinin logaritmasını değiştiririz:

Daha tanıdık tasarım:

Sabitin bulunan değerini genel çözümde yerine koyarız.

Cevap:özel çözüm:

Kontrol Etme: İlk olarak, başlangıç ​​koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim:
- herşey iyi.

Şimdi bulunan özel çözümün genellikle diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Türevini bulun:

Orijinal denkleme bakıyoruz: - diferansiyellerde sunulur. Kontrol etmenin iki yolu vardır. Bulunan türevden diferansiyeli şu şekilde ifade etmek mümkündür:

Bulunan özel çözümü ve ortaya çıkan diferansiyeli orijinal denklemde yerine koyarız. :

Temel logaritmik kimliği kullanıyoruz:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da belirli çözümün doğru olarak bulunduğu anlamına gelir.

Kontrol etmenin ikinci yolu yansıtılmış ve daha tanıdık: denklemden türevi ifade ederiz, bunun için tüm parçaları şuna böleriz:

Ve dönüştürülmüş DE'de, elde edilen özel çözümü ve türetilmiş türevi yerine koyarız. Sadeleştirmeler sonucunda doğru eşitlik de elde edilmelidir.

Örnek 6

Diferansiyel denklemi çözün. Cevap genel bir integral şeklinde sunulur.

Bu, kendin yap örneği, eksiksiz bir çözüm ve öğreticinin sonundaki yanıttır.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemleri çözerken beklemede ne gibi zorluklar var?

1) Değişkenlerin paylaşılabileceği her zaman açık değildir (özellikle bir çaydanlık için). Düşünmek koşullu örnek:. Burada parantezlerin faktoringini yapmanız ve kökleri ayırmanız gerekir:. Nasıl devam edileceği açık.

2) Entegrasyonun kendisindeki zorluklar. İntegraller genellikle çok basit değildir ve bulma becerilerinde kusurlar varsa belirsiz integral, o zaman birçok yayılma ile zor olacaktır. Ek olarak, koleksiyon ve kılavuz derleyicileri arasında, "diferansiyel denklem basit olduğu için, integrallerin daha karmaşık olmasına izin verin" mantığı popülerdir.

3) Sabit ile dönüşümler. Herkesin fark ettiği gibi, diferansiyel denklemlerde sabitle hemen hemen her şeyi yapabilirsiniz. Ve bu tür dönüşümler yeni başlayanlar için her zaman net değildir. Başka bir koşullu örnek düşünün: ... İçinde, tüm terimleri 2 ile çarpmanız önerilir: ... Ortaya çıkan sabit aynı zamanda bir tür sabittir ve şu şekilde gösterilebilir: ... Evet ve logaritma sağ tarafta olduğundan, sabiti başka bir sabit biçiminde yeniden yazmanız önerilir: .

Sorun şu ki, çoğu zaman indekslerle uğraşmıyorlar ve aynı harfi kullanıyorlar. Ve sonuç olarak, karar kaydı aşağıdaki formu alır:

Bu ne ya? Hatalar da var. Resmi olarak, evet. Ve gayri resmi olarak - hata yoktur, bir sabiti dönüştürürken hala başka bir sabitin elde edildiği anlaşılmaktadır.

Veya böyle bir örnek, denklemi çözme sürecinde genel bir integralin elde edildiğini varsayalım. Bu cevap çirkin görünüyor, bu nedenle tüm çarpanların işaretlerini değiştirmeniz önerilir: ... Resmen, kayda göre yine bir yanlışlık var, yazılmalıydı. Ancak gayri resmi olarak, bunun hala başka bir sabit olduğu anlamına gelir (herhangi bir değeri alabildiğinden daha fazla), bu nedenle sabitin işaretini değiştirmenin bir anlamı yoktur ve aynı harfi kullanabilirsiniz.

Özensiz bir yaklaşımdan kaçınmaya çalışacağım ve yine de onları dönüştürürken sabitlere farklı endeksler atayacağım.

Örnek 7

Diferansiyel denklemi çözün. Kontrol.

Karar: Bu denklem değişkenlerin ayrılmasını sağlar. Değişkenleri ayırma:

Entegre ediyoruz:

Buradaki sabitin logaritma olarak tanımlanması gerekmez, çünkü ondan iyi bir şey çıkmaz.

Cevap: genel integral:

Doğrulama: Cevabı ayırt edin (örtük işlev):

Kesirlerden kurtuluruz, bunun için her iki terimi de şu şekilde çarparız:

Orijinal diferansiyel denklem elde edilir, yani genel integral doğru bulunur.

Örnek 8

Uzaktan kumanda için özel bir çözüm bulun.
,

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Tek yorum, burada genel bir integral elde ettiğinizdir ve daha doğrusu, belirli bir çözüm bulmaya çalışmanız gerekir, ancak kısmi integral... Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Daha önce belirtildiği gibi, çok basit olmayan integraller genellikle ayrılabilir değişkenlerle dağınık olarak ortaya çıkar. Ve işte bağımsız bir çözüm için bu tür birkaç örnek. Herkese 9-10 numaralı örnekleri çözmesini tavsiye ederim, eğitim seviyesi ne olursa olsun, bu integral bulma veya bilgi boşluklarını doldurma becerilerini güncelleyecektir.

Örnek 9

Diferansiyel denklemi çöz

Örnek 10

Diferansiyel denklemi çöz

Genel integrali yazmanın birden fazla yolu olduğunu ve cevaplarınızın görünümünün diğerlerinden farklı olabileceğini unutmayın. görünüm benim cevaplarım. Çözümün kısa yolu ve dersin sonunda cevaplar.

Başarılı promosyon!

Örnek 4:Karar: Genel bir çözüm bulalım. Değişkenleri ayırma:


Entegre ediyoruz:



Genel integral elde edildi, sadeleştirmeye çalışıyoruz. Logaritmaları paketliyoruz ve onlardan kurtuluyoruz:

I. Adi diferansiyel denklemler

1.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Diferansiyel denklem, bağımsız değişkeni birbirine bağlayan bir denklemdir. x, gerekli fonksiyon y ve türevleri veya diferansiyelleri.

Diferansiyel denklem sembolik olarak aşağıdaki gibi yazılır:

F (x, y, y ") = 0, F (x, y, y") = 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) = 0

İstenen fonksiyon bir bağımsız değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem sıradan olarak adlandırılır.

Diferansiyel denklemi çözerek bu denklemi özdeşliğe dönüştüren fonksiyona denir.

diferansiyel denklemin sırası bu denkleme giren en yüksek türevin mertebesidir

Örnekler.

1. Birinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün

Bu denklemin çözümü y = 5 ln x fonksiyonudur. Nitekim, ikame sen " denklemin içine - özdeşlik alırız.

Bu, y = 5 ln x– fonksiyonunun bu diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

2. İkinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün y "- 5y" + 6y = 0... Fonksiyon bu denklemin çözümüdür.

Aslında,.

Bu ifadeleri denklemde yerine koyarsak:, - özdeşlik elde ederiz.

Bu da fonksiyonun bu diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Diferansiyel denklemlerin entegrasyonu diferansiyel denklemlere çözüm bulma işlemine denir.

diferansiyel denklemin genel çözümü formun bir fonksiyonu denir , denklemin sırası kadar bağımsız keyfi sabit içerir.

Diferansiyel denklemin özel bir çözümü ile keyfi sabitlerin çeşitli sayısal değerleri için genel çözümden elde edilen çözüme denir. İsteğe bağlı sabitlerin değerleri, argüman ve işlevin belirli başlangıç ​​değerlerinde bulunur.

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünün grafiğine denir. integral eğrisi.

Örnekleri

1. Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun

xdx + ydy = 0, Eğer bir y= 4'te x = 3.

Karar. Denklemin her iki tarafını da entegre edersek,

Yorum Yap. Entegrasyonun bir sonucu olarak elde edilen keyfi bir sabit C, daha sonraki dönüşümler için uygun herhangi bir biçimde temsil edilebilir. Bu durumda, dairenin kanonik denklemi dikkate alındığında, formda keyfi bir sabit C temsil etmek uygundur.

- diferansiyel denklemin genel çözümü.

Başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin özel bir çözümü y = 4 x = 3, başlangıç ​​koşullarının genel çözüme genel ikamesinden bulunur: 3 2 + 4 2 = C2; C = 5.

Genel çözümde C = 5 yerine koyarsak, x 2 + y 2 = 5 2 .

Bu, verilen başlangıç ​​koşulları için genel çözümden elde edilen diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür.

2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun

Bu denklemin çözümü, C'nin keyfi bir sabit olduğu formun herhangi bir fonksiyonudur. Gerçekten de, denklemleri değiştirerek şunu elde ederiz:,.

Sonuç olarak, bu diferansiyel denklemin sonsuz bir çözümü vardır, çünkü C sabitinin farklı değerleri için eşitlik denklemin farklı çözümlerini belirler.

Örneğin, doğrudan ikame yoluyla, işlevlerin doğru olduğundan emin olunabilir. denklemin çözümleridir.

Denklemin belirli bir çözümünü bulmanın gerekli olduğu problem y "= f (x, y) başlangıç ​​koşulunun sağlanması y (x 0) = y 0 Cauchy problemi denir.

denklem çözümü y "= f (x, y) başlangıç ​​koşulunun sağlanması, y (x 0) = y 0, Cauchy probleminin çözümü olarak adlandırılır.

Cauchy probleminin çözümü basit bir geometrik anlama sahiptir. Nitekim bu tanımlara göre Cauchy problemini çözmek için y "= f (x, y) verilen y (x 0) = y 0, denklemin integral eğrisini bulmak anlamına gelir y "= f (x, y) hangi arkadan geçer bu nokta M 0 (x 0,0).

II. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler

2.1. Temel konseptler

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. F (x, y, y ") = 0.

Birinci mertebeden diferansiyel denklem, birinci türevi içerir ve daha yüksek mertebeden türevleri içermez.

denklem y "= f (x, y) türevine göre çözülen birinci mertebeden denklem denir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, bir keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur.

Misal. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün.

Bu denklemin çözümü fonksiyondur.

Gerçekten de, bu denklemde değeriyle yer değiştirirsek, şunu elde ederiz:

yani 3x = 3x

Sonuç olarak, fonksiyon herhangi bir C sabiti için denklemin genel bir çözümüdür.

Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulunuz. y (1) = 1 Başlangıç ​​koşullarının değiştirilmesi x = 1, y = 1 denklemin genel çözümüne, nereden elde ederiz C = 0.

Böylece elde edilen değeri bu denklemde yerine koyarak genelden özel bir çözüm elde ederiz. C = 0- özel bir çözüm.

2.2. Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem, aşağıdaki formun bir denklemidir: y "= f (x) g (y) veya diferansiyeller yoluyla, nerede f(x) ve g (y)- belirtilen işlevler.

Bunlar için y, bunun için denklem y "= f (x) g (y) denkleme eşdeğerdir, değişkenin olduğu y yalnızca sol tarafta bulunur ve x değişkeni yalnızca sağ taraftadır. Denklemde diyorlar ki y "= f (x) g (y değişkenleri bölelim."

formun denklemi değişkenleri ayrılmış denklem olarak adlandırılır.

Denklemin her iki tarafını entegre etme tarafından x, alırız G (y) = F (x) + C Denklemin genel çözümü, nerede (y) ve (x)- fonksiyonların bazı ters türevleri ve f(x), C keyfi sabit.

Ayrılabilir değişkenlerle birinci dereceden bir diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

örnek 1

Denklemi çözün y "= xy

Karar. türev fonksiyonu sen "şununla değiştir

değişkenleri bölmek

eşitliğin her iki tarafını da entegre edin:

Örnek 2

2yy "= 1- 3x 2, Eğer bir y 0 = 3 de x 0 = 1

Bu, ayrılmış değişkenleri olan bir denklemdir. Diferansiyellerde gösterelim. Bunu yapmak için, bu denklemi formda yeniden yazıyoruz. Buradan

Son eşitliğin her iki tarafını da entegre ederek buluruz.

Başlangıç ​​değerlerinin değiştirilmesi x 0 = 1, y 0 = 3 bulmak DAN 9=1-1+C, yani C = 9.

Bu nedenle, aranan kısmi integral veya

Örnek 3

Bir noktadan geçen bir eğriyi eşitleme M (2; -3) ve eğimli bir teğeti vardır

Karar. duruma göre

Bu ayrılabilir bir denklemdir. Değişkenleri bölerek şunu elde ederiz:

Denklemin her iki tarafını da entegre ederek şunu elde ederiz:

Başlangıç ​​koşullarını kullanarak, x = 2 ve y = - 3 bulmak C:

Sonuç olarak, aranan denklem forma sahiptir

2.3. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. y "= f (x) y + g (x)

Nerede f(x) ve g (x)- bazı önceden ayarlanmış işlevler.

Eğer bir g(x) = 0 daha sonra lineer diferansiyel denklem homojen olarak adlandırılır ve şu şekildedir: y "= f (x) y

Eğer o zaman denklem y "= f (x) y + g (x) heterojen denir.

Lineer homojen diferansiyel denklemin genel çözümü y "= f (x) y formülle verilir: nerede DAN keyfi bir sabittir.

Özellikle, eğer C = 0, o zaman çözüm y = 0 doğrusal ise homojen denklem forma sahip y "= ky Nerede k- bazı sabitler, o zaman genel çözümü şu şekildedir:.

Lineer homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümü y "= f (x) y + g (x) formül tarafından verilir ,

şunlar. karşılık gelen lineer homojen denklemin genel çözümü ile bu denklemin özel çözümünün toplamına eşittir.

Formun doğrusal homojen olmayan bir denklemi için y "= kx + b,

Nerede k ve b- bazı sayılar ve sabit bir fonksiyon özel bir çözüm olacaktır. Bu nedenle, genel çözümdür.

Misal... Denklemi çözün y "+ 2y +3 = 0

Karar. Denklemi formda temsil ediyoruz y "= -2y - 3 Nerede k = -2, b = -3 Genel çözüm formülle verilir.

Bu nedenle, burada C keyfi bir sabittir.

2.4. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin Bernoulli yöntemiyle çözümü

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Genel Çözümünü Bulma y "= f (x) y + g (x) ikame kullanılarak ayrılmış değişkenlerle iki diferansiyel denklemi çözmeye indirgenir. y = uv nerede sen ve v- bilinmeyen işlevler x... Bu çözüm yöntemine Bernoulli yöntemi denir.

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

y "= f (x) y + g (x)

1. İkame tanıtın y = uv.

2. Bu eşitliği farklılaştırın y "= u" v + uv "

3. İkame y ve sen " bu denklemde: u "v + uv" =f (x) uv + g (x) veya u "v + uv" + f (x) uv = g (x).

4. Denklemin terimlerini şu şekilde gruplandırın: sen parantezlerden çıkarın:

5. Parantezden sıfıra eşitleyerek fonksiyonu bulun

Bu ayrılabilir bir denklemdir:

Değişkenleri bölelim ve şunu elde edelim:

Nereden . .

6. Elde edilen değeri değiştirin v denkleme (4. maddeden):

ve fonksiyonu bulun Bu ayrılabilir bir denklemdir:

7. Genel çözümü şu şekilde yazın: , yani ...

örnek 1

Denklemin belirli bir çözümünü bulun y "= -2y +3 = 0 Eğer bir y = 1 de x = 0

Karar. Yerine koyma kullanarak çözelim y = uv,.y "= u" v + uv "

değiştirme y ve sen " bu denklemde, elde ederiz

Denklemin sol tarafında ikinci ve üçüncü terimleri gruplayarak ortak çarpanı çıkarıyoruz. sen parantez dışında

Parantez içindeki ifade sıfıra eşittir ve ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra işlevi buluruz. v = v (x)

Ayrılmış değişkenlere sahip bir denklem alındı. Bu denklemin her iki tarafını da entegre ediyoruz: Fonksiyonu bulun v:

Elde edilen değeri değiştirin v denkleme gireriz:

Bu, ayrılmış değişkenleri olan bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını da entegre ediyoruz: işlevi bulun u = u (x, c) Genel bir çözüm bulalım: Başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin özel bir çözümünü bulalım. y = 1 de x = 0:

III. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

3.1. Temel kavramlar ve tanımlar

İkinci dereceden bir diferansiyel denklem, ikinci dereceden daha yüksek olmayan türevleri içeren bir denklemdir. Genel durumda, ikinci dereceden bir diferansiyel denklem şu şekilde yazılır: F (x, y, y ", y") = 0

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, iki keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur. C1 ve C2.

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin kısmi çözümü, bazı keyfi sabit değerleri için genel bir çözümden elde edilen bir çözümdür. C1 ve C2.

3.2. İkinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklemler sabit katsayılar.

Sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir y "+ py" + qy = 0 nerede p ve q- sabit değerler.

Sabit katsayılı homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

1. Diferansiyel denklemi şu şekilde yazın: y "+ py" + qy = 0.

2. Belirten karakteristik denklemini oluşturun sen " vasıtasıyla r 2, sen " vasıtasıyla r, y 1: r 2 + pr + q = 0

makalenin içeriği

DİFERANSİYEL DENKLEMLER. birçok fiziksel yasalar Belirli fenomenlere uyan , bazı nicelikler arasındaki belirli bir ilişkiyi ifade eden matematiksel bir denklem şeklinde yazılır. Sıklıkla gelir zamanla değişen değerler arasındaki ilişki, örneğin bir arabanın bir litre yakıtla gidebileceği mesafe ile ölçülen motorun ekonomisi, arabanın hızına bağlıdır. Karşılık gelen denklem bir veya daha fazla fonksiyon ve bunların türevlerini içerir ve diferansiyel denklem olarak adlandırılır. (Mesafenin zaman içinde değişme hızı hız tarafından belirlenir; bu nedenle hız, mesafenin bir türevidir; benzer şekilde, ivme de hızın bir türevidir, çünkü ivme, hızın zaman içinde değişme oranını belirler.) Büyük önem Diferansiyel denklemlerin matematik ve özellikle uygulamaları için sahip olduğu , birçok fiziksel ve teknik problemin incelenmesinin bu tür denklemlerin çözümüne indirgenmesi gerçeğiyle açıklanmaktadır. Diferansiyel denklemler, biyoloji, ekonomi ve elektrik mühendisliği gibi diğer bilimlerde de önemli bir rol oynar; aslında, fenomenlerin nicel (sayısal) bir tanımına ihtiyaç duyulan her yerde ortaya çıkarlar (olduğu sürece). Dünya zamanla değişir ve koşullar bir yerden diğerine değişir).

Örnekler.

Aşağıdaki örnekler, diferansiyel denklemler dilinde farklı problemlerin nasıl formüle edildiğinin daha iyi anlaşılmasını sağlar.

1) Bazı radyoaktif maddelerin bozunma yasası, bozunma hızının bu maddenin mevcut miktarı ile orantılı olmasıdır. Eğer bir x- zamanın bir noktasındaki madde miktarı t, o zaman bu yasa aşağıdaki gibi yazılabilir:

Nerede dx/dt Bozulma oranı ve k- verilen maddeyi karakterize eden bazı pozitif sabitler. (Sağdaki eksi işareti, x zamanla azalır; hiçbir işaret açıkça belirtilmediğinde her zaman ima edilen bir artı işareti, şu anlama gelir: x Zamanla artar.)

2) Kap başlangıçta 100 m3 suda çözülmüş 10 kg tuz içerir. Eğer bir saf su kabın içine dakikada 1 m3 hızla dökülüyor ve çözelti ile eşit şekilde karıştırılıyor ve elde edilen çözelti kaptan aynı hızla dışarı akıyor, sonraki herhangi bir zamanda kapta ne kadar tuz olacak? Eğer bir x- o sırada kaptaki tuz miktarı (kg olarak) t, sonra herhangi bir zamanda t 1 m 3 kapta çözelti içerir x/ 100 kg tuz; bu nedenle, tuz miktarı bir oranda azalır x/ 100 kg / dak veya

3) Vücut kütlesine izin verin m yayın ucundan sarkıtıldığında, yaydaki gerilim miktarıyla orantılı olarak bir geri yükleme kuvveti etki eder. İzin vermek x- vücudun denge konumundan sapma miktarı. Ardından, Newton'un ivmeyi belirten ikinci yasasına göre (ikinci türevi x zamanda, belirtilen d 2 x/dt 2) güçle orantılı olarak:

Sağ tarafta eksi işareti vardır çünkü geri yükleme kuvveti yayın gerilimini azaltır.

4) Soğuyan cisimler kanunu, vücuttaki ısı miktarının vücut sıcaklıklarındaki farkla orantılı olarak azaldığını belirtir ve çevre... 90 °C'ye kadar ısıtılan bir fincan kahve, sıcaklığı 20 °C olan bir odadaysa, o zaman

Nerede T- kahve sıcaklığı t.

5) Blefuscu Eyaleti Dışişleri Bakanı, Lilliputia tarafından benimsenen silah programının ülkesini askeri harcamaları mümkün olduğunca artırmaya zorladığını iddia ediyor. Lilliputia Dışişleri Bakanı da benzer açıklamalar yapıyor. Ortaya çıkan durum (en basit yorumuyla) iki diferansiyel denklemle doğru bir şekilde tanımlanabilir. İzin vermek x ve y- Lilliputia ve Blefuscu'yu silahlandırmanın maliyeti. Lilliputia'nın silahlanma maliyetlerini Blefusk'a olan silahlanma maliyetlerindeki artış oranıyla orantılı bir oranda artırdığını ve bunun tersini varsayarsak, şunu elde ederiz:

üyeler nerede - balta ve - tarafından Her ülkenin askeri harcamalarını tanımlayın, k ve ben- pozitif sabitler. (Bu problem ilk olarak 1939'da L. Richardson tarafından bu şekilde formüle edilmiştir.)

Problem diferansiyel denklemlerin dilinde yazıldıktan sonra, onları çözmeye çalışmalı, yani. Değişim oranları denklemlerde yer alan nicelikleri bulun. Bazen çözümler açık formüller şeklinde bulunur, ancak daha sıklıkla sadece yaklaşık bir biçimde sunulabilir veya bunlar hakkında niteliksel bilgiler elde edilebilir. Bırakın bir çözüm bulmak şöyle dursun, bir çözümün var olup olmadığını belirlemek çoğu zaman zordur. Diferansiyel denklemler teorisinin önemli bir bölümü, bir tür diferansiyel denklem için bir çözümün varlığının kanıtlandığı "varlık teoremleri" tarafından oluşturulur.

Fiziksel bir problemin orijinal matematiksel formülasyonu genellikle basitleştirici varsayımlar içerir; makul olmalarının kriteri, matematiksel çözümün mevcut gözlemlerle tutarlılık derecesi olabilir.

Diferansiyel denklemlerin çözümleri.

Diferansiyel denklem, örneğin ölmek/dx = x/y, bir sayıyı değil, bir işlevi karşılar, bu özel durumda, grafiğinin herhangi bir noktada, örneğin, koordinatları (2, 3) olan bir noktada, bir teğeti olacak şekilde eğim koordinatların oranına eşittir (örneğimizde, 2/3). İnşa edersek bunu doğrulamak kolaydır Büyük sayı noktaları ve her birinden karşılık gelen bir eğime sahip kısa bir segment ayırın. Çözüm, grafiği her noktasına karşılık gelen segmente değen bir fonksiyon olacaktır. Yeterli nokta ve parça varsa, o zaman çözüm eğrilerinin seyrini kabaca özetleyebiliriz (Şekil 1'de bu tür üç eğri gösterilmektedir). ile her noktadan geçen tam olarak bir çözüm eğrisi vardır. y Hayır. 0. Her bir bireysel çözüm, diferansiyel denklemin özel bir çözümü olarak adlandırılır; tüm özel çözümleri içeren bir formül bulmak mümkünse (birkaç özel çözüm hariç), genel bir çözümün elde edildiğini söylerler. Belirli bir çözüm bir işlevdir, genel bir çözüm ise onların bütün ailesidir. Bir diferansiyel denklemi çözmek, onun özel veya genel çözümünü bulmak demektir. Örneğimizde, genel çözüm şu şekildedir: y 2 – x 2 = c nerede c- herhangi bir numara; (1,1) noktasından geçen özel çözüm forma sahiptir y = x ve ne zaman elde edilir c= 0; (2.1) noktasından geçen özel çözüm forma sahiptir. y 2 – x 2 = 3. Çözüm eğrisinin örneğin (2,1) noktasından geçmesini gerektiren koşula başlangıç ​​koşulu denir (çünkü çözüm eğrisi üzerindeki başlangıç ​​noktasını tanımlar).

Örnek (1)'de genel çözümün şu şekilde olduğu gösterilebilir: x = ce –kt nerede cÖrneğin, bir maddenin miktarını belirterek belirlenebilen bir sabittir. t= 0. Örnek (2)'deki denklem - özel durumörnek (1) denklemine karşılık gelen k= 1/100. Başlangıç ​​koşulu x= 10'da t= 0 belirli bir çözüm verir x = 10e –t/100 . Örnek (4)'teki denklemin genel bir çözümü var T = 70 + ce –kt ve özel çözüm 70 + 130 - kt; değeri belirlemek için k, ek veriler gereklidir.

diferansiyel denklem ölmek/dx = x/y birinci dereceden denklem olarak adlandırılır, çünkü birinci türevi içerir (içerdiği en yüksek türevin mertebesi, bir diferansiyel denklemin mertebesi olarak kabul edilir). Pratikte ortaya çıkan birinci tür diferansiyel denklemlerin çoğu (hepsi olmasa da) için, her noktadan yalnızca bir çözüm eğrisi geçer.

Dereceler, üsler, logaritmalar, sinüsler ve kosinüsler gibi yalnızca temel işlevleri içeren formüller biçiminde çözülebilecek birkaç önemli birinci mertebeden diferansiyel denklem türü vardır. Bu denklemler aşağıdakileri içerir.

Ayrılabilir Denklemler.

formun denklemleri ölmek/dx = f(x)/g(y) diferansiyellerde yazılarak çözülebilir g(y)ölmek = f(x)dx ve her iki parçayı da entegre etmek. En kötü durumda çözüm, bilinen fonksiyonların integralleri olarak gösterilebilir. Örneğin, denklem durumunda ölmek/dx = x/y sahibiz f(x) = x, g(y) = y... şeklinde yazarak ydy = xdx ve entegre ederek, elde ederiz y 2 = x 2 + c... Ayrılabilir değişkenlere sahip denklemler, örnek (1), (2), (4)'teki denklemleri içerir (yukarıda açıklandığı gibi çözülebilirler).

Toplam diferansiyellerde denklemler.

Diferansiyel denklem aşağıdaki şekle sahipse ölmek/dx = M(x,y)/N(x,y), nerede M ve N- verilen iki fonksiyon, o zaman şu şekilde temsil edilebilir: M(x,y)dx – N(x,y)ölmek= 0. Sol Taraf bazı fonksiyonların diferansiyeli F(x,y), daha sonra diferansiyel denklem şeklinde yazılabilir. dF(x,y) = 0, denkleme eşdeğerdir F(x,y) = konst. Böylece, denklemin çözüm eğrileri, fonksiyonun "sabit seviyelerin çizgileri" veya denklemleri sağlayan noktaların geometrik yerleridir. F(x,y) = c... denklem ydy = xdx(Şek. 1) - ayrılabilir değişkenlerle ve aynı zamanda toplam diferansiyellerde: ikincisine ikna olmak için, formda yazıyoruz ydy – xdx= 0, yani d(y 2 – x 2) = 0. Fonksiyon F(x,y) bu durumda (1/2)'ye eşittir ( y 2 – x 2); sabit seviye çizgilerinden bazıları Şekil 2'de gösterilmektedir. bir.

Doğrusal denklemler.

Doğrusal denklemler "birinci derece" denklemlerdir - bilinmeyen bir fonksiyon ve türevleri bu tür denklemlere yalnızca birinci derecede girer. Böylece, birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem forma sahiptir. ölmek/dx + p(x) = q(x), nerede p(x) ve q(x) İşlevler yalnızca şunlara bağlıdır: x... Çözümü her zaman bilinen fonksiyonların integralleri kullanılarak yazılabilir. Diğer birçok birinci mertebeden diferansiyel denklem türü, özel teknikler kullanılarak çözülür.

Daha yüksek mertebeden denklemler.

Fizikçilerin karşılaştığı birçok diferansiyel denklem, ikinci dereceden denklemlerdir (yani, ikinci türevleri içeren denklemler) Örneğin, örnek (3)'teki basit harmonik hareket denklemi, md 2 x/dt 2 = –kx... Genel olarak konuşursak, ikinci dereceden bir denklemin iki koşulu karşılayan özel çözümleri olması beklenebilir; örneğin, çözüm eğrisinin belirli bir noktadan belirli bir yönde geçmesini isteyebilirsiniz. Diferansiyel denklemin belirli bir parametreyi (değeri koşullara bağlı olan bir sayı) içerdiği durumlarda, bu parametrenin yalnızca belirli değerleri için gerekli türdeki çözümler mevcuttur. Örneğin, denklemi düşünün md 2 x/dt 2 = –kx ve bunu gerektirir y(0) = y(1) = 0. Fonksiyon yє 0 kesinlikle bir çözümdür, ancak bir tamsayı ise p, yani k = m 2 n 2 p 2, nerede n- bir tamsayı, ancak gerçekte yalnızca bu durumda başka çözümler de vardır, yani: y= günah npx... Denklemin özel çözümlere sahip olduğu parametre değerlerine karakteristik veya özdeğerler denir; birçok görevde önemli bir rol oynarlar.

Basit harmonik hareket denklemi, önemli bir denklem sınıfına, yani sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlere örnek teşkil eder. Daha genel örnek(ayrıca ikinci dereceden) - denklem

Nerede bir ve b- verilen sabitler, f(x) verilen bir fonksiyondur. Bu tür denklemler çözülebilir Farklı yollarörneğin, integral Laplace dönüşümünü kullanarak. Aynısı, sabit katsayılı daha yüksek mertebeden lineer denklemler için de söylenebilir. tarafından da önemli bir rol oynar. lineer denklemler değişken katsayılarla.

Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler.

Bilinmeyen fonksiyonları ve bunların türevlerini birinciden daha yüksek bir dereceye kadar veya daha karmaşık bir şekilde içeren denklemlere doğrusal olmayan denir. İÇİNDE son yıllar giderek daha fazla dikkat çekiyorlar. Mesele şu ki, fiziksel denklemler genellikle sadece ilk yaklaşımda lineerdir; daha fazla ve daha doğru araştırma, kural olarak, doğrusal olmayan denklemlerin kullanılmasını gerektirir. Ayrıca, birçok problem doğası gereği doğrusal değildir. Doğrusal olmayan denklemlerin çözümleri genellikle çok karmaşık olduğundan ve basit formüllerle temsil edilmesi zor olduğundan, modern teori davranışlarının niteliksel analizine ayrılmıştır, yani. Denklemi çözmeden, çözümlerin bir bütün olarak doğası hakkında önemli bir şey söylemeyi mümkün kılan yöntemlerin geliştirilmesi: örneğin, hepsinin sınırlı olması veya periyodik bir yapıya sahip olması veya belirli bir şekilde buna bağlı olması. katsayılar.

Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri sayısal olarak bulunabilir, ancak bu çok zaman alır. Yüksek hızlı bilgisayarların ortaya çıkmasıyla, bu süre büyük ölçüde azaldı, bu da daha önce böyle bir çözüme teslim olmayan birçok sorunun sayısal çözümü için yeni olanaklar açtı.

Varlık teoremleri.

Bir varlık teoremi, belirli koşullar altında belirli bir diferansiyel denklemin bir çözümü olduğunu belirten bir teoremdir. Çözümü olmayan veya beklenenden fazla olan diferansiyel denklemler vardır. Varlık teoreminin amacı, verilen bir denklemin bir çözümü olduğuna bizi ikna etmek ve çoğu zaman onun gerekli tipte tam olarak bir çözüme sahip olduğundan emin olmaktır. Örneğin, daha önce karşılaştığımız denklem ölmek/dx = –2y düzlemin her noktasından geçen tam olarak bir çözüme sahiptir ( x,y) ve zaten böyle bir çözüm bulduğumuz için bu denklemi tamamen çözdük. Öte yandan, denklem ( ölmek/dx) 2 = 1 – y 2'nin birçok çözümü var. Bunlar arasında doğrudan y = 1, y= –1 ve eğriler y= günah ( x + c). Çözüm, teğet noktalarında birbirine geçen bu düz çizgilerin ve eğrilerin birkaç parçasından oluşabilir (Şekil 2).

Kısmi diferansiyel denklemler.

Adi diferansiyel denklem, bir değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunun türevi hakkında bir ifadedir. Kısmi diferansiyel denklem, iki veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon ve bu fonksiyonun en az iki farklı değişkene göre türevlerini içerir.

Fizikte, bu tür denklemlerin örnekleri Laplace denklemidir.

X, y) değerler ise dairenin içinde sen sınırlayıcı dairenin her noktasında belirtilir. Fizikte birden fazla değişkenli problemler istisna değil kural olduğundan, PDE teorisinin konusunun ne kadar geniş olduğunu hayal etmek kolaydır.

cevrimici hesap makinesi diferansiyel denklemleri çevrimiçi olarak çözmenizi sağlar. Denklemi bir kesme işareti ile "bir fonksiyonun türevini" belirten uygun alana girmeniz ve "denklemi çöz" düğmesine tıklamanız yeterlidir.Ve popüler WolframAlpha sitesi temelinde uygulanan sistem ayrıntılı bir bilgi verecektir. diferansiyel denklem çözümü Tamamen ücretsiz. Cauchy problemini de tüm setten Muhtemel çözümler verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen bölümü seçin. Cauchy problemi ayrı bir alana girilir.

diferansiyel denklem

Denklemde varsayılan fonksiyon y bir değişkenin fonksiyonudur x... Bununla birlikte, kendi değişken atamanızı ayarlayabilirsiniz, örneğin denklemde y (t) yazarsanız, hesap makinesi bunu otomatik olarak tanıyacaktır. y değişkenin bir işlevi var t... Hesap makinesi ile yapabilirsiniz diferansiyel denklemleri çöz herhangi bir karmaşıklık ve türde: homojen ve homojen olmayan, doğrusal veya doğrusal olmayan, birinci dereceden veya ikinci ve daha yüksek derecelerden, ayrılabilir veya ayrılamaz değişkenli denklemler, vb. diferansiyel çözüm denklem analitik bir biçimde verilir, Detaylı Açıklama... Diferansiyel denklemler fizik ve matematikte çok yaygındır. Bunları hesaplamadan birçok problemi (özellikle matematiksel fizikte) çözmek mümkün değildir.

Diferansiyel denklemleri çözmenin aşamalarından biri, fonksiyonların entegrasyonudur. Diferansiyel denklemleri çözmek için standart yöntemler vardır. Denklemleri ayrılabilir değişkenler y ve x ile forma getirmek ve ayrılan fonksiyonları ayrı ayrı entegre etmek gerekir. Bunu yapmak için bazen belirli bir değiştirme yapılmalıdır.