Tanım. a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya denir en büyük ortak faktör (gcd) bu sayılar.

24 ve 35'in en büyük ortak bölenini bulun.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35'in bölenleri 1, 5, 7, 35 sayıları olacak.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. karşılıklı basit.

Tanım. Doğal sayılar denir karşılıklı basit en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.

En büyük ortak bölen (GCD) Verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.

48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırarak şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayıların ilkinin ayrıştırılmasında yer alan faktörlerden, ikinci sayının ayrıştırılmasında yer almayanları (yani iki ikili) silin.
Çarpanlar 2*2*3 kalır. Çarpımları 12'dir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir. Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni de bulunur.

Bulmak en büyük ortak faktör

2) bu sayılardan birinin ayrıştırılmasına dahil olan faktörlerden, diğer sayıların ayrıştırılmasına dahil olmayanları silin;
3) Kalan çarpanların çarpımını bulun.

Tüm bu sayılar bunlardan birine bölünebiliyorsa, o zaman bu sayı en büyük ortak faktör verilen sayılar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180'in en büyük ortak böleni 15'tir, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.

En Küçük Ortak Kat (LCM)

Tanım. En Küçük Ortak Kat (LCM) a ve b doğal sayılarına hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayı denir. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katlarını arka arkaya yazmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayırıyoruz: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayıların ilkinin ayrıştırılmasında yer alan çarpanları yazalım ve onlara ikinci sayının ayrıştırılmasından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 5 adet 2*2*3*5*5 çarpanı elde ederiz. Bu sayı 75 ve 60'ın en küçük ortak katıdır.

Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulun.

NS en küçük ortak katı bul birkaç doğal sayı, ihtiyacınız olan:
1) onları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin ayrıştırılmasında yer alan faktörleri yazın;
3) onlara kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin ürününü bulun.

Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğuna dikkat edin.
Örneğin, 12, 15, 20 ve 60'ın en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.

Pisagor (MÖ VI. Yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit bir sayı (sayı olmadan), mükemmel sayı olarak adlandırdılar. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33 550 336'dır. Pisagorcular sadece ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. n. NS. Beşinci - 33 550 336 - 15. yüzyılda bulundu. 1983'te 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak şimdiye kadar bilim adamları, tek mükemmel sayıların olup olmadığını, en büyük mükemmel sayının olup olmadığını bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da bir ürün olarak temsil edilebilmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır. asal sayılar yani asal sayılar, doğal sayıların geri kalanını oluşturan tuğlalar gibidir.
Muhtemelen bir dizi doğal sayıdaki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - dizinin bazı bölümlerinde daha fazla, bazılarında daha az - daha az. Ancak sayı serisinde ne kadar ileri gidersek, asal sayılar o kadar az yaygınlaşır. Soru ortaya çıkıyor: son (en büyük) bir asal sayı var mı? Eski Yunan matematikçi Öklid (MÖ III. Yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan "Başlangıçlar" adlı kitabında, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu, yani her asalın arkasında daha da büyük bir asal sayı olduğunu kanıtladı. .
Aynı zamanda bir başka Yunan matematikçi olan Eratosthenes, asal sayıları bulmak için böyle bir yöntem geliştirdi. 1'den bir sayıya kadar olan tüm sayıları yazdı ve sonra ne asal ne de bileşik sayı olmayan bir birimin üzerini çizdi, ardından 2'den sonraki tüm sayıların üzerini çizdi (2 ile bölünebilen sayılar, yani 4, 6 , 8, vb. .). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tür. Ardından 3'ten sonraki tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) ikiden sonra üzeri çizilmiştir. sonunda, yalnızca asal sayılar çaprazlanmadı.

Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle sık kullanılan ana konulardan biridir. Konu lisede çalışılırken, materyali anlamak özellikle zor olmasa da, derecelere ve çarpım tablosuna aşina olan bir kişi gerekli olanı seçmekte zorlanmayacaktır. sayıları ve sonucu bulun.

Tanım

Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman, bu sayı orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı, sapma olmadan aynı anda her iki sayıya da bölünebilmelidir.

NOC kabul edilen isimdir kısa adı ilk harflerden toplanmıştır.

Numarayı almanın yolları

LCM'yi bulmak için sayıları çarpma yöntemi her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir, sayı ne kadar büyükse, o kadar fazla faktör olacaktır.

Örnek 1

En basit örnek için, okullar genellikle basit, tek veya iki basamaklı sayılar kullanır. Örneğin, aşağıdaki sorunu çözmeniz gerekiyor, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, çarpmanız yeterli. Sonuç olarak, 21 sayısı vardır, daha küçük bir sayı yoktur.

Örnek 2

Görevin ikinci çeşidi çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları göz önüne alındığında, LCM'nin bulunması zorunludur. Görevi çözmek için aşağıdaki eylemler varsayılır:

Birinci ve ikinci sayıların en basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. İlk etap tamamlandı.

İkinci aşama, önceden alınmış verilerle çalışmayı içerir. Elde edilen sayıların her biri, nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Orijinal sayıların bileşimindeki her faktör için en çok Büyük sayı olaylar. NOC toplam sayısı, bu nedenle, sayılardan gelen faktörler, bir kopyada bulunanlar bile, hepsinde bire tekrarlanmalıdır. Her iki ilk sayının bileşiminde farklı derecelerde 2, 3 ve 5 sayıları vardır, bir durumda sadece 7 vardır.

Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde sunulan güçlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve doğru doldurma ile cevabı almaktır, görev açıklama yapmadan iki adıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM = 6300.

Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarparak hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.

muayene:

6300/300 = 21 - doğru;

6300/1260 = 5 - doğru.

Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek belirlenir - LCM'nin her iki ilk sayıya bölünmesi, sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, cevap doğrudur.

LCM matematikte ne anlama geliyor?

Bildiğiniz gibi, matematikte işe yaramaz tek bir fonksiyon yoktur, bu bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın kullanımı, kesirleri ortak payda... Genellikle lisenin 5-6. sınıflarında öğrenilen şey. Ayrıca, problemde bu tür koşullar varsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Benzer bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayıyı da bulabilir - üç, beş vb. Daha fazla sayı - görevdeki daha fazla eylem, ancak karmaşıklık bundan artmaz.

Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde, bunların toplam LCM'sini bulmanız gerekir:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı iptal etmeden ayrıntılı olarak açıklar.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Bir ifade oluşturabilmek için tüm faktörlerin belirtilmesi gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilmiştir, - tüm bu sayılar için maksimum derecenin belirlenmesi gerekir.

Dikkat: Tüm çarpanlar, mümkünse, tek değerli olanlar düzeyine genişletilerek, eksiksiz sadeleştirmeye getirilmelidir.

muayene:

1) 3000/250 = 12 - doğru;

2) 3000/600 = 5 - doğru;

3) 3000/1500 = 2 - doğru.

Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve anlaşılır.

Diğer yol

Matematikte çok şey bağlantılıdır, çok şey iki veya daha fazla şekilde çözülebilir, aynısı en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar durumunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey, çarpanın yatay olarak girildiği ve ürünün sütunun kesişen hücrelerinde gösterildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi yardımıyla yansıtabilirsiniz, bir sayı alınır ve bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçları arka arkaya yazılır, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama işlemine tabi tutulmuştur. Ortak kat bulunana kadar her şey olur.

30, 35, 42 sayıları verildiğinde, tüm sayıları birleştiren LCM'yi bulmanız gerekir:

1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.

2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.

3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.

Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani LCM olacak. Bu hesaplama ile ilgili işlemler arasında, benzer ilkelere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de vardır. Fark küçüktür, ancak yeterince önemlidir, LCM verilen tüm başlangıç ​​değerlerine bölünen bir sayının hesaplanmasını varsayar ve GCD hesaplamayı varsayar. en büyük değer hangi orijinal sayılar bölünür.

İkinci numara: b =

Rakam ayırıcı Ayırıcı boşluk yok "´

Sonuç:

GCD'nin en büyük ortak böleni ( a,B)=6

En Az Ortak Çoklu LCM ( a,B)=468

a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya denir en büyük ortak faktör(Gcd) bu sayılar. gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) veya hcf (a, b) ile gösterilir.

En küçük ortak Kat(LCM), a ve b tam sayılarından oluşan, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM, (a, b) veya lcm (a, b) olarak gösterilir.

a ve b tam sayılarına denir karşılıklı basit+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak böleni

verilen iki pozitif sayılar a 1 ve a 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekir, yani. böyle bir sayı bul λ sayıları bölen a 1 ve a 2 aynı anda. Algoritmayı tanımlayalım.

1) Bu makalede, kelime numarası bir tamsayı olarak anlaşılacaktır.

İzin vermek a 1 ≥ a 2 ve izin ver

nerede m 1 , a 3 bazı tamsayılar, a 3 <a 2 (bölümün geri kalanı a 1 a 2 daha az olmalı a 2).

farz edelim ki λ böler a 1 ve a 2, o zaman λ böler m 1 a 2 ve λ böler a 1 −m 1 a 2 =a 3 ("Sayıların Bölünebilirliği. Bölünebilirlik İşareti" maddesinin 2. fıkrası). Dolayısıyla, her ortak bölenin a 1 ve a 2 ortak bölendir a 2 ve a 3. Bunun tersi de doğruysa λ ortak bölen a 2 ve a 3, o zaman m 1 a 2 ve a 1 =m 1 a 2 +a 3 de ayrılır λ ... Bu nedenle ortak bölen a 2 ve a 3 aynı zamanda bir ortak bölendir a 1 ve a 2. Çünkü a 3 <a 2 ≤a 1, o zaman sayıların ortak bölenini bulma sorununun çözümünün olduğunu söyleyebiliriz. a 1 ve a 2, sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir. a 2 ve a 3 .

Eğer a 3 ≠ 0, sonra bölebiliriz a 2 a 3. Sonra

,

nerede m 1 ve a 4 bazı tam sayılar, ( a 4 kalan a 2 a 3 (a 4 <a 3)). Benzer bir akıl yürütmeyle, sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. a 3 ve a 4 ortak bölenlerle aynıdır a 2 ve a 3 ve ayrıca ortak faktörlerle a 1 ve a 2. Çünkü a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... sayılar sürekli azalıyor ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğu için a 2 ve 0, sonra bir adımda n, bölümün geri kalanı a n açık a n + 1 sıfıra eşit olacaktır ( a n + 2 = 0).

.

Her ortak bölen λ sayılar a 1 ve a 2 aynı zamanda sayıların bir bölenidir a 2 ve a 3 , a 3 ve a 4 , .... a n ve a n+1 Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri a n ve a n+1 de sayıların bölenleridir a n - 1 ve a n, ...., a 2 ve a 3 , a 1 ve a 2. Ama sayıların ortak böleni a n ve a n+1 sayıdır a n + 1, çünkü a n ve a n + 1 bölünebilir a n + 1 (unutmayın a n + 2 = 0). Buradan a n+1 aynı zamanda sayıların bir bölenidir a 1 ve a 2 .

Not numarası a n + 1 sayıların en büyük böleni a n ve a n + 1, en büyük bölenden beri a n + 1 kendisidir a n+1 Eğer a n + 1 tamsayıların bir ürünü olarak gösterilebilir, bu durumda bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. a 1 ve a 2. Sayı a n+1 denir en büyük ortak faktör sayılar a 1 ve a 2 .

sayılar a 1 ve a 2 hem pozitif hem de negatif sayılar olabilir. Sayılardan biri sıfır ise, bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid'in algoritması iki tamsayının en büyük ortak bölenini bulmak için

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

• Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Kalan 196'dır.
• Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Kalan 42'dir.
• Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Kalan 28'dir.
• Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Kalan 14'tür.
• Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Kalan 0'dır.

5. adımda, bölmenin geri kalanı 0'dır. Bu nedenle, 630 ve 434'ün en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7'nin de 630 ve 434'ün bölenleri olduğuna dikkat edin.

karşılıklı asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun a 1 ve a 2 bire eşittir. Sonra bu numaralar denir asal sayılar ortak böleni olmayandır.

teorem 1. Eğer a 1 ve a 2 asal sayı ve λ bir sayı, sonra sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve a 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ ve a 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Euclid'in algoritmasını düşünün a 1 ve a 2 (yukarıya bakın).

.

Teoremin koşullarından, sayıların en büyük ortak böleni olduğu sonucu çıkar. a 1 ve a 2 ve bu nedenle a n ve a n + 1 1'dir. Yani, a n + 1 = 1.

Tüm bu eşitlikleri şu şekilde çarparız: λ , sonra

.

Ortak bölen olsun a 1 λ ve a 2 δ ... Sonra δ bir faktördür a 1 λ , m 1 a 2 λ ve a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (bkz. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Daha öte δ bir faktördür a 2 λ ve m 2 a 3 λ ve bu nedenle, bir faktördür a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek şuna ikna oluyoruz. δ bir faktördür a n - 1 λ ve m n - 1 a n λ , ve bu nedenle a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Çünkü a n + 1 = 1, o zaman δ bir faktördür λ ... Bu nedenle sayı δ sayıların ortak bölenidir λ ve a 2 .

Teorem 1'in belirli durumlarını düşünün.

Sonuç 1. İzin vermek a ve C asal sayılar görecelidir B... Daha sonra onların ürünü AC göre bir asal sayıdır B.

Yok canım. Teorem 1'den AC ve B ile aynı ortak faktörlere sahip C ve B... Ama sayılar C ve B karşılıklı olarak basit, yani benzersiz bir ortak bölen 1'e sahip olun. AC ve B ayrıca benzersiz bir ortak bölen 1'e sahiptir. AC ve B karşılıklı basit.

Sonuç 2. İzin vermek a ve B asal sayılar ve izin B böler ak... Sonra B böler ve k.

Yok canım. Açıklama koşulundan ak ve B ortak bölen var B... Teorem 1 sayesinde, B ortak bölen olmalı B ve k... Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuç 3. 1. Sayılar olsun a 1 , a 2 , a 3 , ..., a bir sayıya göre m asal B... Sonra a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 a m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki sıra numaramız olsun

öyle ki, ilk satırdaki her sayı, ikinci satırdaki her sayıya göre asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıların bulunması gerekir.

sayı ile bölünebiliyorsa a 1, o zaman formu vardır sa 1, nerede s herhangi bir numara. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni a 1 ve a 2, o zaman

nerede s 1 bir tam sayıdır. Sonra

bir en küçük ortak katlar a 1 ve a 2 .

a 1 ve a 2 asal, sonra sayıların en küçük ortak katı a 1 ve a 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulunuz.

Yukarıdan, herhangi bir sayının katları a 1 , a 2 , a 3 bir sayının katı olmalıdır ε ve a 3 ve tersi. Sayıların en küçük ortak katı olsun ε ve a 3 ε 1. Ayrıca, birden fazla sayı a 1 , a 2 , a 3 , a 4 bir sayının katı olmalıdır ε 1 ve a 4. Sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve a 4 orada ε 2. Böylece, tüm sayıların katlarının olduğunu öğrendik. a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m belirli bir sayının katları ile çakışıyor ε n, verilen sayıların en küçük ortak katı denir.

Özel durumda, sayılar a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m asal, sonra sayıların en küçük ortak katı a 1 , a 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Ayrıca, beri a sayılara göre 3 asal a 1 , a 2, o zaman a 3 asal sayı a 1 · a 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı a 1 ,a 2 ,a 3 sayıdır a 1 · a 2 a 3. Benzer şekilde tartışarak aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.

Beyan 1. Asal sayıların en küçük ortak katı a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m onların ürününe eşittir a 1 · a 2 a 3 a m.

Beyan 2. Asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ayrıca ürünlerine bölünebilir a 1 · a 2 a 3 a m.

LCM nasıl bulunur (en küçük ortak kat)

İki tamsayının en küçük ortak katı, verilen her iki sayıya da bölünebilen en küçük tam sayıdır.

Yöntem 1... LCM'yi sırayla, verilen sayıların her biri için, 1, 2, 3, 4 vb. ile çarpılarak elde edilen tüm sayıları artan düzende yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için
6 sayısını sırayla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Aldığımız: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırayla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Aldığımız: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi, 6 ve 9 sayıları için LCM 18 olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bir tamsayı dizisiyle çarpması kolay olduğunda uygundur. Ancak, iki basamaklı veya üç basamaklı sayılar için LCM'yi bulmanızın yanı sıra orijinal sayıların üç veya daha fazla olduğu zamanlar vardır.

Yöntem 2... Orijinal sayıları asal çarpanlara genişleterek LCM'yi bulabilirsiniz.
Genişletmeden sonra, ortaya çıkan asal faktör dizisinden aynı sayıları silmek gerekir. İlk sayıdan kalan sayılar ikinci için bir faktör olacak ve ikinciden kalan sayılar birinci için bir faktör olacaktır.

Örnek 75 ve 60 numara için.
75 ve 60'ın en küçük ortak katı, bu sayıların katları arka arkaya yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlara genişletiriz:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi, her iki satırda da 3 ve 5 faktörleri bulunur. Zihinsel olarak onları "aşıyoruz".
Bu sayıların her birinin ayrıştırılmasında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını genişletirken elimizde 5 rakamı, 60 sayısını genişletirken 2*2 rakamımız kalıyor.
Bu nedenle, 75 ve 60 sayıları için LCM'yi belirlemek için, 75'in (bu 5) ayrıştırılmasından kalan sayıları 60 ile ve 60 sayısının ayrıştırılmasından kalan sayıları (bu 2 * 2'dir) çarpmamız gerekir. ) 75 ile çarpın. Yani anlama kolaylığı için "çapraz" çarpıyoruz diyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayıları için LCM'yi bu şekilde bulduk. Bu, 300 sayısıdır.

Örnek... 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
Bu durumda, eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacaktır. Ama önce, her zaman olduğu gibi, tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçeriz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı dizilerinden en az biri aynı, henüz üstü çizilmemiş faktörü içeriyorsa, bunları çaprazlayarak sırayla faktörlerini gözden geçiririz.

Aşama 1 . Sayıların tüm satırlarında 2*2 oluştuğunu görüyoruz. Onları çaprazlayın.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalır, ancak 24 sayısının asal çarpanlarında bulunur. 3 sayısını her iki satırdan da çizin, 16 sayısı için herhangi bir işlem yapılmadığı varsayılır.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi, 12 sayısını genişletirken, tüm sayıları "çizdik". Bu, NOC'nin bulunmasının tamamlandığı anlamına gelir. Sadece değerini hesaplamak için kalır.
12 sayısı için, 16 sayısının kalan çarpanlarını alıyoruz (artan sırada en yakın)
12 * 2 * 2 = 48
Bu, NOC'dir

Gördüğünüz gibi, bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu, ancak üç veya daha fazla sayı için bulmanız gerektiğinde, bu yöntem daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak, LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılara eşit olarak bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünür;

36 sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ile tam bölünür.

Bir sayının tam bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. bölenler... Doğal sayı böleni a verilen bir sayıyı bölen doğal sayıdır a kalan olmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir bileşik .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Bunlar sayılardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Verilen iki sayının ortak böleni a ve B- verilen her iki sayının da kalansız bölünebildiği sayıdır. a ve B.

Ortak çokluçoklu sayılar, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin, 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da ortak katlarıdır. Tüm j toplam katları arasında her zaman en küçüğü vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (LCM).

LCM her zaman için belirlendiği sayıların en büyüğünden büyük olması gereken doğal bir sayıdır.

En Küçük Ortak Kat (LCM). Özellikler.

Değiştirilebilirlik:

ilişkilendirme:

Özellikle, eğer ve asal sayılar ise, o zaman:

İki tamsayının en küçük ortak katı m ve n diğer tüm ortak katların böleni m ve n... Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM için katlar kümesiyle çakışır ( m, n).

için asimptotikler, bazı teorik sayılarla ifade edilebilir.

Yani, Chebyshev işlevi... Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g (n).

Asal sayıların dağılım yasasından çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

LCM ( bir, b) birkaç yolla hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, LCM ile ilişkisini kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının da asal çarpanlarına kanonik olarak ayrıştırılmasının bilinmesine izin verin:

nerede p 1, ..., pk- çeşitli asal sayılar ve d 1, ..., d k ve e 1, ..., e k- negatif olmayan tam sayılar (dekompozisyonda karşılık gelen asal sayı yoksa sıfır olabilirler).

Daha sonra LCM ( a,B) şu formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle, LCM ayrıştırması, sayı açılımlarından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. bir, b, ve bu faktörün iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katının hesaplanması, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir dizi sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal çarpanlara ayırmak;

- en büyük açılımı istenen ürünün çarpanlarına aktarın (verilenlerin en büyük sayısının çarpanlarının çarpımı) ve daha sonra ilk sayıda olmayan veya görünmeyen diğer sayıların açılımından çarpanları ekleyin daha az kez;

- asal faktörlerin ortaya çıkan ürünü, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya genişlemede aynı çarpanlara sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının (2, 2, 7) asal çarpanları 3 çarpanıyla (21 sayısı) tamamlanırsa, ortaya çıkan ürün (84) 21 ve 28 ile bölünebilen en küçük sayı olacaktır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları 25 sayısının 5 katı ile tamamlanmıştır, elde edilen 150 çarpımı en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünür. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300 ...).

2,3,11,37 sayıları basittir, dolayısıyla LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural... Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları kendi aralarında çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) her sayıyı asal faktörlerinin ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tüm asal faktörlerin güçlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin tüm asal bölenlerini (faktörlerini) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en yüksek derecesini seçin;

5) bu dereceleri çarpın.

Örnek... Sayıların LCM'sini bulun: 168, 180 ve 3024.

Çözüm... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tüm asal faktörlerin en büyük güçlerini yazıp çarpıyoruz:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.