Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Çelyabinsk bölgesi

Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

Makale, ITAKA + Otel Kompleksi'nin desteğiyle yayınlanmıştır. Severodvinsk gemi yapımcıları şehrinde kalarak, geçici konut bulma sorunuyla karşılaşmayacaksınız. , İnternet üzerinden otel kompleksi"ITAKA +" http://itakaplus.ru, günlük ödeme ile herhangi bir dönem için şehirde kolayca ve hızlı bir şekilde daire kiralayabilirsiniz.

Üzerinde şimdiki aşama eğitimin ana görevlerinden biri olarak geliştirilmesi, yaratıcı düşünen bir kişiliğin oluşumudur. Öğrencilerin yaratıcı olma yetenekleri, ancak araştırma faaliyetlerinin temellerine sistematik olarak dahil olmaları durumunda geliştirilebilir. Öğrencilerin yaratıcı güçlerini, yeteneklerini ve yeteneklerini kullanmalarının temeli, oluşturulmuş tam teşekküllü bilgi ve becerilerdir. Bu bağlamda, okul matematik dersinin her konusu hakkında bir temel bilgi ve beceri sistemi oluşturma sorunu küçük bir öneme sahip değildir. Aynı zamanda, tam teşekküllü beceriler, bireysel görevlerin değil, dikkatlice düşünülmüş sistemlerinin didaktik hedefi olmalıdır. En geniş anlamıyla sistem, bütünlük ve istikrarlı bir yapıya sahip, birbirine bağlı, etkileşimli öğeler kümesi olarak anlaşılır.

Öğrencilere bir fonksiyonun grafiğine bir teğet denkleminin nasıl çizileceğini öğretmek için bir metodoloji düşünün. Özünde, teğet denklemi bulmanın tüm sorunları, belirli bir gereksinimi karşılayan düz çizgiler kümesinden (paket, aile) seçme ihtiyacına indirgenir - bazı fonksiyonların grafiğine teğettir. Ayrıca, seçimin gerçekleştirileceği satır kümesi iki şekilde belirtilebilir:

a) xOy düzlemi üzerinde uzanan bir nokta (merkezi düz çizgiler demeti);
b) eğim (paralel düz çizgiler demeti).

Bu bağlamda, sistemin elemanlarını izole etmek için "Bir fonksiyonun grafiğine teğet" konusunu incelerken, iki tür görev belirledik:

1) geçtiği nokta tarafından verilen teğet üzerindeki problemler;
2) eğimi tarafından verilen teğet sorunu.

Teğet bir çizgideki problemleri çözmeyi öğrenmek, A.G. tarafından önerilen algoritma kullanılarak gerçekleştirildi. Mordkoviç. Zaten bilinenlerden temel farkı, teğet noktasının apsisinin, teğet denkleminin şeklini aldığı a harfiyle (x0 yerine) gösterilmesidir.

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) ile karşılaştırın). Bu metodik teknik, bize göre, öğrencilerin mevcut noktanın koordinatlarının nerede yazıldığını daha hızlı ve daha kolay anlamalarını sağlar. teğet çizginin genel denklemi ve temas noktaları nerede.

Y = f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini hazırlamak için algoritma

1. Teğet noktasının apsisini a harfi ile belirtin.
2. f(a)'yı bulun.
3. f "(x) ve f" (a)'yı bulun.
4. Bulunan sayıları a, f (a), f "(a) teğet çizgisinin genel denkleminde y = f (a) = f" (a) (x - a) ile değiştirin.

Bu algoritma, öğrencilerin kendi seçtikleri işlem ve uygulama sırası temelinde derlenebilir.

Uygulama, bir algoritma yardımıyla anahtar problemlerin her birinin sıralı çözümünün, bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini aşamalar halinde yazma becerilerini oluşturmasına izin verdiğini ve algoritmanın adımlarının referans olarak hizmet ettiğini göstermiştir. eylemler için puan. Bu yaklaşım, P.Ya tarafından geliştirilen zihinsel eylemlerin aşama aşama oluşumu teorisine karşılık gelir. Galperin ve N.F. Talyzina.

İlk görev türünde iki temel görev belirlendi:

• teğet, eğri üzerindeki bir noktadan geçer (görev 1);
• teğet eğri üzerinde olmayan bir noktadan geçiyor (problem 2).

Görev 1. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yapın M noktasında (3; - 2).

Karar. M noktası (3; - 2) teğet noktasıdır, çünkü

1.a = 3 - teğet noktasının apsisi.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - tanjant denklemi.

Problem 2. M noktasından geçen y = - x 2 - 4x + 2 fonksiyonunun grafiğine tüm teğetlerin denklemlerini yazın (- 3; 6).

Karar. M (- 3; 6) noktası bir teğet noktası değildir, çünkü f (- 3) 6 (şekil 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) teğet doğrusunun denklemidir.

Teğet M (- 3; 6) noktasından geçer, bu nedenle koordinatları teğet denklemini sağlar.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
2 + 6a + 8 = 0^ 1 = - 4, 2 = - 2.

a = - 4 ise, teğet denklemi y = 4x + 18'dir.

a = - 2 ise, teğet denklemi y = 6 biçimindedir.

İkinci tipte, temel görevler aşağıdakiler olacaktır:

• teğet bir düz çizgiye paraleldir (problem 3);
• teğet verilen düz çizgiye belirli bir açıyla geçer (görev 4).

Problem 3. Tüm teğetlerin denklemlerini y = x 3 - 3x 2 + 3 fonksiyonunun y = 9x + 1 doğrusuna paralel grafiğine yazın.

Karar.

1.a - teğet noktasının apsisi.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Ama öte yandan, f "(a) = 9 (paralellik koşulu). Bu nedenle, 3a 2 - 6a = 9 denklemini çözmek gerekir. Kökleri a = - 1, a = 3'tür (Şekil 3). ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - teğet denklemi;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - teğet denklemi.

Problem 4. Teğet denklemini y = 0,5x 2 - 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine 45 ° açıyla y = 0 düz çizgisine geçerek yazın (Şekil 4).

Karar. f "(a) = tan 45 ° koşulundan a: a - 3 = 1 buluruz^ a = 4.

1.a = 4 - teğet noktasının apsisi.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - teğet denklemi.

Başka herhangi bir sorunu çözmenin, bir veya birkaç temel sorunu çözmeye bağlı olduğunu göstermek kolaydır. Örnek olarak aşağıdaki iki görevi düşünün.

1. Teğetler dik açılarda kesişiyorsa ve bunlardan biri apsisli bir noktada parabole dokunuyorsa, y = 2x 2 - 5x - 2 parabolü için teğetlerin denklemlerini yazın (Şekil 5).

Karar. Temas noktasının apsisi verildiğinden, çözümün ilk kısmı ana görev 1'e indirgenmiştir.

1.a = 3 - yanlardan birinin temas noktasının apsisi dik açı.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 birinci teğet doğrunun denklemidir.

izin ver - ilk teğetin eğim açısı. Teğetler dik olduğundan, ikinci teğetin eğim açısıdır. İlk tanjantın y = 7x - 20 denkleminden, elimizde tg var a = 7. Bul

Bu, ikinci tanjantın eğiminin olduğu anlamına gelir.

Daha fazla çözüm, anahtar görev 3'e indirgenmiştir.

B (c; f (c)) ikinci düz çizginin teğet noktası olsun, o zaman

1. - ikinci temas noktasının apsisi.
2.
3.
4.
- ikinci teğetin denklemi.

Not. Öğrenciler, k 1 k 2 = - 1 dik doğruların katsayılarının oranını biliyorsa, bir teğet doğrunun eğimi daha kolay bulunabilir.

2. Tüm ortak teğetlerin denklemlerini fonksiyonların grafiklerine yazın

Karar. Görev, ortak teğetlerin teğet noktalarının apsislerini bulmaya, yani temel problem 1'i genel biçimde çözmeye, bir denklem sistemi hazırlamaya ve müteakip çözümüne indirgenmiştir (Şekil 6).

1. y = x 2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi a olsun.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fonksiyonun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi c olsun.
2.
3. f "(c) = c.
4.

Teğetler ortak olduğundan,

Yani y = x + 1 ve y = - 3x - 3 ortak teğetlerdir.

Göz önünde bulundurulan görevlerin temel amacı, öğrencileri daha fazla çözerken kilit görev türünün kendini tanımasına hazırlamaktır. karmaşık görevler belirli araştırma becerileri gerektiren (analiz etme, karşılaştırma, genelleme, hipotez kurma vb.). Bu görevler, temel görevin bir bileşen olarak dahil edildiği tüm görevleri içerir. Örnek olarak, tanjant ailesi tarafından bir fonksiyon bulma problemini (1. problemin tersi) ele alalım.

3. Hangi b ve c için y = x ve y = - 2x doğruları y = x 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Karar.

y = x doğrusunun y = x 2 + bx + c parabollü teğet noktasının apsisi t olsun; p, y = - 2x düz çizgisinin y = x 2 + bx + c parabollü teğet noktasının apsisidir. O zaman y = x tanjantının denklemi y = (2t + b) x + c - t 2 biçimini alacak ve y = - 2x tanjantının denklemi y = (2p + b) x + biçimini alacak c - p 2.

Denklem sistemini oluşturalım ve çözelim

Cevap:

Bağımsız çözüm için görevler

1. y = 2x 2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetlerin denklemlerini grafiğin y = x + 3 doğrusu ile kesişim noktalarında yazın.

Cevap: y = - 4x + 3, y = 6x - 9.5.

2. a'nın hangi değerlerinde y = x 2 - apsis x 0 = 1 olan grafiğin noktasındaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğet M (2; 3) noktasından geçer?

Cevap: a = 0,5.

3. Hangi p değerleri için y = px - 5 çizgisi y = 3x 2 - 4x - 2 eğrisine dokunuyor?

Cevap: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. y = 3x - x 3 fonksiyonunun grafiğinin tüm ortak noktalarını ve bu grafiğe P (0; 16) noktasından çizilen tanjantı bulun.

Cevap: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabolü ile doğru arasındaki en kısa mesafeyi bulun

Cevap:

6. y = x 2 - x + 1 eğrisinde, grafiğin teğetinin y - 3x + 1 = 0 doğrusuna paralel olduğu noktayı bulun.

Cevap: M (2; 3).

7. y = x 2 + 2x - | fonksiyonunun grafiğine teğetin denklemini yazın. 4x | iki noktada dokunur. Çizim yapmak.

Cevap: y = 2x - 4.

8. y = 2x - 1 doğrusunun y = x 4 + 3x 2 + 2x eğrisini kesmediğini kanıtlayın. En yakın noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

9. y = x 2 parabolünde apsis x 1 = 1, x 2 = 3 ile iki nokta alınır. Bu noktalardan bir kesen çizilir. Parabolün hangi noktasında ona teğet çizilen kesene paralel olacak? Sekant ve tanjant denklemlerini yazınız.

Cevap: y = 4x - 3 - sekant denklemi; y = 4x - 4 - teğet denklemi.

10. q açısını bulun apsis 0 ve 1 olan noktalarda çizilen y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine teğetler arasında.

Cevap: q = 45 °.

11. Fonksiyon grafiğinin teğeti hangi noktalarda Öküz ekseni ile 135 ° açı yapar?

Cevap: A (0; - 1), B (4; 3).

12.Eğrinin A noktasında (1; 8) bir teğet çizilir. Koordinat eksenleri arasındaki teğet doğrunun uzunluğunu bulun.

Cevap:

13. Tüm ortak teğetlerin denklemini y = x 2 - x + 1 ve y = 2x 2 - x + 0,5 fonksiyonlarının grafiklerine yazın.

Cevap: y = - 3x ve y = x.

14. Apsis eksenine paralel olan fonksiyonun grafiğinin teğetleri arasındaki uzaklığı bulunuz.

Cevap:

15. y = x 2 + 2x - 8 parabolünün apsis eksenini hangi açılarda kestiğini belirleyin.

Cevap: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Fonksiyonun grafiğinde Bu grafiğe her birinin teğeti koordinatların pozitif yarım eksenlerini keserek onlardan eşit parçalar kesen tüm noktaları bulun.

Cevap: A (- 3; 11).

17. y = 2x + 7 doğrusu ve y = x 2 - 1 parabolü M ve N noktalarında buluşuyor. M ve N noktalarında parabole teğet olan doğruların kesiştiği K noktasını bulun.

Cevap: K (1; - 9).

18. b'nin hangi değerleri için y = 9x + b doğrusu y = x 3 - 3x + 15 fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Cevap 1; 31.

19. Hangi k değerleri için y = kx - 10 çizgisinin y = 2x 2 + 3x - 2 fonksiyonunun grafiğiyle yalnızca bir ortak noktası vardır? Bulunan k değerleri için noktanın koordinatlarını belirleyiniz.

Cevap: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k2 = 11, B (2; 12).

20. B'nin hangi değerleri için y = bx 3 - 2x 2 - 4 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet, apsis x 0 = 2 olan noktada M (1; 8) noktasından geçer?

Cevap: b = - 3.

21. Tepesi Ox ekseninde olan bir parabol, B noktasında A (1; 2) ve B (2; 4) noktalarından geçen doğruya dokunuyor. Parabolün denklemini bulun.

Cevap:

22. k katsayısının hangi değerinde y = x 2 + kx + 1 parabolü Ox eksenine dokunur?

Cevap: k = q 2.

23. y = x + 2 doğrusu ile y = 2x 2 + 4x - 3 eğrisi arasındaki açıları bulun.

29. Ox ekseninin pozitif yönü, 45 ° açı ile fonksiyonun grafiğine teğet jeneratörler arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

30. y = 4x - 1 doğrusuna dokunarak y = x 2 + ax + b formundaki tüm parabollerin köşelerinin yerini bulun.

Cevap: y doğrusu = 4x + 3.

Edebiyat

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Cebir ve analizin başlangıcı: Okul çocukları ve üniversite adayları için 3600 problem. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Genç öğretmenler için dördüncü seminer. Konu "Türev uygulamalar". - M., "Matematik", No. 21/94.
3. Zihinsel eylemlerin aşamalı asimilasyonu teorisine dayanan bilgi ve becerilerin oluşumu. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskova Devlet Üniversitesi, 1968.

Eğitimin şu anki gelişim aşamasında, ana görevlerinden biri yaratıcı düşünen bir kişiliğin oluşumudur. Öğrencilerin yaratıcı olma yetenekleri, ancak araştırma faaliyetlerinin temellerine sistematik olarak dahil olmaları durumunda geliştirilebilir. Öğrencilerin yaratıcı güçlerini, yeteneklerini ve yeteneklerini kullanmalarının temeli, oluşturulmuş tam teşekküllü bilgi ve becerilerdir. Bu bağlamda, her konuda bir temel bilgi ve beceri sistemi oluşturma sorunu okul kursu matematik önemsiz değildir. Aynı zamanda, tam teşekküllü beceriler, bireysel görevlerin değil, dikkatlice düşünülmüş sistemlerinin didaktik hedefi olmalıdır. En geniş anlamıyla sistem, bütünlük ve istikrarlı bir yapıya sahip, birbirine bağlı, etkileşimli öğeler kümesi olarak anlaşılır.

Öğrencilere bir fonksiyonun grafiğine bir teğet denkleminin nasıl çizileceğini öğretmek için bir teknik düşünün. Özünde, teğet denklemi bulmanın tüm sorunları, belirli bir gereksinimi karşılayan düz çizgiler kümesinden (paket, aile) seçme ihtiyacına indirgenir - bazı fonksiyonların grafiğine teğettir. Ayrıca, seçimin gerçekleştirileceği satır kümesi iki şekilde belirtilebilir:

a) xOy düzlemi üzerinde uzanan bir nokta (merkezi düz çizgiler demeti);
b) eğim (paralel düz çizgiler demeti).

Bu bağlamda, sistemin elemanlarını izole etmek için "Bir fonksiyonun grafiğine teğet" konusunu incelerken, iki tür görev belirledik:

1) geçtiği nokta tarafından verilen teğet üzerindeki problemler;
2) eğimi tarafından verilen teğet sorunu.

Teğet bir çizgideki problemleri çözmeyi öğrenmek, A.G. tarafından önerilen algoritma kullanılarak gerçekleştirildi. Mordkoviç. Zaten bilinenlerden temel farkı, teğet noktasının apsisinin, teğet denkleminin şeklini aldığı a harfiyle (x0 yerine) gösterilmesidir.

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) ile karşılaştırın) Bu metodik teknik, bize göre, öğrencilerin mevcut noktanın koordinatlarının nerede yazıldığını daha hızlı ve daha kolay anlamalarını sağlar. teğet çizginin genel denklemi ve temas noktaları nerede.

Y = f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini hazırlamak için algoritma

1. Teğet noktasının apsisini a harfi ile belirtin.
2. f(a)'yı bulun.
3. f "(x) ve f" (a)'yı bulun.
4. Bulunan a, f (a), f "(a) sayılarını teğet çizgisinin genel denkleminde y = f (a) = f" (a) (x - a) ile değiştirin.

Bu algoritma, öğrencilerin kendi seçtikleri işlem ve uygulama sırası temelinde derlenebilir.

Uygulama, bir algoritma yardımıyla anahtar problemlerin her birinin sıralı çözümünün, bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini aşamalar halinde yazma becerilerini oluşturmasına izin verdiğini ve algoritmanın adımlarının referans olarak hizmet ettiğini göstermiştir. eylemler için puan. Bu yaklaşım, P.Ya tarafından geliştirilen zihinsel eylemlerin aşama aşama oluşumu teorisine karşılık gelir. Galperin ve N.F. Talyzina.

İlk görev türünde iki temel görev belirlendi:

• teğet, eğri üzerindeki bir noktadan geçer (görev 1);
• teğet eğri üzerinde olmayan bir noktadan geçiyor (problem 2).

Görev 1. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yapın M noktasında (3; - 2).

Karar. M noktası (3; - 2) teğet noktasıdır, çünkü

1.a = 3 - teğet noktasının apsisi.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - tanjant denklemi.

Problem 2. M noktasından geçen y = - x 2 - 4x + 2 fonksiyonunun grafiğine tüm teğetlerin denklemlerini yazın (- 3; 6).

Karar. M noktası (- 3; 6) f (- 3) 6 (Şekil 2) olduğundan, bir teğet noktası değildir.

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) teğet doğrusunun denklemidir.

Teğet M noktasından geçer (- 3; 6) bu nedenle koordinatları teğet denklemini sağlar.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

a = - 4 ise, teğet denklemi y = 4x + 18'dir.

a = - 2 ise, teğet denklemi y = 6 biçimindedir.

İkinci tipte, temel görevler aşağıdakiler olacaktır:

• teğet bir düz çizgiye paraleldir (problem 3);
• teğet verilen düz çizgiye belirli bir açıyla geçer (görev 4).

Problem 3. Tüm teğetlerin denklemlerini y = x 3 - 3x 2 + 3 fonksiyonunun y = 9x + 1 doğrusuna paralel grafiğine yazın.

1.a - teğet noktasının apsisi.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Ama öte yandan, f "(a) = 9 (paralellik koşulu). Bu nedenle, 3a 2 - 6a = 9 denklemini çözmek gerekir. Kökleri a = - 1, a = 3'tür (Şekil 3). ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - teğet denklemi;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - teğet denklemi.

Problem 4. Teğet denklemini y = 0,5x 2 - 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine 45 ° açıyla y = 0 düz çizgisine geçerek yazın (Şekil 4).

Karar. f "(a) = tan 45 ° koşulundan a: a - 3 = 1 ^ a = 4 buluruz.

1.a = 4 - teğet noktasının apsisi.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - teğet denklemi.

Başka herhangi bir sorunu çözmenin bir veya birkaç temel sorunu çözmeye bağlı olduğunu göstermek kolaydır. Örnek olarak aşağıdaki iki görevi düşünün.

1. Teğetler dik açılarda kesişiyorsa ve bunlardan biri apsisli bir noktada parabole dokunuyorsa, y = 2x 2 - 5x - 2 parabolüne teğetlerin denklemlerini yazın (Şekil 5).

Karar. Temas noktasının apsisi verildiğinden, çözümün ilk kısmı ana görev 1'e indirgenmiştir.

1.a = 3 - dik açının kenarlarından birinin teğet noktasının apsisi.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 birinci teğet doğrunun denklemidir.

Birinci teğet doğrunun eğim açısı a olsun. Teğetler dik olduğundan, ikinci teğetin eğim açısıdır. İlk tanjantın y = 7x - 20 denkleminden tg a = 7 elde ederiz.

Bu, ikinci tanjantın eğiminin olduğu anlamına gelir.

Daha fazla çözüm, anahtar görev 3'e indirgenmiştir.

B (c; f (c)) ikinci düz çizginin teğet noktası olsun, o zaman

1. - ikinci temas noktasının apsisi.
2.
3.
4.
- ikinci teğetin denklemi.

Not. Öğrenciler, k 1 k 2 = - 1 dik doğruların katsayılarının oranını biliyorsa, bir teğet doğrunun eğimi daha kolay bulunabilir.

2. Tüm ortak teğetlerin denklemlerini fonksiyonların grafiklerine yazın

Karar. Görev, ortak teğetlerin teğet noktalarının apsislerini bulmaya, yani temel problem 1'i genel biçimde çözmeye, bir denklem sistemi hazırlamaya ve müteakip çözümüne indirgenmiştir (Şekil 6).

1. y = x 2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi olsun.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fonksiyonun grafiğinde yer alan teğet noktasının apsisi c olsun.
2.
3. f "(c) = c.
4.

Teğetler ortak olduğundan,

Yani y = x + 1 ve y = - 3x - 3 ortak teğetlerdir.

Dikkate alınan görevlerin temel amacı, öğrencileri belirli araştırma becerileri gerektiren daha karmaşık problemleri çözerken (analiz etme, karşılaştırma, genelleme, hipotez ortaya koyma vb.) Bu görevler, temel görevin bir bileşen olarak dahil edildiği tüm görevleri içerir. Örnek olarak, tanjant ailesi tarafından bir fonksiyon bulma problemini (1. problemin tersi) ele alalım.

3. Hangi b ve c için y = x ve y = - 2x doğruları y = x 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine teğettir?

y = x 2 + bx + c parabollü y = x doğrusunun teğet noktasının apsisi t olsun; p, y = - 2x düz çizgisinin y = x 2 + bx + c parabollü teğet noktasının apsisidir. O zaman y = x tanjantının denklemi y = (2t + b) x + c - t 2 şeklini alacak ve y = - 2x tanjantının denklemi y = (2p + b) x + şeklini alacak c - p 2.

Denklem sistemini oluşturalım ve çözelim

Cevap:

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını ve grafik sembolleri... Örneklerle teğet doğrunun denklemi ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğet denklemleri bulunacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

y = k x + b düz çizgisinin eğim açısına, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde y = k x + b düz çizgisine ölçülen α açısı denir.

Şekilde o x yönü yeşil bir okla ve yeşil bir yay şeklinde, eğim açısı ise kırmızı bir yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz çizgiyi ifade eder.

tanım 2

y = k x + b düz çizgisinin eğimine k sayısal katsayısı denir.

Eğim, doğrunun eğiminin tanjantına eşittir, başka bir deyişle k = t g α.

• Düz çizginin eğim açısı, yalnızca x'e paralelse ve eğim sıfıra eşitse 0'dır, çünkü sıfırın tanjantı 0'dır. Dolayısıyla denklemin formu y = b olacaktır.
• y = k x + b doğrusunun eğim açısı dar ise, o zaman 0 koşulu< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitif sayı, çünkü teğet değeri t g α> 0 koşulunu sağlıyor ve grafikte bir artış var.
• α = π 2 ise, çizginin konumu x'e diktir. Eşitlik, x = c eşitliği kullanılarak belirtilir ve c gerçek bir sayıdır.
• y = k x + b düz çizgisinin eğim açısı geniş ise, π 2 koşullarına karşılık gelir.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Kesen, f(x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen düz doğru olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, kesen, verilen bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki noktadan çizilen düz bir çizgidir.

Şekil, A B'nin bir sekant olduğunu ve f (x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın kırmızı bir yay olduğunu, yani sekantın eğim açısını gösterir.

Düz bir çizginin eğimi, eğim açısının tanjantına eşit olduğunda, ABC dik açılı üçgeninin tanjantının, bitişik olanın karşı bacağına göre bulunabileceği görülebilir.

Tanım 4

Formun sekantını bulmak için formülü alıyoruz:

k = tan α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A, burada A ve B noktalarının apsisi x A, x B ve f (x A), f (x) değerleridir B) bu noktalardaki değerler fonksiyonlarıdır.

Açıktır ki, kesenin eğimi k = f (x B) - f (x A) x B - x A veya k = f (x A) - f (x B) x A - x B eşitliği kullanılarak belirlenir, ve denklem şu şekilde yazılmalıdır: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekant grafiği görsel olarak 3 parçaya böler: A noktasının solunda, A'dan B'ye, B'nin sağına. benzer bir denklem kullanarak

Tanım olarak, çizginin ve onun sekantının şu şekilde olduğu açıktır. bu durum eşleştir.

Sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Kesen için y = 0 biçiminde bir denklem varsa, sinüzoid ile kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

tanım 5

x 0 noktasında f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet; f (x 0) verilen bir x 0 noktasından geçen doğru olarak adlandırılır; f (x 0), x 0'a yakın bir dizi x değerine sahip bir segmentin varlığı ile.

örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. Daha sonra, y = x + 1 fonksiyonu tarafından tanımlanan doğrunun, (1; 2) koordinatlarına sahip noktada y = 2 x'e teğet olarak kabul edildiği görülebilir. Netlik için, (1; 2)'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. y = 2 x işlevi siyahla işaretlenmiştir, mavi çizgi teğet çizgidir ve kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y = 2 x, y = x + 1 doğrusu ile birleşir.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuzca yaklaştığında A B teğetinin davranışını dikkate almak gerekir. Açıklık için bir şekil sunuyoruz.

Mavi çizgi ile gösterilen AB sekantı, tanjantın kendisinin konumuna eğilimlidir ve sekantın α eğim açısı, tanjantın kendisinin αx eğim açısına yönelmeye başlayacaktır.

tanım 6

A noktasındaki y = f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet, B, A'ya, yani B → A'ya yöneldiğinde A B sekantının sınırlayıcı konumudur.

Şimdi bir noktada bir fonksiyonun türevinin geometrik anlamının değerlendirilmesine dönüyoruz.

f (x) fonksiyonu için А В sekantını ele alalım, burada А ve В koordinatları x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ x, argümanın artışı olarak gösterilir ... Şimdi fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) şeklini alır. Netlik için, bir resim örneği vereceğiz.

alınan düşünün sağ üçgen A B C. Çözüm için tanjant tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α oranını elde ederiz. Bir tanjant tanımından lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x çıkar. Noktadaki türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranlarının limiti denir, burada ∆ x → 0, o zaman f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ... olarak ifade ederiz.

Buradan f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x çıkar, burada k x teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f '(x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve fonksiyonun verilen grafiğin x 0, f 0 (x 0) teğet noktasındaki teğeti gibi, burada değerin noktasındaki teğetin eğiminin x 0 noktasındaki türevine eşittir. Sonra k x = f "(x 0) elde ederiz.

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin geometrik anlamı, grafiğe aynı noktada bir teğetin varlığı kavramının verilmiş olmasıdır.

Bir düzlemde herhangi bir düz çizginin denklemini yazmak için, içinden geçtiği bir nokta olan bir eğime sahip olmanız gerekir. Tanımı kavşakta x 0 olarak alınır.

x 0, f 0 (x 0) noktasında y = f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemi y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) şeklini alır .

Bu demektir nihai değer türev f "(x 0), teğetin konumunu, yani lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ve lim x → x 0 - 0 f "(x) koşulu altında dikey olarak belirleyebilirsiniz. ) = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) koşulu için hiç yok.

Teğetin konumu, eğiminin değerine bağlıdır kx = f "(x 0). Öküz eksenine paralel olduğunda, oy - kx = ∞'ye paralel olduğunda kk = 0 olduğunu ve denklemin şeklini elde ederiz. tanjantın x = x 0 değeri kx> 0'da artar, kx için azalır< 0 .

Örnek 2

y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini (1; 3) koordinatlarına sahip bir noktada açının belirlenmesi ile çizin. eğim.

Karar

Hipoteze göre, fonksiyonun tüm gerçek sayılar için tanımlı olduğunu elde ederiz. (1; 3) koşulu tarafından verilen koordinatlara sahip noktanın teğet noktası olduğunu, o zaman x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 elde ederiz.

- 1 değerindeki noktada türevi bulmak gerekir. anladık

y "= eski + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = eski + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = eski + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Teğet noktasındaki f '(x) değeri, eğimin tanjantına eşit olan tanjantın eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Dolayısıyla α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: tanjant denklemi şeklini alır

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Netlik için, grafik bir resimde bir örnek vereceğiz.

Orijinal fonksiyonun grafiği için siyah kullanılır, Mavi renk- teğet görüntü, kırmızı nokta - teğet noktası. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü gösterir.

Örnek 3

Verilen bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını bulun
y = 3 x - 1 5+1 koordinatlı noktada (1; 1). Bir denklem oluşturun ve eğim açısını belirleyin.

Karar

Hipotez olarak, belirli bir fonksiyonun tanım alanı, tüm gerçek sayıların kümesidir.

Türevini bulmaya devam edelim

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ise f '(x) tanımsızdır, ancak limitler lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 şeklinde yazılır. 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ nokta (1; 1).

Cevap: denklem, eğimin π 2'ye eşit olacağı x = 1 biçimini alacaktır.

Netlik için, grafiksel olarak tasvir edeceğiz.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyonunun grafiğindeki noktaları bulun, burada

1. Teğet mevcut değil;
2. Teğet çizgi x'e paraleldir;
3. Tanjant, y = 8 5 x + 4 düz çizgisine paraleldir.

Karar

Tanım alanına dikkat etmek gerekir. Hipoteze göre, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlandığını görüyoruz. Modülü genişletin ve sistemi x ∈ - ∞ aralığında çözün; 2 ve [- 2; + ∞). anladık

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Fonksiyonu ayırt etmek gerekir. bizde var

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

x = - 2 olduğunda, bu noktada tek taraflı limitler eşit olmadığı için türev mevcut değildir:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x = - 2 noktasında hesaplıyoruz, burada bunu alıyoruz

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yani ( - 2; - 2) olmayacak.
2. Eğim sıfır olduğunda tanjant x'e paraleldir. O zaman kx = tan α x = f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra çevirdiğinde bu tür x değerlerini bulmak gerekir. Yani, f' değerleri (x), teğetin x'e paralel olduğu teğet noktaları olacaktır ...

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2, sonra - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ve x ∈ (- 2; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Fonksiyonun karşılık gelen değerlerini hesaplayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3, fonksiyon grafiğinin gerekli noktaları olarak kabul edilir.

Düşünmek grafik görüntüçözümler.

Siyah çizgi fonksiyonun grafiği, kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

1. Doğrular paralel olduğunda eğimler eşittir. Ardından, fonksiyonun grafiğinde eğimin 8 5 değerine eşit olacağı noktaları aramanız gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 biçiminde bir denklemi çözmemiz gerekir. O zaman, eğer x ∈ - ∞; - 2 ise, - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8'i elde ederiz. 5 ve eğer x ∈ ( - 2; + ∞), o zaman 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Diskriminant olduğundan birinci denklemin kökü yoktur. Sıfırdan daha az... bunu da yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Gelelim fonksiyonun değerlerini bulmaya. anladık

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1; 4 15.5; 8 3, teğetlerin y = 8 5 x + 4 doğrusuna paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - grafik y = 8 5 x + 4, mavi çizgi - noktalarda teğetler - 1; 4 15.5; 8 3.

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğet olabilir.

Örnek 5

y = - 2 x + 1 2 düz çizgisine dik olan tüm mevcut teğet fonksiyonları y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3'ün denklemlerini yazın.

Karar

Teğet denklemini oluşturmak için, düz çizgilerin diklik durumuna bağlı olarak teğet noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şu şekildedir: düz çizgilere dik olan eğim katsayılarının çarpımı - 1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 olarak yazılır. Eğimin düz çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması koşulundan, o zaman k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Şimdi teğet noktalarının koordinatlarını bulmanız gerekiyor. Belirli bir işlev için değeri olan x'i bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından
x 0 k x = y "(x 0) elde ederiz. Bu eşitlikten teğet noktaları için x değerlerini buluruz.

anladık

y "(x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - günah 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= - 3 günah 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

o trigonometrik denklem teğet noktalarının koordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c günah - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c günah - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z bir tam sayılar kümesidir.

x teğet noktası bulundu. Şimdi y değerlerini aramaya gitmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Dolayısıyla 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 temas noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - ark günah 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + ark günah 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir temsil için, koordinat çizgisi üzerinde bir fonksiyon ve bir teğet çizgi düşünün.

Şekil, işlevin konumunun [- 10; 10], siyah çizginin fonksiyonun grafiği olduğu yerde, mavi çizgiler, y = - 2 x + 1 2 formunun verilen çizgisine dik yerleştirilmiş teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. dereceden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğetlerin denklemleri bilinen şemalara göre hazırlanır.

daire tanjantı

x c e n t e r noktasında ortalanmış bir daire tanımlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülü uygulanır.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Şekilde görüldüğü gibi birinci fonksiyon üstte, ikinci fonksiyon alttadır.

x 0 noktasındaki dairenin denklemini oluşturmak için; Üst veya alt yarım daire içinde bulunan y 0, y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter veya y = - R 2 - x - xcenter 2 + biçimindeki fonksiyonun grafiğinin denklemini bulmalısınız. belirtilen noktada ycenter.

x c e n t e r noktalarında; y c e n t er + R ve x c ​​e n t er; y c e n t e r - R tanjantları, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c ​​e n t e r + R noktalarında verilebilir; y c e n t e r ve
x c e n t e r - R; y c e n t er y'ye paralel olacak, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R biçiminde denklemler elde ederiz.

Elips tanjantı

Elips, x c e n t e r noktasında bir merkeze sahip olduğunda; y c e n t er yarı eksenleri a ve b ile, o zaman x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak belirtilebilir.

Bir elips ve bir daire, iki fonksiyon, yani üst ve alt yarı elips birleştirilerek gösterilebilir. O zaman bunu alırız

y = b a 2 - (x - x c e n t er) 2 + y c e n t e r y = - b a 2 - (x - x c e n t er) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Aşağıda, netlik için rakamı düşünün.

Örnek 6

x değerleri x = 2 olan noktalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine teğetin denklemini yazın.

Karar

x = 2 değerine karşılık gelen temas noktalarını bulmak gerekir. Elipsin mevcut denklemini yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 ve 2; - 5 3 2 + 5, üst ve alt yarı elipse ait teğet noktalarıdır.

Elips denklemini y'ye göre bulmaya ve çözmeye dönelim. anladık

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Açıkçası, üst yarım elips, y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alttaki y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 biçimindeki bir fonksiyon kullanılarak belirtilir.

Bir noktada fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini oluşturmak için standart algoritmayı uygulayalım. 2. noktada birinci tanjant denklemini yazıyoruz; 5 3 2 + 5 şeklinde olacak

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

noktasındaki değerle ikinci teğetin denklemini elde ederiz.
2; - 5 3 2 + 5 formunu alır

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiksel olarak, teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

hiperbole teğet

Hiperbolün x c e n t e r noktasında bir merkezi olduğunda; y c e n t er ve köşeler x c e n t e r + α; y c e n t er ve x c ​​e n t e r - α; y c e n t er, eşitsizlik belirtilir x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, eğer köşeler x c e n t e r ise; y c e n t er + b ve x c ​​e n t er; y c e n t e r - b, o zaman x - x c e t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği ile verilir.

Hiperbol, formun iki birleşik işlevi olarak temsil edilebilir.

y = ba (x - xmerkezi) 2 - a 2 + ymerkezi = - ba (x - xmerkezi) 2 - a 2 + ymerkezi veya y = ba (x - xmerkezi) 2 + a 2 + ymerkezi = - ba (x - xmerkezi) ) 2 + bir 2 + ycenter

İlk durumda, teğetlerin y'ye paralel ve ikincisinde x'e paralel olduğunu gördük.

Bu nedenle, hiperbolün tanjantının denklemini bulmak için, teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için denklemlerde bir ikame yapmak ve özdeşlik açısından kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7. noktada x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğetin denklemini yazın; - 3 3 - 3.

Karar

2 fonksiyon kullanarak hiperbol bulma çözümünün kaydını dönüştürmek gerekir. anladık

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ve l ve y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan verilen noktanın hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir; - 3 3 - 3.

Açıkçası, ilk fonksiyonu kontrol etmek için y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3'e ihtiyacınız var, bu durumda nokta grafiğe ait değil, eşitlik sağlanmadığı için.

İkinci fonksiyon için y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, yani nokta verilen grafiğe aittir . Buradan eğim bulunmalıdır.

anladık

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: tanjant denklemi şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Açıkça şu şekilde tasvir edilmiştir:

parabol tanjantı

Teğet denklemini x 0, y (x 0) noktasında y = ax 2 + bx + c parabolüne oluşturmak için standart algoritmayı kullanmalısınız, sonra denklem y = y "(x) şeklini alacaktır. 0) x - x 0 + y ( x 0) Köşedeki böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolü, iki fonksiyonun birleşimi olarak belirtilmelidir. Bu nedenle, denklemi y için çözmek gerekir. anladık

x = ay 2 + ile + c ⇔ ay 2 + ile + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafiksel olarak şöyle gösterelim:

x 0, y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını bulmak için standart algoritmaya göre hareket etmek naziktir. Böyle bir teğet, parabole göre yaklaşık y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Tanjantın eğim açısı 150 ° olduğunda, teğetin denklemini x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine yazın.

Karar

Çözüme, parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek başlıyoruz. anladık

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Eğim değeri, bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğim tanjantına eşittir.

Şunları elde ederiz:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan teğet noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon olarak yazılacak

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değer aldıkları için gerçek kökler yoktur. Böyle bir fonksiyon için 150 ° açıya sahip bir teğet olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon olarak yazılacaktır

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarının 23 4 olduğunu; - 5 + 3 4.

Cevap: tanjant denklemi şeklini alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Bunu grafiksel olarak şu şekilde gösterelim:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Teğet düz bir çizgidir fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en küçük mesafede olan . Bu nedenle, teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve birkaç teğet, teğet noktasından farklı açılarda geçemez. Teğet denklemler ve fonksiyonun grafiğinin normal denklemleri türev kullanılarak oluşturulur.

Teğet denklemi, düz çizgi denkleminden türetilmiştir. .

Teğet doğrunun denklemini ve sonra fonksiyonun grafiğinin normalinin denklemini türetiyoruz.

y = kx + b .

onun içinde k eğimdir.

Buradan aşağıdaki kaydı alıyoruz:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

türev değeri f "(x 0 ) fonksiyon y = f(x) noktada x0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen fonksiyonun grafiğine teğet M0 (x 0 , y 0 ) nerede y0 = f(x 0 ) ... Bu türev geometrik anlam .

Böylece, değiştirebiliriz küzerinde f "(x 0 ) ve aşağıdakileri al bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Bir fonksiyonun grafiğine teğet çizginin denklemini çizme problemlerinde (ve yakında onlara döneceğiz), yukarıdaki formüle göre elde edilen denklemi şuna indirgemek gerekir: genel formda düz çizginin denklemi... Bunu yapmak için, tüm harfleri ve sayıları şuraya aktarmanız gerekir: Sol Taraf denklemi ve sağ tarafta sıfır bırakın.

Şimdi normal denklem hakkında. Normal teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal Denklem :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Isınma için ilk örneğin bağımsız olarak çözülmesi ve ardından çözümün görülmesi gerekiyor. Bu görevin okuyucularımız için bir "soğuk duş" olmayacağını ummak için her türlü neden var.

Örnek 0. Bir noktada bir fonksiyonun grafiğine bir teğet denklemi ve bir normal denklem yazın M (1, 1) .

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiğine bir teğet denklemi ve bir normal denklem yazın teğet noktasının apsisi ise.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Şimdi, tanjant denklemini elde etmek için teorik referansta verilen girişe ikame edilmesi gereken her şeye sahibiz. alırız

Bu örnekte şanslıydık: eğim sıfır çıktı, bu nedenle denklemi ayrı ayrı azaltın. Genel görünüm ihtiyaç yoktu. Şimdi normal denklemi oluşturabiliriz:

Aşağıdaki resimde: bordo renk fonksiyonunun grafiği, tanjant yeşil renk, normal turuncu.

Bir sonraki örnek de karmaşık değil: öncekinde olduğu gibi fonksiyon da bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacak, bu nedenle bir adım daha eklenecek - denklemi genel bir forma getirmek.

Örnek 2.

Karar. Temas noktasının koordinatını bulun:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulun:

"Boş formülde" elde edilen tüm verileri değiştiririz ve teğetin denklemini alırız:

Denklemi genel bir forma getiriyoruz (sol tarafta sıfır dışındaki tüm harf ve sayıları toplayıp sağda sıfır bırakıyoruz):

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 3. Teğet noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini yazın.

Karar. Temas noktasının koordinatını bulun:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulun:

.

Teğet çizginin denklemini buluyoruz:

Denklemi genel bir forma getirmeden önce biraz "taramanız" gerekiyor: 4 ile çarpın. Bunu yapıyoruz ve denklemi genel bir forma getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 4. Teğet noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini yazın.

Karar. Temas noktasının koordinatını bulun:

.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Teğet noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulun:

.

Teğet çizginin denklemini elde ederiz:

Denklemi genel bir forma getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Tanjant ve normal denklemlerini kurarken yapılan yaygın bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık fonksiyonlar(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).

Örnek 5. Teğet noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini yazın.

Karar. Temas noktasının koordinatını bulun:

Dikkat! Bu işlev- karmaşık, teğet argümanından beri (2 x) kendisi bir fonksiyondur. Bu nedenle, fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak bulacağız.

Örnek 1. fonksiyon verilir f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yazın f(x) grafiğin apsisli noktasında x 0 = 1.

Karar. Bir fonksiyonun türevi f(x) herhangi bir x için var $ ... Bulalım:

= (3x 2 + 4x- 5) ′ = 6 x + 4.

Sonra f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Teğet denklemi:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Cevap. y = 10x – 8.

Örnek 2. fonksiyon verilir f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yazalım. f(x) düz çizgiye paralel y = 2x – 11.

Karar. Bir fonksiyonun türevi f(x) herhangi bir x için var $ ... Bulalım:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Fonksiyonun grafiğine teğet olduğundan f(x) apsisli noktada x 0 düz çizgiye paralel y = 2x- 11, o zaman eğimi 2, yani ( x 0) = 2. Bu apsisi 3 koşulundan bulalım. x– 6x 0 + 2 = 2. Bu eşitlik sadece x 0 = 0 ve için x 0 = 2. Her iki durumda da f(x 0) = 5, sonra düz çizgi y = 2x + b fonksiyonun grafiğine (0; 5) veya (2; 5) noktasında dokunur.

İlk durumda, sayısal eşitlik doğrudur 5 = 2 × 0 + b nereden b= 5 ve ikinci durumda sayısal eşitlik doğrudur 5 = 2 × 2 + b nereden b = 1.

Yani iki teğet var y = 2x+ 5 ve y = 2x+ 1 fonksiyon grafiğine f(x) düz çizgiye paralel y = 2x – 11.

Cevap. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Örnek 3. fonksiyon verilir f(x) = x 2 – 6x+ 7. Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine yazın f(x) noktadan geçen bir (2; –5).

Karar. Gibi f(2) –5, sonra nokta bir fonksiyonun grafiğine ait değil f(x). İzin vermek x 0, temas noktasının apsisidir.

Bir fonksiyonun türevi f(x) herhangi bir x için var $ ... Bulalım:

= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.

Sonra f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Teğet denklemi:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

noktadan beri bir teğet çizgiye aittir, ardından sayısal eşitlik

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

nereden x 0 = 0 veya x 0 = 4. Bu, noktadan bir fonksiyonun grafiğine iki teğet çizebilirsiniz f(x).

Eğer bir x 0 = 0, o zaman tanjant denklemi şu şekildedir: y = –6x+ 7. Eğer x 0 = 4, o zaman tanjant denklemi şu şekildedir: y = 2x – 9.

Cevap. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Örnek 4. Verilen fonksiyonlar f(x) = x 2 – 2x+ 2 ve g(x) = –x 2 - 3. Bu fonksiyonların grafiklerine ortak teğet doğrunun denklemini yazalım.

Karar.İzin vermek x 1 - fonksiyonun grafiği ile istenen düz çizginin teğet noktasının apsisi f(x), fakat x 2 - fonksiyonun grafiği ile aynı düz çizginin teğet noktasının apsisi g(x).

Bir fonksiyonun türevi f(x) herhangi bir x için var $ ... Bulalım:

= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.

Sonra f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Teğet denklemi:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Fonksiyonun türevini bulun g(x):

= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.