İlk seviye

İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı rehber (2019)

" terimiyle ikinci dereceden denklem"Anahtar kelime" kare ". Bu, denklemin bir değişkeninin (aynı x) karesine sahip olması gerektiği ve üçüncü (veya daha büyük) derecede x olmaması gerektiği anlamına gelir.

Birçok denklemin çözümü, ikinci dereceden denklemlerin çözümüne indirgenir.

İkinci dereceden bir denklemimiz olduğunu belirlemeyi öğrenelim, başka bir denklem değil.

Örnek 1.

Paydadan kurtulalım ve denklemdeki her terimi şununla çarpalım:

her şeyi aktaralım Sol Taraf ve terimleri azalan x derece sırasına göre düzenleyin

Şimdi güvenle bu denklemin ikinci dereceden olduğunu söyleyebiliriz!

Örnek 2.

Sağ ve sol tarafları şu şekilde çarpalım:

Bu denklem, başlangıçta içinde olmasına rağmen, kare değildir!

Örnek 3.

Her şeyi şu şekilde çarpalım:

Korkuyla mı? Dördüncü ve ikinci derece ... Ancak, bir ikame yaparsak, basit bir ikinci dereceden denklemimiz olduğunu göreceğiz:

Örnek 4.

Orada gibi görünüyor, ama daha yakından bakalım. Her şeyi sol tarafa taşıyalım:

Görüyorsunuz, küçüldü - ve şimdi basit bir lineer denklem!

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Örnekler:

Yanıtlar:

1. Meydan;
2. Meydan;
3. kare değil;
4. kare değil;
5. kare değil;
6. Meydan;
7. kare değil;
8. Meydan.

Matematikçiler koşullu olarak tüm ikinci dereceden denklemleri aşağıdaki forma böler:

• İkinci dereceden denklemleri tamamlayın- katsayıların ve ayrıca serbest terim c'nin sıfıra eşit olmadığı denklemler (örnekte olduğu gibi). Ayrıca, tam ikinci dereceden denklemler arasında, verilen- bunlar, katsayının olduğu denklemlerdir (örnek 1'deki denklem sadece tamamlanmış değil, aynı zamanda azaltılmıştır!)

• Eksik ikinci dereceden denklemler- katsayısı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu denklemler:

  Eksiktirler, çünkü bazı unsurlardan yoksundurlar. Ama denklemde her zaman x kare olmalıdır !!! Aksi takdirde, artık bir kare değil, başka bir denklem olacaktır.

Neden böyle bir ayrım yaptınız? Görünüşe göre bir X kare var ve tamam. Bu bölünme, çözüm yöntemlerinden kaynaklanmaktadır. Her birini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme

İlk olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye odaklanalım - bunlar çok daha kolay!

Eksik ikinci dereceden denklemler aşağıdaki türlerdendir:

1. , bu denklemde katsayı.
2. , bu denklemde serbest terim eşittir.
3. , bu denklemde katsayı ve kesme eşittir.

1. ve. çıkarmayı bildiğimiz için Kare kök, o zaman bu denklemden ifade edelim

İfade negatif veya pozitif olabilir. Kare sayısı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpılırken sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır, yani: eğer, o zaman denklemin çözümü yoktur.

Ve eğer, o zaman iki kök elde ederiz. Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Ana şey, daha azının olamayacağını bilmeniz ve her zaman hatırlamanız gerektiğidir.

Birkaç örnek çözmeye çalışalım.

Örnek 5:

Denklemi çözün

Şimdi kökü sol ve sağ taraftan çıkarmak için kalır. Kökleri nasıl çıkaracağınızı hatırlıyor musunuz?

Cevap:

Negatif kökleri asla unutma !!!

Örnek 6:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 7:

Denklemi çözün

Ah! Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok!

Kökü olmayan bu tür denklemler için matematikçiler özel bir simge - (boş küme) bulmuşlardır. Ve cevap şöyle yazılabilir:

Cevap:

Böylece, bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Kökü çıkarmadığımız için burada herhangi bir kısıtlama yoktur.
Örnek 8:

Denklemi çözün

Parantez içindeki ortak çarpanı alalım:

Böylece,

Bu denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

Eksik ikinci dereceden denklemlerin en basit türü (hepsi basit olmasına rağmen, değil mi?). Açıkçası, bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

Burada örneksiz yapacağız.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme

Tam bir ikinci dereceden denklemin form denkleminin bir denklemi olduğunu hatırlatırız.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözmek, verilenlerden biraz daha zordur (sadece biraz).

Unutma, Herhangi bir ikinci dereceden denklem, diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Yöntemlerin geri kalanı bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümü öğrenin.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek çok basittir, asıl şey eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse, denklemin bir kökü vardır. Özel dikkat adım at. Diskriminant () bize denklemin kök sayısını gösterir.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül azaltılacaktır. Böylece, denklemin tüm kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, adımda diskriminanttan kökü çıkaramayacağız. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9:

Denklemi çözün

Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Yani denklemin iki kökü vardır.

Aşama 3.

Cevap:

Örnek 10:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Yani denklemin bir kökü vardır.

Cevap:

Örnek 11:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu nedenle, diskriminanttan kökü çıkaramayacağız. Denklemin kökü yoktur.

Artık bu tür yanıtları nasıl doğru yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: Kök yok

2. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme.

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bu tür denklemler vardır (a katsayısı eşit olduğunda):

Bu tür denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi çok kolaydır:

köklerin toplamı verilen ikinci dereceden denklem eşittir ve köklerin ürünü eşittir.

Örnek 12:

Denklemi çözün

Bu denklem Vieta teoremini kullanarak çözmek için uygundur, çünkü ...

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturalım ve çözelim:

• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14:

Denklemi çözün

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Cevap:

KUADRATİK DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci Dereceden Denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenin olduğu, bazı sayıların olduğu ve formun bir denklemidir.

Numaraya en büyüğü denir veya ilk oranlar ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, a - Ücretsiz Üye.

Niye ya? Çünkü eğer, denklem hemen lineer hale gelecektir, çünkü yok olmak.

Ayrıca ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denklem eksik olarak adlandırılır. Tüm terimler yerindeyse, yani denklem tamamlanmıştır.

Çeşitli ikinci dereceden denklemlerin çözümleri

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

Başlamak için, eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerini analiz edeceğiz - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türleri ayırt edilebilir:

I., bu denklemde katsayı ve kesişme eşittir.

II. , bu denklemde katsayı.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

Kare bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer, o zaman denklemin çözümü yok;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Negatif kökleri asla unutma!

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Sorunun çözümü olmadığını kısaca kaydetmek için boş küme ikonunu kullanıyoruz.

Cevap:

Yani, bu denklemin iki kökü vardır: ve.

Cevap:

Ortak çarpanı parantezden çıkarın:

Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, ürün sıfıra eşittir. Bu, denklemin şu durumlarda bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani, bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın ve kökleri bulun:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl şey eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, herhangi bir ikinci dereceden denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki diskriminantın kökünü fark ettiniz mi? Ancak diskriminant negatif olabilir. Ne yapalım? 2. adıma özellikle dikkat etmek gerekir. Diskriminant bize denklemin kök sayısını gösterir.

• Eğer, o zaman denklemin bir kökü varsa:
• Eğer, o zaman denklem aynı köke sahipse, ancak aslında bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer, o zaman diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

neden mümkün farklı miktar kökler? İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyon grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel durumda. Ve bu, ikinci dereceden denklemin köklerinin, apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir. Parabol, ekseni hiç kesmeyebilir veya bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesişebilir.

Ek olarak, katsayı, parabolün dallarının yönünden sorumludur. Eğer, o zaman parabolün dalları yukarı doğru ve eğer - o zaman aşağı doğru yönlendirilir.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Cevap: .

Cevap:

Yani çözümler yok.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır: ürünü denklemin serbest terimine eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir ve toplam, zıt işaretle alınan ikinci katsayıdır.

Vieta teoreminin yalnızca şu durumlarda uygulanabileceğini hatırlamak önemlidir. indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremini kullanarak çözmek için uygundur, çünkü ... Diğer katsayılar:; ...

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini alalım ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Böylece, ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; ...

Örnek # 2:

Çözüm:

Üründe verilen sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplam verilir.

ve: toplam verilir. Almak için, sadece iddia edilen köklerin işaretlerini değiştirmek yeterlidir: ve sonuçta iş.

Cevap:

Örnek # 3:

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatiftir ve bu nedenle köklerin çarpımı negatif bir sayı... Bu, ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı modüllerinin farkı.

Üründe verilen ve farkı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşittir - uymuyor;

ve: - uymuyor;

ve: - uymuyor;

ve: - uyuyor. Sadece köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak kalır. Toplamları eşit olması gerektiğinden, kök mutlak değerde negatif olmalıdır:. Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek # 4:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Serbest terim negatiftir, yani köklerin çarpımı negatiftir. Ve bu ancak denklemin bir kökü negatif, diğeri pozitif olduğunda mümkündür.

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, sadece kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek # 5:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan, her iki kök de eksi işaretine sahiptir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, sayılar ve köklerdir.

Cevap:

Katılıyorum, bu iğrenç ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kök bulmak çok uygun. Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın.

Ancak köklerin bulunmasını kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremi gereklidir. Kârlı bir şekilde kullanmak için eylemleri otomatizme getirmelisiniz. Ve bunun için beş örneğe daha karar verin. Ama hile yapmayın: ayrımcıyı kullanamazsınız! Sadece Vieta teoremi:

Bağımsız çalışma için görevler için çözümler:

Görev 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Vieta teoremi ile:

Her zamanki gibi seçime bir parça ile başlıyoruz:

Uygun değil, çünkü miktar;

: miktar ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; ...

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam çalışmalı, ancak ürün eşittir.

Ancak olmaması gerektiği için, ancak köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; ...

Görev 3.

Hmm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme aktarmak gerekir:

Köklerin toplamı ürüne eşittir.

Bu yüzden dur! Denklem verilmez. Ancak Vieta teoremi sadece yukarıdaki denklemlerde geçerlidir. Yani önce denklemi getirmelisin. Eğer konuyu açamıyorsanız, bu girişimi bırakın ve başka bir yolla (örneğin, diskriminant aracılığıyla) çözün. İkinci dereceden bir denklem getirmenin, önde gelen katsayıyı şuna eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

İyi. O zaman köklerin toplamı eşittir ve ürün.

Buradan almak kolaydır: sonuçta - bir asal sayı (totoloji için üzgünüm).

Cevap: ; ...

Görev 4.

Serbest terim negatiftir. Bu kadar özel olan ne? Ve köklerin farklı işaretlerde olacağı gerçeği. Ve şimdi, seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerinin farkını kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak ürün.

Yani, kökler eşittir ve bunlardan biri eksi iledir. Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu, yani. Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, o zamandan beri.

Cevap: ; ...

Görev 5.

Yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, denklemi verin:

Yine: sayının çarpanlarını seçiyoruz ve aralarındaki fark şöyle olmalı:

Kökler eşittir ve bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, bu, eksi ile daha büyük bir kök olacağı anlamına gelir.

Cevap: ; ...

Özetlemek:

1. Vieta teoremi sadece verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak sözlü olarak seçim yaparak kökleri bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmezse veya uygun tek bir serbest terim çarpanı çifti yoksa, o zaman tam kök yoktur ve başka bir şekilde (örneğin, diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam bir kare seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden - toplamın veya farkın karesi - terimler şeklinde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra, denklem türün eksik bir ikinci dereceden denklemi olarak temsil edilebilir.

Örneğin:

Örnek 1:

Denklemi çözün:.

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2:

Denklemi çözün:.

Çözüm:

Cevap:

V Genel görünüm dönüşüm şöyle görünecek:

Bu şu anlama gelir: .

Bir şeye benzemiyor mu? Bu bir ayrımcı! Bu doğru, diskriminant formülünü bulduk.

KUADRATİK DENKLEMLER. KISACA ANA HAKKINDA

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir, bilinmeyen nerede, ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır, serbest terimdir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem, yani:.

Eksik İkinci Dereceden Denklem- katsayısı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise, denklem şu şekildedir:,
• serbest terim ise, denklem şu şekildedir:,
• eğer ve, denklem şu şekildedir:.

1. Eksik ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim:,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer, o zaman denklemin çözümü yoksa,
• ise, denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Ortak faktörü parantezlerden dışarı çekin:,

2) Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, ürün sıfıra eşittir. Bu nedenle, denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

2. Formun tam ikinci dereceden denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant çözümü

1) Denklemi standart forma getirelim:,

2) Diskriminantı, denklemin kök sayısını gösteren formül: ile hesaplıyoruz:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer, o zaman denklemin formül tarafından bulunan kökleri vardır:
• eğer, o zaman denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökü yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemleri, burada) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , a.

2.3. Tam kare çözüm

2.5 Vieta'nın polinomlar için formülü (denklemler) daha yüksek dereceler

Viet tarafından ikinci dereceden denklemler için türetilen formüller, daha yüksek dereceli polinomlar için de geçerlidir.

polinom olsun

P (x) = bir 0 x n + bir 1 x n -1 +… + bir n

n farklı kökü vardır x 1, x 2…, x n.

Bu durumda, formun çarpanlara ayrılmasına sahiptir:

a 0 x n + bir 1 x n-1 +… + bir n = bir 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

Bu eşitliğin her iki tarafını da 0 ≠ 0'a bölüyoruz ve ilk kısımda parantezleri genişletiyoruz. eşitliği elde ederiz:

xn + () xn -1 +… + () = xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Ancak iki polinom, ancak ve ancak aynı derecede katsayılar eşitse özdeştir. Bu nedenle eşitlik

x 1 + x 2 +… + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

Örneğin, üçüncü derece polinomlar için

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

kimliklerimiz var

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

İkinci dereceden denklemlere gelince, bu formüle Vieta formülleri denir. Bu formüllerin sol tarafları bu denklemin x 1, x 2 ..., x n köklerinden simetrik polinomlardır ve sağ taraflar polinomun katsayısı ile ifade edilir.

2.6 Kareye indirgenebilen denklemler (biquadratic)

Dördüncü dereceden denklemler ikinci dereceden denklemlere indirgenir:

balta 4 + bx 2 + c = 0,

bikuadratik ve, ve ≠ 0 olarak adlandırılır.

Bu denkleme x 2 = y koymak yeterlidir, bu nedenle,

ay² + ile + c = 0

ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin köklerini bulun

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 köklerini bir kerede bulmak için, y'yi x ile değiştirin ve

x² =

x 1,2,3,4 = .

Dördüncü derece denkleminde x 1 varsa, kökü de x 2 = -x 1'dir,

x 3 varsa, x 4 = - x 3. Böyle bir denklemin köklerinin toplamı sıfırdır.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Denklemi, biquadratik denklemlerin kökleri için formülde değiştirin:

x 1,2,3,4 = ,

x 1 = -x 2 ve x 3 = -x 4 olduğunu bilerek, o zaman:

x 3.4 =

Cevap: x 1,2 = ± 2; x 1,2 =

2.7 Bikuadratik denklemlerin incelenmesi

bikuadratik denklemi al

balta 4 + bx 2 + c = 0,

a, b, c reel sayılar ve a> 0'dır. Yardımcı bir bilinmeyen y = x² tanıtarak, bu denklemin köklerini araştırır ve sonuçları tabloya gireriz (bkz. Ek # 1)

2.8 Cardano Formülü

Modern sembolizmi kullanırsak, Cardano formülünün sonucu şöyle görünebilir:

x =

Bu formül, üçüncü derecenin genel denkleminin köklerini belirler:

balta 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Bu formül çok hantal ve karmaşıktır (birkaç karmaşık radikal içerir). Her zaman geçerli değildir, çünkü doldurmak çok zor.

F ¢ (x®) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

En ilginç yerleri 2-3 metinden listeleyin veya seçin. Bu nedenle, 9. sınıf "Bir parametreli ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler" için cebirde seçmeli bir ders geliştirirken dikkate alınacak seçmeli derslerin oluşturulması ve yürütülmesi için genel hükümleri dikkate aldık. Bölüm II. Seçmeli dersin yürütülmesi için metodoloji "İkinci dereceden denklemler ve parametreli eşitsizlikler" 1.1. Genel...

Sayısal hesaplama yöntemlerinden çözümler. Bir denklemin köklerini belirlemek için Abel, Galois, Lie vb. grupların teorileri hakkında bilgi gerekmez ve özel bir matematiksel terminoloji gerekmez: halkalar, alanlar, idealler, izomorfizmler, vb. n - inci dereceden bir cebirsel denklemi çözmek için, yalnızca ikinci dereceden denklemleri çözme ve karmaşık bir sayıdan kök çıkarma yeteneğine ihtiyacınız vardır. Kökler tespit edilebilir ...

MathCAD sisteminde fiziksel büyüklüklerin ölçü birimleriyle mi? 11. Metin, grafik ve matematiksel blokları ayrıntılı olarak tanımlayın. Ders numarası 2. Lineer cebir problemleri ve MathCAD ortamında diferansiyel denklemlerin çözümü Lineer cebir problemlerinde hemen hemen her zaman matrislerle çeşitli işlemler yapmak gerekir. Matris operatör paneli, Matematik panelinde bulunur. ...

İkinci dereceden denklemler için Vieta teoreminin formülasyonu ve ispatı. Vieta'nın ters teoremi. Kübik denklemler ve keyfi sıralı denklemler için Vieta teoremi.

ikinci dereceden denklemler

Vieta teoremi

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
(1) .
O zaman köklerin toplamı, zıt işaretle alınan katsayıya eşittir. Köklerin çarpımı serbest terime eşittir:
;
.

Birden çok kök hakkında bir not

(1) denkleminin diskriminantı sıfıra eşitse, bu denklemin bir kökü vardır. Ancak, hantal formülasyonlardan kaçınmak için, bu durumda, denklem (1)'in iki çoklu veya eşit köke sahip olduğu genel olarak kabul edilir:
.

Kanıt bir

(1) denkleminin köklerini bulalım. Bunu yapmak için, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü uygulayın:
;
;
.

Köklerin toplamını buluruz:
.

Bir iş bulmak için formülü uygulayın:
.
Sonra

.

Teorem kanıtlanmıştır.

Kanıt iki

Sayılar ve ikinci dereceden denklemin (1) kökleri ise, o zaman
.
Parantezleri açıyoruz.

.
Böylece denklem (1) şu şekli alacaktır:
.
(1) ile karşılaştırarak şunları buluruz:
;
.

Teorem kanıtlanmıştır.

Vieta'nın ters teoremi

Rastgele sayılar olsun. Sonra ve ikinci dereceden denklemin kökleri
,
nerede
(2) ;
(3) .

Vieta'nın converse teoreminin kanıtı

İkinci dereceden denklemi düşünün
(1) .
Eğer ve, o zaman u'nun (1) denkleminin kökleri olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

(1)'deki (2) ve (3)'ü değiştirin:
.
Terimleri denklemin sol tarafında gruplandırıyoruz:
;
;
(4) .

(4)'te değiştirin:
;
.

(4)'te değiştirin:
;
.
Denklem yerine getirilir. Yani sayı (1) denkleminin köküdür.

Teorem kanıtlanmıştır.

Tam bir ikinci dereceden denklem için Vieta teoremi

Şimdi tam ikinci dereceden denklemi düşünün
(5) ,
nerede ve bazı sayılar var. Dahası.

(5) numaralı denklemi şuna bölelim:
.
Yani, indirgenmiş denklemi elde ettik.
,
nerede ; ...

O zaman tam ikinci dereceden denklem için Vieta'nın teoremi aşağıdaki forma sahiptir.

Tam ikinci dereceden denklemin köklerini gösterelim ve gösterelim
.
Daha sonra köklerin toplamı ve ürünü aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.

Kübik denklem için Vieta teoremi

Benzer şekilde, kübik bir denklemin kökleri arasında bağlantılar kurabiliriz. Kübik denklemi düşünün
(6) ,
nerede,,, bazı sayılar. Dahası.
Bu denklemi ikiye bölelim:
(7) ,
nerede , , .
(7) numaralı denklemin (ve (6) numaralı denklemin) kökleri olsun. Sonra

.

Denklem (7) ile karşılaştırarak şunları buluruz:
;
;
.

n dereceli bir denklem için Vieta teoremi

Aynı şekilde, n'inci derece denklemi için,, ...,, kökleri arasındaki bağlantıları bulabilirsiniz.
.

n. dereceden bir denklem için Vieta teoremi aşağıdaki forma sahiptir:
;
;
;

.

Bu formülleri elde etmek için denklemi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:
.
Sonra katsayıları ,,, ...'de eşitleriz ve serbest terimi karşılaştırırız.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Teknik Kurumların Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, "Lan", 2009.
SANTİMETRE. Nikolsky, M.K. Potapov ve diğerleri, Cebir: 8. sınıf eğitim kurumları için bir ders kitabı, Moskova, Eğitim, 2006.

Matematikte, birçok ikinci dereceden denklemin çok hızlı ve herhangi bir diskriminant olmadan çözüldüğü özel teknikler vardır. Üstelik, uygun eğitimle, çoğu ikinci dereceden denklemleri sözlü olarak, kelimenin tam anlamıyla "ilk bakışta" çözmeye başlar.

Ne yazık ki, modern okul matematiği dersinde, bu tür teknolojiler neredeyse çalışılmamaktadır. Ama bilmen gerek! Ve bugün bu tekniklerden birini ele alacağız - Vieta teoremi. İlk olarak, yeni bir tanım sunalım.

x 2 + bx + c = 0 biçimindeki ikinci dereceden bir denkleme indirgenmiş denir. Lütfen dikkat: x 2'nin katsayısı 1'dir. Katsayılarda başka kısıtlama yoktur.

1. x 2 + 7x + 12 = 0, indirgenmiş ikinci dereceden denklemdir;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - ayrıca verilmiştir;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - ancak bu gösterilmemiştir, çünkü x 2'deki katsayı 2'dir.

Elbette, ax 2 + bx + c = 0 şeklindeki herhangi bir ikinci dereceden denklem azaltılabilir - tüm katsayıları a sayısına bölmek yeterlidir. Bunu her zaman yapabiliriz, çünkü a ≠ 0 olan ikinci dereceden bir denklemin tanımından çıkar.

Doğru, bu dönüşümler kökleri bulmak için her zaman yararlı olmayacaktır. Biraz sonra, bunun yalnızca son kare denklemdeki tüm katsayılar tamsayı olduğunda yapılması gerektiğinden emin olacağız. Şimdilik en basit örnekleri ele alalım:

Görev. İkinci dereceden denklemi indirgenmiş olana dönüştürün:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. -4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Her denklemi x 2 değişkeninin katsayısına bölün. Alırız:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - her şeyi 3'e böler;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - −4'e bölünür;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1.5'e bölündüğünde, tüm katsayılar tamsayı oldu;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 = 0 - bölü 2 Bu durumda kesirli katsayılar ortaya çıktı.

Gördüğünüz gibi, verilen ikinci dereceden denklemler, orijinal denklem kesirler içerse bile tamsayı katsayılarına sahip olabilir.

Şimdi, aslında indirgenmiş ikinci dereceden denklem kavramının tanıtıldığı ana teoremi formüle edeceğiz:

Vieta teoremi. x 2 + bx + c = 0 biçiminde indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem düşünün. Bu denklemin x 1 ve x 2 gerçek köklerine sahip olduğunu varsayalım. Bu durumda, aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1. x 1 + x 2 = -b. Başka bir deyişle, verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, zıt işaretle alınan x değişkeninin katsayısına eşittir;
2. x 1 x 2 = c. İkinci dereceden bir denklemin köklerinin ürünü, serbest katsayıya eşittir.

Örnekler. Basit olması için, yalnızca ek dönüşüm gerektirmeyen indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri ele alacağız:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; kökler: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15; kökler: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; kökler: x 1 = -1; x 2 = -4.

Vieta teoremi bize ikinci dereceden bir denklemin kökleri hakkında ek bilgi verir. İlk bakışta, bu zor görünebilir, ancak minimum eğitimle bile, kökleri "görmeyi" ve birkaç saniye içinde kelimenin tam anlamıyla tahmin etmeyi öğreneceksiniz.

Görev. İkinci dereceden denklemi çözün:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

Vieta teoremine göre katsayıları yazmaya ve kökleri "tahmin etmeye" çalışalım:

1. x 2 - 9x + 14 = 0, indirgenmiş ikinci dereceden denklemdir.
   Vieta teoremine göre: x 1 + x 2 = - (- 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Köklerin 2 ve 7 sayıları olduğunu görmek kolaydır;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - ayrıca verilmiştir.
   Vieta teoremi ile: x 1 + x 2 = - (- 12) = 12; x 1 x 2 = 27. Dolayısıyla kökler: 3 ve 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - bu denklem indirgenmez. Ama şimdi denklemin her iki tarafını da a = 3 katsayısına bölerek bunu düzelteceğiz: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Vieta teoremi ile çözün: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 ⇒ kökler: -10 ve -1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - yine x 2'deki katsayı 1'e eşit değil, yani. denklem verilmemiştir. Her şeyi a = -7 sayısına bölün. Şunu elde ederiz: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Vieta teoremi ile: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11; x 1 x 2 = 30; Bu denklemlerden kökleri tahmin etmek kolaydır: 5 ve 6.

Yukarıdaki akıl yürütmeden, Vieta teoreminin ikinci dereceden denklemlerin çözümünü nasıl basitleştirdiği görülebilir. Karmaşık hesaplamalar, aritmetik kökler ve kesirler yok. Ve diskriminant'a bile ihtiyacımız yoktu ("İkinci dereceden denklemleri çözme" dersine bakın).

Tabii ki, tüm düşüncelerimizde, genel olarak konuşursak, gerçek problemlerde her zaman yerine getirilmeyen iki önemli varsayımdan yola çıktık:

1. İkinci dereceden denklem azaltılır, yani. x 2'deki katsayı 1'dir;
2. Denklemin iki farklı kökü vardır. Cebir açısından, bu durumda diskriminant D> 0 - aslında, başlangıçta bu eşitsizliğin doğru olduğunu varsayıyoruz.

Ancak tipik matematik problemlerinde bu koşullar sağlanır. Hesaplamalar "kötü" bir ikinci dereceden denklemle sonuçlanırsa (x 2'deki katsayı 1'den farklıdır), düzeltilmesi kolaydır - dersin en başındaki örneklere bakın. Genelde kökler hakkında sessiz kalırım: Cevabı olmayan bu problem nedir? Tabii ki kökleri olacak.

Böylece, genel şema ikinci dereceden denklemlerin Vieta teoremi ile çözümü aşağıdaki gibidir:

1. Problem ifadesinde daha önce yapılmadıysa, ikinci dereceden denklemi indirgenmiş olana indirin;
2. Verilen ikinci dereceden denklemdeki katsayıların kesirli olduğu ortaya çıkarsa, diskriminant aracılığıyla çözeriz. Hatta daha "uygun" sayılarla çalışmak için orijinal denkleme geri dönebilirsiniz;
3. Tamsayı katsayıları durumunda, denklemi Vieta teoremi ile çözeriz;
4. Birkaç saniye içinde kökleri tahmin etmek mümkün değilse, Vieta teoremine girip diskriminant üzerinden çözeriz.

Görev. Denklemi çözün: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

Yani, önümüzde indirgenmemiş bir denklem var, çünkü katsayısı a = 5. Her şeyi 5'e bölün, şunu elde ederiz: x 2 - 7x + 10 = 0.

İkinci dereceden denklemin tüm katsayıları tamsayıdır - hadi onu Vieta teoremi ile çözmeye çalışalım. Elimizde: x 1 + x 2 = - (- 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Bu durumda, kökler kolayca tahmin edilir - bunlar 2 ve 5'tir. Diskriminant üzerinden saymak gerekli değildir.

Görev. Denklemi çözün: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Bakın: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - bu denklem indirgenmez, her iki tarafı da a = -5 katsayısına böleriz. Şunu elde ederiz: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - kesirli katsayılı bir denklem.

Orijinal denkleme dönmek ve diskriminant üzerinden saymak daha iyidir: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 = 0.4.

Görev. Denklemi çözün: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

İlk önce, her şeyi a = 2 katsayısına bölelim. x 2 + 5x - 300 = 0 denklemini elde ederiz.

Bu indirgenmiş denklem, Vieta teoremine göre elimizde: x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = −300. Bu durumda ikinci dereceden denklemin köklerini tahmin etmek zor - kişisel olarak, bu sorunu çözerken ciddi şekilde "takılıp kaldım".

Ayrımcı aracılığıyla kökleri aramamız gerekecek: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2. Diskriminantın kökünü hatırlamıyorsanız, sadece 1225: 25 = 49 olduğunu not edeceğim. Bu nedenle, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

Artık diskriminantın kökü bilindiğine göre denklemi çözmek zor olmayacaktır. Şunu elde ederiz: x 1 = 15; x 2 = -20.

Vieta teoremi (daha doğrusu Vieta teoreminin ters teoremi), ikinci dereceden denklemleri çözme süresini kısaltmanıza olanak tanır. Sadece onu kullanabilmeniz gerekiyor. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Biraz düşünürseniz bu zor değil.

Şimdi sadece Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin çözümü hakkında konuşacağız.İndirgenmiş ikinci dereceden denklem, a'nın, yani x²'nin önündeki katsayının bire eşit olduğu bir denklemdir. Vieta teoremini kullanarak indirgenmemiş ikinci dereceden denklemleri çözmek de mümkündür, ancak köklerden en az biri zaten bir tam sayı değildir. Onları tahmin etmek daha zordur.

Vieta teoreminin tersi teoremi şöyle der: x1 ve x2 sayıları öyle ise

x1 ve x2 ikinci dereceden denklemin kökleridir

Vieta teoremine göre ikinci dereceden bir denklemi çözerken sadece 4 seçenek mümkündür. Akıl yürütme çizgisini hatırlarsanız, tüm kökleri çok hızlı bir şekilde bulmayı öğrenebilirsiniz.

I. q pozitif bir sayı ise,

bu, x1 ve x2 köklerinin aynı işaretin sayıları olduğu anlamına gelir (çünkü yalnızca aynı işaretli sayıları çarparken pozitif bir sayıdır).

I.a. -p pozitif bir sayı ise, (sırasıyla, p<0), то оба корня x1 и x2 — pozitif sayılar(çünkü aynı işaretli sayıları eklediler ve pozitif bir sayı aldılar).

I.b. -p negatif ise, (sırasıyla, p> 0), o zaman her iki kök de negatif sayılardır (aynı işaretli sayıları ekleyerek, negatif bir sayı alır).

II. q negatif ise,

bu, x1 ve x2 köklerinin farklı işaretlere sahip olduğu anlamına gelir (sayıları çarparken, yalnızca faktörlerin işaretleri farklıysa negatif bir sayı elde edilir). Bu durumda, x1 + x2 artık bir toplam değil, bir farktır (sonuçta, farklı işaretler küçük olanı büyükten çıkarırız). Dolayısıyla x1 + x2, bir kökün x1 ve x2'den ne kadar farklı olduğunu, yani bir kökün diğerinden ne kadar büyük olduğunu (modulo) gösterir.

II.a. -p pozitif bir sayı ise, (yani s<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p negatif ise, (p> 0), o zaman en büyük (modulo) kök negatif bir sayıdır.

Örnekler kullanarak ikinci dereceden denklemlerin Vieta teoremi ile çözümünü düşünün.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemi Vieta teoremi ile çözün:

Burada q = 12> 0, yani x1 ve x2 kökleri aynı işaretin sayılarıdır. Toplamları -p = 7> 0, yani her iki kök de pozitif sayılardır. Çarpımı 12 olan tamsayıları seçiyoruz. Bunlar 1 ve 12, 2 ve 6, 3 ve 4. 3 ve 4'ün toplamı 7'dir. Yani, 3 ve 4 denklemin kökleridir.

V bu örnek q = 16> 0, yani x1 ve x2 kökleri aynı işaretin sayılarıdır. Toplamları -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Burada q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ise büyük sayı pozitiftir. Yani kökler 5 ve -3'tür.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.